Tài liệu Hình học giải tích phẳng

CHUYÊN ĐỀ GIẢI TÍCH PHẲNG CHUYÊN ĐỀ GIẢI TÍCH PHẲNG Ví dụ (A – 2014): Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có điểm M là trung điểm của đoạn AB và N là điểm thuộc đoạn AC sao cho AN = 3NC. Viết phương trình đường thẳng CD biết M(1; 2) và N(2; –1). Trước khi làm bất cứ một cách nào hay một phương hướng nào của giải tích phẳng, chúng ta phải tìm tất cả những gì có thể tìm được trong hình. Kéo dài MN cắt CD tại Q, ta dễ dàng thấy được: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ { ( ) Sau khi tìm được điểm Q, ta có những con đường sau để viết được phương trình đường thẳng CD:   Tìm được 1 điểm nữa (C hoăc D) để viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm Q và C (hoặc D). Tìm được vector pháp tuyến hoặc vector chỉ phương của đường thẳng CD. Để giải quyết được 1 trong 2 phương án trên, chúng ta có những cách sau: I. CÁCH 1: PHÁT HIỆN VÀ CHỨNG MINH CÁC TÍNH CHẤT HÌNH HỌC TRONG HÌNH. Vẽ chính xác “một hình vuông” ta sẽ phát hiện được tính chất đặc biệt là tam giác MND vuông cân tại N (Điều này có thể chứng minh bằng cách chỉ ra các tam giác MKN = NHD). 1|LỚP BỒI DƢỠNG KIẾN THỨC THÀNH CÔNG – SĐT: 0902920389 CHUYÊN ĐỀ GIẢI TÍCH PHẲNG Khi đó ta có phương trình đường thẳng (DN) qua N và vuông góc với MN là (DN): x – 3y – 5 = 0. Gọi D(3t + 5; t) tham số trên đường thẳng DN sao cho DN2 = MN2  D(5; 0) hoặc D(–1; –2). Do đó (CD): y + 2 = 0 hoặc 3x – 4y – 15 = 0.  Khi nào sử dụng phƣơng pháp này? Khi ta vẽ chính xác hình và phát hiện được một tính chất đặc biệt của hình vẽ. Khi đó ta sẽ chứng minh tính chất này và tân dụng vào việc giải bài toán. II. GÁN ĐỘ DÀI ĐỂ TIÊU DIỆT TỪNG ĐIỂM TRONG HÌNH VẼ. Mục đích của phương pháp này là một phép làm ngược, tức là:   Bước 1: Đặt độ dài cạnh hình vuông là a. Tính MN theo a, từ độ dài MN tính được ta chỉ ra giá trị của a. Bước 3: Sauk hi biết độ dài cạnh hình vuông, ta tính các độ dài AM và AN. Bƣớc 1: Ta có AM = a/2, AN = 3a√ /4. Do đó theo định lý hàm số cos, ta có: MN2 = AM2 + AN2 – 2.AM.AN.cos45  MN = √ =√  a = 4. Bƣớc 2: Do đó AM = 2, AN = 3√ . Vậy nếu gọi A(x; y) thì ta có tọa độ của A là nghiệm của hệ phương trình: { {  ( ) Chú ý rằng ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ chính là vector chỉ phương của đường thẳng (CD). Do đó (CD): y + 2 = 0 hoặc 3x – 4y – 15 = 0.  Khi nào sử dụng phƣơng pháp này? Khi ta thấy hình vẽ có thể đặt một độ dài của một cạnh nào đó là a, ta có thể tính được tất cả các cạnh theo giá trị a đó, đồng thời các dữ kiện về điểm và đường thẳng hay đường tròn do bài toán đưa rả đều gắn liền với tính chất của hình vẽ. Khi đó phương pháp này luôn luôn 100% giải được. Tuy nhiên mặt hạn chế của phương pháp này là yêu cầu một khả năng tính toán rất tốt. III. GỌI VECTOR PHÁP TUYẾN VÀ SỬ DỤNG KHOẢNG CÁCH. Ta thấy đường thẳng CD, các điểm M và N có mang một tính chất đặc biệt trong hình vuông ABCD. Vì vậy nếu như gọi đường thẳng CD ra, thì khoảng cách từ M và N đến đường thẳng này phải bằng một giá trị nào đó. Ta sẽ tận dụng điều này để giải bài toán. 2|LỚP BỒI DƢỠNG KIẾN THỨC THÀNH CÔNG – SĐT: 0902920389 CHUYÊN ĐỀ GIẢI TÍCH PHẲNG Gọi vector pháp tuyến của (CD) là (a; b) (a2 + b2 0). Ta có đường thẳng CD đi qua Q là: 3ax + 3by – 7a + 6b = 0. Đặt độ dài cạnh hình vuông là a, ta có AM = a/2, AN = 3a√ /4. Do đó theo định lý hàm số cos, ta có: MN2 = AM2 + AN2 – 2.AM.AN.cos45  MN = √ =√  a = 4. | | √ Do đó 8a2 + 6ab = 0  a = 0 hoặc 4a = –3b. Với a = 0, ta chọn b = 1, ta có đường thẳng (CD): 3y + 6 = 0 hay y + 2 = 0. Với 4a = –3b ta chọn a = 3, b = –4 ta được (CD): 9x – 12y – 45 = 0 hay 3x – 4y – 15 = 0.  Khi nào sử dụng phƣơng pháp này? Khi ta cần tìm trực tiếp luôn vector pháp tuyến của một đường thẳng đã đi qua sẵn 1 điểm. Khi đó ta sẽ dựa vào khoảng cách từ 1 điểm nào đó đến đường thẳng này để tìm ra vector pháp tuyến. Yêu cầu bắt buộc là phải tính được khoảng cách này trước. IV. GỌI VECTOR PHÁP TUYẾN VÀ SỬ DỤNG GÓC. Về cơ bản ta vẫn tiếp tục sử dụng cách gọi vector pháp tuyến của đường thẳng (CD) là (a; b) và chỉ ra phương trình đường thẳng (CD): 3ax + 3by – 7a + 6b = 0. 