Mục lục
1. Lí do chọn đề tài
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1 Cơ sở lí luận
2.1.1 Định nghĩa tiếp tuyến của đường cong phẳng
2.1.2 Một số bài toán cơ bản về tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
2.2 Thực trạng của vấn đề
2.3. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề
2
3
3
3
4
10
11
2.3.1 Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm của thuộc đồ
11
2.3.2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết hệ số góc cho
15
trước
2.3.3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến đi
18
thị
qua một điểm cho trước
2.4. Hiệu quả của SKKN
2.4.1 Khảo sát thực tế:
2.4.2 Kết quả sau khi thực hiện SKKN:
3. Kết luận:
Phụ lục
Đề số 1
Đề số 2
Tài liệu tham khảo
22
22
22
24
26
30
35
1. Lí do chọn đề tài
Chủ đề hàm số là một nội dung cơ bản của chương trình toán THPT. Một
bài toán về chủ đề hàm số không chỉ đơn thuần là tìm tập xác định, xét sự biến
1
thiên và vẽ đồ thị của hàm số mà còn đề cập đến những vấn đề khác như: Viết
phương trình tiếp tuyến; chứng minh tính chất tiếp tuyến; tìm tập hợp điểm mà từ
đó kẻ được các tiếp tuyến đến đồ thị hàm số …
Bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là một trong những
nội dung quan trọng và thường gặp trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT và tuyển
sinh vào CĐ – ĐH trong những năm gần đây, nhưng rất nhiều học sinh còn mơ
hồ và lúng túng không biết giải bài toán này. Bài toán viết phương trình tiếp
tuyến có nhiều dạng khác nhau, học sinh thường mắc sai lầm giữa bài toán viết
phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm và viết phương trình tiếp tuyến tại một
điểm; một dạng nữa là viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết hệ số
góc của tiếp tuyến, chứng minh tính chất của tiếp tuyến…đối với học sinh lại
càng khó. Học sinh không có phương pháp làm bài tập viết phương trình tiếp
tuyến của đồ thị hàm số vì các em mới chỉ được biết sơ qua ở chương trình lớp 11
lại được luyện tập rất ít. Hơn nữa các em không biết phân loại bài tập để có cách
giải hữu hiệu, trong quá trình làm bài tập rất nhiều bài giải học sinh còn bỏ sót
trường hợp ví dụ như chưa tìm hết tiếp điểm; đánh tráo đề bài…
Như ở trên cũng đã nói, trong chương trình cũng như sách giáo khoa đại số
và giải tích lớp 11 học sinh mới chỉ được tiếp cận và hiểu biết bài toán viết
phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ở mức độ nhất định; chưa hiểu sâu về
lí thuyết; chưa được rèn luyện nhiều về kĩ năng. Chính vì vậy tôi mạnh dạn viết
sáng kiến kinh nghiệm về bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
với mong muốn giúp học sinh hiểu sâu hơn về bài toán này và được rèn kĩ năng
nhiều hơn, vận dụng vào giải toán thành thạo hơn, đó là lí do tôi chọn đề tài sáng
kiến kinh nghiệm: “GIÚP HỌC SINH YẾU KÉM VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP
TUYẾN VỚI MỘT ĐƯỜNG CONG”
2. Giải quyết vấn đề
2.1 Cơ sở lí luận:
>2.1.1 Định nghĩa tiếp tuyến của đường cong phẳng
2
Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho đường cong (C) giả sử (C) là đồ thị của hàm số
0
y = f(x) và M 0 (x
¿¿¿ ¿
0
; f (x
¿¿¿ ¿
)) ¿(C ) kí hiệu M(x; f(x)) là điểm di chuyển trên
( C)
y
(C)
M
T
f(x)
0
f(x
¿¿¿ ¿
) M0
0
O
x
x
¿¿¿ ¿
x
Đường thẳng M 0 M là một cát tuyến của ( C).
0
Khi x → x 0 thì M(x; f(x)) di chuyển trên ( C) tới M 0 (x
¿¿¿ ¿
0
; f (x
¿¿¿ ¿
)) và
ngược lại.
Giả sử cát tuyến M 0 M có vị trí giới hạn, kí hiệu là M 0T thì M 0T được gọi là tiếp
tuyến của ( C) tại M 0 . Điểm M 0 được gọi là tiếp điểm.
