Tài liệu Khai thác một số dạng toán ôn thi học sinh giỏi toán 9 từ một tính chất quen thuộc

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ PHÒNG GD&ĐT THỌ XUÂN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KHAI THÁC MỘT SỐ DẠNG TOÁN ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 TỪ MỘT TINH CHÂT UUN THUỘC Người thực hiện: Lê Văn Tu Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Lê Thánh Tông SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán THANH HOÁ NĂM 2019 0 1 MỞ ĐẦU 1.1. Lý do chọn đề tài Trong giảng dạy môn Toán, ngoài việc giúp HS nắm chắc kiến thức cơ bản, thì việc phát huy tính tích cực của HS thông qua việc khai thác thêm các bài toán mới từ những bài toán điển hình cơ bản, đồng thời biết ứng dụng các bài toán đơn giản vào việc giải các bài toán phức tạp là điều rất cần thiết cho công tác bồi dưỡng học sinh giỏi. Chúng ta đều biết một bài toán dù có khó, phức tạp đến đâu thì lời giải của nó cũng có thể đưa được về một chuỗi hữu hạn các bước suy luận đơn giản, việc giải bài toán phức tạp đều có thể đưa về việc áp dụng, tiền đề là các bài toán cơ bản. Nên việc thường xuyên ứng dụng, khai thác các bài toán đơn giản để giải các bài toán khó là một cách nâng cao dần khả năng suy luận, tư duy sâu cho HS. Qua một số năm giảng dạy, tôi đã học hỏi ở các đồng nghiệp và với kinh nghiệm của bản thân tôi luôn giúp học sinh khai thác, ứng dụng nhiều bài toán, trên cơ sở đó tôi viết sáng kiến kinh nghiệm: “Khai thác một số dạng toán ôn thi học sinh giỏi Toán 9 từ một tính chất quen thuộc”. Trong khuôn khổ sáng kiến kinh nghiệm này, tôi đưa ra một số bài tập đặc trưng cho từng dạng, giúp học sinh nắm bắt được dạng bài tập này, có kỹ năng giải bài tập dễ dàng hơn. 1.2. Mục đích nghiên cứu Với sáng kiến kinh nghiệm "Khai thác một số dạng toán ôn thi học sinh giỏi Toán 9 từ một tính chất quen thuộc", tôi mong muốn giúp các em trong đội tuyển học sinh giỏi Toán lớp 9 trước hết nắm vững cách chứng minh tính chất quen thuộc là: “Với số tự nhiên x, nếu x là số hữu tỉ thì x cũng là số tự nhiên” (*) . Sau đó các em biết vận dụng tính chất vào khai thác một số dạng toán ôn thi học sinh giỏi. Từ đó các em giải quyết được một số bài toán trong bài thi trong các đề thi học sinh giỏi. Cũng qua sáng kiến kinh nghiệm này, tôi muốn các em thấy được đằng sau những tính chất cơ bản quen thuộc tưởng chừng như đơn giản và khô khan ấy là những điều mới mẻ, những khám phá bổ ích và lý thú. Từ đó khơi dậy niềm say mê học tập, khơi dậy óc sáng tạo của mỗi học sinh. 1.3. Đối tượng nghiên cứu Trong các đề thi học sinh giỏi Toán lớp 7, 8 và lớp 9, thi vào các trường chuyên trong toàn quốc ta thường xuyên bắt gặp các bài thi khai thác từ đẳng thức (*) . Tuy nhiên, trong khuôn khổ của sáng kiến kinh nghiệm này, tôi đưa ra một số dạng toán khai thác từ tính chất (*), hệ thống các dạng bài tập cũng như định hướng giải cho mỗi dạng bài. Với mỗi dạng bài tập tôi trình bày theo mức độ từ dễ đến khó. Từ đó giúp học sinh đội tuyển học sinh giỏi Toán 9 có thể sử dụng tài liệu này một cách hiệu quả. 1.4. Phương pháp nghiên cứu Xây dựng đề tài này tôi đã sử dụng các phương pháp: - Phương pháp phân tích và tổng hợp lí thuyết. - Phương pháp thực nghiê ̣m khoa học. 1 - Phương pháp điều tra. - Phương pháp quan sát. - Phương pháp phân tích và tổng kết kinh nghiê ̣m. 2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm Gọi A, B là các biểu thức chứa biến x, khi đó :  B 0 2.1.1. A B   2 .  A B  A 0 2.1.2. A  B 0   .  B 0 C 2.1.3. AB C  A  nếu B 0 . B 2.1.4. Nếu a, b, c là các số nguyên khác 0 và ab c thì a  U (c ); b  U (c ) 2.1.5. AB 0  A 0 hoă ̣c B 0 . 2.1.6. Nếu UCLN (m, n) 1 và mn hoă ̣c m 2 n 2 thì n 1 . 