BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Hoàng Trung Kiên
HỆ THỨC VI-ÉT
TRONG CHƯƠNG TRÌNH
TOÁN PHỔ THÔNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
Thành phố Hồ Chí Minh – 2012
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Hoàng Trung Kiên
HỆ THỨC VI-ÉT
TRONG CHƯƠNG TRÌNH
TOÁN PHỔ THÔNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học Toán
Mã số: 60 14 10
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. Nguyễn Chí Thành
Thành phố Hồ Chí Minh – 2012
LỜI CẢM ƠN
Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Chí Thành,
người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ và động viên tôi trong quá trình làm luận văn
dù không thuận tiện về mặt địa lý.
Tôi xin trân trọng cảm ơn các Thầy Cô đã nhiệt tình giảng dạy, giải đáp
những thắc mắc, đóng góp nhiều ý kiến chân thành và xác đáng, giúp chúng tôi có
những cảm nhận và tiếp thu một cách tốt nhất về chuyên ngành Didactic Toán.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn :
•
Ban lãnh đạo và chuyên viên phòng KHCN - SĐH, ban chủ nhiệm và
giảng viên khoa Toán – Tin của trường ĐHSP Tp. Hồ Chí Minh đã tạo thuận lợi
cho chúng tôi trong suốt khoá học vừa qua.
•
Ban giám hiệu và các giáo viên các trường THPT Nguyễn Hữu Tiến
(TP.HCM), trường THCS Bình Quới Tây (TP.HCM) đã hỗ trợ tôi thực hiện các
thực nghiệm đối với học sinh.
Lời cảm ơn chân thành đến các bạn cùng khóa đã luôn sát cánh cùng tôi
trong suốt quá trình học tập.
Cuối cùng, tận đáy lòng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến những
người thân yêu trong gia đình tôi, những bạn bè tâm giao của tôi. Họ, những người
đã luôn ở bên tôi mọi lúc và chính là động lực để tôi hoàn tất tốt luận văn.
Hoàng Trung Kiên
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
CCGD
:
cải cách giáo dục
GV
:
giáo viên
HS
:
học sinh
MTBT
:
máy tính bỏ túi
SGK
:
sách giáo khoa
SBT
:
sách bài tập
SGV
:
sách giáo viên
TCTH
:
tổ chức toán học
THCS
:
trung học cơ sở
THPT
:
trung học phổ thông
MỤC LỤC
Trang
Trang phụ bìa
Lời cảm ơn
Danh mục các chữ viết tắt
MỞ ĐẦU ....................................................................................................................1
1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát ....................................................1
2. Mục đích nghiên cứu và phạm vi lý thuyết tham chiếu ......................................2
3. Phương pháp nghiên cứu .....................................................................................3
4. Cấu trúc của luận văn ..........................................................................................4
Chương 1: Phân tích thể chế dạy học ở bậc đại học đối với định lí Vi-ét ............6
1.1. Định lý Vi-ét trong giáo trình [a] .....................................................................6
1.2. Định lí Vi-ét trong giáo trình [b] ....................................................................13
Kết luận chương 1 .................................................................................................18
Chương 2: Phân tích thể chế dạy học ở bậc phổ thông đối với định lí Vi-ét .....20
2.1. Phân tích SGK, SBT Toán 9 ..........................................................................21
2.2. Phân tích SGK, SBT nâng cao Toán 10 .........................................................34
2.3. Phân tích SGK 11, 12 nâng cao ......................................................................48
Chương 3: Điều kiện sinh thái của hệ thức Vi-ét .................................................53
3.1. Trong chương trình toán THCS .....................................................................53
3.2. Trong chương trình toán THPT ......................................................................57
Kết luận chương 3 .................................................................................................60
Chương 4: Thực nghiệm .........................................................................................62
4.1. LỚP 9..............................................................................................................62
4.1.1. Mục đích thực nghiệm .............................................................................62
4.1.2. Tổ chức thực nghiệm ...............................................................................62
