www.VNMATH.com
V× sù nghiÖp gi¸o dôc - V× sù 1nghiÖp trång ng−êi
1. §iÓm - §−êng th¼ng
- Ng−êi ta dïng c¸c ch÷ c¸i in hoa A,
B, C, ... ®Ó ®Æt tªn cho ®iÓm
- BÊt cø h×nh nµo còng lµ mét tËp hîp
c¸c ®iÓm. Mét ®iÓm còng lµ mét
h×nh.
- Ng−êi ta dïng c¸c ch÷ c¸i th−êng a,
b, c, ... m, p, ... ®Ó ®Æt tªn cho c¸c
®−êng th¼ng (hoÆc dïng hai ch÷ c¸i
in hoa hoÆc dïng hai ch÷ c¸i
th−êng, vÝ dô ®−êng th¼ng AB, xy,
... )
- §iÓm C thuéc ®−êng th¼ng a (®iÓm C
n»m trªn ®−êng th¼ng a hoÆc ®−êng
th¼ng a ®i qua ®iÓm C), kÝ hiÖu lµ:
C∈a
- §iÓm M kh«ng thuéc ®−êng th¼ng a
(®iÓm M n»m ngoµi ®−êng th¼ng a
hoÆc ®−êng th¼ng a kh«ng ®i qua
®iÓm M), kÝ hiÖu lµ: M ∉ a
2. Ba ®iÓm th¼ng hµng
- Ba ®iÓm cïng thuéc mét ®−êng
th¼ng ta nãi chóng th¼ng hµng
- Ba ®iÓm kh«ng cïng thuéc bÊt k×
®−êng th¼ng nµo ta nãi chóng
kh«ng th¼ng hµng.
3. §−êng th¼ng trïng nhau, c¾t nhau, song song
- Hai ®−êng th¼ng AB vµ BC nh−
h×nh vÏ bªn lµ hai ®−êng th¼ng
trïng nhau.
- Hai ®−êng th¼ng chØ cã mét ®iÓm
chung ta nãi chóng c¾t nhau, ®iÓm
chung ®ã ®−îc gäi lµ giao ®iÓm
(®iÓm E lµ giao ®iÓm)
- Hai ®−êng th¼ng kh«ng cã ®iÓm
Tµi liÖu ¤n thi vµo Trung häc P1hæ th«ng
N¨m häc
2011 - 2015
www.VNMATH.com
Tr−êng THCS Hång H−ng - Gia Léc – h¶i D−¬ng
chung nµo, ta nãi chóng song song víi nhau, kÝ hiÖu xy//zt
4. Kh¸i niÖm vÒ tia, hai tia ®èi nhau, hai tia trïng nhau
- H×nh gåm ®iÓm O vµ mét phÇn
®−êng th¼ng bÞ chia ra bëi ®iÓm O
®−îc gäi lµ mét tia gèc O (cã hai
tia Ox vµ Oy nh− h×nh vÏ)
- Hai tia chung gèc t¹o thµnh - Hai tia chung gèc vµ tia nµy n»m
®−êng th¼ng ®−îc gäi lµ hai tia trªn tia kia ®−îc gäi lµ hai tia
®èi nhau (hai tia Ox vµ Oy trong trïng nhau
h×nh vÏ lµ hai tia ®èi nhau)
- Hai tia AB vµ Ax lµ hai tia trïng
nhau
5. §o¹n th¼ng, ®é dµi ®o¹n th¼ng
- §o¹n th¼ng AB lµ h×nh gåm
®iÓm A, ®iÓm B vµ tÊt c¶ c¸c ®iÓm
n»m gi÷a A vµ B
- Mçi ®o¹n th¼ng cã mét ®é dµi. §é
- Hai ®iÓm A vµ B lµ hai mót (hoÆc dµi ®o¹n th¼ng lµ mét sè d−¬ng
hai ®Çu) cña ®o¹n th¼ng AB.
6. Khi nµo th× AM + MB = AB ?
- NÕu ®iÓm M n»m gi÷a hai ®iÓm
A vµ B th× AM + MB = AB. Ng−îc
l¹i, nÕu AM + MB = AB th× ®iÓm
M n»m gi÷a hai ®iÓm A vµ B
7. Trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng
- Trung ®iÓm M cña ®o¹n th¼ng
AB lµ ®iÓm n»m gi÷a A, B vµ c¸ch
®Òu A, B (MA = MB)
- Trung ®iÓm M cña ®o¹n th¼ng
AB cßn gäi lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña
®o¹n th¼ng AB
8. Nöa mÆt ph¼ng bê a, hai nöa mÆt ph¼ng ®èi nhau
- H×nh gåm ®−êng th¼ng a vµ mét
phÇn mÆt ph¼ng bÞ chia ra bëi a
®−îc gäi lµ mét nöa mÆt ph¼ng bê a
- Hai nöa mÆt ph¼ng cã chung bê
®−îc gäi lµ hai nöa mÆt ph¼ng ®èi
nhau (hai nöa mÆt ph¼ng (I) vµ (II)
®èi nhau)
