Tài liệu Khảo sát một bài toán không chỉnh khoá luận tốt nghiệp

Mục lục Mục lục 1 Danh mục ký hiệu 3 Danh mục hình ảnh 4 Lời nói đầu 5 1 Kiến thức chuẩn bị 9 1.1 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Một số định lý quan trọng khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 16 2.1 Giới thiệu lại bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Nghiệm của bài toán (1) - (4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3 Các kết quả chính của việc chỉnh hoá bài toán (1) - (4) . . . . . . . . . . 19 2.3.1 Chỉnh hoá bài toán (1) - (4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3.2 Tính ổn định của (2.7) - (2.9) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3.3 3 Chỉnh hoá một bài toán không chỉnh Đánh giá sai số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Ví dụ minh hoạ 33 3.1 Mô phỏng hoá dữ liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.2 Quá trình tính toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.3 Ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Kết luận và kiến nghị 43 1 2 Tài liệu tham khảo 44 Phụ lục 47 3 Danh mục ký hiệu 1. N = {1, 2, 3, ...} là tập hợp các số tự nhiên. 2. R là tập hợp các số thực. 3. C là tập hợp các số phức. 4. L2 (Ω) là tập hợp họ các hàm f : Ω → K(K = C hoặc K = C) có lũy thừa bậc 2 của môđun khả tích Lebesgue trên Ω. 5. ∆u là khai triển Laplace dạng 3 chiều của hàm u. 6. δz u là đạo hàm riêng theo biến z của hàm u. 7. (g, h)|z=0 là g và h tại giá trị z = 0. 8. H 1 (Ω) là không gian chứa tất cả các hàm trong L2 (Ω) khả vi tới cấp 1. 9. ∂Ω là biên của miền giới hạn Ω. 1 10. H0 (Ω) là không gian chứa tất cả các hàm trong H 1 (Ω) mà vết của chúng bị triệt tiêu trên ∂Ω. 11. ||·||X là chuẩn cảm sinh trong không gian X . 12. |||·|||X là chuẩn supremum trong không gian X . 13. C([0, c], X, ||·||X ) là không gian các ánh xạ liên tục đi từ [0, c] vào X với chuẩn ||·||X . 14. C([0, c], X, |||·|||X ) là không gian các ánh xạ liên tục đi từ [0, c] vào X với chuẩn |||·|||X . 15. D(A) là miền xác định của A. 16. ·, · H là tích vô hướng trên H . 4 Danh sách hình vẽ 3.1 Hình minh hoạ cho hàm U (x, y, c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Hình minh hoạ nghiệm chính xác với lưới M × N × K = 101 × 101 × 101 40 3.3 uα với ε = 1.0 × 10−1 , α(ε) = εt , t = 1.0 × 10−1 . . . . . . . . . . . . . . 40 3.4 uα với ε = 1.0 × 10−2 , α(ε) = εt , t = 1.0 × 10−1 . . . . . . . . . . . . . . 40 3.5 uα với ε = 1.0 × 10−4 , α(ε) = εt , t = 1.0 × 10−1 . . . . . . . . . . . . . . 41 uα với ε = 1.0 × 10−6 , α(ε) = εt , t = 1.0 × 10−1 ε 0.05 3.7 uα với ε = 1.0 × 10−2 , α(ε) = . . . . ln ε ε 0.05 3.8 uα với ε = 1.0 × 10−4 , α(ε) = . . . ln ε ε 0.05 3.9 uα với ε = 1.0 × 10−6 , α(ε) = . . . . ln ε ε 0.05 3.10 uα với ε = 1.0 × 10−8 , α(ε) = . . . . ln ε 3.6 39 . . . . . . . . . . . . . . 41 . . . . . . . . . . . . . . 41 . . . . . . . . . . . . . . 42 . . . . . . . . . . . . . . 42 . . . . . . . . . . . . . . 