Tài liệu Iđêan tuyệt đối của nhóm abel không xoắn báo cáo tổng kết

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP TRƯỜNG IĐÊAN TUYỆT ĐỐI CỦA NHÓM ABEL KHÔNG XOẮN MÃ SỐ: CS2015.19.62 Cơ quan chủ trì: Khoa Toán-Tin học, Đại học Sư phạm TPHCM Chủ nhiệm đề tài: TS. Phạm Thị Thu Thủy THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 05 / 2017 1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP TRƯỜNG IĐÊAN TUYỆT ĐỐI CỦA NHÓM ABEL KHÔNG XOẮN MÃ SỐ: CS2015.19.62 Xác nhận của cơ quan chủ trì Chủ nhiệm đề tài THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 05 / 2017 2 DANH SÁCH NGƯỜI THAM GIA ĐỀ TÀI Họ và tên Phạm Thị Thu Thủy Đơn vị công tác và lĩnh vực chuyên môn Khoa Toán Tin, trường ĐH Sư phạm TPHCM 3 Nội dung nghiên cứu cụ thể được giao Tiêu chuẩn nhóm RAI và afi hoàn toàn phân rã BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM TP.HCM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc Tp.HCM, ngày 02 tháng 05 năm 2017 THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 1. Thông tin chung: − Tên đề tài: IĐÊAN TUYỆT ĐỐI CỦA NHÓM ABEL KHÔNG XOẮN − Mã số: CS2015.19.62 − Chủ nhiệm: TS. Phạm Thị Thu Thủy − Cơ quan chủ trì: Khoa Toán-Tin học, Đại học Sư phạm TPHCM − Thời gian thực hiện: 09/2015-09/2016 2. Mục tiêu: Nghiên cứu mô tả iđêan tuyệt đối và cấu trúc nhóm RAI, afi trong nhóm Abel không xoắn rank 1 và một lớp nhóm Abel không xoắn hoàn toàn phân rã. 3. Tính mới và sáng tạo: Các kết quả đã có về idean tuyệt đối của nhóm Abel, nhóm RAI, nhóm afi tập trung ở lớp nhóm xoắn. Nghiên cứu iđêan tuyệt đối và nhóm RAI, nhóm afi trên các nhóm không xoắn hoàn toàn phân rã là cơ sở cần thiết để có cái nhìn tổng quát về các bài toán này trong lớp nhóm Abel không xoắn. 4. Kết quả nghiên cứu: Mô tả iđêan tuyệt đối chính của nhóm không xoắn hoàn toàn phân rã đồng nhất và nêu điều kiện cần, điều kiện đủ để các nhóm Abel này là nhóm RAI, nhóm afi. 5. Sản phẩm: Phạm Thị Thu Thủy, Iđêan tuyệt đối của nhóm Abel không xoắn // Tạp chí Khoa học trường Đại học Sư phạm TPHCM, Khoa học Tự nhiên và công nghệ, 03/2017, tập 15, trang 68-75. 6. Hiệu quả, phương thức chuyển giao kết quả nghiên cứu và khả năng áp dụng: Kết quả của đề tài có thể sử dụng để giảng dạy các chuyên đề về Lý thuyết nhóm Abel cho sinh viên Toán các khóa trên hoặc sinh viên cao học Toán. Xác nhận của cơ quan chủ trì Ngày 02 tháng 05 năm 2017 Chủ nhiệm đề tài 4 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM TP.HCM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc Tp.HCM, ngày 02 tháng 05 năm 2017 INFORMATION ON RESEARCH RESULTS 1. General information: − Project title: ABSOLUTE IDEALS OF TORSION FREE ABELIAN GROUPS − Code number: CS2015.19.62 − Coordinator: Dr. Phạm Thị Thu Thủy − Implementing institution: Mathematics and Informatics Department, Ho Chi Minh City University of Education − Duration: From 09/2015 to 09/2016 2. Objective(s): Describe the absolute ideals and the structures of RAI-groups, afi-groups in the class of Abelian torsion-free groups. 