Tài liệu Hệ thống hóa các bài toán cơ học lượng tử trong việc giải phương trình schrodinger ứng với các trường thế năng khác nhau​

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ  KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐỀ TÀI: HỆ THỐNG HÓA CÁC BÀI TOÁN CƠ HỌC LƢỢNG TỬ TRONG VIỆC GIẢI PHƢƠNG TRÌNH SCHRODINGER ỨNG VỚI CÁC TRƢỜNG THẾ NĂNG KHÁC NHAU SVTH: Huỳnh Trúc Nhƣ GVHD: TS. Lƣơng Lê Hải Thành phố Hồ Chí Minh - 2018 Mục lục Lời cảm ơn 2 Phần mở đầu 3 I 6 Cơ sở của phương pháp Nikiforov–Uvarov Kết luận chương I 10 II Giải phương trình Schrödinger cho các hố thế năng khác nhau 11 1 Hạt trong hố thế năng sâu vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Hàng rào thế - Hiệu ứng đường ngầm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3 Dao động tử điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4 Thế năng Woods–Saxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 5 Thế năng Morse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 6 Thế năng Pöschl–Teller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 7 Thế năng Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 8 Thế năng Hulthen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 9 Thế năng Kratzer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 10 Dao động giả điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Kết luận chương II 73 III Kết luận 74 IV Tài liệu tham khảo 76 Phụ chú 77 Lời cảm ơn Để luận văn đạt kết quả tốt đẹp, trong suốt quá trình thực hiện em đã nhận được nhiều sự quan tâm, động viên, giúp đỡ của quý thầy cô, gia đình và bạn bè. Với tấm lòng sâu sắc đó, cho em xin được bày tỏ lòng biết ơn của mình đến: Trước hết là thầy, TS. Lương Lê Hải, người đã định hướng, chỉ dạy em trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Hơn hết, thầy là người đã truyền cho em sự tự tin và niềm đam mê, đồng thời thầy luôn là người trực tiếp hướng dẫn em ngay từ những ngày đầu. Thứ hai, đó là quý thầy, cô trong khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm Tp.HCM đã truyền đạt cho em những kiến thức, kĩ năng và phương pháp sư phạm nền tảng cho tương lai nghề nghiệp. Đặc biệt, TS. Cao Anh Tuấn trưởng khoa Vật lý, đã tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành tốt luận văn. Bên cạnh, là những người quan tâm em, luôn giúp đỡ em thật nhiều trong suốt bốn năm đại học, nhất là thời gian em làm khóa luận. Một lần nữa, em xin chân thành cảm ơn. Tp.HCM, ngày 01 tháng 04 năm 2018 Huỳnh Trúc Như Phần mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Phương trình Schrödinger là phương trình động lực học cơ bản dùng để mô tả các tính chất của hệ cơ học lượng tử, tương tự như phương trình của định luật II Newton trong cơ học cổ điển. Đối với một hệ cổ điển, thông qua việc giải phương trình II Newton ta có thể biết được tính chất chuyển động của một vật hoặc một hệ vật bất kì. Tuy nhiên, hạn chế của phương trình định luật II Newton chỉ dùng để mô tả chuyển động của những vật có kích thước và khối lượng đáng kể (vật lý vĩ mô). Do vậy, khi nghiên