Tại mỗi vị trí của M trên (C) ta luôn có
kM
f ( xM ) f ( x0 )
xM x0
*) Nhắc lại ý nghĩa hình học của đao hàm: “Đạo hàm của hàm số y =f(x) tại x0
0
là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm M 0 (x
¿¿¿ ¿
0
; f (x
¿¿¿ ¿
))”.
Hơn nữa ta có kết quả sau: “Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì tiếp
tuyến của đồ thị hàm số tại điểm nếu biết tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị hàm số là
3
0
M 0 (x
¿¿¿ ¿
0
; f (x
¿¿¿ ¿
)) có phương trình là y f ( x0 ) f '( x0 )( x x0 ) ”
Sau đây ta không xét trường hợp tiếp tuyến song song hoặc trùng với oy
*) Định lý 1:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x) tại điểm
0
M 0 (x
¿¿¿ ¿
0
; f (x
¿¿¿ ¿
)) là y y0 f '( x0 )( x x0 ) trong đó y0 f x0
*)Định lý 2:
Cho hàm số y f ( x) có đồ thị (C) và đường thẳng d: y = kx + b. Đường thẳng
d tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
�f ( x) kx b
�
�f '( x) k
Khi đó nghiệm x của hệ phương trình chính là hoành độ tiếp điểm
>2.1.2 Một số bài toán cơ bản về tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
1. Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm của thuộc đồ thị
a. Bài toán 1: Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) và điểm M 0 x0 ; y0 �(C ) . Viết
phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M 0 x0 ; y0 �(C )
Ví dụ 1:
Cho hàm số y = x3- 6x2+ 9x có đồ thị (C)
Hãy viết phương trình tiếp tuyến tại điểm A(2;2) thuộc đồ thị (C)
Giải
Ta có: y’=3x2-12x +9
Với: x = 2 ; y = 2 và y’(2)= -3
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm A(2;2) l à:
y 3( x 2) 2 hay y 3 x 8
Ví dụ 2: Cho hàm số y =
x +2
2 x +3
có đồ thị (C). Hãy viết phương trình tiếp
tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của đồ thị với trục 0y
4
y'
Giải:
1
(2 x 3) 2
� 2�
1
0; �
y ' 0
�
9
Giao điểm của đồ thị với 0y: � 3 �, hệ số góc
1
2
y x
9
3
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị đã cho là
b. Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y =f(x) tại điểm
0
có hoành độ x = x
0
(Hoặc : y= y
¿¿¿¿
¿¿¿ ¿
)
Ví dụ 1: Cho hàm số y = x4 - 2x2 có đồ thị (C). Hãy viết phương trình tiếp tuyến
của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x= -2
Giải
Ta có: y’=4x3- 4x
Với: x = -2
y = 8 và y’(-2)= - 24
⇒
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm A(-2;8) là:
y = -24( x + 2 ) + 8
3
Ví dụ 2: Cho hàm số y=x −3 x+5
hay
y = -24x - 40
có đồ thị (C). Hãy viết phương trình tiếp
tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ y = 5
Giải :
y ' 3x 2 3
y=5 ⇔ x 3 −3 x+5=5⇔ x 3−3 x= 0⇔
[ x=0
¿ [ x=− √ 3 [ ¿
[ x= √ 3
Ta có
+) Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm (0;5)
y’(0) = -3
Do đó phương trình tiếp tuyến là y−5=−3( x−0 ) hay y = -3x +5.
+) Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm (− √3;5) .
2
y ' (−√3 )=3 (−√ 3) −3=6
5
Do đó phương trình tiếp tuyến là
:
y−5=6( x + √ 3)
hay
y=6 x+6 √ 3+5 .
+) Tương tự phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm ( 3;5)
là : y=6 x−6 √3+5 .
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết hệ số góc cho trước
Bài toán: Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) và một số k ��. Viết phương trình
tiếp tuyến của đồ thị (C) có hệ số góc k
Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y
x 1
x 1 (C) có hệ số
góc bằng 2
x0
�
� x2 2 x 0 � �
x 2
x 1 = 2 => ( x 2 2 x 1) 1
�
Có 2 toạ độ tiếp điểm là (0; 1), ( 2;3)
Hai phương trình tiếp tuyến: y 3x 1 và
y 3( x 2) 3
y'
2
2
� y 3x 9
Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) :
y
x 3
2 x 1 biết tiếp tuyến song
song với d : y 7 x 1 .