3. Creativeness and innovativeness: Most results on absolute ideals of Abelian groups, RAI-groups and afi-groups concentrate in the class of torsion Abelian groups. The study of these problems in the class of completely decomposable Abelian groups is the first step for further researches in the class of torsion-free Abelian groups in general. 4. Research results: Describe the absolute ideals of isotype completely decomposable Abelian groups and give a criterion for a group of this class to be an RAI-group or afi-group. 5. Products: Pham Thi Thu Thuy, Absolute ideal of completely decomposable Abelian groups // Ho Chi Minh City University of Education, Journal of science, Special issue: Natural sciences and technology, 03/2017, Vol 15, pp 68-75. 6. Effects, transfer alternatives of research results and applicability: The results of this project can be used as references or lectures on Abelian group theory for BS or MS students of mathematics major. Xác nhận của cơ quan chủ trì Ngày 02 tháng 05 năm 2017 Chủ nhiệm đề tài 5 MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU ............................................................................................................7 1. Giới thiệu ...........................................................................................................9 2. Vành trên nhóm Abel hoàn toàn phân rã ..........................................................9 3. Iđêan tuyệt đối của nhóm không xoắn hoàn toàn phân rã đồng nhất ..............12 KẾT LUẬN ..............................................................................................................16 6 LỜI MỞ ĐẦU Một trong những câu hỏi đầu tiên đặt ra để hiểu rõ tính chất của các vành trên một nhóm Abel G là “vai trò của các nhóm con thay đổi như thế nào trong các vành khác nhau trên G?”. Do đó, nhiều nghiên cứu đặc biệt quan tâm tới những nhóm con của G mà luôn là iđêan, Nil iđêan hay vành con trong mọi vành trên G. Những nhóm con như vậy được gọi là iđêan (Nil iđêan, vành con) tuyệt đối của nhóm G. Trong số các nghiên cứu theo hướng này có thể kể tới các công trình của K. McLean, E. Fried, L. Fuchs, A. Chekhlov, E. Kompantseva, v.v. Nhiều bài toán được đặt ra bởi các nhà Toán học uy tín cho thấy sự cần thiết nghiên cứu iđêan tuyệt đối của nhóm Abel. Năm 1973, trong tập 2 quyển “Nhóm Abel vô hạn” (“Infinite Abelian groups”), được coi là cẩm nang của lý thuyết nhóm Abel, L. Fuchs đặt bài toán (vấn đề số 93): “Mô tả tất cả các nhóm Abel mà trên đó có thể xây dựng được cấu trúc vành sao cho mọi iđêan của nó