9. Gãc, gãc bÑt
Ng−êi viÕt - Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n HiÖu
www.VNMATH.com
V× sù nghiÖp gi¸o dôc - V× sù 3nghiÖp trång ng−êi
- Gãc lµ h×nh gåm hai tia chung
gèc, gèc chung cña hai tia gäi lµ
®Ønh cña gãc, hai tia lµ hai c¹nh
cña gãc
hoÆc O
- Gãc xOy kÝ hiÖu lµ xOy
hoÆc ∠xOy
- §iÓm O lµ ®Ønh cña gãc
- Hai c¹nh cña gãc : Ox, Oy
- Gãc bÑt lµ gãc cã hai c¹nh lµ hai
tia ®èi nhau
10. So s¸nh hai gãc, gãc vu«ng, gãc nhän, gãc tï.
- So s¸nh hai gãc b»ng c¸ch so
s¸nh c¸c sè ®o cña chóng
- Hai gãc xOy vµ uIv b»ng nhau
= uIv
®−îc kÝ hiÖu lµ: xOy
- Gãc xOy nhá h¬n gãc uIv, ta viÕt:
< uIv
<=> uIv
> xOy
xOy
- Gãc cã sè ®o b»ng 900 = 1v, lµ gãc
vu«ng
- Gãc nhá h¬n gãc vu«ng lµ gãc
nhän
- Gãc lín h¬n gãc vu«ng nh−ng nhá
h¬n gãc bÑt lµ gãc tï.
+ yOz
= xOz
11. Khi nµo th× xOy
- NÕu tia Oy n»m gi÷a hai tia Ox
+ yOz
= xOz
.
vµ Oz th× xOy
+ yOz
= xOz
- Ng−îc l¹i, nÕu xOy
th× tia Oy n»m gi÷a hai tia Ox vµ
Oz
12. Hai gãc kÒ nhau, phô nhau, bï nhau, kÒ bï
- Hai gãc kÒ nhau lµ hai gãc cã
mét c¹nh chung vµ hai c¹nh cßn
l¹i n»m trªn hai nöa mÆt ph¼ng
®èi nhau cã bê chøa c¹nh chung.
- Hai gãc phô nhau lµ hai gãc cã
tæng sè ®o b»ng 900
- Hai gãc bï nhau lµ hai gãc cã
tæng sè ®o b»ng 1800
- Hai gãc võa kÒ nhau, võa bï
nhau ®−îc gäi lµ hai gãc kÒ bï
Tµi liÖu ¤n thi vµo Trung häc P3hæ th«ng
N¨m häc
2011 - 2015
www.VNMATH.com
Tr−êng THCS Hång H−ng - Gia Léc – h¶i D−¬ng
13. Tia ph©n gi¸c cña gãc
- Tia ph©n gi¸c cña mét gãc lµ tia
n»m gi÷a hai c¹nh cña gãc vµ t¹o
víi hai c¹nh Êy hai gãc b»ng nhau
+ zOy
= xOy
vµ xOz
= zOy
- Khi: xOz
=> tia Oz lµ tia ph©n gi¸c cña gãc
xOy
- §−êng th¼ng chøa tia ph©n gi¸c
cña mét gãc lµ ®−êng ph©n gi¸c
cña gãc ®ã (®−êng th¼ng mn lµ
®−êng ph©n gi¸c cña gãc xOy)
14. §−êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng
a) §Þnh nghÜa: §−êng th¼ng vu«ng
gãc víi mét ®o¹n th¼ng t¹i trung
®iÓm cña nã ®−îc gäi lµ ®−êng trung
trùc cña ®o¹n th¼ng Êy
b) Tæng qu¸t:
a
A
a lµ ®−êng trung trùc cña AB
B
I
a ⊥ AB t¹i I
IA =IB
15. C¸c gãc t¹o bëi mét ®−êng th¼ng c¾t hai ®−êng th¼ng
a) C¸c cÆp gãc so le trong:
vµ B
; A
vµ B
.
A
1
3
4
2
b) C¸c cÆp gãc ®ång vÞ:
vµ B
; A
vµ B
;
A
1
1
2
2
vµ B
; A
vµ B
.
A
3
3
4
4
c) Khi a//b th×:
vµ B
; A
vµ B
gäi lµ c¸c cÆp
A
1
2
4
3
gãc trong cïng phÝa bï nhau
a
A
3 2
4 1
2B
3
41
b
16. Hai ®−êng th¼ng song song
Ng−êi viÕt - Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n HiÖu
www.VNMATH.com
V× sù nghiÖp gi¸o dôc - V× sù 5nghiÖp trång ng−êi
a) DÊu hiÖu nhËn biÕt
- NÕu ®−êng th¼ng c c¾t hai ®−êng
th¼ng a, b vµ trong c¸c gãc t¹o
thµnh cã mét cÆp gãc so le trong
b»ng nhau (hoÆc mét cÆp gãc ®ång
vÞ b»ng nhau) th× a vµ b song song
víi nhau
b) Tiªn ®Ò ¥_clÝt
- Qua mét ®iÓm ë ngoµi mét ®−êng
th¼ng chØ cã mét ®−êng th¼ng song
song víi ®−êng th¼ng ®ã
c
a
b
M
b
a
c, TÝnh chÊt hai ®−êng th¼ng song song
- NÕu mét ®−êng th¼ng c¾t hai ®−êng th¼ng song song th×:
Hai gãc so le trong b»ng nhau;
Hai gãc ®ång vÞ b»ng nhau;
Hai gãc trong cïng phÝa bï nhau.
