HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Câu 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông và AB = BC = a. Cạnh SA vuông góc
với mặt phẳng (ABC) . Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 45 0. Gọi M là tâm mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Tính thể tích khối đa diện M.ABC theo a.
�BC AB
� BC (SAB) � BC SB
�
BC
SA
�
�
�
SBA
SBA
Suy ra góc giữa mp(SBC) và mp(ABC) là góc
. Theo giả thiết
= 45
0
Gọi M là trung điểm của SC, H là trung điểm của AC.
Tam giác SAC vuông tại A nên MA = MS = MC, tam giác SBC vuông tại B nên MB = MC = MS.
Suy ra M là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.. Suy ra tam giác SAB vuông cân tại A, do đó
SA = AB = a., SA (ABC), MH // SA nên MH (ABC).
Suy ra MH là đường cao khối chóp M.ABC.
1
a3
VM.ABC MH.SABC
3
12
Suy ra
1
AB a, AD 2 2a
Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,
. Hình chiếu
vuông góc của điểm S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác BCD. Đường
thẳng SA tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 45 0. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và
khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD theo a.
Bài giải
Gọi H là trọng tâm tam giác BCD. Theo GT
SH ( ABCD)
2
1
O AC �BD � CH CO AC a � AH AC HC 2a
3
3
Gọi
SA tạo với đáy góc 45
0
0
SAH
45
� SH AH 2a Gọi V là thể tích khối chóp S.ABCD thì
suy ra
1
1
4 2 3
V S ABCD .SH a.2 2a.2a
a
3
3
3
// SD Do đó
. Gọi M là trung điểm của SB. Mặt phẳng (ACM) chứa AC và
d (SD; AC ) d (SD;( ACM )) d ( D;( ACM )) Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ. Khi đó
�2a 4 2a �
A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;2 2a;0), S �
�3 ; 3 ;2a �
�, C (a;2 2a;0)
�
�
�5a 2 2a �
uuur
M�
�6 ; 3 ; a �
� AC (a;2
�
�.
2a;0)
2
S
uuuur �5a 2 2a �
AM �
�6 ; 3 ; a �
��
�
�
M
D
C
H
O
A
B
uuur uuuur
r
2
2
2
AC �AM (2 2a ; a ; 2a ) Mặt phẳng (ACM) đi qua điểm A và có vtpt n (2 2; 1; 2) nên
2 2 x y 2 z 0 � d ( D;( ACM ))
có phương trình là
2 2a
2 2a
8 1 2
11
AB 2a AD a 2 SA
Câu 3: Cho khối chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật,
,
.
vuông góc
với đáy
. Gọi M là trung điểm CD và góc giữa hai mặt phẳng (SBM) và (ABCD) là 60 o.
CMR
và tính thể tích khối chóp S.BCM theo a.
ABCD
BM (SAC)
Gọi I là giao điểm của AC và MB. Xét
Ta có
ABC và BCM
AB BC
2 � ABC : BCM
BC CM
�ACB BMC
� � MBC
� BMC
� MBC
� �ACB 90o
� mà
BIC Vuông tại I hay BM AC ,
SA ( ABCD) �BM � BM SA
� BM (SAC )
3
( ABCD) và (SBM )
� SI BM � góc giữa hai mặt phẳng
o
Là góc giữa SI và AI hay
Ta có:
ABC : ABI
� 60
SIA
.
AI AB
AB 2
4a 2
4a 2 2a 6
� � AI
2
2
AB AC
AC
3 .
AB BC a 6
� SA � SA AI tan SIA
� 2a 6 . 3 2 a 2
tan
SIA
Xét
.
SAI vuông tại A.2 Ta có:
AI
3
1
a 2
S BCM BC.CM
. SA là chiểu cao của khối chóp
nên
S
.
BCM
2
22
1
a 2
2a3
VS .BCM S BCM .SA
.2a 2 (đvtt)
3
3.2
3
Câu 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với SA vuông góc với đáy, G là trọng tâm
tam giác SAC, mặt phẳng (ABG) cắt SC tại M, cắt SD tại N. Tính thể tích của khối đa diện MNABCD biết
SA=AB=a và góc hợp bởi đường thẳng AN và mp(ABCD) bằng
300 .