cứu đến tính chất của những vật có kích thước vi mô, điển hình là nghiên cứu chuyển động của hạt electron (các hạt cơ bản), ta không thể dùng phương trình II Newton để mô tả mà phải thông qua việc giải phương trình Schrödinger để tìm được hàm sóng (nghiệm của phương trình) cũng như là giá trị năng lượng (trị riêng), từ đó ta sẽ khảo được các tính chất của hệ đang xét hay tìm ra những tính chất mới. Chính vì vậy mà việc giải phương trình Schrödinger cho đến nay là điều cần thiết và quan trọng [1]. Dựa trên những kiến thức cơ bản trong việc giải phương trình Schrödinger với các hố thế cơ bản như: hố thế sâu vô hạn, hữu hạn hay hạt chuyển động qua hàng rào thế mà ta có thể xây dựng phương trình Schrödinger cho những hố thế phức tạp hơn. Ví dụ khi xét hạt chuyển động trong trường xuyên tâm, hay khi nghiên cứu đến sự tương tác giữa neutron với hạt nhân, tán xạ của nguyên tử trên phân tử gồm hai nguyên tử... Tuy nhiên, ở chương trình đại học, sinh viên lại chưa có cơ hội nhiều để tiếp xúc với các dạng hố thế này. Do đó, đề tài luận văn mục đích là hệ thống lại việc giải phương trình Schrödinger cho các hố thế các nhau, ngoài những hố thế đã được học ở chương trình đại học, luận văn sẽ đưa vào những dạng hố thế khác là: Woods–Saxon [5],[12], Morse [6], [12], Pöschl–Teller [7], [12], Coulomb [8], Hulthen [9], Kratze [9] và dao động giả điều hòa [10]. Với mục đích là sẽ đưa đến nhiều dạng hố thế khác nhau đến gần hơn với sinh viên, như một tài liệu tham khảo bổ ích. Mặt khác, một vấn đề luôn được quan tâm trong việc giải phương trình Schrödinger chính là phương pháp giải. Ở chương trình đại học, đối với hố thế sâu vô hạn và hàng rào thế, bài toán được giải bằng cách giải phương trình vi phân cấp hai. Riêng đối với mô hình dao động tử điều hòa, hai phương pháp được sử dụng là giải tích và áp dụng toán tử sinh hủy. Tuy nhiên, phương pháp giải tích khi áp dụng cho một số hố thế khác lại gặp khó khăn trong việc tính toán, hoặc một số phương pháp khác thì chỉ cho nghiệm gần đúng. Do đó, việc lựa chọn phương pháp phù hợp để giải phương trình Schrödinger cho các hố thế khác nhau là điều cần thiết. Có nhiều phương pháp giải khác nhau được đưa ra, sẽ cho nghiệm gần đúng hoặc chính xác. Trong số đó, phương pháp Nikiforov–Uvarov [3] cho nghiệm gần như là chính xác với nhiều hố thế khác nhau, có hố thế nghiệm là chính xác ứng với mọi mức lượng tử, nhưng cũng có hố thế chỉ cho nghiệm chính xác ứng với trạng thái cơ bản. Nhưng nhìn chung, phương pháp này lại đơn giản hóa trong việc tính toán và giải phương trình Schrödinger đối với nhiều hố thế phức tạp. Vì nếu xét kĩ, khi áp dụng phương pháp này, người giải chỉ cần thực hiện tuần tự những bước làm theo một hệ thống nhất định, quan trọng chỉ cần đổi biến số từ đầu cho phù hợp và chọn nghiệm sao cho thỏa mãn tính chất vật lý của hàm sóng. Hơn hết, phương pháp này đã được áp dụng rất nhiều trong những bài toán phức tạp. Chính vì vậy, đề tài luận văn sẽ đưa vào phương pháp Nikiforov–Uvarov để giải và hệ thống lại các bài toán cơ học lượng tử trong việc giải phương trình Schrödinger ứng với các hố thế khác nhau. Bên cạnh việc giải để tìm nghiệm (hàm sóng) và trị riêng năng lượng dưới dạng những biểu thức toán học, trong luận văn cũng sẽ trình bày hình vẽ minh họa cho các kết quả tính được trên phần mền Maple. 