Tài liệu K-metric vi phân kobayashi-venturini và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM THU THẢO K-METRIC VI PHÂN KOBAYASHI-VENTURINI VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM THU THẢO K-METRIC VI PHÂN KOBAYASHI-VENTURINI VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. PHẠM VIỆT ĐỨC Thái Nguyên - Năm 2014 1 Mục lục Mở đầu 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Giả khoảng cách Kobayashi . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Không gian phức hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Metric vi phân Royden - Kobayashi trên đa tạp phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Bất đẳng thức Holder đối với giả khoảng cách Kobayashi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 K-METRIC VI PHÂN KOBAYASHI-VENTURINI VÀ ỨNG DỤNG 2.1 Không gian k - mật tiếp của một không gian phức 2.2 k-metric vi phân Kobayashi - Venturini trong không gian phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Phép lấy tích phân của k-metric vi phân KobayashiVenturini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Một số tiêu chuẩn cho tính hyperbolic của không gian phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 4 6 7 15 17 17 18 24 31 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 2 MỞ ĐẦU Lý thuyết không gian phức hyperbolic gắn liền với giả khoảng cách Kobayashi được S.Kobayashi xây dựng đầu tiên vào cuối những năm 60 và là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của giải tích phức. Trong nhiều năm gần đây lý thuyết này đã phát triển mạnh và thu được nhiều kết quả đặc sắc với các công trình của S.Kobayashi, H.Royden, J.Noguchi, ... Năm 1996, S.Venturini [8] đã đưa ra ý tưởng về việc xây dựng một giả metric vi phân mới trên không gian các phân thớ véc tơ J(X) của các đường cong chỉnh hình trên một không gian phức X . Dựa vào đó ông đã chỉ ra một dạng biểu diễn tích phân của giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức X . Tuy nhiên dạng biểu diễn này không trùng với dạng biểu diễn gốc của Royden trong trường hợp đa tạp phức. Năm 1999, Đỗ Đức Thái và Phạm Việt Đức [7] đã đề xuất một cải tiến cách xây dựng của S.Kobayashi trên các không gian phức trùng với dạng biểu diễn ban đầu của Royden. Hơn nữa, năm 2007, A. Khalfallah [3] đã chứng minh được một đặc trưng vi phân cho tính hyperbolic của không gian phức thông qua metric vi phân Kobayashi-Venturini, đồng thời chỉ ra được tính hyperbolic tương đương với tính chất Landau của một không gian phức tùy ý. Mục đích của đề tài này là trình bày về metric vi phân KobayashiVenturini cùng một số ứng dụng của nó trong việc biểu diễn tích phân của giả khoảng cách Kobayashi đồng thời chứng minh một số đặc trưng cho tính hyperbolic của