Tài liệu Khai triển tiệm cận và áp dụng trong việc giải phương trình vi phân thường

  • Số trang: 51 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 149 |
  • Lượt tải: 0
nguyetha

Đã đăng 8489 tài liệu

Mô tả:

Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hào, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô phòng Sau đại học, cùng các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập. Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 7 năm 2013 Tác giả Nguyễn Bắc Cường Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Khai triển tiệm cận và áp dụng trong việc giải phương trình vi phân thường” được hoàn thành bởi nhận thức của bản thân tác giả. Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 7 năm 2013 Tác giả Nguyễn Bắc Cường Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1. Một số khái niệm cơ bản về phương trình vi phân thường. . . . 4 1.1.1. Định nghĩa phương trình vi phân thường . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2. Nghiệm của phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.3. Bài toán Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Khai triển tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.1. Một số khái niệm về “không” bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.2. Dãy tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.3. Khai triển tiệm cận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Chương 2. Áp dụng khai triển tiệm cận giải phương trình vi phân thường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1. Phương trình vi phân thường cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.1.1. Tiệm cận tại các điểm chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.1.2. Tiệm cận tại các điểm kì dị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2. Phương trình vi phân thường cấp hai và các lớp biên . . . . . . . 31 2.2.1. Khai triển ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.2. Khai triển trong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.3. Các điều kiện tương thích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 i 2.2.4. Khai triển tiệm cận tương thích (Matched asymptotic expansions) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3. Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ii Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Phương trình vi phân là một phương trình toán học biểu diễn mối quan hệ giữa một hàm chưa biết (một hoặc nhiều biến) với đạo hàm của nó (có bậc khác nhau). Phương trình vi phân đóng vai trò quan trọng trong kỹ thuật, vật lý, kinh tế và nhiều lĩnh vực khác. Trước hết, chúng ta xét phương trình vi phân đơn giản dưới dạng y 0 (x) = dy . dx Trong phương trình trên, nếu y(x) biểu diễn cho vận tốc của một chuyển động thì y 0 (x) là gia tốc của chuyển động của nó (là đại là đại lượng đặc trưng cho độ biến thiên vận tốc). Sự ra đời của phương trình vi phân cũng xuất phát từ việc xác định giữa một bên là