2. Đối tượng và phương pháp nghiên cứu Luận văn chủ yếu hệ thống lại một số hố thế năng khác năng khác nhau thông qua việc giải phương trình Schrödinger bằng phương pháp Nikiforov–Uvarov. Các bài toán được sắp xếp theo thứ tự của các hố thế năng từ đơn giản đến phức tạp. Bên cạnh đó, luận văn cũng sử dụng phần mềm Maple để giải các bài toán về tán xạ. 3. Cấu trúc luận văn Phần mở đầu: Chương I: Cơ sở của phương pháp Nikiforov–Uvarov. Chương II: Hệ thống một số bài toán cơ học lượng tử trong việc giải phương trình Schrödinger ứng với các hố thế năng khác nhau. Kết luận – Hướng phát triển. Tài liệu tham khảo. Phụ chú. Chương I I Luận văn tốt nghiệp Cơ sở của phương pháp Nikiforov–Uvarov Phương pháp Nikiforov–Uvarov [3] được xây dựng bởi hai nhà vật lí người Nga, Nikiforov và Uvarov. Cơ sở chính của phương pháp là dựa trên việc giải phương trình vi phân bậc hai. Bằng cách rút phương trình Schrödinger về phương trình vi phân bậc hai dưới dạng hàm siêu việt, ta sẽ tìm được giá trị chính xác của năng lượng và hàm sóng tương ứng. Ta xét phương trình vi phân bậc hai dưới dạng: ψ 00 (s) + τ̃ (s) 0 σ̃(s) ψ (s) + 2 ψ(s) = 0, σ(s) σ (s) (I.1) trong đó, τ̃ (s) là đa thức bậc nhất, σ(s) và σ̃(s) là những đa thức bậc hai, ψ(s) là hàm số có dạng của hàm hàm siêu việt. Đưa phương trình (I.1) về dạng đơn giản hơn bằng cách đổi biến: ψ(s) = φ(s)y(s), trong đó hàm ψ(s) được chọn sao cho thích hợp. Ta có: ψ 0 (s) = φ0 (s)y(s) + φ(s)y 0 (s), ψ 00 (s) = φ00 (s)y(s) + 2φ0 (s)y 0 (s) + φ(s)y 00 (s). Khi đó phương trình (I.1) được viết lại: 00 y (s) +  φ0 (s) τ̃ (s) 2 + φ(s) σ(s)  0  y (s) + φ00 (s) φ0 (s) τ̃ (s) σ̃(s) + + 2 φ(s) φ(s) σ(s) σ (s)  y(s) = 0. (I.2) Đặt hệ số đứng trước y 0 (s) bằng τ (s)/σ(s), với τ (s) là đa thức có bậc đồng nhất, ta được: 2 φ0 (s) τ̃ (s) τ (s) + = , φ(s) σ(s) σ(s) (I.3) φ0 (s) π(s) = , φ(s) σ(s) (I.4) trong đó: Trang 6 Chương I Luận văn tốt nghiệp với π(s) là đa thức có bậc được đồng nhất. Từ biểu thức (I.3) và (I.4), ta biểu diễn τ (s) dưới dạng: (I.5) τ (s) = τ̃ (s) + 2π(s). Biểu thức φ00 (s)/φ(s) xuất hiện trong hệ số đứng trước y(s). Biểu diễn φ00 (s)/φ(s) theo biểu thức (I.4): φ00 (s) = φ(s)  φ0 (s) φ(s) 0  + φ0 (s) φ(s) 2  = π(s) σ(s) 0  + π(s) σ(s) 2 (I.6) và hệ số đứng trước y(s) cũng được viết lại: φ00 (s) φ0 (s) τ̃ (s) τ̃ (s) σ(s) + + 2 = 2 , φ(s) φ(s) σ(s) σ (s) σ (s) (I.7) σ(s) = σ̃(s) + π 2 (s) + π(s)[τ̃ (s) − σ 0 (s)] + π 0 (s)σ(s). (I.8) với So sánh các vế của phương trình (I.2), (I.3) và (I.7), ta được: y 00 (s) + σ(s) τ (s) 0 y (s) + 2 y(s) = 0. σ(s) σ (s) (I.9) Từ phương trình (I.7), ta thấy rằng σ(s) chia hết cho σ(s), nên ta đặt: σ(s) = λσ(s), (I.10) trong đó λ là một hằng số. Khi đó phương trình (I.9) được đưa về dưới dạng: σ(s)y 00 (s) + τ (s)y 0 (s) + λy(s) = 0. (I.11) Phương trình (I.11) cũng là phương trình có dạng của hàm siêu việt, và nghiệm của nó cũng được biểu diễn dưới dạng hàm siêu việt. Trang 7 Chương I Luận văn tốt nghiệp Tiếp theo, ta sẽ đi tìm hàm π(s) và hằng số λ bằng cách viết lại phương trình (I.8) dưới dạng biểu thức bậc hai theo π(s): π 2 (s) + π(s)[τ̃ (s) − σ 0 (s)] + σ̃(s) − λ + π 0 (s) = 0. (I.12) Nghiệm của phương trình bậc hai (I.12): π(s) = σ 0 (s) − τ̃ (s) 2 s ± σ 0 (s) − τ̃ (s) 2 2 − σ̃(s) + kσ(s), (I.13) với k = λ − π 0 (s). (I.14) Vì π(s) là một đa thức nên biểu thức dưới dấu căn của phương trình (I.13) phải có dạng bình phương của một đa thức. Do đó, ∆s = 0. Sau đó, dựa vào biểu thức ∆s = 0, ta tìm được các giá trị của k , và từ đó ta sẽ tìm được các hàm π(s) tương ứng từ phương trình (I.13). Các biểu thức τ (s), λ và φ(s) cũng được xác định bởi phương trình (I.5), (I.14) và (I.4). Vì đạo hàm của hàm siêu việt cũng là một hàm siêu việt. Do đó, khi lấy đạo hàm bậc một phương trình (I.11) và đặt υ1 (s) = y 0 (s), ta thu được: συ100 (s) + τ1 (s)υ10 (s) + µ1 υ1 (s) = 0, (I.15) τ1 (s) = τ (s) + σ 0 (s) (I.16) µ1 = λ + τ 0 (s) (I.17) với và là các đa thức có bậc được đồng nhất, µ1 là tham số phụ thuộc vào biến số s. Tương tự, đạo hàm bậc hai của phương trình (I.11), với υ2 (s) = y 00 (s): σ(s)υ200 (s) + τ2 (s)υ20 (s) + µ2 υ2 (s) = 0, (I.18) τ2 (s) = τ1 (s) + σ 0 (s) = τ (s) + 2σ 0 (s) (I.19) với Trang 8 Chương I Luận văn tốt nghiệp và µ2 = µ1 + τ10 (s) = λ + 2τ 0 (s) + σ 00 (s). (I.20) Bằng cách tương tự, đạo hàm bậc n phương trình (I.11) với υn (s) = y (n) (s), ta được: σ(s)υn00 (s) + τn (n)υn0 (s) + µn υn (n) = 0, (I.21) τn (s) = τ (s) + nσ 0 (s) (I.22) với và µn = λ + nτ 0 (s) + n(n − 1) 00 σ (s). 2 (I.23) Tất cả các nghiệm của phương trình (I.21) được biểu diễn dưới dạng υn (s) = y (n) (s), với y(s) là nghiệm của phương trình (I.11). Khi µn = 0, phương trình (I.21) sẽ có nghiệm đặc biệt υn (s) = const, do đó phương trình (I.23) trở thành: λn = −nτ 0 (s) − n(n − 1) 00 σ (s), n = 0, 1, 2... 2 (I.24) yn (s) là hàm có dạng hàm siêu việt: yn (s) = Bn dn n [σ (s)ρ(s)] , ρ(s) dsn (I.25) với Bn là hằng số chuẩn hóa và ρ(s) phải thỏa điều kiện: [σ(s)ρ(s)]0 = τ (s)ρ(s). Trang 9 (I.26) Chương I Luận văn tốt nghiệp Kết luận chương I • Ta thấy việc giải phương trình Schrödinger bằng phương pháp Nikiforov–Uvarov sẽ cho nghiệm (hàm sóng) chính xác. Việc tính toán cũng sẽ đơn giản hóa hơn khi ta đưa phương trình về dạng phương trình siêu việt, sau đó áp dụng các tính chất đặc biệt của hàm này để giải tìm nghiệm. • Một lưu ý khi giải phương trình Schrödinger bằng phương pháp Nikiforov–Uvarov là cần đổi biến số mới phù hợp để rút về dưới dạng phương trình (I.1). Thứ hai, cần chọn giá trị của k và hàm π(s) thích hợp sao cho đạo hàm bậc nhất của hàm τ (s) khi đó phải mang giá trị âm (τ 0 (s) < 0). • Tuy nhiên, phương pháp này cũng có hạn chế khi không áp dụng được cho các hố thế như: hạt chuyển động trong hố thế sâu vô hạn hay hiệu ứng đường ngầm. Trang 10 Chương II II Luận văn tốt nghiệp Giải phương trình Schrödinger cho các hố thế năng khác