42 5 Lời nói đầu Bài toán phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic với điều kiện biên Cauchy là một bài toán đặt không chỉnh theo định nghĩa của Haramard [8] nghĩa là, nghiệm của bài toán này là không tồn tại; ngay cả khi nghiệm của bài toán tồn tại thì nghiệm đó cũng không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu dạng Cauchy. Một ví dụ cho tính không chỉnh của bài toán nói trên là bài toán được tác giả Faker Bin Belgacem xét trong bài báo [4]. Mặc dù tính không chỉnh của bài toán trên gây ra sự khó khăn trong việc tính toán số, nhưng bài toán phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic với dữ liệu Cauchy là bài toán được ứng dụng nhiều trong các lĩnh vực khoa học và kỹ thuật như là các bài toán truyền sóng âm, bài toán truyền sóng thuỷ động lực học và bài toán sóng điện từ (xem trong bài báo [10], [11]). Ngoài ra, hầu hết các bài toán này đều được xét trong miền không gian 3 chiều (3D) với nguồn không thuần nhất. Trong thực tế, hàm nguồn còn phụ thuộc vào hàm u chưa biết. Do đó, bài toán nêu trên cần được khảo sát và chỉnh hoá. Trong khoá luận này, chúng tôi chứng minh chi tiết lại các bổ đề, định lý được nêu trong bài báo [23], đồng thời hệ thống lại một số các kiến thức liên quan. Cụ thể, chúng tôi khảo sát bài toán như sau Cho a, b, c > 0 và Ω = (−a, a) × (−b, b) là một hình chữ nhật trong R2 với biên ∂Ω. Chúng ta tìm một hàm u thoả mãn ∆u = f (u, x, y, z), (x, y, z) ∈ Ω × [0, c], (1) u(x, y, z) = 0, (x, y, z) ∈ Ω × [0, c], (2) g ε − u(·, ·, 0) + hε − ∂z u(·, ·, 0) ≤ ε, (3) trong đó ∆ là toán tử Laplace dạng ba chiều, ∂z là đạo hàm riêng theo biến z , f là một hàm cho trước phụ thuộc vào biến u chưa biết, hai hàm g ε và hε là hai hàm được cho trong không gian L2 (Ω) với · là chuẩn trong L2 (Ω), ε là sai số nhiễu của (g ε , hε ) so với dữ liệu Cauchy chính xác (g, h) = (u, ∂z u)|z=0 . (4) 6 Trong suốt khoá luận này, chúng tôi sẽ sử dụng những kí hiệu dưới đây. Không gian Sobolev H m (Ω) là không gian chứa tất cả các hàm trong L2 (Ω) khả vi đến cấp s với 1 s ≤ m. H0 (Ω) là không gian chứa tất cả các hàm trong H 1 (Ω) mà vết của chúng bị triệt tiêu trên ∂Ω. Chúng ta sẽ dùng kí hiệu C([0, c], L2 (Ω)), |||·||| cho các ánh xạ liên tục đi từ [0, c] đến L2 (Ω) trong không gian Banach, trong đó |||·||| là chuẩn supremum. Đặt λmn và ψmn là giá trị riêng và vectơ riêng tương ứng của toán tử A := −∆ được 1 xác định trên miền D(A) ⊂ H0 (Ω), với λmn = π 2 m a 2 + n b 2 , ψmn = sin mπ(x + a) nπ(y + b) sin 2a 2b (5) với mọi (m, n) ∈ N2 . Sau đây, chúng tôi ký hiệu khai triển Fourier của các hàm v = v(x, y), w = w(x, y, z), f = f (w, x, y, z) và ∂z wmn (z) lần lượt là vmn = κ v, ψmn , ˆ ˆ ˆ wmn (z) = κ w(·, ·, z), ψmn , fmn (w, z) = f (w(·, ·, z), ·, ·, z) và κ ∂z w(·, ·, z), ψmn , trong ˆ đó κ = ||ψmn ||−2 = 1/(ab). Sử dụng phương pháp tách biến, ta có nghiệm chính xác của bài toán (1) - (4) là +∞ +∞ ˆ ˆ Gmn (g, h, z) + Jmn (u, z) ψmn (x, y), u(x, y, z) = (6) m=1 n=1 trong đó Gmn (g, h, z) = ezλmn 2 gmn + hmn λmn + e−zλmn 2 gmn − hmn λmn , (7) z 1 Jmn (u, z) = 2λmn ˆ e(z−s)λmn − e(s−z)λmn