các không gian phức. Luận văn bao gồm phần mở đầu, 2 chương, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo. Chương I trình bày một số kiến thức cơ bản để thuận tiện cho việc trình bày chương sau, cụ thể là: Giả khoảng cách Kobayashi, không gian phức hyperbolic, metric vi phân Royden-Kobayashi FM trên đa tạp phức, bất 3 đẳng thức Holder đối với giả khoảng cách Kobayashi. Chương II là nội dung chính của luận văn: Trong chương này chúng tôi trình bày khái niệm và một số tính chất của metric vi phân KobayashiVenturini. Tiếp theo là hai ứng dụng của metric vi phân này trong việc biểu diễn tích phân của giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức tùy ý và một số tiêu chuẩn cho tính hyperbolic của không gian phức. Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Đại học Thái Nguyên dưới dự hướng dẫn của PGS. TS. Phạm Việt Đức. Qua đây, tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn của mình, PGS. TS. Phạm Việt Đức, người đã đưa ra đề tài và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu của tác giả. Đồng thời tác giả cũng chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán, bộ phận quản lý Sau đại học - Trường Đại học Sư phạm, Đại học Thái Nguyên, đã tạo mọi điều kiện cho tác giả về tài liệu và thủ tục hành chính để tác giả hoàn thành bản luận văn này. Tác giả cũng gửi lời cảm ơn đến gia đình và các bạn trong lớp Cao học Toán k20, đã động viên giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành bản luận văn này. Do thời gian ngắn và khối lượng kiến thức lớn, chắc chắn bản luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo tận tình của các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp, tác giả xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 8 năm 2014 Tác giả Phạm Thu Thảo 4 Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Giả khoảng cách Kobayashi 1.1.1 Định nghĩa Giả sử X là một không gian phức, x và y là hai điểm tùy ý của X . Hol(∆, X) là tập hợp tất cả các ánh xạ chỉnh hình từ ∆ = z ∈ C; |z| < 1 vào X , được trang bị tô pô compact mở. Xét dãy các điểm p0 = x, p1 , ..., pk = y của X , dãy các điểm a1 , a2 , ..., ak của ∆ và dãy các ánh xạ f1 , f2 , ..., fk trong Hol(∆, X) thỏa mãn fi (0) = pi−1 , fi (ai ) = pi , ∀i = 1, ..., k . Tập hợp α = {p0 , ..., pk , a1 , ..., ak , f1 , ..., fk } thỏa mãn các điều kiện trên được gọi là một dây chuyền chỉnh hình nối x và y trong X . Ta định nghĩa dX (x, y) = inf { α k P ρ∆ (0, ai ), α ∈ Ωx,y }, i=1 trong đó Ωx,y là tập hợp các dây chuyền chỉnh hình nối x và y trong X và ρ∆ là khoảng cách Bezgman-Poincare trên đĩa đơn vị ∆. Khi đó dX : X × X → R là một giả khoảng cách trên X và gọi là giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức X . k P Tổng ρ∆ (0, ai ) được gọi là tổng Kobayashi của dây chuyền chỉnh hình i=1 α. Nếu X không liên thông ta định nghĩa dX (x, y) = ∞ với x, y thuộc các 5 thành phần liên thông khác nhau. 1.1.2 Định lý Nếu f : X → Y là các ánh xạ chỉnh hình giữa hai không gian phức thì f làm giảm khoảng cách đối với giả khoảng cách Kobayashi, nghĩa là dX (x, y) ≥ dY (f (x), f (y)), ∀x, y ∈ X . Hơn nữa, dX là giả khoảng cách lớn nhất trên X thỏa mãn mỗi ánh xạ chỉnh hình f : ∆ → X là giảm khoảng cách. Chứng minh. Tính giảm khoảng cách của giả khoảng cách Kobayashi là hiển nhiên, vì nếu α là dây chuyền chỉnh hình nối hai điểm x và y trong X thì f ◦ α cũng là dây chuyền chỉnh hình nối f (x), f (y) trong Y . Bây giờ ta chứng minh tính lớn nhất của giả khoảng cách Kobayashi. Lấy hai điểm x, y tùy ý trong X . Gọi α = {fi ∈ Hol(∆, X), ai ∈ ∆, i = 1, ..., k} là dây chuyền chỉnh hình nối x và y trong X . Giả sử d0 là giả khoảng cách trên X có tính chất giảm khoảng cách qua các ánh xạ chỉnh hình từ ∆ tới X . Ta chứng minh dX ≥ d0 . Gọi pi ∈ X, i = 0, ..., k là các điểm thỏa mãn fi (0) = pi−1 , fi (ai ) = pi . Khi đó ta có d0 (x, y) ≤ k P d0 (pi−1 , pi ) = i=1 k P d0 (fi (0), fi (ai )) ≤ i=1 Theo định nghĩa giả khoảng cách Kobayashi ta có d0 (x, y) ≤ dX (x, y). Vậy định lý được chứng minh. k P i=1 ρ∆ (0, ai ). 6 1.1.3 Ví dụ a) d∆ = ρ∆ với ∆ là đĩa đơn vị trong C. b) dCm = 0. 1.1.4 Định lý Đối với bất kỳ các không gian phức X, Y ta có dX×Y ((x, y), (x0 , y 0 )) = max{dX (x, x0 ), dY (y, y 0 )}, với x, x0 ∈ X và y, y 0 ∈ Y . 1.1.5 Định lý Giả sử X là không gian phức. Khi đó giả khoảng cách Kobayashi dX : X × X → R là hàm liên tục. 1.2 Không gian phức hyperbolic 1.2.1 Định nghĩa Không gian phức X được gọi là không gian hyperbolic (theo nghĩa Kobayashi) nếu giả khoảng cách Kobayashi dX là khoảng cách trên X , tức là dX (p, q) = 0 ⇔ p = q ∀p, q ∈ X . 1.2.2 Một số tính chất của không gian phức hyperbolic i) Giả sử X, Y là các không gian phức, thì X × Y là không gian hyperbolic nếu và chỉ nếu cả X và Y đều là không gian hyperbolic. ii) Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y . Nếu Y là hyperbolic thì X cũng là hyperbolic. Hay nói cách khác, không gian con của một không gian hyperbolic là hyperbolic. 7 iii) +) Đĩa ∆r và đa đĩa ∆m r là hyperbolic. +) Mọi miền bị chặn trong Cm là hyperbolic. +) Cm không là hyperbolic, vì dCm = 0. 1.2.3 Định lý (Barth) Giả sử X là không gian phức liên thông. Nếu X là hyperbolic thì dX sinh ra tô pô tự nhiên của X . 1.2.4 Bổ đề Eastwood Giả sử π : X → Y là ánh xạ chỉnh hình giữa các không gian phức. Giả sử Y là hyperbolic và với mỗi điểm y ∈ Y có lân cận U của y sao cho π −1 (U ) là hyperbolic. Khi đó X là hyperbolic. 