SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO ĐĂKLĂK
Giáo viên dạy giỏi cấp tỉnh – cấp THPT
Bài 1: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. SỰ ĐỒNG
PHẲNG CỦA CÁC VECTƠ
PPCT: Tiết 33
Giáo viên: LÊ THỊ KIM UYÊN
Đơn vị: Trường THPT Ngô Gia Tự
Lớp 11A1 – Trường THPT Buôn Ma Thuột
1
01/08/20
15s
Đ Ị N H H Ư Ớ NG
T RỌ N G T ÂM
Q U Y T Ắ C BA Đ I Ể M
T R U N G ĐI Ể M
C Ù N G P H Ư Ơ N G
HÌ NH B Ì N H H À N H
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
ĐS
ĐS
ĐS
ĐS
ĐS
ĐS
2. 3.Cho
tam
giácsau
ABC
G hiện
là ……..
của tam giác. Ta có:
thể
quy tắc nào?
thức
Đẳng
đâyvà
MA + MB + MC = 3 MG
+ GB
+làGC
=của
0 và
4 .GA
Cho
M
…
đoạn
thẳng
AB.ABTa
có: AC
BC
Cho 3 điểm A,B,C bất kì.
Ta có:
song hoặc trùng
5. Hai vectơ có giá song
nhau
gọi là hai
IA
IB
2
IM
, I tuỳ ý
MA MB 0 và
1.
Vectơ
là
đoạn
thẳng…?
vectơ
6. Theo
dõi………?
hoạt động, cho biết hoạt động đó thể hiện quy tắc nào?
Vectơ, các phép toán vectơ trong không gian được định nghĩa
hoàn toàn giống như trong mặt phẳng.
3
01/08/20
HĐ1.3. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.
a) Hãy kể tên
tất cả các vectơ
bằng vectơ AB có điểm đầu và
điểm cuối là các đỉnh của hình
hộp.
b) Thực hiện các phép toán sau:
AB AD;
AB AD AA '
a) AB; DC ; A ' B '; D ' C '.
b) ABCD là hình bình hành nên theo quy tắc hình bình hành ta có:
AB AD AC
AB AD
AA ' AC CC '
AB AD AA ' AC ' (1)
Công thức (1) gọi là quy tắc hình hộp.
4
01/08/20
HĐ 1.4. Cho tứ diện ABCD với trọng tâm G. Chứng minh rằng:
AB AC AD 4 AG
5
01/08/20
Em hãy nêu các xác định trọng tâm của tứ diện ABCD.
Cách 1:
Xác định các toạ độ trọng tâm A1 , B1 , C1 , D1
lần lượt của các mặt đối diện với A, B, C, D.
Gọi đoạn nối đỉnh với trọng tâm của mặt
đối diện là trọng tuyến.
Bốn trọng tuyến đồng quy tại một điểm
gọi là trọng tâm của tứ diện.
G
Tính chất: GA 3GA1
6
01/08/20
Em hãy nêu các cách xác định trọng tâm của tứ diện ABCD.
Cách 2:
Lấy hai trung điểm H, K của hai đoạn BC và AD.
Nối hai trung điểm, đoạn thẳng ấy gọi là trung
đoạn.
Ba trung đoạn đồng quy tại một điểm gọi là
trọng tâm của tứ diện.
G
Tính chất: GH GK
7
01/08/20
HĐ 1.4. Cho tứ diện ABCD với trọng tâm G. Chứng minh rằng:
AB AC AD 4 AG
Giải.
Gọi A1 là trọng tâm tam giác BCD.
Theo
tắc ba điểm, ta có:
quy
AB AC AD
AA1 A1B AA1 A1C AA1 A1D
Theo bài toán trọng tâm, ta có:
4
AA
AG
A1B A1C A1D 0 và
1
3
Do đó AB AC AD 4 AG.