nhau Trong chương II, đề tài khóa luận sẽ hệ thống lại việc giải phương trình Schrödinger cho 10 hố thế năng khác nhau, đó là các hố thế: hố thế sâu vô hạn, hàng rào thế, dao động tử điều hòa, Woods–Saxon, Morse, Pöschl–Teller, Coulomb, Hulthen, Kratze và dao động giả điều hòa. Trong đó, với hố thế sâu vô hạn và hàng rào thế, đề tài khóa luận sẽ giải phương trình Schrödinger bằng cách giải phương trình vi phân cấp hai cơ bản. Riêng đối với tám hố thế năng còn lại, đề tài sẽ áp dụng phương pháp Nikiforov–Uvarov như đã trình bày ở chương I. 1 Hạt trong hố thế năng sâu vô hạn Hố thế năng sâu vô hạn [1],[2] là một mô hình đơn giản mô tả chuyển động và tính chất lượng tử của một hạt vi mô. Ta xét một hạt có khối lượng m, chuyển động trong hố thế có thành cao vô hạn, bề rộng a và biểu thức hàm thế năng được xác định bởi: Hình II.1: Hố thế năng sâu vô hạn ( 0, 0≤x≤a (II.1a) +∞, x < 0, x > a (II.1b) V (x) = Trang 11 Chương II Luận văn tốt nghiệp Xét thấy hàm thế năng không phụ thuộc thời gian nên ta có thể viết phương trình Schrödinger dưới dạng dừng:  − ~2 d2  2m dx2 + V (x) ψ(x) = Eψ(x). (II.2) Ta viết lại phương trình (II.2) dưới dạng phương trình vi phân: ψ 00 (s) − 2m ~2 [V (x) − E] ψ(x) = 0. (II.3) • Xét trong hai miền x < 0 và x > a: V (x) = +∞ Nhận thấy phương trình chỉ có nghiệm khi ψ(x) = 0 (nghiệm tầm thường), nên ta không nhận trường hợp này. • Xét cho miền 0 ≤ x ≤ a: V=0 Phương trình (II.2) khi đó được viết lại dưới dạng: với k = √ ψ 00 (x) + k 2 ψ(x) = 0, (II.4) ψ(x) = A cos kx + B sin kx. (II.5) 2mE/~, (E ≥ 0). Vì hàm sóng phải liên tục, đơn trị và hữu hạn nên ta đặt điều kiện liên tục tại hai biên: ψ(0) = 0, ψ(a) = 0. Vì vậy, hàm sóng phải thỏa mãn đồng thời hai phương trình:   A cos k0 + B sin k0 = 0 (II.6)  A cos ka + B sin ka = 0 Giải hệ phương trình ta tìm được: k= nπ , n = 1, 2, 3, ... a Trang 12 (II.7) Chương II Luận văn tốt nghiệp Vì thế, hàm sóng có dạng: ψ(x) = B sin  nπ  a (II.8) x . Bằng cách chuẩn hóa hàm sóng, ta tìm được hệ số B như sau: Z +∞ |ψ(x)|2 dx = 1 (II.9) −∞ r ⇒B= 2 . a (II.10) Vậy, hàm sóng khi hạt chuyển động trong hố thế sâu vô hạn có dạng: r ψ(x) = với số sóng: k = nπx 2 sin , n = 1, 2, 3... a a   (II.11) nπ ~nπ , xung lượng: p = ~k = , và biểu thức năng lượng: a a p2 (~k)2 n2 π 2 ~2 En = = = . 2m 2m 2ma2 (II.12) Nhận xét: • Bằng cách giải phương trình vi phân bậc hai cho hố thế sâu vô hạn, ta đã tìm được nghiệm chính xác của hàm sóng và giá trị năng lượng ứng với các mức lượng tử khác nhau. • Với biểu thức năng lượng vừa tìm được, ta nhận thấy rằng năng lượng của hạt khi chuyển động trong thế giới vi mô không thể nhận giá trị liên tục tùy ý như khi chuyển động trong thế giới vĩ mô mà chỉ có thể nhận những giá trị gián đoạn theo từng mức năng lượng. • Khi hạt chuyển động ở mức năng lượng thấp nhất ứng với n = 1, E1 = π 2 ~2 > 0, 2ma2 ta thấy năng lượng luôn lớn hơn không. Điều này có nghĩa là, trong thế giới vi mô không tồn tại một hạt ở trạng thái đứng yên, mà các hạt luôn luôn ở trạng thái chuyển động. Những tính chất này không thể gặp