d) Quan hÖ gi÷a tÝnh vu«ng gãc víi tÝnh song song
- Hai ®−êng th¼ng ph©n biÖt cïng
c
vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng thø ba
th× chóng song song víi nhau
a ⊥ c
=> a / / b
b ⊥ c
- Mét ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi mét
trong hai ®−êng th¼ng song song
th× nã còng vu«ng gãc víi ®−êng
th¼ng kia
N¨m häc
2011 - 2015
b
a
c
b
a
c ⊥ b
=> c ⊥ a
a / / b
e) Ba ®−êng th¼ng song song
- Hai ®−êng th¼ng ph©n biÖt cïng
song song víi mét ®−êng th¼ng thø
ba th× chóng song song víi nhau
a//c vµ b//c => a//b
Tµi liÖu ¤n thi vµo Trung häc P5hæ th«ng
a
b
c
www.VNMATH.com
Tr−êng THCS Hång H−ng - Gia Léc – h¶i D−¬ng
17. Gãc ngoµi cña tam gi¸c
a) §Þnh nghÜa: Gãc ngoµi cña mét
tam gi¸c lµ gãc kÒ bï víi mét gãc
cña tam gi¸c Êy
b) TÝnh chÊt: Mçi gãc ngoµi cña tam
gi¸c b»ng tæng hai gãc trong kh«ng
kÒ víi nã
A
B
18. Hai tam gi¸c b»ng nhau
a) §Þnh nghÜa: Hai tam gi¸c b»ng
nhau lµ hai tam gi¸c cã c¸c c¹nh
t−¬ng øng b»ng nhau, c¸c gãc t−¬ng
øng b»ng nhau
A
B
∆ABC = ∆A ' B 'C '
AB = A 'B '; AC = A 'C '; BC = B 'C '
⇔
=A
'; B
=B
'; C
=C
'
A
A'
C
C
B'
b) C¸c tr−êng hîp b»ng nhau cña hai tam gi¸c
*) Tr−êng hîp 1: C¹nh - C¹nh - C¹nh
A
(c.c.c)
- NÕu ba c¹nh cña tam gi¸c nµy b»ng ba
c¹nh cña tam gi¸c kia th× hai tam
gi¸c ®ã b»ng nhau
NÕu ∆ABC vµ ∆A'B'C' cã:
AB = A 'B '
AC = A 'C ' => ∆ABC = ∆A 'B 'C '( c.c.c)
BC = B 'C '
x
C
=A
+B
ACx
B
C
A'
B'
C'
Ng−êi viÕt - Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n HiÖu
www.VNMATH.com
V× sù nghiÖp gi¸o dôc - V× sù 7nghiÖp trång ng−êi
*) Tr−êng hîp 2: C¹nh - Gãc - C¹nh
(c.g.c)
- NÕu hai c¹nh vµ gãc xen gi÷a cña tam
gi¸c nµy b»ng hai c¹nh vµ gãc xen
gi÷a cña tam gi¸c kia th× hai tam
gi¸c ®ã b»ng nhau
N¨m häc
2011 - 2015
A
B
NÕu ∆ABC vµ ∆A'B'C' cã:
AB = A 'B '
=B
' => ∆ABC = ∆A 'B 'C '( c.g.c )
B
BC = B 'C '
C
A'
C'
B'
*) Tr−êng hîp 3: Gãc - C¹nh - Gãc (g.c.g)
A
- NÕu mét c¹nh vµ hai gãc kÒ cña tam
gi¸c nµy b»ng mét c¹nh vµ hai gãc
kÒ cña tam gi¸c kia th× hai tam gi¸c
®ã b»ng nhau
NÕu ∆ABC vµ ∆A'B'C' cã:
=B
'
B
BC = B 'C ' => ∆ABC = ∆A 'B 'C '(g.c.g )
=C
'
C
C
B
A'
C'
B'
c) C¸c tr−êng hîp b»ng nhau cña hai tam gi¸c vu«ng
Tr−êng hîp 1: NÕu hai c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng nµy
b»ng hai c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng kia th× hai tam gi¸c
vu«ng ®ã b»ng nhau.
B
B'
A
C A'
C'
Tr−êng hîp 2: NÕu mét c¹nh gãc vu«ng vµ mét gãc nhän kÒ c¹nh
Êy cña tam gi¸c vu«ng nµy b»ng mét c¹nh gãc vu«ng vµ mét gãc
Tµi liÖu ¤n thi vµo Trung häc P7hæ th«ng
www.VNMATH.com
Tr−êng THCS Hång H−ng - Gia Léc – h¶i D−¬ng
nhän kÒ c¹nh Êy cña tam gi¸c vu«ng kia th× hai gi¸c vu«ng ®ã
b»ng nhau.
B
B'
A
C A'
C'
Tr−êng hîp 3: NÕu c¹nh huyÒn vµ mét gãc nhän cña tam gi¸c
vu«ng nµy b»ng c¹nh huyÒn vµ mét gãc nhän cña tam gi¸c vu«ng
kia th× hai tam gi¸c vu«ng ®ã b»ng nhau.
B
B'
A
C A'
C'
Tr−êng hîp 4: NÕu c¹nh huyÒn vµ mét c¹nh gãc vu«ng cña tam
gi¸c vu«ng nµy b»ng c¹nh huyÒn vµ mét c¹nh gãc vu«ng cña tam
gi¸c vu«ng kia th× hai tam gi¸c vu«ng ®ã b»ng nhau.