đại lượng biến thiên liên tục, được biểu diễn bằng hàm y(x) và bên còn lại là độ biến thiên của đại lượng đó được biểu diễn qua các mối liên quan với các đạo hàm bậc nhất hoặc các đạo hàm cấp cao hơn. Điều này được thể hiện rõ từ việc nghiên cứu trong cơ học cổ điển qua Định luật Newton về xác định vị trí của một chuyển động dựa vào vận tốc, gia tốc và một số tác động được biểu diễn dưới dạng đạo hàm theo biến thời gian. Đối với các phương trình đại số nghiệm cần tìm thường nhận được là giá trị số cụ thể. Tuy nhiên, đối với phương trình vi phân nghiệm cần tìm là hàm chưa biết của các biến độc lập thỏa mãn mối quan hệ đề ra. Do 1 tính quan trọng của các vấn đề thực tiễn liên quan đến lĩnh vực này, các nhà Toán học đã xây dựng được một phần lý thuyết khá hoàn chỉnh về phương trình vi phân thường và một lĩnh vực mới còn đang được quan tâm mạnh mẽ về phường trình vi phân đạo hàm riêng. Ngoài những vấn đề mang tính căn bản trên đây, nhiều bài toán thực tiễn liên quan đến lĩnh vực này không được giải quyết đơn thuần như vậy. Theo xu hướng được đặt ra từ thực tế, người ta rất quan tâm đến việc xử lý đối với nghiệm của bài toán thuộc lĩnh vực này trong điều kiện chịu nhiều tác động ảnh hưởng khác. Xử lý các bài toán thuộc dạng này, thường người ta gọi chung một phương pháp “Xử lý nghiệm của phương trình vi phân dưới dạng tiệm cận”. Giải tích tiệm cận được hình thành từ khá sớm, nó được hình thành từ các công trình tính toán của L. Euler. Đến năm 1886, lý thuyết tiệm cận mới được xây dựng một cách hệ thống bởi T. J. Stieltjes và H. Poincaré. Một trong các hướng nghiên cứu của nó được gọi là lý thuyết chuỗi tiệm cận. Trong đó, người ta nghiên cứu các chuỗi mà nó được biểu diễn bởi các dãy hàm tiệm cận. Thường thì các hàm đó được biểu diễn dưới dạng tích phân, chuỗi lũy thừa hoặc dưới dạng như nghiệm của phương trình vi phân. Giải tích tiệm cận là một ngành quan trọng của toán học ứng dụng và có nội dung khá rộng. Trong đó phương pháp khai triển tiệm cận đã và đang được nhiều nhà Toán học nghiên cứu, đặc biệt là tính ứng dụng của nó trong việc giải quyết các bài toán. Với những lý do trên, được sự định hướng của TS. Nguyễn Văn Hào, 2 tôi chọn đề tài “Khai triển tiệm cận và áp dụng trong việc giải phương trình vi phân thường” để hoàn thành luận văn Thạc sĩ trong khóa đào tạo thuộc chuyên ngành này. 2. Mục đích nghiên cứu Xử lý nghiệm của phương trình vi phân thường dưới dạng tiệm cận. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu một số phương pháp tiệm cận đối với phương trình vi phân thường. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Phương pháp tiệm cận xử lý nghiệm của phương trình vi phân thường cấp một và cấp hai. 5. Phương pháp nghiên cứu Thu thập tài liệu, đọc và phân tích, tổng hợp để được một nghiên cứu tổng quan về phương pháp tiệm cận đối với phương trình vi phân thường. 6. Dự kiến đóng góp của đề tài Tổng quan phương pháp tiệm cận giải phương trình vi phân thường. 