2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Như chúng ta đã biết, trong công tác dạy học ngoài việc quan tâm đến chất lượng đại trà, thì cần phải chú trọng đến chất lượng học sinh mũi nhọn, trong đó công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 là rất quan trọng. Muốn nâng cao chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi thì giáo viên ngoài việc phải phân loại được các chuyên đề và dạng toán cho từng chuyên đề đó thì khai thác các bài toán cơ bản để giải các bài toán khó là một việc làm rất cần thiết để giúp các em nâng cao dần khả năng suy luận, tư duy sâu. Tuy nhiên, thời gian đầu khi mới ôn thi học sinh giỏi Toán 7, 8, 9,các bài tập tôi cung cấp cho học sinh chưa có hệ thống, chưa có sự khai thác, liên hệ. Vì vậy khi học sinh làm bài tập, hoặc bài thi mà có sự liên quan thì các em thường tỏ ra lúng túng, nhiều em không định hướng được cách giải. Chính vì vậy,các em chưa thực sự say mê học tập vì chưa thấy được những điều thú vị ẩn sau các bài toán cơ bản quen thuộc. Sau một vài năm, bản thân tôi cũng có nhiều kinh nghiệm hơn trong công tác bồi dưỡng HSG, tôi nghĩ rằng mình phải làm thế nào để kiến thức mình truyền đạt đến học sinh phải được hệ thống thành các chủ đề, giúp học sinh dễ hiểu, dễ nhớ, và đặc biệt là giúp các em thấy được mối liên hệ giữa các kiến thức để kích thích sự tìm tòi, sáng tạo. Do đó tôi đã dần dần hình thành nội dung sáng kiến kinh nghiệm này và hôm nay xin được chia sẻ cùng các đồng nghiệp. Ta đã biết mô ̣t tính chất rất quen thuộc với các học sinh là: “Với số tự nhiên x, nếu x là số hữu tỉ thì x cũng là số tự nhiên” (*). Khi ôn đội tuyển HSG Toán 9 tôi có đưa ra cho HS làm bài toán sau trong 30 phút: a) Tìm các số tự nhiên x sao cho biểu thức  b) Tìm các số tự nhiên x thỏa mãn :   x1  x1 2 có giá trị là số nguyên x 2  y  2 4 2 c) Tìm tất cả các bô ̣ ba số nguyên dương (a,b,c) thỏa mãn a, b, c là đô ̣ dài ba 19 5 79   cạnh của mô ̣t tam giác và là số tự nhiên lẻ a b  c b c  a ca  b khác 1. Hãy nhận dạng tam giác này Thì tôi thấy đa số các em lúng túng, chưa đưa ra được lời giải như mong muốn. Cụ thể là: Điểm Sĩ số 9 – 10 8–9 7–8 6–7 5–6 <5 10 0 1 1 1 3 2 Từ những thực trạng trên, để việc ôn học sinh giỏi được tốt hơn, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến: “Khai thác một số dạng toán ôn thi học sinh giỏi Toán 9 từ một tính chất quen thuộc”, với hy vọng góp một phần nhỏ bé vào việc giúp công tác bồi dưỡng học sinh giỏi nói chung và bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 nói riêng đạt được kết quả cao, và đặc biệt gây sự hứng thú, tìm tòi, tư duy cho học sinh. 2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm, các giải pháp đã sử dụng Để thực hiện tốt đề tài, tôi đã đưa ra các giải pháp thực hiện sau: - Khảo sát chất lượng học sinh: Tôi đã đưa các vấn đề mình cần nghiên cứu để kiểm tra các em dưới những hình thức khác nhau để biết được các em “hổng” ở chỗ nào? - Tìm nguyên nhân vì sao các em “hổng”: Tôi đã tìm ra nguyên nhân dẫn đến một số học sinh trong đội tuyển học sinh giỏi chưa làm được là do các em chưa định ra được cách giải và phương pháp hợp lí cho từng dạng. - Tự học, nghiên cứu các tài liệu, tham khảo các đề thi học sinh giỏi Toán 8, 9 để phân loại, đưa ra các bài tập điển hình. - Có kế hoạch dạy bồi dưỡng học sinh giỏi phù hợp. Trong quá trình học trên lớp, học sinh đã được biết tính chất quen thuộc cơ bản là: “Với số tự nhiên x, nếu x là số hữu tỉ thì x cũng là số tự nhiên ” Để chứng minh tính chất này, học sinh có thể vận dụng kiến thức liên quan đến phân số tối giản, định nghĩa phép chia hết lớp 6 và định nghĩa số hữu tỉ lớp 7. Thâ ̣t vâ ̣y : vì x  Q nên x m n (m, n  N , n 0,UCLN (m, n) 1) m2 x  2  xn 2 m 2  m2 n 2  n 1 ( vì UCLN (m, n) 1 ) n  x m  N  đpcm. Với tính chất này, ta để ý tới điều kiê ̣n x là số tự nhiên, x là số hữu tỉ tức là khi x được cho dưới dạng phân số hoă ̣c từ mô ̣t điều kiên nào đó giúp ta có thể biến đổi được x dưới dạng phân số thì ta nhớ ngay rằng x cũng là số tự nhiên . Do vậy, nếu biến đổi đề bài, hoặc cho thêm giả thiết thì ta sẽ khai thác 