1.2.5 Mệnh đề Giả sử X là không gian phức và π : X 0 → X là ánh xạ phủ chỉnh hình của X . Khi đó i) Nếu p, q ∈ X và p0 , q 0 ∈ X 0 với π(p0 ) = p và π(q 0 ) = q , thì dX (p, q) = inf0 {dX 0 (p0 , q 0 )}, q trong đó infimum được lấy với mọi q 0 ∈ X 0 thỏa mãn π(q 0 ) = q ; ii) X 0 là hyperbolic khi và chỉ khi X là hyperbolic. 1.3 Metric vi phân Royden - Kobayashi trên đa tạp phức 1.3.1 Định nghĩa 8 Cho M là một đa tạp phức m chiều và T M là phân thớ tiếp xúc của M . Một ánh xạ F : T M → R+ được gọi là metric vi phân trên M nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: i) F (0x ) = 0, trong đó 0x là véc tơ không của Tx M ; ii) Với mọi ξx ∈ Tx M và a ∈ C thì F (aξx ) = |a| F (ξx ). Hơn nữa, nếu F liên tục và F (ξx ) 6= 0, ∀ξx ∈ Tx M thì F được gọi là metric Finsler trên T M . Xét ánh xạ FM : T M → R được xác định như sau: với bất kì ξx ∈ Tx M , đặt 1 ∂ FM (ξx ) = inf { ; ∃f ∈ Hol(∆r , M ); f (0) = x, f∗ ( |0 ) = ξx }. r ∂z Khi đó ta có: Ánh xạ FM : T M → R+ xác định như trên là một metric vi phân. 1.3.2 Định nghĩa Metric vi phân FM được gọi là metric vi phân Royden-Kobayashi trên đa tạp phức M . 1.3.3 Các tính chất của FM 1.3.3.1 Định lý Cho M, N là hai đa tạp phức và f : M → N là một ánh xạ chỉnh hình. Khi đó ta có f ∗ FN ≤ FM , tức là với mọi ξx ∈ Tx M FN (f∗ (ξx )) ≤ FM (ξx ). Đặc biệt, nếu f là song chỉnh hình thì f ∗ FN = FM . 1.3.3.2 Mệnh đề Cho M1 , M2 là các đa tạp phức. Khi đó với bất kì ξx + ηy ∈ Tx M1 + Ty M2 ta có 9 FM1 ×M2 (ξx + ηy ) = max{FM1 (ξx ), FM2 (ηy )}. 1.3.3.3 Mệnh đề Cho M là một đa tạp phức. Giả sử π : M̃ → M là một phủ chỉnh hình của M . Khi đó ta có FM̃ = π∗ FM . Đối với một đa tạp phức M thì nói chung ta không biết được tính liên tục của FM , nhưng ta có kết quả sau được chứng minh bởi Royden [5]. 1.3.3.4 Định lý Giả sử M là một đa tạp phức. Khi đó, giả metric vi phân RoydenKobayashi FM : T M → R+ là hàm nửa liên tục trên, tức là với bất kì ξ ∈ T M và ε > 0 tùy ý, tồn tại lân cận U của ξ trong T M sao cho FM (η) < FM (ξ) + ε với mọi η ∈ U . 1.3.3.5 Định lý Cho H : T M → R+ là metric vi phân thỏa mãn f ∗ H ≤ F∆ với ∀f ∈ Hol(∆, M ) (*) Khi đó H ≤ FM . Nói cách khác, metric vi phân Royden-Kobayashi là metric lớn nhất trong số các metric vi phân thỏa mãn (*). Kết quả sau của Royden [5] là một biểu diễn tích phân của giả khoảng cách Kobayashi trên đa tạp phức thông qua metric vi phân Royden-Kobayashi. 1.3.3.6 Định lý Giả sử M là một đa tạp phức. Khi đó với ∀x, y ∈ M ta có Rb 0 )dt} dM (x, y) = inf { a FM (γ(t) γ 10 trong đó infimum được lấy với tất cả các đường cong γ : [0, 1] → M trơn từng khúc nối x với y trong M . Để chứng minh định lý trên ta cần một số kết quả sau: 1.3.3.7 Định nghĩa Cho γ : [a, b] → M là một đường cong trơn từng khúc. Ta định nghĩa độ dài LM (γ) của γ bởi Rb LM (γ) = { a FM (γ 0 (t))dt, ở đó γ(t) = γ∗ ( ∂∂t |t ). Do FM : T M → R+ là nửa liên tục trên nên tích phân Lơbe nói trên là tồn tại và hữu hạn. Với hai điểm x, y tùy ý thuộc M , đặt d0M (x, y) = inf{LM (γ)}, ở đó infimum được lấy với tất cả các đường cong trơn từng khúc nối x với y. 1.3.3.8 Nhận Xét Dễ dàng chứng minh được d0M là giả khoảng cách trên M , nghĩa là ∀x, y, z ∈ M d0M (x, x) = 0, d0M (x, y) = d0M (y, x), d0M (x, z) ≤ d0M (x, y) + d0M (y, z). Sau đây là một số tính chất cơ bản của giả khoảng cách d0M . 1.3.3.9 Mệnh đề Cho M, N là các đa tạp phức và f : M → N là một ánh xạ chỉnh hình. Khi đó d0N (f (x), f (y)) ≤ d0M (x, y), ∀x, y ∈ M . Đặc biệt, nếu f là song chỉnh hình thì d0N (f (x), f (y)) = d0M (x, y). 11 Chứng minh. Giả sử γ : [a, b] → M là một đường cong lớp C ∞ từng khúc với γ(a) = x, γ(b) = y . Khi đó, f ◦ γ : [a, b] → N là một đường cong lớp C ∞ từng khúc nối f (x) với f (y). Theo Định lý 1.3.3.1, FN (f∗ y) ≤ FM (γ) suy ra FN ((f∗ y))0 ≤ FM (γ). Ta có d0N (f (x), f (y)) ≤ d0M (x, y). Nếu f đẳng cấu thì d0M (x, y) ≥ d0N (f (x), f (y)) ≥ d0M (f −1 (f (x)), f −1 (f (y))) = d0M (x, y) Vậy Mệnh đề được chứng minh. 1.3.3.10 Mệnh đề Cho M1 , M2 là hai đa tạp phức. Khi đó ta có d0M1 ×M2 ((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = max{d0Mi (xi , yi ); i = 1, 2}, với mọi x1 , y1 ∈ M1 ; x2 , y2 ∈ M2 . 1.3.3.11 Mệnh đề Cho M là một đa tạp phức, giả sử π : M̃ → M là phủ chỉnh hình của M . Cho x, y ∈ M là các điểm tùy ý và lấy x̃ ∈ M̃ sao cho π(x̃) = x. Khi đó ta có d0M (x, y) = inf{d0M̃ (x̃, ỹ); ỹ ∈ M̃ , π(ỹ) = y}. Chứng minh. Từ Mệnh đề 1.3.3.9 ta có d0M (x, y) ≤ inf{d0M̃ (x̃, ỹ); ỹ ∈ M̃ , π(ỹ) = y}. 12 Giả sử γ : [a, b] → M là đường cong từng khúc nối x và y. Giả sử γ̃ : [a, b] → M̃ là phép nâng của γ thỏa mãn γ̃(a) = x̃. Đặt ỹ0 = ỹ(b). Khi đó ta có LM (γ) = LM̃ (γ̃). Từ đó ta có inf{d0M̃ (x̃, ỹ); ỹ ∈ M̃ , π(ỹ) = y} ≤ d0M̃ (x̃, ỹ0 ) ≤ LM̃ (γ̃) = LM (γ) Từ d0M (x, y) = inf{LM (γ)}, ta có d0M (x, y) ≥ inf{d0M̃ (x̃, ỹ); ỹ ∈ M̃ , π(ỹ) = y}. Mệnh đề được chứng minh. 1.3.3.12 Ví dụ i) d0Cm = 0. ii) d0∆ (x, y) = ρ∆ (x, y). iii) d0∆m ((xi ), (y i )) = max{d∆ (xi , y i ); 1 ≤ i ≤ m}, với (xi ), (y i ) ∈ ∆m . iv) d0∆m là một hàm liên tục. 1.3.3.13 Mệnh đề Cho M là một đa tạp phức. Khi đó giả khoảng cách d0M : M × M → R+ là hàm liên tục. Chứng minh. ∞ Giả sử {xn }∞ n=1 và {yn }n=1 là những dãy các điểm của M hội tụ lần lượt tới x, y ∈ M . Theo bất đẳng thức tam giác ta có  0  d (xn , yn ) − dM (x, y) ≤ d0 (xn , x) − d0 (yn , y). M M M Từ đó để chứng minh Mệnh đề này ta chỉ cần chứng minh d0M (xn , x) → 0 khi n = ∞. 