Tài liệu Hệ phương trình hàm phương pháp lập cấp hai và khai triển tiệm cận

  • Số trang: 45 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 38 |
  • Lượt tải: 0
bangnguyen-hoai

Đã đăng 3509 tài liệu

Mô tả:

BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH ----------------o0o------------------ ÑAËNG THUÏC HIEÀN HEÄ PHÖÔNG TRÌNH HAØM: PHÖÔNG PHAÙP LAËP CAÁP HAI VAØ KHAI TRIEÅN TIEÄM CAÄN LUAÄN VAÊN THAÏC SÓ TOAÙN HOÏC THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH 2003 BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH ÑAËNG THUÏC HIEÀN HEÄ PHÖÔNG TRÌNH HAØM: PHÖÔNG PHAÙP LAËP CAÁP HAI VAØ KHAI TRIEÅN TIEÄM CAÄN Luaän vaên Thaïc syõ Toaùn hoïc Chuyeân ngaønh: Toaùn Giaûi Tích Maõ soá: 1. 01. 01 Ngöôøi höôùng daãn: TS. Nguyeãn Thaønh Long Ñaïi hoïc Khoa Hoïc Töï Nhieân Tp. Hoà Chí Minh. THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH 2003 Luaän vaên ñöôïc hoaøn thaønh taïi: Tröôøng Ñaïi hoïc Sö Phaïm TP. Hoà Chí Minh. Ngöôøi höôùng daãn: TS. Nguyeãn Thaønh Long Khoa Toaùn- tin hoïc, Ñaïi hoïc Khoa Hoïc Töï Nhieân Tp. Hoà Chí Minh. Ngöôøi nhaän xeùt 1: PGS. TS. Nguyeãn Bích Huy Khoa Toaùn- tin hoïc, Ñaïi hoïc Sö Phaïm Tp. Hoà Chí Minh. Ngöôøi nhaän xeùt 2: TS. Traàn Minh Thuyeát Khoa Thoáng keâ-Toaùn- tin hoïc, Ñaïi hoïc Kinh teá Tp. Hoà Chí Minh. Hoïc vieân cao hoïc: Ñaëng Thuïc Hieàn Tröôøng Cao ñaúng Giao thoâng khu vöïc 3. Luaän vaên seõ ñöôïc baûo veä taïi Hoäi Ñoàng chaám luaän aùn caáp Tröôøng taïi Tröôøng Ñaïi hoïc Sö Phaïm TP. Hoà Chí Minh vaøo luùc ……giôø……ngaøy …..thaùng…..naêm 2003 Coù theå tìm hieåu luaän vaên taïi Phoøng Sau Ñaïi hoïc, thö vieän Tröôøng Ñaïi Hoïc Sö Phaïm TP. Hoà Chí Minh. THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH 2003 LÔØI CAÛM ÔN MUÏC LUÏC Muïc luïc:…………………………………….………………………………………trang 0 Chöông 1: Phaàn toång quan…………………………………………….……..….…trang 1 Chöông 2: Caùc kyù hieäu vaø khoâng gian haøm……………………………..….…..…trang 4 Chöông 3: Söï toàn taïi, duy nhaát nghieäm………….……………………………..….trang 6 Boå ñeà 3.1…………...……………………….…………………………..….trang 6 Boå ñeà 3.2………...……………………………….……………………..….trang 6 Ñònh lyù 3.1……….……………………………………….……………..…..trang 9 Chuù thích 3.1…………………………………..………………………......trang 10 Chuù thích 3.2………………………………………………………………trang 10 Chöông 4: Thuaät giaûi hoäi tuï caáp hai……………………………………...….