SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ VIET TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN
KHẢO SÁT HÀM SỐ
1. Định lý Viet
Nếu phương trình
an x n an 1 x n 1 an 2 x n 2 ... a1 x a0 0 (an 0, ai R, i 0,1, 2,..., n) (1) có n
nghiệm thực x1 , x2 ,..., xn thì (1) an x x1 x x2 ... x xn 0
an x n an S1 x n 1 an S 2 x n 2 an S 3 x n 3 ... ( 1)n an S n 0
an 1
S
x
x
...
x
1
1
2
n
an
S 2 x1 x2 x1 x3 ... x1 xn x2 x3 x2 x4 ... x2 xn ... xn 1 xn
Với S3 x1 x2 x3 x1 x2 x4 ... x1 x2 xn x1 x3 x4 x1 x3 x5 ... x1 x3 xn ... xn 2 xn 1 xn
...
S n x1 x2 ...xn
( S1 , S 2 , S3 ,..., S n lần lượt có Cn , Cn , Cn ,..., Cn số hạng)
1
2
3
n
Đồng nhất các hệ số ta được
an 1
S
x
x
...
x
n
1 1 2
an
an 2
S
x
x
x
x
...
x
x
x
x
x
x
...
x
x
...
x
x
1 2
1 3
1 n
2 3
2 4
2 n
n 1 n
2
an
an 3
S3 x1 x2 x3 x1 x2 x4 ... x1 x2 xn x1 x3 x4 x1 x3 x5 ... x1 x3 xn ... xn 2 xn 1 xn
an
...
S x x ...x ( 1) n a0
1 2
n
n
an
2
Đặc biệt: + Nếu phương trình bậc hai a2 x a1 x a0 0 (a2 0) có hai nghiệm x1 , x2 thì
a1
x
x
1 2
a2
x x a0
1 2 a2
Phạm Đình Luyến Chuyên viên Sở GD&ĐT
1
3
2
+ Nếu phương trình bậc ba a3 x a2 x a1 x a0 0 (a3 0) có ba nghiệm x1 , x2 , x3 thì
a2
x1 x2 x3 a
3
a1
x1 x2 x1 x3 x2 x3
a3
a0
x1 x2 x3
a3
+ Nếu phương trình bậc bốn a4 x a3 x a2 x a1 x a0 0 ( a4 0) có bốn nghiệm
4
3
2
x1 , x2 , x3 , x4 thì
a3
x
x
x
x
1
2
3
4
a4
a2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
1
2
1
3
1
4
2
3
2
4
3
4
a4
x x x x x x x x x x x x a1
2 3 4
1 2 3 1 2 4 1 3 4
a4
x x x x a0
1 2 3 4 a4
2. Một số bài toán áp dụng
Bài 1 Cho hàm số y x 2(m 1) x (m 4m 1) x 2(m 1) . Tìm m để hàm số
3
đạt cực trị tại x1 , x2 sao cho
2
2
2
1 1 1
( x1 x2 ) .
x1 x2 2
Lời giải
Ta có y 3 x 4( m 1) x m 4m 1 .
/
2
2
y / 0 3x 2 4(m 1) x m 2 4m 1 0 (1)
m 2 3
/
2
0
m
4
m
1
0
(1) có hai nghiệm phân biệt
m 2 3
4(1 m)
x
x
1
2
3
x
,
x
Khi đó gọi 1 2 là hai nghiệm của (1) theo định lý Viet ta có
2
x x m 4m 1
1 2
3
Phạm Đình Luyến Chuyên viên Sở GD&ĐT
2
Theo giả thiết
1 1 1
1
1
( x1 x2 ) ( x1 x2 )(
) 0
x1 x2 2
x1 x2 2
x1 x2 0
1
1
0
x1 x2 2
4(1 m)
0
3
3
1
0
m 2 4m 1 2
m 1
m 1
Vậy m 1, m 5
m 5
Bài 2
Cho hàm số: y = x3 + 3x2 + mx + 1 có đồ thị (Cm); (m là tham số). Xác định m để
(Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0; 1), D, E sao cho các tiếp tuyến của (C m)
tại D và E vuông góc với nhau.
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và đường thẳng y = 1 là:
x3 + 3x2 + mx + 1 = 1
x 0
2
x 3x m 0
x(x2 + 3x + m) = 0
(1)
(Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại C(0, 1), D, E phân biệt (1) có 2 nghiệm x1 , x2 0.
9 4m 0
2
0
3.0
m
0
9
m
4 (a)
m 0
x1 x2 3
x1 x2 m
Khi đó gọi x1 , x2 là hai nghiệm của (1),Theo định lý Vi-et ta có
Lúc đó các tiếp tuyến tại D và E có hệ số góc lần lượt là
k1 = y’(x1) = 3 x1 6 x1 m;
D và E).
2
k2 = y’(x2) = 3 x2 6 x2 m . (với x1 ; x2 là các hoành độ của
2
Các tiếp tuyến tại D, E vuông góc k1k2 = –1. 3 x1 6 x1 m 3x2 6 x2 m 1
2
2
2
3x1 x2 18 x1 x2 x1 x2 3m x12 x22 36 x1 x2 6m x1 x2 m 2 1
9m 2 54m 27 m 6m 2 36m 18m m 2 1 0 4m 2 9m 1 0 .
1
9 65 . Thoả (a)
8
1
Vậy m 9 65
8
1 3
2
Bài 3 Cho hàm số y x (m 2) x (5m 4) x 3m 1 . Tìm m để hàm số đạt cực
3
trị tại x1 , x2 sao cho x1 2 x2 .
m=
Phạm Đình Luyến Chuyên viên Sở GD&ĐT
3
Lời giải
Ta có y x 2(m 2) x 5m 4 .
/
2
y / 0 x 2 2(m 2) x 5m 4 0 (1)
m 0
(a)
m 9
(1) có hai nghiệm phân biệt 0 m 9m 0
/
2
x1 x2 4 2m
x1 x2 5m 4
Khi đó gọi x1 , x2 là hai nghiệm của (1) theo định lý Viet ta có
Theo giả thiết x1 2 x2 ( x1 2)( x2 2) 0 x1 x2 2 x1 x2 4 0
5m 4 2(4 2m) 4 0 m 0 . Thoả (a)
Vậy m 0
Bài 4 Cho hàm số y
2 x 1
có đồ thị là (C). Chứng minh đường thẳng d y = –x + m luôn
x2
luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là x m
2x 1
( x 2)
x2
2 x 1 x 2 ( m 2) x 2m x 2 (m 4) x 2m 1 0 (1).
x 2 không là nghiệm của (1) m
m 2 12 0, m .
x1 x2 m 4
.
x1 x2 2m 1
Khi đó gọi x1 , x2 là hai nghiệm của (1) theo định lý Viet ta có
Gọi A, B là các giao điểm, ta có A( x1 ; x1 m) , B ( x2 ; x2 m)
AB 2 ( x1 x2 ) 2 ( x1 x2 ) 2 2 ( x1 x2 ) 2 4 x1 x2 2 m 2 12
AB ngắn nhất AB2 nhỏ nhất m = 0. Khi đó AB 24 .
Bài 5 Cho hàm số y
2x 4
. Tìm trên (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng MN
x 1
biết M(–3;0) và N(–1; –1).
Lời giải
Đường thẳng MN có phương trình là x + 2y + 3 = 0. Suy ra đường thẳng (d) MN có phương
trình y = 2x + m.
Gọi A, B (C) đối xứng nhau qua MN. Hoành độ của A và B là nghiệm của PT
Phạm Đình Luyến Chuyên viên Sở GD&ĐT
4
2x 4
2 x m 2 x 2 mx m 4 0 ( x 1) (1).
x 1
x 1 không là nghiệm của (1) m
(d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt (1) có 2 nghiệm phân biệt = m2 – 8m – 32 > 0
m 4 4 3
Gọi x1 , x2 là 2 nghiệm của (1) A(x1; 2x1 + m), B(x2; 2x2 + m) (với x1, x2
m 4 4 3
là nghiệm của (1)).
m
x
x
1
2
2
Theo định lý Viet ta có
x x m 4
1 2
2
x1 x2
m m
; x1 x2 m I ; .
4 2
2
Gọi I là trung điểm của AB thì I
Ta có IMN
m
m 3 0 m 4 , Từ (1) 2x2 – 4x = 0 A(0; –4), B(2;0).
4
Bài 6 Cho hàm số y
2x 1
(C). Tìm m để đường thẳng d: y = x + m cắt (C) tại hai điểm
x 1
phân biệt A, B sao cho OAB vuông tại O.
Lời giải
2
Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C): x (m 3) x 1 m 0,
x 1 (*)
x 1 không là nghiệm của (1) m .
2
m 2 2m 5 m 1 4 0, m . Khi đó gọi x1 , x2 là hai nghiệm của (*) theo định
x1 x2 3 m
lý Viet ta có
.
x1 x2 1 m
Gọi A, B là các giao điểm, ta có A( x1 ; x1 m) , B ( x2 ; x2 m)
Để OAB vuông tại O thì OA.OB 0 x1 x2 x1 m x2 m 0
2 x1 x2 m x1 x2 m 2 0 m 2 . Vậy m 2 .
Bài 7 Cho hàm số y x 2mx ( m 3) x 4 có đồ thị là (Cm), đường thẳng (d)
3
2
y = x+4 và điểm K(1; 3). Tìm các giá trị của tham số m sao cho (d) cắt (C m) tại ba điểm phân
biệt A(0; 4), B, C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng 8 2 . (21)
Lời giải
3
2
Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và d: x 2mx (m 3) x 4 x 4 (1)
Phạm Đình Luyến Chuyên viên Sở GD&ĐT
5
x 0
(1) x( x 2 2mx m 2) 0
2
g ( x) x 2mx m 2 0 (2)
(d) cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0.
m 2 m 2 0
g (0) m 2 0
Mặt khác: d ( K , d )
m 1 m 2
m 2
1 3 4
Do đó: S KBC 8 2
2
(a) .
