Tài liệu Khai thac cac ti so bang nhau nhung tinh chat thu vi

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: chÊt thó vÞ Khai th¸c c¸c tØ sè b»ng nhau. Nh÷ng tÝnh chÊt thó vÞ A. §Æt vÊn ®Ò Muèn n©ng cao hiÖu qu¶ giê lªn líp, ngêi gi¸o viªn ph¶i lùa chän ph¬ng ph¸p thÝch hîp ®Ó häc sinh tÝch cùc t duy, n©ng cao nhËn thøc, tõ ®ã thóc ®Èy tÝnh n¨ng ®éng s¸ng t¹o, gi¶i quyÕt tèt c¸c t×nh huèng do vÊn ®Ò ®Æt ra. Trong qu¸ tr×nh trùc tiÕp gi¶ng d¹y t«i thÊy viÖc t×m tßi, më réng, khai th¸c kÕt qu¶ c¸c bµi tËp ®· häc lµ ph¬ng ph¸p khoa häc, cã hiÖu qu¶ trong d¹y häc. Tõ chæ bÞ ®éng c¸c em lµm chñ ®îc t×nh huèng, tù tin xö lÝ c¸c th«ng tin mét c¸ch chÝnh x¸c. NÕu gi¸o viªn biÕt híng dÉn häc sinh biÕt t×m tßi, më réng, khai th¸c kÕt qu¶ c¸c bµi to¸n ®· häc, ®· gi¶i sÏ cuèn hót c¸c em vµo quü ®¹o nhËn thøc tri thøc, kÝch thÝch ãc s¸ng t¹o, sù ph¸t triÕn t duy, gióp c¸c em häc tËp tèt h¬n. B. Néi dung I. Lý thuyÕt: Trong s¸ch gi¸o khoa to¸n 7 ®· giíi thiÖu vÒ d·y tØ sè b»ng nhau vµ ®a ra tÝnh chÊt: Tõ a c a c ac ac = ta suy ra = = = (víi b � � d) b d b d bd bd Tõ ®ã ¸p dông tÝnh chÊt nµy cho d·y tØ sè b»ng nhau: e ace ace a c = = ta suy ra = f bd  f bd  f b d * Kh«ng dõng l¹i ë ®ã, phÇn bµi tËp ®· ®îc bæ sung thªm c¸c tÝnh chÊt thó vÞ II. Bµi to¸n Bµi to¸n 1. (Bµi tËp 73 s¸ch bµi tËp to¸n 7 trang 14). Cho a, b, c, d kh¸c 0. Tõ tØ lÖ thøc a c a b c d = h·y suy ra tØ lÖ thøc:  b d a c Gi¶i: a c a b c d � ad = bc � ac-ad = ac - bc � (c - d)a = (a - b)c � =  b d a c a c a  b bk  b b(k  1) k  1 � a = k.b, c = k.d. Tõ ®ã ta cã: C¸ch 2: §Æt = (1)    b d a bk bk k c  d kd  d k  1 a b c d t¬ng tù (2). Tõ (1) vµ (2) suy ra    c kd k a c C¸ch 1: Ta cã: * ë ®©y ®èi víi häc sinh kh¸ giái nªn giíi thiÖu c¸ch 1, cßn c¸ch 2 ®èi víi häc sinh ®¹i trµ. Tõ bµi to¸n c¬ b¶n ®ã ta cã thÓ ph¸t biÓu thªm bµi to¸n t¬ng tù nh sau: Bµi to¸n 2: Cho a, b, c, d kh¸c 0. Tõ tØ lÖ thøc a c ab cd = h·y suy ra tØ lÖ thøc:  b d a c Gi¶i: Tõ a c ab cd � ad = bc � ad + ac = bc + ac � a(d + c) = c(a + b) � =  b d a c * Tõ bµi to¸n 1 vµ bµi to¸n 2 ta cã bµi to¸n 3: (Bµi tËp 63 s¸ch gi¸o khoa trang 31) a c = (a - b �0 vµ c - d � 0) b d ab cd ta cã thÓ suy ra tØ lÖ thøc  a b c d Chøng minh r»ng tõ tØ lÖ thøc Gi¶i 1 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: chÊt thó vÞ §Æt Khai th¸c c¸c tØ sè b»ng nhau. Nh÷ng tÝnh chÊt thó vÞ a c = = k � a = kb vµ c = kd v× a - b � 0 � kb - b � 0 � b(k - 1) � 0 � k � 1 b d a  b kb  b b( k  1) k  1    Ta cã: (1) a  b kb  b b(k  1) k  1 c  d kd  d d (k  1) k  1    (2) c  d kd  d d (k  1) k  1 ab cd Tõ (1) vµ (2) �  a b c d * §èi víi häc sinh kh¸, giái ta giíi thiÖu c¸ch gi¶i a c � ad = bc = b d a  b d (a  b) da  db bc  db b(c  d ) c  d      Do ®ã: a  b d (a  b) da  bd bc  db b(c  d ) c  d Cã thÓ biÕn ®æi * §iÓm thó vÞ lµ ta cã bµi to¸n ®¶o cña bµi to¸n 3 nh sau Bµi to¸n 4: Chøng minh r»ng tõ tØ lÖ thøc ab cd a c =  � 1 ta cã thÓ suy ra tØ lÖ thøc a b c d b d Gi¶i: §Æt ab cd = k � 1 � a + b = k(a - b) vµ c + d = k(c - d)  a b c d � (1 + k)b = (k - 1) a vµ (1 + k)d = (k - 1)c. Víi k � 1 th× b � 0 vµ d � 0 ta cã: a k 1 = = b k 1 c d * Ngoµi ra ta cã thÓ ph¸t triÓn thªm nhiÒu bµi to¸n ®Ó häc sinh lµm quen víi c¸c bµi to¸n lo¹i nµy a c = ta cã thÓ suy ra c¸c tØ lÖ thøc b d pa  pb pc  pd pa  pb pc  pd  ;  pa  pb pc  pd a c a c Bµi to¸n 6: Chøng minh r»ng tõ tØ lÖ thøc = b d pa  qb pc  qd ta cã thÓ suy ra tØ lÖ thøc  ma  nb mc  nd a c Bµi to¸n 7: Chøng minh r»ng tõ tØ lÖ thøc = b d k k k k ta cã thÓ suy ra tØ lÖ thøc pa k  qb k  pc k  qd k ma  nb mc  nd Bµi to¸n 5: Chøng minh r»ng: Tõ tØ lÖ thøc VËn dông tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau chóng ta ®a ra hÖ thèng bµi to¸n so s¸nh gi÷a c¸c sè víi nhau Bµi to¸n 1: So s¸nh c¸c sè a, b vµ c biÕt r»ng: to¸n 7 tËp 1 trang 14) a b c   vµ a + b + c �0 (Bµi tËp 78 s¸ch bµi tËp b c a 2 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: chÊt thó vÞ C¸ch 1: Ta cã: Khai th¸c c¸c tØ sè b»ng nhau. Nh÷ng tÝnh chÊt thó vÞ Gi¶i: a b c a b c abc a b = 1 � = 1 � a = b vµ = 1 � b = c   �   = b c a b c a abc b c Do ®ã a = b = c a b c   = n. Ta cã: a = nb; b = nc; c = na b c a Do ®ã: a = nb (mµ b = nc) � a = n(nc) = n[n(na)] = n3a (a � 0) � 1 = n3 � n = 1 a b c Ta cã:   = 1 � a = b = c b c a a b c C¸ch 3:   = m. Ta cã: a = mb; b = mc; c = ma b c a Do ®ã: a.b.c = mb.mc.ma = m3abc � 1 = m3 � m = 1 a b c Ta cã:   = 1 � a = b = c b c a C¸ch 2: §Æt 3 3 a b c a b c a a� a a a a� = . . = . . =1 �� =1 � =1   � � � � � � b c a b c a b �b � b b b �b � a b c �   1 � a=b=c b c a C¸ch 4: * Chóng ta h·y b¾t ®Çu tõ bµi to¸n sau: Bµi to¸n 1: So s¸nh c¸c sè a, b vµ c biÕt r»ng: a b c   vµ a + b + c �0 . T¬ng tù bµi to¸n trªn b c a chóng ta h·y nghÜ ®Õn bµi to¸n tæng qu¸t ®Ó båi dìng häc sinh giái nh sau: Bµi to¸n 2: Cho a a a 1 a2   .....  