……trang 11 4.1. Thuaät giaûi laëpï caáp hai………………….…………….……………..…….trang 11 Ñònh lyù 4.1………………………………...……………………..…..…….trang 12 Ñònh lyù 4.2…………………...…………………………………………….trang 13 4.2. Söï hoäi tuï cuûa thuaät giaûi laëpï caáp hai…………………………..…….……trang 16 Ñònh lyù 4.3………………………………..……………………………..….trang16 Chuù thích 4.1……………………….…………………………………..….trang 19 Chöông 5: Khai trieån tieäm caän nghieäm theo tham soá beù………………………...trang 20 Boå ñeà 5.1………………………………………………..…………………trang 21 Boå ñeà 5.2………………………………………………………..…………trang 22 Boå ñeà 5.3……………………………………..……………………………trang 23 Ñònh lyù 5.1………………………………………………..………………..trang 25 Chuù thích 5.1…….…………………………………………………..…….trang 26 Ñònh lyù 5.2………………………...……………………………………….trang 26 Chöông 6: Moät soá heä phöông trình haøm cuï theå………………..…………………trang 28 6.1. Khaûo saùt thuaät giaûi laëp caáp hai…………………………………………...trang 28 6.2. Khai trieån tieäm caän cuûa nghieäm………………………………......……...trang 33 Phaàn keát luaän. …………………………………...………………………….....….trang 39 Taøi lieäu tham khaûo………………………………………………………….……..trang 40 1 CHÖÔNG 1 TOÅNG QUAN Trong luaän vaên naày, chuùng toâi nghieân cöùu heä phöông trình haøm sau ñaây m n ( ) m n f i ( x) = ε ∑∑ aijk Φ f j ( Rijk ( x)) + ∑∑ bijk f j ( S ijk ( x)) + g i ( x), (1.1) k =1 j =1 k =1 j =1 ∀x ∈ Ω; i = 1,..., n, trong ñoù Ω = [a, b] hoaëc Ω laø moät khoaûng khoâng bò chaän cuûa IR, aijk , bijk laø caùc haèng soá thöïc cho tröôùc; g i : Ω → IR, Rijk , S ijk : Ω → Ω, vaø Φ : IR → IR laø caùc haøm soá lieân tuïc cho tröôùc thoaû moät soá ñieàu kieän naøo ñoù maø ta seõ chæ roõ sau ñoù. Caùc haøm f i : Ω → IR laø caùc aån haøm, ε laø moät tham soá beù. Trong tröôøng hôïp rieâng Φ( y ) = y 2 , Rijk = S ijk , heä (1.1) ñöôïc nghieân cöùu bôûi caùc taùc giaû N.T. Long, N.H. Nghóa, T.N. Dieãm[6]; L.T. Vaân [11]. Trong [12], caùc taùc giaû C.Q. Wu, Q.W. Xuan, D.Y. Zhu ñaõ nghieân cöùu heä (1.1) sau ñaây öùng vôùi Ω = [−b, b], m = n = 2, aijk = 0 vaø S ijk laø caùc nhò thöùc baäc nhaát. ⎧ f1 ( x) = a11 f1 (b11 x + c11 ) + a12 f 2 (b12 x + c12 ) ⎪ + a13 f1 (b13 x + c13 ) + g1 ( x), ⎪ ⎨ ⎪ f 2 ( x) = a 21 f1 (b21 x + c 21 ) + a 22 f 2 (b22 x + c 22 ) ⎪⎩ + a 23 f 2 (b23 x + c 23 ) + g 2 ( x), (1.2) vôùi moïi x ∈ Ω = [−b, b], trong ñoù, caùc haèng soá aij , bij , cij , b cho tröôùc thoûa caùc ñieàu kieän: bij < 1, b ≥ max [ i, j cij 1 − bij 3 ], max ( i ∑ aij ) < 1, (1.3) j =1 caùc haøm soá g1 , g 2 lieân tuïc cho tröôùc vaø f1 , f 2 laø caùc aån haøm. Nghieäm cuûa heä (1.2) luùc naøy cuõng ñöôïc xaáp xæ bôûi moät daõy qui naïp hoäi tuï ñeàu vaø oån ñònh ñoái vôùi caùc g i . Trong [9], caùc taùc giaû Nghóa, Khoâi ñaõ xeùt heä phöông trình haøm cuï theå sau ñaây ñeå laøm kieåm tra moät thuaät toaùn soá 2 x x 1 x 1 x 1 1 1 1 1 ⎧ ⎪⎪ f 1 ( x) = 100 f1 ( 2 ) + 200 f 1 ( 3 + 2 ) + 100 f 2 ( 4 + 4 ) + 100 f 2 ( 3 + 4 ) + g1 ( x), (1.4) ⎨ ⎪ f ( x) = 1 f ( x ) + 1 f ( x + 1 ) + 1 f ( x ) + 1 f ( x + 3 ) + g ( x), 1 1 2 2 2 ⎪⎩ 2 100 4 200 2 3 100 2 200 4 4 vôùi moïi x ∈ [−1,1] , trong ñoù g1 , g 2 ñöôïc choïn sao cho heä (1.4) coù nghieäm chính xaùc bieát tröôùc. Trong [3], caùc taùc giaû Long, Nghóa, Ruy, Khoâi ñaõ nghieân cöùu moät tröôøng hôïp rieâng cuûa (1.1) vôùi aijk = 0 vaø Ω = [−b, b] hay Ω laø khoaûng khoâng bò chaän cuûa IR. Baèng caùch söû duïng ñònh lyù ñieåm baát ñoäng Banach, trong [3] ñaõ thu ñöôïc keát quaû veà söï toàn taïi, duy nhaát vaø tính oån ñònh nghieäm cuûa heä (1.1) ñoái vôùi caùc haøm g i . Trong tröôøng hôïp aijk = 0 vaø S ijk laø caùc nhò thöùc baäc nhaát, g ∈ C r (Ω; IR n ) vaø Ω = [−b, b], trong [3] ñaõ thu ñöôïc moät khai trieån Maclaurin cuûa nghieäm cuûa heä (1.1) cho ñeán caáp r. Hôn nöõa, neáu g i laø caùc ña thöùc baäc r , thì nghieäm cuûa heä (1.1) cuõng laø ña thöùc baäc r. Keá ñoù, neáu g i laø caùc haøm lieân tuïc, nghieäm f cuûa (1.1) ñöôïc xaáp xæ bôûi moät daõy caùc ña thöùc hoäi tuï ñeàu. Sau ñoù, caùc keát quaû treân ñaây ñaõ ñöôïc nôùi roäng bôûi caùc taùc giaû Long, Nghóa[4] cho mieàn Ω ⊂ IR p nhieàu chieàu vaø S ijk laø caùc haøm affine. Hôn nöõa, trong [4] cuõng cho moät ñieàu kieän ñuû veà söï hoäi tuï caáp hai. Moät soá keát quaû lieân quan ñeán khai trieån tieäm caän cuûa nghieäm cho heä (1.1) theo moät tham soá beù ε cuõng ñöôïc xem xeùt trong baøi baùo cuûa Long, Nghóa, Dieãm [6] vaø Long [8]. Gaàn ñaây, N.T. Long, P.H. Danh, N.K. Khoâi [5] ñaõ nghieân cöùu heä phöông trình tích phaân-haøm β ij x +γ ij ⎛ ⎞ ⎜ f i ( x) = ∑ ⎜ aij f j (bij x + cij ) + α ij ∫ f j (t )dt ⎟⎟ + g i ( x), i = 1,2, x ∈ [−b, b]. ⎟ j =1 ⎜ 0 ⎝ ⎠ 2 (1.7) Sau ñoù P.H. Danh, H.T.H. Dung, N.T. Long[1] ñaõ xeùt heä β ijk x +γ ijk ⎛ ⎞ ⎜ f i ( x) = ∑∑ ⎜ aijk f j (bijk x + cijk ) + α ikj f j (t )dt ⎟⎟ + g i ( x), ∫ ⎟ k =1 j =1 ⎜ 0 ⎝ ⎠ m n (1.8) i = 1,2,..., n, x ∈ Ω = [−b, b], trong ñoù g i : Ω → IR laø caùc haøm lieân tuïc cho tröôùc, aijk , bijk , cijk ,α ijk , β ijk , γ ijk ∈ R laø caùc haèng soá thöïc cho tröôùc thoûa theâm moät soá ñieàu kieän phuï. Caùc taùc giaû trong [1, 5] ñaõ thieát laäp nghieäm f = ( f1 ,..., f n ) bôûi moät daõy caùc ña thöùc hoäi tuï ñeàu. 3 Luaän vaên naày ñöôïc trình baøy trong 6 chöông, phaàn keát luaän vaø cuoái cuøng laø phaàn taøi lieäu tham khaûo. Trong chöông 1, laø phaàn toång quan veà heä phöông trình haøm, moät soá keát quaû ñaõ coù tröôùc ñoù vaø moät soá noäi dung caàn trình baøy trong caùc chöông cuûa luaän vaên. Trong chöông 2, laø phaàn trình baøy coâng cuï chuû yeáu ñeå söû duïng cho caùc chöông sau. Trong chöông 3, döïa vaøo ñònh lyù ñieåm baát ñoäng Banach, chuùng toâi chöùng minh söï toàn taïi, duy nhaát nghieäm cuûa heä (1.1). Trong chöông 4, chuùng toâi nghieân cöùu moät ñieàu kieän ñuû ñeå thu ñöôïc thuaät giaûi laëp hoäi tuï caáp hai cho heä (1.1). Ñieàu naày cho pheùp gia taêng toác ñoä hoäi tuï cuûa thuaät giaûi laëp so vôùi thuaät giaûi xaáp xæ lieân tieáp cuûa aùnh xaï co. Trong chöông 5, chuùng toâi nghieân cöùu heä phöông trình haøm (1.1) bò nhieãu bôûi moät tham soá beù ε . Chuùng toâi thu ñöôïc trong chöông naày moät khai trieån tieäm caän nghieäm cuûa heä (1.1) ñeán caáp N + 1 theo ε , vôùi ε ñuû nhoû theo nghóa N f ε = ∑ ε r f [ r ] + O(ε N +1 ) r =0 töùc laø n N sup ∑ f i ( x) − ∑ ε r f i[ r ] ( x) ≤ C ε x∈Ω i =1 N +1 , r =0 trong ñoù C laø moät haèng soá ñoäc laäp vôùi ε . Trong chöông 6, chuùng toâi nghieân cöùu moät soá ví duï heä phöông trình haøm cuï theå p vôùi thuoäc daïng (1.1) öùng vôùi m = 1, n = 2, Ω = [−1,1], Φ ( y ) = y , p ≥ 2, ôû ñoù moät thuaät giaûi hoäi tuï caáp hai vaø chæ ra caùc thaønh phaàn trong khai trieån tieäm caän ñeán caáp hai cho heä ñöôïc khaûo saùt. Phaàn keát luaän neâu leân moät soá keát quaû thu ñöôïc trong luaän vaên vaø moät soá chuù yù keøm theo. Cuoái cuøng laø phaàn taøi lieäu tham khaûo. 