+ Trong mp(SAC) kẻ AG cắt SC tại M, trong mp(SBD) kẻ BG cắt SD tại N.
+ Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên dễ có
S
SG 2
suy ra G cũng là trọng tâm tam giác SBD.
SO
Từ đó 3suy ra M, N lần lượt là trung điểm của
SC, SD.
N
1
1
+ Dễ có: VS . ABD VS .BCD VS . ABCD V .
2 ta có: 2
Theo công thức tỷ số thể tích
M
G
D
VS . ABN SA SB SN
1 1
1
A
. . 1.1. � VS . ABN V
V ABD SA SB SD
2 2
4
VSS ..BMN
SB SM SN 1 1 1
1
O
. . 1. . � VS . ABN V
VS .đó
22 4
8
BCD suySB
Từ
ra: SC SD
C
B
3
VS . ABMN VS . ABN VS .BMN V .
8
1
+ Ta có: V SA.dt ( ABCD ) ; mà theo giả thiết SA ( ABCD) nên góc hợp bởi AN với mp(ABCD) chính là
3
góc
� , lại có N là trung điểm của SC nên tam giác NAD cân tại N, suy ra NAD
� NDA
� 300. Suy ra:
NAD
SA
AD
a 3.
tan300
1
1
3 3
a.
Suy ra: V SA.dt ( ABCD ) a.a.a 3
3
3
3
3 5 5 3a3
.
Suy ra: thể tích cần tìm là: VMNABCD VS . ABCD VS . ABMN V V V
8
8
24
Câu 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, AB = 3, AC = 4 góc tạo bởi các mặt bên và
đáy bằng 60o . Tính thể tích của khối chóp S.ABC
Bài giải
Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC); M, N, K lần lượt là hình chiếu của H lênh cạnh AB, AC, BC. Khi đó
thể tích V của khối chóp được tính bởi công thức
4
1
V SABC .SH
3
1
SABC AB. AC 6
2
mà
-Tính SH.
Xét các tam giác SHM, SHN, SHK vuông tại H,
có
các
góc
S
N
A
M
C
H
K
SMH, SNH, SKH
bằng 600 do đó HM = HN = HK => H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC =>
HM
2S ABC
1
AB BC CA =>SH = HM.tan600 =
V
Vậy
3
1
3.6 2 3
3
5
Câu 6: Trong mp(P) cho đường tròn đường kính AB = 2R; C là một điểm trên đường tròn, AC = R.
Cạnh SA vuông góc với mp(P), góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng 60 0. Gọi H, K lần
lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên SB, SC .
1. Chứng minh tam giác AHK vuông .
2. Tính thể tích của hình chóp S.ABC theo R .
1. Chứng minh tam giác AHK vuông
SA
(P) => SA
Lại có
CA
BC
BC nên BC
=> BC
AK
SC
AK
Theo gt :
S
Do đó AK (SBC) => AK
Hay tam giác AHK vuông
(SAC)
H
HK
60
0
K
A
B
C
2. Tính VS.ABC
Ta có AK
(SBC) => AK
Đồng thời theo gt
Suy ra BS
AH
(AHK) => SB
SB
SB
HK
Vì vậy góc giữa hai mp (SAB) và (SBC) chính là góc giữa hai đường thẳng AH và HK và bằng góc
6
ˆ
AHK
Trong tam giác SAC có :
1
1
1
1 1
2
2
2
2
2
AK SA AC SA R
(1)
Trong tam giác SAB có :
1
1
1
1
1
AH 2 SA 2 AB2 SA 2 4R 2
(2)
Lấy (1) - (2) , ta được :
1
1
3
AK 2 AH 2 4R 2
Vì tam giác AHK vuông tại K và
3
2 AH
SA2 =
(3)
ˆ = 60 nên tam giác AHK bằng nửa tam giác đều và do đó AK =
AHK
thay vào (3) , ta tìm được
0
1
9
AH 2 4R 2
thay vào (2), ta có:
R2
R 2
� SA
2
2
1
1
Vậy VSABC = 3 .SA . 2
=
.AC.BC =
1
SA.AC. AB2 AC2
6
3
1R 2
2
2 R 6
.
