Tài liệu Hình học 10-tích vô hướng và ứng dụng

Trần Thành Minh – Phan Lưu Biên - Trần Quang Nghĩa H ÌNH H ỌC 10 Ch ư ơng 2. Tích Vô Hướng Và Ứng Dụng http://www.saosangsong.com.vn/ Save Your Time and Money Sharpen Your Self-Study Skill Suit Your Pace 2 Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng §1.Tích vô hướng của hai vectơ A .Tóm tắt giáo khoa : 1 . Góc giữa hai vectơ : a) Góc hình học : Góc hình học là hình tạo bởi hai tia có chung gốc .Số đo a ( tính bằng độ ) của một góc hình học thỏa : 0o ≤ a ≤ 180o • Nếu 0o ≤ a ≤ 90o và a không phải là góc đặc biệt (0o ;30o ; 45o ;60o ;90o ) càc giá trị lượng giác của a được tính bằng máy tính bỏ túi y G • Nếu 90o < a ≤ 180o , ta dùng góc bù để tính giá a trị lượng giác của a : G sin a = sin(180o − a ) b cos a = − cos(180o − a ) tan a = − tan(180o − a ) O x G G G b) Góc giữa hai vectơ : Cho 2 vectơ a ; b ( ≠ 0 ) ; JJJG G JJJG G G G Vẽ các vectơ OA = a ; OB = b Góc AOB được gọi là góc giữa 2 vectơ a ; b G JJG Ký hiệu : (a, b) 2 . Tích vô hướng của hai vectơ : GG G G a ) Định nghĩa : Tích vô hướng của hai vectơ a , b ký hiệu là a.b là một số xác định bởi : JGG G G G G a.b = a b cos(a, b) cot a = − cot(180o − a ) b) Tính chất : GG GG a.b = b.a G G G JGG G G a.(b + c) = a.b + ac G G G G G JJG (k a )b = k (a.b) = a.(kb) D C Ta cũng có các kết qủa sau : G2 G 2 GG G G a = a ; a.b = 0 ⇔ a ⊥ b A F E B Chú ý : Sử dụng các tính chất ta sẽ có các hệ thức : JJG G G2 G G G2 (a + b) 2 = a + 2a.b + b G G G G G2 G2 (a + b)(a − b) = a − b JJJG JJJG c) Công thức hình chiếu : Cho hai vectơ bất kỳ , AB ; CD . Gọi E , F lần lượt là hình chiếu vuông góc của C , D xuống đường thẳng AB . Ta có công thức : JJJG JJJG JJJG JJJG AB.CD = AB.EF d) Công thức về tọa độ : G G Cho các vectơ : a = ( a1 , a2 ) ; b = (b1 , b2 ) . Ta có các công thức : 2 www.saosangsong.com.vn/ 3 Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng G 2 2 a = a1 + a2 GG a.b = a1b1 + a2b2 G G a ⊥ b ⇔ a1b1 + a2b2 = 0 G G a1b1 + a2b2 cos(a, b) = 2 2 2 2 a1 + a2 . b1 + b2 3 . Áp dụng : JJJG JJJG Bài toán 1 : Tìm tập hợp điểm M thỏa : MA.MB = k (1) ( A , B cố định ; k là hằng số ) Gọi I là trung điểm của AB , ta có : JJJG JJG JJJG JJG (1) ⇔ ( MI + IA)( MI + IB ) = k ⇔ MI 2 − IA2 = k ⇔ IM 2 = k + IA2 • k + IA2 > 0: Tập hợp các điểm M là đường tròn ( I , k + IA2 ) • k + IA2 = 0: Tập hợp các điểm M là : { I } • k + IA2 < 0 : Tập hợp các điểm M là tập rỗng Bài toán 2 : Phương tích của một điểm đối với một đường tròn . Cho đường tròn tâm I JJJ , bán kính R và một điểm M . Một đường thẳng bất kỳ qua M cắt đường G JJJG tròn taị A và B . Biểu thức MA.MB được gọi là phương tích của điểm M đối với đường tròn (I) . Ta có : JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJG JJJG JJJG Ρ M /( I ) = MA.MB = MB.MB ' = ( MI + IB).( MI + IB ') JJJG JJG T = MI 2 − IB 2 (do IB ' = − IB) A = MI 2 − R 2 Chú ý : Do biểu thức trên , ta cũng có : Ρ M /( I ) = MT 2 ( MT là tiếp tuyến vẽ từ M đến đường tròn (I) ) M B I B' B . Giải toán : Dạng toán 1 : Sử dụng máy tính fx-500MS để tính giá trị lượng giác của một góc Ví dụ 1 : Tính các giá trị sau a) sin 65o 43'36"; b) tan(62o 25'16"); c) cot(42o12 ') Giải : Ấn phím MODE nhiều lần để màn hình hiện lên dòng chữ Deg Rad Gra 1 2 Ấn phím 1 để chọn đơn vị đo góc là độ a) Ấn liên tíêp các phím : sin 6 5 o’” 4 3 o’” 3 6 o’” = 0,9115 b) Ấn liên tiếp các phím :tan 6 2 o’” 2 5 o’” 1 6 o’” = 1,9145 c) Ấn liên tiếp các phím : 1 ÷ tan 4 2 o’” 1 2 o’” = 1,1028 Vậy sin 65o 43'36" = 0,9115; tan(62o 25'16") = 1,9145;cot(42o12 ') = 1,1028 Ví dụ 2 : Tính x biết : a) sinx = 0,3502 b) tanx = 2 c) cotx = 2,619 Giải : 3 www.saosangsong.com.vn/ 4 Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng a) Ấn liên tiếp các phím : shift sin 0 . 3 5 0 2 = o’” màn hình hiện lên 20o 29 '58" Vậy : x = 20o 29 '58" b) Ấn liên tíêp các phím : shift tan 2 = o’” màn hình hiện lên Vậy : x = 63o 26 '5" 63o 26 '5" c) Án liên tiếp các phím :shift tan ( 1 ÷ 2 . 