4 CHÖÔNG 2 CAÙC KYÙ HIEÄU VAØ KHOÂNG GIAN HAØM Trong chöông 2, laø phaàn giôùi thieäu veà caùc kyù hieäu, caùc khoâng gian haøm vaø moät soá coâng cuï cô baûn ñöôïc söû duïng trong luaän vaên. 2.1. Caùc kyù hieäu Ta kyù hieäu Ω = [a, b] hay Ω laø khoaûng khoâng bò chaën trong IR. Vôùi Ω = [a, b] , ta kyù hieäu X = C (Ω; IR n ) laø khoâng gian Banach cuûa caùc haøm soá f = ( f1 ,..., f n ) : Ω → IR n lieân tuïc treân Ω ñoái vôùi chuaån n f X = sup ∑ f i ( x) . x∈Ω i =1 (2.1) Khi Ω laø khoaûng khoâng bò chaën, ta kyù hieäu X = C b (Ω; IR n ) laø khoâng gian Banach cuûa caùc haøm soá f : Ω → IR n lieân tuïc, bò chaän treân Ω ñoái vôùi chuaån (2.1). Töông töï, vôùi soá nguyeân khoâng aâm m, ta ñaët C m (Ω; IR n ) = { f = ( f 1 ,..., f n ) ∈ C (Ω; IR n ) : f i ( k ) ∈ C (Ω; IR), 0 ≤ k ≤ m, 1 ≤ i ≤ n}. Vôùi Ω laø khoaûng khoâng bò chaën, ta kyù hieäu C bm (Ω; IR n ) = { f = ( f1 ,..., f n ) ∈ C b (Ω; IR n ) : f i ( k ) ∈ C b (Ω; IR), 0 ≤ k ≤ m, 1 ≤ i ≤ n}. Maët khaùc, C m (Ω; IR n ) vaø C bm (Ω; IR n ) cuõng laø caùc khoâng gian Banach ñoái vôùi chuaån n f m = max sup ∑ f i( k ) ( x) . 1≤ k ≤ m x∈Ω i =1 (2.2) 2.2. Ñònh lyù ñieåm baát ñoäng Banach Ñònh lyù ñieåm baát ñoäng sau ñaây ñöôïc söû duïng nhieàu laàn trong caùc chöông sau. Ñònh lyù 2.1.( Ñònh lyù ñieåm baát ñoäng Banach) Cho X laø khoâng gian Banach vôùi chuaån ⋅ , K ⊂ X laø taäp ñoùng. Cho T : K → K laø aùnh xaï thoûa maõn: Toàn taïi soá thöïc σ , 0 ≤ σ < 1 sao cho 5 (2.3) Tf − Tg ≤ σ f − g , ∀f , g ∈ K . Khi ñoù ta coù (i) Toàn taïi duy nhaát f ∈ K sao cho f = Tf . (ii) Vôùi moãi f (0) ∈ K , xeùt daõy { f (ν ) } cho bôûi f (ν ) = Tf (j) lim ν →∞ (jj) (jjj) f (ν ) ( ν −1) , ν = 1, 2,... ta coù f (ν ) − f = 0, −f ≤ f f (ν ) − f ≤ (0) σ 1−σ − Tf ( 0) σν , ν = 1,2,... 1−σ f (ν ) − f (ν −1) , ν = 1,2,... Chöùng minh ñònh lyù 2.1 coù theå tìm thaáy trong caùc saùch veà nhaäp moân giaûi tích.„ 6 CHÖÔNG 3 ÑÒNH LYÙ TOÀN TAÏI VAØ DUY NHAÁT NGHIEÄM Trong chöông naày, döïa vaøo ñònh lyù ñieåm baát ñoäng Banach, chuùng ta chöùng minh söï toàn taïi, duy nhaát nghieäm cuûa heä (1.1). Ta vieát heä (1.1) theo daïng cuûa moät phöông trình toaùn töû trong X ≡ C (Ω; IR n ) ( hoaëc trong X = C b (Ω; IR n ) ) nhö sau (3.1) f = ε Af + Bf + g trong ñoù f = ( f1 ,..., f n ), Af = ( ( Af )1 ,..., ( Af ) n ), Bf = ( ( Bf )1 ,..., ( Bf ) n ), vôùi ( Af ) i ( x) = ∑∑ aijk Φ ( f j ( Rijk ( x)) ), m n k =1 j =1 m n ( Bf ) i ( x) = ∑∑ bijk f j ( S ijk ( x)), ( 1 ≤ i ≤ n ) vôùi moïi x ∈ Ω . k =1 j =1 Ta kyù hieäu: = [bijk ] n m ∑∑ 1max ≤ j ≤n i =1 k =1 bijk . Ñaàu tieân, ta caàn boå ñeà sau. Boå ñeà 3.1. Giaû söû [bijk ] < 1 vaø S ijk : Ω → Ω lieân tuïc. Khi ñoù: i) Bf f X ≤ [bijk ] X ∀f ∈ X . ii) Toaùn töû tuyeán tính I − B : X → X laø khaû ñaûo vaø ( I − B) −1 ≤ Chöùng minh: i) Ta coù: 1 1 − [bijk ] . 