n 1  n vµ a1 + a2 + ..... + an - 1 + an � 0 a2 a3 an a1 Chøng minh r»ng a1 = a2 = ...... = an - 1 = an Ta còng nhËn thÊy r»ng tõ to¸n sau a b c   vµ a + b + c �0 ta cã a = b = c. §iÒu ®ã cho ta ®Ò xuÊt bµi b c a a b c a 3 .b 2 .c 2007   vµ a + b + c �0. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc M = b c a c 2012 a b c Bµi to¸n 4: Cho   vµ a = - 2011 vµ a + b + c �0. TÝnh b vµ c b c a a b c Bµi to¸n 5: Cho   vµ a + b + c �0. b c a Bµi to¸n 3: Cho Chøng tá r»ng: (19a + 5b + 1890c)2012 = 19142012.a2010.b2 Bµi to¸n 6: Cho a a a 1 a2   .....  n 1  n vµ a1 + a2 + ..... + an - 1 + an � 0 a2 a3 an a1 a12  a2 2  .....  a 2 n 1  an 2 TÝnh: a, (a1  a2  ....  an 1  an ) 2 b, (a1  a2  ....  an 1  an ) 2 a12  2a2 2  3a32  ....  (n  1)a 2 n 1  nan 2 3 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: chÊt thó vÞ Khai th¸c c¸c tØ sè b»ng nhau. Nh÷ng tÝnh chÊt thó vÞ Vµ h¬n thÕ n÷a chóng ta cã thÓ ®a ra mét sè bµi to¸n hay ®Ó båi dìng häc sinh giái d¹ng chøng minh, d¹ng tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc Nh vËy viÖc vËn dông c¸c bµi to¸n c¬ b¶n ®Ó ph¸t triÓn c¸c bµi to¸n khã nh»m båi dìng häc sinh. V× trong c¸c k× thi häc sinh gái chuyªn ®Ò tØ lÖ thøc còng lµ mét chuyªn ®Ò quan t©m VÝ dô 1 ®Ò thi häc sinh giái n¨m 2002 - 2003: Cho a c = � 1. Chøng minh r»ng: b d 2003 a 2003  b 2003 �a  b �  � � c 2003  d 2003 �c  d � VÝ dô 2: §Ò thi häc sinh giái n¨m 2008 - 2009 Cho x, y, z lµ c¸c sè kh¸c 0 vµ x2 = yz, y2 = xz, z2 = xy. Chøng minh r»ng x = y = z C. KÕt luËn Trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y to¸n 7 t«i ®· ®a ra ph¬ng ph¸p trªn th× ®· thu ®îc kÕt qu¶ kh¶ quan. Häc sinh biÕt chøng minh tØ lÖ thøc tõ ®ã t«i båi dìng còng kh¸ dÔ dµng, häc sinh n¾m b¾t rÊt nhanh, ph¬ng ph¸p tr×nh bµy râ rµng, biÕt ph©n tÝch ph¸n ®o¸n, t×m tßi gi¶i bµi to¸n kh¸c mét c¸ch n¨ng ®éng h¬n, s¸ng t¹o h¬n vµo kh¶ n¨ng s¸ng t¹o cña m×nh vµ cã thªm høng thó häc tËp to¸n. Trªn ®©y lµ kinh nghiÖm cña t«i trong viÖc híng dÉn häc sinh gi¶i bµi tËp vÒ tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau. Nhê ¸p dông tÝnh chÊt nµy ®· ph¸t huy ®îc kiÕn thøc n©ng cao, n¨ng lùc t duy, t×m tßi cña häc sinh. §©y lµ ®óc rót kinh nghiÖm cña c¸ nh©n t«i, sÏ kh«ng tr¸nh khái nh÷ng sai sãt. RÊt mong ®ãng gãp ý kiÕn nhiÖt t×nh cña c¸c thÇy, c« ®Ó kinh nghiÖm nµy ®i vµo thùc tiÕn nhiÒu h¬n. Th¸ng 4 n¨m 2011 4