B
B'
A
C A'
C'
19. Quan hÖ gi÷a c¸c yÕu tè trong tam
gi¸c (quan hÖ gi÷a gãc vµ c¹nh ®èi diÖn
trong tam gi¸c)
- Trong mét tam gi¸c, gãc ®èi diÖn víi c¹nh
lín h¬n lµ gãc lín h¬n
>C
∆ABC : NÕu AC > AB th× B
A
B
C
Trong mét tam gi¸c, c¹nh ®èi diÖn víi gãc lín h¬n th× lín h¬n
>C
th× AC > AB
∆ABC : NÕu B
Ng−êi viÕt - Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n HiÖu
www.VNMATH.com
V× sù nghiÖp gi¸o dôc - V× sù 9nghiÖp trång ng−êi
N¨m häc
2011 - 2015
20. Quan hÖ gi÷a ®−êng vu«ng gãc vµ ®−êng xiªn, ®−êng xiªn vµ
h×nh chiÕu
Kh¸i niÖm ®−êng vu«ng gãc, ®−êng xiªn, h×nh chiÕu cña
®−êng xiªn
- LÊy A ∉ d, kÎ AH ⊥ d, lÊy B ∈ d vµ B ≠ H. Khi ®ã :
- §o¹n th¼ng AH gäi lµ ®−êng vu«ng
A
gãc kÎ tõ A ®Õn ®−êng th¼ng d
- §iÓm H gäi lµ h×nh chiÕu cña A trªn
®−êng th¼ng d
- §o¹n th¼ng AB gäi lµ mét ®−êng xiªn
kÎ tõ A ®Õn ®−êng th¼ng d
d
- §o¹n th¼ng HB gäi lµ h×nh chiÕu cña
B
H
®−êng xiªn AB trªn ®.th¼ng d
Quan hÖ gi÷a ®−êng xiªn vµ ®−êng vu«ng gãc:
Trong c¸c ®−êng xiªn vµ ®−êng vu«ng gãc kÎ tõ mét ®iÓm ë ngoµi
mét ®−êng th¼ng ®Õn ®−êng th¼ng ®ã, ®−êng vu«ng gãc lµ ®−êng
ng¾n nhÊt.
Quan hÖ gi÷a ®−êng xiªn vµ h×nh chiÕu:
Trong hai ®−êng xiªn kÎ tõ mét ®iÓm n»m ngoµi mét ®−êng th¼ng
®Õn ®−êng th¼ng ®ã, th×:
§−êng xiªn nµo cã h×nh chiÕu lín h¬n th× lín h¬n
§−êng xiªn nµo lín h¬n th× cã h×nh chiÕu lín h¬n
NÕu hai ®−êng xiªn b»ng nhau th× hai h×nh chiÕu b»ng nhau vµ
ng−îc l¹i, nÕu hai h×nh chiÕu b»ng nhau th× hai ®−êng xiªn b»ng
nhau.
21. Quan hÖ gi÷a ba c¹nh cña mét tam gi¸c. BÊt ®¼ng thøc tam
gi¸c
- Trong mét tam gi¸c, tæng ®é dµi hai c¹nh bÊt k× bao giê còng lín h¬n
®é dµi c¹nh cßn l¹i.
A
AB + AC > BC
AB + BC > AC
AC + BC > AB
B
C
- Trong mét tam gi¸c, hiÖu ®é dµi hai c¹nh bÊt k× bao giê còng nhá h¬n
®é dµi c¹nh cßn l¹i.
AC - BC < AB
AB - BC < AC
AC - AB < BC
- NhËn xÐt : Trong mét tam gi¸c, ®é dµi mét c¹nh bao giê còng lín h¬n
Tµi liÖu ¤n thi vµo Trung häc P9hæ th«ng
www.VNMATH.com
Tr−êng THCS Hång H−ng - Gia Léc – h¶i D−¬ng
hiÖu vµ nhá h¬n tæng ®é dµi hai c¹nh cßn l¹i.
VD: AB - AC < BC < AB + AC
Ng−êi viÕt - Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n HiÖu
www.VNMATH.com
N¨m häc
2011 - 2015
V× sù nghiÖp gi¸o dôc - V× sù11nghiÖp trång ng−êi
21. TÝnh chÊt ba ®−êng trung tuyÕn cña tam gi¸c
- Ba ®−êng trung tuyÕn cña mét tam gi¸c
A
cïng ®i qua mét ®iÓm. §iÓm ®ã c¸ch mçi
®Ønh mét kho¶ng b»ng 2 ®é dµi ®−êng
F
3
trung tuyÕn ®i qua ®Ønh Êy:
GA = GB = GC = 2
DA
EB
FC
3
G
B
C
D
G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC
22. TÝnh chÊt ba ®−êng ph©n gi¸c cña tam gi¸c
- Ba ®−êng ph©n gi¸c cña mét
A
tam gi¸c cïng ®i qua mét ®iÓm.