6 1 9 ) = o’” màn hình hiện lên Vậy : x = 20o 53'53" 20o 53'53" Dạng toán 2 : Tính giá trị lượng giác của góc giữa 2 vectơ Ví dụ 1 :JJJ Cho hình JG JJJ G vuông JJJG ABCD JJJJJG ; tính giá trị lượng giác của góc giữa các cặp vectơ sau : ( AC ; BC ) . (CA ; DC ) Giải : Ta cóJJJ : G JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG : BC = AD ⇒ ( AC , BC ) = ( AC , AD ) = DAC = 45o JJJG JJJG 2 Do đó : sin( AC , BC ) = sin 45o = 2 JJJG JJJG 2 cos( AC , BC ) = cos 45o = 2 JJJG JJJG JJJG JJJG o tan( AC , BC ) = tan 45 = 1 = cot( AC , BC ) JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG Tương tự , vẽ CE = DC ; α = (CA, DC ) = (CA, CE ) = 135o và ta có : 2 − 2 ;cos α = cos135o = − cos 45o = ; 2 2 tan α = tan135o = − tan 45o = −1; cot α = −1 sin α = sin135o = sin 45o = B A D E C (vì 135o ; 45o bù nhau ) Ví dụ 2 : Cho JJJG hình JJJG chữ nhật JJJG ABCD JJJG có AB = 4cm ; AD =3cm . Tính các góc : a = ( AC , AD ) ; b = (CA, BC ) Giải : Ta có : a = góc CAD Suy ra : CD 4 = = 1,333 ⇒ a = 53o 7 ' tan a = AD 3G JJJG JJJG JJJG JJJ JJJG JJJG b = (CA, BC ) = (CA, CE ) ; (CE = BC ) Suy ra b = gócACE .Mà gócACE và góc CAD bù nhau Nên b = 180o − 53o 7 ' = 126o53 ' C D Dạng toán 3 : Tinh tích vô hướng Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC đều cạnh bằng 3a . M , N là hai điểm thuộc cạnh AC sao cho AM = MN = NC Tính những JJJ tích vôG hướng G JJJ JJJG Jsau JJG : JJJJG JJJG AB. AC ; AC.CB ; BM .BN Giải : Ta có JJJG JJJG 1 9a 2 o AB. AC = AB. AC cos 60 = 3a.3a. = 2 2 B A E A M N B C 4 www.saosangsong.com.vn/ E 5 Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng JJJG JJJG JJJJGJJJJG JJJJGJJJG Vẽ CE = AC ; ( AC , CB ) = (CE ,CB ) = BCE = 120o JJJG JJJG −1 −9a 2 o AC.CB = AC.CB cos120 = 3a.3a.( ) = 2 2 JJJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJG BM .BN = ( AM − AB )( AN − AB ) JJJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJG 2 = AM . AN − AB. AM − AB. AN + AB = AM . AN cos 0o − AB. AM cos 60o − AB. AN cos 60o + AB 2 1 1 = a.2a.1 − 3a.a ( ) − 3a.2a ( ) + 3a.3a 2 2 13 2 = a 2 Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC , trọng tâm G ; JJJG M là m ểmJG trJJJ ênGđường thẳng (d) qua G và JJJộGt điJJJ vuông góc với cạnh BC . Chứng minh rằng ( MA + MB + MC ).BC = 0 Giải : JJJJG JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJG Ta có : MA + MB + MC = 3MG ⇒ ( MA + MB + MC ).BC = 3MG.BC = 0 vì MG ⊥ BC Ví dụ 3 : Cho hình vuông ABCD cJJJ ạnh bằng ; GJJJG M , N lần lượt là trung điểm của BC và CD . G JJJJ G aJJJJ Tính các tích vô hướng sau : AB. AM ; AM AN Giải : Ta có : JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG 2 JJJG JJJJG AB. AM = AB( AB + BM ) = AB + AB.BM JJJG JJJJG JJJG JJJJG = a 2 + 0 = a 2 ( AB ⊥ BM ⇒ AB.BM = 0) JJJJGJJJG JJJG JJJJG JJJG JJJJG AM AN = ( AB + BM )( AD + DN ) JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJJG = AB. AD + AB.DN + BM . AD + BM .DN = 0 + AB.DN cos 0o + BM . AD cos 0o + 0 B A M D C a a N = a. .1 + .a.1 = a 2 ( AB ⊥ AD; BM ⊥ DN ) 2 2 Dạng toán 4 : Sử dụng định lý chiếu JJJG JJJG JJJG JJJG Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC vuông tại A và AB.CB = 4 ; AC.BC = 9 . Tính ba cạnh của tam giác Giải : Ta có JJJ:G C JJJGhình JJJG chiếu2 xuống đường thẳng AB lần lượt là A , B .Do đó : JJJ,G B có 4 = AB.CB = AB. AB = AB ⇒ AB = 2 . Tương tự : C JJJG JJJG JJJG JJJG 2 9 = AC.BC = AC. AC = AC ⇒ AC = 3 BC = AB 2 + AC 2 = 4 + 9 = 13 Ví dụ 2 : Cho ABC JJJG tam JJJgiác JG JJJ G . Tìm tập hợp các điểm M thỏa hệ thức: BC.(2 AM − BC ) = 0 (1) Giải : JJJJG JJJG JJJG 2 (1) ⇔ 2 AM .BC = BC JJJJG JJJG BC 2 ⇔ AM .BC = 2 B Gọi A’ , M’ lần lượt là hình chiếu của A , M xuống đường AA A' M M' B C 5 www.saosangsong.com.vn/ 6 Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng JJJJG JJJG JJJJJJG JJJG JJJJJJG JJJG BC 2 thẳng BC , theo định lý hình chiếu , ta có : AM .BC = A ' M '.BC Do đó : A ' M '.BC = >0 2 JJJJJJG JJJG Suy ra 2 vectơ A ' M ' , BC cùng hướng JJJJJJG JJJG BC 2 BC 2 BC ⇔ A ' M '.BC = ⇔ A'M '= Do đó ; A ' M '.BC = 2 2 2 Vậy điểm M’ cố định ( vì A’ cố định và BC khôngđổi ) Do đó : Tập hợp các điểm M là đường thẳng ( d ) vuông góc với BC tại M’ Ví dụ 3 : Cho tam giác ABC có ba đường caoJJJJJ là :GAA’ GọiG JJJ MG, N , P lần lượt là JJJG , BB’ JJJJJG,CC’. JJJG JJJJ trung điểm của BC , CA , AB . Chứng minh : A ' M .BC + B ' N .CA + C ' P. AB = 0 Giải : Gọi O là tâm đường tròn ngọai tiếp và H là trực tâm của tam giác , ta có : A’ , B’ , C’ lần lượt là hìmh chiếu của H xuống BC , CA , AB . M , N , PJJJJJ lần lưGợt làJJJhìmh G JJJ G JJJGchiếu của O xuông BC , CA , AB Do đó : A ' M .BC = HO.BC (theo định lý hình chiếu ) N Tương tự JJJJJ : G JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJG B' B ' N .CA = HO.CA : C ' P. AB = HO. AB JJJJJG JJJG JJJJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JG Do đó : A ' M .BC + B ' N .CA + C ' P. AB = HO.