3 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1. Một số khái niệm cơ bản về phương trình vi phân thường 1.1.1. Định nghĩa phương trình vi phân thường Định nghĩa 1.1. Phương trình vi phân thường có dạng tổng quát   0 00 (n) F x, y, y , y , ...y = 0, (1.1) trong đó F là hàm xác định trong một miền nào đó của không gian Rn+2 gồm biến độc lập x và y, là hàm của biến độc lập, cùng các đạo hàm cấp một đến cấp n của nó. Nếu từ phương trình (1.1) ta tìm được biểu diễn của đạo hàm cấp cao nhất y (n) qua các biến còn lại thì ta nói phương trình giải ra được đối với y (n) hoặc ta còn gọi là phương trình dạng chính tắc, tức là phương trình (1.1) có dạng y (n)  0 = f x, y, y , ..., y (n−1)  . (1.2) Cấp của một phương trình vi phân thường được xác định bởi cấp cao nhất của đạo hàm xuất hiện trong phương trình. 4 Ví dụ 1.1. Phương trình vi phân cấp hai y 00 − 4y 0 + 5y = ex sin x. 1.1.2. Nghiệm của phương trình vi phân Nghiệm của phương trình (1.1) là hàm y = y(x) khả vi n lần trên khoảng (a, b) nào đó thỏa mãn phương trình đã cho, tức là  0 F x, y(x), y (x), ..., y (n−1)  (x) = 0 với mọi x thuộc (a, b). 1.1.3. Bài toán Cauchy Bài toán tìm nghiệm y = y(x) với biến độc lập x thuộc khoảng (a, b) nào đó, của phương trình (1.2) thỏa mãn điều kiện yo = y (xo ) , yo0 = y 0 (xo ) , ..., yo(n−1) = y (n−1) (xo ) (1.3) được gọi là bài toán Cauchy. Điều kiện (1.3) được gọi là điều kiện đầu của bài toán Cauchy. Định lý 1.1. (Định lý tồn tại duy nhất nghiệm) Cho phương trình vi phân cấp n dạng chính tắc y (n)  0 = f x, y, y , ..., y (n−1)  với điều kiện đầu (1.3). Giả sử trong hình hộp chữ nhật (n−1) (n−1) D : |x − x0 | ≤ a, |y − y0 | ≤ b, |y − y 0 | ≤ b, ..., y − y0 ≤b 0 0 5 (a, b là những số dương), hàm f thỏa mãn hai điều kiện   1) f x, y, y 0 , ..., y (n−1) ≤ M với mọi x, y, y 0 , ..., y (n−1) ∈ D;  2) hàm số f x, y, y 0 , ..., y (n−1) thỏa mãn điều kiện Lipschitz đối với y, y 0 , ..., y (n−1) nghĩa là, tồn tại hằng số dương L sao cho     0 (n−1) 0 (n−1) − f x, y1 , y 1 , ..., y1 f x, y2 , y 2 , ..., y2   (n−1) (n−1) 0 0 − y1 ≤ L |y2 − y1 | + |y 2 − y 1 | + ... + y2 ,   trong đó x, y1 , y10 , ..., y1 (n−1) , x, y2 , y20 , ..., y2 (n−1) ∈ D. Khi đó, tồn tại duy nhất nghiệm y = y(x) của phương trình thỏa mãn điều kiện ban đầu (1.3) cùng với đạo hàm của nó đến cấp xác định n liên tục trong đoạn |x − x0 | ≤ h, trong đó  i−1  h  h = min a, b. max M, |y 0 | , ..., y (n−1) . Ta chứng minh định lý đối với trường hợp phương trình vi phân cấp một. Trong trường hợp phương trình vi phân cấp một, phương trình (1.2) trở thành y 0 = f (x, y) (1.4) và hàm số f (x, y) thỏa mãn trong hình chữ nhật D   x0 − a ≤ x ≤ x0 + a  y −b≤y ≤y +b 0 0 thỏa mãn các điều kiện sau 1) Hàm f (x, y) liên tục (do đó |f (x, y)| ≤ M với mọi (x, y) ∈ D). 