§iÓm nµy c¸ch ®Òu ba c¹nh cña
tam gi¸c ®ã
- §iÓm O lµ t©m ®−êng trßn néi
tiÕp tam gi¸c ABC
E
O
C
B
23. TÝnh chÊt ba ®−êng trung trùc cña tam gi¸c
- Ba ®−êng trung trùc cña mét tam
A
gi¸c cïng ®i qua mét ®iÓm. §iÓm
nµy c¸ch ®Òu ba ®Ønh cña tam gi¸c
®ã
- §iÓm O lµ t©m ®−êng trßn ngo¹i
tiÕp tam gi¸c ABC
O
B
C
24. Ph−¬ng ph¸p chøng minh mét sè bµi to¸n c¬ b¶n
(sö dông mét trong c¸c c¸ch sau ®©y)
a) Chøng minh tam gi¸c c©n
1. Chøng minh tam gi¸c cã hai c¹nh b»ng nhau
2. Chøng minh tam gi¸c cã hai gãc b»ng nhau
3. Chøng minh tam gi¸c ®ã cã ®−êng trung tuyÕn võa lµ ®−êng cao
4. Chøng minh tam gi¸c ®ã cã ®−êng cao võa lµ ®−êng ph©n gi¸c ë
®Ønh
b) Chøng minh tam gi¸c ®Òu
1. Chøng minh tam gi¸c ®ã cã ba c¹nh b»ng nhau
2. Chøng minh tam gi¸c ®ã cã ba gãc b»ng nhau
3. Chøng minh tam gi¸c c©n cã mét gãc lµ 600
c) Chøng minh mét tø gi¸c lµ h×nh b×nh hµnh
1. Tø gi¸c cã c¸c c¹nh ®èi song song lµ h×nh b×nh hµnh
2. Tø gi¸c cã c¸c c¹nh ®èi b»ng nhau lµ h×nh b×nh hµnh
Tµi liÖu ¤n thi vµo Trung häc P11hæ th«ng
www.VNMATH.com
Tr−êng THCS Hång H−ng - Gia Léc – h¶i D−¬ng
3. Tø gi¸c cã hai c¹nh ®èi song song vµ b»ng nhau lµ h×nh b×nh hµnh
4. Tø gi¸c cã c¸c gãc ®èi b»ng nhau lµ h×nh b×nh hµnh
5. Tø gi¸c cã hai ®−êng chÐo c¾t nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®−êng
lµ h×nh b×nh hµnh
d) Chøng minh mét tø gi¸c lµ h×nh thang:
Ta chøng minh tø gi¸c ®ã cã hai c¹nh ®èi song song
e) Chøng minh mét h×nh thang lµ h×nh thang c©n
1. Chøng minh h×nh thang cã hai gãc kÒ mét ®¸y b»ng nhau
2. Chøng minh h×nh thang cã hai ®−êng chÐo b»ng nhau
f) Chøng minh mét tø gi¸c lµ h×nh ch÷ nhËt
1. Tø gi¸c cã ba gãc vu«ng lµ h×nh ch÷ nhËt
2. H×nh thanh c©n cã mét gãc vu«ng lµ h×nh ch÷ nhËt
3. H×nh b×nh hµnh cã mét gãc vu«ng lµ h×nh ch÷ nhËt
4. H×nh b×nh hµnh cã hai ®−êng chÐo b»ng nhau lµ h×nh ch÷ nhËt
g) Chøng minh mét tø gi¸c lµ h×nh thoi
1. Tø gi¸c cã bèn c¹nh b»ng nhau
2. H×nh b×nh hµnh cã hai c¹nh kÒ b»ng nhau
3. H×nh b×nh hµnh cã hai ®−êng chÐo vu«ng gãc víi nhau
4. H×nh b×nh hµnh cã mét ®−êng chÐo lµ ®−êng ph©n gi¸c cña mét
gãc
h) Chøng minh mét tø gi¸c lµ h×nh vu«ng
1. H×nh ch÷ nhËt cã hai c¹nh kÒ b»ng nhau
2. H×nh ch÷ nhËt cã hai ®−êng chÐo vu«ng gãc
3. H×nh ch÷ nhËt cã mét ®−êng chÐo lµ ®−êng ph©n gi¸c cña mét gãc
4. H×nh thoi cã mét gãc vu«ng
5. H×nh thoi cã hai ®−êng chÐo b»ng nhau
25. §−êng trung b×nh cña tam gi¸c, cña h×nh thang
a) §−êng trung b×nh cña tam gi¸c
§Þnh nghÜa: §−êng trung b×nh cña tam gi¸c lµ ®o¹n th¼ng nèi
trung ®iÓm hai c¹nh cña tam gi¸c
§Þnh lÝ: §−êng trung b×nh cña tam gi¸c th× song song víi c¹nh
thø ba vµ b»ng nöa c¹nh Êy
A
DE lµ ®−êng trung b×nh cña tam gi¸c
D
DE / / BC, DE = 1 BC
2
B
E
C
Ng−êi viÕt - Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n HiÖu
www.VNMATH.com
N¨m häc
2011 - 2015
V× sù nghiÖp gi¸o dôc - V× sù13nghiÖp trång ng−êi
b) §−êng trung b×nh cña h×nh thang
§Þnh nghÜa: §−êng trung b×nh cña h×nh thang lµ ®o¹n th¼ng nèi
trung ®iÓm hai c¹nh bªn cña h×nh thang
§Þnh lÝ: §−êng trung b×nh cña h×nh thang th× song song víi hai
®¸y vµ b»ng nöa tæng hai ®¸y
B
EF lµ ®−êng trung b×nh cña