( BC + CA + AB ) = HO.O = 0 Dạng toán 5 : Chứng minh một hệ thức giữa các độ dài A JJJG 2 Ta thường sử dụng các tính chất của tích vô hướng và tính chất AB = AB 2 C A' M O C' P B Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC có góc BAC = 120o ; AB =3 ; AC = 6 Tính cạnh BC Giải : Ta có JJJG 2 JJJG JJJG JJJG 2 JJJGJJJG JJJG 2 BC 2 = BC = ( AC − AB) 2 = AC − 2 AC AB + AB = 36 − 2.6.3cos120o + 9 = 36 + 18 + 9 = 63 ⇒ BC = 63 = 3 7 Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC trọng tâm G ; BC = a ; CA = b ; AB = c JJJG JJJG AB 2 + AC 2 − BC 2 a) Chứng minh rằng AB. AC = 2 b) Tính AG theo ba cạnh a , b , c Giải : JJJG JJJG AB 2 + AC 2 − BC 2 JJJG 2 JJJG JJJG JJJGJJJG Ta có : BC 2 = BC = ( AC − AB ) 2 = AC 2 + AB 2 − 2 AC AB ⇔ AB. AC = 2 Gọi M là trung điểm của BC , ta có : JJJG 2 JJJJG 2 1 JJJG JJJG AG = AM = . ( AB + AC ) 3 3 2 JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG 2 1 1 AG 2 = AG = ( AB + AC ) 2 = ( AB 2 + AC 2 + 2 AB. AC ) 9 9 1 1 = (b 2 + c 2 + b 2 + c 2 − a 2 ) = (2b 2 + 2c 2 − a 2 ) 9 9 1 Vậy : AG = 2b 2 + 2c 2 − a 2 3 6 www.saosangsong.com.vn/ 7 Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng Ví dụ 3 : Cho hình vuông ABCD tâm là O , cạnh bằng a .Chứng minh rằng với mọi điểm M ta có : MA2 + MB 2 + MC 2 + MD 2 = 4 MO 2 + 2a 2 Giải : Ta có : JJJG 2 JJJJG JJJG JJJJG JJJG MA2 = MA = ( MO + OA) 2 = MO 2 + OA2 + 2MO.OA JJJG 2 JJJJG JJJG JJJJG JJJG MB 2 = MB = ( MO + OB) 2 = MO 2 + OB 2 + 2 MO.OB JJJJG 2 JJJJG JJJG JJJJG JJJG MC 2 = MC = ( MO + OC ) 2 = MO 2 + OC 2 + 2 MO.OC JJJJG 2 JJJJG JJJG JJJJG JJJG MD 2 = MD = ( MO + OD)2 = MO 2 + OD 2 + 2MO.OD JJJJG JJJG JJJG JJJG JJJG MA2 + MB 2 + MC 2 + MD 2 = 4MO 2 + 4OA2 + 2MO(OA + OB + OC + OD) = 4 MO 2 + 4( a 2 2 ) +0 2 = 4MO 2 + 2a 2 JJJG JJJG JJJG JJJG JG a 2 (OA + OB + OC + OD = O ; OA = OB = OC = OD = ) 2 Dạng toán 6 : Chứng minh 2 vectơ vuông góc (hay 2 đường thẳng vuông góc) G G JGJJG 1 G G G JJJG Ví dụ 1 : Cho a = 6 ; b = 4 ; cos(a,b) = Chứng minh rằng hai vectơ ( a + b) ; (a − 2b) 6 vuông góc Giải : Ta có G G G G G2 G G G G G2 GG (a + b).(a − 2b) = a − 2ab + b.a − 2b = 36 − a.b − 2.16 G G 1 1 = 36 − a b . − 32 = 36 − 6.4. − 32 = 0 6 6 G G G G ⇒ (a + b) ⊥ (a − 2b) Ví dụ 2 : Cho hình thang vuông ABCD có 2 đáy là AD = 2a ; BC = 4a ; đường cao AB = 2a 2 . Chứng minh rằng hai đừơng chéo AC và BD thì vuông góc với nhau Giải : Ta có JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG AC.BD = ( AB + BC )( BA + AD) = AB.BA + AB. AD + BC.BA + BC. AD = AB.BA cos180o + 0 + 0 + BC. AD cos 0o = 2a 2.2a 2(−1) + 4a.2a.1 = −8a 2 + 8a 2 = 0 JJJG JJJG ⇒ AC ⊥ BD Vậy hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau A D C B Dạng toán 7 : Sử dụng công thức về tọa độ Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC vớí A( 10 , 5 ) ; B( 3 , 2 ) ; C( 6 , -5 ) .Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại B . Giải : JJJG JJJG Ta có : AB = (3 − 10, 2 − 5) = (−7, −3) ; BC = (6 − 3, −5 − 2) = (−3, −7) 7 www.saosangsong.com.vn/ Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng JJJG JJJG JJJG JJJG Suy ra : AB.BC = ( −7).(3) + (−3).( −7) = 0 ⇒ AB ⊥ BC . Vậy tam giác ABC vuông tại B 8 Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC có A( 3 , 1 ) ; B( -1 , -1 ) ; C( 6 , 0 ) a) Tính góc A của tam giác ABC . *b) Tính tọa độ giao điểm của đường tròn đường kính AB và đường tròn đường kính OC Giải : JJJG JJJG Ta có : AB = ( −4, −2) ; AC = (3, −1) JJJG JJJG −4.3 + (−2).(−1) −10 −1 = cos A = cos( AB, AC ) = = 16 + 4. 