3 được một số dạng toán mà học sinh hay gặp trong quá trình ôn thi học sinh giỏi Toán. Trong quá trình ôn thi học sinh giỏi, giáo viên phải phân kiến thức thành các chủ đề, giới thiệu đường lối chung từng loại, các công thức, các kiến thức có liên quan từng loại bài. Khi ôn học sinh giỏi về phần này, tôi phân ra các loại toán áp dụng sau: - Dạng 1: Chứng minh mô ̣t biểu thức chứa dấu căn thức luôn có giá trị là số nguyên. - Dạng 2: Tìm điều kiê ̣n của biến để biểu thức chứa biến đó có giá trị là số nguyên. - Dạng 3: Giải các phương trình nghiê ̣m nguyên có chứa dấu căn thức - Dạng 4: Chứng minh x là số vô tỉ : - Dạng 5: Giải các bài toán có chứa x , trong đó x là số hữu tỉ. Khi bắt tay vào giải bài tập, một công việc hết sức quan trọng là đọc kĩ đề và nhận biết được bài toán thuộc dạng toán nào. Từ đó, tôi đưa ra các dạng toán và hệ thống bài tập cho học sinh Dạng 1: Chứng minh mô ̣t biểu thức chứa dấu căn thức luôn co giá trị là số nguyên : - Tư điều kiêṇ vê trai củ đănng thưc x m la môṭ biể̀u thưc chử mô ̣t dấ̀u cănn thưc, t̉ nngh̃ đên cac đănng thưc ma vê trai có chử nhiều dấ̀u cănn thưc. Ví dụ 1.1: Cho các số tự nhiên x, y. Chứng minh rằng nếu x  y có giá trị là số hữu tỉ thì x , y đều là số tự nhiên. - Trường hợp 1: Hướng dẫn giải: x  y 0  x  y 0 . Suy ra - Trường hợp 2: x  y 0 . Đă ̣t k  x  y (k  Q, k  x , k  y ) , suy ra : x k  Vì  y  x k y  2 x  y 0  N . 2  x k  2k y  y  y là số hữu tỉ nên áp dụng tính chất (*) suy ra k2  y  x y Q 2k y là số tự nhiên. Tương tự, x cũng là số tự nhiên. - Tư điều kiêṇ vê trai củ đănng thưc x m la môṭ biể̀u thưc chử mô ̣t dấ̀u cănn thưc với hê ̣ số củ x bằnng 1 , t̉ nngh̃ đên cac đănng thưc ma vê trai có chử nhiều dấ̀u cănn thưc, cac hê ̣số la cac số nng̀uyêên khac 1, la cac số hữ̀u tỉ . y Ví dụ 1.2: Cho các số tự nhiên x, y. Chứng minh rằng nếu 3 x  có giá trị 2 là số hữu tỉ thì x , y đều là số tự nhiên. Hướng dẫn giải: 4 y 0  x  y 0 . Suy ra x  y 0  N . 2 y y y - Trường hợp 2: 3 x  0 . Đă ̣t k 3 x  (k  Q, k 3 x , k  ) , 2 2 2 suy ra y 2 k 2   9x  y y y 2 4 3 x k   9 x  k  Q   9 x k  k y   y   2 2 4 k   - Trường hợp 1: 3 x  Vì y là số hữu tỉ nên áp dụng tính chất (*) suy ra Tương tự, y là số tự nhiên. x cũng là số tự nhiên. Ví dụ 1.3: Tìm tất cả các că ̣p số nguyên (x, y) sao cho Hướng dẫn giải: x  y  2012 - Điều kiê ̣n : x 0, y 0 . - Ta có : x  y  2012  x  2012  y  x 2012  y  2 2012 y 2012  y  x Q 2  2012 y   2012 y  N  22.503 y  N  2 503 y  N  503 y  N Vì 503 là số nguyên tố nên để 503y  N thì 503 y k 2 (k  N )  y 503m 2 (m  N ) Lâ ̣p luâ ̣n tương tự, ta cũng có x 503n 2  n  N  . Suy ra : x  y  2012  503n 2  503m 2 2 503  m  n 2 Vì m  N , n  N và m  n 2 nên m   0;1;2 . Tư đo ta co bang cac gia tri tương ưng. m 0 1 2 n 2 1 0 x 2012 503 0 y 0 503 2012 Vâ ̣y các că ̣p số nguyên ( x, y ) cần tìm là (2012;0) , (0;2012) , (503;503) Bai tập ap dụnng: 1) Cho các số tự nhiên x, y. Chứng minh rằng : y a) Nếu 2 x  có giá trị là số hữu tỉ thì x , y đều là số tự nhiên. 3 5 y 3 có giá trị là số hữu tỉ thì x , y đều là số tự nhiên. b) Nếu x 1 4 2) Cho các số tự nhiên x, y, z. Chứng minh rằng : y a) Nếu 2 x   z có giá trị là số hữu tỉ thì x , y , z đều là số tự 3 2 x nhiên. y  z 3 có giá trị là số hữu tỉ thì x  y 3 4 2 x b) Nếu x , y , z đều là số tự nhiên. 3) Tìm tất cả các că ̣p số nguyên (x, y) sao cho x  y  2012 4) Tìm tất cả các că ̣p số nguyên (x, y) sao cho 2 x  3 y  2012 5) Tìm tất cả các că ̣p số nguyên (x, y) sao cho 2 x  3 y  25 p ( với P là số nguyên tố ) Dạng 2: Tìm điều kiêṇ của biến để biểu thức chứa biến đo co giá trị là số nguyên. Áp dụng tính chất (*) ta có thể tìm được điều kiê ̣n của biến để các biểu thức dạng đa thức, phân thức có chứa dấu căn có giá trị là số nguyên. Ví dụ 2.1: Tìm các số tự nhiên x sao cho biểu thức A =   x1 2 có giá trị x 2 nguyên. Hướng dẫn giải:  A=  x1 2 x  2 x 1 ( x 0, x 4) x 2 x 2  A x  2 A x  2 x  1   A  2  x 2 A  x  1 (1)  - Nếu A  2 thì  2 A  x  1 0  2 (1)   x  1  x 3 ( thỏa mãn)   2  x 2 2 A  x 1 x  Q . Do đó, áp dụng tính chất (*) suy ra - Nếu A  2 thì A2 x là số tự nhiên.   