A
h×nh thang ABCD
E
EF//AB, EF//CD, EF = AB + CD
2
F
D
C
26. Tam gi¸c ®ång d¹ng
a) §Þnh lÝ Ta_lÐt trong tam gi¸c:
- NÕu mét ®−êng th¼ng song song víi mét c¹nh cña tam gi¸c vµ c¾t hai
c¹nh cßn l¹i th× nã ®Þnh ra trªn hai c¹nh ®ã nh÷ng ®o¹n th¼ng t−¬ng
øng tØ lÖ
A
B 'C '/ /BC => AB ' = AC ' ;
AB
AC
AB ' = AC ' ; B 'B = C 'C
B'B
C 'C AB
AC
B'
C'
B
a
C
b) §Þnh lÝ ®¶o cña ®Þnh lÝ Ta_lÐt:
- NÕu mét ®−êng th¼ng c¾t hai c¹nh cña mét tam gi¸c vµ ®Þnh ra trªn
hai c¹nh nµy nh÷ng ®o¹n th¼ng t−¬ng øng tØ lÖ th× ®−êng th¼ng ®ã song
song víi c¹nh cßn l¹i cña tam gi¸c
VÝ dô: AB ' = AC ' => B 'C '/ /BC ; C¸c tr−êng hîp kh¸c t−¬ng tù
AB
AC
c) HÖ qu¶ cña ®Þnh lÝ Ta_lÐt
- NÕu mét ®−êng th¼ng c¾t hai c¹nh cña mét tam gi¸c vµ song song víi
c¹nh cßn l¹i th× nã t¹o thµnh mét tam gi¸c míi cã ba c¹nh t−¬ng øng tØ
lÖ víi ba c¹nh cña tam gi¸c ®· cho. HÖ qu¶ cßn ®óng trong tr−êng hîp
®−êng th¼ng song song víi mét c¹nh cña tam gi¸c vµ c¾t phÇn kÐo dµi
cña hai c¹nh cßn l¹i ( B 'C '/ /BC => AB ' = AC ' = B 'C ' )
AB
AC
Tµi liÖu ¤n thi vµo Trung häc P13hæ th«ng
BC
www.VNMATH.com
Tr−êng THCS Hång H−ng - Gia Léc – h¶i D−¬ng
A
a
C'
B'
A
C
B
a
B'
C'
C
B
d) TÝnh chÊt ®−êng ph©n gi¸c cña tam gi¸c:
- §−êng ph©n gi¸c trong (hoÆc ngoµi) cña mét tam gi¸c chia c¹nh ®èi
diÖn thµnh hai ®o¹n tØ lÖ víi hai c¹nh kÒ cña hai ®o¹n ®ã
A
A
B
C
D
DB = AB
DC
AC
C
B
D'
D'B = AB
D'C
AC
∆ABC
S
e) §Þnh nghÜa hai tam gi¸c ®ång d¹ng :
- Hai tam gi¸c ®ång d¹ng lµ hai tam gi¸c cã c¸c gãc t−¬ng øng b»ng
nhau vµ c¸c c¹nh t−¬ng øng tØ lÖ
=A
'; B
=B
'; C
=C
'
A
∆A 'B 'C ' <=> AB
AC
BC
A 'B ' = A 'C ' = B 'C ' = k( tØ sè ®ång d¹ng )
f) §Þnh lÝ vÒ hai tam gi¸c ®ång d¹ng:
- NÕu mét ®−êng th¼ng c¾t hai c¹nh cña mét tam gi¸c vµ song song víi
c¹nh cßn l¹i th× nã t¹o thµnh mét tam gi¸c míi ®ång d¹ng víi tam gi¸c
®· cho
S
MN / /BC => ∆AMN
A
∆ABC
M
*) L−u ý: §Þnh lÝ còng ®óng ®èi víi
tr−êng hîp ®−êng th¼ng c¾t phÇn kÐo
dµi hai c¹nh cña tam gi¸c vµ song song
B
víi c¹nh cßn l¹i
g) C¸c tr−êng hîp ®ång d¹ng cña hai tam gi¸c
N
a
C
Ng−êi viÕt - Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n HiÖu
www.VNMATH.com
N¨m häc
2011 - 2015
V× sù nghiÖp gi¸o dôc - V× sù15nghiÖp trång ng−êi
*)Tr−êng hîp 1: NÕu ba c¹nh cña tam gi¸c nµy tØ lÖ víi ba c¹nh cña
tam gi¸c kia th× hai tam gi¸c ®ã ®ång d¹ng.
A'
A
B'
C
NÕu ∆ABC vµ ∆A'B'C' cã:
AB = AC = BC => ∆ABC
A 'B '
A 'C '
B 'C '
∆A 'B 'C '( c.c.c)
S
C
B
*)Tr−êng hîp 2: NÕu hai c¹nh cña tam gi¸c nµy tØ lÖ víi hai c¹nh cña
tam gi¸c kia vµ hai gãc t¹o bëi c¸c c¹nh ®ã b»ng nhau th× hai tam
gi¸c ®ång d¹ng
A'
A
C
B'
C'
NÕu ∆ABC vµ ∆A'B'C' cã:
AB = BC
A 'B '
B 'C' => ∆ABC
=B
'
B
∆A 'B 'C '(c.g.c )
S
B
*)Tr−êng hîp 3: NÕu hai gãc cña tam gi¸c nµy lÇn l−ît b»ng hai gãc
cña tam gi¸c kia th× hai tam gi¸c ®ång d¹ng;
A'
A
B
C
B'
C
S
NÕu ∆ABC vµ ∆A'B'C' cã:
=A
'
A
=> ∆ABC ∆A 'B 'C '(g.g )
=B
'
B
h) C¸c tr−êng hîp ®ång d¹ng cña hai tam gi¸c vu«ng
Tµi liÖu ¤n thi vµo Trung häc P15hæ th«ng
www.VNMATH.com
Tr−êng THCS Hång H−ng - Gia Léc – h¶i D−¬ng
*)Tr−êng hîp 1: NÕu hai tam gi¸c vu«ng cã mét gãc nhän b»ng nhau
th× chóng ®ång d¹ng.