Giải:
7
Ta có
2 x0 1
2
7 �
1
2 x0 1
2
x0
�
1 � �
x 1
�
Có hai phương trình tiếp tuyến y 7 x 3, y 7 x 3
3
2
Ví dụ 3: Cho hàm số y=x 3 x 2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến
của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng : 3x 5 y 4 0
Giải:
6
3
5 . Vì tiếp tuyến d cần tìm vuông góc
Cách 1 : Đường thẳng có hệ số góc
5
kd
3
với đường thẳng nên hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm là
Hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến là nghiệm của phương trình
� 1
x1
�
3
2
� 9 x 18 x 5 0 � �
5
5
5
�
x2
y ' � 3x 2 6 x
� 3
3
3
Thay lần lượt x1 , x2 vào phương trình tiếp tuyến tổng quát, ta được các tiếp
k
5
61
5
31
y x
y x
3
7 và
3
7
tuyến là:
5
y xc
3
Cách 2 : Phương trình tiếp tuyến có dạng d :
(*)
d là tiếp tuyến của (C) khi hệ sau có nghiệm
5
61
�3
�
2
x
3
x
2
x
c
c
1
�
�
�
3
27
��
�
5
31
�
�
3x2 6 x
c2
� 27
�
3
Thay lần lượt c1; c2 vào phương trình (*), ta được các tiếp tuyến là:
5
61
5
31
y x
y x
3
7 và
3
7
3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến đi qua một điểm
cho trước
Bài toán: Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) và điểm A a; b cho trước. Viết
phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) qua A đến đồ thị (C)
3
2
Ví dụ 1: Cho hàm số y x 3 x 2 . Viết phương trình tiếp tuyến kẻ đến đồ thị
từ điểm
A(
23
; 2)
9
7
Giải:
� 23 �
y k �x � 2 (*)
� 9 �
Đường thẳng d đi qua điểm A có phương trình
Đường thẳng d tiếp xúc với đồ thị (C) khi hệ sau có nghiệm
�3
�3
� 23 �
� 23 �
2
2
2
�x 3 x 2 k �x � 2
�x 3 x 2 (3 x 6 x) �x � 2
� 9 �
� 9 �
�
�
�
�
3x 2 6 x k
3x 2 6 x k
�
��
��
x2
k 0
�
��
1
�
�
x
5
��
�
3
�
k
��
3
�
��
x3
�
�
k 9
� 2
�
3
x
6
x
k
�
�
Thay k lần lượt vào (*), ta được các phương trình tiếp tuyến là:
5
61
d1 : y 2, d 2 : y x
3
27 và d3 : y 9 x 25
Ví dụ 2: Cho hµm sè
Gi¶i:
1
3
3
y= x 4 −3 x 2 + (C )
A (0; ).
2
2
2
. ViÕt pttt cña (C) ®i qua
3
A(0; )
2 cã d¹ng:
Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng qua
y=kx+
3
(d )
2
§êng th¼ng (d) lµ tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ (C) khi vµ chØ khi hÖ sau:
1 4
3
3
x −3 x2 + =kx +
2
2
2
2 x3 −6 x = k
¿
{¿ ¿ ¿
¿
4
2
Suy ra
cã nghiÖm.
3 x −6 x = 0 ⇔
[ x=0
¿ [ x= √ 2 [ ¿
[ x=−√ 2
+) Víi x = 0 ⇒ k=0 . Pttt lµ:
3
y= .
2
3
y=−2 √ 2 x+ .
2
+) Víi x=√ 2⇒ k=−2 √ 2 . Pttt lµ:
3
2 √ 2 x+
2 .
+) Víi x= - √ 2⇒ k=2 √ 2 . Pttt lµ: y =
8
3
A (0; )
2 ®Õn ®Õn thÞ (C).
KÕt luËn: VËy cã ba tiÕp tuyÕn kÎ tõ
x
y=
x+1 (C). Gäi I lµ giao ®iÓm cña hai ®êng tiÖm cËn
Ví dụ 3: Cho hµm sè
cña ®å thÞ hµm sè. CMR: kh«ng cã tiÕp tuyÕn nµo ®i qua I.
Gi¶i:
Ta cã tiÖm cËn ®øng x = -1.
TiÖm cËn ngang y = 1. Do ®ã to¹ ®é giao ®iÓm cña hai ®êng tiÖm cËn lµ:
I(-1; 1).
Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng qua I(-1; 1) cã d¹ng: y = k(x+ 1) + 1 (d).