đều là iđêan tuyệt đối.” Những nhóm như vậy được gọi là nhóm RAI. Tính quan trọng của nhóm RAI còn thể hiện ở chỗ lớp nhóm này chứa nhiều nhóm đang rất được quan tâm nghiên cứu hiện nay như nhóm Nil và E-nhóm. Nghiên cứu nhóm RAI, vì thế, cũng có thể mang lại những thông tin bổ ích về các lớp nhóm nói trên. Một trong những nhóm con có vai trò đặc biệt trong nhóm Abel G là các nhóm con hoàn toàn đặc trưng của nó, tức là các nhóm con bất biến đối với mọi đồng cấu trên G. Mối liên hệ chặt chẽ giữa iđêan tuyệt đối và nhóm con hoàn toàn đặc trưng đã được L.Fuchs ghi chú trong quyển “Nhóm Abel vô hạn” [1]. Một nhóm con hoàn toàn đặc trưng luôn là một iđêan tuyệt đối, nhưng chiều ngược lại không đúng. Bài toán mô tả các nhóm Abel trong đó mọi iđêan tuyệt đối đều là một nhóm con hoàn toàn đặc trưng được E. Fried đặt ra trong [2] và đạt được một số kết quả trong các công trình của E. Fried và K. McLean. Cần ghi chú là các kết quả đạt được về iđêan tuyệt đối, nhóm RAI và afi tập trung trong lớp nhóm xoắn và một số lớp nhóm hỗn hợp mà cấu trúc của nó liên quan chặt chẽ tới nhóm con xoắn của chính nó. Tiêu chuẩn nhóm RAI xoắn được đưa ra và chứng minh hoàn chỉnh trong [6,7]. McLean giải quyết bài toán mô tả nhóm afi trong lớp nhóm Abel xoắn hoàn toàn bắc cầu trong [5]. 7 Tuy nhiên, đối với các lớp nhóm không xoắn các bài toán trên còn ít. Gần đây, trong [4], Kompantseva E. I. và Fomin A. A. mô tả nhóm RAI trong một lớp con của lớp các nhóm không xoắn hầu như hoàn toàn phân rã. Không khó để thấy được nguyên nhân: sự hạn chế về kết quả trong nghiên cứu cấu trúc nhóm Abel không xoắn không cho phép chúng ta có cái nhìn toàn diện về vành trên chúng. Việc nghiên cứu iđêan tuyệt đối và nhóm RAI, nhóm afi trên các nhóm không xoắn là cần thiết để có cái nhìn tổng quát về các vấn đề này. Hơn nữa, các nghiên cứu ngày càng nhiều về các vành không xoắn của R. Baer, R. Beaumont và R. Pierce, L. Fuchs, Mader và Vinsonhaler, K. Rangaswamy, A. Fomin, E. Blagaveshenskaya v.v cho thấy sự quan tâm của các nhà toán học đối với các tính chất của vành trên nhóm không xoắn. MỤC TIÊU ĐỀ TÀI. Nghiên cứu mô tả iđêan tuyệt đối và cấu trúc nhóm RAI, afi trong lớp nhóm Abel không xoắn. CÁCH TIẾP CẬN. Việc nghiên cứu iđêan tuyệt đối và nhóm RAI, nhóm afi trong lớp nhóm không xoắn bắt đầu từ các nhóm có cấu trúc cơ bản nhất: nhóm không xoắn rank 1 và tổng trực tiếp của chúng: các nhóm không xoắn hoàn toàn phân rã (completely decomposable torsion-free groups). Nhóm Abel hoàn toàn phân rã được xác định duy nhất bởi hệ cơ sở của nó. Đây là điều kiện quan trọng để mô tả vành trên nhóm Abel hoàn toàn phân rã, từ đó có thể mô tả các ideal tuyệt đối và giải quyết các bài toán đặt ra trên lớp nhóm này. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: Suy luận lý thuyết PHẠM VI NGHIÊN CỨU: nhóm Abel không xoắn hoàn toàn phân rã đồng nhất. Trong báo cáo này, mọi nhóm được đề cập đều là nhóm Abel. Do đó, để đơn giản, từ "nhóm" trong bài này mặc định được hiểu là "nhóm Abel". 8 1. GIỚI THIỆU 1.1. Định nghĩa. Một phép nhân trên nhóm G là một hàm song tuyến tính µ : G × G → G . Để đơn giản, ta thường dùng ký hiệu × cho phép nhân, nghĩa là a×b = µ (a, b) . Nhóm G cùng với một phép nhân × trên nó được gọi là một vành trên nhóm G , ký hiệu là (G, ×) . 1.2. Định nghĩa. Nhóm con A của nhóm G được gọi là một iđêan tuyệt đối của G nếu A là iđêan trong mọi vành trên G . Nhóm RAI là nhóm Abel mà trên đó có thể xây dựng được một vành trong đó mọi iđêan đều là iđêan tuyệt đối. Vấn đề mô tả nhóm RAI được đặt ra bởi Fuchs L. trong [3, vấn đề 93]. Nhóm Abel được gọi là nhóm afi nếu mọi iđêan tuyệt đối A của nó đều là nhóm con hoàn toàn đặc trưng, nghĩa là ϕ ( A) ⊆ A với mọi tự đồng cấu ϕ ∈ End (G ) . Ta sẽ sử dụng một số khái niệm và kết quả sau trong [6] và [7]. 1.3. Định nghĩa [6]. Iđêan tuyệt đối chính sinh bởi g trong nhóm G , ký hiệu 〈 g 〉 AI , là iđêan tuyệt đối nhỏ nhất chứa g . Để phân biệt, ta ký hiệu iđêan chính sinh bởi g trong vành (G, ×) là 〈 g 〉 × . 1.4. Định lý [6]. Cho G là nhóm. Khi đó các điều kiện sau là tương đương: i. Nhóm G là nhóm RAI. ii. Trên G tồn tại vành (G, ×) sao cho 〈 g 〉 × là iđêan tuyệt đối với mọi g ∈ G . iii. Trên G tồn tại vành (G, ×) sao cho 〈 g 〉 × =〈 g 〉 AI với mọi g ∈ G . 1.5. Định lý [7]. Nhóm G là nhóm afi khi và chỉ khi 〈 g 〉 AI là nhóm con hoàn toàn đặc trưng của G với mọi g ∈ G . 2. VÀNH TRÊN NHÓM ABEL HOÀN TOÀN PHÂN RÃ 2.1. Định nghĩa. Cho G là một nhóm, p là số nguyên tố và g ∈ G . Khi đó số nguyên dương n lớn nhất sao cho p n∣g trong G được gọi là p -cao độ của phần tử g trong G và ký hiệu là hp(G ) ( g ) ; nếu số nguyên dương n như vậy không tồn tại thì ta nói hp( G ) ( g ) = ∞ . 9 Để đơn giản, nếu ta chỉ xét cao độ của phần tử trong một nhóm cố định, ta sẽ chỉ dùng ký hiệu hp ( g ) cho p -cao độ của phần tử g . Cho p1 , p2 ,… là tất cả các số nguyên tố được xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó dãy = χ ( g ) (hp ( g ), hp ( g ), …, hp ( g ), …) được gọi là 1 2 n dãy cao độ hay đặc trưng của phần tử g trong nhóm G . Như vậy, một dãy cao độ chỉ có thể chứa các số nguyên và ký hiệu ∞. Hai dãy cao độ được gọi là tương đương nếu chúng chỉ có hữu hạn (hoặc không có) các vị trí khác nhau, và tại các vị trí đó đều phải là các số nguyên. Dễ thấy, quan hệ trên giữa các dãy cao độ thực sự là một quan hệ tương đương. Ta gọi mỗi lớp tương đương các dãy cao độ là một dạng. Dạng của phần tử g ∈ G là dạng chứa χ ( g ) và ký hiệu là t ( g ) . Dễ thấy, nếu G là một nhóm không xoắn hạng 1, thì mọi phần tử khác 0 đều phụ thuộc tuyến tính với nhau và có dãy cao độ tương đương. Do đó, các phần tử khác 0 trong nhóm G không xoắn hạng 1 đều có cùng một dạng, được gọi là dạng của nhóm G không xoắn hạng 1 và ký hiệu là t (G ) . Thực tế, hai nhóm không xoắn hạng 1 đẳng cấu với nhau khi và chỉ khi chúng có cùng dạng. Mệnh đề sau dễ dàng có được từ [3, Định lý 85.1]. 