Tài liệu Khoá luận tốt nghiệp một số bài tập cơ lý thuyết giải bằng hệ phương trình haminton

  • Số trang: 51 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 55 |
  • Lượt tải: 0
tailieuonline

Đã đăng 39928 tài liệu

Mô tả:

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ 8o*£»EEW;,0 = 0 (« = 1,2,..*,1 = 1,2,..#) Khi / phụ thuộc vào tọa độ, thời gian và cả vận tốc thì những liên kết đặt lên cơ hệ gọi là liên kết động học. f a(r,r.9t) = 0 với (a = 1,2,..k,i = 1,2,..N ) JLdf df Tacó: d f ợ.,t) = ỵ ^ ^ d r . + ^ d t = 0 với (« = 1,2,....,N) «=1 dr.i ' dt (1.1) Liên kết động học được biểu diễn bằng phương trình (1.1) được gọi là liên kết động học khả tích hay liên kết động học tích phân được.. 1.1.1.3. Hệ hôlônôm Cơ hệ không chịu liên kết hình học và liên kết động học khả tích đặt lên nó gọi là cơ hệ hôlônôm. 4 P/liri + g / ,( ĩi ' t ) = 0 a,rxl +bl„ỹí +cllli l + gll(ĩ„t) = ữ h ^ + t Á 7»*) 0 Ppidri + gpịr.,t)dt = ồ với (/? = 1,2,....,N;i = 1,2,...N) (1.2) Phương trình (1.2) được gọi là phương trình liên kết động học không tích phân được. Cơ hệ chịu cả liên kết động học không tích phân được được gọi là cơ hệ không hôlônôm. 1.1.2. Dịch chuyển khả dĩ và dịch chuyển ảo 1.1.2.1. Dịch chuyển khả dĩ Dịch chuyển khả dĩ là những dịch chuyển thỏa mãn phương trình liên kết (1.1) và (1.2): df ợ.,t) = Ỷ ^ d ĩ. + ^ - d t = 0 /=l dĩ.ĩ Ôt 4 / 'a ( 'f > 0 = Ề ^ 'f + i r í/í= 0 /=1 Ỏĩ.i Òt P/«dĩ:i + 8fi(r,,t)dt = 0 1.1.2.2. Dịch chuyển ảo Dịch chuyển ảo là hiệu của 2 dịch chuyển khả dĩ vô cùng bé ỗrỉ = drỉ —dr 5 1.2. Tọa độ suy rộng Ta khảo sát cơ hệ hôlônôm gồm N chất điểm Mj (/ = 1 , 2 , với liên kết đặt lên nó được biếu diễn bằng n phương trình liên kết hình học và m phương trình liên kết động học. Đe xác định trạng thái của cơ hệ cần biết s = 3N —m —n tọa độ độc lập qi, q2,.... qs thì q b q2,.... qs là những tọa độ suy rộng. với (/ = \,N;k = 1,5) 7; = 7t e k J ) SỐ tọa độ suy rộng đủ để xác định vị trí của cơ hệ đúng bằng số bậc tự do của nó. 1.3. Liên kết lí tưởng Giả sử có chất điểm Mi chuyển động dưới tác dụng của lực Fị (ỉ = 1 , 2 Nếu chất điểm chuyển động tự do, theo định luật II Niutown, ta có: w ,= ịШ./ (i = 1,2 ,...,/V) ( 1.3 ) F Khi có liên kêt đặt lên cơ hệ, gia tôc W. = — có thê không thỏa mãn các m,i phương trình liên kết. Ta có phương trình liên kết: f a{r„r2,...,rN, t) = 0 Đạo hàm bậc nhất phương trình trên ta được: 6 ỷ C Ể Ĩ+ C =0 «=1 õr.i õt õt Tiếp tục đạo hàm bậc 2 ta được: N P ft (=1 or. . ■NST'(=1 d df dt õr; d dft dt ôt F Gia tôc W.