Tài liệu Hiệu chính bất đẳng thức biến phân J - Đơn điệu trong không gian Banach (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HIỆU CHỈNH BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN J – ĐƠN ĐIỆU TRONG KHÔNG GIAN BANACH NGUYỄN MINH HẢI THÁI NGUYÊN 2015 1 Mục lục Bảng ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach 1.1 1.2 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.1 Không gian Banach lồi đều, trơn đều . . . . . . 8 1.1.2 Ánh xạ đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.3 Ánh xạ j-đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Bất đẳng thức biến phân đặt không chỉnh . . . . . . . 12 1.2.1 Bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . . . . . . 12 1.2.2 Bài toán điểm bất động . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.3 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach 17 2 Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu 2.1 2.2 8 21 Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu . . . . 21 2.1.1 Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.2 Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Phương pháp hiệu chỉnh lặp . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.1 28 Phương pháp lặp ẩn . . . . . . . . . . . . . . . 2 2.2.2 Phương pháp hiệu chỉnh lặp . . . . . . . . . . . 31 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 3 BẢNG KÝ HIỆU X không gian Banach thực X∗ không gian liên hợp của X D(A) miền xác định của toán tử A R(A) miền giá trị của toán tử A Fix(T ) Tập điểm bất động của toán tử T H không gian Hilbert C tập con lồi đóng của H I ánh xạ đơn vị PC Phép chiếu mêtrix H lên tập con lồi đóng C của H xn → x dãy {xn } hội tụ mạnh tới x xn * x dãy {xn } hội tụ yếu tới x 4 Mở đầu Cho X là một không gian Banach thực. Ký hiệu X ∗ là không gian liên hợp của X, C là một tập con lồi đóng khác rỗng của X, A : X → X là một ánh xạ phi tuyến. Bài toán bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu trong không gian Banach (viết tắt là VI∗ (A, C)) được phát biểu như sau: Tìm phần tử x∗ ∈ X thỏa mãn: x∗ ∈ C : hAx∗ , j(x − x∗ )i ≥ 0 ∀x ∈ C, (0.1) ∗ ở đây j(x − x∗ ) ∈ J(x − x∗ ), J : X → 2X là ánh xạ đối ngẫu của X. Nếu X := H là một không gian Hilbert thực thì bất đẳng thức biến phân VI∗ (A, C) trở thành bài toán tìm phần tử x∗ ∈ H thỏa mãn x∗ ∈ C : hAx∗ , x − x∗ i ≥ 0 ∀x ∈ C. (0.2) Bài toán (0.2) ký hiệu là VI(A, C). Bất đẳng thức biến phân VI(A, C) được đưa ra và nghiên cứu đầu tiên bởi Stampacchia (xem [8]) vào những năm đầu của thập kỷ 60 trong khi nghiên cứu bài toán biên của phương trình đạo hàm riêng. Từ đó phương pháp bất đẳng thức biến phân được quan tâm nghiên cứu rộng rãi và trở thành một công cụ hữu hiệu trong việc xây dựng các kỹ thuật để giải số nhiều bài toán trong kinh tế và kỹ thuật. Mặc dù đã có rất nhiều kết quả nghiên cứu về phương pháp giải bất đẳng 5 thức biến phân, nhưng việc cải tiến các phương pháp nhằm gia tăng hiệu quả của nó luôn là một đề tài thời sự, được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu. Trong [4] đã chỉ ra rằng bất đẳng thức biến phân VI∗ (A, C) trong không gian Banach lồi đều và trơn đều tương