7 n Bf X n m n = sup ∑ ( Bf ) i ( x) ≤ sup ∑ ∑∑ bijk f j ( S ijk ( x)) x∈Ω i =1 x∈Ω i =1 k =1 j =1 n m n ≤ sup ∑∑∑ bijk f j ( S ijk ( x)) x∈Ω i =1 k =1 j =1 n m n ≤ ∑∑ max bijk sup ∑ f j ( S ijk ( x)) ≤ [bijk ] f i =1 k =11≤ j ≤ n X x∈Ω j =1 . ii) Tröôùc heát, ta nghieäm laïi raèng B < 1. Thaät vaäy, do (i) vaø [bijk ] < 1, ta chuù yù raèng B = sup 0 ≠ f ∈X Bf f X ≤ [bijk ] < 1, do ñoù, B < 1. X Tieáp theo, ta chöùng minh raèng I − B khaû ñaûo, töùc laø, vôùi moãi g ∈ X , phöông trình f = Bf + g coù nghieäm duy nhaát f ∈ X . Thaät vaäy, xeùt aùnh xaï δ :X →X Khi ñoù, δ laø aùnh xaï co. Ta coù: f X = Bf + g X f a δ f = Bf + g ≤ B f X + g Vì f = ( I − B ) −1 g neân ( I − B) −1 g X X ≤ hay f g X 1− B X ≤ g X 1− B . . Vaäy ( I − B) −1 = sup 0 ≠ g∈ X ( I − B ) −1 g g X X ≤ 1 1 , ≤ 1 − B 1 − [bijk ] vaø Boå ñeà 3.1 ñöôïc chöùng minh.„ Do boå ñeà 1, ta vieát laïi heä (2.1) nhö sau: f = ( I − B) −1 (ε Af + g ) ≡ Tf . Ta thaønh laäp caùc giaû thieát sau: ( H 1 ) Rijk , S ijk : Ω → Ω lieân tuïc; (3.2) 8 ( H 2 ) g = ( g1 ,..., g n ) ∈ X ; (H 3 ) [bijk ] < 1 ; ( H 4 ) Φ : R → R thoûa ñieàu kieän ∀M > 0, ∃C1 ( M ) > 0 : Φ ( y ) − Φ ( z ) ≤ C1 ( M ) y − z ∀y, z ∈ [− M , M ]. (H 5 ) M > 2 g X 1 − [bijk ] vaø 0 < ε 0 < ( M 1 − [bijk ] ) 2(MC1 ( M ) + n Φ (0) ) [aijk ] Vôùi moãi M > 0, ta ñaët K M = { f ∈ X : f ≤ M} . X Khi ñoù, ta coù boå ñeà sau ñaây. Boå ñeà 3.2. Giaû söû ( H 1 ) - ( H 4 ) ñuùng. Khi ñoù, ta coù i) Af X ( ≤ [aijk ] C1 ( M ) f ~ ii) Af − Af X X + n Φ (0) ~ ≤ C1 ( M ) [aijk ] f − f ) ∀f ∈ K M , ~ ∀f , f ∈ K M . X Chöùng minh. (i) ∀f ∈ K M , n n m n ( ∑ ( Af ) i ( x) ≤ ∑∑∑ aijk Φ f j ( Rijk ( x)) i =1 ) i =1 k =1 j =1 n m n ( ≤ ∑∑ max aijk sup ∑ Φ f j ( Rijk ( x)) i =1 k =11≤ j ≤ n n x∈Ω j =1 m n ( ≤ ∑∑ max aijk sup ∑ Φ f j ( x) i =1 k =11≤ j ≤ n n x∈Ω j =1 m n ( ) ) ≤ ∑∑ max aijk sup ∑ C1 ( M ) f j ( x) + Φ(0) i =1 k =11≤ j ≤ n ( x∈Ω j =1 ≤ [aijk ] C1 ( M ) f Vaäy: Af X ( ≤ [aijk ] C1 ( M ) f ~ (ii) ∀f , f ∈ K M , ta coù X X ) + n Φ (0) . ) + n Φ (0) . ) . 