Tài liệu Khai triển tiệm cận của hàm sinh bởi phân hoạch số nguyên và ứng dụng

Luận văn Đề tài: Khai triển tiệm cận của hàm sinh bởi phân hoạch số nguyên và ứng dụng Lời cảm ơn Nhân dịp luận văn được hoàn thành tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hào đã tận tình hướng dẫn tác giả trong quá trình thực hiện luận văn. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành Ban giám hiệu trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên và tạo mọi điều kiện để tác giả có thể hoàn thành bản luận văn này. Hà Nội, tháng 07 năm 2012 Tác giả Kiều Thanh Hà Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào, luận văn “Khai triển tiệm cận của hàm sinh bởi phân hoạch số nguyên và ứng dụng” được hoàn thành, không trùng với bất kỳ luận văn nào khác. Trong quá trình làm luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 07 năm 2012 Tác giả Kiều Thanh Hà Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . . . . . . . . . . 6 1.1. Số phức và mặt phẳng phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1. Khái niệm và một số tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2. Sự hội tụ của dãy số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.3. Các tập hợp trong mặt phẳng phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2. Hàm biến phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Hàm liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 9 1.2.2. Hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.3. Chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.4. Tích phân phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3. Khai triển tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3.1. Một số khái niệm bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3.2. Dãy tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.3.3. Định nghĩa của Poincarés về khai triển tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.3.4. Chuỗi lũy thừa tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.3.5. Tính chất của khai triển tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Chương 2. HÀM SINH BỞI CHUỖI VÔ HẠN . . . . . . . . . 39 2.1. Lý thuyết cơ bản về phân hoạch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.1.1. Một số khái niệm và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.1.2. Các hàm sinh bởi tích vô hạn một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.1.3. Biểu diễn đồ thị của các phân hoạch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.2. Các hàm sinh bởi chuỗi vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 49 2.3. Ứng dụng của phân hoạch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Chương 3. TIỆM CẬN CỦA HÀM SINH BỞI TÍCH VÔ HẠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.1. Biến đổi Mellin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.1.2. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.2. Định lý của Meinardus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.3. Các ứng dụng của định lý 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 2 Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Lý thuyết phân hoạch có lịch sử khá lâu trong những thời kỳ hình thành của lý thuyết số Toán học. Tuy nhiên, những phát hiện mang tính chất đột phá diễn ra ở thế kỷ XVIII, xuất phát từ những công trình nghiên cứu của nhà toán học vĩ đại Leonard Euler. Ngay sau thời kỳ đó lý thuyết phân hoạch đã được nhiều nhà toán khác góp sức nghiên cứu và phát triển. Chúng ta có thể kể ra ở đây để minh chứng cho vấn đề đã nêu qua các công trình nghiên cứu của các nhà toán học nổi tiếng Cayle, Gauss, Jacobi, Lagrange, Legendre, Littllewood, Rademacher, Ramanujan, Schur và Sylvester .... Lý thuyết phân hoạch có nhiều áp dụng trong những vấn đề lớn của toán học, đáng kể ở đây ta có thể nói đến bài toán kinh điển về phân tích số nguyên dưới dạng tổng các bình phương, định lý số nguyên tố, tổng các số nguyên khác, ... Cùng với sự phát triển trên đây của lĩnh vực lý thuyết số, một hướng nghiên cứu cũng được hình thành từ khá sớm là lý thuyết giải tích tiệm cận. Trong giải tích toán học nhiều chuỗi số ta có thể chứng minh hội tụ của nó một cách đơn giản, tuy nhiên để tính tổng của nó thì không hề đơn giản. Giải tích tiệm cận và một phần trong lĩnh vực là lý thuyết chuỗi tiệm cận. Ở đây, ngoài việc quan tâm đến việc tính tổng của các chuỗi số hội tụ, trong lý thuyết số các nhà toán học còn nghiên cứu đến chuỗi phân kỳ có thể được sử dụng cho sự tính toán giá trị của một đại 3 lượng mà theo nghĩa nào đó có thể được xem như là "tổng" của chuỗi. Trường hợp điển hình là đối với chuỗi hàm, bằng sự xấp xỉ bởi một số hạng đầu tiên của chuỗi thực sự mang đến hiệu quả mong muốn. Trong hầu hết các trường hợp các số hạng đầu tiên của chuỗi giảm nhanh (khi biến độc lập tiến nhanh tới giá trị giới hạn của nó), nhưng những số hạng bắt đầu tăng trở lại. Một trong các hướng nghiên cứu vấn đề này được gọi là lý thuyêt chuỗi tiệm cận. Việc nghiên cứu sự xấp xỉ tiệm cận của các hàm sinh bởi phân hoạch của số nguyên là một hướng thu hút sự chú ý của các nhà Toán học. Để hoàn thành luận văn đào tạo Thạc sỹ chuyên ngành Toán giải tích và được sự định hướng của người hướng dẫn em chọn đề tài "Khai triển tiệm cận của hàm sinh bởi phân hoạch số nguyên và ứng dụng". 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu về lý thuyết phân hoạch, lý thuyết tiệm cận. Vấn đề khai triển tiệm cận của hàm sinh bởi phân hoạch số nguyên. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu một cách cụ thể về một số khái niệm, tính chất của phân hoạch. Khai triển tiệm cận của hàm sinh bởi phân hoạch số nguyên và một số ứng dụng của nó. 4 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Phân hoạch số nguyên. Vấn đề khai triển tiện cận của hàm sinh bởi phân hoạch số nguyên. 