Tài liệu Hệ tham số và số bội luận văn thạc sĩ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH HÀ QUANG PHỤC HỆ THAM SỐ VÀ SỐ BỘI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyªn ngµnh: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 Người hướng dẫn khoa học TS. NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN Nghệ An – 2012 0 MỤC LỤC Mục lục………………………………………………………...……..... Mở đầu……………………..………………………………………….. Chương 1. Kiến thức chuẩn bị……………………………………….. 1.1 Iđêan nguyên tố, iđêan cực đại và iđêan nguyên sơ………………… 1.2 Môđun Noether và môđun Artin…………………………………… 1.3 Môđun có độ dài hữu hạn…………………………………………... 1.4 Chiều Krull của vành và môđun……………………………………. Chương 2. Hệ tham số và số bội…………………………………….... 2.1 Hệ tham số………………………………………………………….. 2.2 Hệ bội…………………………………………………………….… 2.3 Số bội hình thức……………………………………….……………. 2.4 Đa thức Hilbert và bội Hilbert-Samuel…………….………………. Kết luận………………………………………………………………… Tài liệu tham khảo………………………………….…………………. 1 2 4 4 4 5 7 9 9 13 17 31 37 38 MỞ ĐẦU Chiều, bội, hệ tham số là ba đối tượng mật thiết, quyết định đến cấu trúc của một môđun. Đó cũng là ba khái niệm cơ bản nhất khi nói đến Đại số giao hoán. Lý thuyết bội cho môđun Noether đóng vai trò rất quan trọng trong Đại số giao hoán và Hình học đại số. Thông qua việc nghiên cứu số bội, người ta có thể nói lên cấu trúc của các vành Noether và các môđun hữu hạn sinh trên vành Noether. Một ví dụ điển hình là các lớp môđun quen thuộc trong Đại số 1 giao hoán như môđun Cohen – Macaulay, môđun Buchsbaum và môđun Cohen – Macaulay suy rộng đều được đặc trưng qua hệ tham số và số bội. Cho (R, m) là một vành giao hoán địa phương Noether và M là một R- môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dim M = d 0. Một hệ gồm d phần tử x1, ..., xd trong m được gọi là một hệ tham số của M nếu độ dài của môđun thương M/(x1,..., xd)M hữu hạn. Cho I là một iđêan của R sao cho độ dài lR(M/IM) < + . Khi đó hàm số lR(M/In+1M) theo biến n là một đa thức bậc d, hệ số hữu tỷ khi n đủ lớn. Hệ số cao nhất của đa thức này dương và đa thức này chỉ nhận giá trị nguyên không âm với mọi giá trị nguyên n đủ lớn. Đa thức này được gọi là đa thức Hilbert- Samuel và thường được biểu diễn dưới dạng: d n  d  i  PIM (n)   ei   i 0  d  k  trong đó   là kí hiệu của tổ hợp chập k của d phần tử, với ei là các số d  nguyên với mọi 0  i  d, trong đó e0 dương. Số nguyên dương e0 mang nhiều thông tin quan trọng về môđun M, đặc biệt về góc độ hình học thì nó liên quan đến số bội của một điểm hay bậc của đa tạp. e0 được gọi là bội Hilbert- Samuel của môđun M theo iđêan I. Bội Hilbert- Samuel cũng chính là số bội hình thức được định nghĩa bằng qui nạp khi I là một iđêan tham số (tức I là iđêan sinh bởi một hệ tham số). Khi I = m thì e0 được gọi là bội Hilbert- Samuel của môđun M và được kí hiệu là e(M). Mục đích của Luận văn là dựa vào các tài liệu tham khảo để trình bày lại một cách có hệ thống một số vấn đề về hệ tham số và số bội. Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, Luận văn được chia làm hai chương. Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở của đại số giao hoán có sử dụng trong luận văn. Ngoài ra chúng tôi còn trích dẫn một số kết quả đã có dưới dạng những mệnh đề nhằm phục vụ cho các chứng minh ở phần sau. 2 Chương 2: Trong phần này chúng tôi trình bày về định nghĩa và các tính chất của hệ tham số, hệ bội, số bội hình thức cũng như bội Hilbert-Samuel và mối quan hệ giữa bội Hilbert-Samuel và số bội hình thức. Luận văn được hoàn thành vào tháng 01 năm 2012 tại trường Đại học Đồng Tháp dưới sự hướng dẫn của cô giáo TS. Nguyễn Thị Hồng Loan. Nhân dịp này chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô, người đã hướng dẫn tận tình trong quá trình học tập và nghiên cứu. Chúng tôi xin cám ơn các thầy giáo, cô giáo Khoa Toán, Khoa Sau đại học, các đồng nghiệp và gia đình đã giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong suốt quá trình học tập. Nghệ An, tháng 01 năm 2012 Tác giả Chương I. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở của Đại số giao hoán có sử dụng trong Luận văn. Ngoài ra chúng tôi còn trích dẫn một số kết quả đã có dưới dạng những mệnh đề nhằm phục vụ cho các chứng minh ở phần sau. Trong toàn bộ Luận văn vành luôn được giả thiết là giao hoán và có đơn vị 1  0. 1.1 Iđêan nguyên tố, iđêan cực đại và iđêan nguyên sơ Cho R là một vành. 3 (i) Iđêan p của R được gọi là iđêan nguyên tô nếu p  R và với mọi x, y  R mà xy  p thì x p hoặc y  p. Kí hiệu SpecR là tập tất cả các iđêan nguyên tố của vành R. Khi đó SpecR được gọi là phổ của vành R. (ii) Iđêan mcủa R được gọi là iđêan cực đại nếu m  R và nếu I là một iđêan của R, I �m thì I=R. Kí hiệu J  R  là giao tất cả các iđêan cực đại của vành R. Khi đó J  R  là một iđêan của R và J  R  được gọi là căn Jacobson của vành R. Vành R được gọi là nửa địa phương nếu R có hữu hạn iđêan cực đại, vành R được gọi là vành địa phương nếu R có duy nhất một iđêan cực đại. (iii) Iđêan q của R được gọi là iđêan nguyên sơ nếu q  R và x , y  R mà xy  q và nếu x  q thì n  � sao cho y n  q. 1.2 Môđun Noether và môđun Artin 1.2.1 Định nghĩa. Cho R là vành giao hoán có đơn vị và M là một R-môđun. Môđun M được gọi là môđun Noether nếu thỏa một trong các điều kiện tương đương sau: (i) Mỗi tập khác rỗng các môđun con của M đều có phần tử cực đại; (ii) Mỗi dãy tăng các môđun con của M M 0  M 1  ...  M n  ... đều dừng, nghĩa là M k  M k 1 với mọi k đủ lớn. (iii) Mỗi môđun con của M đều hữu hạn sinh. Vành R được gọi là vành Noether nếu nó là một R- môđun Noether. 1.2.2 Định nghĩa. Cho R là vành giao hoán có đơn vị và M là một R-môđun. Môđun M được gọi là môđun Artin nếu thỏa một trong các điều kiện tương đương sau: (i) Mỗi tập khác rỗng các môđun con của M đều có phần tử cực tiểu; (ii) Mỗi dãy giảm các môđun con của M, M 0  M1  ...  M n  ... 4 đều dừng, nghĩa là M k  M k 1 với mọi k đủ lớn. Vành R được gọi là vành Artin nếu nó là một R- môđun Artin. 1.2.3 Mệnh đề. Cho R là vành giao hoán có đơn vị và một dãy khớp ngắn các R- môđun 0  N  M  P  0 . Khi đó M là Noether (tương ứng Artin) nếu và chỉ nếu N và P là Noether (tương ứng Artin). 1.2.4 Hệ quả. Tổng trực tiếp của một họ hữu hạn các R- môđun Noether (tương ứng Artin) là một R- môđun Noether (tương ứng Artin). 1.2.5 Định lí (Định lí cơ sở Hilbert) Nếu R là một vành Noether thì vành đa thức R[ X ] cũng là một vành Noether. 1.2.6 Hệ quả. Nếu R là một vành Noether thì vành đa thức R[ X 1 , X 2 ,..., X n ] cũng là một vành Noether. 1.2.7 Mệnh đề. Mỗi iđêan nguyên tô trong vành Artin R là một iđêan cực đại. 1.2.8 Bổ đề (Artin- Rees). Giả sử M là một môđun hữu hạn sinh trên vành Noether R và I là một iđêan của R, N là môđun con của M. Khi đó tồn tại sô nq q n nguyên q  0 sao cho I  I M  N   I M  N , n  q . 