2.2. Mệnh đề. Cho G là một nhóm không xoắn hạng 1 dạng t . Nếu e là phần tử   u s ≤ h ( e )  , hiển nhiên, R có dạng t . i pi si  ∏ pi  khác 0 bất kỳ của G thì G = = Re với R  Ngược lại nếu R là nhóm hữu tỉ bất kỳ có dạng t = t (G ) ta luôn có thể chọn duy nhất trong G một phần tử e sao cho G = Re .  2.3. Định nghĩa. Cho = χ1 (k1 , k2 , …) và = χ 2 ( s1 , s2 , …) là hai dãy cao độ lần lượt có dạng t1 và t2 . Ta định nghĩa: i. Tích của hai dãy cao độ: χ1 χ 2 = (k1 + s1 , k2 + s2 ,…) . ii. Giao của hai dãy cao độ: χ1 ∩ χ 2 (min{k1 , s1}, min{k2 , s2 },…) . = iii. Tích và giao của hai dạng: t1t2 = t ( χ1 χ 2 ) và t1 ∩ t2= t ( χ1 ∩ χ 2 ) . Dãy cao độ χ (dạng t ) được gọi là lũy đẳng khi và chỉ khi χ 2 = χ ( t 2 = t ). Dễ thấy dãy cao độ χ lũy đẳng khi và chỉ khi χ chỉ chứa 0 và ∞. Và dạng t lũy đẳng nếu các phần tử đại diện của nó chỉ chứa hữu hạn (hoặc không có) các số nguyên khác 0. 2.4. Mệnh đề [3, Mệnh đề 85.3]. Cho (G, ×) là một vành trên G . Khi đó χ (a × b) ≥ χ (a) χ (b) với mọi a, b ∈ G .  10 2.5. Định nghĩa: Ta nói= χ1 (k1 , k2 , …) ≤= χ 2 ( s1 , s2 , …) nếu ki ≤ si với mọi i ∈ I . Ta nói t1 ≤ t2 nếu tồn tại χ1 ∈ t1 và χ 2 ∈ t2 sao cho χ1 ≤ χ 2 . Dễ thấy, quan hệ so sánh dãy cao độ và dạng đều là các quan hệ thứ tự không toàn phần. 2.6. Định nghĩa. Nhóm không xoắn hoàn toàn phân rã là nhóm có thể biểu diễn được dưới dạng tổng trực tiếp của các nhóm không xoắn hạng 1. 2.7. Mệnh đề [3, Mệnh đề 86.1]. Cho G = ⊕Gi là nhóm không xoắn hoàn toàn i∈I phân rã với Gi là các nhóm không xoắn hạng 1. Bộ các dạng {ti = t (Gi )}i∈I là một bất biến của nhóm G , nghĩa là không phụ thuộc vào cách phân tích G thành tổng trực tiếp của các nhóm không xoắn hạng 1. Nếu G = ⊕Gi là nhóm không xoắn hoàn toàn phân rã thì G có thể biểu diễn dưới i∈I dạng= G = G ⊕R e ⊕ i∈I i i∈I i i với Ri là nhóm hữu tỉ dạng ti = t (Gi ) . Tập hợp {ei }i∈I tạo thành một hệ độc lập tuyến tính tối đại, gọi là cơ sở, của nhóm G và mọi phần tử g ∈ G có thể được biểu diễn duy nhất dưới dạng = g ri1 ei1 + ri2 ei2 +…+ rin ein với rik ∈ Rik . 2.8. Định lý. Cho nhóm không xoắn hoàn toàn phân rã G = ⊕Ri ei . Khi đó, với mọi i∈I bộ {ai }i∈I các phần tử của G thỏa χ (ai ) ≥ χ (ei ) χ (e j ) với mọi i, j ∈ I , tồn tại duy nhất một vành (G, ×) trên G sao cho ei × e j = aij . Chứng minh Cho {ai }i∈I là bộ các phần tử của G thỏa χ (ai ) ≥ χ (ei ) χ (e j ) . Ta xét quy tắc nhân như sau: Cho = x n ∑ r= i ei , y n ∑ s e ∈G , =i 1 =i 1 i i với mọi i, j ∈ I ta có χ (aij ) ≥ χ (ei ) χ (e j ) và