§êng th¼ng (d) lµ tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ (C ) khi vµ chØ khi hÖ sau cã
nghiÖm:
x
= k ( x + 1 )+1
x+ 1
1
=k
( x + 1 )2
x
1
x
1
⇒
=
( x + 1 )+1 ⇔
=
+1 ⇒ x= x +2
x+ 1
x+1
x+ 1
( x + 1 )2
¿
{ ¿ ¿ ¿
¿
(v« nghiÖm) => (®iÒu ph¶i chøng minh).
2
y=
x −x−1
x+1
Ví dụ 4: Cho hµm sè
kÎ ®îc 2 tiÕp tuyÕn ®Õn ®å thÞ (C).
Gi¶i:
ViÕt l¹i y díi d¹ng
y=x−2+
(C). T×m c¸c ®iÓm trªn trôc tung mµ tõ ®ã
1
x +1
(C).
Gäi B (0 ;b)∈Oy , Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng qua B cã d¹ng: y = kx + b (d).
§êng th¼ng (d) lµ tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ (C) khi vµ chØ khi hÖ sau cã
nghiÖm:
1
x +1
1
1−
( x +1
⇔
¿
1
x −2 +
x +1
1
x + 1−
x +1
¿
{ ¿
¿ ¿
¿
x −2 +
(I)
⇒−3+
= kx + b
)2
= k
= kx + b
= kx + k
2
1
b+3−k
=b−k ⇔
=
x+ 1
x +1
2
9
⇔
1
b +3 −k
=
( 1)
x +1
2
1
1−
=k ( 2 )
( x +1 )2
¿
¿{¿¿¿
Do ®ã (I)
HÖ cã nghiÖm khi vµ chØ khi (1) cã nghiÖm tháa m·n (2)
⇔
b + 3 −k
≠0
2
b + 3 −k
1−(
)2 =k
2
⇔
¿
k ≠b + 3
k 2 −2 ( b + 1 ) k +( b + 3 )2 −4 = 0
¿
¿ {¿ ¿ ¿
(∗)
Yªu cÇu bµi to¸n tho¶ m·n khi ph¬ng tr×nh (*) cã hai nghiÖm kh¸c b + 3
⇔
Δ ' >0
( b + 3 )2− 2 ( b + 1 ) ( b + 3 ) + ( b + 3 )2− 4 ≠ 0
⇔
¿
( b + 1 )2 −( ( b + 3 )2 − 4 )> 0
4 b + 8 ≠0
¿
¿ {¿ ¿ ¿
⇔
b < −1
b ≠−2
¿
¿ {¿ ¿ ¿
VËy, c¸c ®iÓm trªn trôc tung cã tung ®é bÐ h¬n -1 vµ kh¸c -2 th× tõ ®ã kÎ
®îc 2 tiÕp tuyÕn ®Õn ®å thÞ (C).
2.2 Thực trạng của vấn đề:
Qua điều tra và thực tiễn giảng dạy cho thấy đa phần học sinh không cảm thấy
khó khăn trong việc khảo sát hàm số. Tuy nhiên học sinh gặp phải khó khăn khi
làm bài tập về tiếp tuyến của đồ thị hàm số, thường mắc phải những khó khăn
sau:
- Chưa có những phương pháp giải cụ thể cho từng dạng bài
- Nhầm giữa hai khái niệm tiếp tuyến đi qua một điểm và tiếp tuyến tại
một điểm thuộc đồ thị của hàm số
- Trong quá trình giải học sinh còn mắc phải sai lầm khi tính toán, biến
đổi…trong bước trung gian. Lập luận không chặt chẽ; đánh tráo đề bài…
3
2
y
x
3
x
2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến
Ví dụ: Cho hàm số
của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0;3)
Giải: +) Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(0;3), phương trình của d có dạng
y kx 3
10
+) d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi và chỉ khi hệ phương trình
�x 3 3x 2 2 kx 3 (1)
� 2
3x 6 x k (2)
�
có nghiệm x
Thay k ở (2) vào (1) ta được
x 3 3 x 2 2 (3 x 2 6 x) x 3
� ( x 1)(2 x 2 x 1) 0 (*)
Bây giờ ở phương trình (* ) học sinh không chú ý: Từ phương trình (*) ta có
x 1 0
�
� 2
2 x x 1 0 mà lại viết
�
�x 1 0
� x 1
� 2
2x x 1 0
�
Vậy phương trình tiếp tuyến là: y 3x 3
Khi đó lời giải bị sai ngay từ bước trung gian nên thiếu một phương trình tiếp
tuyến.