9 n ) ( ) ) ( ) n m n ~ ~ ( Af ) ( x ) − ( A f ) ( x ) ≤ ∑ i ∑∑∑ aijk Φ f j ( Rijk ( x)) − Φ f j ( Rijk ( x)) i ( i =1 i =1 k =1 j =1 n m n ~ ≤ ∑∑ max aijk sup ∑ Φ f j ( Rijk ( x)) − Φ f j ( Rijk ( x)) i =1 k =11≤ j ≤ n ( x∈Ω j =1 ) ( n m n ~ ≤ ∑∑ max aijk sup ∑ Φ f j ( x) − Φ f j ( x) i =1 k =11≤ j ≤ n ( x∈Ω j =1 ) n m n ~ ≤ C1 ( M )∑∑ max aijk sup ∑ f j ( x) − f j ( x) i =1 k =11≤ j ≤ n x∈Ω j =1 ~ ≤ C1 ( M ) [aijk ] f − f Vaäy: ~ Af − Af X X . ~ ≤ C1 ( M ) [aijk ] f − f X .„ Khi ñoù, ta coù ñònh lyù sau ñaây. Ñònh lyù 3.1. Giaû söû ( H 1 ) - ( H 5 ) ñuùng. Khi ñoù, vôùi moãi ε , vôùi ε ≤ ε 0 , heä (3.2) coù moät nghieäm duy nhaát f ∈ K M . ~ Chöùng minh. Hieån nhieân raèng Tf ∈ X , vôùi moïi f ∈ X . Xeùt f , f ∈ K M , ta deã daøng nghieäm laïi raèng, do boå ñeà 3.1 vaø 3.2, raèng Tf = ( I − B) −1 (ε Af + g ) X ≤ ~ Tf − T f X 1 1 − [bijk ] [ε 0 X X + g [aijk ] (MC1 ( M ) + n Φ (0) ) + g ~ = ( I − B) −1 ε ( Af − A f ) ≤ ≤ ( I − B) −1 (ε Af X ε 0 C1 ( M ) [aijk ] 1 − [bijk ] X ) ], ~ ≤ ε 0 ( I − B ) −1 Af − A f ~ f −f X . ε 0 [aijk ] (MC1 ( M ) + n Φ (0) ) + g X ≤ (3.3) X (3.4) Chuù yù raèng, töø ( H 5 ) ta coù Töø ñaây ta suy ra X ( ) M 1 − [bijk ] . 2 10 ε 0 [aijk ] (MC1 ( M ) + n Φ(0) ) + g X 1 − [bijk ] ≤ M vaø ε 0 C1 ( M ) [aijk ] 1 − [bijk ] < 1. (3.5) Ta suy töø (3.3), (3.4), (3.5) raèng T : K M → K M laø aùnh xaï co. Khi ñoù, söû duïng ñònh lyù ñieåm baát ñoäng Banach, ta coù duy nhaát moät haøm f ∈ K M sao cho f = Tf . „ Chuù thích 3.1. Nhôø ñònh lyù ñieåm baát ñoäng Banach, nghieäm f cuûa heä (3.2) ñöôïc xaáp xæ bôûi thuaät giaûi sau: f (ν ) = Tf (ν −1) ≡ ( I − B ) −1 (ε Af (ν −1) + g ), cho tröôùc. f (0) ∈ K M Khi ñoù (3.6) f (ν ) → f trong X khi ν → +∞ (3.7) Vaø f vôùi (ν ) σ= −f X ≤ f ( 0) − Tf 1−σ ε 0 C1 ( M ) [aijk ] 1 − [bijk ] (0) X σ ν , ∀ν = 1,2,... , (3.8) < 1. Chuù thích 3.2. Trong tröôøng hôïp rieâng Φ ( y ) = y 2 , Rijk = S ijk , heä (1.1) ñöôïc chöùng minh toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm bôûi caùc taùc giaû N.T. Long, N.H. Nghóa, T.N. Dieãm [6]; L.T. Vaân [11]. 11 CHÖÔNG 4 THUAÄT GIAÛI LAËP CAÁP HAI Trong ñònh lyù 3.1 ñaõ cho moät thuaät giaûi xaáp xæ lieân tieáp (3.6), theo nguyeân taéc aùnh xaï co, ñoù cuõng laø moät thuaät giaûi hoäi tuï caáp 1. Trong phaàn naøy chuùng ta nghieân cöùu moät thuaät giaûi caáp hai cho heä (1.1). Moät soá ñieàu kieän phuï lieân quan ñeán heä (1.1) ta seõ ñaët sau. 4.1. THUAÄT GIAÛI LAËP CAÁP HAI Xeùt heä phöông trình haøm m n ( ) m n f i ( x) = ε ∑∑ aijk Φ f j ( Rijk ( x)) + ∑∑ bijk f j ( S