trong cơ học cổ điển. Trang 13 Chương II 2 Luận văn tốt nghiệp Hàng rào thế - Hiệu ứng đường ngầm Trong cơ học lượng tử, hàng rào thế là bài toán một chiều phổ biến mô tả hiện tượng truyền qua và phản xạ của các hạt khi chuyển động qua những rào thế khác nhau [1],[2]. Ở bài toán này, chúng ta sẽ giải phương trình Schrödinger dừng cho một hạt tự do để khảo sát những hiệu ứng lượng tử tương ứng của nó. Trong trường hợp hàng rào thế năng, ta sẽ xét hai dạng hàng rào thế đơn giản là rào thế bậc thang và rào thế chữ nhật. a) Rào thế bậc thang Xét một hạt chuyển động một chiều trong hố thế năng dạng bậc thang vuông góc với hàm thế năng có dạng: Hình II.2: Rào thế bậc thang ( 0, x<0 (II.13a) V0 , x≥0 (II.13b) V (x) = Vì hàm thế năng không phụ thuộc vào thời gian nên phương trình Schrödinger khi đó được viết dưới dạng dừng:  − ~2 d2 2m d2 x  + V (x) ψ(x) = Eψ(x), Trang 14 (II.14) Chương II Luận văn tốt nghiệp hay dưới dạng vi phân: ψ 00 (x) − 2m ~2 [V (x) − E(x)]ψ(x) = 0. (II.15) Để giải tìm hàm sóng cho hố thế dạng này, ta chia không gian thành hai miền và giải phương trình Scgrödinger ứng với hai trường hợp của năng lượng so với hàng rào thế: E > V0 và E ≤ V0 .  Trước hết, ta xét trường hợp năng lượng cao hơn chiều cao rào thế: E > V0 • Miền I: (x < 0) Phương trình Schrödinger cho miền I sẽ là: ψ 00 (x) + k12 ψ(x) = 0, với k1 = (II.16) √ 2mE/~. Giải phương trình vi phân (II.16), ta tìm được nghiệm cho miền I dưới dạng: ψI (x) = Aeik1 x + Be−ik1 x . (II.17) • Miền II: (x ≥ 0) Phương trình Schrödinger cho miền II: ψ 00 (x) + k22 ψ(x) = 0, với: k2 = p (II.18) 2m(E − V0 )/~ Giải phương trình vi phân (II.18), ta tìm được nghiệm cho miền II dưới dạng: ψII (x) = Ceik2 x + De−ik2 x . (II.19) Xét thấy miền II chỉ có sóng truyền qua nên D = 0. Đồng thời, dựa vào điều kiện chuẩn hóa ta sẽ chọn: A = 1. Khi đó, nghiệm của của phương trình Schrödinger cho miền I và miền II lần lượt là: ψI (x) = eik1 x + Be−ik1 x , (II.20) ψII (x) = Ceik2 x . (II.21) Trang 15 Chương II Luận văn tốt nghiệp Dựa vào điều kiện liên tục của hàm sóng: ψI (0) = ψII (0), ψ˙I (0) = ψ˙II (0), ta có hệ phương trình:   1 + B = C  1 − B = k2 C (II.22) k1 (II.23) Giải hệ phương trình (II.22), ta tính được các hệ số B và C như sau:    C = 2 1 + k2 /k1 1 − k2 /k1   B = 1 + k2 /k1 (II.24) Do đó, ta cũng tìm được hệ số phản xạ R và hệ số truyền qua T dưới dạng: 2    1 − k /k 2 1  , R = |B|2 =  1 + k2 /k1  T = |C|2 4k2 /k1 k2 = . k1 (1 + k2 /k1 )2 (II.25) (II.26) Nhận xét [1]: • Từ các biểu thức (II.25) và (II.26) tương ứng xác định hệ số phản xạ R và hệ số truyền qua T như trên, ta nhận thấy rằng: R + T = 1 với mọi giá trị k1 và k2 , điều này cho thấy số hạt trung bình luôn được bảo toàn. • Tiếp theo, ta xét các giá trị giới hạn khi E → ∞ và E → V0 : Xét tỉ số: k2 = k1 r 1− V0 , E nên hệ số phản xạ được viết lại như sau:    1 − p1 − V /E 2 0   p R=  .  