Như vậy lời giải đúng là
x 1
k 3
�
�
�
�
x 1 0
�
�
1 � � 15
�
x
k
� 2
2
x
x
1
0
�
2
�
4
�
Từ phương trình (*) ta có
Vậy phương trình tiếp tuyến là: y 3x 3 và
y
15
x3
4
Có những học sinh lại đánh tráo đầu bài đi viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
(C) tại điểm A(0;3)
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) qua A có dạng y y0 f '( x0 )( x x0 )
Theo đầu bài ta có x0 0, y0 3
y '( x0 ) f '( x0 ) = 0
Vậy phương trình tiếp tuyến là: y 3
Hoặc có học sinh lại bỏ sót trường hợp trong quá trình giải…
11
2.3 Giải quyết vấn đề
Việc đưa các dạng bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số và phương
pháp giải cụ thể cho từng dạng bài, vận dụng phương pháp giải bài tập toán đề
hướn dẫn các em làm bài tập phần học này là rất cần thiết. Bởi khi đó các em
không còn phải lúng túng trong việc lựa chọn cách giải mà sẽ có được cách giải
chính xác khi đã xác định được yêu cầu về “Bài toán tiếp tuyến của đồ thị hàm
số” ở dạng nào. Chính vì vậy mà hai năm gần đây trong phần dạy bài tập về tiếp
tuyến của đồ thị hàm số tôi đã cố gắng giúp học sinh biết cách nhận dạng bài tập;
chỉ ra phương pháp giải từng dạng. Từ đó các em tự tin và có hứng thú học tập.
> 2.3.1. Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm của thuộc đồ thị
a. Bài toán 1: Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) và điểm M 0 x0 ; y0 �(C ) . Viết
phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M 0 x0 ; y0 �(C )
* Phương pháp giải:
+) Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm (đã nêu ở trên) thì tiếp tuyến tại một
điểm M 0 x0 ; y0 �(C ) có hệ số góc là f '( x0 )
+) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y =f(x) tai điểm M 0 x0 ; y0 có
dạng: y y0 f '( x0 )( x x0 ) hay y f ( x0 ) f '( x0 )( x x0 )
Nhận xét:
+) Đối với bài toán này học sinh chỉ cần tính được chính xác f '( x) , f '( x0 )
và rút gọn chính xác sẽ được lời giải đúng của bài toán
+) Đồ thị chỉ có 1 phương trình tiếp tuyến
Ví dụ 1: Cho hàm số (C): y = x3-6x2+9x Hãy viết phương trình tiếp tuyến tại
điểm M (2;2) �(C )
Giải
Ta có: y’=3.x2-12x +9
Với: x = 2 ; y = 2 và y’(2)= -3
12
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm A(2;2) là:
y 3( x 2) 2 hay y 3x 8
2
2 x−1 . Hãy viết phương trình tiếp tuyến
Ví dụ 2: Cho hàm số (C): y = x+1 với đồ thị (C) tại A(0;3)
Giải
4
2
Ta có: y’= 1+ (2 x−1 )
nên y’(0) = 5
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại A(0;3) là:
y = 5(x-0) + 3
hay
y = 5x + 3
Ví dụ 3: Cho hàm số y = 2 + 3x – x3 có đồ thị (C). Hãy viết phương trình tiếp
tuyến tại điểm uốn của đồ thị.
Giải:
y ' 3 3 x 2 , y '' 6 x
và y '' 0 � x 0
Toạ độ điểm uốn là (0;2) , y '(0) 3
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm uốn là:
y 3( x 0) 2 hay y 3 x 2
b. Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y =f(x) tại điểm
0
có hoành độ x = x
0
(Hoặc : y= y
¿¿¿¿
¿¿¿ ¿
)
*. Phương pháp giải:
0
-Với: x =x
¿¿¿¿
0
�y
¿¿¿ ¿
0
=f(x
¿¿¿ ¿
) (Bài toán đưa về dạng trên)
- Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y =f(x) tại điểm có hoành độ
0
x=x
có dạng:
¿¿¿ ¿
0
y=f’(x
¿¿¿ ¿
0
)( x-x
¿¿¿ ¿
0
)+y
¿¿¿ ¿
13
Nhận xét: Áp dụng tương tự với tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung
0
độ: y= y
¿¿¿ ¿
0
=f(x
¿¿¿ ¿
0
�x
)
¿¿¿¿
=? ( bài toán đưa về dạng tiếp tuyến tại một điểm )
3
2
Ví dụ 1: Cho hàm số y x 3x 1
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ -1.