00:00
00:01
00:02
00:03
00:04
00:05
00:06
00:07
00:08
00:09
00:10
00:11
00:12
00:13
00:14
00:15
00:16
00:17
00:18
00:19
00:20
00:21
00:22
00:23
00:24
00:25
00:26
00:27
00:28
00:29
00:30
00:31
00:32
00:33
00:34
00:35
00:36
00:37
00:38
00:39
00:40
00:41
00:42
00:43
00:44
00:45
00:46
00:47
00:48
00:49
00:50
00:51
00:52
00:53
00:54
00:55
00:56
00:57
00:58
00:59
01:00
01:01
01:02
01:03
01:04
01:05
01:06
01:07
01:08
01:09
01:10
01:11
01:12
01:13
01:14
01:15
01:16
01:17
01:18
01:19
01:20
01:21
01:22
01:23
01:24
01:25
01:26
01:27
01:28
01:29
01:30
01:31
01:32
01:33
01:34
01:35
01:36
01:37
01:38
01:39
01:40
01:41
01:42
01:43
01:44
01:45
01:46
01:47
01:48
01:49
01:50
01:51
01:52
01:53
01:54
01:55
01:56
01:57
01:58
01:59
02:00
02:01
02:02
02:03
02:04
02:05
02:06
02:07
02:08
02:09
02:10
02:11
02:12
02:13
02:14
02:15
02:16
02:17
02:18
02:19
02:20
02:21
02:22
02:23
02:24
02:25
02:26
02:27
02:28
02:29
02:30
02:31
02:32
02:33
02:34
02:35
02:36
02:37
02:38
02:39
02:40
02:41
02:42
02:43
02:44
02:45
02:46
02:47
02:48
02:49
02:50
02:51
02:52
02:53
02:54
02:55
02:56
02:57
02:58
02:59
03:00
03:01
03:02
03:03
03:04
03:05
03:06
03:07
03:08
03:09
03:10
03:11
03:12
03:13
03:14
03:15
03:16
03:17
03:18
03:19
03:20
03:21
03:22
03:23
03:24
03:25
03:26
03:27
03:28
03:29
03:30
03:31
03:32
03:33
03:34
03:35
03:36
03:37
03:38
03:39
03:40
03:41
03:42
03:43
03:44
03:45
03:46
03:47
03:48
03:49
03:50
03:51
03:52
03:53
03:54
03:55
03:56
03:57
03:58
03:59
04:00
04:01
04:02
04:03
04:04
04:05
04:06
04:07
04:08
04:09
04:10
04:11
04:12
04:13
04:14
04:15
04:16
04:17
04:18
04:19
04:20
04:21
04:22
04:23
04:24
04:25
04:26
04:27
04:28
04:29
04:30
04:31
04:32
04:33
04:34
04:35
04:36
04:37
04:38
04:39
04:40
04:41
04:42
04:43
04:44
04:45
04:46
04:47
04:48
04:49
04:50
04:51
04:52
04:53
04:54
04:55
04:56
04:57
04:58
04:59
05:00
8
01/08/20
Ví dụ 1. Chứng minh rằng điểm G là trọng tâm của tứ diện ABCD
khi và chỉ khi một trong hai điều kiện sau xảy ra:
a) GA GB GC GD 0
1
b) PG PA PB PC PD
4
với mọi điểm P.
Giải.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) Theo bài toán trung tuyến ta có:
GA GB 2GM , GC GD 2GN
Điểm G là trọng tâm của tứ diện ABCD khi và chỉ khi
GM GN 0 hay 2 GM GN 0
Điều này tương đương với
GA GB GC GD 0.
9
01/08/20
Ví dụ 1. Chứng minh rằng điểm G là trọng tâm của tứ diện ABCD
khivà chỉkhimột
trong hai điều kiện sau xảy ra:
a) GA GB GC GD 0
1
b) PG PA PB PC PD
4
với mọi điểm P.
Giải.
b) Điểm G là trọng tâm của tứ diện ABCD khi
và chỉ khi
GA GB GC GD 0
Điều này có nghĩa là với điểm P bất kì, ta có
PA PG PB PG PC PG PD PG 0
1
hay PG PA PB PC PD .
4
10
01/08/20
1. Quy tắc ba điểm: Với ba điểm bất kỳ A, B, C ta có:
AB BC AC ;
AB AC CB
2. Quy tắc hình bình
hành:
Nếu ABCD là hình bình hành thì ta có:
AB AD AC
3. Bài toán trung điểm:
Nếu
I là trung điểm đoạn thẳng AB thì
IA IB 0
4. Bài toán trọng tâm của tam giác:
Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì GA GB GC 0
5. Quy tắc hình hộp. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Khi đó:
AB AD AA ' AC '
6. Bài toán trọng tâm của tứ diện: G là trọng tâm của tứ diện
ABCD khi và chỉ khi
GA GB GC GD 0
HĐ 3.3. Cho tứ diện ABCD có AB = c, CD = c’, AC = b, BD = b’,
BC = a, AD = a’.
1 2
2
2
a) Chứng minh rằng: CB.CD a c ' b ' và CB.CA 1 a 2 b 2 c 2
2
2
b) Tính góc giữa hai vectơ BC và DA theo a, b, c, a’, b’, c’.