6 2) Thêm nữa, hàm f (x, y) thỏa mãn điều kiện Lipschitz đối với y, tức là tồn tại số dương N sao cho |f (x, y2 ) − f (x, y1 )| ≤ N |y2 − y1 | , với mọi (x, y1 ) ∈ D; (x, y2 ) ∈ D. Khi đó, trên đoạn x0 − h ≤ x ≤ x0 + h,   b với h = min a, , phương trình (1.4) có nghiệm duy nhất y = y(x) M thỏa mãn điều kiện đầu y0 (x) = y0 . Trước hết, ta chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình với các điều kiện đã nêu. Ta dễ dàng nhận thấy rằng nghiệm của phương trình vi phân (1.4) thỏa mãn điều kiện đầu y0 (x) = y0 tương đương với phương trình tích phân sau Zx y = y0 + f (x, y)dx, (1.5) x0 trong đó y là hàm số phải tìm. Ta sẽ giải phương trình tích phân này bằng phương pháp xấp xỉ liên tiếp theo các bước sau Bước 1. Xuất phát từ hàm y0 , ta xây dựng dãy lặp các hàm {yn } như sau Zx y 1 = y0 + f (x, y0 )dx, x0 Zx y 2 = y0 + f (x, y1 )dx, x0 ... Zx yn = y0 + f (x, yn )dx, x0 7 ... Trong việc xây dựng dãy lặp các hàm trên,  ta giới  hạn sự biến thiên của b x trong đoạn |x − x0 | ≤ h với h = min a, . Khi đó, dễ dàng thấy M rằng vì h ≤ a nên |yk − y0 | ≤ M |x − x0 | ≤ M h ≤ b; k = 1, 2, ... nghĩa là với |x − x0 | ≤ h các hàm số yk (x) không vượt ra ngoài hình chữ nhật D. Bước 2. Bây giờ ta chứng minh rằng dãy {yn } có giới hạn khi n → ∞. Muốn vậy, ta chỉ cần chứng minh rằng chuỗi hàm y0 + (y1 − y0 ) + (y2 − y1 ) + ... (1.6) hội tụ vì nếu chuỗi hàm này hội tụ thì tồn tại giới hạn lim Sn = n→∞ lim yn (x) = Y (x) (trong đó Sn là tổng riêng thứ n của chuỗi (1.6). n→∞ Ta đánh giá các số hạng của chuỗi (1.6) x Z |y1 − y0 | = f (x, y0 )dx ≤ M |x − x0 | , x0 x Z |y2 − y1 | = {f (x, y1 ) − f (x, y0 )} dx x0 x Z ≤ |f (x, y1 ) − f (x, y0 )| dx . x0 Bởi vì |f (x, y1 ) − f (x, y0 )| ≤ N |y1 − y0 | ≤ N M |x − x0 | , 8 (1.7) nên x Z MN |x − x0 |2 . |y2 − y1 | ≤ N M |x − x0 | dx = 1·2 (1.8) x0 Tương tự, ta có x Z |y3 − y2 | = {f (x, y2 ) − f (x, y1 )} dx x0 x Z ≤ N |y2 − y1 | dx x0 x Z M N 2 2 ≤ (x − x0 ) dx . 1 · 2 x0 Từ đó suy ra MN2 |y3 − y2 | ≤ |x − x0 |3 . 3! (1.9) Điều còn lại, ta phải chứng minh rằng với mọi số n nguyên dương ta đều có |yn − yn−1 | ≤ M N n−1 |x − x0 |n . n! (1.10) Muốn vậy ta áp dụng phương pháp quy nạp Toán học. Giả sử rằng đã có bất đẳng thức (1.10) đối với n, ta chứng minh rằng bất đẳng thức đó đối với n + 1. Thực vậy, ta có x Z |yn+1 − yn | = |f (x, yn ) − f (x, yn−1 )| dx x0 x Z ≤ N |yn − yn−1 | dx . x0 9 Thay biểu thức dưới dấu tích phân bởi vế phải của (1.10) ta được x n−1 Z MN n |x − x0 | dx |yn+1 − yn | ≤ n! x0 n = MN |x − x0 |n+1 . (n + 1)! Điều đó chứng tỏ rằng ta có bất đẳng thức (1.10) với mọi n ∈ N. Nếu trong bất đẳng thức (1.10) ta thay |x − x0 | bởi h ta sẽ thấy rằng mọi số hạng của chuỗi (1.6) với mọi n = 1, 2, .... đều bé hơn các số hạng tương ứng của chuỗi số dương ∞ N h2 N 2 h3 N n−1 hn M X (M h)n = Mh + M +M + ... + M + .... N n=1 n! 2! 