.R. (2R) R
6 2
12
0
�
SB=a
3
BAD=60
Câu 7: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a, SA = a,
,
và
mp(SAB) vuông góc với mặt đáy. Gọi M, N là trung điểm của AB, BC. Tính thể tích tứ diện NSDC
và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM và DN.
Từ giả thiết có AB = 2a, SA = a,
7
SB =
3 , tam giác ASB vuông tại S suy ra
SM
AB
a
2
do đó tam giác SAM đều.
Gọi H là trung điểm AM thì SH AB. Mặt khác (SAB) (ABCD) nên suy ra
SH ( ABCD)
1
1 1
1 a 3 1 4a 2 3 a 3
VNSDC VSNDC SH .SDNC SH . SBDC
. .
3
3 2
3 2 2 4
4
�
�
(
SM
,
DN
)
(
SM , QM ) . Gọi
Gọi Q là điểm thuộc đoạn AD sao cho AD = 4 AQ khi đó MQ//ND nên
K là trung điểm MQ suy ra HK//AD nên HK
Mà SH
(ABCD), HK MK suy ra SK
MQ
�
�
�
(
SM
,
DN
)
(
SM
,
QM
)
SMK
MQ suy ra
1
1
1
MQ
DN
a 3
MK 2
3
4
4
�
cos SMK
SM
a
a
a
4
Trong tam giác vuông SMK:
8
S.ABCD có SC ( ABCD), đáy ABCD là hình thoi có cạnh bằng a 3 và
Câu 8: Cho hình chóp
0
�ABC 1200.
(
ABCD
)
45
. Tính theo
Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và
bằng
khối chóp
S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BD.
S
I
D
C
O
A
a
3
B
K
9
thể tích của
Kẻ
SK AB (K �AB) � CK AB (định lí 3 đường vuông góc)
Khi đó góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và
( ABCD) là góc giữa SK
� 450 �ABC 1200 � CBK
� 600
SKC
;
Trong tam giác vuông
Tam giác
CBK :
CK CB sin 600
SCK vuông cân tại C nên
SC
3a
2
3a
2
3 3a 2
S ABCD AB.BC sin120
2
Ta có
0
1
3 3a 3
VS . ABCD S ABCD .SC
3
4 (đvtt)
Do đó
O AC �BD
Gọi
�BD AC
� BD (SAC )
�
BD
SC
O
Ta có �
tại .
Kẻ
OI SA (I �SA) OI là đoạn vuông góc chung của SA và BD.
Dùng hai tam giác đồng dạng
d (SA, BD)
Vậy
AOI và ASC suy ra
OI
3 5a
10 .
10
3 5a
10 .
và
�
CK . Do SKC
nhọn nên
Câu 9:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = a, CD =
2a; hai mặt phẳng (SAD) và (SCD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Cạnh bên SB tạo với
mặt phẳng đáy một góc 600; gọi G là trọng tâm của tam giác BCD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD
và khoảng cách từ G đến mặt (SBC).
S
+) Từ giải thiết ta có SD
( ABCD)
H
� 600
SBD
suy ra (SB, (ABCD)) =
K
D
Ta có
C
G
1
3a 2
S ABCD ( AB CD) AD
2
2 (đvdt)
A
+) do tam giác ABD vuông cân tại A ,AB= a
0
BD
a
2
�
SD
BD
tan60
a 6
=>
1
a3 6
VS . ABCD SD.S ABCD
3
2 (đvtt)
Vậy
+) chứng minh được BC
Có
( SBD) , kẻ DH
SB=> DH (SBC)
1
1
1
a 6
�
DH
DH 2 SD 2 DB 2
2
11
E
B
+) Gọi E là trung điểm BC ,kẻ GK // DH, K thuộc HE =>GK (SBC) và
GK EG 1
a 6
� GK
DH ED 3
6
GK
Vậy d( G, (SBC) =
a 6
6
Câu 10:Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh 2a , tam giác SAB đều , tam giác SCD vuông cân
đỉnh S. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Ta có diện tích đáy hình vuông ABCD : S =4 a2
Gọi E , F lần lượt trung điểm AB và CD Tam giác SAB đều nên đường cao
SE
2a 3
a 3
2
Tam giác SCD vuông cân đỉnh S nên đường cao SF = a
2
2
2
EF
SE
SF
Do đó ta có tam giác SEF vuông tại S (vì
)
Trong tam giác SEF kẻ SH vuông góc EF tại H
Ta có SH vuông góc mp(ABCD) .