fmn (u, s)ds. (8) 0 Chúng ta có thể thấy rằng Gmn (g, h, z) và Jmn (u, z) trong (7) và (8) tăng nhanh theo biến λmn vì sự tăng mạnh về giá trị của hàm ezλmn . Do đó, việc tính toán số liệu của (6) - (8) trong thực tế còn nhiều hạn chế, kể cả khi hệ số khai triển Fourier (gmn , hmn , fmn ) tiến nhanh về 0. Bài toán Cauchy đối với các phương trình elliptic là không chỉnh theo định nghĩa của Hadamard, nghĩa là một sự biến đổi nhỏ trong dữ liệu Cauchy đã có thể gây ra một sự sai khác rất lớn trong kết quả nghiệm của u(x, y, z) với z ∈ [0, c]. Việc không ổn định trên tỉ lệ thuận với khoảng cách từ z đến biên z = 0. Vì vậy, rất khó để giải quyết bài toán trên bằng cách sử dụng các phương pháp số đảo ngược cổ điển. Để khắc phục tình trạng không chỉnh này, các phương pháp chỉnh hoá được đề xuất để chỉnh hoá cho bài toán là thật sự cần thiết. 7 Trước đây, đã có nhiều nghiên cứu về bài toán Cauchy cho các hình thức cụ thể của phương trình elliptic (1). Trong trường hợp không có hàm ban đầu, nghĩa là f = 0, bài toán trên được gọi là bài toán Cauchy cho phương trình Laplace (xem [5], [6]). Với f = −k 2 u (k là hằng số), (1) tiêu biến thành phương trình Helmholtz thuần nhất; đã được nghiên cứu rộng rãi và nhiều kết quả liên quan đến các phương pháp định chế đã được điều tra, ví dụ: nghiên cứu gần đây của Reginska và nhóm của cô [14], [15]. Gần đây, Nguyễn et al. [21] đã xét phương trình (1) trong không gian 2 chiều cho phương trình Helmholtz đã được sửa đổi (hoặc phương trình Yukawa) với một hàm nguồn thuần nhất, nghĩa là hàm nguồn là dạng f = k 2 u + r (r là một hàm). Sau đó, Trần et al. [17] đã mở rộng kết quả của nhóm [21] để giải quyết bài toán trong mô hình 3D cho phương trình Helmholtz, tức là phương trình (1) với hàm nguồn f = ±k2u + r kết hợp với điều kiện biên Dirichlet và Neumann thuần nhất. Các phương trình nói trên cũng được tổng quát hóa thành các giả thiết trừu tượng, ví dụ [7], [21], [22] đã đề xuất nhiều sơ đồ chỉnh hoá cho phương trình toán tử. Trong [7], Elden et al. đã áp dụng phương pháp chặt cụt để có được nghiệm ổn định và xử lý bài toán xấp xỉ bằng phương pháp Krylov. Trong [22], các tác giả đề xuất một phương pháp biến đổi bằng cách xây dựng mới những hàm hạch bị chặn để thay thế các đại lượng không bị chặn của phần tử đại diện nghiệm và thu được các ước lượng sai số khác nhau tương ứng với một số điều kiện tiên nghiệm của nghiệm chính xác. Trong quá trình tìm hiểu, có rất ít kết quả về bài toán Cauchy cho các phương trình elliptic phi tuyến trong không gian ba chiều. Trong khoá luận này, chúng tôi xem xét bài toán (1) - (4) trong trường hợp hàm f thỏa mãn điều kiện Lipschitz ∃K > 0, ∀u, v ∈ L2 (Ω), ∀z ∈ R, ||f (w, z) − f (v, z)||≤ K||w − v||. (9) Trong bài luận này, ngoài việc dùng phương pháp tựa giá trị biên để chính hoá cho bài toán (1) - (4), chúng tôi còn dùng máy tính để khảo sát tính hiệu quả của phương pháp chỉnh hoá được dùng để giải quyết tính không chỉnh của bài toán thông qua các bài toán trong phần ví dụ minh hoạ. Khoá