đương với bài toán điểm bất động: x∗ = QC (x∗ − µAx∗ ), (0.3) ở đây µ > 0 là hằng số tùy ý và QC là một ánh xạ co rút không giãn theo tia từ X lên C. Do đó, phương pháp chiếu và một số biến thể của phương pháp có thể được dùng để giải bất đẳng thức biến phân (0.1). Tuy nhiên, ánh xạ co rút không giãn theo tia không dễ dàng tính toán khi C là một tập lồi đóng bất kỳ của X. Để giảm hạn chế này, trong không gian Hilbert, khi ánh xạ co rút không giãn là phép chiếu mêtric PC chiếu X lên C, Yamada [11] đã giả thiết C là tập điểm bất động của ánh xạ không giãn T : H → H và đưa ra phương pháp lai đường dốc nhất (hybrid steepest-descent) giải bất đẳng thức biến phân VI(A, C). Phương pháp này được phát triển từ không gian Hilbert sang không gian Banach, từ một ánh xạ lên một họ các ánh xạ. Chú ý rằng, bài toán điểm bất động của ánh xạ không giãn, nói chung, là bài toán đặt không chỉnh. Do đó, bài toán bất đẳng thức biến phân VI∗ (A, C) hay VI(A, C), nói chung, cũng là những bài toán đặt không chỉnh theo nghĩa nghiệm của bài toán không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu. Để giải bài toán này, chúng ta phải 6 sử dụng những phương pháp giải ổn định. Một trong những phương pháp được sử dụng rộng rãi và khá hiệu quả là phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov (xem [3] và các tài liệu trích dẫn). Mục đích của đề tài luận văn nhằm trình bày lại một kết quả nghiên cứu mới đây trong [9] của TS. Nguyễn Thị Thu Thủy về hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu trên tập điểm bất động của một họ đếm được các ánh xạ không giãn trong không gian Banach. Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương. Chương 1 với tiêu đề "Bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach" nhằm giới thiệu một số khái niệm và tính chất về không gian Banach lồi đều, trơn đều; Ánh xạ j-đơn điệu, ánh xạ đối ngẫu, ánh xạ không giãn; Bài toán đặt không chỉnh, bài toán điểm bất động và bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn. Nội dung của chương này được tham khảo trong các tài liệu [1]-[3]. Chương hai với tiêu đề "Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu" nhằm giới thiệu về bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu trên tập điểm bất động chung của một họ đếm được các ánh xạ không giãn; trình bày hai phương pháp giải bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu, đó là phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov và phương pháp hiệu chỉnh lặp. Nội dung của chương này được viết từ bài báo [9]. Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của cô giáo Tiến sĩ Nguyễn Thị Thu Thủy. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới cô. 7 Trong quá trình học tập và làm luận văn, từ bài giảng của các Giáo sư, Phó Giáo sư công tác tại Viện Toán học, Viện Công nghệ Thông tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam, các Thầy Cô trong Đại học Thái Nguyên, tác giả đã trau dồi thêm rất nhiều kiến thức phục vụ cho việc nghiên cứu và công tác của bản thân. Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, các bạn đồng nghiệp tại trường PTDT Nội trú cấp II-III Bắc Quang, Hà Giang đã quan tâm và tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để tôi hoàn thành khóa học. Xin cảm ơn các anh chị em học viên lớp cao học Toán K7A đã đoàn kết, đùm bọc và giúp đỡ nhau trong toàn khóa học. Cuối cùng xin được gửi lời biết ơn sâu sắc đến những người thân trong gia đình tôi, những người luôn động viên, khuyến khích và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập. Thành quả đạt được chính là món quà mà tôi muốn dành tặng gia đình thân yêu của mình. Tác giả Nguyễn Minh Hải 8 Chương 1 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm và tính chất về không gian Banach lồi đều, trơn đều; trình bày khái niệm và một vài tính chất của ánh xạ j-đơn điệu, ánh xạ đối ngẫu, ánh xạ không giãn; Trong phần thứ hai của chương, chúng tôi giới thiệu về bài toán đặt không chỉnh, bài toán điểm bất động và bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn. Nội dung của chương này được tham khảo trong các tài liệu [1]-[3]. 1.1 1.1.1 Không gian Banach Không gian Banach lồi đều, trơn đều Ký hiệu mặt cầu đơn vị trong không gian Banach X là S1 (0) := {x ∈ X : kxk = 1}. Không gian Banach X được gọi là có chuẩn khả vi Gâteaux (hoặc không gian trơn) nếu giới hạn sau kx + tyk − kxk , t→0 t lim (1.1) 9 tồn tại với mọi x, y ∈ S1 (0). Không gian Banach X được gọi là có chuẩn khả vi Gâteaux đều nếu mỗi y ∈ S1 (0), giới hạn (1.1) tồn tại đều với (x, y) ∈ S1 (0) × S1 (0). Giả sử dim(X) ≥ 2. Modul trơn của X là hàm ρX : [0, ∞) → [0, ∞) xác định bởi ρX (τ ) = sup n1 2 o
kx + yk + kx − yk − 1 : kxk ≤ 1, kyk ≤ τ . Không gian Banach X được gọi là trơn đều nếu: ρX (τ ) = 0. τ →0 τ lim Với q > 1, một không gian Banach X được gọi là q-trơn đều nếu tồn tại một hằng số c > 0 sao cho ρX (τ ) ≤ cτ q . Dễ thấy rằng, nếu X là không gian q-trơn đều thì q ≤ 2 và X là không gian trơn đều. Không gian Hilbert, không gian Lp (hoặc lp ) với 1 < p < ∞, không gian Sobolev Wmp với 1 < p < ∞ là các không gian q-trơn đều nếu 1 < p ≤ 2 và là 2-trơn đều nếu p ≥ 2. Không gian Banach X được gọi là không gian lồi chặt nếu với mỗi x, y ∈ S1 (0), x 6= y thì V ert(1 − λ)x + λyk < 1 với mọi λ ∈ (0, 1), và lồi đều nếu với mọi ε, 0 < ε ≤ 2, từ bất đẳng thức kxk ≤ 1, kyk ≤ 1, và kx − yk ≥ ε suy ra tồn tại δ = δ(ε) > 0 sao cho kx + yk ≤ 2(1 − δ). Chú ý rằng, mọi không gian Banach lồi đều đều là không gian phản xạ và lồi chặt. 10 1.1.2 Ánh xạ đối ngẫu ∗ Định nghĩa 1.1. Ánh xạ đối ngẫu tổng quát Jq : X → 2X được định nghĩa bởi Jq x = {x∗ ∈ X ∗ : hx, x∗ i = kxkq và kx∗ k = kxkq−1 } ∀x ∈ X, ở đây q là một số thực với q > 1. Ánh xạ Jq tồn tại trong mọi không gian Banach X và nói chung là một ánh xạ đa trị. Chú ý rằng, Jq x = kxkq−2 J2 x với x 6= 0, ở đây J2 là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của không gian Banach X và thường viết là J. Ta sẽ ký hiệu ánh xạ đối ngẫu tổng quát và ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị tương ứng là jq và j. Nếu X := H là một không gian Hilbert thực thì J = I, ở đây I là ánh xạ đơn vị. Ta có một số tính chất của ánh xạ đối ngẫu tổng quát Jq sau đây (xem [3]): i) Jq (−x) = −Jq x với mọi x ∈ D(Jq ), ở đây D(Jq ) là miền xác định của ánh xạ Jq ; ii) Jq (λx) = λq−1 Jq x với mọi x ∈ D(Jq ) và λ ∈ [0, ∞). 