a 3
1
1 2 a 3 2a 3 3
� SH
V S ( ABCD).SH .4a .
2 . Vậy 3
3
2
3
1
1 1 1 1 4
SH 2 SE 2 SF 2 3a 2 a 2 3a 2
( đvt
� 90o
ABC
Câu 11: Cho hình chóp S.ABC có AB = BC = a;
=
. Mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SAC)
cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết góc giữa hai mặt (SAC) và mặt phẳng (SBC) bằng
tích của khối chóp S.ABC theo a.
Vì (SAB)
(ABC) và (SAC)
(ABC) nên SA
60o. Tính thể
(ABC)
Do đó chiều cao của khối chóp S.ABC là h = SA. Gọi H là trung điểm của cạnh AC, suy ra BH
12
AC
Do đó BH
(SAC)
Trong mặt phẳng (SAC) dựng HK
SC (H
SC), suy ra BK
SC
S
� 60o
BKH
Do đó góc giữa (SAC) và (SBC) là
.
K
a 2
a 6
BH
2
o
�
BHK vuông tại H. Ta có BK = sinHKB = sin60 = 3 .
D
1
1
BK 2 = SB2
D SBC vuông tại B có BK là đường cao, ta có
1
SB2
9 1
2
2
= 6a - a
=
1
2a 2
2
SB = a
H
A
600
a
C
a
B
+
1
BC 2
SA = a
1
1
a3
V
S
Thể tích của khối chóp S.ABC: SABC = 3 SA. ABC = 6 . SA. AB.BC = 6 .
�ABC 600
AB
a
,
BC
2
a
,
Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có
, hình chiếu vuông góc của A’
Câu 12:
trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC và góc giữa AA’ tạo với mặt phẳng (ABC)
bằng 600. Tính thể tích khối chóp A’.ABC và khoảng cách từ G đến mặt phẳng (A’BC).
A'
C'
'
A G⊥(ABC) ⇒AG
Giải: Từ
là hình chiếu của
Gọi M là trung điểm BC. Từ giả thiết ta có:
B'
AA '
lên
(ABC)
N
A
H
G
I
B
2
2a
2a 3
BC 2a, AG AI ; �
A ' AG 600 � A ' G AG.tan600
3
3
3
C
M
K
2
Vì
2
Mặt khác
Và
2
2
2
2
2
2
2
AB +AC =a +3a =4a =BC ⇒ ΔABC
A ' G⊥(ABC)
'
nên
AG
0
2
AC =AB +BC −2. AB.BC.cos60 =3a ⇒ AC=a √3
vuông tại A
'
là chiều cao của khối chóp
13
A .ABC
'
Thể tích của khối chóp
VA/ . ABC
A .ABC
được tính bởi:
1
11
1
2a 3 a3
S ABC . A ' G . AB. AC. A ' G a.a 3.
3
32
6
3
3 (đvtt)
Kẻ AK BC tại K và GI BC tại I GI // AK
�
Do:
GI MG 1
1
1 AB. AC 1 a.a 3 a 3
� GI AK .
AK MA 3
3
3 BC 3 2a
6
BC GI �
�� BC GH (2)
BC A ' G �
. Từ (1) và (2)
'
Ta có
ΔA GI
vuông tại
d[G, ( A ' BC )] GH
G
có
GH
Kẻ GH A’I tại H (1)
GH (A’BC)
d[G, ( A ' BC )] GH
là đường cao nên :
2a 3 a 3
.
