Tài liệu Hình học Phi Euclid mô hình nửa phẳng Poincaré

LỜI CẢM ƠN Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn các thầy giáo, cô giáo khoa Toán, khoa Sau đại học - Trường Đại học Vinh đã dành nhiều tâm huyết truyền đạt những kiến thức quý báu, giúp đỡ tác giả hoàn thành khóa học và luận văn. Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo TS.Nguyễn Duy Bình, người đã đặt bài toán và tận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hướng dẫn, đóng góp ý kiến quý báu để tôi hoàn thành khoá luận này. Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn các thầy giáo trong chuyên ngành Hình học -Tôpô đã giảng dạy hướng dẫn, giúp đỡ trong học tập và viết luận văn. Tôi cũng chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, tổ toán Trường THPT Hồng Lĩnh cùng các đồng nghiệp, bạn bè và gia đình đã động viên, tạo mọi điều kiện cho tôi trong quá trình theo học chương trình cao học tại Trường Đại học Vinh cũng như để hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Vinh, tháng 9 năm 2013 Tác giả luận văn MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 3 Chương 1: Nửa phẳng Poincare’ 4 1.1. Đa tạp Riemann 2 chiều 4 1.2. Nửa phẳng Poincare’ 7 1.3. Đường trắc địa trên nửa phẳng Poincare’ 9 Chương 2: Hình học trên nửa phẳng Poincare’ 13 2.1. Các yếu tố của hình học phi Euclid 13 2.2. Một số tính chất khác trên nửa phẳng Poincare’ 15 2.3. Hình lồi trên nửa phẳng Poincare’ 33 KẾT LUẬN 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO 37 -2- I. MỞ ĐẦU Hình học phi Euclid là bộ môn hình học dựa trên cơ sở phủ nhận ít nhất một trong số những tiên đề Euclid. Hình học phi Euclid được bắt đầu bằng những công trình nghiên cứu của Lobachevsky (được Lobachevsky gọi là hình học trừu tượng) và phát triển bởi Bolyai, Gauss, Riamann. Hình học Riemann ra đời từ nửa thế kỉ XIX và đã có nhiều ứng dụng trong cơ học, vật lý học và các ngành khác của kỹ thuật. Nó được xem như một sự mở rộng tự nhiên của hình học Lobasepki. Nửa phẳng Poincaré là một ví dụ đáng chú ý của đa tạp Riemann 2- chiều. Với mô hình nửa phẳng Poincaré không những hình học Lobasepki được công nhận mà loài người đã tiến được từ “ hình học vật lý ’’ lên “hình học toán học’’. Nửa phẳng Poincaré đã được trình bày trong một số tài liệu, giáo trình hình học như: “Hình học vi phân’’ của Đoàn Quỳnh(2003), “Mở đầu hình học Riemann’’ của Nguyễn Hữu Quang và nhiều tài liệu khác về hình học Riemann và hình học Lobasépki ... Trong luận văn này, chúng tôi tìm hiểu về các tính chất của đa tạp Riemann, trên cơ sở đó nghiên cứu các tính chất hình học trên nửa phẳng Poincaré, dùng mô hình nửa phẳng Poincaré nghiên cứu các hệ tiên đề của hình học Lobasepski, diện tích tam giác, các điều kiện bằng nhau của hai tam giác Lobasepski và các công thức lượng giác Lobasepki. Nghiên cứu tính chất của hình lồi trên nửa phẳng Poincare’. Với mong muốn tìm hiểu một số yếu tố của hình học Euclid, chúng tôi chọn đề tài: " Hình học phi Euclid: Mô hình nửa phẳng Poincare’ ” Luận văn được trình bày trong 2 chương: Chương 1: Nửa phẳng Poincare’ Trong chương này, chúng tôi trình bày định nghĩa và các khái niệm cơ bản của đa tạp Riemann 2- chiều, xây dựng nửa phẳng và các tính chất của nửa phẳng -3- Poincaré, các kết quả cơ bản về đường trắc trên nửa phẳng Poincare’, các kiến thức đó là kiến thức cơ sở cho chương tiếp theo. Chương 2: Hình học trên nửa phẳng Poincaré Trong chương này, chúng tôi trình bày các nội dung hình học trên nửa phẳng Poincaré. Đây chính là nội dung chính của luận văn, tác giả trình bày một số yếu tố của hình học phi Euclid, các định nghĩa và mệnh đề của hình học Lobsepki, hệ thức lượng giác, diện tích tam giác và điều kiện bằng nhau của các tam giác Lobasepki, đưa ra liên hệ giữa hình học Lobasepki và hình học Ơclit, nêu định nghĩa và tính chất của hình lồi trên nửa phẳng Poincare’. Luận văn được hoàn thành vào tháng 9 năm 2013 tại trường Đại học Vinh. -4- CHƯƠNG 1: NỬA PHẲNG POINCARE’ 1.1. Đa tạp Rieman 2-chiều 1.1.1. Định nghĩa: Cho M là đa tạp khả vi 2-chiều. Một cấu trúc Rieman trên M là ánh xạ g: p  g p ; p  M. Trong đó g p thỏa mãn : i, g p là tích vô hướng trong T p M . ii, g phụ thuộc khả vi vào p ( nghĩa là g(X,Y)(p)= g p X p , Y p  và g là hàm khả vi theo p). M cùng với cấu trúc g xác định ở trên được gọi là đa tạp Rieman 2-chiều, kí hiệu là M hay (M,g). 1.1.2. Ví dụ: - Giả sử S là một mặt trong E 3 =Oxyz. Với mỗi p  S ta đặt: g p X p , Y p  = X p .Y p . Khi đó S là đa tạp Rieman 2-chiều (ở đây X p .Y p là tích vô hướng thông thường của X p , Y p trong E 3 . - Nửa phẳng Poincaré (mục 1.2). 1.1.3. Liên thông Lêvi- Sivita trên đa tạp Định nghĩa : Cho M là đa tạp Rieman 2-chiều. Ánh xạ  : B M   BM   BM  X ,Y    X Y là một liên thông tuyến tính trên đa tạp M nếu thỏa mãn: +)  X Y  Z    X Y   X Z +)  X Y Z   X Z   Y Z +)  X Y   X Y   F (M). +)  X Y   X  .Y   X Y ;   F(M) (trong đó F (M) ={  |  : M  R khả vi). -5- là hàm Liên thông tuyến tính  được gọi là liên thông Lêvi- Sivita trên đa tạp   thỏa mãn  X , Y    X Y   Y X và  z g  0 . 1.1.4. Đường trắc địa trên đa tạp Rieman 2- chiều Xét cung tham số trên đa tạp Rieman 2- chiều M tức ánh xạ (khả vi) :J M , t   t  , J là khoảng mở trong R. Trường véc tơ dọc  là ánh xạ X: I  T t  M ; t  X t   T t  M . Giả sử U 1 ,U 2  là trường mục tiêu khả vi trên tập mở U chứa  t  , khi đó trong lân cận J  I của trường véc tơ X dọc  có thể biểu diễn bởi : X t    1 t U 1  t    2 t U 2  t  trong đó  1 , 2 : J  R X được gọi là khả vi tại t nếu  1 , 2 khả vi tại t, X được gọi là khả vi nếu X khả vi tại t  I . 