4.1.3. Phân tích tiên nghiệm ..............................................................................63
4.1.4. Phân tích hậu nghiệm...............................................................................70
4.2. LỚP 10............................................................................................................77
4.2.1. Mục đích thực nghiệm .............................................................................77
4.2.2. Tổ chức thực nghiệm ...............................................................................77
4.2.3. Phân tích tiên nghiệm ..............................................................................77
4.2.4. Phân tích hậu nghiệm...............................................................................78
4.3. LỚP 12............................................................................................................85
4.3.1. Mục đích thực nghiệm .............................................................................82
4.3.2. Hình thức thực nghiệm ............................................................................82
4.3.3. Phân tích tiên nghiệm ..............................................................................82
4.3.4. Phân tích hậu nghiệm...............................................................................85
KẾT LUẬN ..............................................................................................................91
TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHỤ LỤC
1
MỞ ĐẦU
1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát
Phương trình và hệ phương trình là hai trong số những kiến thức đại số
cơ bản nhất của toán học ở trường phổ thông. Khái niệm về phương trình đã
được đưa vào chương trình toán phổ thông từ rất sớm. Ở bậc tiểu học các em
đã được tiếp xúc với phương trình bậc nhất một ẩn thông qua bài toán “tìm
x”, phương trình được chính thức giới thiệu trong SGK Toán 8. Trong các kì
thi tuyển sinh lớp 10 và tuyển sinh đại học, việc nắm vững kiến thức cũng
như công cụ để giải các bài toán liên quan đến phương trình và hệ phương
trình là không thể thiếu nếu như muốn đạt kết quả cao. Một trong những
công cụ mạnh mẽ và hữu ích đó chính là “hệ thức Vi-ét”.
Hệ thức Vi-ét được trình bày ở SGK Toán 9 tập 2 sau khi học sinh đã
học xong hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và phương trình bậc hai. Qua ứng
dụng của hệ thức Vi-ét học sinh có thể giải quyết được các bài toán liên quan
đến tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc 2, một dạng toán luôn nằm
trong đề thi tuyển sinh 10 cũng như tuyển sinh vào lớp 10 chuyên trên khắp
cả nước trong nhiều năm qua. Tuy nhiên, ứng dụng của nó vào việc giải hệ
phương trình ở cấp học này còn mờ nhạt. Ở lớp 10, định lý Vi-ét được trình
bày ngắn gọn với mục đích ôn lại cho học sinh nhưng đến năm học 20112012 thì nó được nằm trong phần giảm tải của Bộ giáo dục đào tạo với mục
tiêu “cắt giảm các nội dung trùng lặp”.
Vậy để tìm hiểu sự tồn tại của hệ thức Vi-ét trong chương trình toán phổ
thông hiện nay, những câu hỏi sau đây cần thiết được giải đáp:
Những ứng dụng của hệ thức Vi-ét đã xuất hiện, tồn tại và tiến triển như
thế nào trong các SGK? Chúng có thực sự được khai thác hết trong chương
trình toán phổ thông hiện hành? Liệu học sinh có thực sự hiểu và nắm rõ
công cụ giải toán mạnh mẽ này?
Trong nội dung thi tuyển sinh lớp 10 thì việc sử dụng hệ thức Vi-ét luôn
được đề cập, điều đó nói lên tầm quan trọng của nó ở cấp học này. Hệ thức
2
Vi-ét và ứng dụng được trình bày trong SGK lớp 9 là một bài học, nhưng lên
lớp 10 thì chỉ được đề cập dưới dạng một mục nhỏ trong bài 2 “Phương trình
quy về phương trình bậc nhất, bậc hai”, sau đó không còn xuất hiện nữa và
hiện nay đã được giảm tải, theo văn bản của Bộ giáo dục thì phần “I. Ôn tập
về phương trình bậc nhất, bậc hai” trong bài 2 là không dạy. Vậy phải chăng
ứng dụng của nó không còn thích hợp nữa hoặc quá ít môi trường để sử
dụng. Một cách hệ thống hơn, chúng tôi thấy cần thiết phải đặt ra những câu
hỏi sau:
- Ở cấp độ tri thức khoa học, hệ thức Vi-ét và ứng dụng được trình bày
như thế nào? Có sự khác biệt nào với sự trình bày tri thức này ở trường
phổ thông? Tại sao lại có sự khác biệt này?
- Ở cấp độ tri thức cần giảng dạy, chúng xuất hiện như thế nào? Chúng
được trình bày để giải quyết những bài toán gì?