A ' G.GI
3
6 2a 2a 51
51
51
A ' G 2 GI 2
12a 2 3a 2
9
36
2 3a
Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, hai đường chéo AC =
, BD = 2a
và cắt nhau tại O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết
khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB) bằng
a 3
4 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Từ giả thiết, ta có tam giác ABO vuông tại O và AO =
đều. Do
a 3 ; BO = a , do đó A�BD 600 . Hay
SAC ; SBD ABCD nên giao tuyến của chúng SO (ABCD).
Gọi H là trung điểm của AB, K là trung điểm của HB ta có
14
và DH =
a 3;
OK // DH
1
a 3
OK DH
2
2
và
OK AB AB (SOK)
Gọi I là hình chiếu của O lên SK OI (SAB), hay OI
Tam giác SOK vuông tại O, OI là đường cao
S
Diện tích đáy ABC D
4S ABO 2.OAOB
. 2 3a
OI
a 3
4
1
1
1 S
a
�
SO
OI 2 OK 2 SO 2
2
2
I
D
;
3a
O
C
a
SO
2.
a
B
K
A
H
đường cao của hình chóp
Thể tích khối chóp S.ABCD:
1
3a 3
VS . ABCD S ABCD .SO
3
3
Câu 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn
SA = a 6
đường kính AD = 2a, SA
(ABCD),
, H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Tìm
thể tích khối chóp H.SCD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC.
Trong tam giác vuông SAB có
SA2 = SH .SB
SH SA 2
SA2
6a2 6
�
=
=
=
=
SB SB 2 SA2 + AB 2 7a2 7
6
6
VHSDC = VB.SCD = VS.BCD
7
7
6
6
= SA.SBCD = a 6.SBCD
7
7
K là hình chiếu của B trên AD ta có: BK.AD = AB.BD suy ra
15
AB.BD a 3
1
a2 3
BK =
=
� SBCD = BK .BC =
AD
2
2
4
Do AD//(SBC) nên
d( AD,SC ) d( AD, SBC ) d( A, SBC )
Dựng hình bình hành ADBE. Do AB
Đặt
d( A, SBC )
Suy ra
= h ta có
d( AD,SC )
=h=
, suy ra:
VHSDC
9a3 2
=
14
BD nên AB
DE
1 1
1
1
1
1
1
1 1 1 9
h2 SA2 AB 2 AE 2 SA2 AB 2 BD 2 6a 2 a 2 3a 2 6a 2
a 6
3
Câu 15: Cho hình nón có đỉnh S, đáy là đường tròn tâm O, SA và SB là hai đường sinh, biết SO = 3,
khoảng cách từ O đến mặt phẳng SAB bằng 1, diện tích tam giác SAB bằng 18. Tính thể tích và diện tích
xung quanh của hình nón đã cho.
Gọi E là trung điểm của AB, ta có:
OE AB, SE AB , suy ra SOE AB .
OH SE � OH SAB
Dựng
, vậy OH là khoảng cách từ O đến (SAB),
theo giả thiết thì OH = 1.
Tam giác SOE vuông tại O, OH là đường cao, ta có:
1
1
1
1
1
1
1 8
�
1
OH 2 SO 2 OE 2 OE 2 OH 2 SO 2
9 9
9
3
� OE 2 � OE
8
2 2
9
81
9
SE 2 OE 2 SO 2 9 � SE
8
8
2 2
16
2S
1
36
S SAB AB.SE � AB SAB
8 2
9
2
SE
2 2
2
2 9
9 265
�1 �
OA AE OE � AB � OE 2 4 2 32
8
8 8
�2 �
2
2
2
1
1 265 265
V .OA2 .SO .3
3
3 8
8
Thể tích hình nón đã cho:
Diện tích xung quanh của hình nón đã cho:
SA2 SO 2 OA2 9
S xq .OA.SA
265 337
337
� SA
8
8
8
265 337
89305
.
8
8
8
17
- Xem thêm -
.DOCX 
17 
233 
112 