9 + 1 10 2 2 o Vậy góc A bằng 135 *b) Gọi MJJJ làGgiao điểm của đường AB kính OC , ta có : M JJJG tròn đường kínhJJJ JJJđường JG và đường tròn JG ( x , y ) ; MA = (3 − x,1 − y ); MB = (−1 − x, −1 − y ); MC = (6 − x, − y ); MO = (− x, − y ) và JJJG JJJG ⎧⎪ MA ⊥ MB ⎧⎪ MA.MB = 0 ⎧(3 − x)(−1 − x) + (1 − y )(−1 − y ) = 0 ⇔ ⎨ JJJJG JJJJG ⇔⎨ ⎨ (6 − x)(− x) + (− y )(− y ) = 0 ⎩ ⎪⎩ MC ⊥ MO ⎩⎪ MC.MO = 0 ⎧ x 2 + y 2 − 2 x − 4 = 0 (1) ⎧4 x − 4 = 0 [ (1) − (2)] ⇔⎨ 2 ⇔⎨ 2 2 2 (2) ⎩ x + y − 6x = 0 ⎩x + y − 6x = 0 x =1 ⎧ ⎪⎧ x = 1 ⇔⎨ ⇔⎨ 2 ⎩1 + y − 6 = 0 ⎩⎪ y = ± 5 Vậy có hai giao điểm M : M 1 (1, − 5) ; M 2 (1, 5) Ví dụ 3 : Cho tam giác ABC có A( 5 , 3 ) ; B( 2 , - 1 ) ; C( -1 , 5 ) a) Tính tọa độ trực tâm H của tam giác b) Tính tọa độ chân đường cao vẽ từ A Giải : tâm JJJJa) JJJtọa G Gọi H( x , y ) là G độ trực JJJ G , ta có : JJJG AH = ( x − 5, y − 3); BC = (−3, 6); BH = ( x − 2, y + 1); AC = (−6, 2) JJJJG JJJG ⎧( x − 5)(−3) + ( y − 3)(6) = 0 ⎪⎧ AH ⊥ BC ⎪⎧ AH .BC = 0 ⇔ ⎨ JJJG JJJG ⇔⎨ ⎨ ⎩( x − 2)(−6) + ( y + 1)(2) = 0 ⎪⎩ BH ⊥ AC ⎩⎪ BH . AC = 0 ⎧ x − 2 y = −1 ⎧ x = 3 ⇔⎨ ⇔⎨ 3 7 x y − = ⎩y = 2 ⎩ Vậy tọa độ trực tâm H là : H( 3 , 2 ) b) Gọi A’( ) là JJJxJG, y JJJ G tọa độ chân đường cao vẽ từ A , ta có : AA ' ⊥ BC ⇔ x − 2 y = −1 (1) ( tương tự câu a ) JJJG JJJG JJJG BA ' = ( x − 2, y + 1) ; BA ' cùng phương BC = ( −3, 6) . Suy ra : 6( x – 2 ) + 3( y + 1 ) = 0 (2) .Giải (1) và (2) ta có : x = y = 1 Vậy tọa độ chân đường cao A’ vẽ từ A là : A’( 1 , 1 ) Dạng toán 8 : Tìm tập hợp điểm JJJG JJJG JJJJG JJJG a ) ( MA + MB ).( MC − MB ) = 0 (1) Ví dụ 1 :Cho tam giác ABC . Tìm tập hợp các điểm M thỏa : JJJG JJJG b) MA2 + MA.MB = 0 (2) 8 www.saosangsong.com.vn/ 9 Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng Giải : JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG a) Ta có : MA + MB = 2 MI ; MC − MB = BC ( I là trung điểm của AB ) JJJG JJJG ( 1 ) ⇔ 2MI .BC = 0 ⇔ MI ⊥ BC : Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng ( d ) qua I và vuông góc với BC JJJG 2 JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG (2) ⇔ MA + MA.MB = 0 ⇔ MA.( MA + MB ) = 0 b) JJJG JJJG ⇔ 2MA.MI = 0 ⇔ MA ⊥ MI Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính AI ( I là trung điểm của AB ) *Ví dụ 2 : Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a . Tìm tập hợp các điểm M thỏa : JJJG JJJJG a2 a) MA.MC = − 4 JJJG JJJJG JJJG JJJJG b) MA.MC + MB.MD = a 2 JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJJG c)( MA + MB + MC ).( MA + MC ) = a 2 Giải : Gọi O là tâm hình vuông ( cũng là trung điểm AC ) . Ta có : JJJG JJJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJG a2 a2 MA.MC = − ⇔ ( MO + OA).( MO + OC ) = − 4 4 2 JJJG JJJG a ⇔ MO 2 − OA2 = − (do OC = −OA) 4 2 2a 2 a 2 a 2 a a 2 2 ⇔ OM = OA − = − = ⇔ OM = 4 4 4 4 2 a Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O , bán kính bằng 2 TJJJ ươ ta Gcó JJJJGtự ,JJJ JJJ:JG G ng MA.MC + MB.MD = a 2 ⇔ MO 2 − OA2 + MO 2 − OB 2 = a 2 ⇔ MO 2 = a 2 ⇔ OM = a (do OA = OB = a 2 ) 2 Vậy tậpJJJhợp cácG điểm tâm , bán JJJJG M làJJJđường G JJJ JG JJJGtrònJJJ JG OJJJ JG kính bằng a Ta có MA + MB + MC = 3MG ; MA + MC = 2 MO ( G là trọng tâm tam giác ABC ) . Do đó : JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJJG JJJJG a 2 ( MA + MB + MC ).( MA + MC ) = a 2 ⇔ MG.MO = 6 2 2 2 a a 1 a 1 a 2 2 26a 2 ) = ⇔ MJ 2 − JO 2 = ⇔ JM 2 = + ( GO) 2 = +( . 6 6 2 6 6 2 144 a 26 ⇔ JM = 12 1 1 1 a 2 ( J là trung điểm của OG ; JO = GO ; GO = BO = . ) 2 3 3 2 a 26 Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O , bán kính bằng 12 Dạng toán 9 : Tính phương tích . Tính đoạn tiếp tuyến . Ví dụ 1 : Cho 4 điểm A( - 2 , 1 ) ; B( 4 , 7 ) ; M( 0 , 2) ; N(- 3 , - 5 ) Tính phương tích của điểm M , N đối với đường tròn đường kính AB 9 www.saosangsong.com.vn/ 10 Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng Giải : Ta có : tọa độ tâm I của đường tròn ( cũng là trung điểm của AB ) : −2 + 4 1 + 7 I( , ) ⇒ I( 1 , 4 ) 2 2 Ta cũng có : JJG IA = (−2 − 1,1 − 4) = (−3, −3) ⇒ R 2 = IA2 = 9 + 9 = 18 JJJG IM = (0 − 1, 2 − 4) = (−1, −2) ⇒ Ρ M /( I ) = IM 2 − R 2 = (1 + 4) − 18 = −13 JJG IN = (−3 − 1, −5 − 4) = (−4, −9) ⇒ Ρ N /( I ) = IN 2 − R 2 = (16 + 81) − 18 = 79 Ví dụ 2 : Cho 4 điểm A( - 2 , - 1 ) ; B( - 1 , 4 ) ; C( 4 , 3 ) ; M( 5 ,- 2 ). Chứng minh rằng điểm M ở ngoài đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC và tính đoạn tiếp tuyến MT vẽ từ M đến đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC ( T là tiếp điểm ) Giải : Gọi I ( x , y ) là tâm đường tròn (ABC) ,ta có : JJG JJG JJG IA = ( x + 2, y + 1) ; IB = ( x + 1, y − 4) ; IC = ( x − 4, y − 3) 2 2 ⎧ ( x + 2) 2 + ( y + 1) 2 = ( x + 1) 2 + ( y − 4) 2 ⎪⎧ IA = IB ⇔ ⎨ 2 ⎨ 2 2 2 2 2 ⎩( x + 2) + ( y + 1) = ( x − 4) + ( y − 3) ` ⎩⎪ IA = IC ⎧ x + 5y = 6 ⎧x =1 ⇔⎨ ⇔⎨ ⎩3x + 2 y = 5 ⎩ y = 1 Suy ra : I( 1 , 1 ) ; MI 2 = (5 − 1) 2 + (−2 − 1) 2 = 16 + 9 = 25 ; R 2 = IA2 = 9 + 4 = 13 Do đó : Ρ M /( ABC ) = MI 2 − R 2 = 25 − 13 = 12 ⇒ MI > R Vậy điểm M ở ngoài đường tròn (ABC) Ta cũng có : MT 2 = Ρ M /( ABC ) = 12 ⇔ MT = 12 = 2 3 . C . Bài tập rèn luyện : 2 .1 Cho tam đều bằng a . Tinh các tích vô huớng JJJG JJJ JJJG JJJ JJJG JJJcạnh G giác JG ABC G JJJ G sau : AB.GB ; AB.CM ; AB ( AB − 2 AC ) ( G là trọng tâm tam giác ABC và M là trung điểm của BC ) 2 . 