- Có sự tương đồng và khác biệt nào về ứng dụng của hệ thức Vi-ét giữa 2
cấp học (THCS và THPT)?
- Tại sao hệ thức Vi-ét xuất hiện lại ở chương trình toán THPT? Có gì
mới mà SGK ở cấp học này muốn giới thiệu? Những sai lầm mắc phải
của học sinh ở THCS có còn xuất hiện? Tương lai của hệ thức Vi-ét
trong chương trình toán phổ thông ở nước ta?
2. Mục đích nghiên cứu và phạm vi lý thuyết tham chiếu
Mục đích nghiên cứu của luận văn là tìm cách trả lời cho các câu hỏi
được nêu ra ở trên. Để đạt được mục tiêu này, chúng tôi sẽ vận dụng những
yếu tố công cụ của Didactic Toán: hợp đồng didactic, lý thuyết nhân chủng
học và cách tiếp cận sinh thái học. Cụ thể đó là các khái niệm của lý thuyết
nhân chủng học: chuyển đổi didactic, quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân với
đối tượng tri thức, quy tắc hành động, tổ chức toán học và quan hệ dinh
dưỡng theo cách tiếp cận sinh thái. Bằng những công cụ của các lý thuyết
này, chúng tôi sẽ rút ra được các quy tắc của hợp đồng didactic trong thực tế
3
dạy học. Ngoài ra chúng tôi sẽ sử dụng cách tiếp cận sinh thái học để nghiên
cứu sức sống của tri thức trong thể chế dạy học ở trường phổ thông hiện nay.
Trong phạm vi lý thuyết nêu trên, chúng tôi xin trình bày lại các câu hỏi
nghiên cứu của mình như sau:
CH1: Trong thể chế dạy học ở bậc đại học, mối quan hệ thể chế gắn với hệ
thức Vi-ét có những đặc trưng gì? Vai trò và chức năng của chúng ra sao?
CH2: Mối quan hệ thể chế thể chế với hệ thức Vi-ét đã được xây dựng và
tiến triển như thế nào trong chương trình toán phổ thông? Có sự chuyển
hóa didactic nào gắn với tri thức này?
CH3: Có sự tương đồng và khác biệt nào giữa 2 mối quan hệ thể chế với
hệ thức Vi-ét và ở cấp THCS và THPT? Tại sao lại có sự khác biệt này?
Đặc trưng của các TCTH liên quan đến hệ thức này ở từng cấp học? Có sự
ràng buộc nào gắn với các TCTH này?
CH4: Hệ thức Vi-ét có thể tồn tại lâu trong thể chế dạy học hiện nay ở
Việt Nam? Sự tồn tại của nó gắn liền với những điều kiện ràng buộc nào?
3. Phương pháp nghiên cứu
Để đạt được mục đích nghiên cứu nêu trên, chúng tôi xác định phương
pháp nghiên cứu được minh họa bằng sơ đồ sau:
Nghiên cứu tri thức khoa học
Thể chế dạy học Toán ở bậc đại học
Nghiên cứu tri thức cần giảng dạy
Thể chế dạy học Toán ở trường phổ thông
Nghiên cứu thực nghiệm
Quan hệ cá nhân của học sinh
4
Trên đây là sơ đồ phương pháp nghiên cứu, cụ thể chúng tôi sẽ làm các công
việc sau:
- Trước tiên chúng tôi sẽ phân tích các giáo trình ở bậc đại học để nghiên
cứu hệ thức Vi-ét ở cấp độ tri thức khoa học. Qua sự phân tích này,
chúng ta sẽ thấy được sự chuyển hóa sư phạm liên quan đến tri thức.
- Sau đó, chúng tôi sẽ phân tích các sách giáo khoa, sách bài tập ở cấp
THCS (lớp 9) và cấp THPT (lớp 10, 11, 12) song song với việc tham
khảo sách giáo viên. Cụ thể sẽ phân tích các TCTH liên quan đến hệ
thức này để thấy được sự tiến triển cũng như ứng dụng của nó qua từng
cấp học. Ngoài ra chúng tôi sẽ tham khảo thêm “Tài liệu bồi dưỡng
thường xuyên cho giáo viên” để hiểu thêm về sự ràng buộc của thể chế
gắn liền với tri thức. Qua đó chúng ta sẽ thấy được “quan hệ dinh
dưỡng” của tri thức trong thể chế dạy học hiện nay.