1.1.4.1. Định nghĩa: Giả sử X là trường véc tơ dọc cung tham số t   t  , ta xác định trường véc tơ :J M , X như sau: dt Với mỗi t 0  I ta lấy trường trực chuẩn U 1 ,U 2  trong một lân cận của  t 0  , ta viết X t    1 t U 1  t    2 t U 2  t  Đặt: X t 0    '1 t 0    21  ' t 0  ' 2 t 0  .U 1  t 0   dt    ' t     ' t  ' t .U  t  2 0 2 1 0 1 0 2 0 trong đó  21  12 là dạng liên kết của (M,g) trong trường mục tiêu đã chọn. Khi đó X được gọi là đạo hàm của trường véc tơ X dọc  . dt 1.1.4.2. Định nghĩa: Giả thiết đường cong  trên đa tạp Rieman M được cho bởi tham số hóa  : J  M (J là khoảng mở trong R và  khả vi ), -6-  được gọi là đường trắc địa trên M nếu và chỉ nếu  '  0 hay trường véc tơ dt tiếp tuyến  ’ là trường véc tơ song song dọc  . Ví dụ: Đường trắc địa trong R 2 là đường thẳng. Chứng minh: Giả sử  cho bởi  :[a;b]  R 2 t   t    x1 t , x 2 t  là một đường trong R 2 .  là đường trắc địa   ' D ' 0  0  xi ' t   0 dt dt   ' '  0   '  a a1 , a 2   x1 t    1  a1t  R .x2 t    2  a 2 t Suy ra :    Vậy:  là đường thẳng.(đpcm) 1.1.4.3. Chú ý :  là đường trắc địa thì  ' là hằng . Chứng minh: d   ' ,  '  '  '  . '  '.  0   '. '  const   ' t   c . dt dt dt U  ,   trên M, ta giả sử 1.1.4.4. Định lý: Trong bản đồ địa phương  t   1 t ,  2 t  . Khi đó  trắc địa khi và chỉ khi :  ' ' k  i , j ik, j  i '  j =0; k  1,2 Chứng minh:  trắc địa   ' 0 dt  2 i 1 i 1 2 2 i 1 i 1   i ' '.U i    i '. ' j  Ui .U i ]=0, 2  2   i ' '.U i    i '. .U i 2 2 2   i ' '.U i    i '.[ ( j '  ik .U k )] , k  1,2 i 1 i 1 j 1 -7- k 1 j 2       k ' '  i '  j ' ik U k k 1   k  1,2   ' ' k i , j ik, j  i '  j =0 k  1,2 1.1.4.5. Hệ quả:  Cho p  M , t 0  R,   T p M . Khi đó có khoảng mở J chứa t 0 có đường trắc địa  với tham số hóa  : J  M t   t ,  t 0   p,  ' t 0     Nếu có tham số hóa  : J  M trắc địa và t 0  J  J  t 0    t 0 ,  ' t 0    ' t 0    thì  I J  ' I J Chứng minh: Thật vậy: Từ Định lý 1.1.4.4, ta có: d 2 k d i d j    kii 0 2 dt dt dt i, j Hệ phương trình trên tương đương với hệ phương trình vi k  dx k  y  dt phân:  k (ở đây x x k , y y k )  dy    y y ii i j  dt i, j     Áp dụng lý thuyết hệ phương trình vi phân cấp 1 trong R 2 n ta có Hệ quả 1.1.4.5. 1.2. Nửa phẳng Poincaré 1.2.1. Xây dựng nửa phẳng Poincaré Xét M= H 2  p x, y   R 2 | y  0 là đa tạp khả vi. Ta đưa vào tích vô hướng : g : p  g p X p , Y p   1 X p .Y p trong đó p  x, y   H 2 y2 Khi đó g là tích vô hướng trên H 2 ta có g p là tích vô hướng trên T p H 2 . Ta kiểm tra các điều kiện sau : -8- * g p X p , X p = 1 X P .X p y2 = 1 2 Xp 2 y p g p X p , X p =0  X p  0 2  X p   p  X  . *) g p có tính chất giao hoán g p X p , Y p   = 1 X p .Y p y2 1 Y p . X p = g p Y p , X p  . y2 *) g p song tuyến tính g p X p  Y p , Z p  = 1 ( X p  Y p ).Z p , y2 = 1 ( X p .Z p  Y p .Z p ) , y2 = 1 1 X p .Z p  2 Y p .Z p , 2 y y = g p X p , Z p + g p Y p , Z p  . Vậy: g p là tích vô hướng trên T p H 2 . *) g khả vi Thật vậy g(X p ,Y p )= 1 1 X P .Y p = 2 2 y y X,Y khả vi nên X i , Yi khả vi  1 y2  X .Y X Y i i i i (ở đây X i , Yi là tọa độ của X,Y). Do i khả vi => g khả vi. i Vậy (H 2 ,g) là đa tạp Rieman 2-chiều và được gọi là nửa phẳng Poincaré. -9- 1.2.1.1. Định lý: Nếu M , g  là đa tạp Riemann 2-chiều thì có một và chỉ một hàm số khả vi K trên M sao cho với trường đối mục tiêu  1 , 2  của trường mục tiêu trực chuẩn U 1 ,U 2  tuỳ ý trên tập mở V của M ta có: d  21  K 1   2 (trong đó  12 là dạng liên kết của M , g  ) 1.2.1.2. Định nghĩa: Hàm K nói trên được gọi là độ cong Gauss của đa tạp Riemann 2-chiều. 