2 .Cho vuông tại A : AB = 3 ; AC = 4. TJJJ ínGhJJJ cá óc Gcg JJJ JGJJJG JJJGtam JJJGgiác ABC JJJG JJJ G ( AB, BC ) ; ( AC , BC ) và các tích vô hướng sau : AB.BC ; AC .BC 2. 3 .Cho tam giác ABC vuông tại A ; AB = G3 ,JAC = 4 . Trên tia AB lấy điểm D sao cho JJJJG JJJ JJG JJG BD = 4 Tính các tích vô hướng sau : BC .BD ; AC.BI ( I là trung điểm của CD ) 2 .4 . Cho tam giác ABC đềuJJJ , cGạJnh ng làGtrọn JJG bằ JJJ G JaJJG, GJJJJ JJJG g tâm tam giác ; M là một điểm bất kỳ . Chứng minh rằng T = ( MA.GB + MB.GC + MC.GA ) có giá trị không đổi . Tính giá trị này . 2 .5 . Cho hình vuông ABCD , cạnh bằng a . Dùng định lý hình chiếu tính các tích vô hướng sJJJ au : G JJJJG JJJG JJJG JJJG G JJJ JJJG JJJG JJJG JJJG AB.BD ; ( AB + AD ).( BD − BC ) ; (OA + OB + OC ). AB ( O là tâm hình vuông ) * 2 .6 . Cho tam giác ABC đều , cạnh bằng a . Tìm tập hợp các điểm M thỏa : JJJG JJJG JJJJG 3a 2 (CA + 2 BC ).CM = 4 2 . 7 .Cho tam giác ABC có trọng tâm là G .Chứng minh rằng : 10 www.saosangsong.com.vn/ 11 Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG 1 GA.GB + GB.GC + GC.GA = − (GA2 + GB 2 + GC 2 ) 2 2 .8. Cho hìnhJJJvuông ABCD cạnh bằng a ; I là trung điểm của CD . Tính các tích vô G JJG JJJGJJJG hướng sau : BD.BI ; BI .BG ( G là trọng tâm tam giác ABD ) JJJJG JJG J 2 .9 .Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 4 ; AD = 3 và điểm M thỏa AM = k AB .Định k để 2 đường thẳng AC và DM vuông góc 2 . 10 . Cho tam giác ABC vuông tại A . Trên tia đối của tia AB ,lấy điểm D sao cho AD = AC ; trên tia đối của tia AC , lấy điểm E saocho AE = AB . Chứng minh rằng đường trung tuyến của tam giác ADE thì vuông góc với BC G G G G G JJG 2 . 11 . Cho : a = 6 ; b = 3 .Định x để hai vectơ sau vuông góc với nhau ( a + xb) ; (a − xb) 2 . 12. Cho tam giác ABC vuông tại A ; D thuộc tia AC và AD = 3AC Chứng minh rằng 1 AG 2 = ( AB 2 + 16 AC 2 ) (G là trọng tâm tam giác BCD ) 9 * 2 .13. Cho tứ giác ABCD JJJGJJJG a) Chứng minh rằng ; AB 2 − BC 2 + CD 2 − DA2 = 2 AC DB b)Suy ra rằng điều kiện cần và đủ để tứ giác ABCD có 2 đường chéo vuông góc là AB 2 + CD 2 = BC 2 + AD 2 2 . 14 . Cho tam giác ABC . Tìm tập hợp các điểm M thỏa : JJJG JJJG JJJJG a ) ( AB + AC ). AM = 0 JJJG JJJG JJJG JJJJG * b) MA.( MA + 2 MB + MC ) = 0 * JJJG 2 .15JJJG . Cho ABC đều , cạnh bằng a . Tìm tập hợp các điểm M thỏa : JJJJtam G giác 2 ( MA + MB ).MC = a 2 . 16 . Cho hai điểm A( 1 , 2 ) ; B( 6 , 3 ) . Tìm tọa độ điểm C nằm trên trục Ox biết rằng tam giác ABC vuông tại C . 2 . 17 . Cho 4 điểm A( - 1 , 0 ) ; B( 0 , 3 ) ; C( 3 , 2 ) ; D( 5 , - 2) . Chứng minh rằng tứ giác ABCD là một hình thang vuông . Tính diện tích của hình thang này . D. Hướng dẫn giải hay đáp số JJJG JJJG a 3 3 a2 o 2 .1 AB.GB = AB.GB.cos 30 = a. . = 3 2 2 2 JJJG JJJJG a 1 a AB.CM = AB.CM .cos 60o = a. . = . 2 2 4 JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG 1 AB.( AB − 2 AC ) = AB 2 − 2 AB. AC = a 2 − 2a.a.cos 60o = a 2 − 2a 2 . = 0 2 JJJG JJJG 2 .2 . ( AB, BC ) vá góc ABC bù nhau ;cosABC = (3 : 5) = 0,6 Suy ra JJJG JJJG ABC = 53o 7 ' 48" ⇒ ( AB, BC ) = 180o − 53o 7 ' 48" = 126o52 '12" 11 www.saosangsong.com.vn/ 12 Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng AC 4 cosACB= = = 0,8 BC 5 JJJG JJJG ( AC , BC ) = ACB = 90o − ABC = 36o52 '12 " JJJG JJJG 3 −3 AB.BC = AB.BC.(− ) = 3.5.( ) = −9 5 5 JJJG JJJG 4 4 AC.BC = AC.BC. = 4.5. = 16 5 5 JJJG JJJG 2.3 BC.BD = BC.BD.cos CBD C I A D B 3 = 5.4.(− ) = −12 5 JJJJG JJG JJJG JJG JJJG JJJG JJG JJJG JJJG AC.BI = AC ( AI − AB) = AC. AI ( AC. AB = 0) JJJG 1 JJJG JJJG 1 = AC. ( AC + AD) = AC 2 = 8 2 2 2 . 4 .Ta JJJGcó J:JJG JJJJG JJJG JJJG JJJJG JJJJG JJJG JJJJG MA = GA − GM ; MB = GB − GM ; MC = GC − GM JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJG T = GA.GB + GB.GC + GC.GA − GM (GA + GB + GC ) = GA.GB.cos120o + GB.GC.cos120o + GC.GA.cos120o − 0 a 3 2 1 a2 2 a 3 a 3 = 3( ) .