- Những kết quả nghiên cứu ở trên có thể giúp ta rút ra các giả thuyết
nghiên cứu cũng như một số hợp đồng dạy học ngầm ẩn giữa giáo viên
và học sinh mà chúng tôi sẽ tiến hành thực nghiệm để kiểm chứng.
4. Cấu trúc của luận văn
Luận văn gồm có phần mở đầu, phần kết luận và 4 chương
- Phần mở đầu gồm một số ghi nhận ban đầu và những câu hỏi xuất phát dẫn
đến việc chọn đề tài, mục đích nghiên cứu, phạm vi lý thuyết tham chiếu,
phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn.
- Trong chương 1 chúng tôi sẽ nghiên cứu sự trình bày hệ thức Vi-ét và ứng
dụng của nó ở cấp độ tri thức khoa học qua việc nghiên cứu các giáo trình
đại học.
- Mở đầu chương 2 là sự phân tích SGK Toán 9, cụ thể là các TCTH liên
quan đến hệ thức Vi-ét. Tiếp đến sẽ phân tích SGK Toán 10 nâng cao để thấy
được sự tiến triển và khác biệt so với cấp THCS. Qua đó giúp ta nắm được
đặc trưng của 2 mối quan hệ thể chế đối với hệ thức này ở từng bậc học. Sau
5
cùng chúng tôi sẽ phân tích SGK Toán 11, 12 nâng cao để tìm hiểu quan hệ
dinh dưỡng của hệ thức Vi-ét.
- Chương 3 được đúc kết từ những kết quả của chương 2 kèm thêm những
phân tích chương trình trong SGK Toán 9, 10, 11, 12 để khảo sát “kênh dinh
dưỡng” của hệ thức Vi-ét.
- Chương 4 trình bày thực nghiệm với học sinh. Qua bộ câu hỏi thực nghiệm
sẽ kiểm chứng được hợp đồng didactic cũng như giả thuyết nghiên cứu đã
nêu ra ở chương 2, 3.
- Phần kết luận sẽ tóm tắt lại các kết quả nghiên cứu đạt được ở các chương
trước đồng thời đề cập đến những hướng mới có thể mở ra từ luận văn.
Trong nội dung trình bày luận văn, sử dụng từ “hệ thức” hoặc “công thức”
nhằm mục đích tránh sự trùng lặp làm câu văn lủng củng. “Hệ thức” và
“công thức” đều mang ý nghĩa giống nhau, “hệ thức” được sử dụng nhiều
hơn trong các sách giáo khoa Toán phổ thông ở Việt Nam hiện nay. Ngoài
ra, khi sử dụng “định lí Vi-ét” thay cho “công thức Vi-ét”, chúng tôi muốn
đề cập đến “điều kiện để sử dụng công thức Vi-ét: phương trình đã cho phải
có nghiệm” được trình bày một cách tường minh trong sách giáo khoa, từ đó
chúng tôi có thể rút ra được sự chuyển hóa sư phạm liên quan đến tri thức
này.
6
Chương 1
PHÂN TÍCH THỂ CHẾ VỚI ĐỊNH LÍ VI-ÉT Ở BẬC ĐẠI HỌC
Mục tiêu của chương
Chương này có mục tiêu làm rõ những đặc trưng của hệ thức Vi-ét và đặc biệt là
ứng dụng của nó ở cấp độ tri thức khoa học. Cụ thể hơn, qua việc phân tích một số
giáo trình đại học chúng tôi sẽ cố gắng nghiên cứu để làm rõ nguồn gốc và tiến trình
mà công thức Vi-ét được đưa vào, vai trò và chức năng của chúng ở bậc học này.
Ở đây, chúng tôi chọn phân tích hai giáo trình sau:
- Hoàng Xuân Sính (1998), Đại số đại cương, NXB Giáo dục. (ký hiệu là
[a]).
-Nguyễn Viết Đông, Trần Ngọc Hội (2005), Đại số đại cương, NXB Đại
học quốc gia TP Hồ Chí Minh. (ký hiệu là [b]).