n ri ei , rj e j ∈ G nên ri s j∣ai hay ri s j aij ∈ G . Ta đặt x × y = ∑ ri s j aij . Dễ thấy, × là một đồng cấu i , j =1 song tuyến tính từ G × G vào G , nên (G, ×) là một vành trên G . Hơn nữa vì mọi phần tử đều biểu diễn duy nhất thành tổ hợp tuyến tính của các ei , I ∈ I và phép nhân bất kỳ đều là song tuyến tính trên G nên phép nhân × ở trên là duy nhất.  11 3. IĐÊAN TUYỆT ĐỐI CỦA NHÓM KHÔNG XOẮN HOÀN TOÀN PHÂN RÃ ĐỒNG NHẤT 3.1. Định nghĩa. Nhóm không xoắn đồng nhất là nhóm không xoắn mà mọi phần tử đều có cùng một dạng. Dễ thấy, nếu G là một nhóm không xoắn đồng nhất dạng t lũy đẳng thì ta luôn có thể chọn được một hệ cơ sở {ei }i∈I sao cho G = ⊕Rei , χ (ei ) lũy đẳng và R là một nhóm i∈I hữu tỉ dạng t . Bổ đề sau dễ dàng được suy ra từ [3, Mệnh đề 85.4]. 3.2. Bổ đề. Cho G là nhóm không xoắn hạng 1 có dạng = t (k1 , k2 , …, kn , …) . Khi đó, quy tắc ϕ là tự đồng cấu trên G khi và chỉ khi ϕ có dạng ϕ ( x) = không chia hết cho các số nguyên tố pi mà ki ∈ ¢ . m x với m, n ∈ ¢ và n n  3.3. Định lý (Nhóm đồng nhất dạng không lũy đẳng). Nếu G là nhóm không xoắn hoàn toàn phân rã đồng nhất dạng t với t không lũy đẳng thì i. mọi nhóm con của G đều là iđêan tuyệt đối và G là nhóm RAI; ii. G là nhóm afi khi và chỉ khi hạng của G là 1 và t không chứa ∞ . Chứng minh. i. Giả sử (G, ×) là một vành trên G và a, b là hai phần tử khác 0 bất kỳ của G . Vì G đồng nhất và t không lũy đẳng nên t (a ) = t (b)= t < t 2 . Mặt khác t (a × b) ≥ t (a )t (b) = t 2 . Vì G lũy đẳng dạng t nên a × b = 0 . Vậy trên G chỉ tồn tại duy nhất vành tầm thường. Hiển nhiên khi đó mọi nhóm con của G đều là iđêan tuyệt đối và G là nhóm RAI. ii. Giả sử G là nhóm không xoắn hạng 1 có dạng t không chứa ∞. Cho ϕ là một tự đồng cấu trên G và a ∈ G . Vì t không chứa ∞ nên từ Bổ đề 3.2 suy ra ϕ (a) = ma với m ∈ ¢ . Do đó ϕ (a ) ∈ 〈 a〉 AI . Vậy theo Định lý 1.3 nhóm G là nhóm afi. Giả sử r (G ) > 1 . Khi đó G có thể biểu diễn dưới dạng G = Re1 ⊕ Re2 ⊕ A với R là nhóm hữu tỉ dạng t . Xét ánh xạ ϕ : G → G với ϕ (re1 ) = re2 và ϕ ( x) = 0 nếu x ∉ Re1 . Rõ ràng ϕ là tự đồng cấu của G và ϕ ( Re1 ) = Re2  Re1 , nên Re1 không là nhóm con hoàn toàn đặc trưng của G . Mặt khác, theo chứng minh ở phần trên, ta có Re1 là iđêan tuyệt đối của G . Vậy G không là nhóm afi. 12 Giả sử r (G ) = 1 và t chứa ∞. Không mất tính tổng quát, giả sử ∞ đứng ở vị trí đầu tiên của t . Theo Bổ đề 3.2, quy tắc tương ứng ϕ : G → G với ϕ ( x) = cấu của G . Cho a ∈ G và a ≠ 0 . Khi đó rõ ràng ϕ (= a) 1 x là một tự đồng p1 1 a ∉ 〈 a〉 , nên 〈 a〉 không là nhóm p1 con hoàn toàn đặc trưng của G . Mặt khác, theo chứng minh ở phần trên, ta có 〈 a〉 là iđêan tuyệt đối của G . Vậy G không là nhóm afi.  3.4. Bổ đề. Cho G là nhóm không xoắn hoàn toàn phân rã, χ1 , χ 2 là hai dãy đặc trưng tương đương. Khi đó G ( χ1 ∩ χ 2 )= G ( χ1 ) + G ( χ 2 ) . Chứng minh. Cho g ∈ G ( χ1 ∩ χ 2 ) . Đặt= χ1 (k1 , k2 ,… ) và = χ 2 (l1 , l2 , … ) . Vì χ1 và χ 2 tương đương nên chỉ tồn tại tồn tại hữu hạn giá trị i ∈ ¥ * sao cho ki ≠ li , hơn nữa tại các vị trí đó ki , li ∈ ¢ . Đặt m = ∏ piki và n = ∏ pili . Rõ ràng UCLN (m, n) = 1 nên tồn tại u , v ∈ ¢ sao cho li < ki ki