(− ) = − (do GA = GB = GC = . = 3 2 2 3 2 3 JJJG JJJG JJJG JJJG 2 2.5. AB.BD = AB.BA = − a JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG ( AB + AD)( BD − BC ) = AC.CD = DC.CD = − a 2 JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG a 2 2 a2 (OA + OB + OC ). AB = OB. AB = OB.OB = OB 2 = ( ) = 2 2 *2 .6JJG. Ta JJJ cóG : JJJG JJJG JJJG JJG JJG Vẽ AI = 2 BC ; CA + 2 BC = CA + AI = CI ( I cố định và tam giác ACI là nửa tam giác đều) JJJG JJJG JJJJG JJG JJJJG (CA + 2 BC ).CM = CI .CM JJG JJJJJG = CI .CM ' JJG JJJJG 3a 2 a 3 1 Theo giả thiết : CI .CM ' = ⇔ CM ' = = CI 4 2 2 Vậy tậphợp các điểm M là đường trung trực của đoạn CI M A B I M' C 2 . 7 .Ta có : JJJGJJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG G GA + GB + GC = 0 ⇔ GA2 + GB 2 + GC 2 + 2GA.GB + 2GB.GC + GC.GA = 0 JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG 1 ⇔ GA.GB + GB.GC + GC.GA = − (GA2 + GB 2 + GC 2 ) 2 2 .8 . 12 www.saosangsong.com.vn/ 13 Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng JJJG JJG JJJJG 1 JJJG JJJG 1 JJJG 2 1 JJJG JJJG JJJG BD.BI = BD. ( BD + BC ) = BD + BC.( BC + CD) 2 2 2 1 1 1 1 3a 2 = BD 2 + BC 2 + 0 = (a 2) 2 + a 2 = 2 2 2 2 2 . JJG JJJG JJJ G JJJ G JJJ G JJJ G JJJ G 1 1 BI .BG = ( BC + BD) ( BA + BD + BB ) 2 3 1 2a 2 = (0 + a 2 + a 2 + 2a 2 ) = 6 3 JJJG JJJJG 2.9. AC ⊥ DM ⇔ AC.DM = 0 JJJJG JJJG JJJJG JJJG ⇔ ( AB + AD)( AM − AD) = 0 JJJG JJJG JJJG JJJG ⇔ ( AB + AD)(k AB − AD) = 0 9 ⇔ kAB 2 − AD 2 = 0 ⇔ k .16 − 9 = 0 ⇔ k = 16 2 . 10 . Gọi AI là trung tuyến của tam giác ADE , ta có : JJG 1 JJJG JJJG AI = ( AD + AE ) 2 JJG JJJG 1 JJJG JJJG JJJG JJJG 1 AI .BC = ( AD + AE ).( AC − AB) = (0 + AD. AB − AE. AC − 0) 2 2 1 = ( AC. AB − AB. AC ) = 0 ⇔ AI ⊥ BC 2 2. 11 . x = ± 2 2 .12 .Ta có : JJJG 1 JJJG JJJG JJJG 1 JJJG JJJG JJJJJG AG = ( AB + AC + AD) = ( AB + AC + 3 AC ) 3 3 JJJG JJJG JJJG 2 1 AG 2 = AG = ( AB 2 + 16 AC 2 + 8 AB. AC ) 9 1 = ( AB 2 + 16 AC 2 ) 9 JJJG 2 JJJG 2 JJJG 2 JJJG 2 2.13. a) AB 2 − BC 2 + CD 2 − DA2 = AB − BC + CD − DA JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG = ( AB + BC )( AB − BC ) + (CD + DA)(CD − DA) JJJG JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJG = AC ( AB − BC − CD + DA) = AC ( DB − BD) JJJG JJJG = 2 AC.DB JJJG JJJG b) AC ⊥ BD ⇔ AC.BD = 0 ⇔ AB 2 − BC 2 + CD 2 − DA2 = 0 ⇔ AB 2 + CD 2 = BC 2 + AD 2 2 .14 . a) Tập hợp các điểm M là đường thẳng d qua A và vuông góc với trung tuyến AI của tam giác ABC JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJJG MA( MA + 2 MB + MC ) = 0 ⇔ MA.( MA + MB + MB + MC ) = 0 b) JJJG JJJG JJJG JJJG JJJJG ⇔ MA.(2 MJ + 2 MI ) = 0 ⇔ 4 MA.MK = 0 ⇔ MA ⊥ MK ( J , I , K lần lươt là trung điểm của AB , BC , IJ) .Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn dường kính AK 13 www.saosangsong.com.vn/ 14 Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJJG a2 2.15.( MA + MB).MC = a 2 ⇔ 2MI .MC = a 2 ⇔ MJ 2 − JC 2 = 2 . 2 2 2 2 a a 3 2 8a + 3a 11a a 11 2 JM = + ( ) = = ⇔ JM = 2 4 16 16 4 ( I , J lần lượt là trung điểm của AB , CI ) . Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn ( J , a 11 ) 4 2 16 , Có hai điểm C : C( 2 , 0 ) ; C( 7 , 0 ) 2 17 . Hình thang ABCD vuông tại A và D . Diện tích của hình thang này bằng 15 §2. Hệ thức lượng trong tam giác A . Tóm tắt giáo khoa 1 .Định lý cosin : Trong một tam giác ABC , bình phương một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh còn lại trừ đi tích của hai cạnh đó nhân với cosin của góc xen giữa chúng . A a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A b 2 = c 2 + a 2 − 2ca cos B b c c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C Suy ra : B cos A = C a b2 + c2 − a 2 c2 + a 2 − b2 a 2 + b2 − c2 ;cos B = ;cos C = 2bc 2ca 2ab 2 .Định lý sin : Trong một tam giác ABC , tỉ số giữa một cạnh và sin của góc đối diện cạnh đó bằng đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác a b c = = = 2R sin A sin B sin C 3 .Công thức tính độ dài đường trung tuyến . 