1.1.3 Ánh xạ j -đơn điệu Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của X và T : C → C là một ánh xạ phi tuyến. Ký hiệu Fix(T ) là tập điểm bất động của ánh xạ T , nghĩa là Fix(T ) := {x ∈ C : T x = x}. Định nghĩa 1.2. Ánh xạ T : C → C được gọi là i) γ-giả co chặt nếu với mọi x, y ∈ C tồn tại số γ > 0 và jq (x − y) ∈ 11 Jq (x − y) sao cho hT x − T y, jq (x − y)i ≤ kx − ykq − γk(I − T )x − (I − T )ykq , hay tương đương với h(I − T )x − (I − T )y, jq (x − y)i ≥ γk(I − T )x − (I − T )ykq , ở đây, I là ánh xạ đơn vị của không gian X. ii) L-liên tục Lipschitz nếu với mọi x, y ∈ C, tồn tại một hằng số L > 0 sao cho kT x − T yk ≤ Lkx − yk. Nếu 0 < L < 1 thì T được gọi là ánh xạ co. Nếu L = 1 thì T được gọi là ánh xạ không giãn. Theo định nghĩa này ta thấy mọi ánh xạ γ-giả co chặt đều là (1 + γ)/γ-liên tục Lipschitz (xem [6]). Định nghĩa 1.3. Ánh xạ A : D(A) ⊆ X → 2X được gọi là i) j-đơn điệu nếu với mọi x, y ∈ D(A) tồn tại j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho hu − v, j(x − y)i ≥ 0 ∀u ∈ Ax, ∀v ∈ Ay. (1.2) Nếu ánh xạ A đơn trị thì (1.2) có dạng hAx − Ay, j(x − y)i ≥ 0 ∀x, y ∈ D(A). ii) j-đơn điệu đều nếu với mọi x, y ∈ D(A) tồn tại j(x−y) ∈ J(x−y) và một hàm tăng ngặt ψ : R+ := [0, ∞) → R+ , ψ(0) = 0 sao cho hAx − Ay, j(x − y)i ≥ ψ(kx − yk). (1.3) iii) η-j-đơn điệu mạnh nếu tồn tại một hằng số η > 0 sao cho (1.3) thỏa mãn với ψ(t) = ηt2 . 12 Nếu X := H là một không gian Hilbert thì khái niệm ánh xạ j-đơn điệu, j-đơn điệu mạnh trùng với khái niệm ánh xạ đơn điệu, đơn điệu mạnh (sẽ đề cập đến ở Chương 2). 1.2 1.2.1 Bất đẳng thức biến phân đặt không chỉnh Bài toán đặt không chỉnh Xét phương trình toán tử: A(x) = f, (1.4) trong đó A : X → Y là một ánh xạ từ không gian Banach X vào không gian Banach Y , f là phần tử thuộc Y. Sau đây là một định nghĩa của Hadamard. Định nghĩa 1.4. Cho A là một ánh xạ từ không gian Banach X vào không gian Banach Y. Bài toán (1.4) được gọi là bài toán đặt chỉnh (well-posed) nếu: 1) phương trình (1.4) có nghiệm với mọi f ∈ Y ; 2) nghiệm này là duy nhất; và 3) nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu. Nếu ít nhất một trong các điều kiện trên không thỏa mãn thì bài toán (1.4) được gọi là bài toán đặt không chỉnh (ill-posed). Nhận xét 1.1. Một bài toán có thể đặt chỉnh trên cặp không gian này nhưng lại đặt không chỉnh trên cặp không gian khác. 13 Trong nhiều ứng dụng thì vế phải của (1.4) thường được cho bởi đo đạc, nghĩa là thay cho giá trị chính xác f, ta chỉ biết xấp xỉ fδ của nó thỏa mãn kfδ − f k ≤ δ. Giả sử xδ là nghiệm của bài toán (1.4) với f thay bởi fδ (giả thiết rằng nghiệm tồn tại). Khi δ → 0 thì fδ → f nhưng với bài toán đặt không chỉnh thì xδ nói chung không hội tụ đến x. Ví dụ 1.1. Xét phương trình (1.4) với A là một ma trận vuông cấp M = 5 được xác định bởi   2 2 2 2  2    2 2, 001 2 2 2     A= 2 2, 001 2 2  2    2  2 2 2, 001 2     2 2 2 2 2, 001 và vế phải T f = 10 10, 001 10, 001 10, 001 10, 001 ∈ R5 .  