Mục tiêu của việc lựa chọn hai giáo trình này là việc trình bày các vấn đề liên
quan đến hệ thức Vi-ét tương đối phong phú hơn các giáo trình khác và đây cũng là
hai giáo trình thường được nhiều trường đại học lựa chọn để sinh viên tham khảo.
Cụ thể, giáo trình [a] đặc biệt làm rõ những dẫn xuất của công thức Vi-ét, còn các
ứng dụng của nó thì được trình bày đầy đủ hơn ở giáo trình [b].
1.1. Định lý Vi-ét trong giáo trình [a]
Trong giáo trình này, định lý Vi-ét được đề cập chính thức ở chương V với nhan
đề “Vành chính và vành Ơclit”. Nhưng hình dáng của công thức Vi-ét và ứng dụng
của nó đã được trình bày ở chương trước, đó là chương IV “ Vành đa thức”.
Cụ thể trong bài 2 “Vành đa thức nhiều ẩn”, khái niệm đa thức đối xứng đã được
trình bày ở trang 116 như sau:
“ Giả sử A là một vành giao hoán có đơn vị. Trước hết ta hãy xét vành đa thức 2
ẩn A[x 1 ,x 2]. Trong vành này ta chú ý tới hai đa thức đặc biệt sau đây:
f(x 1 ,x 2 )= x 1 + x 2 , g(x 1 ,x 2 ) = x 1 x 2 ”.
7
Đến đây công thức Vi-ét đã phần nào được giới thiệu, đó là hai công thức: tổng
và tích. Trong phần này, giáo trình đã lưu ý chúng như là hai đa thức đặc biệt . Đa
thức đối xứng có thể được coi là yếu tố lý thuyết giải thích cho các kĩ thuật giải các
dạng toán liên quan đến định lí Vi-ét ở phổ thông.
Tiếp đến, giáo trình còn đề cập:
“Các đa thức sau đây
σ 1 = x1 + x2 + ... + xn
σ 2 = x1 x2 + x1 x3 + ... + xn−1 xn
σ=
x1 x2 x3 + x1 x2 x4 + ... + xn − 2 xn −1 xn
3
...
x1 x2 ...xn −1 + x1 x2 ...xn − 2 xn + ...x2 x3 ...xn
σ n−1 =
σ n = x1 x2 ...xn
cũng là những đa thức đối xứng, gọi là các đa thức đối xứng cơ bản.”
Các đa thức đối xứng cơ bản này tổng quát hơn là hai đa thức đặc biệt mà giáo
trình đã chú ý ở phần trên, đó cũng chính là khái niệm liên quan trực tiếp đến việc
hình thành công thức Vi-ét tổng quát sau này.
Ngoài ra, trong phần ứng dụng được [a] nhắc tới sau đó thì hình bóng của hệ
thức Vi-ét đã rõ ràng hơn.
“ Tìm các số nguyên α , β , γ sao cho
αβγ = 6
α3 + β3 +γ 3 =
36
α + β +γ =
6
Theo ví dụ trên ta có
α 3 + β 3 + γ 3 = (α + β + γ )3 − 3(α + β + γ )(αβ + αγ + βγ )
Ta suy ra
11
αβ + αγ + βγ =
Mặt khác xét đa thức f(x) ∈ Ζ [x]
f ( x) =
( x − α )( x − β )( x − γ )
Giả sử a ∈ Ζ , ta có
f (a) =
(a − α )(a − β )(a − γ )
8
Vì f(a) = 0 khi và chỉ khi một trong các thừa số a − α , a − β , a − γ bằng 0, cho
nên các nghiệm của f(x) là α , β , γ . Khai triển f(x) ta được
f ( x) = x3 − (α + β + γ ) x 2 + (αβ + αγ + βγ ) x − αβγ
=x3 − 6 x 2 + 11x − 6
vì α + β +=
γ 6,αβ + αγ + βγ
= 11,αβγ
= 6.
Đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0, do đó f(x) có một nghiệm là 1. Theo hệ
quả của định lí 4 trong (§1, 4), f(x) chia hết cho x -1. Chia f(x) cho x-1 ta được
f ( x) = ( x − 1)( x 2 − 5 x + 6)
Đa thức x 2 − 5 x + 6 cho ta hai nghiệm là 2 và 3. Vậy các số nguyên α , β , γ cần
tìm là 1, 2, 3. ”
Phần ứng dụng này chính là một trong những công cụ giải hệ phương trình nhờ
vào công thức Vi-ét mà yếu tố lý thuyết nền tảng chính là các đa thức đối xứng cơ
bản.
Ở chương V “ Vành chính và vành Ơclit”, công thức Vi-ét được trình bày trong
phần ứng dụng để nghiên cứu vành đa thức K[x] với K là một trường.
Cụ thể trong định lí 2 thì công thức đã xuất hiện như sau:
“ Định lí 2. Giả sử f(x) là một đa thức bậc n>1 của vành K[x], với K là một
trường. Thế thì f(x) có không quá n nghiệm trong K, các nghiệm có thể phân biệt có
thể trùng nhau.
…
Gọi α1 , α 2 ,..., α n là n nghiệm của f(x) trong K, các nghiệm có thể phân biệt có
thể trùng nhau, và giả sử
(1) f ( x)= c0 x n + c1 x n −1 + ... + cn−1 x + cn .
f(x) phải có dạng phân tích là
f ( x) =c0 ( x − α1 )( x − α 2 )...( x − α n ).
sau khi nhân các đa thức x − α i , i = 1, 2, …, n, ta được
(2) f ( x=
) c0 [ x n − x n −1 (α1 + α 2 + ... + α n )
9
+ x n− 2 (α1α 2 + α1α 3 + ... + α n−1α n ) + ... + (−1) n α1α 2 ...α n ]
So sánh (1) và (2) ta được công thức Vi-ét:
α1 + α 2 + ... + α n =
−
c1
c0
c
c0
α1α 2 + α1α 3 + ... + α n−1α n =2
α1α 2α 3 + α1α 2α 4 + ... + α n−2α n−1α n =
−
c3
c0
...
α1α 2 ...α n = (−1) n
cn
c0
Ta nhận thấy rằng các vế trái của công thức trên chẳng qua là các đa thức đối
xứng cơ bản của các phần tử α1 , α 2 ,..., α n (chương IV). ”
Như vậy công thức Vi-ét được rút ra sau khi so sánh 2 dạng phân tích của một
đa thức f(x) có không quá n nghiệm trong trường K. Trong phần trình bày ở định lí
2 này thì câu “ các nghiệm có thể phân biệt có thể trùng nhau” được lặp lại hai lần,
điều này có nghĩa là nếu f(x) có nghiệm bội cấp m (m>1) thì công thức
Vi-ét vẫn
có thể được áp dụng.
Ngoài ra, trong định lí 2 có đề cập “f(x) là một đa thức bậc n>1 của vành K[x],
với K là một trường”. Do đó ta có thể hiểu công thức Vi-ét có tầm áp dụng rộng rãi
ở mọi trường số, bao gồm trường số thực R và cả trường số phức C.
Qua sự trình bày những yếu tố lí thuyết liên quan trực tiếp đến hệ thức Vi-ét
trong giáo trình [a], ta thấy công thức này được xuất hiện dưới dạng một công cụ,
nó được gắn liền với việc xét nghiệm của các đa thức f(x) thuộc vành K[x] với K là
một trường số bất kỳ. Chúng ta cũng có thể thấy được một yếu tố lý thuyết quan
trọng dẫn đến việc hình thành công thức này đó là các đa thức đối xứng cơ bản.
Để tìm hiểu xem ứng dụng của hệ thức Vi-ét rộng rãi đến đâu, chúng tôi sẽ tiến
hành phân tích các tổ chức toán học liên quan đến hệ thức này trong [a].
10
Tổ chức toán học liên quan đến hệ thức Vi-ét trong giáo trình [a]
Kiểu nhiệm vụ T1: “ Giải hệ phương trình đối xứng loại 1”
Theo chúng tôi, đây là kiểu nhiệm vụ trọng yếu liên quan đến việc sử dụng hệ
thức Vi-ét. Vì số lượng bài tập trong giáo trình [a] khá hạn chế nên chỉ có 1 bài tập
thuộc kiểu nhiệm vụ T1.