5. Phương pháp nghiên cứu Đọc sách, nghiên cứu tài liệu, tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu. 6. Dự kiến đóng góp của luận văn Trình bày về lý thuyết phân hoạch số nguyên, lý thuyết tiệm cận. Nghiên cứu một cách có hệ thống về khai triẻn tiệm cận của hàm sinh bởi phân hoạch số nguyên và một số áp dụng. 5 Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Số phức và mặt phẳng phức 1.1.1. Khái niệm và một số tính chất cơ bản Số phức là số có dạng z = x + iy; x, y ∈ R và i là đơn vị ảo mà i2 = −1. Ta gọi x là phần thực và y là phần ảo, kí hiệu x = Rez, y = Imz. Tập hợp các số phức được kí hiệu bởi C. Tập hợp các số phức được đồng nhất với mặt phẳng R2 bởi phép tương ứng C → R2 z = x + iy 7→ (x, y). Một cách tự nhiên, người ta gọi Ox là trục thực, Oy là trục ảo. Phép cộng và nhân các số phức được thực hiện một cách thông thường như các phép toán trên tập hợp số thực với lưu ý rằng i2 = −1. Ta có z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ) và z1 .z2 = (x1 + iy1 )(x2 + iy2 ) = x1 x2 + ix1 y2 + iy1 x2 + i2 y1 y2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + y1 x2 ). 6 Với mỗi số phức z = x + iy, ta xác định modul của số phức z là p |z| = x2 + y 2 . Số phức liên hợp của số phức z = x + iy được kí hiệu là z̄ = x − iy. Không khó khăn, ta có thể kiểm tra được Rez = z + z̄ z − z̄ ; Imz = 2 2i và |z|2 = z.z̄; z̄ 1 = 2 với z 6= 0. z |z| Số phức khác 0 được biểu diễn dưới dạng cực z = r.eiθ với r > 0, θ ∈ R được gọi là argument của số phức z (argument của số phức z được xác định một cách duy nhất với sự sai khác một bội số của 2π) và eiθ = cos θ + i sin θ.   Bởi vì eiθ  = 1, nên r = |z| và θ là góc hợp bởi chiều dương của trục Ox và nửa đường thẳng xuất phát từ gốc tọa độ đi qua điểm z. Cuối cùng, ta lưu ý rằng z = r.eiθ và w = s.eiϕ thì z.w = r.s.ei(θ+ϕ) . 1.1.2. Sự hội tụ của dãy số phức Dãy số phức {zn } được gọi là hội tụ đến số phức w ∈ C và viết là w = lim zn ⇔ lim |zn − w| = 0. n→∞ n→∞ Dễ dàng kiểm tra rằng w = lim zn ⇔ n→∞    lim Rezn = Rew, n→∞   lim Imzn = Imw. n→∞ 7 Dãy số phức {zn } được gọi là dãy Cauchy nếu lim |zn − zm | = 0. Điều m,n→∞ này tương đương theo ngôn ngữ sau: với mọi ε < 0 tồn tại số nguyên dương N sao cho |zn − zm | < ε; với mọi n, m ≥ N. 1.1.3. Các tập hợp trong mặt phẳng phức Cho z0 ∈ C và r > 0, ta gọi đĩa mở tâm z0 bán kính r là tập hợp Dr (z0 ) = {z ∈ C : |z − z0 | < r} . Đĩa đóng tâm z0 bán kính r là tập hợp Dr (z0 ) = {z ∈ C : |z − z0 | ≤ r} . Biên của đĩa đóng hoặc mở là đường tròn Cr (z0 ) = {z ∈ C : |z − z0 | = r}. Đĩa có tâm z0 = 0 và bán kính 1 gọi là đĩa đơn vị, kí hiệu là D = {z ∈ C : |z| ≤ 1} . Cho tập Ω ⊂ C, điểm z0 ∈ Ω được gọi là điểm trong của Ω nếu tồn tại r > 0 sao cho Dr (z0 ) ⊂ Ω. Phần trong của Ω kí hiệu là int Ω gồm tất cả các điểm trong của Ω. Tập Ω là tập mở nếu mọi điểm của nó đều là điểm trong. Tập Ω được gọi là tập đóng nếu phần bù của nó C\Ω là mở. Điểm z ∈ C được gọi là điểm giới hạn của tập Ω nếu tồn tại một dãy các điểm zn ∈ C sao cho zn 6= z và lim zn = z. Chúng ta có thể kiểm n→∞ tra được rằng một tập Ω là đóng nếu nó chứa mọi điểm giới hạn của nó. Bao đóng của tập Ω là hợp của Ω và các điểm giới hạn của nó, ký hiệu là Ω̄. Biên của Ω kí hiệu là ∂Ω = Ω̄\ int Ω. 8 Tập Ω là bị chặn nếu ∃M > 0 sao cho |z| < M với mọi z ∈ Ω. Nếu