1.2.9 Định lí. Giả sử M là một R- môđun Noether và I là một iđêan được  chứa trong căn Jacobson của R. Khi đó I I nM  0 . n 1 1.3 Môđun có độ dài hữu hạn 1.3.1 Định nghĩa. Một R-môđun khác môđun không được gọi là môđun đơn, nếu nó chỉ có hai môđun con là môđun con không và chính nó. 1.3.2 Định nghĩa. Một dãy hợp thành của R-môđun M là một dãy giảm gồm một số hữu hạn các môđun con M  M0  M1  ...  Mn   0 sao cho Mi / Mi 1  0  i  n  1 là các môđun đơn. Khi đó số n được gọi là độ dài của dãy hợp thành. Môđun M có một dãy hợp thành được gọi là một môđun có dãy hợp thành. 5 1.3.3 Định lí (Định lí Jordan- Holder). Nếu R-môđun M có một dãy hợp thành với độ dài n, thì tất cả các dãy hợp thành của M cũng có độ dài n. Hơn thế nữa, mỗi dãy tăng hoặc giảm thực sự các môđun con của M đều có độ dài không vượt quá độ dài của các dãy hợp thành, và đều có thể mở rộng thành một dãy hợp thành. 1.3.4 Định nghĩa. Nếu R-môđun M có dãy hợp thành, thì tất cả các dãy hợp thành của M có cùng độ dài. Khi đó độ dài của các dãy hợp thành của M được gọi là độ dài của môđun M và kí hiệu là lR  M  . Nếu R- môđun M không có dãy hợp thành thì ta quy ước độ dài lR ( M )   và gọi là môđun có độ dài vô hạn. 1.3.5 Định lí. Một R-môđun M có độ dài hữu hạn khi và chỉ khi M vừa là Noether vừa là Artin. 1.3.6 Định lí (Tính cộng tính của độ dài). Cho R là một vành giao hoán có đơn vị và một dãy khớp ngắn các R-môđun 0  N  M  P  0 . Khi đó M có độ dài hữu hạn khi và chỉ khi N và P có độ dài hữu hạn và ta luôn có lR ( M )  lR ( N )  lR (P ) . Hơn nữa, nếu 0  M1  M 2  ...  M p  0 là dãy khớp các R- môđun có p độ dài hữu hạn thì   1 i 1 i l R  Mi   0. 1.3.7 Hệ quả. Nếu R là một vành giao hoán và N là một R-môđun con của R-môđun M thì lR ( M )  lR ( N )  lR ( M / N ). 1.3.8 Mệnh đề. Giả sử K, N ( K  N )là các môđun con của R-môđun M. Khi đó lR  M / K   lR  M / N   lR  N / K  . 1.3.9 Bổ đề. Giả sử M là một R- môđun có độ dài hữu hạn và N là môđun con của M. Khi đó (i) N cũng có dãy hợp thành với lR ( N )  l R ( M ) và dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi N=M; (ii) Môđun thương M/N cũng có dãy hợp thành với lR ( M / N )  lR ( M ). 6 1.3.10 Định nghĩa. Cho R là một vành địa phương Noether với iđêan cực đại m , M là một R-môđun hữu hạn sinh. Một iđêan I  mcủa R được gọi là iđêan xác định của M (hay còn gọi là iđêan định nghĩa) nếu lR  M / IM  hữu hạn. 1.3.11 Mệnh đề. Nếu I là một iđêan xác định của M thì I cũng là iđêan xác định của các môđun con và môđun thương của M. 1.3.12 Mệnh đề. Cho N là một R-môđun con của M và x là một phần tử của vành R. Khi đó ta có đẳng cấu M /  N  xM    M / N  / x  M / N  . 1.3.13 Định nghĩa. Cho M là một R- môđun, với mỗi x  M ta kí hiệu AnnR ( x)   a  R ax  0 và AnnR M   a  R aM  0   a  R ax  0, x  M  . Ta có AnnR ( x) và AnnR M là những iđêan của M; AnnR M được gọi là linh hóa tử của môđun M. Ta còn viết Ann(x), AnnM thay cho AnnR ( x) và AnnR M . 1.4 Chiều Krull của vành và môđun Một xích các iđêan nguyên tô của R là một dãy hữu hạn, tăng thực sự các iđêan nguyên tố của vành R có dạng p0  p1  ...  pn trong đó pi-1  pi với mọi i  1,2,..., n . Số nguyên n được gọi là độ dài của xích. 1.4.1 Định nghĩa. Chiều Krull của một vành R là cận trên đúng của tất cả các xích nguyên tố trong R. Chiều Krull của R được ký hiệu là dim R . Cho M là R- môđun. Khi đó chiều Krull của M được kí hiệu là dim RM (hoặc dimM), là dimR/AnnM nếu M khác môđun không, và nếu M là môđun không thì quy ước dim M  1 . Cho (R, m) là một vành địa phương Noether với iđêan cực đại mvà M là một R- môđun hữu hạn sinh. Khi đó SuppM/ mM = { m}, nên lR(M/ mM) hữu hạn. Hàm lR(M/ mn+1M) là một đa thức theo biến n khi n đủ lớn. Ký hiệu đa thức này là PmM(n). Mặt khác, vì m hữu hạn sinh nên luôn tồn tại một số nguyên nhỏ nhất r sao cho có thể chọn được r phần tử a 1 , a 2 ,…, a r thuộc m để lR(M/(a 1 ,a 2 ,…,a r )M) <  . Ta có khái niệm sau. 7 1.4.2 Định nghĩa. Cho (R, m) là một vành địa phương Noether với iđêan cực đại m, và M là một R -môđun hữu hạn sinh và khác không. (i) deg PmM(n) là một bất biến của môđun M được ký hiệu là d(M) và gọi là cực điểm của môđun M. (ii) Chiều Chevalley, kí hiệu s(M) của M, là số nhỏ nhất r sao cho tồn tại a 1 , a 2 ,…,a r  m để lR (M/ ( a 1 ,a 2 ,…,a r )M) <  . Nếu M là môđun 0, thì người ta quy ước s(M) = -1. Cho M là một môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương Noether R, khi đó ba bất biến của M: cực điểm d(M); chiều Krull dimM; chiều Chevaley s(M) được thống nhất qua định lí cơ bản sau đây. 1.4.3 Định lí (Định lí cơ bản về chiều). Cho M là một R- môđun hữu hạn sinh trên một vành địa phương Noether R. Khi đó ta có dim M = d(M) = s(M). Chương II. HỆ THAM SỐ VÀ SỐ BỘI 2.1 Hệ tham số Cho R là mô ôt vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêan cực đại duy nhất m; M là một R-môđun hữu hạn sinh có chiều Krull dim M  d  0. Khi đó theo Định lí cơ bản về chiều, thì sẽ tồn tại một hệ gồm d phần tử x :  x1, x2 ,..., xd  của m sao cho l R ( M / ( x1,..., xd )M )   . 8 2.1.1 Định nghĩa. Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương Noether với iđêan cực đại duy nhất m; có chiều Krull dim M  d  0. Khi đó hệ gồm d phần tử x :  x1, x2 ,..., xd  của m sao cho l R ( M / ( x1,..., xd ) M )   , được gọi là mô ôt hê ê tham sô của môđun M. Iđêan  x1, x2 ,..., xd  được sinh bởi một hệ tham số được gọi là iđêan tham sô. Nếu x :  x1, x2 ,..., xd  là mô ôt hê ô tham số của môđun M thì hệ các phần tử  x1, x2 ,..., xi  (i  d ) được gọi là mô êt phần hê ê tham sô của M. 2.1.2 Nhận xét. Từ định nghĩa ta thấy rằng nếu x :  x1, x2 ,..., xd  là một hệ tham số của môđun M thì mọi hoán vị của của nó cũng là mô ôt hê ô tham số của môđun M. Hơn nữa, nếu x1 , x2 ,..., xd là một hệ tham số của M, và x1 , x2 ,..., xd tương ứng là ảnh của x1 , x2 ,..., xd trong S  R / AnnM . Khi đó bởi dim M  dim S  d , và iđêan ( x1 , x2 ,..., xd ) là mS-nguyên sơ, nên x1 , x2 ,..., xd cũng là hệ tham số của S. 2.1.3 Ví dụ. Với K là trường, thì vành các chuỗi lũy thừa hình thức với các biến X1 , X2 ,..., Xn ; R  K [[ X1 , X2 ,..., Xn ]] là một vành địa phương Noether chiều n. Khi đó X1 , X 2 ,..., Xn là một hệ tham số của R. Sau đây là một số tính chất của hệ tham số. 2.1.4 Mệnh đề. Nếu x :  x1, x2 ,..., xd  là mô êt hê ê tham sô của môđun M và n :  n1, n2 ,..., nd  là một bộ gồm d sô nguyên dương thì x(n) :  x1n1 ,..., xdnd  cũng là mô êt hê ê tham sô của môđun M. Chứng minh. Ta chứng minh bằng quy nạp. 1 R / x12 R   R / x1R   0. Với d  1 , xét dãy khớp R / x1R  x Áp dụng hàm tử Tenxơ R / aR  R   R M vào dãy khớp và chú ý rằng M  M / aM , ta nhận được dãy khớp 9 1 M / x1M  x M / x12 M   M / x1M   0 . 2 Suy ra lR  M / x1 M   2lR  M / x1M  . Tương tự dẫn đến   lR M / x1n1 M  n1lR  M / x1M  . Bây giờ giả sử d  1 . Đặt E  M / x1n1 M và F  M / ( x2 , x3 ,..., xd ) M . Khi đó theo giả thiết quy nạp theo d ta được    F / x F   n n ...n l  M / ( x , x ,..., x )M  . lR  M / x  n  M   lR E / ( x2 n2 , x3n3 ,..., xd nd ) E  n1n2 ...nd lR  E / ( x2 , x3 ,..., xd ) E   lR n1 1 1 2 d R 2 3 d Mặt khác, l R ( M / ( x1,..., xd )M )   và n1, n2 ,..., nd là các số nguyên dương nên lR  M / x  n  M    .  n n Vậy x(n) : x1 1 ,..., xd d  cũng là mô ôt hê ô tham số của môđunM.  2.1.5 Mệnh đề. Cho M là một môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương Noether (R,m) với m là iđêan cực đại của R, và dim M  d  0 . Khi đó nếu x1 , x2 ,...xi  m  i  d  thì dim M  d  i và dấu đẳng thức xảy ra  x1, x2 ,..., xi  M khi và chỉ khi x1 , x2 ,...xi là một phần của hệ tham sô. Chứng minh. Trước hết ta thấy rằng nếu I, J là các iđêan của vành R và đặt N = M/IM, thì N/JN = (M/IM)/J(M/IM) = (M/IM)/[(I+J)M/IM]  M/(I+J)M. Từ đó suy ra nếu N = M/aM, thì N/( x1 , x2 ,...xi )N  M/( x1 , x2 ,...xi )M. Bây giờ ta chứng minh mệnh đề trên bằng quy nạp theo i. Với i  1 , đặt N  M / x1M . Giả sử dim N  s và y1 , y2 ,..., ys là một hệ tham số của N. Khi đó N / ( y1, y2 ,..., ys ) N  M / ( x1, y1, y2 ,..., ys ) M có độ dài hữu hạn. Từ đó suy ra dim M / x1M  dim N  s và s  1  dim M . Vậy dim M / x1M  dim M  1. Với i  1 và giả sử bất đẳng thức đúng với mọi giá trị nhỏ hơn i, ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với i. 10 Đặt N  M / x1M , khi đó N / ( x2 ,..., xi )N  M / ( x1 , x2 ,..., xi ) M . Vì dim N  dim M  1 và từ giả thiết quy nạp ta có dim N / ( x2 ,..., xi ) N  dim N   i  1 . Vậy dim M / ( x1 , x2 ,..., xi ) M  dim M  i . Tiếp theo ta giả sử dim M / ( x1 , x2 ,..., xi )M  dim M  i . Gọi xi1 , xi  2 ..., xd là một hệ tham số của N  M / ( x1 , x2 ,..., xi ) M . Khi đó N / ( xi1 , xi  2 ..., xd ) N  M / ( x1, x 2 ..., xi1 , xi  2 ..., xd ) M có độ dài hữu hạn. Như vậy x1 , x2 ..., xi1, xi  2 ..., xd là một hệ tham số của M. Do đó x1 , x2 ,..., xi là một phần hệ tham số của M. Ngược lại, giả sử x1 , x2 ,..., xi là một phần hệ tham số của M. Khi đó tồn tại xi1 , xi 2 ..., xd sao cho x1 , x2 ..., xi1 , xi 2 ..., xd là một hệ tham số của M.Lại đặt N  M / ( x1 , x2 ,..., xi ) M thì N / ( xi1 , xi 2 ..., xd )N  M / ( x1 , x2 ..., xi1 , xi 2 ..., xd ) M có độ dài hữu hạn. Do đó dim N  d  i . Mặt khác như trên thì dim N  d  i . Vậy dim M / ( x1 , x2 ,..., xi ) M  dim N  d  i . 2.1.6 Mệnh đề. Cho x1 , x2 ,..., xd là một hệ tham sô của vành địa phương Noether (R,m) với iđêan cực đại m, và iđêan tham sô Q   x1 , x2 ,..., xd  . Giả sử rằng f ( X1 , X 2 ,..., Xd )  R[ X1 , X2 ,..., X d ] là một đa thức thuần nhất bậc s có f ( x1 , x2 ,..., xd )  Q s1 . Khi đó tất cả các hệ sô của f nằm trong m. Chứng minh. Giả sử G(Q) là vành phân bậc liên kết của Q. Khi đó G(Q)  R / Q[ x1 , x2 ,..., xd ] với x1 , x2 ,..., xd tương ứng là ảnh của x1 , x2 ,..., xd trong Q / Q 2 . Xét toàn cấu phân bậc bậc không 11 F : S  R / Q[ X1 , X 2 ,..., Xd ]  R / Q[ x1, x 2 ,..., x d ] cho bởi Xi a xi với i  1, 2,..., d . Nếu tất cả các hệ số của f không thuộc vào m, khi đó f có ít nhất một hệ số là phần tử khả nghịch trong R. Do đó f là ảnh của f trong S cũng có ít nhất một hệ số là phần tử khả nghịch trong R/Q. Từ giả thiết về f ta suy ra f  ker F , lại vì f không là ước của không trong S. Nên trong trường hợp này ta có: d (G(Q))  d (S / ker F )  d  S / ( f )   d ( S)  1. Lại vì d (S )  d . Do đó d (G(Q))  d  1 . Nhưng theo Định lí cơ bản về chiều thì d (G (Q))  d  dim M (mâu thuẫn). Vậy các hệ số của f đều nằm trong m.  2.1.7 Hệ quả. Cho (R,m) là vành địa phương Noether chiều d với iđêan cực đại m và trường thặng dư R/m . Cho K  R là một trường đẳng cấu với trường con của trường R/m. Giả sử x1 , x2 ,..., xd là một hệ tham sô của R. Khi đó x1 , x2 ,..., xd độc lập đại sô trên K. Chứng minh. Giả sử trái lại x1 , x2 ,..., xd không độc lập đại số trên K. Khi đó tồn tại f ( X1 , X 2 ,..., X d )  K [ X1 , X 2 ,..., X d ] là một đa thức khác không, để f ( x1 , x2 ,..., xd )  0 .Viết đa thức f  g  q với g là tổng của tất cả các hạng tử bậc s thấp nhất của f, còn q là đa thức bậc không hoặc là tổng tất cả các hạng tử có bậc lớn hơn s của f. Khi đó g là đa thức khác không thuần nhất bậc s. Lại vì f ( x1 , x2 ,..., xd )  g  x1 , x2 ,..., xd   q  x1 , x2 ,..., x d   0 s 1 nên g  x1 , x2 ,..., xd   q  x1, x2 ,..., xd  . Ta có q  x1 , x2 ,..., xd   Q . Do Mệnh đề 2.1.6 thì các hệ số của g nằm trong m. Điều này mâu thuẫn với giả thiết về các hệ số của f nằm trong K. Vậy f  0 và do đó x1 , x2 ,..., xd độc lập đại số trên K.  12 2.2 Hệ bội Trong phần này ta kí hiệu: x :  x1 , x2 ,..., xt  ,   x  n   x1n1 , x2 n2 ,..., xt nt , xM :  x1M  x2 M  ...  xt M  ,   x  n  M : x1n1 M  x2 n2 M  ...  xt nt M , M / xM : M /  x1M  x2 M  ...  xt M  ,   M / x  n  M : M / x1n1 M  x2 n2 M  ...  xt nt M . 2.2.1 Định nghĩa. Cho M là một R- môđun và x1 , x2 ,..., xt  t  0  là các phần tử của vành R. Khi đó hệ các phần tử x :  x1 , x2 ,..., xt  được gọi là hệ bội của M nếu R- môđun M /  x1M  x2 M  ...  xt M  có độ dài hữu hạn. Khi t  0 điều kiện này được hiểu là lR  M    . Từ định nghĩa trên ta thấy, mỗi hệ tham số của M cũng là hệ bội của M nhưng điều ngược lại nói chung không đúng, ta luôn có t  d . 2.2.2 Bổ đề. Giả sử M là một R- môđun và x1 , x2 ,..., xt là các phần tử của vành R. Khi đó lR  M / x  n  M   n1n2 ...nt lR  M / xM  (a) với n1 , n2 ,..., nt là các sô nguyên dương tùy ý. Chứng minh. Trước hết ta chứng minh lR  M / ( x1n1 M  x2 M  ...  xt M )   n1lR  M / xM  . (b) Đặt M '  M /  x2 M  x3 M  ...  xt M  , áp dụng Mệnh đề 1.3.12 ta có đẳng cấu   M '/ x1n1 M '  M / x1n1 M  x2 M  ...  xt M .   n n Do đó lR  M '/ x1 1 M '   lR M /  x1 1 M  x2 M  ...  xt M  . Khi đó n (b)  lR  M '/ x1 1 M '  n1lR  M '/ x1M ' ( vì M / xM  M '/ x1M ' ). 13 Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với t  1 . Đặt n  n1 và x  x1 , ta chỉ ra rằng lR  M / x n M   nlR  M / xM  . n n i 1 i Thật vậy theo Mệnh đề 1.3.8 ta có lR  M / x M    lR  x M / x M  . i 1 i 1 i Ta cần chứng minh lR  x M / x M   lR  M / xM  , i  1, n. Xét tương ứng  : M  xi 1M . m a x i 1m 1 i i 1 Ta có  là một toàn cấu R- môđun và   x M    0 : M x   xM . Vì vậy ta i 1 i i 1 có đẳng cấu x M / x M  M /  0 : M x  xM  . Do đó   lR  xi 1M / xi M   lR M /  0 : M x i 1  xM   lR  M / xM  , i  1, n . n Suy ra lR  M / x M   nlR  M / xM  . Vậy ta có (b). Áp dụng (b) t lần ta được (a).  2.2.3 Hệ quả. Giả sử các phần tử x1 , x2 ,..., xt là một hệ bội của M. (i) Nếu xi M  0 thì các phần tử x1 , x2 ,..., xi 1 , xi1 ,..., xt cũng là hệ bội của M. ii) Với các sô nguyên dương tùy ý n1 , n2 ,..., nt . Khi đó x  n  cũng là hệ bội của M. (iii) Nếu M’ là môđun thương của M thì x1 , x2 ,..., xt cũng là một hệ bội của M’. Chứng minh. (i) Hiển nhiên theo định nghĩa. (ii) Ta có lR  M / x  n  M   n1n2 ...ntlR  M / xM  và do lR  M / xM    suy ra n1n2 ...nt lR  M / xM    . (iii) Giả sử M '  M / K với K là môđun con của M. Khi đó x1M ' x2 M ' ...  xt M '   K  x1M  x2 M  ...  xt M  / K 14 Mặt khác, theo Mệnh đề 1.3.12 ta có đẳng cấu M '/  x1M ' x2 M ' ...  xt M '   M /  K  x1M  x2 M  ...  xt M  . Suy ra lR  M '/  x1M ' x2 M ' ...  xt M '    lR  M /  K  x1M  x2 M  ...  xt M    lR  M /  x1M  x2 M  ...  xt M     . Vậy x1 , x2 ,..., xt cũng là một hệ bội của M’.  2.2.4 Bổ đề. Giả sử 0  M '  M  M "  0 là một dãy khớp các R- môđun và x1 , x2 ,..., xt các phần tử của vành R. Khi đó lR  M / xM   lR  M '/ xM '  lR  M "/ xM " . Hơn thế nữa, nếu x :  x1 , x2 ,..., xt  là hệ bội của M’ và M” thì x cũng là hệ bội của M. Chứng minh. Không mất tính tổng quát, giả sử M’ là môđun con của M và M”=M/M’. Khi đó x1M '' x2 M '' ...  xt M ''   M ' x1M  x2 M  ...  xt M  / M ' . Theo mệnh đề 1.3.12 ta có M ''/ xM "  M /  M ' x1M  x2 M  ...  xt M  . Do đó lR  M ''/ xM "  lR  M /  M ' x1M  x2 M  ...  xt M   . Theo Mệnh đề 1.3.8 ta lại có lR  M / xM   lR  M /  M ' x1M  x2 M  ...  xt M    lR   M ' x1M  x2 M  ...  xt M  / xM  . Mặt khác, xM '  M ' xM  M ' nên lR  M '/ M 'ǣ xM   lR  M '/ xM '  . Vậy lR  M / xM   lR  M '/ xM '  lR  M "/ xM " . (*) Và nếu x là hệ bội của M’ và M” thì từ (*) suy ra lR  M / xM    . Hay x cũng là hệ bội của M.  15 2.2.5 Mệnh đề. Giả sử 0  M '  M  M "  0 là dãy khớp các R- môđun Noether và x1 , x2 ,..., xt các phần tử của vành R. Khi đó x :  x1 , x2 ,..., xt  là hệ bội của M khi và chỉ khi x là hệ bội của M’ và M”. Chứng minh. Không mất tính tổng quát, giả sử M’ là môđun con của M và M”=M/M’. Điều kiện đủ đã có (do Bổ đề 2.2.4). Ta chứng minh điều kiện cần. Đặt I  x1R  x2 R  ...  xt R . Khi đó theo Bổ đề Artin-Rees tồn tại một số nguyên q  0 sao cho I q 1M  M '  I  I q M  M '   IM ' . Do đó ta có lR  M '/ xM '  lR  M '/ IM '   lR  M '/ I q 1M  M '   lR  I q 1 M  M '  / I q 1M   lR  M / I q 1M  . Ta lại có x1q 1M  x2 q 1M  ...  xt q 1M  I q 1M .  q 1 q 1 q 1 Do đó lR  M '/ xM '  lR M /  x1 M  x2 M  ...  xt M     q  1 lR  M / xM    (do Bổ đề 2.2.2) t Vậy x :  x1 , x2 ,..., xt  là hệ bội của M’.  Từ mệnh đề trên chứng tỏ nếu x là hệ bội của M thì x cũng là hệ bội của môđun con và môđun thương của M. 2.2.6 Chú ý. Giả sử x :  x1 , x2 ,..., xt  là một hệ bội của R- môđun M và I là một iđêan của R sao cho IM  0 . Đặt R  R / I . Khi đó M cũng có cấu trúc là R - môđun. Ta kí hiệu xi là ảnh của xi trong R . Khi đó do xi M  xi M nên M / xM  M /  x1M  x2 M  ...  xt M  . Do đó ta có lR  M /  x1M  x2 M  ...  xt M    lR  M / xM    hay x1 , x2 ,..., xt cũng là hệ bội của M khi M được xem như là R - môđun. 16 2.3 Số bội hình thức 2.3.1 Định nghĩa. Giả sử M là một R- môđun Noether và x :  x1 , x2 ,..., xt  là hệ bội của M. Sô bội hình thức của M đối với hệ bội trên là một số nguyên không âm, kí hiệu là eR  x; M  và được định nghĩa bằng qui nạp sau đây. Với t  0 , trong trường hợp này tập rỗng cũng là hệ bội của M, nên lR  M    . Do đó đặt eR   ; M   lR  M  . (1) Với t  1 , ta có môđun thương M / x1M và môđun con 0 : M x1 cũng là Noether. Bởi Mệnh đề 2.2.5 thì x cũng là hệ bội của hai môđun trên. Nhưng x1 làm triệt tiêu môđun M / x1M do đó x2 , x3 ,..., xt cũng là hệ bội của M / x1M và 0 : M x1 . Vì vậy eR  x2 , x3 ,..., xt ; M / x1M  và eR  x2 , x3 ,..., xt ;0 : M x1  đã được xác định. Từ đó ta đặt eR  x; M   eR  x2 , x3 ,..., xt ; M / x1M   eR  x2 , x3 ,..., xt ;0 : M x1  . (2) Như vậy số bội hình thức đã được xác định bởi (1) và (2). Ta thấy rằng số bội eR  x; M  không đổi khi ta thay M bởi một môđun đẳng cấu với nó. Hơn nữa eR  x; M   0 nếu M là môđun không. Giả sử M là R- môđun Noether và I là một iđêan của R sao cho IM  0 . Đặt R  R / I và gọi xi là ảnh của xi trong R qua phép chiếu chính tắc. Khi đó M có cấu trúc