Giải: Hoành độ tiếp điểm x 1 , nên tung độ tiếp điểm y 1
y ' 3x 2 6 x � y '( 1) 3
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại (-1;1) là:
y 3( x 1) 1
y 3 x 2
hay
y
3x 1
1 x có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của
Ví dụ 2: Cho hàm số
(C) tại điểm có tung độ –7.
Giải:
Tung độ tiếp điểm y 7 nên hoành độ tiếp điểm x 2
4
y'
� y '(2) 4
(1 x) 2
.Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại (2;-7)
là: y 4( x 2) 7
y 4 x 15
hay
*) Bài toán mở rộng:
3
2
Ví dụ 1: Cho hµm sè: y=−x +3 x −2 (C).T×m c¸c ®iÓm thuéc (C) mµ qua ®ã
kÎ ®îc mét vµ chØ mét tiÕp tuyÕn ®Õn (C).
Gi¶i:
3
2
Gäi M 0 ( x 0 ;−x 0 +3 x 0 −2)∈(C ) .
Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn (pttt) cña (C) t¹i M0 cã d¹ng:
3
2
y=k ( x−x 0 )−x 0 +3 x 0 −2
(d)
§êng th¼ng (d) lµ tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i M 0 khi vµ chØ khi hÖ sau cã nghiÖm:
3
2
3
2
−x + 3 x −2= k ( x − x 0 )− x 0 +3 x 0 −2
2
−3 x +6 x = k
¿
{¿
¿¿
Suy ra
¿
( x − x 0 )(−2 x 2 +3 x + xx 0 + x 2
0 −3 x 0 )=0 ⇔
[ x 1= x 0
¿
3− x 0 [ ¿
[ x 2=
2
14
§iÓm M0 tho¶ m·n yªu cÇu bµi ra khi vµ chØ khi:
x 1=x 2 ⇔ x 0 =
3−x 0
2
⇔ x 0=1
.
VËy, trªn (C) tån t¹i duy nhÊt ®iÓm M 0( 1; 0) mµ qua ®ã kÎ ®îc ®óng mét vµ chØ
mét tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ (C).
y=
4 x −2
x +1
Ví dụ 2: Cho hµm sè:
(C). TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi
(C), trôc Oy vµ tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é x = 3.
Gi¶i:
Ta cã:
x 3� y
y '=
4.3 2 5
31
2.
6
3
⇒ y '(3 )=
2
8
( x +1)
5
(3; )
2 lµ:
3
5
y= ( x−3 )+
8
2
Pttt cña (C) t¹i ®iÓm
DiÖn tÝch h×nh ph¼ng cÇn tÝnh lµ:
3
3
3
5
6
3
3 6
S=∫| ( x−3 )+ −(4−
)|dx =|∫ ( ( x−3)− +
)dx|
2
x+1
2 x+1
0 8
0 8
3
3
3
99
x
6ln
x
1)
3
( x−3 )
12 ln2−
0
2
16
= ( 16
=
(®vdt).
> 2.3.2.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết hệ số góc cho trước
Bài toán: Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) và một số k ��. Viết phương trình
tiếp tuyến của đồ thị (C) có hệ số góc k
* Phương pháp giải:
i) Cách 1: Phương pháp tìm tiếp điểm:
+) Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k tiếp xúc với (C) tại điểm có hoành độ xi
� f '( xi ) k � x xi là nghiệm của phương trình f '( x ) k
+) Giải phương trình f '( x ) k , suy ra nghiệm x x0 , x1 ,...xn , n ��
+) Phương trình tiếp tuyến tại xi là: y k ( x xi ) f ( xi )
15
ii) Cách 2: Phương pháp điều kiện kép
Xét đường thẳng có hệ số góc k có phương trình y kx m (m là ẩn) tiếp xúc
với đồ thị (C): y f ( x) . Khi đó ta có phương trình kx m f ( x) có nghiệm
kép. Áp dụng điều kiện để phương trình có nghiệm kép, suy ra được m. Từ đó
suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm
Nhận xét: Vì điều kiện (C1 ) : y f ( x) và (C2 ) : y g ( x ) tiếp xúc nhau là hệ điều
kiện
�f ( x) g ( x)
�
�f '( x) g '( x)
có nghiệm kép chứ không phải điều kiện phương trình
f ( x) g ( x) có nghiệm kép nên cách 2 chỉ sử dụng được cho các dạng hàm số
y f ( x) mà phương trình tương giao kx m f ( x) có thể biến đổi tương đương
về một phương trình bậc 2 ( khi đó điều kiện để có nghiệm kép là m 0 )
Chú ý: Ta có các dạng biểu diễn của hệ số góc k như sau:
1
k �1, �2,..., � ,..., � 2, � 3,...