3! n! (1.11) Điều đó, chứng tỏ rằng, chuỗi (1.11) hội tụ vì un+1 Nh = lim = 0 < 1. n→∞ un n→∞ n + 1 lim Vì vậy theo tiêu chuẩn Weierstrass chuỗi (1.6) hội tụ đều trên đoạn |x − x0 | ≤ h. Mỗi số hạng của chuỗi (1.6) đều là hàm theo cận trên, nên liên tục theo x. Từ đó suy ra rằng giới hạn Y (x) = lim yn (x), n→∞ tồn tại và là hàm liên tục đối với x. Bước 3. Ta còn phải chứng minh rằng hàm số Y (x) là nghiệm của phương Zx trình tích phân y = y0 + f (x, y) dx (tức là nghiệm của phương trình x0 vi phân đã cho với điều kiện đầu Y (x0 ) = y0 ). Trước hết, ta thấy rằng Y (x0 ) = lim yn (x0 ) = y0 . n→∞ 10 Bây giờ ta xét việc chuyển qua giới hạn của dãy hàm dưới đây khi n → ∞ Zx yn (x) = y0 + f (x, yn−1 )dx. x0 Bởi vì hàm f (x, y) liên tục đều đối với y trong D, nên với ε > 0 cho trước, tồn tại số δ > 0 sao cho ta có bất đẳng thức |f (x, y 0 ) − f (x, y 00 )| < ε, (1.12) với mọi cặp điểm (x, y 0 ), (x, y 00 ) ∈ D mà |y 0 − y 00 | < δ. Mặt khác, vì yn (x) → Y (x) cho nên tồn tại số n0 sao cho với mọi n − 1 > n0 và với mọi x ∈ [x0 − h, x0 + h] thì |yn−1 − Y (x)| < δ. (1.13) Kết hợp các hằng đẳng thức (1.12), (1.13) ta có bất đẳng thức |f (x, yn−1 (x)) − f (x, Y (x))| < ε, với mọi n − 1 > n0 . Từ đó, ta nhận được x x Z Z Zx f (x, yn−1 )dx − f (x, Y )dx ≤ f (x, yn−1 )dx − f (x, Y ) x0 x0 x0 ≤ εh. Vì ε là số dương nhỏ tùy ý, nên Zx Zx lim f (x, yn−1 )dx = f (x, Y )dx. n→∞ x0 x0 Như vậy, khi cho n → ∞ ta được Zx Y = y0 + f (x, Y )dx, x0 11 (1.14) nghĩa là hàm số Y (x) là nghiệm của phương trình tích phân (1.5). Hơn nữa, hàm số Y (x) có đạo hàm theo x vì rằng Zx f (x, Y )dx x0 là tích phân của hàm số liên tục f (x, Y ) nên nó có đạo hàm theo cận trên. Lấy vi phân (1.14) theo x ta được dY = f (x, Y ), dx nghĩa là Y (x) là nghiệm của phương trình vi phân đã cho (1.4). Như vậy, ta đã chứng minh xong phần thứ nhất của định lý. Tiếp theo, ta chứng minh tính duy nhất của nghiệm phương trình đã cho. Giả sử rằng ngoài nghiệm Y (x) của phương trình đã cho còn có nghiệm Z(x) cũng thỏa mãn điều kiện đầu Z(x0 ) = y0 . Không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết rằng Y (x) 6= Z(x) trong một khoảng nhỏ tùy ý phía bên phải x0 . Ta sẽ chứng minh rằng điều đó dẫn đến mâu 1 thuẫn. Lấy số dương ε < . Theo giả thiết phản chứng, trong đoạn N x0 ≤ x ≤ x0 + ε không phải khắp nơi ta đều có Y (x) = Z(x). Vì vậy hàm số liên tục |Y (x) − Z(x)| đạt cực đại θ > 0 tại một điểm nào đó ξ ∈ [x0 , x0 + ε] (đương nhiên ξ 6= x0 vì Y (x0 ) = Z(x0 )). Bởi vì Zξ Y (ξ) = y0 + Zξ f (x, Y )dx, Z(ξ) = y0 + x0 f (x, Z)dx x0 12 nên Zξ |Y (ξ) − Z(ξ)| = θ ≤ |f (x, Y ) − f (x, Z)| dx x0 Zξ ≤N× |Y (x) − Z(x)| dx x0 xZ0 −ε ≤N θdx = N εθ. (1.15) x0 1 trái với cách chọn ban đầu. Điều N đó, chứng tỏ rằng Y (x) ≡ Z(x) trên toàn đoạn [x0 − h, x0 + h]. Định lý Do θ 6= 0 nên từ (1.15) ta suy ra ε > đã được chứng minh xong. ∂f ∂f ∂f , 0 , ..., (n−1) liên tục trong hình hộp ∂y ∂y ∂y R thì hiển nhiên hàm f thỏa mãn điều kiện Lipschitz trong đó đối với Chú ý. Nếu các đạo hàm y, y 0 , ..., y (n−1) . 