3|LỚP BỒI DƢỠNG KIẾN THỨC THÀNH CÔNG – SĐT: 0902920389 CHUYÊN ĐỀ GIẢI TÍCH PHẲNG Tuy nhiên khác với cách trước, ta sẽ tính góc tạo bởi đường thẳng CD (pháp tuyến (a; b)) và đường thẳng MN (pháp tuyến (3; 1)) (Chú ý góc giữa 2 đường thẳng là góc giữa 2 vector pháp tuyến). Đặt độ dài cạnh hình vuông là a, ta có AM = a/2, AN = 3a√ /4. Do đó theo định lý hàm số cos, ta có: MN2 = AM2 + AN2 – 2.AM.AN.cos45  MN = ̂ √ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ √ vậy cos ̂ = cos ̂ = . Mà MK = |⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | | √ = √ | √ Do đó 8a2 + 6ab = 0  a = 0 hoặc 4a = –3b. Với a = 0, ta chọn b = 1, ta có đường thẳng (CD): 3y + 6 = 0 hay y + 2 = 0. Với 4a = –3b ta chọn a = 3, b = –4 ta được (CD): 9x – 12y – 45 = 0 hay 3x – 4y – 15 = 0.  Khi nào sử dụng phƣơng pháp này? Khi ta cần tìm trực tiếp luôn vector pháp tuyến của một đường thẳng đã đi qua sẵn 1 điểm. Khi đó ta sẽ dựa vào góc giữa đường thẳng này và một đường thẳng đã biết trước đó để tìm ra vector pháp tuyến. Yêu cầu bắt buộc là phải tính cosin của góc này trước. V. PHƢƠNG PHÁP SỐ ẨN BẰNG SỐ PHƢƠNG TRÌNH. Phương pháp này là ta gọi luôn ra điểm A(x; y) và không cần tính chất hình học nào, ta chỉ cần đưa ra được 2 phương trình (Vì ta đã gọi ra 2 ẩn) là sẽ tìm ra ngay điểm A. Mỗi phương trình là một đặc tính hình học, vì vậy:  Góc giữa AM và AN là 45o nên phương trình số 1 là cos(⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) = cos45o (Dùng cos góc chính xác).  Nếu cạnh hình vuông là a, thì AM = a/2, AN = 3a√ /4, do đó 3.AM = √ AN. Vậy phương trình số 2 là 9AM2 = 2AN2. Do đó ta có hệ: {√ √ √ ( ) Chú ý rằng ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ chính là vector chỉ phương của đường thẳng (CD). Do đó (CD): y + 2 = 0 hoặc 3x – 4y – 15 = 0.  Khi nào sử dụng phƣơng pháp này? Khi ta gần như không có phương hướng giải bài, khi đó ta sẽ gọi ẩn cho các điểm. Chú ý rằng số phương trình đưa ra bằng số ẩn thì mới giải được. Riêng hệ thức vector thì mỗi hệ thức được tính là 2 phương trình. VI. PHƢƠNG PHÁP BẮN TỌA ĐỘ. 4|LỚP BỒI DƢỠNG KIẾN THỨC THÀNH CÔNG – SĐT: 0902920389 CHUYÊN ĐỀ GIẢI TÍCH PHẲNG Trở lại phương pháp sử dụng gọi vector pháp tuyến cho đường thẳng (CD) để có (CD): 3ax + 3by – 7a + 6b = 0. Vấn đề ở đây đặt ra là tình huống học sinh có khả năng giải hình “không tốt”, khi đó ta sẽ sử dụng hệ tọa độ để giải cả 4 cách đầu tiên một cách dễ dàng: Gắn hình vẽ vào hệ trục tọa độ Oxy với gốc tọa độ là D, đặt độ dài cạnh hình vuông là a, ta có tọa độ các đỉnh: ( ) ( ) CÁCH 1: CẦN CHỨNG MINH TAM GIÁC MDN VUÔNG CÂN TẠI N: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) |⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | √ CÁCH 2: CẦN TÍNH ĐỘ DÀI AM, AN ĐỂ TÌM RA A: |⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | √ |⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | √ |⃗⃗⃗⃗⃗ | √ √ CÁCH 3: CẦN TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ N ĐẾN CD: |⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | √ √ CÁCH 4: CẦN TÍNH GÓC GIỮA MN VÀ CD. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (  ) ⃗⃗⃗⃗⃗ (⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) |⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | √ Khi nào sử dụng phƣơng pháp này? Khi ta thấy hình vẽ có thể đặt một độ dài của một cạnh nào đó là a, ta có thể gắn được toàn bộ hình vẽ lên hệ tọa độ. Ưu điểm của phương pháp này là có khả năng giải bài rất phong phú, chuyên chứng minh các tính chất hình học, chuyên thiết lập được các tỷ lệ độ dài giữa các cạnh, tính được một góc bất kỳ trong hình. Nhược điểm là phương pháp này dài gấp 2 lần phương pháp thường. BÀI TẬP 1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d ) : x –3y – 4  0 và đường tròn (C ) : x 2  y2 – 4 y  0 . Tìm M thuộc (d) và N thuộc (C) sao cho chúng đối xứng qua điểm A(3; 1). 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(1 1) và đường thẳng (d): 2 x  3y  4  0 . Tìm điểm B thuộc đường thẳng (d) sao cho đường thẳng AB và (d) hợp với nhau góc 450 . 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x  3y  6  0 và điểm N(3;4) . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tam giác OMN (O là gốc tọa độ) có diện tích bằng 15 . 