Bài 3 trang 129:
“ Giải hệ phương trình
x + y + z =−3
3
3
3
−27 ”
x + y + z =
x4 + y 4 + z 4 =
113
Kĩ thuật τ 11 :
+ Biểu diễn các phương trình trong hệ qua các đa thức đối xứng cơ bản (x+y+z,
xy+xz+yz, xyz)
+ Tính giá trị của các đa thức đối xứng vừa tìm được
+ Xét đa thức f(a) nhận x, y, z làm nghiệm (f(a)=(a-x)(a-y)(a-z)).
+ Sử dụng công thức Vi-ét để thay các hệ số của khai triển f(a).
f (a ) = a 3 − ( x + y + z )a 2 + ( xy + xz + yz )a − xyz
+ Phân tích thành nhân tử đa thức f(a) vừa tìm được, suy ra các giá trị x, y, z cần
tìm.
Để minh họa cho kĩ thuật τ 1 , ta có thể giải hệ phương trình trên như sau:
x3 + y 3 + z 3 = ( x + y + z )3 − 3( x + y + z )( xy + xz + yz ) + 3xyz
−27 =
−27 + 9( xy + xz + yz ) + 3 xyz
−3( xy + xz + yz )
xyz =
x 4 + y 4 + z 4 = ( x + y + z ) 4 − 4( x + y + z ) 2 ( xy + xz + yz )
+2( xy + xz + yz ) 2 + 4( x + y + z ) xyz
113 = 81 − 36( xy + xz + yz ) + 2( xy + xz + yz ) 2 − 12 xyz
Thay xyz =
−3( xy + xz + yz ) ta được:
2( xy + xz + yz ) 2 =
32
11
Suy ra : xy + xz + yz =
±4 và xyz = ±12
Xét đa thức f(a) ∈ K[a] :
f(a) = (a – x)(a – y)(a – z)
Nghiệm của phương trình f(a) = 0 là x, y, z. Khai triển f(a) ta được:
f (a ) = a 3 − ( x + y + z )a 2 + ( xy + xz + yz )a − xyz
Thay xy + xz + yz =
±4 và xyz = ±12 , ta được :
f (a ) = a 3 + 3a 2 + 4a + 12 hay f (a ) = a 3 + 3a 2 − 4a − 12
Với f (a ) = a 3 + 3a 2 + 4a + 12 , phân tích thành nhân tử ta được:
f (a) = f (a) =
(a + 3)(a − 2i )(a + 2i )
Với f (a ) = a 3 + 3a 2 − 4a − 12 , phân tích thành nhân tử ta được:
f (a) =
(a − 2)(a + 2)(a + 3)
Vậy (x, y, z) cần tìm là:(2, -2, -3); (2, -3, -2); ( -2, 2, -3); (-2, -3, 2); (-3, 2, -2);
(-3, -2, 2); (-3, 2i, -2i); (-3, -2i, 2i); (-2i, -3, 2i); (-2i, 2i, -3); (2i, -2i, -3);(2i, -3, -2i).
Đây là một hệ phương trình tương đối phức tạp đối với học sinh phổ thông và
ngay cả với sinh viên đại học. Việc sử dụng hệ thức Vi-ét nhờ vào phương pháp tìm
giá trị của các đa thức đối xứng cơ bản đã giúp giải bài toán không quá khó khăn.
Ví dụ trên đã cho ta thấy được ứng dụng công cụ của công thức Vi-ét trong việc giải
hệ phương trình.
Công nghệ θ1 : công thức Vi-ét.
Kĩ thuật τ 12 :
+ Đặt ẩn phụ: x + y +=
z σ 1 ; xy + xz + =
yz σ 2 ; xyz
= σ3
+ Biểu thị các phương trình trong hệ đã cho thông qua các đa thức đối xứng cơ
bản σ 1 , σ 2 , σ 3
+ Tính giá trị σ 1 , σ 2 , σ 3
+ Xét đa thức f(a) nhận x, y, z làm nghiệm (f(a)=(a-x)(a-y)(a-z)).
+ Sử dụng công thức Vi-ét thay để thay các hệ số của khai triển f(a).
f (a ) =a 3 − σ 1a 2 + σ 2 a − σ 3
12
+ Phân tích thành nhân tử đa thức f(a) vừa tìm được, suy ra các giá trị x, y, z cần
tìm.