luận này được trình bày qua các chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này trình bày một số kiến thức cần thiết như các định nghĩa, định lý, mệnh đề liên quan đến các không gian hàm. Chương 2: Chỉnh hóa một bài toán phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic với dữ 8 liệu Cauchy Chương này trình bày việc chỉnh hoá bài toán (1) - (4), tính tồn tại nghiệm duy nhất và tính ổn định của nghiệm chỉnh hoá. Chương 3: Ví dụ minh họa Chương này đưa ra các mô phỏng dữ liệu, thủ tục tính toán và ví dụ để minh hoạ cho bài toán. 9 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương 1, chúng tôi trình bày lại một số kiến thức cần thiết cho khoá luận này. 1.1 Không gian Banach Định nghĩa 1.1.1. Cho X là một không gian vectơ trên trường K (với K = R hoặc K = C) và ánh xạ · X : X → R. Ta nói · X là một chuẩn trên X , nếu nó có các tính chất sau i) x ii) tx X ≥ 0, với mọi x ∈ X và x X iii) x + y = |t| x X X, ≤ x X X = 0 khi và chỉ khi x = 0, với mọi t ∈ K, với mọi x ∈ X , + y X, với mọi x, y ∈ X . Không gian vectơ X cùng với chuẩn · và ký hiệu là (X, · X được gọi là không gian định chuẩn X ). Định nghĩa 1.1.2. Cho (X, · X) là một không gian định chuẩn, dãy {xn }+∞ n=1 trong X được gọi là dãy Cauchy nếu và chỉ nếu với mọi ε > 0 cho trước, tồn tại một số nguyên dương Nε (phụ thuộc vào ε) sao cho xm − xn X < ε, với mọi m, n ≥ Nε . Định nghĩa 1.1.3. Không gian định chuẩn X được gọi là không gian Banach nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ về một phần tử thuộc X . Cho Ω là một tập đo được Lebesgue và một độ đo dương µ. 10 Định nghĩa 1.1.4. Họ các hàm f : Ω → K có lũy thừa bậc p (1 ≤ p < +∞) của môđun khả tích Lebesgue trên Ω, nghĩa là |f (z)|p dµ < ∞ Ω được gọi là không gian Lp (Ω). Ta có các Bất đẳng thức quan trọng sau: ¨ Định lý 1.1.5 (Bất đẳng thức Holder). Nếu f, g là các hàm đo được, xác định trên tập đo được Lebesgue Ω và p, q là hai số thực thỏa mãn 1 < p < +∞, 1 1 + = 1 thì p q  |f (z) g (z)| dµ ≤  1 q 1 p  |f (z)|p dµ  Ω |g (z)|q dµ · Ω Ω Định lý 1.1.6 (Bất đẳng thức Minkowski). Nếu f, g là các hàm đo được, xác định trên tập đo được Lebesgue Ω và p là số thực thỏa mãn 1 ≤ p < +∞ thì 1 1 1  p  p  p |f (z) + g (z)|p dµ ≤   Ω |f (z)|p dµ +  Ω |g (z)|p dµ · Ω Trong không gian hàm Lp (Ω), 1 ≤ p ≤ +∞, các hàm bằng nhau hầu khắp nơi được xem là như nhau. Ta có định lý sau khẳng định rằng không gian hàm Lp (Ω) là không gian tuyến tính định chuẩn Định lý 1.1.7. Không gian Lp (Ω), 1 ≤ p ≤ +∞ cùng với các phép toán cộng các hàm và phép nhân vô hướng một hàm với một số là một không gian vectơ định chuẩn, với chuẩn được cho như sau  f p 1 p |f (z)|p dµ , với 1 ≤ p < +∞, =  Ω f ∞ = ess sup |f (z)| , với p = +∞. z∈ Ω Định lý 1.1.8. Không gian Lp (Ω) với các chuẩn · như trong định lý 1.1.7 là các không gian Banach. p và · ∞ được định nghĩa 11 Cho (X, d) là một không gian metric, một ánh xạ f : X → X được gọi là một ánh xạ Lipschitz nếu tồn tại một hằng số không âm α sao cho d(f (x), f (y)) < αd(x, y), với mọi x, y ∈ X. (1.1) Hằng