2 4. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ba đường thẳng: d1 : 2 x  y  3  0 , d2 : 3x  4 y  5  0 , d3 : 4 x  3y  2  0 . Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc d1 và tiếp xúc với d2 và d3. 5|LỚP BỒI DƢỠNG KIẾN THỨC THÀNH CÔNG – SĐT: 0902920389 CHUYÊN ĐỀ GIẢI TÍCH PHẲNG 5. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng  : x  3y  8  0 ,  ' :3x  4y  10  0 và điểm A(– 2; 1). Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng  , đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng . 6. Trong hệ toạ độ Oxy cho hai đường thẳng d : x  2y  3  0 và  : x  3y  5  0 . Lập phương trình đường 2 10 , có tâm thuộc d và tiếp xúc với  . 5 7. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(0;2) và đường thẳng d : x  2y  2  0 . Tìm trên đường thẳng d hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông ở B và AB = 2BC . 8. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x  y  3  0 , d2 : x  y  9  0 và điểm A(1;4) . Tìm tròn có bán kính bằng điểm B  d1, C  d2 sao cho tam giác ABC vuông cân tại A. 9. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng 3 , A(2;–3), B(3;–2). Tìm toạ độ 2 điểm C, biết điểm C nằm trên đường thẳng (d): 3x – y – 4  0 . 10. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết A(2; –3), B(3; –2), có diện tích bằng 3 và trọng tâm G thuộc 2 đường thẳng  : 3x – y –8  0 . Tìm tọa độ đỉnh C. 11. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1;0), B(0;2) , diện tích tam giác bằng 2 và trung điểm I của AC nằm trên đường thẳng d: y  x . Tìm toạ độ điểm C. 12. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân tại A(1;4) và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng  : x  y  4  0 . Xác định toạ độ các điểm B, C, biết diện tích tam giác ABC bằng 18. 4 7 13. Cho tam giác ABC có A(3;6) , trực tâm H(2;1) , trọng tâm G  ;  . Xác định toạ độ B và C. 3 3 14. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4. Biết A(1; 0), B(0; 2) và giao điểm I của hai đường chéo nằm trên đường thẳng y  x . Tìm tọa độ C và D. 1  15. Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I  ; 0  . Đường thẳng chứa cạnh AB có phương trình x –2y  2  0 , 2  AB = 2AD. Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C, D, biết đỉnh A có hoành độ âm. 16. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình thoi ABCD có cạnh bằng 5 đơn vị, biết toạ độ đỉnh A(1; 5), hai đỉnh B, D nằm trên đường thẳng (d): x  2y  4  0 . Tìm toạ độ các đỉnh B, C, D. 17. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng : x  y –1  0 , các điểm A( 0;–1), B(2; 1). Tứ giác ABCD là hình thoi có tâm nằm trên đường thẳng . Tìm tọa độ các điểm C, D. 18. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD với A(1 0), đường chéo BD có phương trình d : x – y  1  0 . Tìm toạ độ các đỉnh B, C, D , biết BD  4 2 . 19. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x  y  1  0 , d2 : 2 x – y –1  0 . Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M(1 –1) cắt (d1) và (d2) tương ứng tại A và B sao cho 2MA  MB  0 . 20. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 0). Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M và cắt hai đường thẳng d1 : x  y  1  0, d2 : x –2y  2  0 lần lượt tại A, B sao cho MB = 3MA. 21. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 1). Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M và cắt hai đường thẳng d1 : 3x  y  5  0, d2 : x  y  4  0 lần lượt tại A, B sao cho 2MA –3MB  0 . 6|LỚP BỒI DƢỠNG KIẾN THỨC THÀNH CÔNG – SĐT: 0902920389 CHUYÊN ĐỀ GIẢI TÍCH PHẲNG 22. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d1 : 3x  y  5  0 , d2 : 3x  y  1  0 và điểm I(1; 2) . Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua I và cắt d1, d2 lần lượt tại A và B sao cho AB  2 2 . 23. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm M(3;1) và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B và C sao cho tam giác ABC cân tại A với A(2;–2). 24. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ (Oxy). Lập phương trình đường thẳng d qua M(2;1) và tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4. 25. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x 2  y2  4 3x  4  0 . Tia Oy cắt (C) tại điểm A. Lập phương trình đường tròn (T) có bán kính bằng 2 sao cho (T) tiếp xúc ngoài với (C) tại A. 26. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với AB  5 , đỉnh C(1; 1) , đường thẳng AB có phương trình x  2y  3  0 , trọng tâm của ABC thuộc đường thẳng d : x  y  2  0 . Xác định toạ độ các đỉnh A, B của tam giác ABC. 27. Cho điểm G(2;1) và hai đường thẳng d1 : x  2y  7  0 , d2 : 5x  y  8  0 . Tìm toạ độ điểm B  d1, C  d2 sao cho tam giác ABC nhận điểm G làm trọng tâm, biết A là giao điểm của d1, d2 . 28. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(4; 2) , phương trình đường cao kẻ từ C và đường trung trực của BC lần lượt là: x  y  2  0 , 3x  4y  2  0 . Tìm toạ độ B và C. 29. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: x  y  5  0 , d2: x  2y – 7  0 và tam giác ABC có A(2; 3), trọng tâm là điểm G(2 0), điểm B thuộc d1 và điểm C thuộc d2 . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 30. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(4;6) , phương trình các đường thẳng chứa đường cao và trung tuyến kẻ từ đỉnh C lần lượt là d1 : 2 x  y  13  0 và d2 : 6 x  13y  29  0 . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . 31. Cho hình chữ nhật ABCD có phương trình cạnh AB: x  2y  1  0 , đường chéo BD: x  7y  14  0 và đường chéo AC đi qua điểm M(2; 1). Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật. 32. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2; –1) và đường thẳng d có phương trình 2 x – y  3  0 . Lập phương trình đường thẳng () qua A và tạo với d một góc α có cosα  1 . 10 33. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2;1) và đường thẳng d : 2 x  3y  4  0 . Lập phương trình đường thẳng (d’) đi qua A và tạo với đường thẳng d một góc 450 . 34. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường thẳng d : 2 x  y  2  0 và điểm I(1;1) . Lập phương trình đường thẳng (d’) cách điểm I một khoảng 10 và tạo với d một góc bằng 450 . 35. Trong hệ toạ độ Oxy , cho đường tròn (C) : ( x  1)2  ( y  1)2  10 và đường thẳng d : 2 x  y  2  0 . Lập phương trình các tiếp tuyến của đường tròn (C ) , biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng d một góc 450 . 36. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1; 2) và cắt đường tròn (C) có phương trình ( x  2)2  ( y  1)2  25 theo một dây cung có độ dài bằng l  8 . 37. Cho đường tròn (C) :( x  4)2  ( y  3)2  25 và đường thẳng  : 3x  4y  10  0 . Lập phương trình đường thẳng d biết d  () và d cắt (C) tại A, B sao cho AB = 6. 38. Cho đường tròn (C) có tâm O, bán kính R = 5 và điểm M(2; 6). Viết phương trình đường thẳng d qua M, cắt (C) tại 2 điểm A, B sao cho OAB có diện tích lớn nhất. 7|LỚP BỒI DƢỠNG KIẾN THỨC THÀNH CÔNG – SĐT: 0902920389 CHUYÊN ĐỀ GIẢI TÍCH PHẲNG 39. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x 2  y2  6 x  2y  6  0 và điểm A(3;3) . Lập phương trình đường thẳng d qua A và cắt (C) tại hai điểm sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó bằng độ dài cạnh hình vuông nội tiếp đường tròn (C). 40. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường tròn (C1): x 2  y2  13 và (C2): ( x  6)2  y2  25 . Gọi A là một giao điểm của (C1) và (C2) với yA > 0. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và cắt (C1), (C2) theo hai dây cung có độ dài bằng nhau. 41. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): ( x –1)2  ( y  1)2  25 và điểm M(7; 3). Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt sao cho MA = 3MB. 42. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD. Biết AB  2BC , đường thẳng AB đi qua  4   1 điểm M   ;1 , đường thẳng BC đi qua điểm N(0;3) , đường thẳng AD đi qua điểm P  4;   , đường 3  3   thẳng CD đi qua điểm Q(6;2) . Viết phương trình các cạnh của ABCD. 43. Cho hình chữ nhật ABCD có các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt đi qua các điểm M(4;5), N (6;5),P (5;2),Q (2;1) và diện tích bằng 16. Viết phương trình các cạnh của ABCD. 44. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ABC biết: B(2; –1), đường cao qua A có phương trình d1: 3x – 4y  27  0 , phân giác trong góc C có phương trình d2: x  2y –5  0 . Tìm toạ độ điểm A. 45. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(3; 5); B(4; –3), đường phân giác trong vẽ từ C là d : x  2y  8  0 . Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.  17  46. Cho tam giác ABC có đường cao AH, trung tuyến CM và phân giác trong BD. Biết H (4;1), M  ;12  và  5  BD có phương trình x  y  5  0 . Tìm tọa độ đỉnh A của tam giác ABC. 47. Cho tam giác ABC có đỉnh C(4; 3). Biết phương trình đường phân giác trong (AD): x  2y  5  0 , đường trung tuyến (AM): 4 x  13y  10  0 . Tìm toạ độ đỉnh B. 48. Cho 2 đường thẳng d1 : x  7y  17  0 , d2 : x  y  5  0 . Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(0;1) tạo với d1, d2 một tam giác cân tại giao điểm của d1, d2 . 49. Cho tam giác ABC có trung điểm cạnh AB là M(1;2) , tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là I(2; 1) . Đường cao của tam giác kẻ từ A có phương trình 2 x  y  1  0 . Tìm toạ độ đỉnh C. 50. Cho tam giác ABC có A(2;1) . Đường cao BH có phương trình x  3y  7  0 . Đường trung tuyến CM có phương trình x  y  1  0 . Xác định toạ độ các đỉnh B, C. Tính diện tích tam giác ABC. 51. Cho cho hai đường thẳng d1 : 2 x  y  5  0 . d2 : 3x  6 y – 7  0 . Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P(2; –1) sao cho đường thẳng đó cắt hai đường thẳng d1 và d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng d1, d2. 52. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn (C1) : x 2  y2  2 y  3  0 và (C2 ) : x 2  y2  8x  8y  28  0 . Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C1 ) và (C2 ) . 53. Cho đường tròn (C) và đường thẳng  định bởi: (C) : x 2  y2  4 x  2 y  0;  : x  2 y  12  0 . Tìm điểm M trên  sao cho từ M vẽ được với (C) hai tiếp tuyến lập với nhau một góc 600. 8|LỚP BỒI DƢỠNG KIẾN THỨC THÀNH CÔNG – SĐT: 0902920389 CHUYÊN ĐỀ GIẢI TÍCH PHẲNG 54. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): ( x  1)2  ( y  2)2  9 và đường thẳng d : x  y  m  0 . Tìm m để trên đường thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm) sao cho tam giác ABC vuông. 55. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): ( x  1)2  ( y  2)2  9 và đường thẳng d : 3x  4y  m  0 . Tìm m để trên d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến PA, PB tới đường tròn (C) (A, B là hai tiếp điểm) sao cho PAB là tam giác đều. 56. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với A(1; –2), đường cao CH : x  y  1  0 , phân giác trong BN : 2 x  y  5  0 . Tìm toạ độ các đỉnh B, C và tính diện tích tam giác ABC. 57. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho  ABC , với đỉnh A(1; –3) phương trình đường phân giác trong BD: x  y  2  0 và phương trình đường trung tuyến CE: x  8y  7  0 . Tìm toạ độ B, C. 58. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6 6), đường thẳng d đi qua trung điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x + y  4 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh B và C, biết điểm E(1; 3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho. 59. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, biết toạ độ trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt là  5 5 H(2;2), I(1 2) và trung điểm M  ;  của cạnh BC. Hãy tìm toạ độ các đỉnh A, B, C biết xB  xC ( x B , 2 2 xC lần lượt hoành độ điểm B và C). 60. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I thuộc đường thẳng 9 (d ) : x  y  3  0 và có hoành độ x I  , trung điểm của AD là giao điểm của (d) và trục Ox. Tìm tọa độ 2 các đỉnh của hình chữ nhật, biết y A  0 . 61. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và D có đáy lớn là CD, đường thẳng AD có phương trình d1 : 3x  y  0 , đường thẳng BD có phương trình d2 : x  2 y  0 , góc tạo bởi hai đường thẳng BC và AB bằng 450. Viết phương trình đường thẳng BC biết diện tích hình thang bằng 24 và điểm B có hoành độ dương. 62. Cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là d : 3x  y  7  0 , điểm B(0;–3). Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi biết diện tích hình thoi bằng 20.  4 63. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm I(3;3) và AC  2BD . Điểm M  2;   3  13  thuộc đường thẳng AB , điểm N  3;  thuộc đường thẳng CD . Viết phương trình đường chéo BD biết  3 đỉnh B có hoành độ nhỏ hơn 3. 64. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình thoi ABCD có đường chéo BD nằm trên đường thẳng  : x  y  2  0 . Điểm M(4; 4) nằm trên đường thẳng chứa cạnh BC, điểm N(5;1) nằm trên đường thẳng chứa cạnh AB. Biết BD  8 2 . Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi ABCD, biết điểm D có hoành độ âm. 65. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình thoi ABCD có phương trình hai cạnh AB và AD lần lượt là x  2y  2  0 và 2 x  y  1  0 . Điểm M(1;2) thuộc đường thẳng BD. Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi. 66. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình thoi ABCD ngoại tiếp đường tròn (C) có phương trình ( x  2)2  ( y  1)2  8 và điểm A thuộc đường thẳng (d): x  2y  3  0 . Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D, biết rằng BD  2 AC và hoành độ của điểm A không nhỏ hơn 2. 9|LỚP BỒI DƢỠNG KIẾN THỨC THÀNH CÔNG – SĐT: 0902920389 CHUYÊN ĐỀ GIẢI TÍCH PHẲNG 5 5 67. Cho hình vuông ABCD có tâm I  ;  , hai điểm A, B lần lượt nằm trên các đường thẳng d1 : x  y  3  0 2 2 và đường thẳng d2 : x  y  4  0 . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông. 68. Cho hình vuông ABCD ngoại tiếp đường tròn (C): ( x  2)2  ( y  3)2  10 . Xác định toạ độ các đỉnh A, C của hình vuông, biết cạnh AB đi qua điểm M(–3; –2) và điểm A có hoành độ xA > 0. 3 1 69. Cho hình vuông ABCD có tâm I  ;  . Các đường thẳng AB, CD lần lượt đi qua các điểm M(4; 1) , 2 2 N(2; 4) . Tìm toạ độ các đỉnh của hình vuông đó biết B có hoành độ âm. 70. Hình vuông ABCD trong đó A thuộc đường thẳng d1 : x  y  1  0 và C, D nằm trên đường thẳng d2 : 2 x  y  3  0 . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông biết hình vuông có diện tích bằng 5. 71. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho điểm E(1; 1) là tâm của một hình vuông, một trong các cạnh của nó có phương trình d : x  2y  12  0 . Viết phương trình các cạnh còn lại của hình vuông. 72. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD biết các điểm M(2; 1); N(4; –2); P(2; 0); Q(1; 2) lần lượt thuộc cạnh AB, BC, CD, AD. Hãy lập phương trình các cạnh của hình vuông. 73. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x 2  y2 –8x  6y  21  0 và đường thẳng d : x  y  1  0 . Xác định tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD ngoại tiếp (C) biết A  d. 74. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD có A(2;6) , đỉnh B thuộc đường thẳng d : x  2y  6  0 . Gọi M, N lần lượt là hai điểm trên 2 cạnh BC, CD sao cho BM = CN. Xác định tọa độ  2 14  đỉnh C, biết rằng AM cắt BN tại điểm I  ;  . 5 5  75. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình vuông có đỉnh A(4;5) và một đường chéo có phương trình  : 7x  y  8  0 . Viết phương trình các cạnh của hình vuông. 76. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD có đỉnh A(4;5) , đường chéo BD có phương trình y  3  0 . Tìm toạ độ các dỉnh còn lại của hình vuông đó. 77. Cho (C): x2 + y2 – x – 4y – 2 = 0 và A(3;-5), B(7;-3). Tìm M trên (C) sao cho P = MA2 + MB2 min. 78. Cho (C): x2 + y2 – 2x + 4y – 20 = 0 và d: 3x + 4y – 20 = 0. Chứng minh d tiếp xúc với (C). Tam giác ABC có A thuộc (C), các đỉnh B và C thuộc d, trung điểm cạnh AB thuộc (C). Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C biết tam giác ABC có trực tâm trùng với tâm của (C) và điểm B có hoành độ dương. 79. Cho tam giác ABC có đường trung tuyến qua B, đường cao qua A và đường trung trực của cạnh AB lần lượt là y + 3 = 0, 2x – y + 1 = 0 và x + y + 2 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. 80. Cho hai đường thẳng d1: x – √ y = 0 và d2: y = 1. Từ 1 điểm I trên d2 vẽ đường tròn (I,R) tiếp xúc với d1 tại A, cắt d2 tại B và C. Biết bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là r = √ . Viết phương trình (I) biết I có hoành độ dương. 81. Cho thẳng d1: x – √ y = 0 và d2: x + √ y = 0 có giao điểm O. Viết phương trình đường tròn (I,R) tiếp xúc với d1`, d2 tại A và B sao cho diện tích tam giác OAB bằng √ biết R và xI > 0. 