1.2.1.3. Mệnh đề: H 2 có độ cong Gauss hằng K=-1. Chứng minh Gọi E1 , E 2  là trường mục tiêu song song tương ứng với hệ tọa độ Oxy trên R 2 , khi đó U 1  yE1 , U 2  yE2 thì U 1 ,U 2  là trường mục tiêu trực chuẩn trên H 2 và  1 , 2  với  1  dx 2 dy ,  là trường đối với mục tiêu U 1 ,U 2 . y y  Ta có : d 1   0.dx   1  1 dy   dx  2 dx  dy   1   2 2 y y   1  d 2   0.dx  2 dy   dy  0   1   1 y   Suy ra dạng liên kết của H 2 ứng với trường mục tiêu trực chuẩn U 1 ,U 2  là  21 =   1 . Khi đó d 21  d 1   1   2 . Từ đó H 2 có độ cong Gauss K=-1. 1.3. Đường trắc địa trên nửa phẳng Poincaré 1.3.1. Mệnh đề: Các đường trắc địa của H 2 là các đường thẳng song song với trục Oy và các nửa đường tròn có tâm thuộc trục Ox. Chứng minh : Giả sử  : J  H 2 (J là khoảng mở trong R và  khả vi )  t   1 t   u t ,  2 t   vt  .  là đường cong trên H 2 cho bởi tham số  . Khi đó  ' t   u' t E1  t   v' t E 2  t  - 10 -  u ' t   v' t   U 1  t     U 2  t   vt    vt   = (U 1  yE1 , U 2  yE2 )   u ' t   ' v' t  1   v' t   ' u ' t  2    ' t         '  t   U    t        '  t     U 2  t  2 1 1    dt vt    vt   vt    vt      u ' t   ' v' t  u ' t    v' t   ' u ' t  u ' t   U    t     1     vt  vt  U 2  t    vt   vt  vt    vt    =    là đường trắc địa trên H 2 nếu và chỉ nếu:  u ' t   ' v' t  u ' t    0   vt   vt  vt   '  v' t   u ' t .u ' t   vt    vt .vt   0    u" t .vt   v' t .u ' t  v' t .u ' t    0(1)  v 2 t  v 2 t     2 2  v" t vt   v' t   u ' t   0( 2)  v 2 t  v 2 t  Chia cả hai vế (1) ,(2)cho v(t) và nhân 2 vế của (2) với 2 ta được hệ phương trình tương đương:  u" t  2v' t .u ' t   v 2 t   v 3 t   0(1' )   2 2  2v" t   u ' t  .2  2v' t   0(2' )  v 2 t  v 3 t  v 3 t  Đặt 1 v t  2  E t  , lấy(2’) nhân với v’, (1’) nhân với 2u’ rồi cộng vế với vế ta được hệ :  E.u ' ' Ev '.u '.v'  0  2 Ev".v' E 'v v'2 .v' E ' v u '2 v'2u ' Eu"2 E ' v u '.2 .v'  0  E.u ' ' Ev '.u '.v'  0  2 Ev".v' E 'v v'2 .v'2u ' Eu" E ' v u '.2 .v'  0 - 11 - Eu ''  0  2 2  E v'  E u ' '  0    Eu '  c2 (1" )  (*) 2 2 E  v '   E  u '   c ( 2 ' ' ) 1  Trong đó c 1 , c2 là các hằng số và ta thấy điều kiện (2”) tương đương với  '   ' ,  '  c1  c1  0 Diễn tả cách khác :  Edu 2  Edv 2  c1d 2 t  (*)   Edu  c2 dt  c22 c22 2 Edu  Edv 2  c 22 d 2 t  c1   c1  E 2 du 2  c 2 dt 2  2 Suy ra : c 2 Edu 2  c 2 Edv 2  E 2 du 2 với c = c2 c1  c 2 du 2  c 2 dv 2  Edu 2    c 2 dv 2  E  c 2 du 2  du c cv   dv E  c2 1  c 2v 2 Vậy v  u v , v  là đường trắc địa  hàm số v  uv  thỏa mãn: du cv  dv 1  c 2v 2 Khi c=0: u là hàm hằng theo v tức  là nửa đường thẳng trực giao với trục hoành. 