li thì từ cách xây dựng m ta có piki∣m , nên ki ≤ hp (umg ) . Vậy χ (umg ) ≥ χ1 hay (um) g ∈ G ( χ1 ) . Chứng minh tương tự ta có i (vn) g ∈ G ( χ 2 ) . Vậy g = (um) g + (vn) g ∈ G ( χ1 ) + G ( χ 2 ) , hay G ( χ1 ∩ χ 2 ) ⊆ G ( χ1 ) + G ( χ 2 ) . Chiều ngược lại là hiển nhiên vì χ1 , χ 2 ≥ χ1 ∩ χ 2 . Vậy G ( χ1 ∩ χ 2 )= G ( χ1 ) + G ( χ 2 ) .  3.5. Định lý (Iđêan tuyệt đối chính). Cho G là nhóm không xoắn hoàn toàn phân rã đồng nhất dạng lũy đẳng và {ei }i∈I là cơ sở của G sao cho G = ⊕Rei và χ (ei ) lũy i∈I đẳng. Cho = g r1e1 +…+ rn en ∈ G . Khi đó, 〈 g= 〉 AI n rG ∑= i =1 i G ( χ ( g )) . Chứng minh. n . Khi đó a = r1a1 + L + rn an với a1 ,…, an ∈ G . Vì χ (ei ) lũy đẳng và Cho a ∈ ∑ rG i i =1 t (ai ) = t (ei ) với mọi i ∈1, n nên χ (ei ) χ= (e1 ) χ (ei ) ≤ χ (ai ) . Do đó, tồn tại vành (G, ×) trên G 13 sao cho ei × e1 = ai với mọi i ∈1, n và ei × e j = 0 trong các trường hợp còn lại. Khi đó ta có n n  n  g ×= e1  ∑ ri ei  ×= e1 ∑ ri (ei × = e1 ) ∑ r= a . Suy ra a ∈ 〈 g 〉 × ⊆ 〈 g 〉 AI . Do đó i ai = i 1 =i 1  i 1=  n ∑ rG ⊆ 〈 g 〉 i i =1 AI . Vì G ( χ ( g )) là iđêan tuyệt đối của G và chứa g , nên 〈 g 〉 AI ⊆ G ( χ ( g )). Vì = g r1e1 +…+ rn en ∈ G n χ ( g ) = I χ (ri ei ) . Từ Bổ đề 3.4 ta suy ra nên i =1 n n ∑ G( χ (r e )) . = G ( χ ( g )) G= (I χ (ri ei )) i i i =1 i =1 Hiển nhiên với mọi a ∈ G , nếu χ (a) ≥ χ (ri ei ) thì . Do đó ri∣a hay a ∈ rG i n G ( χ ( g )) ⊆ ∑ rG i i =1 Vậy 〈 g= 〉 AI n rG ∑= i =1 i G ( χ ( g )) .  Định lý 3.5 cho thấy mọi iđêan tuyệt đối của nhóm không xoắn hoàn toàn phân rã đều là nhóm con hoàn toàn đặc trưng. Do đó, từ Định lý 1.3 ta có kết quả sau. 3.6. Hệ quả. Nhóm không xoắn hoàn toàn phân rã đồng nhất dạng lũy đẳng là nhóm afi.  3.7. Định lý. Nhóm không xoắn hoàn toàn phân rã đồng nhất dạng lũy đẳng là nhóm RAI. Chứng minh Nếu G hạng 1, biểu diễn G dưới dạng G = Re với χ (e) lũy đẳng. Khi đó χ (e) χ (e) = χ (e) nên tồn tại vành (G, ×) trong đó e × e = e . Cho g= re ∈ G và a ∈ rG . Khi đó tồn tại b= se ∈ G sao cho a = rb . Khi đó a= r ( se)= re × se= g × b ∈ 〈 g 〉 × . Vậy rG ⊆ 〈 g 〉 × . Chiều ngược lại là hiển nhiên vì rG là iđêan của (G, ×) và chứa g . Do đó G là nhóm RAI. Nếu G có hạng ≥ 2, G có thể biểu diễn dưới dạng G = ⊕Rei với ei là các phần tử i∈I có với χ (ei ) lũy đẳng. Khi đó ta xây dựng phép nhân trên G như sau: ei × ei = 0 và ei × e j = ei nếu i ≠ j . 