số α nhỏ nhất thoả mãn (1.1) được gọi là hằng số Lipschitz đối với f , kí hiệu là L. Nếu L < 1 thì ta nói f là ánh xạ co, nếu f = 1 thì ta nói f là ánh xạ không dãn. Khái niệm không gian mêtric đầy đủ: Không gian mêtric X gọi là đầy đủ nếu cho một dãy xn gồm các phần tử sao cho nếu n, m càng lớn thì xn và xm càng gần nhau (tính chất này được gọi là tính chất Cauchy) thì tồn tại một phần tử x trong X sao cho xn càng ngày càng gần với x (tính chất này gọi là hội tụ về x). Định lý 1.1.9. Định lý ánh xạ co: Cho không gian mêtric đầy đủ X. Cho f : X → X . Nếu tồn tại 0 ≤ α < 1 sao cho với mọi x, y ∈ X ta có d(f (x), f (y)) ≤ αd(x, y). Khi đó tồn tại duy nhất x0 thỏa mãn f (x0 ) = x0 , và nếu ta xét dãy xn như sau x1 = f (x0 ), xn = f (xn−1 ) với mọi n ∈ N, n ≤ 2 thì xn hội tụ về x. 1.2 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.2.1. Cho H là một không gian vectơ tuyến tính . Ánh xạ · , · H : H × H → K (với K = R hoặc K = C) được gọi là tích vô hướng trên H nếu i) x, y H = y, x ii) x + y, z iii) αx, y iv) x, x H H H H, = x, z = α x, y với mọi x, y ∈ H , H H, + y, z H, với mọi x, y, z ∈ H , với mọi x, y ∈ H , với mọi α ∈ K, ≥ 0, với mọi x ∈ H và x, x H = 0 khi và chỉ khi x = 0. x, y được gọi là tích vô hướng của hai vectơ x và y . Không gian vectơ tuyến tính H cùng với tích vô hướng · , · H được gọi là không gian tiền Hilbert. Hơn nữa, khi K = R thì · , · Bây giờ, chúng ta đặt x H H là một dạng song tuyến tính xác định dương. = không gian định chuẩn. Chuẩn · ·, · H trên H . x, x. H H, với mọi x ∈ H . Thì (H, · H) là một này là chuẩn cảm sinh bởi tích vô hướng 12 Định nghĩa 1.2.2. Cho H là một không gian tiền Hilbert với tích vô hướng · , · H và chuẩn cảm sinh · là H. Khi đó, ta gọi H là không gian Hilbert nếu (H, · H) không gian Banach. Chúng ta có thể thấy, không gian L2 ((−a, a) × (−b, b)) với tích vô hướng cho bởi b công thức f, g L2 ((−a,a)×(−b,b)) a |f (x, y)g(x, y)|dxdy với mọi f, g ∈ L2 ((−a, a) × = −b −a (−b, b)) là một không gian Hilbert. Định nghĩa 1.2.3. Không gian C([0, T ], L2 (Ω)) gồm tất cả những hàm liên tục u : [0, T ] → L2 (Ω) với chuẩn ||u||C([0,T ],L2 (Ω)) = sup ||u(t)||X < ∞. t∈[0,T ] Định nghĩa 1.2.4. Không gian C k ([0, T ], L2 (Ω)), k ∈ N là không gian bao gồm tất cả các hàm u : [0, T ] → L2 (Ω) khả vi liên tục tới cấp k . Từ đây, nếu không có sự nhầm lẫn thì chúng ta hiểu H là một không gian Hilbert được định nghĩa như trong (1.2.1) và (1.2.2). Ta có mệnh đề như sau Mệnh đề 1.2.5. i) | x, y H| ≤ x H H, y với mọi x, y ∈ H (Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz), 2 H ii) x ± y 2 H = x iii) x + y 2 H + x−y + y 2 H 2 H ± 2Re x, y =2 x 2 H +2 y H, với mọi x, y ∈ H , 2 H, với mọi x, y ∈ H (Đẳng thức hình bình hành). Định nghĩa 1.2.6. Hai vectơ x, y ∈ H được gọi là trực giao với nhau nếu x , y H = 0 và ký hiệu là x⊥y . Một họ các vectơ S = {xi }i∈I ⊂ H được gọi là hệ trực giao trong H nếu các phần tử trong S trực giao với nhau từng đôi một. Ta nói S là hệ trực chuẩn nếu mọi phần tử thuộc S đều có chuẩn bằng 1. Ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 1.2.7. Mọi họ các vectơ gồm các vectơ khác vectơ không và là hệ trực giao trong H đều là hệ độc lập tuyến tính. Định lý 1.2.8 (Đẳng thức Pythagore). Nếu {x1 , x2 , . . . , xn } là một hệ trực giao trong H thì 2 n xi i=1 n = H xi i=1 2 H. 13 Từ đây ta có Định lý 1.2.9. Cho {x1 , x2 , . . . , xn } là một hệ trực chuẩn gồm n vectơ của H . Khi đó, mỗi phần tử x ∈ H có hình chiếu trực giao lên không gian vectơ con sinh bởi {x1 , x2 , . . . , xn } là n x, xi xi . y= i=1 Định lý 1.2.10 (Trực giao hóa Gram-Schmidt). Cho {xn }n∈N là một hệ độc lập tuyến tính trong H . Khi đó tồn tại một hệ trực chuẩn {en }n∈N sao cho Lin {e1 , e2 , . . . en , . . .} = Lin {x1 , x2 , . . . xn , . . .}. +∞ Định lý 1.2.11. Cho {xn }n∈N là một hệ trực giao trong H . Khi đó, chuỗi +∞ hội tụ nếu và chỉ nếu chuỗi 2 H xn n=1 hội tụ trong R và 2 +∞ +∞ = xn n=1 xn n=1 xn 2 H. n=1 H Ngoài ra, nếu {xn }n∈N là một hệ trực chuẩn trong H thì 2 +∞ αn xn n=1 +∞ |αn |2 . = n=1 H Định nghĩa 1.2.12. Hệ trực chuẩn {xn }n∈N trong H được gọi là một cơ sở trực chuẩn của H nếu không gian vectơ sinh bởi hệ này trù mật trong H . Ta có định lý: Định lý 1.2.13. Cho {xn }n∈N là một hệ trực chuẩn trong H . Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương i) {xn }n∈N là cơ sở trực chuẩn. +∞ ii) Với mọi x ∈ H , ta có x = x, xn n=1 H xn . +∞ iii) Với mọi x, y ∈ H , ta có x, y H = x, xn n=1 iv) Với mọi x ∈ H , ta có x 2 H +∞ | x, xn = n=1 2 H| H y, xn H. (Đẳng thức Parseval). 14 1.3 Một số định lý quan trọng khác Trong phần này, chúng tôi nhắc lại một số định lý của giải tích hàm nhiều biến. ¨ Định lý 1.3.1 (Bất đẳng thức Gronwall). Nếu u, k : [α, +∞) → [0, +∞) thoả mãn t u(t) ≤ a + k(s)u(s)ds, ∀t ≥ α, a ≥ 0 α thì t u(t) ≤ aeα k(s)ds , ∀t ≥ α. Định lý 1.3.2 (Định lý Green). (xem trong [2]) Cho C là đường cong đơn đóng, trơn từng khúc, hướng dương trong mặt phẳng và cho D là miền bị chặn bởi C . Nếu P và Q có đạo hàm riêng liên tục trên một miền mở chứa D thì ∂Q ∂P − ∂x ∂y P dx + Qdy = C dA. D Tiếp theo đây, chúng ta sơ lược về một số lý thuyết liên quan đến việc chỉnh hóa bài toán không chỉnh theo định nghĩa của Hadamard. Cho X, Y là những không gian định chuẩn và ánh xạ K : X −→ Y (tuyến tính hoặc không tuyến tính). Phương trình Kx = y được gọi là chỉnh (well-posed) nếu thỏa mãn i) Tính tồn tại: với mọi y ∈ Y , có ít nhất một x ∈ X sao cho Kx = y , ii) Tính duy nhất: với mọi y ∈ Y , có nhiều nhất một x ∈ X sao cho Kx = y , iii) Tính ổn định: nghiệm x phụ thuộc liên tục vào y , nghĩa là với mọi dãy (xn ) ⊂ X thỏa Kxn −→ Kx (n −→ ∞) thì xn −→ x (n −→ ∞). Bài toán không thỏa ít nhất một trong các tính chất trên gọi là bài toán không chỉnh. Về mặt toán học, việc tồn tại nghiệm có thể đạt được bằng cách mở rộng không gian nghiệm. Nếu bài toán có nhiều hơn một nghiệm thì thường là thông tin về nghiệm bị thiếu và bằng những thông tin bổ sung ta sẽ thu được nghiệm duy nhất. Yêu cầu quan trọng nhất là sự ổn định nghiệm, bởi vì nếu thiếu điều này thì dù