6 a 2  2a  1 1 a  (a  N , a 2) a 2 a 2 Đến đây là bài toán trở nên quen thuô ̣c, ta dễ ràng giải được dựa vào tính chia hết. 3 x 2 Ví dụ 2.2: Tìm các số tự nhiên x sao cho biểu thức A = có giá trị 2 x 3 nguyên. Hướng dẫn giải: 3 x 2  2 A x  3 A 3 x  2   2 A  3 x 3 A  2 (1) A= ( x 0) 2 x 3 3A  2 - Vì A  Z nên 2 A  3 0 . Suy ra : (1)  x  . Do đó, áp dụng tính 2A  3 chất (*) suy ra x là số tự nhiên. 3a  2 Z (a  N ) Đă ̣t a  x ( a  N ) . Suy ra : A = 2a  3 6 a  4 3  2a  3   5 5  2A =  3  Z (a  N ) (2) 2a  3 2a  3 2a  3 Đến đây là bài toán trở nên quen thuô ̣c, ta dễ ràng giải được dựa vào tính chia hết. Chú ý : cân thay các giá trị thỏa man (2) vào bỉui th́c A để kỉm tria lại vi phép biến đêổi nay không tương đêương 3 x 2 Ví dụ 2.3: Tìm các số tự nhiên x sao cho biểu thức A = có giá trị x 3 nguyên. Hướng dẫn giải: Ax  3 A  2 3 x 2 (1) A= ( x 0, x 3)  Ax  3 A 3 x  2  x  3 x 3 Ax  3 A  2  Q . Do đó, áp dụng tính chất (*) - Vì A  Z , x  Z nên x  3 suy ra x là số tự nhiên. 3a  2 Z ( a  N , a 3) Đă ̣t a  x (a  N , a 3) . Suy ra : A = 2 a 3 2 9a 2  4 9  a  3  23 23   3a  2  A = 2   9  Z ( a  N , a 3) (2) a 3 a2  3 a2  3 Đến đây là bài toán trở nên quen thuô ̣c, ta dễ ràng giải được dựa vào tính chia hết. Chú ý : cân thay các giá trị thỏa man (2) vào bỉui th́c A để kỉm tria lại vi phép biến đêổi nay không tương đêương. Đă ̣t a  x (a  N , a 2) . Suy ra : A = 7 Bai tập ap dụnng: Bài 1: Tìm các số tự nhiên x sao cho biểu thức A = 3 x 4 có giá trị nguyên. x 2 Bài 2: Tìm các số tự nhiên x sao cho biểu thức A = 2 x 1  3 x 2   2 x1 2 có giá trị nguyên. Bài 3: Tìm các số tự nhiên x sao cho biểu thức A =  2 có giá trị 3 2 x nguyên. Dạng 3: Giải các phương trình nghiêm ̣ nguyên co chứa dấu căn thức : - Đối với cac phươnnng trinh bâc̣ 1, 2, 3, ... đối với h̉i biên x, yê. Nhơ có tính chất (1) ma t̉ có thể th̉yê cac biên x, yê b̉i x , y . Ví dụ 3.1: Tìm nghiê ̣m nguyên của phương trình: 3 x  17 y 159 Hướng dẫn giải: - Dựa theo cách chứng minh các bài toán ở dạng 1, ta chứng minh được x , y là số tự nhiên. - Đă ̣t : a  x , b  y (a, b  N ) , ta được phương trình bâ ̣c nhất hai ẩn : 3a  17b 159 (1) - Giả sử tồn tại các số nguyên a, b thỏa mãn (1). - Vì 3a3 ;1593 nên 17b 3  b 3  b 3k (k  Z ) . Thay b = 3k vào (1) ta tìm được a 53  17k  x  53  17k  2 k Z Suy ra nghiê ̣m của phương trình là :  y 9k 2  Ví dụ 3.2: Tìm nghiê ̣m nguyên của phương trình: xy  x  y 2 (1) Hướng đẫn giải: - Điều kiê ̣n : x 0, y 0, xy 2 . Ta có : (1)  xy  2  x  y   xy  2  xy  4 xy  4 x  y  2 xy  - Từ (1) và (2) suy ra : 2    x y xy   2 xy  4  x  y  Q (2) 6 x  y  xy  2  Q - Dựa theo cách chứng minh các bài toán ở dạng 1, ta chứng minh được là số tự nhiên. - Đă ̣t : a  x , b  y (a, b  N , ab 2) , ta được phương trình : x, y 8 ab  a  b 2   a  1  b  1 3 (3) - Phương trình (3) là phương trình ước số quen thuô ̣c. Giải ra ta được : (a, b)   (4; 2),(2;4)  ( x, y)   (16; 4),(4;16) Ví dụ 3.3: Tìm nghiê ̣m nguyên của phương trình: x  y  2016  xy Hướng dẫn giải: - Vâ ̣n dụng tính chất (*) ta lần lượt chứng minh : Chứng minh:  1  [1] xy  N , x  N , y  N  x  y  2 xy 20162  2.2016 xy  xy x  y  xy  2016   xy 2016  20162  xy  x  y  xy  Q xy 2016 4034 Đă ̣t k  xy (k  Q, k 2016) , thay vào (1) ta được :  x k  2016    y  x (k  2016) 2  2(k  2016) y  y (k  2016) 2  y  x y Q 2(k  2016) Ta có : x  y  2016  xy  ( x  1)( y  1) 2017 Vì x  1  Z , y  1  Z nên x  1, y  1 là các ước của 2017. Vì 2017 là số nguyên tố nên ta có các trường hợp :  x 4  2  y 2018  x  1 2017  x 20182  2)  y  1 1   y 4 Vâ ̣y các că ̣p số nguyên (x, y) thỏa mãn là : (4; 20182 ) và (20182 ; 4)  x  1 1  1)   y  1 2017 Ví dụ 3.4: Tìm nghiê ̣m nguyên của phương trình: 4 x  8 xy  3 y  2 x  y  4 0 (1) Hướng dẫn giải: - Điều kiê ̣n : x 0, y 0 . Ta có : - Đă ̣t : k  (4 x  3 y  4) (k  Z ) , phương trình (1) trở thành : k  8 xy 2 x  y (2) - Biến đổi tương tự ví dụ 3.2 ta được x , y là số tự nhiên. - Đă ̣t : a  x , b  y (a, b  N ) , ta được phương trình : 4a 2  8ab  3b 2  2a  b  4 0  (2a  b)(2a  3b  1) 4 (3) - Từ (3) suy ra : 2a  b ; 2a  3b  1 là các ước của 4 và có tích bằng 4. 