82. Cho d1: 2x – y + 1 = 0 và d2: 3x + y – 1 = 0. Viết phương trình đường thẳng d tạo với d2 một góc 45o sao cho d1, d2 và d tạo thành một tam giác có diện tích bằng 12,5. 10 | L Ớ P B Ồ I D Ƣ Ỡ N G K I Ế N T H Ứ C T H À N H C Ô N G – S Đ T : 0 9 0 2 9 2 0 3 8 9 CHUYÊN ĐỀ GIẢI TÍCH PHẲNG 83. Cho tam giác ABC cân tại A(2;1), có góc A bằng 120o, tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác nằm trên đường thẳng d: x – y + 1 = 0. Biết SABC = √ và xO > 0. Tìm tọa độ B và C. 84. Cho tam giác ABC có A(1 1). Các điểm A1(5;4), B1(4;0), C1(2;–1) lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, AB sao cho AA1, BB1, CC1 đồng quy. Tìm tọa độ các đỉnh B, C. 85. Cho tam giác ABC có A(2 0) và phương trình (BC): 3x + y – 18 = 0. Lấy D và E cùng phía với A đối với đường thẳng (BC) sao cho các tam giác ACE và ADB vuông cân tại A. Biết phương trình đường thẳng (DE): 7x + 3y – 2 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh B, C. 86. Cho tam giác ABC vuông tại A(1 2), đường cao AH, phương trình (BC): 3x – 4y – 5 = 0. Phân giác trong góc B cắt AH tại D, phân giác trong góc HAC cắt BC tại E. Biết (DE) song song với d: 2x – y + 4 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. 87. Cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC, N là điểm nằm trên cạnh CD sao cho CN = 2ND. Giả sử M( ) và đường thẳng AN: 2x – y – 3 = 0. Tìm tọa độ điểm A. 88. Cho hình chữ nhật ABCD có A(2 0), AB = 2AD. Điểm M nằm trên đoạn AB sao cho AB = 4AM. Biết phương trình đường thẳng (DM): 2x – y = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật. 89. Cho hình vuông ABCD có A(0 4), phương trình (BN): x – 3y – 4 = 0 với N là trung điểm của CD. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông. 90. Cho tam giác ABC cân tại A(2;1), có góc A bằng 120o, tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác nằm trên đường thẳng d: x – y + 1 = 0. Biết SABC = √ và xO > 0. Tìm tọa độ B và C. 91. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có AD = 2AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Trên đường thẳng MN lấy điểm K sao cho N là trung điểm của đoạn thẳng MK. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D biết K(5; –1), phương trình đường thẳng AC là 2x + y – 3 = 0 và đỉnh A có tung độ là một số dương. 92. Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD, phương trình đường thẳng AD: 2x + y – 1 = 0, điểm I(–3;2) nằm trên cạnh BD sao cho BD = 3DI. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật biết rằng điểm D có hoành độ dương và AD = 2AB. 93. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC đều có đường cao AH và điểm M(1;1) nằm trên đoạn BC. Biết phương trình đường cao AH là x – y + 1 = 0 và tổng khoảng cách từ M hạ xuống AB và AC là √ . Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết A có hoành độ lớn hơn 1. 94. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD có góc B bằng 60o. Đường tròn nội tiếp hình thoi tiếp xúc với đường thẳng AD và BC lần lượt tại P và Q. Biết phương trình đường thẳng PQ là √ x – y = 0 và trung điểm M của AB có tọa độ M( √ ;1). Tính diện tích hình thoi ABCD. 95. Trong hệ tọa độ Oxy cho 2 đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc nhau tại A(1;1). Một tiếp tuyến chung của 2 đường tròn tiếp xúc với (O) và (O’) tại B và C(2;2). Biết B nằm trên đường thẳng d: 2x – y + 1 = 0. Viết phương trình (O) và (O’). 96. Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC với C(1;2) và diện tích tam giác bằng 6. Một đường thẳng (d) đi qua trọng tâm của tam giác cắt các đoạn thẳng AB, AC lần lượt tại E và F( ). Biết rằng AB = 4BE và (d): 7x + 6y – 27 = 0. Xác định tọa độ các đỉnh A và B của tam giác. 97. Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy cho 2 đường tròn (C1): x2 + y2 – 10x = 0 và (C2): x2 + y2 + 4x – 2y – 20 = 0. Viết phương trình đường tròn (C) đi qua các giao điểm của (C1) và (C2) và tâm nằm trên (d): x + 6y – 6 = 0. 98. Trong hệ Oxy cho đường tròn (C): x2 + y2 = 1. Đường tròn (C’) tâm I(2 2) cắt (C) tại 2 điểm A, B sao cho AB = √ . Viết phương trình đường thẳng AB. 99. Trong hệ Oxy cho tam giác ABC biết AB = √ , C(-1;-1), đường thẳng AB có phương trình x + 2y – 3 = 0 và trọng tâm của tam giác ABC thuộc đường thẳng (d): x + y – 2 = 0. Tìm tọa độ A và B. 11 | L Ớ P B Ồ I D Ƣ Ỡ N G K I Ế N T H Ứ C T H À N H C Ô N G – S Đ T : 0 9 0 2 9 2 0 3 8 9 CHUYÊN ĐỀ GIẢI TÍCH PHẲNG 100. Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có A(1;1), đường cao (BH): 5x – 2y – 4 = 0 và trung điểm M của BC là M(–1;3). Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 101. Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn (C) có tâm O(0;0), và (d): 2x – y + 6 = 0. Lấy 1 điểm M trên (d), qua M kẻ 2 tiếp tuyến MA, MB tới (C). Biết phương trình (AB): x – y + 1 = 0. Viết phương trình đường tròn (C). 102. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O(0 0), BE và CF là 2 đường cao của tam giác. Biết phương trình đường thẳng EF là (d1): x + 7y + 34 = 0, điểm M(2;9) nằm trên đường thẳng AB và điểm A nằm trên đường thẳng (d2): x + y – 8 = 0. Tìm tọa độ B và C. 103. Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy cho hình thang ABCD vuông tại A(1;1) và B. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho BM = 2AM, điểm N(1;4) là hình chiếu của M trên CD. Tìm tọa độ các đỉnh B, C, D biết CM vuông góc với DM, điểm B thuộc đường thẳng x + y – 2 = 0. 104. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD có AB = 2BC, phương trình các cạnh AB và AD là 4x – 3y – 6 = 0 và 4x + 3y – 18 = 0. Phân giác trong tại A và D cắt nhau tại E, phân giác trong tại B và C cắt nhau tại F. Biết EF = 5, xB và xD . Tìm tọa độ A, B, C, D. 105. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A(3;4) có phân giác trong BD cắt đường cao AH tại I. Biết D(5; ) và I nằm trên đường thẳng d: x + 2y – 6 = 0. Tính SABC. 106. Trong mặt phẳng tọa độ với Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AD = 2AB. Biết điểm N(4;2) thuộc đoạn CD thỏa mãn DN = 2NC. Gọi M là điểm trên đoạn BC sao cho BC = 4BM. Tìm tọa độ điểm A biết phương trình đường thẳng AM: x + 2y – 18 = 0. 107. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác nhọn ABC vuông tại A. Biết O(0 0) là trung điểm BC, đường phân giác trong góc B có phương trình (d): x + 2y – 5 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết đường thẳng AC đi qua điểm K(6;2). 108. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn (S1): x2 + y2 = 10 và (S2): x2 + y2 – 10x – 10y + 30 = 0 cắt nhau tại 2 điểm A(3;1) và B.Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A và cắt (S1), (S2) tại các điểm thứ hai tương ứng là C và D sao cho A là trung điểm của CD. 109. Trong mặt phẳng tọa độ với Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1)2 + (y + 1)2 = 16 tâm I và điểm A(1 + √ ; 2). Viết phương trình đường thẳng ( ) đi qua A và cắt (C) tại 2 điểm phân biệt B và C sao cho tam giác IBC không có góc tù đồng thời có diện tích bằng 4√ . 110. Trong mặt phẳng tọa độ với Oxy, cho đường tròn (C1): (x + 2)2 + (y – 1)2 = 1 có tâm O1. Đường tròn (C2) có tâm O2 nằm trên đường thẳng (d): x + y – 4 = 0, bán kính bằng 4. Hai đường tròn (C1), (C2) cắt nhau tại A và B sao cho tứ giác O1AO2B có diện tích bằng 2√ . Viết phương trình (C2) biết O2 có hoành độ dương. 111. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm M(3; 1). Viết phương trình đường thẳng d đi qua M cắt các tia Ox, Oy tại A và B sao cho (OA  3OB) nhỏ nhất. 112. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm M(4;1) và cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho giá trị của tồng OA  OB nhỏ nhất. 113. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(1; 2) và cắt các trục 9 4 Ox, Oy lần lượt tại A, B khác O sao cho nhỏ nhất.  OA2 OB2 114. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng (): x –2y –2  0 và hai điểm A(1; 2) , B(3; 4). Tìm điểm M  () sao cho 2MA2  MB2 có giá trị nhỏ nhất. 115. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng d : 2 x  y  3  0 và 2 điểm A(1;0), B(2;1) . Tìm điểm M trên d sao cho: MA  MB nhỏ nhất. 116. Cho đường tròn (C): x 2  y2  2 x  2y  3  0 và điểm M(0; 2). Viết phương trình đường thẳng d qua M và cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB có độ dài ngắn nhất. 12 | L Ớ P B Ồ I D Ƣ Ỡ N G K I Ế N T H Ứ C T H À N H C Ô N G – S Đ T : 0 9 0 2 9 2 0 3 8 9