Công nghệ θ1 : công thức Vi-ét.
Kĩ thuật τ 12 này không khác kĩ thuật τ 11 là mấy vì chúng dựa trên cùng một môi
trường công nghệ và lí thuyết giống nhau. Nhưng khi dùng kĩ thuật τ 12 thì lời giải
được trình bày gọn gẽ hơn và tiết kiệm được thời gian hơn khi làm bài.
Kiểu nhiệm vụ T2: “ Chứng minh một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm”
Bài 9 trang 170:
“ Chứng minh :
( x1 − x2 ) 2 ( x2 − x3 ) 2 ( x1 − x3 ) 2 =
−4 p 3 − 27 q 2
với x1 , x2 , x3 là các nghiệm của phương trình
x3 + px + q =
0 ”
Kĩ thuật τ 21 :
Biến đổi vế trái thành vế phải:
+ Biến đổi đại số để biểu thị đa thức qua các đa thức đối xứng cơ bản
+ Sử dụng công thức Vi-ét, suy ra điều phải chứng minh.
Hoặc biến đổi vế phải thành vế trái:
+ Dùng công thức Vi-ét,
+ Biến đổi đại số, suy ra điều phải chứng minh.
Lời giải bài tập minh họa cho kĩ thuật τ 21 :
Ta có:
VT =−
( x1 x2 ) 2 ( x2 − x3 ) 2 ( x1 − x3 ) 2
2
( x1 − x2 ) ( x2 − x3 ) ( x1 − x3 )
=
= ( x1 x2 x3 − x12 x2 − x1 x32 + x12 x3 − x2 2 x3 + x2 2 x1 + x2 x32 − x1 x2 x3 ) 2
Do x1 , x2 , x3 là các nghiệm của phương trình
x3 + px + q =
0
Nên
13
0
x1 + x2 + x3 =
p (*)
x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 =
x x x = −q
1 2 3
Thay (*) vào VT ta được:
VT =
−4 p 3 − 27 q 2
= VP (đpcm)
Công nghệ θ1 : công thức Vi-ét.
Nhận xét:
Ở giáo trình [a] này có hai kiểu nhiệm vụ liên quan trực tiếp đến công thức
Vi-ét là kiểu nhiệm vụ T1 “giải hệ phương trình đối xứng loại 1” và T2 “chứng
minh một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm”. Đặc trưng của hai kiểu nhiệm vụ trên là
các phương trình được cho đều là phương trình bậc 3, do đó mức độ phức tạp của
các bài tập chỉ tương đối. Mỗi kiểu nhiệm vụ chỉ có 1 bài tập nhưng qua đó chúng ta
không chỉ thấy được công cụ Vi-ét hữu ích thế nào trong việc giải hệ phương trình
bậc cao với số ẩn lớn hơn 2 mà còn mối quan hệ mật thiết giữa công thức này và lí
thuyết về các đa thức đối xứng cơ bản.
1.2. Định lí Vi-ét trong giáo trình [b]
Trong giáo trình [b], công thức Vi-ét xuất hiện ở chương III “ Vành đa thức”. Cụ
thể là ở bài 2 “ Nghiệm của đa thức”, công thức đã được đưa vào trang 97 như sau:
“ Cho đa thức f(x) ∈ K[x]
f ( x=
) an x n + ... + a1 x + a0 , an ≠ 0
Giả sử f(x) có n nghiệm (kể cả số bội) là α1 , α 2 ,..., α n ∈ K . Khi đó ta có
f ( x) =an ( x − α1 )( x − α 2 )...( x − α n ) .
Khai triển vế phải và so sánh các hệ số của các lũy thừa giống nhau ta sẽ
được công thức sau gọi là công thức Vi-ét, chúng biểu thị các hệ số của đa thức
theo các nghiệm của nó:
14
n
α n−1
=
−(α1 + α 2 + ... + α n ) =
−∑ α i ;
αn
i =1
α n−2
= ∑ αα ;
α n 1≤i < j ≤n i j
...
α n−k
= (−1) k
∑ α i α i ...α i ;
αn
1≤i
- Xem thêm -