9 Vì a, b  N nên 2a  b  2a  3b  1 . Vì  2a  b    2a  3b  1 4a  4b  1 là số lẻ.  2a  b 1  2a  3b  1 4 a 0  x 0    b 1  y 1 Suy ra : (3)   Ví dụ 3.5: Tìm nghiê ̣m nguyên của phương trình: x3 4 y 3  x y  y  13 (1) Hướng dẫn giải: - Điều kiê ̣n : x 0, y 0  4 y  x  1 0 (1)  x3  4 y  x  1 y  13 2  x3  4 y  x  1 y  26  4 y  x  1 y  169 2  x3   4 y  x  1 y  169 y Q 26  4 y  x  1 - Áp dụng tính chất (*) suy ra - Đă ̣t : a  x , b  y x , y là số tự nhiên. ( a  N * , b  N * ) , phương trình (1) trở thành : a 3 4b3  a 2b  b  13 (2) - Đă ̣t : a 2b  k với k  Z rồi thay vào (2) và rút gọn, ta có: 8kb 2  (5k 2  1)b  k 3  13 0 (3) - Nếu k = 0 thì ta tìm được b = - 13 ( loại) - Nếu k 0 , ta coi (3) là phương trình bâc hai ẩn b. 2   5k 2  1  32k k 3  13 0      7 k 4  10k 2  416k  1 0 - Nếu k  1 thì 7 k 4  10k 2  416k  1  0 ( Không thỏa mãn ) - Nếu k 4 thì 7 k 4  10k 2  416k  1  7.43.k  10.4.k  416k  1 72k  1  0 ( Không thỏa mãn ) - Xét các trường hợp : k   0;1;2;3 , rồi thử trực tiếp ta được k = 1 thỏa mãn. Khi đó a 3, b 1 , suy ra : x 9, y 1 . Bai tập ap dụnng: Bài 1: Tìm nghiê ̣m nguyên của phương trình: 5 x  17 y 155 Bài 2: Tìm nghiê ̣m nguyên của phương trình: Bài 3: Tìm nghiê ̣m nguyên của phương trình: xy  x y  1 0 x  y  100  xy Bài 4: Tìm nghiê ̣m nguyên của phương trình: x  2 y x  y 2     x 1 Bài 5: Tìm nghiê ̣m nguyên của phương trình: 10 x3  x  x  1  y 3 Dạng 4: Chứng minh x là số vô ti : - Ta biết rằng, với mô ̣t số thực a bất kì thì hoă ̣c a là số hữu tỉ hoă ̣c a là số vô tỉ. Theo tính chất (*), với x là số tự nhiên mà x là số hữu tỉ thì x là số tự nhiên. Nhưng khi x là số tự nhiên thì x là số chính phương. Điều này làm ta nghỉ tới tính chất “ Nếu x là số tự nhiên nhưng không phải là số chính phương thì x là số vô tỉ ”. Như vâ ̣y : Để chứng minh x là số vô tỉ ta chỉ cần chứng minh x không phải là số chính phương. Dưới đây là mô ̣t số ví dụ. Ví dụ 4.1: Chứng minh rằng 3 là số vô tỉ: Hướng dẫn giải: a Giả sử 3 là số hữu tỉ. Khi đó, ta có thể đă ̣t : 3  , với b 2 a (a, b  N * , UCLN (a, b) 1) . Suy ra : 2 3  a 2 3b 2  a 2 b 2  b 1 b 2 ( vì UCLN (a, b) 1 )  a 3 . ( vô lí ). Vâ ̣y 3 là số vô tỉ. Ví dụ 4.2: Chứng minh rằng n 2  2 là số vô tỉ với mọi số nguyên n. Hướng dẫn giải: - Giả sử n 2  2 là số hữu tỉ. Khi đó, n 2  2 là số tự nhiên. - Đă ̣t n 2  2 k (k  Z  )  n2  2 k 2  (k  n)(k  n) 2 (1) Vì (k  n)  (k  n) 2k 2 nên k – n, k + n là hai số cùng tính chăn lẻ. Nhưng vế phải của (1) là số chăn nên k – n, k + n là hai số chăn. Điều náy vô lí. Vâ ̣y n 2  2 là số vô tỉ. Ví dụ 4.3:Chứng minh rằng n3  3n 2  2n  2 là số vô tỉ với mọi số tự nhiên n. Hướng dẫn giải: 3 2 - Ta có : n  3n  2n  2 n(n  1)(n  2)  2 - Vì tích của ba số tự nhiên n(n  1)(n  2) chia hết cho 3 nên n3  3n2  2n  2 Chia cho 3 dư 2. - Mă ̣t khác, ta dễ dàng chứng minh được số chính phương chia cho 3 chỉ có dư là 0 hoă ̣c 1. Suy ra n3  3n 2  2n  2 không là số chính phương. Vâ ̣y n3  3n 2  2n  2 là số vô tỉ. Ví dụ 4.4: Tìm các số tự nhiên n sao cho n 2  9 là số vô tỉ . Hướng dẫn giải: - Trước hết ta tìm các giá trị của n để n 2  9 là số hữu tỉ. - Giả sử - Đă ̣t n 2  9 là số hữu tỉ. Khi đó, n 2  9 k n 2  9 là số tự nhiên. (k  Z  )  n2  9 k 2  ( k  n)( k  n) 9 11 Suy ra k - n là ước nguyên của 9. Ta có bảng các giá trị tương ứng của n – k, n + k và n, k. k n -9 -3 -1 1 3 k n -1 -3 -9 9 3 n 4 0 k -5 -3 -5 5 3 ( loại) ( loại) ( loại) ( thỏa mãn) ( thỏa mãn) n 2  9  Q  n    4;0;4 - Từ bảng các giá trị tương ứng trên suy ra : Vâ ̣y để 9 1 -4 5 ( thỏa mãn) n 2  9 là số vô tỉ thì n    4;0;4 . Ví dụ 