một sai số nhỏ của dữ liệu cũng có thể dẫn đến một sai số lớn của nghiệm. Điều này làm cho chúng ta không thể nào tính được nghiệm (dù là xấp xỉ), bởi mọi dữ liệu có được do đo đạc đều phải đi kèm với sai số. 15 Hầu hết các bài toán ngược trong thực tế đều không chỉnh do không thỏa tính chất ổn định của nghiệm và dẫn tới nghiệm tính được (trên dữ liệu bị nhiễu) thường "khác xa" với nghiệm chính xác. Để khắc phục điều này, người ta xét bài toán khác, "tương tự" bài toán gốc, sao cho đó là bài toán chỉnh, đồng thời nghiệm của bài toán chỉnh xấp xỉ với nghiệm của bài toán gốc. Việc làm đó được gọi là chỉnh hóa. Phương pháp chỉnh hóa càng tốt nếu sai số của nghiệm thu được so với nghiệm của bài toán gốc càng nhỏ. 16 Chương 2 Chỉnh hoá một bài toán không chỉnh Trong chương 2, chúng tôi trình bày lại việc tìm nghiệm của bài toán, chứng minh nghiệm đó không chỉnh theo định nghĩa Haramard [8] và chỉnh hoá bài toán bằng phương pháp tựa giá trị biên (quasi-boundary value). 2.1 Giới thiệu lại bài toán Cho a, b, c > 0 và Ω = (−a, a) × (−b, b) là một hình chữ nhật trong R2 với biên ∂Ω. Chúng ta tìm một hàm u thoả mãn: ∆u = f (u, x, y, z), (x, y, z) ∈ Ω × [0, c], u(x, y, z) = 0, (x, y, z) ∈ Ω × [0, c], g ε − u(·, ·, 0) + hε − ∂z u(·, ·, 0) ≤ ε, trong đó ∆ là toán tử Laplace dạng ba chiều, ∂z là đạo hàm riêng theo biến z , f là một hàm cho trước phụ thuộc vào biến u chưa biết sao cho f thoả mãn điều kiện Lipschitz (9), hai hàm g ε và hε là hai hàm được cho trong không gian L2 (Ω) với chuẩn · trong L2 (Ω), ε là sai số nhiễu của (g ε , hε ) so với dữ liệu Cauchy chính xác (g, h) = (u, ∂z u)|z=0 . Trong suốt khoá luận này, chúng tôi xét tích vô hướng f, g với mọi f, g ∈ L2 (Ω), Ω = [−a, a] × [−b, b] như sau b a f, g = f (x, y).g(x, y)dxdy. −b −a Tiếp sau đây chúng tôi sẽ đi tìm nghiệm chính xác của bài toán (1) - (4). (2.1) 17 2.2 Nghiệm của bài toán (1) - (4) Áp dụng phương pháp tách biến, ta có ∆u = f (u, x, y, z). Lấy tích vô hướng 2 vế với ψmn được nêu ở (5) ta thu được uxx , ψmn (·, ·) + uyy , ψmn (·, ·) + uzz , ψmn (·, ·) = f (u, ·, ·, z), ψmn (·, ·) . (2.2) Xét d2 uzz , ψmn (·, ·) = 2 u(·, ·, z), ψmn (·, ·) = umn (z), dz b uxx , ψmn (·, ·) (2.3) a = uxx (x, y, z)ψmn (x, y)dxdy −b −a b a = uxx (x, y, z) sin nπ(y + b) mπ(x + a) sin dxdy 2a 2b −b −a 2 b a mπ = − 2a u(x, y, z) sin mπ(x + a) nπ(y + b) sin dxdy 2a 2b −b −a 2 b a mπ = − 2a u(x, y, z)ψmn (x, y)dxdy −b −a 2 = − mπ 2a u(·, ·, z), ψmn (·, ·) 2 mπ = − 2a b uyy , ψmn (·, ·) (2.4) umn (z), a = uyy (x, y, z)ψmn (x, y)dxdy −b −a b a = uyy (x, y, z) sin mπ(x + a) nπ(y + b) sin dxdy 2a 2b −b −a 2 b a nπ = − 2b u(x, y, z) sin −b −a mπ(x + a) nπ(y + b) sin dxdy 2a 2b 18 b 2 a nπ = − 2b u(x, y, z)ψmn (x, y)dxdy −b −a 2 nπ 2b = − u(·, ·, z), ψmn (·, ·) 2 nπ = − 2b (2.5) umn (z), trong đó umn (z) = u(·, ·, z), ψmn (·, ·) . Từ (2.3), (2.4), và (2.5), (2.2) trở thành − mπ 2a 2 nπ 2b umn (z) − 2 ˆ umn (z) + umn (z) = fmn (u, z) hay ˆ −λ2 umn (z) + umn (z) = fmn (u, z), mn (2.6) ˆ trong đó fmn (u, z) = f (u(·, ·, z), ·, ·, z), ψmn (·, ·) . Giải phương trình vi phân (2.6), ta thu được nghiệm z eλmn z umn (z) = 2λmn ˆ fmn (u, s) eλmn z ds + 2 eλmn s 0 − z e−λmn z 2λmn gmn + ˆ ˆ e−λmn z fmn (u, s) ds + 2 e−λmn s ˆ hmn λmn gmn − ˆ ˆ hmn . λmn 0 Suy ra +∞ +∞ u(x, y, z) = (Gmn (g, h, z) + Jmn (u, z))ψmn (x, y), m=1 n=1 trong đó Gmn (g, h, z) = eλmn z 2 gmn + ˆ ˆ hmn λmn + e−λmn z 2 gmn − ˆ ˆ hmn , λmn z Jmn (u, z) 1 = 2λmn ˆ e(z−s)λmn − e(s−z)λmn fmn (u, s)ds, 0 ˆ fmn (u, z) = f (u(·, ·, z), ·, ·, z), ψmn (·, ·) , gmn ˆ ˆ hmn = g, ψmn (·, ·) , = h, ψmn (·, ·) . Bước tiếp theo, chúng tôi sẽ đề xuất nghiệm chỉnh hoá cho bài toán (1) - (4). 19 2.3 Các kết quả chính của việc chỉnh hoá bài toán (1) - (4) 2.3.1 Chỉnh hoá bài toán (1) - (4) Cho T là một hằng số với T ≥ c. Với mỗi tham số chỉnh hoá α > 0 phụ thuộc vào ε, chúng tôi xây dựng một hàm uε,α thoả mãn +∞ +∞ α α (Gα (g, h, z) + Jmn (u, z))ψmn (x, y) mn u (x, y, z) = (2.7) m=1 n=1 trong đó Gα (g, h, z) = mn e−(T −z)λmn hmn gmn + −T λmn ) λmn 2(αλmn + e z 1 α Jmn (uα , z) = 2λmn + e−zλmn 2 gmn − hmn ,(2.8) λmn e−(T −z+s)λmn − e(s−z)λmn fmn (uα , s)ds, −T λmn αλmn + e (2.9) 0 với mọi (x, y, z) ∈ Ω × [0, T ]. Ở đây, α > 0 là tham số chỉnh hoá phụ thuộc vào ε. Trước khi đi vào các kết quả chính, chúng tôi xét một số bổ đề quan trọng như sau Bổ đề 2.3.1. Cho p ≥ 0, q > 0 và q ≥ p ta có D p e−pλ ≤ B(α ln ) q −1 −qλ α αλ + e với mọi λ > 0 và α ∈ (0, D), trong đó B = max{1, q}, D = min{1, q}. Chứng minh. Xem phần phụ lục trang 47. Bổ đề 2.3.2. Cho φ, ϕ, σ, ς ∈ L2 (Ω) và ω, v ∈ C([0, T ], L2 (Ω)) tuỳ ý. Khi đó ta có các bất đẳng thức sau đây |Gα (ϕ, ς, z) − Gα (φ, σ, z)|2 ≤ C1 (α ln mn mn D −2z ) T (|ϕmn − φmn |2 +|ςmn − σmn |2 ) α (2.10) và α α |Jmn (w, z) − Jmn (v, z)|2 z ≤ z λ2 mn e−2(T −z+s)λmn + e2(s−z)λmn |fmn (ω, s) − fmn (v, s)|2 ds, −T λmn )2 (αλmn + e (2.11) 0 trong đó C1 = B 2 max 1, λ−2 min với λmin là giá trị nhỏ nhất của λmn được nêu trong (5), B, D được đề cập đến trong bổ đề (2.3.1) và K là hằng số Lipschitz trong (9). 20 Chứng minh. Ta có Gα (ϕ, ς, z) − Gα (φ, σ, z) mn mn = e−(T −z)λmn ςmn ϕmn + −T λmn ) λmn 2(αλmn + e − + e−zλmn 2 e−(T −z)λmn σmn φmn + λmn 2(αλmn + e−T λmn ) − ϕmn − e−zλmn 2 ςmn λmn φmn − σmn λmn ˆ ϕmn − φmn ˆ 2 e−(T −z)λmn + e−zλmn αλmn + e−T λmn = + e−(T −z)λmn − e−zλmn αλmn + e−T λmn ςmn − σmn ˆ ˆ . 2λmn Do đó, sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta thu được Gα (ϕ, ς, z) − Gα (φ, σ, z) mn mn 2 e−2(T −z)λmn + e−2zλmn αλmn + e−T λmn ≤ 2 |ˆmn − σmn | ς ˆ ˆ |ϕmn − φmn |2 + ˆ 2 λmn . (2.12) Áp dụng bổ đề 2.3.1 với p = T − z và q = T , ta được D e−2(T −z)λmn + e−2zλmn ≤ 2B 2 α ln −T λmn α αλmn + e −2zλmn do e ≤1≤ D α ln α z −T D ≤ B α ln α − 2z T , ∀α ∈ (0, D), (2.13) z −T trong đó B và D được định nghĩa ở 2.3.1. Do đó, (2.12) trở thành Gα (ϕ, ψ, z) − Gα (φ, σ, z) mn mn 2 ≤ 2B 2 D α ln α ≤ C1 D α ln α − 2z T 2 |ˆmn − σmn | ς ˆ ˆ |ϕmn − φmn |2 + ˆ 2 λmn , hay Gα (ϕ, ψ, z) − Gα (φ, σ, z) mn mn 2 − 2z T ˆ |ϕmn − φmn |2 +|ˆmn − σmn |2 , ˆ ς ˆ (2.14) trong đó C1 = B 2 max{1, λ−2 }. min