14 Trước hết ta chứng minh 〈ei 〉 × =G với mọi i ∈ I . Cho = a r1e1 +…+ rn en ∈ G . Cho rα (eα ×= ei ) (rα eα ) × ei ∈ 〈 ei 〉 × . Trường hợp α = i , vì G có hạng ≥ α ∈1, n . Nếu α ≠ i thì r= α eα 2 nên tồn tại β ≠ α trong I , khi đó rα eα = rα ei= rα ei × eβ = ei × (rα eβ ) ∈ 〈ei 〉 × . Vậy = a r1e1 +…+ rn en ∈ 〈 ei 〉 × , do đó 〈 ei 〉 × =G với mọi i ∈ I . Cho = g s1e1 +…+ sn en . Từ cách xây dựng phép nhân × ở trên, ta có g1 s1e1 +…+ sn −1en −1 ∈ 〈 g 〉 × và sn en= g − g1 ∈ 〈 g 〉× . Chứng minh g ×= en s1e1 +…+ sn −1en −1 , nên = tương tự ta lần lượt có sn −1en −1 ,…, s1e1 ∈ 〈 g 〉 × . Suy ra n ta có n ∑ 〈 si ei 〉× =∑ siG . Suy ra =i 1 =i 1 n n ∑ 〈s e 〉 ∑ siG ⊆ 〈 g 〉× . Mặt khác, i =1 ⊆ 〈 g 〉 × . Theo chứng minh trên i i × i =1 n ∑sG i =1 i n n i =1 i =1 là nhóm con hoàn toàn đặc trưng, do đó là iđêan của (G, ×) và g ∈ ∑ si G . Vậy 〈 g 〉 × =∑ si G và là iđêan tuyệt đối của G. Vậy theo Định lý 1.3 ta có G là nhóm RAI. 15  KẾT LUẬN Đề tài đã đưa ra mô tả vành trên nhóm Abel không xoắn hoàn toàn phân rã. Đối với lớp nhóm Abel không xoắn hoàn toàn phân rã đồng nhất, đã mô tả ideal tuyệt đối chính sinh bởi một phần tử bất kỳ, từ đó chứng minh hai kết quả chính sau. - nhóm Abel G không xoắn hoàn toàn phân rã đồng nhất luôn là nhóm RAI, - nhóm Abel G không xoắn hoàn toàn phân rã đồng nhất là nhóm afi chỉ trong hai trường hợp: G có dạng lũy đẳng hoặc G có dạng không lũy đẳng nhưng không chứa ∞. Lớp nhóm Abel hoàn toàn phân rã đồng nhất là một lớp nhóm đơn giản so với lớp các nhóm Abel hoàn toàn phân rã nói riêng và nhóm Abel không xoắn nói chung. Với một số lớp nhóm lớn hơn như nhóm Abel không xoắn hoàn toàn phân rã mà tập các dạng của nó lũy đẳng và đôi một so sánh được, có thể dự kiến đạt được các kết quả tương tự. Với trường hợp tổng quát của nhóm Abel không xoắn hoàn toàn phân rã, các bài toán trở nên phức tạp hơn. Tuy nhiên nếu có thể phân loại các lớp nhóm con của lớp nhóm này một cách hiệu quả dựa trên tập các dạng của các hạng tử trực tiếp, việc mở rộng kết quả vẫn hoàn toàn khả thi. 16 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Beaumont R.A., Rings with additive group which is the direct sum of cyclic groups. Duke Math. J., 1948, Vol.15, pp. 367 - 369. [2] Fried E., On the subgroups of Abelian groups that are ideals in every ring, Proc. Colloq. Abelian Groups, Budapest, 1964, pp. 51-55. [3] Fuchs L., Infinite Abelian groups, Vol.2, Academic Press, New York and London, 1973. [4] Kompantseva E. I., Fomin A. A., Absolute ideals of almost completely decomposable abelian groups, Chebyshevskii Sb., 2015, Volume 16, Issue 4, pp. 200–211. [5] McLean K.R., The additive ideals of a p-ring, J. London Math. Soc., 1975, V.2, pp..523-529 [6] Thuy, P.T.T., Torsion Abelian RAI-Groups, J Math Sci, 2014, Vol. 197, Issue 5, pp. 658–678. [7] Thuy, P.T.T., Torsion Abelian afi-Groups, J Math Sci, 2014, Vol. 197, Issue 5, pp. 679–683. 17