Đăng ký Đăng nhập

Tài liệu Index (1)

.DOC
8
138
75

Mô tả:

ỨNG DỤNG LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH Trong nhiều bài toán về chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, giải phương trình, hệ phương trình, tìm giới hạn của dãy số …chúng ta có thể giải được một cách “đẹp đẻ” bằng phương pháp lượng giác. Sau đây là một số cách đặt và bài toán minh họa. I. Một số cách đặt để đưa bài toán về dạng lượng giác 1. Các biểu thức thường gặp  x a cos t  0 t    a 2  x 2 đặt      x a sin t   t   2  2 a  3   đặt x cos t  0 t  2   t  2       đặt x a tan t    t   2  2  x2  a 2 a2  x2 x y x y  x tan t    x tan t       t , u   ;   t , u     đặt đặt   1  xy 1  xy 2 2  y tan u  2  y tan u  2 2. Nếu biến x của bài toán thỏa x 1  x cos t  Đặt   x sin t   0 t        2 t  2    2 2 2 2 2 3. Nếu các biến x, y của bài toán thỏa a x + b y = c  a,b,c > 0  c   x a sin t  0 t 2  Đặt   y  c cost  b 4. Nếu các biến x, y, z của bài toán thỏa x + y + z = xyz hoặc xy + yz + zx = 1  x tan t     Đặt  y tan u   2  t , u, v  2    z tan v   II. Một số bài toán minh họa 1. Phương trình, hệ phương trình 1 Bài 1: Giải phương trình 4 x3  3x  0 . 2 1 3 Lời giải: Đặt f  x  4 x  3x  . Ta có 2 f   1  1,5, f   0,5 0,5, f  0   0,5, f 1 0,5 . Do đó phương trình có 3 nghiệm thuộc khoảng   1;1 và ta biết cos3 =4cos3  3cos , do đó đặt x cos t  0 t   khi đó phương trình có dạng cos3t = 1  t   k 2 với 2 9  5 7  5 7 0 t   t1  ; t2  ; t3   x1 cos ; x2 cos ; x3 cos 9 9 9 9 9 9 Phạm Đình Luyến, Chuyên viên Phòng GDTrH, Sở GD&ĐT 1  5 7 ; x3 cos vậy phương trình có 3 nghiệm x1 cos ; x2 cos . 9 9 9  Đặt 2t  2 1 x    x Bài 2: Giải phương trình 3  2 2  2  1  3  1 . Lời giải:  4t 3  3t  1 0 2 x 1  t  0 khi đó phương trình có dạng 4t 2  3  2t 0  * 1  Đặt t cos u  0 u   khi đó phương trình có dạng cos3u   u   k 2  2 9  5  7  ; t cos phương trình  * có 3 nghiệm t1 cos ; t2 cos . 9 9 3 9 Vậy Phương trình  1 có nghiệm  5 7 x1 log 2 1  cos  ; x2 log 2 1  cos  ; x3 log 2 1  cos  9 9  9     1 Bài 3: Giải phương trình 16 x5  20 x3  5x  0 . 2 1 Lời giải: Đặt f  x  16 x5  20 x3  5 x  . Ta có 2 f   1  1,5; f   0,9  0,1321; f  0   0,5; . Do đó phương trình có f  0,2  0,3451; f  0,5 0; f  0,6   0,575; f 1 0,5. 5 nghiệm thuộc khoảng   1;1 và ta biết cos5 =16cos5  20cos3  5cos , do đó 1  k 2 đặt x cos t  0 t   khi đó phương trình có dạng cos5t =  t   với 2 15 5  5 7 11 13 0 t   t1  ; t2  ; t3  ; t4  ; t5  15 15 15 15 15   1 7 11 13  x1 cos ; x2 cos  ; x3 cos ; x4 cos ; x5 cos . Vậy phương 15 3 2 15 15 15   1 7 11 13 ; x5 cos trình có 5 nghiệm x1 cos ; x2 cos  ; x3 cos ; x4 cos . 