2
- Dạng trực tiếp:
{
α∈ 150 ;300 ;450 ;
}
2π π
; . . .. .
3 3
khi
- Tiếp tuyến tạo với chiều dương 0x góc ,
đó hệ số góc k tan
- Tiếp tuyến song song với đường thẳng y ax+b , khi đó hệ số góc k = a
- Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y ax+b , khi đó
ka 1 � k
1
a - Tiếp tuyến tạo với đường thẳng y ax+b một góc khi đó
k a
tan
1 ka
.
Ví dụ 1:
3
2
Cho hµm sè y=x −3 x (C). ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ (C) biÕt hÖ
sè gãc cña tiÕp tuyÕn k = -3.
Gi¶i:
2
Ta cã: y'=3 x −6 x
16
2
2
Do hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn k = - 3 nªn: 3 x −6 x=−3 ⇔ x −2 x +1=0 ⇔ x=1
Víi x=1⇒ y=−2 . Pttt cÇn t×m lµ: y=−3( x−1 )−2⇔ y=−3 x+1
VÝ dô 2:
ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ hµm sè
tuyÕn ®ã song song víi ®êng th¼ng y = 9x + 2009.
Gi¶i:
3
2
y=x −3 x +1 (C). BiÕt tiÕp
2
Ta cã y'=3 x −6 x .
Do tiÕp tuyÕn ®ã song song víi ®êng th¼ng y = 9x + 2009 nªn tiÕp tuyÕn cã hÖ
2
sè gãc k = 9 ⇔3 x −6 x =9 .
2
⇔ x −2 x −3 =0 ⇔
¿ [ x =−1 [ ¿
[ x =3
.
+) Víi x=−1⇒ y=−3. Pttt cña (C) t¹i x = - 1 lµ: y=9 ( x+1 )−3 ⇔ y=9 x +6
+) Víi x=3 ⇒ y=1 . Pttt cña (C) t¹i x = 3 lµ: y=9 ( x−3)+1 ⇔ y=9 x−26
VËy, cã 2 tiÕp tuyÕn cña (C) song song víi ®êng th¼ng y = 9x + 2009 lµ:
y = 9x + 6 vµ y = 9x - 26.
3
Ví dụ 3: Cho hµm sè y=x −3 x+2 (C). ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C) biÕt
y=
tiÕp tuyÕn ®ã vu«ng gãc víi ®êng th¼ng
Gi¶i:
−1
x
9
.
2
Ta cã y'=3 x −3 . Do tiÕp tuyÕn cña (C) biÕt tiÕp tuyÕn ®ã vu«ng gãc víi ®êng
th¼ng
y=
Do ®ã
−1
x
9
nªn hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn k = 9.
2
2
y '=k ⇔3 x −3=9⇔ x =4 ⇔ x=±2.
+) Víi x = 2
⇒ y =4 . Pttt
t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é x = 2 lµ:
y=9 ( x−2)+4 ⇔ y=9 x−14 .
+) Víi
x=−2⇒ y=0 . Pttt t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é x = - 2 lµ:
y=9 ( x+2 )+ 0⇔ y=9 x +18 .
VËy, cã hai tiÕp tuyÕn cñ¶ (C) vu«ng gãc víi ®êng th¼ng
17
y=
−1
x
9
lµ:
y =9x - 14 vµ y = 9x + 18.
*) Bài toán mở rộng:
Ví dụ 1:
3
2
Cho hµm sè y=x +3 x −9 x+3 (C). Chøng minh r»ng trong sè c¸c tiÕp tuyÕn
cña (C) th× tiÕp tuyÕn t¹i ®iÓm uèn cã hÖ sè gãc nhá nhÊt.
Gi¶i:
Ta cã hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn t¹i ®iÓm bÊt k× cña ®å thÞ (C) lµ:
2
k = y'=3 x +6 x−9
y ''=6 x+6
⇒ y ''=0 ⇔6 x +6=0 ⇔ x=−1
ĐiÓm uèn U(-1; 14).
HÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn t¹i ®iÓm uèn lµ: k1 = -12.