1 c 1 c Khi c  0 : Đặt cv=sint thì ta có du=  sin tdt nên u-u 0   cos t Do đó u  u 0 2  v 2  1 ,  là nửa đường tròn (vì v>0) trực giao với trục hoành. c2 1.3.2. Mệnh đề: Với bất kỳ hai điểm h1 , h2  H 2 luôn có một đường trắc địa đi qua. - 12 -  Chứng minh : h2 Trường hợp 1: Nếu h1 , h2 nằm trên nửa đường h1 thẳng song song với trục Oy thì đường trắc địa đi qua h1 , h2 chính là đường thẳng  . O x Hình1 h2 h1 O Trường hợp 2: Nếu h1 , h2 không nằm ở I Hình 2 vị trí như trường hợp 1 nghĩa là h1 ,h2 nằm bất kì ở phía trên Ox ( trên nửa đường tròn có tâm thuộc trục Ox). Nối h1 ,h2 , dựng đường thẳng trung trực của h1 h2 cắt Ox tại I. Khi đó đường trắc địa đi qua h1 , h2 chính là nửa đường tròn tâm I, bán kính Ih 2 . 1.3.3. Mệnh đề: Với một đường trắc địa g trong H 2 và một điểm A không nằm trên g thì sẽ có vô hạn các đường trắc địa đi qua A và song song với g (hai đường trắc địa trong H 2 gọi là song song nếu chúng không cắt nhau). Chứng minh: Trường hợp 1: Nếu đường trắc địa g là nửa đường thẳng (Ơclit) song song với trục Oy thì khi đó qua A có một đường trắc địa (là nửa đường thẳng(Ơclit) song song với trục Oy) và vô số các đường trắc địa (là nửa đường tròn Ơclit có tâm thuộc trục Ox) không cắt g. - 13 - x g A x Hình 3 Trường hợp 2: Nếu đường trắc địa g là nửa đường tròn (Ơclit) có tâm thuộc trục Ox thì khi đó qua A có một đường trắc địa là nửa đường thẳng (Ơclit) song song với trục Oy và vô số các đường trắc địa là nửa đường tròn(Ơclit) có tâm thuộc trục Ox không cắt g. A g O Hình 4 CHƯƠNG 2: HÌNH HỌC TRÊN MÔ HÌNH NỬA PHẲNG POINCARE’ 2.1. Các yếu tố của hình học phi Euclid 2.1.1. Định đề thứ 5 của Euclid 2.1.1.1. Định đề thứ 5 Nếu hai góc trong cùng phía tạo bởi một cát tuyến với hai đường thẳng có tổng nhỏ hơn 1800 thì hai đường thẳng đó phải cắt nhau ở phía hai góc trong nói trên đối với cát tuyến - 14 - x ( u  v  180 0  a  b  I ) Xem Tài liệu [6] 2.1.1.2. Định đề Euclid Định đề của Euclid gây nhiều sự chú ý của các nhà toán học vì nội dung của nó khá dài. Theo ngôn ngữ hiện nay thì định đề này có nội dung là: "Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng luôn có và chỉ có đúng một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho". Ngoài ra có thể phát biểu định đề dưới các dạng sau:  Nếu qua điểm M nằm ngoài đường thẳng a có 2 đường thẳng song song với a thì chúng trùng nhau.  Cho điểm M ở ngoài đường thẳng a. Đường thẳng đi qua M và song song với a là duy nhất. 2.1.1.3. Chú ý Định đề thứ 5 tương đương với định đề sau: +, “ Tổng các góc trong mọi tam giác đều bằng 1800 ” +, “ Qua một điểm nằm trong một góc có đường thẳng cắt hai cạnh của góc” 2.1.2. Tính chất của hai đường thẳng song song Nhờ định đề Euclid người ta suy ra tính chất sau: Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì: 1. Hai góc so le trong bằng nhau; 2. Hai góc đồng vị bằng nhau; 3. Hai góc trong cùng phía bù nhau. - 15 - Định lí 1: Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho NX: Hai đường thẳng song song xác định một mặt phẳng Định lí 2: (định lí giao tuyến của ba mặt phẳng) Nếu 3 mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo 3 giao tuyến phân biệt thì 3 giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau Định lí 3: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đưòng thẳng thứ ba thì song song với nhau Định lí 4: Nếu 2 mặt phẳng cắt nhau và cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của 2 mặt phẳng đó song song với đường thẳng đã cho 2.1.3. Sự ra đời của hình học phi Euclid Nhiều nhà toán học nghi ngờ rằng Định đề Euclid là một định lý, nghĩa là có thể suy ra từ các tiên đề khác và loay hoay tìm cách chứng minh nó. Nhưng không một ai thành công. Đến thế kỷ thứ 19, hầu như đồng thời và độc lập với nhau, ba nhà toán học ở Nga (Nikolai Ivanovich Lobachevsky), Đức (Carl Friedrich Gauss), và Hungary (János Bolyai) đã đặt ra một tư duy mới mẻ: "Chứng minh rằng nó không thể chứng minh được". Điều đó có nghĩa là ta có thể xây dựng một thứ hình học khác, trong đó tiên đề thứ năm là không đúng. Cả ba người đều đạt được kết quả. Từ đó ra đời hình học phi Euclid. 2.1.4. Hình học phi Euclid Hình học phi Euclid là bộ môn hình học dựa trên cơ sở phủ nhận ít nhất một trong số những tiên đề Euclid. Hình học phi Euclid được bắt đầu bằng những công trình nghiên cứu của Lobachevsky (được Lobachevsky gọi là hình học trừu tượng) và phát triển bởi Bolyai,Gauss, Riemann. - 16 - Hình học phi Euclid là cơ sở toán học cho lý thuyết tương đối của Albert Einstein, thông qua việc đề cập đến độ cong hình học củakhông gian nhiều chiều. Hình học Lobachevsky (còn gọi hình học hyperbolic) do nhà toán học Nga Nikolai Ivanovich Lobachevsky khởi xướng, dựa trên cơ sở bác bỏ tiên đề về đường thẳng song song. Lobachevsky giả thiết rằng từ một điểm ngoài đường thẳng ta có thể vẽ được hơn một đường thẳng khác, nằm trên cùng mặt phẳng với đường thẳng gốc, mà không giao nhau với đường thẳng gốc (đường thẳng song song). Từ đó, ông lập luận tiếp rằng từ điểm đó, có thể xác định được vô số đường thẳng khác cũng song song với đường thẳng gốc, từ đó xây dựng nên một hệ thống lập luận hình học logic. Để xem xét hình học Lobachevsky ứng dụng vào lý thuyết không-thời gian cong, cần thiết phải xem lại khái niệm đường thẳng nối hai điểm. Trong lý thuyết tương đối rộng, trong cơ học lượng tử và trong vật lý thiên văn, người ta mặc nhiên thừa nhận đó là đường đi của tia sáng-sóng điện từ giữa hai điểm đó. Trong hình học Euclid, tổng các góc trong của một tam giác bằng 180°, nhưng trong hình học phi Euclid, tổng các góc đó không bằng 180°, và phụ thuộc vào kích thước của tam giác đó. Hình học Lobachevsky là hình học do ông xây dựng lên, từ ý tưởng không công nhận tính thống nhất hệ thống các tiên đề do Euclide xây dựng. Khởi đầu, các nhà toán học đương thời gọi hình học do ông xây dựng lên là hình học ảo, nhưng ngày nay hình học Lobachevsky đã trở nên rất thực được kiểm chứng qua các kết quả nghiên cứu thiên văn vũ trụ, và không gian Lobachevsky đã trở thành không gian thực. 2.2. Một số tính chất khác trên nửa phẳng Poincare' . 2.2.1 Các định nghĩa 2.2.1.1. Điểm Lobasepki. - 17 - Gọi mỗi điểm của H 2 là một điểm Lob(viết tắt của Lobasepki). 