15 3 2 15 15 15 Bài 4: Giải phương trình 8 x 4  8 x3  4 x 2  3x 1 0 . Lời giải: Đặt f  x  8 x 4  8 x3  4 x 2  3x 1 . Ta có f   1 10; f   0,4  0,123; f  0  1; . Do đó phương trình có 4 nghiệm thuộc f  0,6   0,575; f  1 0. 2 khoảng   1;1 . Ta viết laị phương trình dưới dạng 2  2 x 2  1  1 4 x3  3x Do đó đặt x cos t  0 t    t k 2 khi đó phương trình có dạng cos4t =cos3t   k 2 t  7 2 4 6 với 0 t   t1 0; t2  ; t3  ; t4  7 7 7 2 4 6  x1 1; x2 cos ; x3 cos ; x4 cos . 7 7 7 2 4 6 ; x3 cos ; x4 cos Vậy phương trình có 5 nghiệm x1 1; x2 cos . 7 7 7 Phạm Đình Luyến, Chuyên viên Phòng GDTrH, Sở GD&ĐT 2 Bài 5: (Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi tỉnh Bến Tre năm học 2013-2014).  x y(4  y)  Cho hệ phương trình  y z(4  z)  1 . Gọi  x; y; z  là nghiệm của hệ phương trình  z x(4  x)  (1). Tìm tất cả các giá trị của tổng T x  y  z . 2 2 2 Lời giải: Cộng các vế của hệ ta được x  y  z 4  x  y  z    x  y  z   3T x 2  y 2  z 2  T 0  trong 3 số x hoặc y hoặc z có ít nhất một số không âm giả sử x 0  y  4  y  0  0  y 4 . Với 0 y 4  0 z  4  z  4  0 z 4 và 0 z 4  0 x  4  x  4  0 x 4   2 Đặt x 4sin   0   2  (4) . Từ (3), (2), (1)    z 4sin 2  4  4sin 2  =16sin 2  cos 2 4sin 2 2   y 4sin 2 2 4  4sin 2 2 =16sin 2 2 cos 2 2 4sin 2 4   x 4sin 2 4  4  4sin 2 4  =16sin 2 4 cos 2 4 4sin 2 8 (5) Từ (4) và (5) suy ra 4sin 2 8 4sin 2   cos16 cos2        k 7 k 9  k Z   k Với   vì 0   2  k 0; 1; 2; 3 . 7 Với k 0  x 4sin 2 0 0; y 4sin 2  2.0  0; z 4sin 2  4.0  0  T 0 Với k 1; 2; 3  ta được cùng một giá trị    T 4  sin 2   sin 2 2  sin 2 3  7 7 7     2  1  cos 2 1  cos 4 1  cos 6  7 7 7     6  2  cos 2  cos 4  cos 6  7 7 7   2  4  6  A= cos  cos  cos 7 7 7   2   2sin A 2sin cos  2sin  cos 4  2sin  cos 6 7 7 7 7 7 7 7 3   5  3  7  5  sin  sin  sin  sin  sin  sin  sin  7 7 7 7 7 7 7 1  A=-  T 7 2  k Với   vì 0   2  k 0; 1; 2; 3; 4 .Với k 0  9 Phạm Đình Luyến, Chuyên viên Phòng GDTrH, Sở GD&ĐT 3 x 4sin 2 0 0; y 4sin 2  2.0  0; z 4sin 2  4.0  0  T 0 Với k 1; 2; 4  ta được cùng một giá trị    T 4  sin 2   sin 2 2  sin 2 4  9 9 9      2  1  cos 2 1 cos 4 1 cos 8  6  2  cos 2  cos 4  cos 8 9 9 9  9 9 9   A= cos 2  cos 4  cos 8 9 9 9  2sin  A 2sin  cos 2  2sin  cos 4  2sin  cos 8 9 9 9 9 9 9 9 sin 3  sin   sin 5  sin 3  sin 9  sin 7 9 9 9 9 9 9  5  7   2   sin  sin  sin  sin  2cos sin   A=0  S=6 9 9 9 9 3 9  2 3 2 6 2 12  Với k 3  S 4  sin 9  sin 9  sin 9  9   Vậy T có thể nhận một trong 4 giá trị 0; 6; 7; 9 3 2  Bài 6: Giải phương trình 1  1  x   1  x       3 1  x   2  1  x 2 .  