S
NÕu ∆ABC vµ ∆A'B'C' cã:
=A
' = 900
A
=> ∆ABC ∆A 'B 'C'
= C'
C
B'
B
C
A
C'
A’
*)Tr−êng hîp 2: NÕu hai c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng nµy tØ lÖ
víi hai c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng kia th× hai tam gi¸c ®ã ®ång
d¹ng.
B'
B
C
A
C'
A'
S
Hai tam gi¸c vu«ng ABC vµ A'B'C' cã:
AB = AC => ∆ABC ∆A 'B 'C '
A 'B '
A 'C '
*)Tr−êng hîp 3: NÕu c¹nh gãc vu«ng vµ c¹nh huyÒn cña tam gi¸c
vu«ng nµy tØ lÖ víi c¹nh gãc vu«ng vµ c¹nh huyÒn cña tam gi¸c vu«ng
kia th× hai gi¸c ®ã ®ång d¹ng.
S
Hai tam gi¸c vu«ng ABC vµ A'B'C' cã:
AB = BC => ∆ABC ∆A 'B 'C '
A 'B '
B 'C '
S
27. TØ sè hai ®−êng cao, tØ sè diÖn tÝch cña hai tam gi¸c ®ång
d¹ng
- TØ sè hai ®−êng cao t−¬ng øng cña hai tam gi¸c ®ång d¹ng b»ng tØ
sè ®ång d¹ng
- TØ s« diÖn tÝch cña hai tam gi¸c ®ång d¹ng b»ng b×nh ph−¬ng tØ sè
®ång d¹ng
- Cô thÓ : ∆A 'B 'C ' ∆ABC theo tØ sè k
Ng−êi viÕt - Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n HiÖu
www.VNMATH.com
N¨m häc
2011 - 2015
V× sù nghiÖp gi¸o dôc - V× sù17nghiÖp trång ng−êi
S
=> A 'H ' = k vµ A 'B 'C' = k2
AH
SABC
28. DiÖn tÝch c¸c h×nh
b
a
h
a
a
2
S = a. b
h
S=a
a
S = 1 ah
2
S = 1 ah
2
b
h
E
a
a
S = 1 (a + b)h = EF.h
2
S = 1 ah
2
b h
α
F
h
d2
a
d1
S = 1 d1 ⋅ d2
2
S = a. h = a. b.sin α
Chó ý:
1. DiÖn tÝch ®a gi¸c ®Òu n c¹nh, mçi c¹nh cã ®é dµi b»ng a ®−îc tÝnh
theo c«ng thøc S = 1 .na 4 R 2 − a 2
4
(R lµ b¸n kÝnh ®−êng trßn ngo¹i
tiÕp ®a gi¸c ®Òu )
2. Diện tích tam giác:
s∆ABC = 1 .a.ha = 1 a.b.sinC = p.r =
2
2
abc
4R
=
p( p − a)( p − b)( p − c)
+) a, b, c là độ dài các cạnh tương ứng
+) ha là độ dài đường cao ứng với cạnh a
+) C là độ lớn của góc xen giữa hai cạnh a, b
+) p là nửa chu vi của tam giác
+) r là độ dài bán kính đường tròn nội tiếp tam giác
+) R là độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.
29. Häc sinh cÇn n¾m v÷ng c¸c bµi to¸n dùng h×nh c¬ b¶n
Tµi liÖu ¤n thi vµo Trung häc P17hæ th«ng
www.VNMATH.com
Tr−êng THCS Hång H−ng - Gia Léc – h¶i D−¬ng
(dïng th−íc th¼ng, th−íc ®o ®é, th−íc cã chia kho¶ng, compa, ªke)
a) Dùng mét ®o¹n th¼ng b»ng mét ®o¹n th¼ng cho tr−íc;
b) Dùng mét gãc b»ng mét gãc cho tr−íc;
c) Dùng ®−êng trung trùc cña mét ®o¹n th¼ng cho tr−íc, dùng trung
®iÓm cña mét ®o¹n th¼ng cho tr−íc;
d) Dùng tia ph©n gi¸c cña mét gãc cho tr−íc;
e) Qua mét ®iÓm cho tr−íc, dùng ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi mét ®−êng
th¼ng cho tr−íc;
f) Qua mét ®iÓm n»m ngoµi mét ®−êng th¼ng cho tr−íc, dùng ®−êng
th¼ng song song víi mét ®−êng th¼ng cho tr−íc;
g) Dùng tam gi¸c biÕt ba c¹nh, hoÆc biÕt hai c¹nh kÒ vµ gãc xen gi÷a,
hoÆc biÕt mét c¹nh vµ hai gãc kÒ.