4.5: Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn : x  2 3  y  z (1) Hướng dẫn giải: Ta có : x  2 3  y  z  x  2 3  y  z  2 yz  2 yz  x  y  z   2 3 2  4 yz  x  y  z   4 3  x  y  z   12 2  4  x  y  z  3 4 yz   x  y  z   12 (2) 2 - Nếu x  y  z 0 thì 4 yz   x  y  z   12 3 Q 4 x  y  z  ( Vô lí) x  y  z 0  x y  z   2 4 yz   x  y  z   12 0  yz 3 (3) Vì y, z  Z  nên từ (3) suy ra : y   1;3 .Ta có bảng các giá trị tương tứng : y 1 3 z 3: y 3 1 x y  z 4 4 Vâ ̣y các số nguyên dương x, y, z cần tìm là ( x, y, z ) (4;1;3) ; ( x, y, z ) (4;3;1) Ví dụ 4.6: Tìm các số nguyên dương a, b, c thỏa mãn đồng thời các điều kiê ̣n: a b 5 là số hữu tỉ và a 2  b 2  c 2 là số nguyên tố b c 5 Hướng dẫn giải: Ta có :  - Nếu x  y  z 0 thì (1)    a a b 5  b c 5 a b Suy ra : b c  b 5 bc 5   ab  5bc  (ac  b ) 2 5  ab  5bc ( ac  b 2 )  5 b 2  5c 2 b 2  5c 2 b 2  5c 2 b 2  5c 2 5 là số hữu tỉ khi và chỉ khi ac  b 2 0  b 2 ac 5 2  a 2  b 2  c 2  a 2  2b 2  c 2  b 2  a 2  2ac  c 2  b 2  a  c   b 2     12  a 2  b2  c 2  a  c  b   a  c  b  Mă ̣t khác, vì a  c  b  a  c  b nên khi a 2  b 2  c 2 là số nguyên tố thì : a  c  b 1 (1)   2 2 2 a  b  c a  c  b (2) Do x, y, z là các số nguyên dương nên a 1, b 1, c 1  a 2 a, b 2 b, c 2 c (3) Từ (2) và (3) suy ra : a b c 1 ( thỏa mãn (1)) Vâ ̣y các số nguyên dương a, b, c cần tìm là a b c 1 Bai tập ap dụnng: Bài 1: Chứng minh rằng 5 là số vô tỉ: Bài 2: Chứng minh rằng 4n  2 là số vô tỉ với mọi số nguyên n. Bài 3: Chứng minh rằng n3  n  2 là số vô tỉ với mọi số tự nhiên n. Bài 4: Tìm các số tự nhiên n sao cho n 2  4 là số vô tỉ . Bài 5: Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn : x  2 5  y  z (1) Bài 6: Tìm các số nguyên dương a, b, c thỏa mãn đồng thời các điều kiê ̣n: a b 3 là số hữu tỉ và a 2  b 2  c 2 là số nguyên tố b c 3 1 Bài 7: Với những giá trị nào của a thì các số a  15 và  15 đều là các số a nguyên. Dạng 5: Giải các bài toán co chứa x , với x là số hưu ti: - Tư điều kiêṇ củ biên x la số tư nhiên t̉ nnghỉ đên điều kiê ṇ x la số hữ̀u tỉ. Theo đó t̉ cunng nnghỉ đên cac trươnng hơp vê trai la mô ṭ biể̀u thưc chử nhiều dấ̀u cănn thưc. Trước hêt t̉ có tính chất “ Nều x la số hữ̀u tỉ va x cunng a2 la số hữ̀u tỉ thi x viêt đươc dưới dạnng x  2 với ̉, b là hai số nng̀uyêên tố cùnng b nh̉̀u ” (**) Ví dụ 5.1: Cho x, y là hai số hữu tỉ. Chứng minh rằng nếu x  y là số hữu tỉ thì x , y cũng là số hữu tỉ. - Trường hợp 1: Hướng dẫn giải: x  y 0  x  y 0 . Suy ra - Trường hợp 2: x  y 0 . Đă ̣t k  x  y (k  Q, k  x , k  y ) , suy ra : k x  y  k 2  2k x  x  y  Tương tự : y x x  y 0  Q . k2  x  y Q 2k k2  y  x Q 2k 13 Ví dụ 5.2: Cho x, y, z là hai số hữu tỉ. Chứng minh rằng nếu x , y , z cũng là số hữu tỉ. Hướng dẫn giải: - Trường hợp 1: x  y  z 0  x  y  z 0  x  y  z là số hữu tỉ thì - Trường hợp 2: x  y  z 0  Q . x  y  z 0 . Đă ̣t k  x  y  z (k  Q, k  x , k  y , k  z ) , suy ra : k x  y  z  k 2  2k x  x  y  z  2 yz  x yz k2  x  y  z  2k k k2  x  y  z Q . 2k k2  x  y  z 0   k x  yz  x  y 0, z k 2 0 hoă ̣c - Trường hợp 1: m  2k 2 x  z 0, y k 0 hoă ̣c z  y 0, x k 2 0 . Ta đều có x  Q, y  Q, z  Q. Đă ̣t : m  k2  x  y  z yz yz 2m yz 0 suy ra : x m   x m 2  2  2k k k k yz   k  x  m2  2  yz  x m  Q . k  yz   Q k 2m - Trường hợp 2: m   Chứng minh tương tự, ta cũng có y  Q, z  Q. Ví dụ 5.3: Tìm tất cả các bô ̣ ba số nguyên dương (a,b,c) thỏa mãn a, b, c là đô ̣ 19 5 79 dài ba cạnh của mô ̣t tam giác và   là số tự a b  c b c  a c a  b nhiên lẻ khác 1. Hướng dẫn giải: - Vì a, b, c  Z  và là đô ̣ dài ba cạnh của mô ̣t tam giác nên : a  b  c  0 , 19 5 79 , , là các số hữu tỉ. a b  c b c  a c a  b 19 5 79   - Vì là số tự nhiên ( hiển nhiên là số hữu tỉ) a b  c b c  a c a  b 19 5 79 , , nên theo ví dụ 5.2 suy ra : cũng là các số hữu tỉ. a b  c b c  a c  a  b 19 - Vì nên theo tính chất (**) suy ra : a b  c 19 m2  2 (m, n  N * ,UCLN (m, n) 1)  a  b  c 19k 2 ( vì 19 là số nguyên a b  c n 19 1 19 1  2  (k  Z  ) tố )  a b  c k a b  c k b  c  a  0, c  a  b  0 và 14 Tương tự : 5 1  b c  a p 79 1  ca b q ( p  Z ) , (q  Z  ) . Suy ra : 19 5 79 1 1 1      (1) a b  c b c  a ca  b k p q 1 1 1 1 1 1 Mă ̣t khác :      3 ( vì k , p, q  Z  ), suy ra : k p q 1 1 1 19 5 79   3 mà a b  c b c  a c a  b 19 5 79   là a b  c bc  a ca b số tự nhiên lẻ khác 1. Suy ra : 19 5 79   3  k  p q 1 a b  c b c  a ca  b 19 5 79 1, 1, 1 a b  c bc a ca b  a  b  c 19 a 49     b  c  a 5   b 12 c  a  b 79  c 42   Vâ ̣y có duy nhất bô ̣ ba số nguyên dương (a, b, c) = (49, 12, 42) thỏa mãn. Ví dụ 5.4: Cho x, y là các số hữu tỉ thỏa mãn đẳng thức :  x  y  3 xy (3x  3 y  2) . Chứng minh rằng 1  xy là mô ̣t số hữu tỉ. Hướng dẫn giải:  x  y 3 x2 y 2 xy (3 x  3 y  2)  x  y 2 xy   2  y x 3 3 x4 y4 x4 y 4  2  2  2 xy 4  2  2  2 xy 4  4 xy  y x y x 2  x2 y2     4 x   y 2  x2 y 2     4(1  xy ) y x   1 x2 y 2  1  xy  .  Q 2 y x Bai tập ap dụnng: Bài 1: Cho x, y là hai số hữu tỉ. Chứng minh rằng nếu 2 x  3 y là số hữu tỉ thì x , y cũng là số hữu tỉ. Bài 2: Cho x, y, z là hai số hữu tỉ. Chứng minh rằng nếu hữu tỉ thì x 2 y  z là số 3 x , y , z cũng là số hữu tỉ. 15 Bài 3: Tìm tất cả các bô ̣ ba số nguyên dương (a,b,c) thỏa mãn a, b, c là đô ̣ dài ba 17 13 29   3 cạnh của mô ̣t tam giác và a b  c bc a ca b Bài 4: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn : 53 101  2 . x  2018 2019  y 2  xy  1  Bài 5: Cho x, y là các số hữu tỉ thỏa mãn : x  y    2 . Chứng minh  xy  rằng 1  xy là mô ̣t số hữu tỉ 2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm Sau nhiều năm ôn thi học sinh giỏi cấp huyện,sau mỗi năm tôi lại tích luỹ thêm các bài tập lí thú về phần này. Từ một bài toán cơ bản quen thuộc, tôi đã giúp học sinh hệ thống được các dạng bài tập thường gặp trong các đề thi, củng cố được phương pháp giải mỗi dạng bài tập. Các em thấy được những sự liên quan, khai thác vô cùng thú vị ẩn sau những bài toán cơ bản mà các em được học. Đây chính là một trong những nội dung tạo được hứng thú học tập, rèn luyện óc sáng tạo, trau dồi tư duy linh hoạt cho học sinh, nhất là với học sinh giỏi. Sau khi truyền đạt nội dung này tới học sinh, các học sinh tôi dạy đều ghi nhớ kiến thức và phương pháp giải rất tốt. Mỗi khi gặp những bài tập dạng này các em rất tự tin và vận dụng được các kiến thức mà mình đã được lĩnh hội. Qua các năm bồi dưỡng học sinh giỏi, học sinh của tôi thi có nhiều em đạt giải cao, có nhiều giải nhất, giải nhì. Kết quả đó giúp tôi khẳng định rằng sáng kiến kinh nghiệm của mình thực sự đem lại hiệu quả trong việc bồi dưỡng HSG. Trong năm nay, sau khi đã dạy cho HS thì khi các em gặp các bài toán tương tự trong các đề thi đa số các em đã làm tốt, điều đó được thể hiện qua các bài kiểm tra khảo sát: 2 Sĩ số 2 Điểm 7-8 2 9 - 10 8-9 6-7 5-6 <5 8 3 2 1 0 0 3.KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1. Kết luận Là một giáo viên thường xuyên ôn thi HSG, tôi nhận thấy rằng muốn học sinh nắm vững kiến thức thì mỗi thầy giáo, cô giáo phải thực sự tâm huyết với nghề. Hệ thống bài tập tôi đưa ra cho học sinh luôn bám sát vào các đề thi để tạo sức thuyết phục cho học sinh. Kiến thức tôi truyền thụ đến học sinh luôn có hệ thống, mỗi dạng bài phải chốt được phương pháp giải. Để giúp học sinh có được những kĩ năng tư duy sáng tạo, nhạy bén trong học tập và thực hành đòi hỏi giáo viên phải sử dụng nhiều phương pháp sư 16 phạm, tuy nhiên không có phương pháp nào là tối ưu để đạt được một kết quả tốt trong các kì thi mà đó là sự tổng hợp của nhiều phương pháp khác nhau. Sau một thời gian vận dụng sáng kiến kinh nghiệm này vào bồi dưỡng HSG tôi nhận thấy rằng những kinh nghiệm này phù hợp với nội dung chuẩn kiến thức kĩ năng và bám sát cấu trúc đề thi học sinh giỏi, học sinh chủ động, tích cực trong việc lĩnh hội kiến thức và kĩ năng. Không khí học tập sôi nổi, kích thích được sự say mê sáng tạo và học sinh yêu thích môn học hơn. Chính vì vậy, khi gặp các bài toán dạng này, HS đã làm tương đối tốt, và tôi nghĩ đó cũng là một thành công của đề tài này. Trên đây là một số kinh nghiệm nhỏ mà tôi đúc rút được qua quá trình ôn thi học sinh giỏi từ các năm học và muốn chia sẻ với đồng nghiệp. Tuy nhiên, do thời gian có hạn tôi không thể trình bày tỉ mỉ, chi tiết, cụ thể; những hiểu biết và kinh nghiệm trên chắc chắn không tránh những sai sót. Rất mong các đồng nghiệp tham khảo và đóng góp thêm những dạng mới, những kinh nghiệm quý báu để tôi cũng như đề tài được hoàn thiện hơn, và nó sẽ trở thành một tài liệu bổ ích giúp các em HS tham gia thi học sinh giỏi, giao lưu Toán học đạt kết quả cao nhất. 3.2.Kiến nghị. Hàng năm, phòng giáo dục đào tạo, sở giáo dục và đào tạo tổ chức các lớp chuyên đề về ôn thi học sinh giỏi nhằm trao đổi kinh nghiệm giảng dạy một cách hiệu quả và thiết thực Phổ biến các sáng kiến kinh nghiệm hay về ôn thi học sinh giỏi trong huyện, trong tỉnh cho giáo viên để áp dụng vào quá trình ôn thi học sinh giỏi ở các nhà trường. XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thọ Xuiân, ngay 28/05/2019 Tôi xin c̉m kêt khônng s̉o chep tư bất ki sanng kiên kinh nnghiêm ̣ nao đã có. Nều s̉i tôi xin chị̀u hoan toan trach nhiêm. ̣ Tác giả 17 4. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Sách giáo khoa toán 6,7,8,9, tập 1. 2. Sách bài tập toán 9, tập 1. 3. 23 chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp; tác giả: Nguyễn Văn Vĩnh (chủ biên). 4. Nâng cao và phát triển toán 9 tập 1; tác giả Vũ Hữu Bình. 5. Toán bồi dưỡng học sinh lớp 9 - đại số. Tác giả Vũ Hữu Bình 6. Nâng cao và các chuyên đề đại số 9 7. Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 9; tác giả Bùi Văn Tuyên. 8. Tạp chí toán tuổi thơ 9. Phương trình và bài toán với nghiệm nguyên-Vũ Hữu Bình 10. Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 9 cấp Huyện của các Tỉnh, đặc biệt của tỉnh Thanh Hoá. Một số đề thi cấp Tỉnh Toán 9. 18 MỤC LỤC Trang 1.PHẦN MỞ ĐẦU 1.1. Lí do chọn đề tài ................................ .......................................................... 1 1.2. Mục đích nghiên cứu.......................... .......................................................... 1 1.3.Đối tượng nghiên cứu..................................................................................... 1 1.4.Phương pháp nghiên cứu ............................................................................... 1 2.NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1.Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm........................................................2 2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm........................2 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm, các giải pháp đã sử dụng .................................. 3 Dạng 1: Chứng minh mô ̣t biểu thức chứa dấu căn thức luôn có giá trị là số nguyên...................................................................................................................4 Dạng 2: Tìm điều kiê ̣n của biến để biểu thức chứa biến đó có giá trị là số nguyên...................................................................................................................6 Dạng 3: Giải các phương trình nghiê ̣m nguyên có chứa dấu căn thức.......8 Dạng 4: Chứng minh x là số vô tỉ.........................................................11 Dạng 5: Giải các bài toán có chứa x , trong đó x là số hữu tỉ................13 2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường ...........................................................16 3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận ............................................... ........................................................16 3.2 Kiến nghị ............................................................................... ......................17 DANH MỤC 19