Lời giải: Đặt x cos t  0 t   khi đó phương trình có dạng 3 1  sin t   1  cost     1  cost  3   2  sin t  t t 2 t t   cos  sin   23 cos6  23 sin 6   2  sin t 2  2  2 t t t t  2 2  cos  sin   cos3  sin 3  2  sin t 2 2  2 2  t t t t t t  2 2  cos 2  sin 2   cos 2  cos sin  sin 2  2  sin t 2 2  2 2 2 2  1 1      2 2cost 1  sin t  2  sin t  2 2cost - 1  1  sin t  0 2 2     1   2cost - 1 0  cost = 2   1 1  sin t 0  VN  2   2  Vậy phương trình có nghiệm x   1 . 2 2. Chứng minh các hệ thức a b b c c a a b b c c a    . . Bài 1: Chứng minh rằng . Với ab, bc, ca 1  ab 1  bc 1  ca 1  ab 1  bc 1  ca đều khác -1. Phạm Đình Luyến, Chuyên viên Phòng GDTrH, Sở GD&ĐT 4 Lời giải: Đặt a tan  ; b tan  ; c tan  khi đó a  b tan   tan  b  c tan   tan   tan      ;  tan      ; 1  ab 1  tan  tan  1  bc 1  tan  tan  c  a tan   tan   tan      1  ca 1  tan  tan  a b b c c a   tan       tan       tan      . Ta có 1  ab 1  bc 1  ca sin  A + B sin C tan A + tan B + tan C   cosA + cosB cosC sin  A + B cosC + sin Csin  A + B   cosAcosBcosC sin  A + B + C  -cos  A + B  sin C + cosAcosBsin C  cosAcosBcosC sin  A + B + C  +sin Asin Bsin C sin  A + B + C     tan A tan Btan C cosAcosBcosC cosAcosBcosC sin  A + B + C   tan A + tan B + tan C   tan A tan Btan C cosAcosBcosC a b b c c a    tan       tan       tan      1  ab 1  bc 1  ca sin                tan  tan  tan  cos cos cos sin 0   tan  tan  tan  cos cos cos a b b c c a  . . (đpcm) 1  ab 1  bc 1  ca 3a  a 2 3b  b2 3c  c2 3a  a 2 3b  b2 3c  c 2    . . Bài 2: Chứng minh rằng . Với 1  3a 2 1  3b 2 1  3c 2 1  3a 2 1  3b2 1  3c 2 1 a  b  c abc và a, b, c đều có giá trị tuyệt đối khác . 3 Lời giải: Đặt a tan  ; b tan  ; c tan  khi đó sin   +  +   tan  + tan  + tan    tan  tan  tan  cos cos cos Do đó tan  + tan  + tan  tan  tan  tan  khi  +  +  = k  k  Z  3a  a 2 3tan   tan 2  3b  b2 3tan   tan 2    tan3  ;  tan3 ; 1  3a 2 1  3tan 2  1  3b2 1  3tan 2  3c  c 2 3tan   tan 2   tan3 1  3c 2 1  3tan 2   +  +  = k  k  Z   3 + 3 + 3 = 3k Vậy tan3 + tan3 + tan3 = tan3 tan3 tan3 3a  a 2 3b  b 2 3c  c 2 3a  a 2 3b  b2 3c  c 2     . . (đpcm) 1  3a 2 1  3b2 1  3c 2 1  3a 2 1  3b 2 1  3c 2 Phạm Đình Luyến, Chuyên viên Phòng GDTrH, Sở GD&ĐT 5 Bài 3: Cho ab  bc  ca 1  a, b, c  0  . Chứng minh rằng 1 1 1 2    2 2 2 bc  1  a  ca  1  b  ab 1  c  abc 1  a 2 1  b2 1  c 2    0   ,  ,    khi đó theo giả thiết 2  Lời giải: Đặt a tan  ; b tan  ; c tan  ta có tan  tan  + tan  tan  + tan  tan  1  tan  tan  + tan  tan  1  tan  tan  tan   tan   tan   tan  + tan    tan       tan   Ta có 1  cot             tan      2  1 1   co t  co t cos2 2  bc 1  a 2 tan  tan  1  tan    1 1  co t co t  cos 2   2 2 ca 1  b tan  tan  1  tan    1 1  2  ab 1  c 2 tan  tan  1  tan 2  co t  co t  cos               Do đó VT co t  co t cos2  co t co t  cos 2   co t  co t  cos 2 co t  co t cos 2  co