30. HÖ thøc l−îng trong tam gi¸c vu«ng (líp 9)
a) Mét sè hÖ thøc vÒ c¹nh vµ ®−êng cao trong tam gi¸c vu«ng
2
b = ab '
2
c = ac '
2
2
A
2
a = b + c (Pi_ta_go)
bc = ah
c
2
h = b'c'
1 + 1 = 1
2
2
2
b
c
h
B
h
b
b'
c'
H
C
a
b) TØ sè l−îng gi¸c cña gãc nhän
§Þnh nghÜa c¸c tØ sè l−îng gi¸c cña gãc nhän
c¹nh ®èi
c¹nh huyÒn
c¹nh ®èi
tgα =
c¹nh kÒ
sin α =
c¹nh kÒ
c¹nh huyÒn
c¹nh kÒ
cotgα =
c¹nh ®èi
cos α =
α
Mét sè tÝnh chÊt cña c¸c tØ sè l−îng gi¸c
+) §Þnh lÝ vÒ tØ sè l−îng gi¸c cña hai gãc phô nhau
Cho hai gãc α vµ β phô nhau. Khi ®ã:
sinα = cosβ;
tgα = cotgβ;
cosα = sinβ;
cotgα = tgβ.
+) Cho 00 < α < 900 . Ta cã:
2
2
0 < sin α < 1; 0 < cos α < 1; sin α + cos α = 1
tgα = sin α ; cot gα = cos α ; tgα .cot gα = 1
cos α
sin α
Ng−êi viÕt - Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n HiÖu
www.VNMATH.com
V× sù nghiÖp gi¸o dôc - V× sù19nghiÖp trång ng−êi
N¨m häc
2011 - 2015
So s¸nh c¸c tØ sè l−îng gi¸c
0
0
0 < α1 < α2 < 90 => sin α1 < sin α2 ;cos α1 > cos α2 ;tgα1 < tgα2 ;cot gα1 > cot gα2
c) Mét sè hÖ thøc vÒ c¹nh vµ gãc trong tam gi¸c vu«ng
b = a.sinB;
b = a.cosC;
b = c.tgB;
b = c.cotgC;
=> a =
c = a.sinC
c = a.cosB
c = b.tgC
c = b.cotgB
b = c
c
= b =
sinB
sinC
cosC
cosB
31. §−êng trßn, h×nh trßn, gãc ë t©m, sè ®o cung
Tµi liÖu ¤n thi vµo Trung häc P19hæ th«ng
www.VNMATH.com
Tr−êng THCS Hång H−ng - Gia Léc – h¶i D−¬ng
- §−êng trßn t©m O, b¸n kÝnh R lµ h×nh
gåm c¸c ®iÓm c¸ch O mét kho¶ng b»ng
R, kÝ hiÖu (O ; R).
- H×nh trßn lµ h×nh gåm c¸c ®iÓm n»m
α
trªn ®−êng trßn vµ c¸c ®iÓm n»m bªn
0
0
trong ®−êng trßn ®ã.
0 < α < 180
- Trªn h×nh vÏ:
+) C¸c ®iÓm A, B, C, D n»m trªn (thuéc)
®−êng trßn; OA = OB = OC = OD = R.
+) M n»m bªn trong ®−êng trßn; OM < R
+) N n»m bªn ngoµi ®−êng trßn; ON > R
+) §o¹n th¼ng AB lµ d©y cung (d©y)
+) CD = 2R, lµ ®−êng kÝnh (d©y cung lín
nhÊt, d©y ®i qua t©m)
lµ cung nhá ( 00 < α < 1800 )
+) AmB
lµ cung lín
+) AnB
+) Hai ®iÓm A, B lµ hai mót cña cung
- Gãc cã ®Ønh trïng víi t©m ®−êng trßn
lµ gãc ë t©m
®−îc gäi lµ gãc ë t©m ( AOB
ch¾n cung nhá AmB)
- Gãc bÑt COD ch¾n nöa ®−êng trßn
- Sè ®o cung:
+) Sè ®o cña cung nhá b»ng sè ®o cña
gãc ë t©m ch¾n cung ®ã
= α ( 00 < α < 1800 )
s® AmB
+) Sè ®o cña cung lín b»ng hiÖu gi÷a
3600 vµ sè ®o cña cung nhá (cã chung
hai mót víi cung lín)
0
= 360 − α
s® AnB
0
+) Sè ®o cña nöa ®−êng trßn b»ng
α = 180
0
180 , sè ®o cña c¶ ®−êng trßn b»ng
3600
32. Quan hÖ vu«ng gãc gi÷a ®−êng kÝnh vµ d©y
- Trong mét ®−êng trßn, ®−êng kÝnh
vu«ng gãc víi mét d©y th× ®i qua trung
®iÓm cña d©y Êy
AB ⊥ CD t¹i H => HC = HD
- Trong mét ®−êng trßn, ®−êng kÝnh ®i
qua trung ®iÓm cña mét d©y kh«ng ®i
qua t©m th× vu«ng gãc víi d©y Êy
33. Liªn hÖ gi÷a d©y vµ kho¶ng c¸ch tõ t©m ®Õn d©y
Ng−êi viÕt - Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n HiÖu
- Xem thêm -