2(b 2 + c 2 ) − a 2 4 2 2(c + a 2 ) − b 2 2 mb = 4 2 2(a + b 2 ) − c 2 2 mc = 4 A 2 ma = ma mb B mc C (AB = c ; BC = a ; CA = b ; ma ; mb ; mc là các trung tuyến vẽ t ừ A ,B ,C ) 4 . Công thức tính diện tích : Diện tích S của tam giác ABC được tính bởi các công thức sau : 14 www.saosangsong.com.vn/ 15 Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng 1 1 1 ab sin C = bc sin A = ca sin B 2 2 2 abc S= 4R S = pr A S= S= ( với p = p( p − a)( p − b)( p − c) c b ha B C a 1 (a+b+c) ; R là bán kính đường tròn ngọai tiếp ; r là bán kính đường tròn nội tiếp ) 2 5 . Giải tam giác : Giải tam giác là tìm một số yếu tố của tam giác khi biết một số yếu tố của tam giác đó B . Giải toán Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC có BC = 40cm ; CA = 13cm ; AB = 37cm Tinh góc nhỏ nhất của tam giác ABC . Giải : Ta biết rằng : đối diện với cạnh nhỏ nhất là góc nhỏ nhất .Ta lại có : CA < AB < BC nên B < C < A . Vậy B là góc nhỏ nhất . Theo công thức ta có : c 2 + a 2 − b 2 37 2 + 402 − 132 2800 = = = 0,9459 cos B = 2ca 2.37.40 2960 ⇒ B = 18o55' Vậy góc nhỏ nhất của tam giác ABC là góc B và B = 18o 55 ' Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC vuông tại A và AB = 3 ; AC = 4 . Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho CD = CB . Tính các cạnh BD , AD ; các góc B , D , A của tam giác ABD ; bán kính đường tròn ngọai tiếp và diện tích của tam giác này Giải BC = AB 2 + AC 2 = 9 + 16 = 5 ; BD = 2 BC = 10 AB 3 AC 4 = ; sin B = = cos B = BC 5 BC 5 Ta có AD 2 = BA2 + BD 2 − 2 BA.BD cos B 3 = 9 + 100 − 2.3.10. = 73 5 AD = 73 D C Ta cũng có A B 15 www.saosangsong.com.vn/ 16 Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng cos B = 3 = 0, 6 ⇒ B = 53o 7 ' 5 4 3. AB AD AB sin B = ⇒ sin D = = 5 = 0, 2808 sin D sin B AD 73 o D = 16 18' Suy ra : BAD = 180o − (53o 7 '+ 16o18') = 110o 25' Bán kính đường tròn ngọai tiếp tam giác ABD cho bởi công thức : AD 73 5 73 R= = = = 5,34 2sin B 2 4 8 5 Ta lại có 2 tam giác ABC và ACD có diện tích bằng nhau (vì có chung đường cao vẽ từ A và 2 cạnh đáy BC ,CD bằng nhau ) Do đó : 1 S ABD = 2 S ABC = 2. . AB. AC = 3.4 = 12 2 4 Ví dụ 3 : Cho tam giác ABC có AB = 5cm ; AC = 7cm ; cosA= Tính diện tích , bán kính 5 đường tròn ngọai tiếp , nội tiếp của tam giác và đường cao vẽ từ A Giải : Ta có : 16 3 1 1 3 21 = = 10, 5cm2 ; S = AB. AC.sin A = 5.7. = 25 5 2 2 5 2 4 BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2 AB. AC.cos A = 25 + 49 − 2.5.7. = 18 ⇔ BC = 3 2cm 5 3 2 5 2 BC BC 2R = ⇔R= = = cm sin A 2sin A 2. 3 2 5 21 S 21 2 r= = = cm p 5 + 7 + 3 2 12 + 3 2 2 1 2S 21 7 2 S = AH .BC ⇔ AH = = = cm BC 3 2 2 2 sin A = 1 − cos 2 A = 1 − Ví dụ 4 : Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 6cm ; E là trung điểm của CD . Tính bán kính đường tròn ngọai tiếp tam giác ACE và càc góc của tam giác này Giải : Tacó B A D E C 16 www.saosangsong.com.vn/ 17 Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng AC = AB 2 = 6 2cm ; AE = AD 2 + DE 2 = 3 5cm; ACE = 45o AE 3 5 3 10 cm = = 2sin ACE 2 2 6 AD sin AED = = = 0,8944 => AED = 63o 25' AE 3 5 o AEC = 180 − 63o 25' = 116o 35' => CAE = 180o − (116o35'+ 45o ) = 18o 25' R( ACE ) = Ví dụ 5 : Trong một tam giác ABC bất kỳ , chứng minh rằng : a) ha = 2 R sin B sin C b) S = 2 R 2 sin A sin B sin C ( ha là đường cao vẽ từ A ; R là bán kính đường tròn ngọai tiếp và S là diện tích của tam giác ABC ) Giải : Ta có : 1 2 S bc 2 R sin B.2 R sin C aha ⇔ ha = = = = 2 R sin B sin C 2 a a 2 R sin A ⎧a = 2 R sin A a b c ⎪ = = = 2 R ⇔ ⎨b = 2 R sin B (do sin A sin B sin C ⎪ c = 2 R sin C ⎩ Theo câu a) ta cũng có : 1 1 S = aha = (2 R sin A).(2 R sin B sin C ) = 2 R 2 sin A sin B sin C 2 2 S= Ví dụ 6 : Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a . Một đường tròn có bán kính bằng a 6 , qua 2 3 đỉnh A , C và cắt cạnh BC tại E . Tính đoạn AE và góc BAE Giải : Ta có :ACE = 45o và bán kính đường tròn ngọai tiếp a 6 tam giác ACE bằng Do đó , theo định lý sin D A 3 AE a 6 a 6 2 2a 3 = 2. ⇔ AE = 2. . = o sin 45 3 3 2 3 Tam giác vuông ABE cho : AB a 3 cos BAE = = = => BAE = 30o AE 2a 3 2 B E C 3 o Ví dụ 7 : Cho tam giác ABC có BAC = 120 .AD là phân giác trong của góc A (D thuộc cạnh BC ) .Chứng minh rằng tổng hai bán kính đường tròn ngọai tiếp tam giác ABD và tam giác ADC bằng bán kính đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC Giải : Ta có 17 www.saosangsong.com.vn/ 18 Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng BAD = DAC = 60o ⇒ sin BAD = sin DAC = sin BAC = 3 2 Theo định lý sin , ta có : BD BD DC DC 2 R( ABD ) = ; 2 R( ADC ) = = = sin BAD sin DAC 3 3 2 2 BC BC BD + DC 2 R( ABC ) = = = = 2 R( ABD ) + 2 R( ADC ) sin BAC 3 3 2 2 ⇔ R( ABC ) = R( ABD ) + R( ADC ) Ví dụ 8 : Cho tam giác ABC vá điểm M thuộc cạnh BC .Biết rằng : bc sin(α + β ) BAM = α ; CAM = β .Chứng minh rằng AM = c sin α + b sin β Giải : Ta có : 1 1 S( ABC ) = AB. AC.sin A = bc sin(α + β ) 2 2 1 1 S( ABM ) = AB. AM .sin BAM = AM .c.sin α 2 2 1 1 S( ACM ) = AC. AM .sin CAM = AM .b.sin β 2 2 Mà : 1 1 bc sin(α + β ) = AM (c sin α + b sin β ) 2 2 bc sin(α + β ) Suy ra AM = c sin α + b sin β S( ABC ) = S( ABM ) + S( ACM ) ⇔ Ví dụ 9 : Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác ABC vuông tại A là 2 2 2 mb + mc = 5ma (ma , mb , mc là 3 trung tuyến vẽ từ A,B,C ) Giải : Ta có : 2 2 2 2(c 2 + a 2 ) − b 2 2(a 2 + b 2 ) − c 2 2(b 2 + c 2 ) − a 2 + =5 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 ⇔ 2c + 2a − b + 2a + 2b − c = 10b + 10c − 5a 2 mb + mc = 5ma ⇔ ⇔ 9a 2 = 9(b 2 + c 2 ) ⇔ a 2 = b2 + c2 Vậy tam giác ABC vuông tại A Ví dụ 10 : Cho tam giác ABC có AB = c = 45 ; AC = b = 32 ; BAC = 87 o . Tính các cạnh và các góc còn lại Giải : Ta có : 18 www.saosangsong.com.vn/ 19 Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos87 o = 322 + 452 − 2.32.45.cos87o = 2898 ⇒ a = 2898 = 53,8 cos B = c 2 + a 2 − b 2 452 + 2898 − 322 = = 0,8052 2ca 2.45.53,8 ⇒ ABC = 36o 22 ' ⇒ ACB = 180o − (87 o + 36o 22 ') = 56o38' C. Bài tập rèn luyện . 2 . 18 .Cho tam giác ABC có ba cạnh bằng 10cm ; 13cm ; 17cm . Tính diện tích ,bán kính đường tròn ngọai tiếp và bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác 2 . 19 . Cho tam giác ABC vuông tại A ; AB = 3 ; AC = 4 . Trên tia BC lấy điểm D saocho CD = 7 ; trên tia BA lấy điểm E sao cho AE = 5 .Tính các cạnh và các góc của tam giác ADE c 2 . 20 Tam giác ABC có 3 cạnh là BC = a ; CA = b ; AB = c và trung tuyến AM = 2 2 2 2 2 2 2 Chứng minh rằng 2b = a − c ; sin A = 2sin B + sin C 2 .21 Cho tam giác ABC nhọn có AB = 3cm ; AC = 4cm và diện tích S = 3 3cm 2 Tính cạnh BC và .đường cao AH của tam giác này . 2 .22 . Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a , O là tâm của hình vuông và E là trung điểm của AB . Tính bán kính đường tròn ngọai tiếp , diện tích và các góc của tam giác OCE 2 .23 .Cho tam giác ABC có BC = a ; CA = b ; AB = c .Chứng minh rằng tan A c 2 + a 2 − b 2 = tan B b 2 + c 2 − a 2 2 . 24 . Cho tam giác ABC có : BAC = 60o ; BC = 7 ; AC = 2 . Tính cạnh AB và các góc của tam giác này 2 .25. Cho tam giác ABC có BC = a ; CA = b ; AB = c và các cạnh này thỏa điều kiện b 2 + c 2 = 5a 2 Chứng minh rằng hai trung tuyến vẽ từ B và C thì vuông góc với nhau 2 . 26 . Cho tam giác ABC có : AB = 3cm ; AC = 2x(cm) ; BC = 5cm . a) Định điều kiện của x (để ABC là một tam giác ) b) Định x để góc BAC = 60o * 2 . 27 . a) Cho tam giác MPQ có trung tuyến là MR .Chưng minh rằng PQ 2 MP 2 + MQ 2 = 2 MR 2 + 2 b) Cho tam giác ABC vuông tại A và có BC = 6 . Trên đường thẳng BC lấy 2 điểm D và E sao cho BD = BE = 1 .Chứng minh rằng AD 2 + AE 2 + 2 AC 2 = 74 2 .28 .Cho hình thang vuông ABCD ( A = B = 90o )và AB =4cm ;AD = 3cm ; BC = 11cm . Tính bán kính đường tròn ngọai tiếp tam giác BCD .. D . Hướng dẫn giải hay đáp số 2 .18 . 19 www.saosangsong.com.vn/ 20 Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng 1 (10 + 13 + 17) = 20cm 2 S = p( p − a)( p − b)( p − c) = 20.10.7.3 = 10 42 = 64,80cm 2 p= R= abc 10.13.17 221 = = = 8,52cm 4 S 4.10 42 4 42 r= S 10 42 = = 3, 24cm p 20 2.19. BC = AB 25 + AC 2 = 9 + 16 = 5 ⇒ BD = 5 + 7 = 12 BE = 3 + 5 = 8 DE 2 = BD 2 + BE 2 − 2 BD.BE.cos B 3 464 = 144 + 64 − 2.12.8. = ⇒ DE = 9, 63 5 5 3 cos B = = 0, 6 ⇒ B = 53o 7 ' 5 4 DE BE BE sin B sin B = = 0,8 ; = ⇒ sin D = 5 sin B sin D DE 8.0,8 = 0, 6645 ⇒ D = 41o38' sin D = 9, 63 E = 180o − (41o38'+ 53o 7 ') = 75o15' 2 .20 . Áp dụng công thức về đường trung tuyến : 2(b 2 + c 2 ) − a 2 c 2 2(b 2 + c 2 ) − a 2 2 AM 2 = ma = ⇔ = 4 4 4 2 2 2 ⇔ a − c = 2b Theo định lý sin , ta có : a = 2RsinA ; b =2RsinB ; c = 2RsinC nên : 4 R 2 sin 2 A − 4 R 2 sin 2 C = 2( 4 R 2 sin 2 B) ⇔ sin 2 A − sin 2 C = 2sin 2 B ⇔ sin 2 A = 2sin 2 B + sin 2 C 2 .21 .Ap dụng công thức : S= 1 1 AB. AC.sin A ⇔ 3 3 = 3.4.sin A 2 2 ( vì góc A nhọn ) 3 o ⇔ sin A = ⇒ A = 60 2 Ta lại có : 1 BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2 AB. AC.cos 60o = 9 + 16 − 2.3.4. = 13 => BC = 13 2 2S 2.3 3 6 39 AH = = = BC 13 13 2 . 22 . Ta có : 20 www.saosangsong.com.vn/