tập Ω là bị chặn, thì ta xác định đường kính của nó bởi số diam(Ω) = sup {|x − y| : x, y ∈ Ω} . Tập Ω được gọi là compact nếu nó đóng và bị chặn. Định lý 1.1. Tập Ω ⊂ C là compact nếu và chỉ nếu mọi dãy {zn } ∈ Ω có một dãy con {znk } hội tụ tới một điểm z nào đó trong Ω. Một phủ mở của Ω là một họ các tập mở {Uα } sao cho Ω ⊂ S Uα . Liên α quan đến họ các phủ mở đối với các tập compact được cho bởi tiêu chuẩn. Định lý 1.2. Tập Ω là compact nếu và chỉ nếu mọi phủ mở của Ω có một con hữu hạn. Mệnh đề 1.1. (Nguyên lý Cantor) Nếu Ω1 ⊃ Ω2 ⊃ ... ⊃ Ωn ⊃ ... là một dãy các tập compact khác rỗng trong C mà diam(Ωn ) → 0 khi n → ∞, thì tồn tại duy nhất điểm chung của các tập hợp này, nghĩa là tồn tại duy nhất điểm w ∈ Ωn với mọi n. 1.2. Hàm biến phức 1.2.1. Hàm liên tục Cho hàm f (z) xác định trên tập Ω ⊂ C. Ta nói rằng f (z) liên tục tại điểm z0 ∈ Ω nếu thỏa mãn một trong hai điều kiện tương đương sau (i) Với mọi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho với mỗi z ∈ Ω và |z − z0 | < δ thì |f (z) − f (z0 )| < ε. 9 (ii) Với mọi dãy {zn } ⊂ Ω mà lim zn = z0 thì lim f (zn ) = f (z0 ). n→∞ n→∞ Hàm f (z) được gọi là liên tục trên Ω nếu nó liên tục tại mọi điểm của Ω. Tổng và tích của các hàm liên tục cũng là hàm liên tục. Điều đó được suy ra từ bất đẳng thức tam giác ||f (z)| − |f (z0 )|| ≤ |f (z) − f (z0 )| . Chúng ta nói rằng hàm f (z) đạt giá trị cực đại (tương ứng, cực tiểu) tại điểm z0 ∈ Ω nếu |f (z)| ≤ |f (z0 )| (tương ứng |f (z)| ≥ |f (z0 )|); với mọi z ∈ Ω. Định lý 1.3. Hàm liên tục trên tập compact Ω là bị chặn và đạt giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất trên Ω. 1.2.2. Hàm chỉnh hình Cho hàm phức f (z) xác định trên tập mở Ω. Hàm f (z) được gọi là chỉnh hình tại điểm z0 ∈ Ω nếu tồn tại giới hạn của biểu thức thương vi phân f (z0 + h) − f (z0 ) ; khi h → 0, h (1.1) ở đó 0 6= h ∈ C với z0 + h ∈ Ω. Giới hạn trên được ký hiệu bởi f 0 (z0 ) và gọi là đạo hàm của hàm f (z) tại điểm z0 . Như vậy, ta có f (z0 + h) − f (z0 ) . h→0 h f 0 (z0 ) = lim Hàm f gọi là chỉnh hình trên Ω nếu nó chỉnh hình tại mọi điểm của Ω. Nếu M là tập đóng của C, ta nói f (z) là chỉnh hình trên M nếu f (z) là chỉnh hình trên một tập mở nào đó chứa M . Hàm f chỉnh hình trên C được gọi là hàm nguyên. 10 Ví dụ 1.1. Hàm f (z) = z là chỉnh hình trên một tập con mở bất kỳ trong C và f 0 (z) = 1. Thật vậy, ta có f (z0 + h) − f (z0 ) (z + h) − z = lim = 1. h→0 h→0 h h f 0 (z0 ) = lim Từ đó, ta suy ra đa thức P (z) = a0 + a1 z + · · · + an z n chỉnh hình trên mặt phẳng C và P 0 (z) = a1 + 2a2 z + · · · + nan z n−1 . Điều đó được suy ra từ mệnh đề 1.2 được trình bày sau phần này. Ví dụ 1.2. Hàm f (z) = z̄ là không chỉnh hình. Thật vậy, ta tính thương vi phân của hàm này như sau z̄ + h̄ − z̄ h̄ f (z0 + h) − f (z0 ) z + h − z̄ = = = . h h h h Bằng việc chuyển qua giới hạn trên trục thực và trên trục ảo ta thấy ngay rằng thương vi phân không tồn tại khi h → 0. Từ đằng thức (1.1) ta thấy hàm f (z) là chỉnh hình tại z0 ∈ Ω nếu và chỉ nếu tồn tại hằng số a sao cho f (z0 + h) − f (z0 ) − a.h = h.