1 + 1 − V0 /E  (II.27) (II.28) Dựa vào biểu thức (II.28) ta thấy khi E → ∞ : R → 0, T → 1 nên không có hạt bị phản xạ tại rào thế. Ngược lại, khi E → V0 : R → 1, T → 0 nên hạt bị phản xạ hoàn toàn tại rào thế. Trang 16 Chương II Luận văn tốt nghiệp  Tiếp theo, ta xét trường hợp năng lượng thấp hơn hoặc bằng chiều cao rào thế: E ≤ V0 • Miền I: (x < 0) Phương trình Schr0̈dinger tương tự như đối với trường hợp E > V0 . • Miền II: (x ≥ 0) Phương trình Schr0̈dinger trong trường hợp này được viết lại dưới dạng: ψ 00 (x) − κ2 ψ(x) = 0, với κ = p (II.29) 2m(V0 − E)/~. Vì hàm sóng phải thỏa điều kiện hữu hạn nên ta chọn nghiệm trong miền II sao cho khi x → ±∞ thì hàm sóng triệt tiêu. Do đó hàm sóng cho miền II được chọn sẽ là: ψII (x) = Ce−κx . Vì vậy, hàm sóng cho miền I và miền II lần lượt là: ψI (x) = eik1 x + Be−ik1 x , (II.30) ψII (x) = Ce−κx . (II.31) Tương tự như đối với miền I, ta xét điều kiện liên tục của hàm sóng tại biên (x = 0) và thu được hệ phương trình sau:   1 + B = C  1 − B = κ C (II.32) ik1 Giải hệ phương trình (II.32), ta tìm được hệ số B và C tương ứng:   1 − iκ/k1  B =   C = 1 + iκ/k1 2 1 + iκ/k1 Trang 17 (II.33) Chương II Luận văn tốt nghiệp Từ hệ phương trình (II.33) xác định hệ số B và C , ta cũng tương tự tính được hệ số phản xạ R và hệ số truyền qua T như sau:    1 − iκ/k1 2  = 1, R =  1 + iκ/k1  (II.34) T = 0. (II.35) Nhận xét: Khi hạt chuyển động với năng lượng nhỏ hơn so với chiều cao rào thế (E ≤ V0 ), ta thấy hạt sẽ bị phản xạ (do R = 1). Nếu hạt có truyền qua được rào thế thì cũng bị triệt tiêu rất nhanh nên trong trường hợp này ta có thể xem như hạt bị phản xạ toàn phần. Kết luận cho trường hợp hạt chuyển động qua rào thế bậc thang: Bằng việc giải phương trình vi phân bậc hai cho rào thế bậc thang, ta cũng tìm được nghiệm chính xác của hàm sóng ứng với mỗi vùng không gian khác nhau. Tính được xác suất truyền qua và phản xạ khi hạt chuyển động ứng với mức năng lượng cao hơn hay thấp hơn hàng rào thế năng. Dựa vào đó, ta nhận thấy khi một hạt chuyển động qua rào thế có những tính chất khác biệt mà chúng ta không thể có trong thế giới vĩ mô. b) Rào thế hình chữ nhật Ngoài dạng rào thế bậc thang như đã xét bên trên, ta sẽ xét thêm một trường hợp khác, khi một hạt chuyển động qua rào thế vuông góc có bề rộng hữu hạn. Tương tự, ta sẽ sẽ đi tìm hàm sóng cho từng miền tương ứng với từng trường hợp của năng lượng so với chiều cao rào thế, sau đó nhận xét xác suất truyền qua và phản xạ của một hạt khi chuyển động qua hố thế dạng này. Rào thế được xác định bởi hàm thế năng: Trang 18 Chương II Luận văn tốt nghiệp Hình II.3: Rào thế chữ nhật ( 0, khi |x| > a (II.36a) V0 , khi −a ≤ x ≤ a (II.36b) V (x) = Vì hàm thế năng không phụ thuộc vào thời gian, nên ta có thể viết được phương trình Schrödinger dừng dưới dạng vi phân: ψ 00 (x) − 2m ~2 [V (x) − E]ψ(x) = 0. (II.37) Tương tự như đối với rào thế bậc thang, trong rào thế chữ nhật này ta cũng sẽ khảo sát bài toán khi hạt chuyển động ứng với hai trường hợp của năng lượng, khi E > V0 và khi E ≤ V0 .  Trước tiên, ta xét trường hợp năng lượng cao hơn chiều cao rào thế: E > V0 • Miền I (x < −a) và miền III (x > a): V0 = 0 Phương trình Schrödinger khi đó: ψ 00 (x) + k12 ψ(x) = 0, Trang 19 (II.38)