2
B¶ng biÕn thiªn cña hµm sè y'=3 x +6 x−9
−∞
x
y’’
y’
+∞
-
-1
0
+
+∞
+∞
-12
Tõ b¶ng biÕn thiªn suy ra k ≥−12 . DÊu “ = ” x¶y ra khi vµ chØ khi x = -1
(hoµnh ®é ®iÓm uèn) (§iÒu ph¶i chøng minh)
Ví dụ 2:
2
2
mx +( m−1) x +m +m
y=
(C )
x−m
. T×m ®iÓm x0 ®Ó víi mäi
m≠0 ,
Cho hµm sè:
tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ hµm sè (C) t¹i ®iÓm x0 song song víi mét ®êng th¼ng cè
®Þnh. T×m hÖ sè gãc cña ®êng th¼ng ®ã.
Gi¶i:
Ta cã:
mx20 −2 m 2 x 0 −2 m
mx 2 −2 m 2 x −2m
y'=
⇒ y ' ( x 0 )=
( x−m)2
( x 0 −m)2
Yªu cÇu bµi to¸n lµ t×m x0 ®Ó y’(x0) = k ( h»ng sè)
18
.
∀ m≠0
¿
2 x 0 + 2+ k=0 ( 1)
2 kx 0 + x20 =0 ( 2)
kx 02 =0 ( 3 )
⇔
mx 20 −2 m 2 x 0−2 m
( x 0 −m )2
¿
=k ∀ m
{¿ {¿ ¿ ¿
⇔( 2 x 0 +2+ k ) m 2−( 2 kx 0 + x 20 ) m+ kx 20 =0 ∀ m≠0
⇔
⇔
[
k=0
¿
[¿
Ta cã : (3) [ x 0=0
+) Víi x0 = 0 suy ra k = -2 (tho¶ m·n).
⇒
x 0=−1
x 0 =0
¿
¿ {¿ ¿ ¿
+) Víi k = 0
(v« nghiÖm)
VËy, x0 = 0 vµ k = -2 th× th× tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i x 0 song song víi mét ®êng
th¼ng cè ®Þnh.
> 2.3.3.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến đi qua một điểm
cho trước
Bài toán: Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) và điểm A x A ; y A cho trước. Viết
phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) qua A đến đồ thị (C)
* Phương pháp giải:
i) Cách 1: Thực hiện theo các bước
- Đường thẳng d đi qua điểm A x A ; y A có phương trình:
d : y k ( x xA ) y A
- d tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm
�f ( x) k ( x xA ) y A
�f ( x) f '( x)( x x A ) y A (1)
�
�
�
�f '( x) k
�f '( x) k
�k
- Kết luận về tiếp tuyến d.
ii) Cách 2: Thực hiện theo các bước
- Giả sử tiếp điểm là M ( x0 ; y0 ) khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng
d: y y '( x0 )( x x0 ) y0
19
- Điểm A x A ; y A �d , ta được y A y '( x0 )( x A x0 ) y0 (2) � x0
- Kết luận về tiếp tuyến d
Chú ý: Số nghiệm phân biệt ở phương trình (1), (2) bằng số tiếp tuyến kẻ từA đến
đồ thị (C)
Ví dụ 1:
1
3
Cho hàm số (C): y =
x3-x2 .
Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua điểm A(3;0)
Giải
Ta có: y’= x2-2x
-Gọi đường thẳng qua A(3;0) có hệ số góc k→phương trình có dạng:
y=k.(x- 3)+0
-Để đường thẳng là tiếp tuyến của đồ thị hàm số thì:
{
1 3
x −x 2 =k ( x−3 )
3
k =x 2−2 x
có nghiệm
1 3 2 2
x −x =( x −2x )( x−3)
3
-Thay (2) vào (1)ta có
→x=0 và x= 3
-Với x=0 thay vào(2)→k = 0. Phương trình tiếp tuyến: y = 0
-Với x= 3 thay vào(2)→ k= 3. Phương trình tiếp tuyến: y = 3.(x-3) = 3x – 9
-Vậy có hai phương trình tiếp tuyến đi qua A(3;0) là:
y=0
và y = 3x – 9
Ví dụ 2:
Cho hàm số (C): y =
x2
2 x 3 Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)
,biết tiếp tuyến cắt trục hoành,trục tung lần lượt tại A và B sao cho tam giác
AOB cân tại O
20
- Xem thêm -
.DOCX 
36 
348 
140 