2 2
a a
HĐ 3.3. Cho tứ diện ABCD có AB = c, CD = c’, AC = b, BD = b’,
BC = a, AD = a’.
1 2
2
2
a) Chứng minh rằng: CB.CD a c ' b ' và CB.CA 1 a 2 b 2 c 2
2
2
b) Tính góc giữa hai vectơ BC và DA theo a, b, c, a’, b’, c’.
a) Ta có: CB CD DB . Do đó,
2
CB 2.CB.CD CD 2 DB 2
1
CB.CD CB 2 CD 2 DB 2
2
1
a 2 c '2 b ' 2
2
1
Tương tự, CB.CA CB 2 CA2 AB 2
2
1
a 2 b2 c 2
2
1
2
HĐ 3.3. Cho tứ diện ABCD có AB = c, CD = c’, AC = b, BD =
b’, BC = a, AD = a’.
1 2
1 2
2
2
a) Chứng minh rằng: CB.CD a c ' b ' và CB.CA a b 2 c 2
2
2
b) Tính góc giữa hai vectơ BC và DA theo a, b, c, a’, b’, c’.
Cho hai vectơ a và b đều khác 0.
Hãy nêu cách xác định góc giữa hai vectơ đó.
Từ một điểm
O bất kì, ta vẽ các vectơ
Khi đó, a, b AOB.
OA a
và
OB b
HĐ 3.3. Cho tứ diện ABCD có AB = c, CD = c’, AC = b, BD =
b’, BC = a, AD = a’.
1 2
1 2
2
2
a) Chứng minh rằng: CB.CD a c ' b ' và CB.CA a b 2 c 2
2
2
b) Tính góc giữa hai vectơ BC và DA theo a, b, c, a’, b’, c’.
Cho hai vectơ a và b đều khác 0.
Hãy nêu cách xác định góc giữa hai vectơ đó.
Cách 2: Sử dụng định nghĩa tích vô hướng
của hai vectơ.
a.b a . b .cos a, b
HĐ 3.3. Cho tứ diện ABCD có AB = c, CD = c’, AC = b, BD = b’,
BC = a, AD = a’.
1 2
2
2
a) Chứng minh rằng: CB.CD a c ' b ' và CB.CA 1 a 2 b 2 c 2
2
2
b) Tính góc giữa hai vectơ BC và DA theo a, b, c, a’, b’, c’.
b) BC.DA BC.DA.cos BC , DA (3)
mà BC.DA BC. DC CA CB.CD CB.CA
Từ (1), (2) và (3) ta được:
c 2 c '2 b 2 b '2
cos BC , DA
2aa '
Chú ý: Nếu b c, b ' c ' thì cos BC , DA 0
hay
BC DA.
HĐ1.1. Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của các
cạnh AB và BC. Chứng minh rằng đường thẳng IK và ED song song với mặt
phẳng (AFC).
IK / / AC ; ED / / FC
Khi đó mp(AFC) chứa đường thẳng AF và song song với
các đường thẳng IK và ED.
Ta suy ra ba đường thẳng AF, IK và ED cùng song song
với một mặt phẳng.
Khi đó ta nói ba vectơ AF , IK , ED đồng phẳng.
2. Sự đồng phẳng của các vectơ. Điều kiện để ba vectơ đồng
phẳng
Định nghĩa: Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của
chúng cùng song song với một mặt phẳng.
Nhận xét: Nếu ta vẽ OA a, OB b, OC c thì ba vectơ a, b, c
đồng phẳng khi và chỉ khi bốn điểm O, A, B, C nằm trên một
mặt phẳng hay ba đường thẳng OA, OB, OC đồng phẳng.
HĐ 3.1. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các
cạnh AB, CD. Chứng minh rằng ba vectơ BC , AD, MN đồng phẳng.
Gọi I là trung điểm của AC.
Khi đó, mp(MNI) chứa MN và
song song với với các đường thẳng
BC và AD. Ta suy ra ba đường
thẳng BC, MN và AD cùng song
song với một mặt
phẳng. Khi đó ta
nói ba vectơ BC , AD, MN đồng phẳng.
Từ định nghĩa ba vectơ đồng phẳng khi và sự khai triển một vectơ
theo hai vectơ không cùng phương trong hình học phẳng ta có được
định lí sau.
Điều kiện để ba véctơ đồng phẳng:
* Định lý 1: Cho ba vectơ a, b, c trong
đó a và bkhông cùng phương.
Điều kiện cần và đủ để ba vectơ a, b, c đồng phẳng là có các số m, n sao cho
c ma nb .Hơn nữa các số m, n là duy nhất.
- Xem thêm -