1.2. Khai triển tiệm cận 1.2.1. Một số khái niệm về “không” bậc Cho f (z) và g(z) là hai hàm số xác định trên một tập D trong mặt phẳng phức C và cho z0 là một điểm giới hạn của D (có thể là điểm vô cùng). Ta nói (i) O-bậc lớn. Hàm f (z) được gọi là có “O-bậc lớn” đối với hàm g(z) khi z → z0 (hoặc f (z) có cùng bậc g(z) khi z → z0 ) và kí hiệu là f (z) = O(g(z)); z → z0 , 13 nếu tồn tại một hằng số dương M và một lân cận U của z0 sao cho |f (z)| ≤ M |g(z)| ; với mọi z ∈ U ∩ D. Đơn giản hơn, nếu hàm g(z) không triệt tiêu trên D, thì f (z) = O(g(z)); khi z → z0 nghĩa là tồn tại hằng số dương M và một lân cận U của z0 sao cho f (z) g(z) ≤ M ; với mọi z ∈ U ∩ D. Trường hợp đặc biệt, hàm f (z) = O(1); khi z → z0 . Điều đó, nghĩa là hàm f (z) bị chặn khi z tiến tới z0 . Trong các khái niệm trên, hàm g(z) thương được gọi là hàm cỡ bởi vì hàm đó xác định dáng điệu của hàm f (z) khi z → z0 . (ii) o-bậc nhỏ. Hàm f (z) được gọi là có “o-bậc nhỏ” đối với hàm g(z) khi z → z0 (hoặc f (z) là tiệm cận nhỏ hơn đối với hàm g(z) khi z → z0 ) và kí hiệu là f (z) = o (g(z)) ; khi z → z0 nếu với mọi ε > 0 nhỏ tùy ý, tồn tại một lân cận U của z0 sao cho |f (z)| ≤ ε |g(z)| ; với mọi z ∈ U ∩ D. Cũng đơn giản hơn, nếu g(z) không triệt tiêu trong lân cận của z0 có thể trừ ra tại điểm này, thì f (z) = o (g(z)) nghĩa là f (z) = 0. lim z→z0 g(z) 14 (iii) Bậc tương đương. Ta nói f (z) có bậc tương đương với hàm g(z) khi z → z0 và kí hiệu là f (z) ∼ g(z) khi z → z0 nếu f (z) =1 lim z→z0 g(z) hay f (z) = g(z) + o (g(z)) khi z → z0 . Ví dụ 1.2. Cho hàm số f (t) = 5t2 + t + 3. Ta có các so sánh về bậc như sau f (t) = o(t3 ), f (t) = O(t2 ) và f (t) ∼ 5t2 ; khi t → ∞. f (t) ∼ 3; khi t → 0.   1 f (t) = o ; khi t → ∞. t Nhận xét (i) Các ký hiệu O, o và ∼ cũng dùng được đối với các hàm với biến rời rạc. Chẳng hạn, như với dãy số thực (nghĩa là hàm của các số nguyên dương n). Đối với dãy số xn = 5n2 − 6n + 9 ta thấy rằng xn = o(n3 ), xn = O(n2 ) và xn ∼ 5n2 ; khi n → ∞. (ii) Người ta cũng thường sử dụng kí hiệu f (z)  g(z); khi z → z0 đồng nghĩa với f (z) = o(g(z)); khi z → z0 . 1.2.2. Dãy tiệm cận Định nghĩa 1.2. Một dãy hàm {φn (z)} được gọi là một dãy tiệm cận khi z → z0 nếu có một lân cận của z0 sao cho trong lân cận này không 15 một hàm nào triệt tiêu (có thể trừ tại z0 ) và với mọi n ta có φn+1 = o(φn ); khi z → z0 . Ví dụ 1.3. Dãy {(z − z0 )n } là một dãy tiệm cận khi z → z0 , với z0 hữu hạn. Dãy {z −n } là một dãy tiệm cận khi z → ∞. 1.2.3. Khai triển tiệm cận Định nghĩa 1.3. Chuỗi hình thức ∞ X an φn (z) = a0 φ0 (z) + a1 φ1 (z) + ... + an φn (z) + ... n=0 được gọi là một khai triển tiệm cận của hàm f (z) tương ứng với dãy tiệm cận {φm (z)} nếu với mọi m = 0, 1, 2, . . . f (z) − m X an φn (z) = o(φm (z)); khi z → z0 . n=0 Từ biểu thức trên ta nhận được f (z) − m−1 X an φn (z) = am φm (z) + o(φm (z)). n=0 Tổng riêng m−1 P an φn (z) là một xấp xỉ của hàm f (z) với sai số O (φm ) khi n=0 z → z0 , bậc của sai số này có cùng độ lớn với số hạng đầu tiên của phần dư. Nếu khai triển tiệm cận tồn tại thì nó là duy nhất và các hệ số của nó được cho bởi ( am = lim z→z0 f (z) − m−1 X n=0 16 ! an φn (z) . 1 φm (z) ) .
- Xem thêm -