13 Giả sử U là một hệ tọa độ chỉnh hình địa phương quanh x và song chỉnh hình với ∆m , m = dim M . Theo Ví dụ 1.3.3.12, iii) và Định lý 1.3.3.9 ta có ngay d0U là liên tục. Từ đó ta có d0M (xn , x) ≤ d0U (xn , x) → 0, khi n → ∞. Mệnh đề được chứng minh. Chứng minh Định lý 1.3.3.6 Ta phải chứng minh dM = d0M ∗) Chứng minh dM (x, y) ≥ d0M (x, y). Xét ({fi }, {zi }, i = 1, ..., n) là một dây chuyền chỉnh hình nối x với y; fi : ∆ → M, zi ∈ ∆, f0 (0) = x, fi (zi ) = fi+1 (0), 0 ≤ i ≤ n − 1, fn (zn ) = y Theo Ví dụ 1.3.3.12 ta có n X d0∆ (0, zi ) ≥ n X d0M (fi (0), fi (zi )) ≥ d0M (x, y). i=0 i=0 Vậy dM (x, y) ≥ d0M (x, y). ∗) Chứng minh dM (x, y) ≤ d0M (x, y). Với ε > 0 tùy ý, xét γ : [0, 1] → M là một C ∞ - đường cong liên tục từng khúc nối x với y sao cho Z 1 (FM γ(t))dt < d0M (x, y) + ε. 0 Do FM là nửa liên tục trên nên với mọi phân hoạch 0 = t0 < t1 < ... < ts = 1 tồn tại hàm h : [0, 1] → R+ thỏa mãn i) h(t) > FM (γ(t)) ≥ 0 ii) h|[tj−1 ,tj ] , 1 ≤ j ≤ s là liên tục và có thể thác triển liên tục lên [tj−1 , tj ] R1 R1 iii) 0 FM (γ(t))dt < 0 (h(t))dt < d0M (x, y) + ε. R1 Do tích phân 0 (h(t))dt là tích phân Riemann nên tồn tại δ > 0 sao cho với mỗi phân hoạch 0 = s0 ≤ s1 ≤ ... ≤ sk = 1 mà 14 max{|sj − sj−1 | ; j = 1, 2, ..., k} < δ và với mỗi pj ∈ [0, 1] ; 1 ≤ j ≤ k mà |pj − sj | < δ thì ta có n X h(pj )(sj − sj−1 ) < d0M (x, y) + ε. i=1 lấy p bất kỳ thuộc [tj−1 , tj ] , 1 ≤ j ≤ s. Nếu γ 0 (p) = Oγ(p) Gọi (U, Φ, ∆m ) là một bản đồ địa phương quanh γ(p) của M sao cho Φ(γ(p)) = 0. Khi đó đặt F = Φ−1 : ∆m → U (⊂ M ) Nếu γ 0 (p) 6= Oγ(p) Khi đó có ánh xạ chỉnh hình f : ∆r → M sao cho f 0 (0) + f¯0 (0) = γ 0 (p) FM (γ 0 (p)) = 2.FM (f 0 (0)) FM (f 0 (0)) < 1r < 21 h(p) Bởi một kết quả của Royden với r đủ nhỏ, tồn tại ánh xạ chỉnh hình F : ∆r × ∆m−1 → M mà song chỉnh hình quanh một lân cận của 0 và thỏa mãn 1 1 < h(p), F (0) = γ(p) r 2 ¯ ∂ ∗ ∂ | ) + F ( |0 ) = γ 0 (p). 0 1 1 ∂z ∂z Vậy trong mọi trường hợp đều tồn tại lân cận Ip của p và một ánh xạ α : Ip → ∆r × ∆m−1 lớp C ∞ từng khúc sao cho F ∗( α(p) = 0, F ◦ α = γ|Ip . Với s ∈ Ip thì α(s) = O(|s − p|2 ) hoặc α(s) = (s − p, 0, ..., 0) + O(|s − p|2 ). r+|β| Do d0∆r (s, s0 ) = log r−|β| , ở đó β = r2 (s−s0 ) r2 −s̄.s0 , nên tồn tại một đoạn Ip0 ⊂ Ip sao cho p ∈ Ip0 , độ dài của Ip0 nhỏ hơn δ và  2 d0∆r ×∆m−1 (α(s), α(s0 )) ≤ (1 + ε). s − s0  r 15 với s, s0 ∈ Ip0 . Từ mệnh đề 1.3.3.11 ta có d0∆r ×∆m−1 = d∆r ×∆m−1 . Do cách chọn hàm h và ánh xạ F ta có dM (γ(s), γ(s0 )) = dM (F (α(s), F (α(s0 ))) ≤ d∆r ×∆m−1 (α(s), α(s0 )) ≤ d0M (F (α(s), F (α(s0 ))) ≤ d∆r ×∆m−1 (α(s), α(s0 )) ≤ (1 + ε) |s − s0 | .h(p). Do [tj−1 , tj ] compact nên tồn tại một số dương η < δ sao cho với mỗi cặp s, s0 ∈ [tj−1 , tj ], nếu |s − s0 | < η thì tồn tại p ∈ [tj−1 , tj ] để s, s0 ∈ Ip0 . Xét phân hoạch 0 < s0 < s1 < ... < sk = 1, sj −sj−1 < η . Lấy pj ∈ [0, 1] sao cho sj , sj − 1 ∈ Ip0 j . Khi đó ta có dM (x, y) = dM (γ(0), γ(1)) k P dM (γ(sj−1 ), γ(sj )) ≤ ≤ j=1 k P (1 + ε)(sj − sj−1 ).h(pj ) j=1 ≤ (1 + ε)(d0M (x, y) + ε). Cho ε → 0 ta được dM (x, y) ≤ d0M (x, y). Vậy Định lý được chứng minh. 1.4 Bất đẳng thức Holder đối với giả khoảng cách Kobayashi Định lý sau được gọi là bất đẳng thức Holder đối với giả khoảng cách Kobayashi trên đa tạp phức M [8]. 