Khi đó, phương trình A(x) = f có duy nhất nghiệm  T x = 1 1 1 1 1 ∈ R5 . Nếu  A = Ah1 2  2   = 2  2   2  2 2 2 2  2, 001 2 2 2   2 2, 001 2 2   2 2 2, 001 2   2 2 2 2 14 và vế phải  f = fδ1 = 10 10, 001 10, 001 10, 001 10 T ∈ R5 . Trong trường hợp này phương trình A(x) = f có vô số nghiệm. Nếu  A = Ah1 2  2   = 2  2   2  2 2 2 2  2, 001 2 2 2   2 2, 001 2 2   2 2 2, 001 2   2 2 2 2 và vế phải  T f = fδ2 = 10 10, 001 10, 001 10, 001 10, 001 ∈ R5 , thì phương trình A(x) = f vô nghiệm. Như vậy, chỉ cần một thay đổi nhỏ trong dữ kiện ban đầu của bài toán đã dẫn đến thay đổi lớn của nghiệm. Bài toán trong ví dụ trên là bài toán đặt không chỉnh. Vì tính không duy nhất của nghiệm của bài toán đặt không chỉnh nên người ta thường có tiêu chuẩn cho sự lựa chọn của nghiệm. Ta sẽ sử dụng nghiệm x0 có x∗ -chuẩn nhỏ nhất, nghĩa là ta tìm nghiệm x0 ∈ S thỏa mãn A(x0 ) = f, và kx0 − x∗ k = min{kx − x∗ k : Ax = f }, trong đó S là tập nghiệm của bài toán (1.4), được giả thiết là khác 15 rỗng. Bằng cách chọn x∗ ta có thể có được nghiệm mà ta muốn xấp xỉ. 1.2.2 Bài toán điểm bất động Bài toán điểm bất động được phát biểu như sau: Cho C là một tập con lồi của không gian Banach X, T : C → X là một ánh xạ. Hãy tìm phần tử x∗ ∈ C sao cho T x∗ = x∗ . (1.5) Việc tìm nghiệm của bài toán điểm bất động (1.5) tương đương với việc giải phương trình toán tử T x − x = 0. (1.6) Định lý điểm bất động Banach được đưa ra trong luận án của Banach vào năm 1992. Nó được sử dụng để thiết lập sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân. Kể từ đó, vì sự đơn giản và hữu dụng, Định lý điểm bất động Banach đã trở thành một công cụ rất phổ biến trong việc giải quyết các vấn đề tồn tại trong nhiều ngành của toán học giải tích. Định lý 1.1. (Định lý điểm bất động Banach) Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ và T : X → X là một ánh xạ co. Khi đó, T có duy nhất điểm bất động x̄ trong X và với mỗi x0 ∈ X, dãy lặp {xn } được định nghĩa bởi xn+1 = T xn , với n ≥ 0 hội tụ tới x̄. Chứng minh. Đặt xn+1 = T xn với n ≥ 0. Do T : X → X là một ánh xạ co, nên tồn tại hằng số λ ∈ [0, 1) sao cho d(T x, T y) ≤ λd(x, y). 16 Ta có d(xn , xn+1 ) = d(T xn−1 , T xn ) ≤ λd(xn−1 , xn ) ≤ λ2 d(xn−2 , xn−1 ) ≤ . . . ≤ λn d(x0 , x1 ). Lấy m > n, suy ra d(xn , xm ) ≤ d(xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xn+2 ) + . . . + d(xm−1 , xm ) ≤ (λn + λn+1 + . . . + λm−1 )d(x0 , x1 ) ≤ λn (1 + λ + . . . + λm−n−1 )d(x0 , x1 ) 1 ≤ λn d(x0 , x1 ) → 0 khi n → ∞. 1−λ Do đó {xn } là dãy Cauchy trong không gian mêtric đầy đủ X. Suy ra dãy {xn } hội tụ tới x̄ ∈ X. Với mỗi n ta có: 0 ≤ d(x̄, T x̄) ≤ d(x̄, xn ) + d(xn , T x̄) = d(x̄, xn ) + d(T xn−1 , T x̄) ≤ d(x̄, xn ) + λd(xn−1 , x̄). Vì dãy {xn } hội tụ về x̄ ∈ X nên d(x̄, xn ) + λd(xn−1 , x̄) → 0 khi n → ∞. Từ đó 0 ≤ d(x̄, T x̄) ≤ 0 suy ra d(x̄, T x̄) = 0 hay T x̄ = x̄. Vậy x̄ là điểm bất động của ánh xạ T . Giả sử tồn tại x̃ ∈ X sao cho T x̃ = x̃. Khi đó: d(x̄, x̃) = d(T x̄, T x̃) ≤ λd(x̄, x̃). Vì λ ∈ [0, 1) nên từ bất đẳng thức trên suy ra d(x̄, x̃) = 0 do đó x̄ = x̃. 