ψ(h) (1.2) với ψ(h) là một hàm xác định khi h đủ nhỏ và lim ψ(h) = 0. Dĩ nhiên, h→0 0 ta có a = f (z0 ). Từ công thức (1.2) ta cũng thấy hàm f chỉnh hình thì f là liên tục. Các kết quả về phép toán đối với đạo hàm của hàm biến phức cũng tương tự như hàm biến thực. Ta có mệnh đề sau 11 Mệnh đề 1.2. Nếu các hàm f và g chỉnh hình trên Ω, thì các hàm (i) f ± g chỉnh hình trên Ω và (f ± g)0 = f 0 ± g 0 ; (ii) f.g chỉnh hình trên Ω và (f.g)0 = f 0 .g + f.g 0 ; f (iii) thêm nữa, nếu g(z0 ) 6= 0, thì chỉnh hình tại z0 ∈ Ω và g  0 f f 0 .g − f.g 0 . = g g2 Ngoài ra, nếu f : Ω → U và g : U → C là các hàm chỉnh hình thì hàm hợp g ◦ f cũng là hàm chỉnh hình. Bây giờ chúng ta làm sáng tỏ mối quan hệ giữa đạo hàm thực và phức. Thực vậy, dưới dạng biến thực hàm f (z) = z̄ tương ứng ánh xạ F : (x, y) → (x, −y) khả vi theo nghĩa thực. Đạo hàm của nó tại một điểm là ánh xạ tuyến tính được cho bởi định thức Jacobian của nó, ma trận 2 × 2 các đạo hàm riêng của các hàm tọa độ. Nhớ lại rằng hàm F (x, y) = (u(x, y), v(x, y)) được gọi là khả vi tại một điểm P (x0 , y0 ) nếu tồn tại phép biến đổi tuyến tính J : R2 → R2 sao cho |F (P0 + H) − F (P0 ) − J(H)| → 0 khi |H| → 0, H ∈ R2 . |H| (1.3) Một cách tương đương, ta có thể viết F (P0 + H) − F (P0 ) = J(H) + |H| .ψ(H), với |ψ(H)| → 0 khi |H| → 0. Phép biến đổi tuyến tính J là duy nhất và gọi là đạo hàm của F tại 12 P0 . Nếu F khả vi thì các đạo hàm riêng của u và v tồn tại và   ∂u J = JF (x, y) =  ∂x ∂v ∂x ∂u ∂y  ∂v ∂y . Trong trường hợp khả vi phức đạo hàm f tại z0 là số phức f 0 (z0 ). Trong khi đó trường hợp khả vi thực thì nó là một ma trận. Tuy nhiên, chúng có mối quan hệ đặc biệt. Để tìm được quan hệ đó, ta xét giới hạn trong (1.1). + Nếu h = h1 + ih2 mà h2 = 0, (hi ∈ R) thì ta viết z = x + iy, z0 = x0 + iy0 và f (z) = f (x, y). Ta thấy rằng f (x0 + h1 , y0 ) − f (x0 , y0 ) ∂f = (z0 ). h1 →0 h1 ∂x f 0 (z0 ) = lim + Nếu h = ih2 , thì f (x0 , y0 + h2 ) − f (x0 , y0 ) 1 ∂f = (z0 ). h2 →0 ih2 i ∂y f 0 (z0 ) = lim Do đó, để hàm f chỉnh hình tại z0 thì ta phải có ∂f 1 ∂f = . ∂x i ∂y Viết f = u + iv, tách phần thực và phần ảo, đồng thời sử dụng đẳng 1 thức = −i ta nhận được i   1 ∂f ∂u ∂v 1 ∂u ∂v ∂f = ⇔ +i = +i ∂x i ∂y ∂x ∂x i ∂y ∂y ∂u ∂v ∂v ∂u ⇔ +i = −i . ∂x ∂x ∂y ∂y Từ đó, ta suy ra ∂u ∂v ∂v ∂u = và =− . ∂x ∂y ∂x ∂y 13 Chúng ta có thể làm rõ hơn mối quan hệ này, bằng việc xác định hai toán tử vi phân 1 ∂ = ∂z 2  1 ∂ ∂ + ∂x i ∂y  ∂ 1 và = ∂ z̄ 2  1 ∂ ∂ − ∂x i ∂y  . Mệnh đề 1.3. Nếu f chỉnh hình tại z0 , thì ∂f ∂f ∂u (z0 ) = 0 và f 0 (z0 ) = (z0 ) = 2 (z0 ). ∂ z̄ ∂z ∂z Nếu viết F (x, y) = f (z), thì F khả vi theo nghĩa thực và 2 det JF (x0 , y0 ) = |f 0 (z0 )| . Định lý 1.4. Giả sử f = u + iv là hàm phức xác đinh trên tập mở Ω. Nếu u và v là các hàm khả vi liên tục và thỏa mãn phương trình Cauchy - Riemann trên Ω, thì f chỉnh hình trên Ω và f 0 (z) = ∂f . ∂z Chứng minh. Ta viết u(x + h1 , y + h2 ) − u(x, y) = ∂u ∂u h1 + h2 + |h| θ1 (h) ∂x ∂y v(x + h1 , y + h2 ) − v(x, y) = ∂v ∂v h1 + h2 + |h| θ2 (h), ∂x ∂y và