1.4.1 Định lý Nếu M là một đa tạp phức và d là một khoảng cách sinh bởi một metric Hermit trơn nào đó trên M , thì với mỗi tập con compact tương đối H ⊂ M , có hằng số c ∈ [0, +∞) sao cho dM (x, y) ≤ cdH (x, y), ∀x, y ∈ H . 16 Kết quả trên được mở rộng bởi Venturini [8] trong trường hợp không gian phức X . 1.4.2 Định lý Cho X là không gian phức. Giả sử U ⊂ X là tập con mở và F : U → Cn là phép nội xạ chỉnh hình. Khi đó, với mỗi p0 ∈ U có lân cận V ⊂ U sao cho dX (p, q) ≤ c |F (p) − F (q)|α , ∀p, q ∈ V . với α và c là các hằng số nào đó thỏa mãn 0 ≤ α ≤ 1, 0 ≤ c ≤ +∞. 17 Chương 2 K-METRIC VI PHÂN KOBAYASHI-VENTURINI VÀ ỨNG DỤNG Nội dung của chương này là trình bày về k-metric vi phân KobayashiVenturini và một số ứng dụng của nó trong việc đưa ra một số tiêu chuẩn cho tính hyperbolic của không gian phức và biểu diễn tích phân của giả khoảng cách Kobayashi. 2.1 Không gian k - mật tiếp của một không gian phức Giả sử X là không gian phức, p ∈ X . Ta xét các mầm các ánh xạ chỉnh hình ϕ : ∆r → X thỏa mãn ϕ(0) = p. Trong một hệ tọa độ chỉnh hình địa phương, mỗi ϕ như vậy đều khai triển thành chuỗi hội tụ z2 + ..., 2! trong đó ϕ(k) là đạo hàm bậc k tại z = 0 và ϕ(0) = p. Hai mầm ϕ và ϕ̃ được gọi là mật tiếp bậc k , kí hiệu ϕ ≡k ϕ̃, nếu ϕ(z) = ϕ(0) + ϕ(1) z + ϕ(2) z ϕ(0) = ϕ̃(0) , ϕ(1) = ϕ̃(1) , ..., ϕ(k) = ϕ̃(k) . 18 Quan hệ trên là quan hệ tương đương, mỗi lớp tương đương được gọi là một tia bậc k xác định bởi mầm ϕ tại p và kí hiệu là jk (ϕ)p (hoặc [ϕ]k ). Các tia bậc k còn được gọi là véc tơ mật tiếp bậc k hay véc tơ k - mật tiếp. Ký hiệu tập hợp tất cả các tia bậc k tại p là Jk (X)p . Đặt S Jk (X) = Jk (X)p p∈X và gọi là không gian các tia bậc k của không gian phức X (còn gọi là không gian k - mật tiếp của không gian phức X ). Ta định nghĩa một tác động của C lên các tia như sau: Giả sử ϕ : ∆r → X là một ánh xạ chỉnh hình thỏa mãn ϕ(0) = p, với t ∈ C ta đặt ϕt (z) = ϕ(tz) và định nghĩa tjk (ϕ)p = jk (ϕt )p . Hơn nữa, nếu f : X → Y là ánh xạ chỉnh hình giữa hai không gian phức thì f cảm sinh ánh xạ f ∗ : Jk (X) → Jk (Y ) trên các tia bậc k . Nhận xét. i) Với k = 1, X là một đa tạp phức thì J1 (X) = T X . ii) Jk (X) là phân thớ chỉnh hình trên X , nhưng với k ≥ 2 nó không là phân thớ véc tơ. 2.2 k-metric vi phân Kobayashi - Venturini trong không gian phức 2.2.1 Định nghĩa Giả sử X là một không gian phức, điểm p ∈ X là véc tơ k-mật tiếp ξ ∈ Jk (X)p . Ta định nghĩa 1 k KX (p, ξ) = inf{ ; ∃ϕ ∈ Hol(∆, X) r