= — có thê không thỏa mãn phương trình (1.4). Điêu này có m.ị ý nghĩa là liên kết đã tác dụng lên chất điểm Mị một lực nào đó gọi là phản lực liên kết. Kí hiệu là R thì phương phương trình chuyển động của chất điểm không tự do Mị có dạng: m.w.=F.+R. (/ = l,2,...,AO (1.5) Để phân biệt với phản lực R ta gọi lực F là hoạt lực hay lực hoạt động. Liên kết được gọi là lí tưởng nếu tổng công ảo của những phản lực liên kết đặt lên cơ hệ đối với mọi dịch chuyển ảo bằng không, nghĩa là: ỷ R.ồr, i i = Ỳ (vRix. & ,i + R iyâ ys,i + Rhỏzi) iz I7 = 0 /=] /=] 1.4. Hàm Lagrange 1.4.1. Hàm Lagrange Một hệ có s bậc tự do, được xác định bởi s tọa độ suy rộng qx,q2,...q thì hàm Lgrange L = L ( qx, q2,.. .qir, ậị, q2,.. .qi;, t ) hay: L = L (qk, qk, t ) với k = 1,2,...,5 Neu điều kiện liên kết đặt lên cơ hệ là dừng và việc chuyển trạng thái của cơ hệ là thực thì có thể xác định các qk nhờ phương trình Lagrange: 7 d dL dt dqk ÔL = Ovới k=l,2,..s õqk Trong đó: L=T-U a) Hàm Lagrange có tính chất cộng tính Hệ cơ học được cấu tạo từ 2 phần A và B có hàm Lagrange là LA, LB. Neu bỏ qua tương tác của A và B thì hệ này có hàm Lagrange là: L= LA+ LB. b) Hàm Lagrange có tính bất định Xét 2 hàm L(qk,ậk,t) và Lr(qk,ậk, t ) liên hệ với nhau bằng biểu thức: h S' = ị ưdt\S = ị Ldt '-d f ( q k,t)’'-d f ( q t , t ) dt f, I. dt { at ỔS’ = ỏ s + ỗ ị d f ô \ d f ( q t ,t)= \ d ( S f ị q l ,t)) = ổ f ( q , . , t ) t' = ổ f ( q 2, t ) - ổ f ( q r t) = 0 ^ Ổ S ' = ỔS Vậy L và L'cùng mô tả 1 trạng thái vật lý, có nghĩa là hàm Lagrange có ý nghĩa bất định. 8 1.4.2. Hàm Lagrange của hạt tự do Do tính đồng nhất của không gian và thời gian mà hàm Lagrange L của hạt tự do không phụ thuộc tường minh vào r,t có nghĩa là L chỉ phụ thuộc vào vận tốc V . Từ tính đắng hướng của không gian thì L không phụ thuộc vào hướng của V có nghĩa là: L = L(v2) Dạng của L được xác định bởi nguyên lí tương đối Galile L(v2) phải có dạng như nhau trong mọi hệ quy chiếu quán tính. Khi chuyển từ hệ K sang K’ thì: L(v2) —» LỊV + ỹ ) 2 _ av 2 LJ = L(v2) = av2 =aị[v' + ỹ ) 2^ = av'2 + 2av'Ỹ + a V 2 _ dĩ' dt => L(v2) = L(vn ) + — (2 aĩ'V + a V ỉt) d tv Chọn CI- — 2 do đó L = mv 2 9 (v)2= r dl_ ,T Ÿ гт л Kdt J \ LU J dt dl2 = dx2 + dy2 + dz L/ — dx2dy2 dz: + - r— + 2 y dt dt dt J m / 2 T L 2 _2 \ 2 (x +>’ + г ) - Trong tọa độ trụ: X= rcosọ ỵ = г sin (p z =z dl2 = ếừ2 + r2d ọ + í/z2 L = — ị r 2 + г2ф2 + Z2) - Trong hệ tọa độ cầu: X = rsinớcos#? у = rsinỡsinọ z = rcosỡ dỉ2 = dr2 + r2dỡ 2 + r 2sin2ỡ d ọ 2 => L = — [r2 + г2# 2 + r 2sin2 1.4.3. Hàm