trong đó θj (h) → 0 khi |h| → 0 và h = h1 + ih2 . Sử dụng phương trình Cauchy - Riemann, ta nhận được   ∂v ∂u f (z + h) − f (z) = −i (h1 + ih2 ) + |h| θ(h), ∂x ∂y với θ(h) = θ1 (h) + θ2 (h) → 0 khi |h| → 0. Do đó f là chỉnh hình và f 0 (z) = 2 ∂u ∂f = . ∂z ∂z 14 1.2.3. Chuỗi lũy thừa Chuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng ∞ X an z n , (1.4) n=0 trong đó an ∈ C, n = 0, 1, 2, .... Chúng ta có nhận xét rằng nếu chuỗi (1.4) hội tụ tại điểm z0 nào đó, thì nó cũng hội tụ với mọi z trong đĩa |z| ≤ |z0 |. Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng luôn tồn tại một đĩa mở mà trên đó chuỗi (1.4) hội tụ tuyệt đối. Định lý 1.5. (Hadamard) Cho chuỗi lũy thừa ∞ P an z n . Khi đó, tồn tại n=0 số 0 ≤ R ≤ +∞ sao cho (i) Nếu |z| < R thì chuỗi hội tụ tuyệt đối. (ii) Nếu |z| > R thì chuỗi phân kỳ. Hơn nữa, nếu ta sử dụng quy ước 1/0 = ∞ và 1/∞ = 0, thì số R được tính bởi công thức 1 1 = lim sup |an | n . R n→∞ Số R được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi và miền |z| < R được gọi là đĩa hội tụ. Chú ý. Trên biên của đĩa hội tụ |z| = R, thì có thể chuỗi hội tụ cũng có thể phân kỳ. Các ví dụ thêm nữa về chuỗi lũy thừa hội tụ trong toàn mặt phẳng phức là các hàm lượng giác ∞ X ∞ X z 2n z 2n+1 cos z = (−1) và sinz = (−1)n . (2n)! (2n + 1)! n=0 n=0 n 15 Bằng tính toán đơn giản, ta nhận được các công thức Euler dưới dạng mũ phức eiz − e−iz eiz + e−iz và sinz = . cosz = 2 2 ∞ P Định lý 1.6. Chuỗi lũy thừa f (z) = an z n xác định một hàm chỉnh n=0 hình trong đĩa hội tụ của nó. Đạo hàm của f (z) cũng là một chuỗi lũy thừa thu được bằng cách đạo hàm từng số hạng của chuỗi với hàm f (z), tức là 0 f (z) = ∞ X nan z n−1 . n=0 Hơn nữa, f 0 (z) có cùng bán kính hội tụ với f (z). 1 Chứng minh. Bởi vì lim n n = 1, nên ta có n→∞ 1 1 lim sup |an | n = lim sup |nan | n . n→∞ Do đó, chuỗi ∞ P n→∞ an z n và n=0 ∞ P nan z n−1 có cùng bán kính hội tụ. Để chứng n=0 minh khẳng định thứ nhất, chúng ta phải chứng minh chuỗi g(z) = ∞ X nan z n−1 n=1 bằng đạo hàm của f (z). Ký hiệu R là bán kính hội tụ của f (z) và giả sử |z0 | < r < R. Ta viết f (z) = Sn (z) + EN (z) với SN (z) = N X n an z và EN (z) = n=0 ∞ X n=N +1 16 an z n . Khi đó, nếu chọn h sao cho |z0 + h| < r, thì ta có   f (z0 + h) − f (z0 ) SN (z0 + h) − SN (z0 ) − g(z0 ) = − S 0 N (z0 ) h h + (S 0 N (z0 ) − g(z0 ))   EN (z0 + h) − EN (z0 ) + . h Ta thấy     ∞ X  (z0 + h)n − z0 n   EN (z0 + h) − EN (z0 )  ≤   |an |     h h ≤ n=N +1 ∞ X |an |nrn−1 . n=N +1 Ở đó ta đã sử dụng |z0 | < r và |z0 + h| < r. Biểu thức ở vế phải là phần dư của một chuỗi hội tụ, từ g(z) là hội tụ tuyệt đối với mọi |z| < R. Do đó, với mọi ε > 0 tồn tại N1 sao cho với mọi N    EN (z0 + h) − EN (z0 )   <   h ≥ N1 ta có ε . 3 Từ lim S 0 N (z0 ) = g(z0 ) nên ta tìm được N2 mà với mọi N ≥ N2 ta có N →∞ ε |S 0 N (z0 ) − g(z0 )| < . 3 Cố định N > max {N1 , N2 } thì ta có thể tìm được δ > 0 sao cho |h| < δ thì    SN (z0 + h) − SN (z0 )  ε 0  < . − S (z ) N 0   3 h Do đó    f (z0 + h) − f (z0 )   <ε − g(z ) 0   h khi |h| < δ. 17