17 1.2.3 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng trong không gian Banach X và A : X → X là một ánh xạ phi tuyến. Bài toán bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu (kí hiệu là VI∗ (A, C)) là bài toán Tìm x∗ ∈ C : hAx∗ , jq (x − x∗ )i ≥ 0 ∀x ∈ C, (1.7) ở đây, jq (x − x∗ ) ∈ Jq (x − x∗ ). Nếu X := H là một không gian Hilbert, thì bài toán bất đẳng thức biến phân VI∗ (A, C) trở thành Tìm x∗ ∈ C : hAx∗ , x − x∗ i ≥ 0 ∀x ∈ C. (1.8) Bài toán bất đẳng thức biến phân (1.8) ký hiệu là VI(A, C). Một vấn đề đặt ra là làm thế nào để tìm được nghiệm của bài toán VI∗ (A, C) nếu nó tồn tại. Cho đến nay cũng đã có nhiều công trình nghiên cứu vấn đề này (xem [10, 11] và các tài liệu trích dẫn). Trong [4] chỉ ra rằng bài toán VI∗ (A, C) trong không gian Banach thực lồi đều và trơn đều tương đương với bài toán điểm bất động: x∗ = QC (x∗ − µAx∗ ), (1.9) ở đây µ > 0 là hằng số tùy ý, và QC : X → C là một ánh xạ co rút không giãn theo tia từ X lên C. Ánh xạ co rút không giãn theo tia không dễ tính toán vì sự phức tạp của tập lồi đóng bất kỳ C. Để làm giảm hạn chế này trong không gian Hilbert, khi ánh xạ co rút là phép chiếu mêtric PC , Yamada [11] giả thiết tập ràng buộc C là tập điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn {Ti }N i=1 : H → H và đề xuất phương pháp lai đường dốc nhất (hybrid 18 steepest-descent) giải bài toán VI(A, C). Giả sử A là ánh xạ η-đơn điệu mạnh và L-liên tục Lipschitz trên C. Lấy µ ∈ (0, 2η/L2 ) và dãy {λn } trong (0, 1) thỏa mãn các điều kiện: (C1 ) (C2 ) (C3 ) lim λn = 0, n→∞ ∞ X λn = ∞, n=1 ∞ X |λn − λn+N | < ∞. n=1 Chọn x0 ∈ H tùy ý, dãy {xn } được xác định bởi xn+1 = T[n+1] xn − µλn+1 A(T[n+1] xn ), ở đây T[n] = Tn mod N n ≥ 0, (1.10) với N ≥ 1. Khi ấy, dãy lặp trên hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất của bài toán VI(A, C). Xu và Kim [10] đã nghiên cứu sự hội tụ của dãy lặp (1.10) trong không gian Hilbert và chứng minh sự hội tụ mạnh của phương pháp với việc thay điều kiện (C3 ) bởi (C4 ) λn − λn+N = 0. n→∞ λn+N lim Họ đã chứng minh sự hội tụ mạnh của dãy {xn } trong (1.10) đến nghiệm duy nhất của bài toán VI(A, C) với C := N \ Fix(Ti ) = Fix(T1 T2 . . . TN ) i=1 = Fix(TN T1 T2 . . . TN −1 ) = · · · = Fix(T2 T3 . . . TN T1 ) 6= ∅. Trong trường hợp C := ∞ \ i=1 Fix(Ti ), ở đây {Ti }∞ i=1 là một họ đếm 19 được các ánh xạ không giãn trên H, bằng việc sử dụng W -ánh xạ của Takahashi sinh bởi các ánh xạ Tn , Tn−1 , . . . , T1 và các số thực αn , αn−1 , . . . , α1 như sau: Un,n+1 = I, Un,n = αn Tn Un,n+1 + (1 − αn )I, Un,n−1 = αn−1 Tn−1 Un,n + (1 − αn−1 )I, .. . (1.11) Un,k = αk Tk Un,k+1 + (1 − αk )I, Un,k−1 = αk−1 Tk−1 Un,k + (1 − αk−1 )I, .. . Un,2 = α2 T2 Un,3 + (1 − α2 )I, Wn = Un,1 = α1 T1 Un,2 + (1 − α1 )I, ở đây αn ∈ (a, b) ⊂ (0, 1), n ≥ 1, Yao và các cộng sự [12] đã chứng minh kết quả sau: Cho H là không gian Hilbert thực, A : H → H là ánh xạ L-liên tục Lipschitz và η-đơn điệu mạnh, {Ti }∞ i=1 là một họ ∞ \ đếm được các ánh xạ không giãn trên H sao cho C = Fix(Ti ) 6= ∅. i=1 Khi đó, dãy {xn } xác định bởi: xn+1 = (1 − βn )An xn + βn Wn An xn , (1.12) ở đây An = I − λn A, λn ∈ (0, 1) thỏa mãn (C1 )-(C2 ), và βn ∈ [a, 1/2] với a > 0, hội tụ mạnh đến nghiệm duy nhất x∗ của bài toán VI(A, C). Ta biết rằng bài toán điểm bất động của ánh xạ không giãn, nói chung, là bài toán đặt không chỉnh. Do đó, bài toán VI∗ (A, C) hay