t co t  cos 2   cot  co t  cos 2 co t  co t  co t   tan  cos 2  tan  cos 2   tan cos 2  1  co t  co t  co t   sin 2  sin 2  sin 2  2 1  co t  co t  co t 4cos cos cos  2  2  2   2 2  2cot  co t  co t cos cos cos  (đpcm) abc 1  a 2 1  b2 1  c 2 3.Bất đẳng thức, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất n n Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta đều có  1  a    1  a  2n . Với a 1 . n n n Đặt a cost khi đó  1  a    1  a   1  cost    1  cost  t t t t   2n  cos 2 n  sin 2n  2 n  cos 2  sin 2  2n 2 2 2 2 Lời giải:     t t t 2 2 2 cos 2 1  cos2 n cos2 Vì t t t sin 2 1  sin 2n sin 2 2 2 n 2 Bài 2: Cho a  b  2a  4b  4 0 . Chứng minh rằng a 2  b2  2 3ab  2 1  2 3 ab  4  2 3 b  3  4 3 2 2 2     Lời giải: Phạm Đình Luyến, Chuyên viên Phòng GDTrH, Sở GD&ĐT 6 2 2 Ta có a 2  b2  2a  4b  4 0   a  1   b  1 1 .  a  1 sin t  a 1  sin t Đặt  khi đó b  2 cost  b 2  cost  2 6   1  x4 y  2 Bài 3: Tìm gía trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 1  x2  . a 2  b 2  2 3ab  2 1  2 3 ab  4  2 3 b  3  4 3 2sin  2t      2 1  x4 1  2x  1   Lời giải: Ta viết laị hàm số dưới dạng y  2 4 2  1  x 2  1  2x  x 2    1  2tan t  1 1  sin 2 2t Đặt x tan t    t   khi đó hàm số có dạng y 1    2 2 2  1  tan t  2  2 Vậy ymax 1 khi sin2t = 0,  - < 2t <    t 0  x tan 0 0 1   ymin  khi sin2t = 1,  - < 2t <    2t   x tan 1 . 2 2 4 4. Tính giới hạn và tìm số hạng tổng quát của dãy số un  2  1 , n 1,2,3,... Tính u2013 . Bài 1: Cho dãy số  un  thỏa u1  2, un1  1  2 un 1     và chú ý rằng 2  1 tan . Khi đó 2 8    tan      tan tan   tan 8 8 tan    2    8 tan      , u  u2  .   3     8 8       1  tan  tan 1  tan     tan 8 8 8    Bằng qui nạp ta chứng minh được un tan     n  1  , n 1 . 8   1 1  Vậy u2013 tan    2012 8   cot   tan     2 Bài 2: Cho dãy số  un  thỏa u0  2, un1  2  un , n  N Tính limun .     Lời giải: Ta có u0  2 2cos , u1  2  u0  2  1  cos  2cos 3 4 4 2   Bằng qui nạp ta chứng minh được un 2cos n2 , n 1 . 2    Vậy lim un lim  2cos n 2  2cos0 2 . 2   III. Bài tập tự giải 1. Chứng minh rằng nếu a 2  b2 c2  d 2 1 thì ac  bd 1 . 3 2. Giải phương trình  4 x3  3x  0 . 2 2 1 3. Giải phương trình 32 x  x 2  1 2 x 2  1 1  , trên khoảng  0;1 . x Lời giải: Đặt u1  2 tan  , 0    Phạm Đình Luyến, Chuyên viên Phòng GDTrH, Sở GD&ĐT 7 4. Cho 0 ai 1, i 1,2,..., n n  N * . Chứng minh rằng 1  a12 1  a22  ...1  an2   1  a12 1  a22  ...1  an2  2n . 5. Cho a, b, c  0 và thỏa mãn ab  bc  ca 1 . Tính giá trị của biểu thức 1  b 1  c   b 1  c 1  a   c 1  a 1  b  . 2 M a 1  a2 2 2 2 1  b2 Phạm Đình Luyến, Chuyên viên Phòng GDTrH, Sở GD&ĐT 2 2 1  c2 8
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan