Tài liệu Hệ phương trình tổng hợp

  • Số trang: 27 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 113 |
  • Lượt tải: 0
dangvantuan

Đã đăng 62109 tài liệu

Mô tả:

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP Chú ý : .  Các bài toán hệ phương trình sau đây được trích trong tập “Hệ phương trình luyện thi đại học” của lớp 11C1K35-Trường THPT Đặng Thúc Hứa, Thanh Chương, Nghệ An.  Lời giải: Phan Thị Minh Ngọc (10C1K36), có tham khảo lời giải của các thành viên của diễn đàn www.k2pi.net  Mọi góp ý các bạn vui lòng cập nhật thông tin tại diễn đàn www.k2pi.net Một số bài toán đã được lược bỏ trong quá trình biên soạn. Đã chỉnh sửa lại đề cho cái bài sau: 16;37;69 Bài 1 (Nguyễn Thế Anh)  x3  3 x 2  3 y 2  3 x  4 y  1 1 1.  3 2  y  3xy  x  6  6 y  12 y  1  2  x  y 1  0 Lấy 1   2  ta có:  x  y  1 x 2  xy  y 2  4 x  2 y  6  0   2 2  x  xy  y  4 x  2 y  6  0    Trường hợp 1: x 2  xy  y 2  4 x  2 y  6  0  y 2  y  x  2  x2  4 x  6  0 2 Ta có:  y  3  x  2   8  0 Nên phương trình trên vô nghiệm. x  0   Trường hợp 2 : x  y  1  0  y  x  1 .Thay vào 1 Ta có: x 3  6 x 2  x  0   x  3  2 2  x  3  2 2 o Với x  0  y  1 o Với x  3  2 2  y  4  2 2 o Với . x  3  2 2  y  4  2 2 .   Vậy hệ có nghiệm là:  x; y    0;1 , 3  2 2;4  2 2 , 3  2 2;4  2 2   y  2x  y  x 1 0  xy 2.   2 2  1  xy  x  y  0 ĐK: x; y  0 Từ phương trình đầu tiên của hệ ta có: y  2 x  y  x  xy  0   y x  x  y y 2 x 0  y  2 x  0   Với x  y . Thay vào phương trình thứ hai ta có: 1  x 2  0  x  1  Với y  2 x  0 .Do x; y  0 . Nên phương trình vô nghiệm Vậy hệ đã cho có nghiệm :  x; y   1;1 Bài 2 (Nguyễn Văn Anh)  2  x3  y 3  3  x 2  y 2  5( x  y )    8 0 3 3 2 2  xy x y x y 3.   5x  y  5x  1  2  y   2 1 ĐK: x  ; 0  y  2 5 Phương trình thứ nhất của hệ thương đương với: Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP 3 2 x  y  3 x  y  2  x y 20 x y 2  xy xy x3 y 3 x2 y2 Với x  y Ta thế vào phương trình thứ hai của hệ ta có: 1  x2 5 x  1  2  x  3x   5 5 x  1  2  x  2  x y  2 0 x y 1  x2  5  5 x  1 2  x   9 x 2 2  5 x  1 2  x   9 x 2  4 x  1  2  13  2  13 x2  x2    9  9  x 1  9 x2  4 x  1 2  4 5x  1 2  x  0 9  x  1 9 x3  x 2  3x  1  0      Vậy hệ phương trình có nghiệm là  x; y   1;1 Bài 3 (Hoàng Đình Chung).      x 2 y  10 x 2  3 xy  29 x  2 y  20 6.  2 2 2 2  2 x  y  5  x  y  x  5  x  5  x  2 y  5  x  y  y  5  y  5 Từ phương thứ hai của hệ ta được 2x  y  5  x  2 y  5  x2  y 2  x  5  x2  y2  y  5  x  5  y  5  0  1 1   x  y  10     2 2  2x  y  5  x  2 y  5 x  y  x  5  x2  y 2  y  5   x  y  10 Thay x  y  10 Vào phương trình thứ nhất của hệ ta có:  y  10  2 2   0 x  5  y  5  1  y  10  y  10   3 y  y  10   27  y  10   0   y  10  y 2  17 y  73  0  y  10 Với y  10  x  0 Vậy hệ phương trình có nghiệm là  x; y    0;10  5 x 3  x 2  2 x 2 y  2 xy  2 xy 2  0  7.  2 1 2 2 2  x  x y  xy  y  0  2 Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có: x  0 x 5 x 2  2 xy  x  2 y  2 y 2  0   2 2 5 x  2 xy  2 y  x  2 y Với x  0  y  0   5 x 2  2 xy  2 y 2  x  2 y Với: 5 x 2  2 xy  2 y 2  x  2 y kết hợp phương trình thứ hai của hệ ta có:  2 2 2 2  2 x  2 x y  2 xy  y  0 2 2 2 5a y  2ay  2 y  2 y  2 y 1 Xét thấy  x; y    0;0  là 1 nghiệm của hệ. Với x; y  0 Đặt x  ay ta có hệ :  2 3 3 2 2 2  2a y  2ay  2a y  y 5a 2  2 a  2 a2  2  5a 2  2a  2 2 a 2  1  2 a 2  2 a  a  2   0 2 2a  2a 2a  1  1 3 a  2  5a 2  2 a  2 2 a 2  2 a  1  0    1 3 a   2 1 3 Với . a  . Thế vào 1 ta tìm được: y  3  1  x  1 2         Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa  HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP 1 3 Thế vào 1 ta tìm được: y   3  1  x  1 2 Vậy hệ có nghiệm:  x; y    0;0  , 1; 3  1 , 1;  3  1 Với a   2 2 6 2 3  4 2  4  x  x y  xy  y  xy  y  2 x y  0  8.  2 x  y  xy  4  Hướng dẫn: Rút y từ phương trình thứ hai thay vào phương trình thứ nhất rồi phân tích có nhân tử chung y 2  1  x3  2 y 3  3xy 2  2 xy  x 2  y 2  0  9.  1 y  x  4y  2 1 0  Từ phương trình thứ của hệ ta có: x  y x  2 y  3xy  2 xy  x  y  0   x  y   x  2 y  1  0    y  x  1 2  x  1 Với y  Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có: 2  x 1 1   1  0  x 2  x  2  0  Vô nghiệm 2 x 1 Với x  y Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có: y   1  0  Vô nghiệm 5y 1 Vậy hệ phương trình vô nghiệm. ( x  y )  x  32   y  32  xy  2  3 y 2  15 y  23    11.  2  x  2 x  y  2  3 Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có: 3 3 2 2 2 2 3 3 x 3  6 x 2  16 x  y 3  9 y 2  31y  23   x  2   4  x  2    y  3   4  y  3  Xét hàm số: f (t )  t 3  4t f '  t   3t 2  4  0  Hàm số đồng biến Phương trình thứ nhất của hệ có dạng: f ( x  2)  f  y  3  x  2  y  3  y  x  1 Thay x  1  y vào phương trình thứ hai của hệ ta có: 4   x 2  3x  1  3   x  1  x  1    0  x 1 3x  1  2   Với x  1  y  0 Vậy hệ có nghiệm:  x; y   1;0  Bài 7 (Đậu Thị Giang)  y 3  3xy  17 x  18  x 3  3x 2  13 y  9 13.  2 2  x  y  xy  6 y  5 x  10  0 Rút xy từ phương trình thứ hai thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta có: 3 y 3  5 y  3 y 2  3  x 3  2 x   y  1  2  y  1  x 3  2 x Xét hàm số: f (t )  t 3  2t  0  Hàm số đồng biến f  y  1  f  x   x  y  1 Thay x  y  1 vào phương trình thứ hai của hệ ta được: Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP 8  y 3 y 2  14 y  16  0   3   y  2 8 5 Với y   x  3 3 Với y  2  x  1 5 8 Vậy hệ có nghiệm:  x; y   1;2  ,  ;   3 3  4 x 2  2 xy  2 y 2  5 y  x  3 14.  2 2  2 x  5 xy  2 y  3x  10 1  x  y Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:  x  y  1 4 x  2 y  3  0   4 x  3  y  2 4 1  x  y  3 3  Với 1  x  y thay vào phương trình thứ hai của hệ cho ta : 9 x 2  6 x  8  0   x   2  y  5  3 3 4x  3 11 89  Với  y Thay vào phương trình thứ hai của hệ cho ta: 15 x  11  0  x   y  2 15 30  4 1   2 5   11 89  Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là:  x; y    ;  ,   ;  ,  ;   3 3   3 3   15 30  2 2 3 x  3xy  3 y  9 x  3 y  4  0 15.  2 3 y  6 xy  2 x  10 y  3  0 1  y  Từ phương trình thứ hai của hệ ta có: 1  3 y  2 x  y  3  0  3   y  2 x  3 2  x  1 16 3 Với y  thay vào phương trình thứ nhất của hệ cho ta: 3 x 2  10 x   0   3 3 8 x   3 2 Với y  2 x  3 thay vào phương trình thứ nhất của hệ cho ta: 15 x  27 x  31  0  Vô nghiệm Vậy hệ phương trình vô nghiệm. Bài 8 (Nguyễn Thị Giang)  x3  y 3  x 2  x  4 y 2  6 y  3  0 16.  2 2  x  y  3x  xy  4 y  7  0 Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có: 3 2 x 3  y 3  x 2  x  4 y 2  6 y  3  0   x  1  4  x  1  6  x  1  y 3  4 y 2  6 y Xét hàm số: f (t )  t 3  4t 2  6t ta có: f '(t )  3t 2  8t  6  0 nên hàm số đồng biến. Phương trình thứ nhất của hệ có dạng : Thay y  x  1 vào phương trình thứ hai của hệ ta được : 3 x 2  4 x  12  0  Vô nghiệm Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.  x x  y y  xy  y  2 y  x  2  0 17.  3 x  y  5 x  y  xy ĐK : x; y  0 Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP Thế xy từ phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất của hệ ta có : x x  y y  3x  4 x  y  2  0    3 x 1  x 1  y y  y Xét hàm số : f  t   t 3  t ta có : f '  t   3t 2  1  0 . Nên hàm số đồng biến Phương trình có dạng : f Thay    y x 1  f x 1  y y  x  1 vào phương trình thứ hai của hệ ta có : x  x  0  x  0  y  1 Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y    0;1 Bài 9 (Nguyễn Thị Trà Giang)  x3 y 1   4 y  2x  y 18.  1 1 1     3 3x  4 y  8 y 1 2  ĐK: y  1; 3 x  4 y  8   2 Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có: x  3 y  4 y  2 x  y   x  4 y  1   0 1  3 y  2 x  y    2 2 2 1 Do y  1  3 y  3  3 y  2 x  y  3   1  3 y  2x  y 3 3 y  2x  y 3 Nên từ 1 ta có: x  4 y . Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có: Đặt 1 2 y 1 3 1 6 1 1  a . Ta có: a 2  a 3     a  1  2a 2  a  1  0  a  1 . Hay 2 2 y 1 1 1  . 2 y 1  1 6 y 1 1  y 1 1  y  2 Với y  2  x  8 Vậy hệ có nghiệm:  x; y    8;2   x 1 4 4    x 1  0 x  2 y 1 y 1  y 1 19.  y 1  ( y  1)( x  1) x  1  2 y  1  2  2 ĐK: x  1 ; y  1 Đặt x 1  a; y 1  b a  0 ;b  0   2 Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có: a 2  1 b2  2ab  4  4b  ab2  0   b  2   a 2b 2  2ab  ab2  0  b  2 2  0 b  2 Do a  0 ; b  0 Nên phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:   2 2 2 a  0 a  2ab  a b  0  x  1  0 x  1 Khi đó:   y  5  y  1  2 x  1 Nhân thấy rằng  thõa mãn phương trình thứ hai của hệ. y  5 Vậy hệ có nghiệm:  x; y   1;5  . Bài 10 (Nguyễn Phương Hà) Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP 43  3 2 0  2 xy  3 y  4 xy  27  6 x3 y  3xy 3  5 xy  6 x 2 y 2  2 x 2  y 2  1 Từ phương trình thứ hai của hệ ta có: 1 2 6 x3 y  3xy 3  5 xy  6 x 2 y 2  2 x 2  y 2  1   3xy  1  x  y   x 2  1  0  xy    3 1 Thay xy  vào phương trình thứ nhất của hệ ta được: 3 y2  1 1  y    x  1 9 3 1  1  Vậy hệ có nghiệm:  x; y    1;  ,  1;   3 3    2  x  x  2 y  y  y  2 22.  2  y  3 xy  x  y  10  0 Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:  Với   x  2y  y 1  x  2 y  y 1 x  2y  y  2  0    x  2 y    y  2   x  2 y  y  1  x  y 2  1 . Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: 4 y3  y 2  4 y  9  0  y  1  x  2  Với x  2y  y  2  y  2  3 y 3  8 y 2  15 y  6  0  y  . Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có: 1 (Loại) 3 Vậy hệ có nghiệm:  x; y    2;1 Bài 11 (Phan Thị Hằng)  x  y 3  x3  ( xy  1)(2 x  y  1)  ( x  2 y ) 2  7 x 2  1 24.  2 2 3 x  2 y  9 x  8 y  3 Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:  y  2 x  2 x  y   x2  3x  y 2  4 y  1  0   2 2  x  3x  y  4 y  1  0  Trường hợp 1 : y  2 x thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: 5 x 2  3  0  Vô nghiệm  Trường hợp 2: x 2  3x  y 2  4 y  1  0 kết hợp phương trình thứ hai của hệ ta có hệ mới: 2 2 2 2 y  0  x  3x  y  4 y  1  0  x  3x  y  4 y  1  0   5 y 3  20 y  0    2 2 2 2 3 3x  2 y  9 x  8 y  9 3 x  2 y  9 x  8 y  3  y  4    3  13 2 3  13 Với y  4 . Thay vào giải ta được x  2  3  13   3  13  Vậy hệ có nghiệm:  x; y    ;0  ,  ; 4      2   2  Với y  0 Thay vào giải ta được x  Bài 12 (Vương Thị Hiền) Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP 2( x  y ) 2 x  y  xy  xy  x  y  xy  25.   1  1  x y 4  y x ĐK: x; y  0 Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có: x  y  x 2 y 2  2 xy y  2 xy x  2 xy  0   y  x  xy  2  0  x  y  xy  x  y  x 2 y 2  2 xy Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: x 2 y 2  3 xy  4  0     3 5 x  x  y  3  2 Khi đó ta có:   xy  1 3 5    y  2  3 5 3 5  Thử lại thấy rằng hệ chỉ có nghiệm:  x; y    ;   2 2    x 2  2 x  y 2  2 y  2 26.   (2  x ) x  xy  2( x  y )  6 Hướng dẫn: Phương trình thứ nhất có dạng A2  B 2  0 Đáp số:  x; y   1;1  x3  y 3  10 x  10 27.  2 2  x y  xy  7 x  3 y  10 Hướng dẫn: Cộng vế với vế của hai phương trình làm xuất hiện nhân tử chung x  y Đáp số:  x; y   1;1 Bài 13 (Nguyễn Tài Hiếu). Giải các hệ phương trình sau :  x2  y 2  2 x  3 y  5 28.  2 2  x  y  8 x  8 y  0 Hướng dẫn: Phương trình thứ hai có nhân tử x  y  5  65 5  65   5  65 5  65  ĐS :  x; y    ; ;  ,    4 4 4 4      x3  xy 2  y 2  1  0 29.  3 2 2 2 x y  2x  1  4x y Hướng dẫn: Phương trình thứ nhất có nhân tử: x  1  3  ĐS  x; y   1;1 ,  1;   4  3 2 2 x  3  x  xy  x  x y  x  y 30.  ĐS :  y  3  y x  2   x y  2  6 Hướng dẫn:Phương trình thứ nhất có nhân tử x  y ĐS:  x; y    3;3 Bài 15 (Phan Thị Ngọc Huyền).  3 2  2 2 2 2 2 2  y  2 x y  4 x  y  2   3 y   2  x y 1  x  y   33.  2  2 2  y  x  y   4 y  4  0 Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa  xy  1 xy xy  xy  xy  4  0  xy  1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP ĐK: y  0 ; y  1 Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có: y 2 x2  y  y x2  y  y  4  2 y 2  2 y  4  0         y  x  y   2  y thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có:  y x 2  y  2  y  y x2  y  9 y      y x2  y  2 y  2  2  Với 2 35 (Loại) 4  Với y x 2  y  2 y  2 Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có:  y  2 2  4 y  4  0  y 2  8 y  0  y  8  x 2    2 4  y  1  4  y  1  0   y  2  y  1  0  y  1 Với y  1  x 2  1  x  1 Vậy hệ có nghiệm là:  x; y    1;1 3 x 6  24 y 3  (2 y  x 2 )(9 x 2  18 y  11)  0 34.  1  3 2 2 y  1  x  3 x  6 y  1 Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có: x 2  2 y 3 x 4  6 x 2 y  9 x 2  12 y 2  18 y  1  0  4 2 2   2  Với 3 x  6 x y  9 x  12 y  18 y  1 =0 Ta có 2  2   x2   6 y  9   12 12 y 2  18 y  11  27  2 y  1  24  0 Phương trình vô nghiệm  Với x 2  2 y . Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có :  1  3 2 x  1  x  3 4 x  1   x  1    1 Với x  1  y  2  1 Vậy hệ có nghiệm :  x; y    1;   2 ( x  y )(2 x  y 2 )  5 x  y  3  3 y 2 35.  2 2 ( x  y )  x  y  2 x  y  7 ĐK: x  y 2 2 3  4 x  12  3  2 x  1 4 x  1  3  2 x  12      0  x 1 x 1  1  Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:  x  y  3 2 x  y 2  1  0 Do x  y 2  2 x  y 2  1  0 nên x  y  3  0  x  3  y .Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được 4  4  y 1 y  3 y  3  y  y  4  3y    3   y  13 3  y  y 2   4  3 y  2  y  110 y  13  0  10   Với y  1  x  2 13 17 Với y   x  10 10  17 13  Vậy hệ có nghiệm:  x; y    2;1 ,  ;   10 10  Bài 16 (Hoàng Thu Hương)  x3  y 3  3 x 2  y  2 y  1  3 y 2  x  2 x  1  0 36.   x 2  y 2  xy  7 x  6 y  14  0 2     Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP ĐK: x; y  1 10  2 x 2 2  x  x ( y  7)  y  6 y  14  0   x  0   x  y  1  1 3 Từ phương trình thứ hai ta có:  2       2 1  y  7  y  y  x  6   x  7 x  14  0   y  0  y  x  1  1  3 Từ phương trình thứ nhất ta lại có: x  3   3     y 1  3 x  y 1  y  x 1  3 y  x 1 3 Xét hàm số f  t   t  3t    t  1 . Ta có  f '  t   3 t 2  1  0 . Hàm số đồng biến Phương trình thứ nhất có dạng: x  y  1  y  x  1 Xét hàm số: g  a   a  a  1 g ' a   1   a  0  . Ta có 1  0 . Hàm số đồng biến. 2 a 1 Phương trình có dạng g  x   g  y   x  y x  2 Với x  y . Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có: 3 x 2  13x  14  0   x  7  3 7 7 Vậy hệ phương trình có nghiệm:  x; y    2;2  ,  ;  3 3   x  y 1  xy  1   2 2 37.  1  x 1  y  2  4 3 2 2 2  x  4 x  6 x  y  2 y  4 xy  4 x  2 x y  1 2 Từ phương trình thứ hai của hệ ta có:  x 2  2 x  y  1  0  y   x  1 2 2 Thay y   x  1 vào phương trình thứ nhất ta có:    x  1  x  1 1  x 2  x  1 x3  2 x 2  x  1 4 2  1  x 1 2  x 4  x  1  0   x  0 Với x  1  y  0 Với x  0  y  1 2 x 2 4  1  x  1  1  2 x 2  x  1 x 3  2 x 2  x  1  0       Vậy hệ có nghiệm là:  x; y    0;11;0  4 4  x   y  1     1    32 38.  y  x   2 2 2  x  y  x y  2 x  y  6  0 4 4  x   y  4  1 Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:  1     1    1  1  1   y  x   1  Xét hàm số:  1 f  t    t  1  1    t 4 4  t  0  .Ta có 3 3 1  f '  t   4  t  1  4   t   0 Nên hàm số đồng biến. t  Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa 4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP  x  x  y x Phương trình thứ nhất có dạng f    f 1  1  y x   y  y Với x  y . Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có: x 3  2 x 2  3x  6  0  x  2  y  2 Với x   y .Thay vào phương trình thứ hai cảu hệ ta có:  x 3  2 x 2  x  6  0  x  3  y  3 Vậy hệ có nghiệm  x; y    2; 2;  ,  3; 3  x  y  x 2  y 2  xy  15   x  y 2  x 2  9 y 2  15 y  94 39.  2 2  4 x  4 y  6 x  6 y  2 xy  9  0   Từ phương trình thứ hai của hệ ta có: 2 2  4 x 2  2 x  3  y   4 y 2  6 y  9  0  'x  0 3  y  1  3  y   4 4 y  6 y  9  0     2 2 2 2  '  0  3  x   4 4 x  6 x  9  0 3  x  1 4 y  2 y  3  x   4 x  6 x  9  0  y      Thế 2xy từ phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất của hệ ta có: x 3  6 x 2  9 x  y 3  4 y 2  6 y  85 Xét hàm số: f  x   x3  6 x 2  9 x và g  y    y 3  4 y 2  4 y với x; y   3;1 . Ta có: f '  x   3 x 2  6 x  9  0 Nên hàm số đồng biến  f  x   f 1  4 g '  y   3x 2  8 x  6  0 Nên hàm số nghịch biến  g  y   g  3  81 x  1  f  x   g  y   85  f  x   f 1 Khi đó ta có:  Hệ có nghiệm khi và chỉ khi    f  x   g  y   f 1  g  3  85  g  y   g  3  y  3 Thử lai thấy rằng  x; y   1; 3 Không thỏa mãn phương trình thứ hai của hệ. Vậy hệ vô nghiệm. Bài 17 (Tôn Lương Khuê). ( x  1) 2  1  y 40.  2 2 ( x  y )  2 xy (1  x) Hướng dẫn: Thế y từ phương trình thứ nhất vào phương trình thứ hai. ĐS:  x; y    0;0  , 1;1 ( x  1)3  ( y  1)3  12( x  y )  24  0  41.  2 1 2 x  y  x  y  2  Hướng dẫn: Phương trình thứ nhất có nhân tử x  y  2 .  3 1   1 3  ĐS:  x; y    ;  ,  ;   2 2 2 2  Bài 18 (Trần Phan Trung Kiên)  x  1  y  8 42.   x  10  y  5  8 Hướng dẫn: Lấy phương trình thứ nhất cộng (trừ) phương trình thứ hai rồi đặt ẩn phụ ĐS:  x; y    26;9  Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP 2 2 5 y  x  x  5 43.  2 2 ( x  y )  2 x  6 y  7 Hướng dẫn: Lấy phương trình thứ nhất trừ phương trình thứ hai có nhân tử 2 y  1 ĐS:  x; y    0; 1 ,  24;11 Bài 19. (Đặng Thị Lê ) 1  3 2 3  y  3y  5y  3  x  x  0 44.  36 3 x 2  3 y 2  6 x  y  1  0  Từ phương trình thứ hai của hệ ta có:  ' x  9  3 3 y 2  y  1  9 y 2  3 y  8  0 Nên phương trình vô nghiệm.   Vậy hệ đã cho vô nghiệm.  4 x  4 y  x x  x y  y y  y x  x  y 45.   3 x 2  1  x  y  1 ĐK: x; y  0 Đặt 4  a; b  0  . Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:  ab4  a 4  b 4   a  b  a 4  2a 3b  2a 2b 2  a 3  a 2b  2ab 3  ab 2  b 4  b 3  1  0 x a ;4 y b 5 4 aba a bb 5  0 4  a  b Hay x  y  x  y Thay x  y vào phương trình thứ hai của hệ ta có: 4 1  x  3x  1  2 x  1   x4 2 3 x 2  1  4 x 2  4 x  1  2 Vậy hệ có nghiệm:  x; y    4; 4    x xy  x2  1  y   xy ( x  y )  x   y  y    46.   x2 2 x  y2  y  3  Hướng dẫn:Phương trình thứ hai là phương trình đẳng cấp. 1   ĐS:  x; y    3;  3  Bài 20 (Lê Thị Kim Liên).  y 2  8x2  3  1  33 y 2  1 3 y 2  1  47.  2  4  3 3 y 2  1  2 3 y 2  1  12 x 2  y 2  1  4 x 2   a3  3a 2  2a  3b 2  b  0 2 3 Đặt: y  1  a ; 1  4 x  b  b  0  . Ta có:  3  a  b2  b 2 2  a  3a  a  2b  0 2 Thay a  b  b vào phương trình thứ nhất của hệ ta có:   b 2 3      b  3 b2  b  2      2 b 2  b  3b 2  b  0  b b5  3b 4  6b3  7b 2  2b  1  0  b  0  1  4 x 2  0  x   1 Với b  0  a  0 . Khi đó:   2  y 2  1  0  y  1 Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP  1  Hệ có nghiệm là:  x; y     ; 1  2  2 ( y  1)  ( x  1)( x  y )  1 48.  2 2  x  ( x  y )( x  2 x )  1  ( x  y ) ( x  2 y  3) b 2  a 2  ab  1 Đặt x  1  a ; y  1  b . Ta có:  3 (Hệ đẳng cấp) 2 2 3  2b  a b  3ab  2a  2a  b Bài 21 (Lê Thị Diệu Linh)  x  y  2 x  1  ( x  1)( y  1)  4  0  49.  y 1  x 1  y 1 1  x  3 2 x 1  Hướng dẫn:Từ phương trình thứ nhất của hệ suy ra hệ vô nghiệm. ( x  1)3  5( y  1)  6( y  1)3 50.  2 2 3 3 ( x  1)   x  1  y  1   y  1  x  1  3( y  1) Hướng dẫn: Phương trình thứ hai là phương trình đẳng cấp. ĐS:  x; y    0;0  ,  2; 2  ,  1; 1 Bài 22 (Nguyễn Thanh Mai). (2 x  y )(4 x  2 y  1)  x 2 y 2  xy  x 3  y 3  7 x 2  51.   x 2  y 2  x 2  y 2  xy 2  x 2 y Hướng dẫn: Phương trình thứ nhất là phương trình đẳng cấp : x 2  y  x 2 y  y 2     x  2 y2  x  0 ĐS  x; y    0;0  , 1; 1  4( xy  1) 2  8  2 y 3 ( y  2 x  1)  ( y  2) 2 52.  3 2 3 3 2 2  y ( x  y ) ( x  y  3)  3 xy  y  4  ( xy  2)  ( y  2) Bài 23 (Nguyễn Viết Mạnh). 3 3 2 2  x  y  x y  xy  2 xy  x  y  0 53.  3 2  x  y  x  2 x  y  2 ĐK: x  y  0 Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:  y  x 1  x  y  1  x 2  y 2  x  y   0   2 2 x  y  x  y  0  x  0  y  1 Trường hợp 1: y  x  1 . Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có: x 3  2 x 2  x  0   x  1 y  0 x  0 Trường hợp 2: x 2  y 2  x  y  0 . Do x  y  0  x 2  y 2  x  y  0   y  0 Thử lại thấy rằng  x; y    0;0  không thỏa mãn phương trình thứ hai. Vậy hệ có nghiệm là :  x; y    0; 1 , 1;0  Bài 24 (Trần Thị Bích Ngọc). 10 x 2  5 y 2  2 xy  38 x  6 y  41  0 55.  3 3 2  x  xy  6 y  y  x  1  2 Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP Từ phương trình thứ nhất ta có: 10 x 2  2 x  y  19   5 y 2  6 y  41  0 2 Để phương trình có nghiệm:  ' x  0  49  y  1  0  y  1 Thay y  1 vào phương trình thứ nhất của hệ ta được 10 x 2  40 x  40  0  x  2 Thử lại thấy rằng  x; y    2;1 Thỏa mãn phương trình thứ hai của hệ. Vậy hệ có nghiệm:  x; y    2;1    x2 y 2 3 x 4  y 4  2 x 2 y 2  2  2  2 x 56.  y x2  y 2  2  xy  3 y 2  4 x  8 ĐK: x; y  0 Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:    x2  y2 x2 y2 2 2  y2 x x2  y2    2 2 2  x 2  y 2   x2  y 2  0  0  x2  y 2   2 2   xy   x  y   2  2  x 2  xy  y 2 x 2  xy  y 2  2 2 2 2 2  x y x  y   x  y  x2  y 2   x  y Với x  y .Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có: x 3  3x 2  4 x  8  0  x  1  y  1 Với x   y . Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có:  y 3  3 y 2  4 y  8  0  y  1  x  1 Vậy hệ có nghiệm:  x; y   1;1 , 1; 1 .  x3  y 3  3 x 2  4 x  y  2  0  57.  1 1 4  4 y  x  y   x  2 4  2 2 2  ĐK: y  0; x  0 . 3 Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:  x  1   x  1  y 3  y Xét hàm số f  t   t 3  t ta có f '  t   3t 2  1  0 . Nên hàm số đồng biến Phương trình thứ nhất của hệ có dạng : f  x  1  f  y   x  1  y   x  1  y Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có : 1 1 1 1 4 y  4 1 y  y  1 y  4  4 1   1 2 2 2 2 4 4 Xét hàm số : f  t   t  1  t  t  1  t  0  t  1 . Ta có : f ' t   1 4 4 t 3 1  3 4 1  t  4  1 2 t  1 2 1 t  0 Nên hàm số đồng biến. 1 1 1 Phương trình có dạng f  y   f    y   x  2 2 2 1 1 Vậy hệ có nghiệm :  x; y    ;  . 2 2 Bài 25 (Biện Thị Nguyệt) ( x 2  1) x  ( y  3) 2  y  0 58.  2 2 ( x  3) x  xy  8 6  2 x  11  0 Hướng dẫn: Từ phương trình thứ nhất của hệ xét hàm số: f  t   t 3  t  x  2  y Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa       0   HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP ĐS:  x; y   1;1  x  3 y  x 2  3 y 2  0 59.  2 2  2 y  1  2 x  y  3x  1  0 Hướng dẫn: Chuyển vế và bình phương hai vế của phương trình thứ nhất.  ĐS:  x; y   1;1 , 2  2;2  2  3 3 2 2  x  y  2 x  y  y  1 60.  2 2  2 x  y  6 x  2 y  3  0 Hướng dẫn: Từ phương trình thứ nhất của hệ xét hàm số: f  t   t 3  t 2  t  x  1  y ĐS:  x; y    0; 1 ,  2;1 Bài 26 (Lê Thị Nguyệt).  y  14  x  1  0  61.  9 18 8 2  x  1   y  1  3  y  1  y  2 y  x  2 Đặt  y  1  b ; x  1  a  b  0 , a  2  Ta có hệ: 2 2  a  2  b  a  2  b   9 8 7 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 7 8 8 9  a  b   a  a b  a b  a b  a b  a b  a b  ab  4b   0  a  3ab  4b  0 a  2  b 2   b 2  b  2  0  Vô nghiệm a  b  Vậy hệ vô nghiệm. 3 2  20 y  3 y  3xy  x  y  0 62.  2 2  x  y  3 y  1 Hướng dẫn: Thế 3 y  1 từ phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất của hệ.  3 1   3 1  ĐS:  x; y    ;  ,  ;  2 2  5 5    2   x 1   2   x y 63.   y  1  2   12   x y    Hướng dẫn: Chia phương trình một cho x ,chia phương trình hai cho ĐS: VN Bài 27 (Nguyễn Thanh Nhàn)  x y x y  4  x  y x ( y  2)  4  y x  1  2  x      64.   x 2  2 x  3 y  4 y 2  0 ĐK: x; y  0 Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:   x  y  2   1  x  y 0 2 x y  x y  2   x  y  x  y  2  x y  2         x  y  2 Do x y 2 y.  2     x  y  x  y  2  x y  2  1 x y Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa  0 Nên x  y  0  x  y HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP x  0 Thế x  y vào phương trình thứ hai của hệ ta có: 5 x 2  5 x  0   x 1 Vậy hệ có nghiệm:  x; y    0;0  , 1;1 156 208  2 2 x 2 xy  y 2 xy  0 18 x  32 y  52 xy  65.  5 5 7 x 2  4 y 2  8  Đặt x  a ; 2y  b  a; b  0  Xét thấy  a;0  ,  0; b  đều không phải là nghiệm của hệ nên a; b  0 Đặt a  kb  k  0  Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có: 90k 4 b 4  40b 4  130k 2 b 4  156k 3b4  104kb 4  0 2  k 3    3k  2   30k  32k  22k  20   0  3   k  1  8 2 162  2 8 Hay x  y . Thay vào giải ta được nghiệm:  x; y    ;  193 193  3 9    1 Với k  1 Hay x  y . Thay vào giải ta được nghiệm:  x; y    1;   2 Với k   8 2 162   1  Vậy hệ có nghiệm:  x; y    ; 1;  193 193   2    3 x 2  4 x  5   y 2  6 y  1 66.   x  1  17  4 y  16 x Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có: 1 y2  6 y 1 3x2  4 x  5   y 2  6 y  1  2 2 2  6 x  8 x  10  y  6 y  0 1 Từ phương trình thứ hai của hệ ta lại có: x  1  17  4 y  16 x  x 2  18 x  4 y  16  0 x  1 2 2 Kết hợp 1 và  2  ta có: 6 x 2  8 x  10  y 2  6 y  x 2  18 x  4 y  16  5  x  1   y  1  0    y  1 Thử lại thấy rằng  x; y   1; 1 không thỏa mãn phương trình thứ hai của hệ. Vậy hệ vô nghiệm. Bài 28 (Nguyễn Thị Nhung). ( x  y  1)( x  y  1  xy )  12 xy 67.  2 2  y 3x  2 x  1  x 1  y  2 y  xy  1  0 1  x 1 3 x  2 x 2  1  0  2 ĐK:    2  1  y  1 1  y  2 y  0  2 x  y 1  0   1  12 xy   x  y  1 x  y  1  xy   0  xy  0  y  0  x  y  1  xy  2 Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP 1   x 1 Lúc này ta có:  2  0  xy  1 1 0  y  1 Mặt khác theo AM  GM ta có:   12 xy   x  y  1 x  y  1  xy   3 3 xy 2 xy  2 xy  12 3 xy . xy  xy  3 xy . xy  xy  1  2  Từ 1 ,  2   xy  1  x  y  1 Thử lại thấy rằng  x; y   1;1 là nghiệm của phương trình  x 2  (2 y  1)( x  y )  xy  2 y 69.   x(2 x  2 y  5)  y ( y  3)  3  0 ĐK: x; y  0 . Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:  x  y  2y 1 y  x  y 2  x  2  y  1 x  y   y xy   Từ phương trình thứ hai ta lại có: 2  0 y  1 2  x  y   3  x  y   2   x  1  0 2   x  y   3 x  y   2  0  1  x  y  2  2 Kết hợp 1 2  cho ta x  y  3 3 Thay vào giải ta nhận được nghiệm:  x; y   1;1 ,  ;  5 5 Bài 29 (Lê Thị Oanh) 3 y 3 6 4 2 2 2 2  2 x y   x y  y  y  2 x y  3x y  2 x 2 70.   x8   x 6  x 2 2 y 2  2 x 4  1  Hướng dẫn: Phương trình thứ hai có dạng A2  B 2  x 4  3x 3  36 x 2  9 xy  12 x 2 y   x 4  6 xy 3  9 xy  24 xy 2  115 x  71.   x 3  2 x 2  3x  2 x 2  6 x  4 xy   y y  Hướng dẫn: Cả phương trình thứ nhất và thứ hai của hệ đều có nhân tử x Bài 30 (Nguyễn Thị Hà Phương).  x2  y y  1 2    2  x  1  y  1 72.   2 2 2 2  x  4 y  x  1  6  5 x  1 1  ( x  1)( y  1) b 2  a  b   2 2 Đặt x  1  a ; y  1  b  a; b  0  .Ta có:  (Hệ đẳng cấp) 3 2 2  a  4ab  5a b  6 3 x  7 xy  4 y  3 x  2 y 2 1  2 x  4 y  0  73.  3  x  y y 6 x 2 y 0           Hướng dẫn: Phương trình thứ nhất là PT đẳng cấp:  Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa x y  2 2  x y    x 2 y 3 x 2 y  2 0 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP ( x 2  5) x 2  2 y  x 2  3  2 y  74.   x 2  3 y  6   x2  2 y  1 Hướng dẫn: Thế x 2 từ phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất của hệ. Bài 32 (Nguyễn Đình Thành).  x  y   2 x 2  14 y 2  8 xy  3  24 y 2  12 y  5  76.  2  y  1  x  2 y  3  2 x  3 3 y  5 Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có: 2  2 2 5  27 2  x  y  1 x  1  x  y  y  2 y   0  x 1 y          4  2   Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có:   6 y 3  3 y 2  2 y  6  2 3 3 y  5  4   y  1  y 2  4 y  6  0 3  (3 y  5) 2  2 3 3 y  5  4  Trường hợp 1: y  1  x  2 6 Trường hợp 2: y 2  4 y  6  0 3 (3 y  5) 2  2 3 3 y  5  4     18 2   y  2   3 (3 y  5) 2  2 3 3 y  5  4    0  y  2  x  1 3  (3 y  5) 2  3 3 y  5  1  Vậy hệ có nghiệm là:  x; y    1;2  ,  2; 1 Bài 33 (Trần Thị Phương Thảo).  x  2 2  4  y  1 2  4 xy  13  78.  x 2  xy  2 y 2 2  x y   2 x y x  y2  Hướng dẫn: Phương trình thứ nhất của hệ là phương trình bậc hai ẩn x  2 y .    x2  3 y 2  2 y  y  x  0  79.  x y ( x3  y 3 ) x  y  1 x     2 2 4 y x  3y x2  3 y2  Hướng dẫn: Phương trình thứ nhất có nhân tử chung x  y  x 3  4 y 3  4( x  3 y )  3( x 2  1)  7 80.  2 2 ( x  1)  ( y  1)  4  x  12  4  x   3;1 Từ phương trình thứ hai của hệ ta có:   2  y  1  4  y   1;3 Từ phương trình thứ nhất của hệ ta được: x 3  3 x 2  4 x  2  4 y 3  12 y  8  0 Xét hàm số: f  x   x3  3 x 2  4 x  2  3  x  1 .Ta có: f '  x   3 x 2  6 x  4  0 .Hàm số đồng biến  f  x   f 1  0 Xét hàm số : g  y   4 y 3  12 y  8  1  y  3 . Ta có : Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP g '  y   12  12 y 2 . g '  y   0  y  1 BBT : Dựa vào bảng biến thiên ta thấy : g  y   g 1  0  f  x   g  y   0 Lúc này ta có :  Hệ có nghiệm khi và chỉ khi  f  x   g  y   f 1  g 1  0 Thử lại thấy rằng  x; y   1;1 Thỏa mãn phương trình thứ hai của hệ.  f  x   f 1 x  1   y 1  g  y   g 1 Vậy hệ có nghiệm là :  x; y   1;1 Bài 34 (Nguyễn Thị Thuận). 2 ( x  y ) (2 x  2)  x  y  2 81.  2 2 3 x  y  4 x  4 y  1  0 2a 2b  a  2 Đặt: x  y  a ; x  1  b . Ta có hệ:  2   2b  1 a 2  a  2b  1  0 2 3b  2a   a  b   3 a  1 1  Trường hợp 1: 2b  1  0  b    2  a  2 3  1 x  x  y  1  b    2 Với  2 Hay  1  a  1  x  1  2 y   1  2 3  x  a  2  x  y  2     2 Với  1 Hay  1  b  2  x  1  2 y   7  2 a2  a 1  Trường hợp 2: a 2  a  2b  1  0  b  .Thế vào phương trình thứ nhất của hệ ta có: 2 a  1 a 2 a 2  a  1  a  2  0   a  1 a  2  a 2  1  0    a  2 1 3 1 Với a  1  b    x; y    ;   2 2 2 1 3 7 Với a  2  b    x; y    ;   2 2 2 3 1 3 7 Vậy hệ có nghiệm là:  x; y    ;   ,  ;   2 2 2 2 Bài 35 (Đậu Bá Tiệp).      Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa  HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP 8 x3  20 x 2  18 x  8 x 2 y  16 xy  5 y 3  13 y 2  9 y  4 xy 2 82.  3 5 3 y  16 x  7 Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:  2 x  y  5 y 2  6 xy  13 y  4 x2  10 x  8  0    Trường hợp 1: 2 x  y  0  y  2 x .Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có: 53 y  23 y  7  y 1 x  2  Trường hợp 2: 5 y 2  6 xy  13 y  4 x 2  10 x  8  0 .Ta có: 2  x  44  y  1  0  y  1  x  108 Thử lại thấy rằng hệ chỉ có nghiệm:  x; y   1;2  1  4 2 2  x  3x  y  y  4 83.  6 3 2  x  2 y  x 4  4 x 2  y  20  3 2 Bài 36 (Trần Đức Tín).  x5  x 2 y 3  x3 y 2  y 5  0 84.  4 4 4 3 x  y  x y  0 Hướng dẫn: Phương trình thứ nhất có nhân tử  x  y  Bài 37 (Lê Văn Tố).  x 2  3xy  3( x  y )  0 85.  4 2 2  x  9 y ( x  y)  5 x  0 2  x  0   x 2  3 y  3x  3 xy 2  2   0  y  4 HPT   2  x 3  3 y  3 y  5   2 2 2    3  x  3 y  3x y  5 x  0  y  1  3 Với x  0  y  0 4 Với: y   Vô nghiệm 3 1 Với y   x  1 3  1 Vậy hệ có nghiệm  x; y    0;0   1;   3 1 1 3    x y  86.  x  2013 y  2010 2  x 2  y 2  2012( x  y  2012)  xy  ( x  y )( x  y  4024)     y  2012 Từ phương trình thứ hai của hệ ta có:  y  2012  x  2 y  2012   0    x  2012  2 y Với y  2012  x  2012 Với: x  2012  2 y . Thế vào phương trình thứ nhất của hệ ta có: Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP   y  2012  x  2012  1 1 3 11   2012  y    y  2012   x  11  2012 4025  2 y y  2010 2 2  11   y  2012  2  x   11  2012  11   11  Vậy hệ có nghiệm:  x; y    2012; 2012  ,  11  2012; 2012  ,   11  2012;2012     2   2   Bài 38 (Nguyễn Thị Trang).  x 3  4 x 2  y 3  5 y 2  3(2 x  3 y )  9 87.  2 2 2  x  1  x   y  6 y  8  1 Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:  x  1 3 2 3 2   x  1   x  1   y  2    y  2    y  2  Xét hàm số: f  t   t 3  t 2  t . Ta có: f '  t   3t 2  2t  1  0 Nên hàm số đồng biến. Phương trình thứ nhất có dạng : f  x  1  f  y  2   x  1  y  2  x  y  3 Thế x  y  3 Vào phương trình thứ hai của hệ ta được :  y  4  x 1 2  2 1   y  3  1    y  2  x 1 Vậy hệ có nghiệm :  x; y   1;4  ,  1; 2   y  3 2  2 x3 367 x 2  3 y3   8  3 y2  x2  y  88.  3 18 3  y 2  x 2  xy  7 x  6 y  14  Từ phương trình thứ hai của hệ ta có: 7  2 2 1 y   x  x  y  7   y  6 y  14  0   x  0  3    2 2   0  2  x  10  y  y  x  6   x  7 x  14  0  y  3 Từ phương trình thứ nhất của hệ ta lại có: 12 x 3  12 x 2  367 x  54 y 3  54 y 2  18 y  144  10  Xét hàm số: f  x   12 x 3  12 x 2  367 x với x   2;   3 2 Ta có: f '  x   36 x  24 x  367  0 Nên hàm số đồng biến  f  x   f  2   878  7 Xét hàm số: g  x   54 y 3  54 y 2  18 y Với y  1;   3 7 Ta có: g '  y   162 y 2  108 y  18  0 . Nên hàm số nghịch biến  g  y   g    1022 3  f  x   g  y   144  f  x   f  2 x  2    Lúc này ta có:  Hệ có nghiệm khi và chỉ khi    7 7 7  f  x   g  y   f  2   g    144 g  y   g    y  3 3 3    7 Thử lại thấy rằng  x; y    2;  thỏa mãn phương trình thứ hai của hệ.  3  7 Vậy hệ có nghiệm  x; y    2;  .  3 Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa
- Xem thêm -