Lagrange L của hệ hạt tương tác lẫn nhau Xét hệ của các hạt tương tác với nhau nhưng không tương tác với các vật bên ngoài hệ. L = Ỳ iỈ Ĩ Ỉ Ệ - - U ự l,K1,...rfl) i=l 2 Dùng các hệ tọa độ suy rộng: 10 1.5. Hàm Hamỉnton Ta có: H = ^ pkqk - L trong đó s là số bậc tự do của cơ hệ *=1 Nếu liên kết đặt lên cơ hệ là liên kết dừng " § = ол thì \õt у H =T + U L =T - U ư= ư(r) ÕL ÕT =>p* =T — = ^Tõật dq. , <7* ÕH Ф» Với k=l,2,... CHƯƠNG 2 P H Ư Ơ N G T R ÌN H H A M IN T O N 2.1. Phương trình tổng quát của động lực học Xét hệ gồm N chất điểm chịu tác dụng của những liên kết lí tưởng. Phương trình chuyển động của chất điếm i của cơ hệ có dạng: mi w i= F i+ R i (2.1) V / nên: m.w. i i —F. i = R; ỉ Từ điều kiện: ỵ ^ R /ổ r ỉ = o /=] Ta có: Ỷ 1(mlwi - Ft)âr. =0 (=1 (2 .2 ) Đây là phươìĩg trình tống quát của động lực học cơ hệ hay còn gọi là nguyên lí D ’ Alambert- Lagrange. Đó là một trong những nguyên lí quan trọng nhất của động lực học cơ hệ. Trong trường hợp đặc biệt khi hệ ở trạng thái cân bằng V = 0, w. =0 ta được nguyên lí quan trọng sau của tĩnh học: Ì F .< 5 r = 0 (=1 Phương trình này còn được gọi là nguyên lí dịch chuyến ảo. 12 (2.3) 2.2. Phương trình Hamỉnton 2.2.1. Xung lượng suy rộng Xét hàm Lagrange của cơ hệ: L = T - V = Ỳ í)m,{rl)1- V Ợ i,rì , ..... ĩ„) /=1 2 Đai lương —^ = m r = p . ôr.ỉ (i=ì,N) là xung lương của chất điểm thứ i. ÕL Trường hơp tống quát đai lương p k = —— ( k = 1,5) goi là xung lương ôqk suy rộng ứng với bậc tự do thứ k. Khi đó, qkđược gọi là vận tốc suy rộng ứng với bậc tự do thứ k. qk được gọi là gia tốc suy rộng ứng với bậc tự do thứ k. Thế năng u không phụ thuộc vào dĩ f)T S Pk = Ệ L = ^ r = dqk ôqk qknên pk có dạng: __ +bk(k = l,s) Trong đó bk và aiklà hàm của tọa độ suy rộng và thời gian Từ đó ta có: ỳ i = Ỷ . cikPk+ d i (k = \,s) k=I (2.4) Trong đó cik và di là những hàm của tọa độ suy rộng và thời gian. 2.2.2. Xây dựng hàm Haminton Hàm Lagrange là hàm của tọa độ suy rộng qk, vận tốc suy rộng qkvà thời gian t: 13 L = L(qt ,ql ,t) c!L = ± k=1 ÔL , dL 7, ÔL 7 —— í/g, + ^ — í/úr, + ——dt dqk dqk õt Từ phương trình Lagrange loại II trong trường lực thế: CÓ d_ dL_ dt õq ổ<7* ÕL -— = ôqt = 0 , ÕL d ÔL . p, và - — = —— -— = p. ôqt dt .ôqt Nên: dL = Ỳ I X d q t + p t d p k] + ^ d t k=\ Õt s ÕL = L ( P tdqt + d{ptqt ) - q kdpk) + ^ d t k=\ Õt s s ÔL d (ỵ .P Á k ~ L) = HèỊidpt - p kdqk - ^ P d t k=\ k\= Ớt Hàm H =2_JPkqk - L biêu diên thông qua các biên sô qk p kvà t gọi là *=I hàm Haminton H. H(<Ị^Pt >t) = Ỳ P Á t - L k=1 14
- Xem thêm -