2.2.1.2. Đường thẳng, đoạn thẳng Lobasepki. Các nửa đường thẳng trong H 2 trực giao với Ox hay nửa đường tròn trong H 2 trực giao với Ox (nghĩa là có tâm trên Ox ) là các đường thẳng Lob; mỗi cung đoạn của nó là một đoạn thẳng Lob. 2.2.1.3. Góc Lobasepki. Cho hai đường thẳng Lob cắt nhau tại một điểm. Góc giữa hai đường thẳng đó là góc giữa hai tia Ơclit cùng tiếp xúc với các đường thẳng Lob tại điểm đó. 2.2.1.4. Khoảng cách 2.2.1.4.1. Định nghĩa: Khoảng cách   p, q   inf l  , trong đó  là cung khả vi từng khúc trong H 2 nối p, q. 2.2.1.4.2. Mệnh đề:   p, q  là một mêtric trên H 2 . Chứng minh: * Trường hợp 1: Giả sử p ,q, r thuộc đường thẳng (Ơclit) trực giao với Ox. i): Ta có   p, q   ln t1  q, p    t2 t2 . t1 p=  t 2  t2 t dt dt     ln 2 . t t t1 t1 q=  t1 r   t 3  Suy ra   p, q    q, p  O ii)   p, q   0 (hiển nhiên).   p, q  =0  ln Hình 5 t2 t  0  2  1  t 2  t1 hay p=q. t1 t1 iii) Ta có  t1   p,  t 2   q,  t 3   r   p , q   ln x t2 t t ,  q, r   ln 3 ,   p, r   ln 3 . t1 t 21 t1 - 18 - Suy ra   p, q    q, r   ln t t2 tt  ln 3 =ln 2 3    p, r  . t1 t2 t 1t 2 * Trường hợp 2: Giả sử p, q, r có hai trong ba điểm thuộc nửa đường tròn Ơclit có tâm trên Ox và hai điểm còn lại thuộc nửa đường thẳng mở trực giao với Ox. Giả sử rằng: p x0  R1 cos t1 , R1 sin t1  . q x 0  R 1 cos t 1 , R 1 sin t . r  x3  R2 cos 2 , R1 sin 2  . Do q  x3  R2 cos 1 , R1 sin 1  , p  x1 , s1 , r  x1 , s 2  nên ta có : t1 i)   p, q    q, p  = ln 2 . t tg 2 2 tg ii)   p, q   0 .   p, q  =0  t 2  t1 hay p= q. iii) Ta có  t1   p,  t 2   q,  t 3   r  q, r   ln tg 2 / 2 s ,   p, r   ln 2 . tg1 / 2 s1 Với t1 , t 2 , s1, s 2 , 1, 2 , ta liên hệ qua các hệ thức:  x0  R1 cos t1  x3  R1 cos 1   R1 sin t1  R2 sin 1  x3  R1 cos t 2  x1    R1 sin t 2  s1  x 3  R2 cos  2  x1   R 2 sin  2  s 2 t2  t  tg 2 tg 2 tg 2 Từ đó ta có:   p, q    q, r   ln 2 + ln 2 =ln 2 . 2 t  t  tg 1 tg 1 tg 1 tg 1 2 2 2 2 tg - 19 - t2  t  sin 2 cos 1 cos 1 2 2 2 2 =ln t1 1 t2 1 sin sin cos cos 2 2 2 2 sin   sin t1 sin  2 =ln  sin 1 sin t 2      sin t 2  2  t1   sin 2  Do t 2  t1 và 2  1 nên Suy ra   p, q    q, r  >ln       2 t   sin 2 2  t  1  sin  2    cos 1 2    2  cos  2       2       2    cos 1 2    2  cos  2       2   .        1.    sin t1 sin 2 R sin 2 s  ln 2  ln 2    p, r  . sin t 2 sin 1 R1 sin 1 s1 Giả sử f là phép đẳng cự biến cung qr thành cung dạng a, khi đó pr và pq là cung dạng b. Ta có   p, q    q, r  >   p, r  . Tương tự, phép đẳng cự g biến cung qp thành cung dạng a, khi đó pr và qr là hai cung dạng b. Ta có  r, q    q, r  >  q, p  . * Trường hợp 3: Giả sử p, q, r là ba điểm thuộc nửa đường tròn Ơclit có tâm trên Ox (cung dạng b). Do luôn tồn tại phép đẳng cự biến cung dạng b thành cung dạng a nên theo trường hợp 2 ta có i, ii, iii. Vậy   p, q  là một mêtric trên H 2 . Đường dạng a là ảnh của nửa đường thẳng mở trực giao với Ox và đường dạng b là ảnh của nửa đường tròn mở trực giao với Ox. 2.2.1.4.3. Mệnh đề: Trong H 2 , khoảng cách   p, q  bằng độ dài của đoạn pq (khi p, q thuộc ảnh của nửa đường thẳng mở trực giao với Ox) hoặc bằng độ dài cung pq (khi p, q thuộc ảnh của nửa đường tròn mở trực giao với Ox). Chứng minh: - 20 -