2
1
BC.d ( K , d ) 8 2 BC 16 BC 2 256
2
( x1 x2 ) 2 ( y1 y2 ) 2 256 với x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình (2).
( x1 x2 ) 2 (( x1 4) ( x2 4)) 2 256 2( x1 x2 ) 2 256 ( x1 x2 ) 2 4 x1 x2 128
1 137
(thỏa (a)).
4m 2 4(m 2) 128 m 2 m 34 0 m
2
1 137
Vậy m
.
2
2x 1
có đồ thị (C). Tìm các giá trị của m để đường thẳng
x 2
y mx 1 cắt (C) tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh của (C).
Bài 8
Cho hàm số y
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là
2x 1
mx 2
x 1
mx 2 mx 1 0, x 1 (*)
m=0 (C) cắt d tại một điểm, do đó không thoả yêu cầu đề bài.
m 0 : x 1 không là nghiệm của pt (*).
(C) cắt d tại điểm hai điểm phân biệt pt (*) có hai nghiệm phân biệt
m 4
m 2 4m 0
.
m 0
Gọi hoành độ các giao điểm là x1 ; x2 thì x1 ; x2 là nghiệm của phương trình (*). Theo Viet ta có
x1 x2 1
1.
x
x
1 2
m
d cắt (C) tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh của (C).
Phạm Đình Luyến Chuyên viên Sở GD&ĐT
6
x1 1 x2 1 x1 1 x2 0 1 x1 x2 x1 x2 0 1 1
1
0 m 0
m
Vậy m 0 .
3
2
Bài 9 Cho hàm số y x 3mx 9 x 7 có đồ thị (Cm). Tìm m để (Cm) cắt trục Ox tại 3
điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và trục hoành: x 3 3mx 2 9 x 7 0 (1).
Giả sử (Cm) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt, khi đó gọi hoành độ các giao điểm là
x1 ; x2 ; x3 thì x1 ; x2 ; x3 là nghiệm của phương trình (1). Theo Viet ta có x1 x2 x3 3m .
Để x1 ; x2 ; x3 lập thành cấp số cộng thì x1 x3 2 x2 x2 m 2m 3 9m 7 0
m 1
.
m 1 15
2
Thử lại ta được m
1 15
2
3
2
Bài 10 Cho hàm số y x 3mx 3 x 3m 2 có đồ thị (Cm). Tìm m để (Cm) cắt trục
2
2
2
Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1 ; x2 ; x3 sao cho x1 x2 x3 15 .
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và trục hoành x 3 3mx 2 3 x 3m 2 0 (1).
Giả sử (Cm) cắt trục hoành trục hoành tại ba điểm phân biệt, khi đó gọi hoành độ các giao điểm
là x1 ; x2 ; x3 thì x1 ; x2 ; x3 là nghiệm của phương trình (1). Theo định lý Viet ta có
x1 x2 x3 3m
.
x
x
x
x
x
x
3
1 2 1 3 2 3
2
Do đó x12 x2 2 x3 2 15 x1 x2 x3 2 x1 x2 x1 x3 x2 x3 15
9m 2 6 15 m 1 . Thử lại ta được m 1
3. Bài tập tự giải
1
3
3
2
1) Cho hàm số y x m 3 x 4 m 3 x 2m 5 . Tìm m để hàm số có cực
trị tại x1 , x2 sao cho x1 x2 3 .
Kết quả m 1 hoặc
39
m 3.
10
3
2
2
2
2) Cho hàm số y x 2mx 2m 1 x m 1 m
Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1.
4
3
C . Tìm m để C
m
m
Kết quả m 1 .
3
2
3) Cho hàm số y x 2(1 sin ) x (1 cos2 ) x 1 . Tìm m để hàm số đạt
Phạm Đình Luyến Chuyên viên Sở GD&ĐT
7
cắt
cực trị tại x1 , x2 sao cho x1 2 x2 1 . Kết quả
1
sin
6
2
.
4) (Đề thi ĐH khối D 2008) Cho hàm số y x 3x 4 (C) và điểm I(1;2). Chứng
3
2
minh rằng với mọi đường thẳng đi qua I có hệ số góc k > -3 đều cắt (C) tại ba điểm phân biệt
A, B, I và I là trung điểm của AB.
5) Cho hàm số y x 3 x (C). Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng (d)
3
y m x 1 2 luôn cắt đồ thị (C) tại một điểm M cố định và xác định các giá trị của m để (d) cắt
(C) tại 3 điểm phân biệt M, N, P sao cho tiếp tuyến với đồ thị (C) tại N và P vuông góc với nhau.
Kết quả m
Phạm Đình Luyến Chuyên viên Sở GD&ĐT
8
3 2 2
3
- Xem thêm -
.DOC 
8 
119 
113 