là R - môđun Noether và theo Chú ý 2.2.6 thì x1 , x2 ,..., xt cũng là hệ bội của R - môđun M, hơn nữa x và x1 , x2 ,..., xt đều là hệ bội của M, do đó ta có eR  x; M   eR  x1, x2 ,..., xt ; M  . Thật vậy với t  0 thì eR  x; M   lR  M   lR  M   eR  x1 , x2 ,..., xt ; M  . Với t  0 , giả sử đẳng thức đúng với t  1 phần tử của hệ bội ta cần chứng minh đúng với số phần tử của hệ bội là t. Lại do M / x1M  M / x1M và 0 : M x1  0 : M x1 . Từ đó suy ra eR  x; M   eR  x2 , x3 ,..., xt ; M / x1M   eR  x2 , x3 ,..., xt ;0 : M x1  17  eR  x2 , x3 ,..., xt ; M / x1M   eR  x2 , x3 ,..., xt ;0 : M x1   eR  x2 , x3 ,..., xt ; M / x1M   eR  x2 , x3 ,..., xt ;0 : M x1   eR  x2 , x3 ,..., xt ; M  . Sau đây là một số tính chất của số bội hình thức. Trước hết ta có bổ đề sau. 2.3.2 Bổ đề. Giả sử 0  M '   M   M "  0 là dãy khớp các R- môđun và x là một phần tử của vành R. Khi đó ta có * ' ' f 0   0 : M ' x   0 : M x   0 : M " x   M '/ xM '    M / xM *    M ''/ xM ''  0 (3) cũng là dãy khớp. Chứng minh. Không mất tính tổng quát, giả sử M’ là môđun con của M và M”= M/M’ . Gọi  : M '  M là phép nhúng và  : M  M '' là phép chiếu chính tắc. Khi đó   0 : M ' x   0 : M x và   xM '  xM . Vì vậy ta có  ' là ánh xạ hạn chế của  với  ' : 0 : M ' x  0 : M x và nó cảm sinh một ánh xạ * : M '/ xM '  M / xM . Tương tự ta có   0 : M x   0 : M '' x và   xM   xM '' . Do đó tương tự trên ta cũng có  ': 0 : M x  0 : M '' x và * : M / xM  M "/ xM " . Tiếp theo ta định nghĩa ánh xạ f . Cho m "  0 : M " x , do  là toàn cấu nên ta có thể chọn m  M sao cho   m   m " . Ta có   xm   x  m   xm "  0 nên suy ra xm  M ' . Đặt f  m " là ảnh của xM trong M '/ xM ' . Thấy rằng nếu m1 thỏa   m1   m " khi đó m  m1  M '  xm  xm1  xM ' vì vậy xm và xm1 có cùng ảnh trong M '/ xM ' điều này chứng tỏ f là ánh xạ và kiểm tra thấy rằng f cũng là ánh xạ tuyến tính. Như vậy các ánh xạ trong (3) đã được định nghĩa. Chúng ta chỉ cần chứng tỏ (3) là dãy khớp. Trước hết ta chứng minh ker f  Im ' và Im f  ker * . Thật vậy theo định nghĩa của f thì xm  xm '  f  m "  0  xm  xM ' hay x  m  m '  0 với m '  M ' . Vì vậy m "  ker f  k  M sao cho 18 * xk  0 và   k   m " . Theo định nghĩa của f ta có j f  m "  0 . Do đó Im f  ker j * . Ta cần chứng minh ker j *  Im f . Giả sử n  ker j * và n là ảnh của m” trong M '/ xM ' . Khi đó j *  n  là ảnh của m’ trong M / xM . Từ chổ j *  n , m '  xm với m  M . Đặt m "  y  m  khi đó xm "  y  xm   y  m '   0 . Điều này chứng tỏ m "  0 : M " x . Hơn nữa ta có f(m”) là ảnh của xm  m ' trong M '/ xM ' hay f(m”)=n. Vì vậy n  Im f và do đó ker j *  Im f . Hay ker j *  Im f .  Định lý sau đây cho thấy rằng số bội hình thức có tính chất cộng tính. 2.3.3 Định lý. Cho 0  M '  M  M "  0 là dãy khớp các R- môđun Noether và x là hệ bội của M’, M và M”. Khi đó ta có eR  x; M   eR  x; M '   eR  x; M " . Hơn nữa, Cho 0  M P  M p1  ...  M0  0 là dãy khớp các R- môđun Noether và x là hệ bội của Mi , i  0, p . Khi đó ta có p   1 e  x; M   0. i R i 0 i Chứng minh. Ta chứng minh quy nạp theo t. Khi t  0 do tính chất cộng tính của hàm độ dài (Định lí 1.3.6), ta có lR  M   lR  M '   lR  M " (tương ứng p   1 i i 0 eR   ; M   eR   ; M '   eR   ; M " (tương ứng p l R  Mi   0 ) hay   1 e   ; M   0 ). i 0 i R i Giả sử t  1 và mệnh đề đúng với hệ bội t  1 phần tử. Ta chứng minh đúng với hệ bội gồm t phần tử. Thật vậy theo Bổ đề 2.3.2 ta có dãy khớp sau: 0  0 : M ' x1  0 : M x1  0 : M " x1  M '/ x1M '  M / x1M  M "/ x1M "  0 . 19