ijk ( x)) + g i ( x), k =1 j =1 k =1 j =1 (1.1) ∀x ∈ Ω; i = 1,..., n, Ta giaû söû raèng Φ ∈ C 1 ( IR; IR). Döïa vaøo xaáp xæ sau ñaây: Φ ( f j(ν ) ) ≅ Φ ( f j(ν −1) ) + Φ / ( f j(ν −1) )( f j(ν ) − f j(ν −1) ) . (4.1) Ta thu ñöôïc giaûi thuaät sau ñaây cho heä (1.1) ( ) i) Cho tröôùc f ( 0 ) = f1( 0 ) ,..., f n( 0 ) ∈ X . ii) Giaû söû bieát f (ν −1) = ( f1(ν −1) ,..., f n(ν −1) ) ∈ X , ta xaùc ñònh f (ν ) = ( f 1(ν ) ,..., f n(ν ) ) ∈ X bôûi fi (ν ) m n ( x) = ε ∑∑ aijk Φ ( f j(ν −1) ( Rijk ( x))) k =1 j =1 m n [ ( + ε ∑ ∑ aijk Φ / ( f j(ν −1) ( Rijk ( x))) f j(ν ) ( Rijk ( x)) − f j(ν −1) ( Rijk ( x)) k =1 j =1 )] m n + ∑∑ bijk f j(ν ) ( S ijk ( x)) + g i ( x), x ∈ Ω, 1 ≤ i ≤ n, ν = 1,2,... (4.2) k =1 j =1 Ta vieát laïi (4.2) döôùi daïng n m n m (ν ) f i(ν ) ( x) = ∑∑ α ijk ( x) f j(ν ) ( Rijk ( x)) + ∑∑ bijk f j(ν ) ( S ijk ( x)) + g i(ν ) ( x), j =1 k =1 j =1 k =1 x ∈ Ω, 1 ≤ i ≤ n, ν = 1,2,... (ν ) trong ñoù α ijk , g i(ν ) phuï thuoäc vaøo f (ν −1) cho bôûi: (4.3) 12 (ν ) α ijk ( x) = ε aijk Φ / ( f j(ν −1) ( Rijk ( x))), (4.4) g i(ν ) ( x) = g i ( x) +ε ∑∑ a [Φ( f m n ijk k =1 j =1 (ν −1) j ] ( Rijk ( x))) − Φ / ( f j(ν −1) ( Rijk ( x))) f j(ν −1) ( Rijk ( x)) . (4.5) Khi ñoù ta coù ñònh lyù sau: Ñònh lyù 4.1. Giaû söû ( H 1 ) - ( H 3 ) laø ñuùng. Neáu f (ν −1) ∈ X thoûa n m (ν ) αν ≡ ∑∑ max sup α ijk ( x) + [bijk ] < 1. (4.6) i =1 k =11≤ j ≤ n x∈Ω Khi ñoù toàn taïi duy nhaát f (ν ) ∈ X laø nghieäm cuûa (4.3)−(4.5) . Chöùng minh. Heä (4.3) ñöôïc vieát laïi nhö sau: f (ν ) = Tν f (ν ) (4.7) , Vôùi n m n m j =1 k =1 j =1 k =1 (ν ) (Tν f ) i ( x) = ∑∑ α ijk ( x) f j ( Rijk ( x)) + ∑∑ bijk f j ( S ijk ( x)) + g i(ν ) ( x), x ∈ Ω , 1 ≤ i ≤ n , ν = 1,2,... , f = ( f1 ,..., f n ) ∈ X . (4.8) Hieån nhieân raèng Tν : X → X . Ta chæ caàn nghieäm laïi raèng Tν f − Tν h X ≤ αν f − h X , ∀f , h ∈ X . ~ Thaät vaäy, vôùi f , h ∈ X , ñaët f = f − h, ta coù (4.9) n ∑ (Tν f ) ( x) − (Tν h) ( x) i =1 i i n n m n m ~ ~ (ν ) = ∑ ∑∑ α ijk ( x) f j ( Rijk ( x)) + ∑∑ bijk f j ( S ijk ( x)) i =1 j =1 k =1 n n j =1 k =1 m n n m ~ ~ (ν ) ≤ ∑∑∑ α ijk ( x) f j ( Rijk ( x)) + ∑∑∑ bijk f j ( S ijk ( x)) i =1 j =1 k =1 n m (ν ) ≤ ∑∑ max α ijk ( x) i =1 k =1 1≤ j ≤ n i =1 j =1 k =1 n ∑ j =1 n m ~ f j ( Rijk ( x)) + ∑∑ max bijk i =1 k =1 1≤ j ≤ n n ∑ j =1 ~ f j ( S ijk ( x)) 13 n m ~ (ν ) ≤ ∑∑ max sup α ijk ( x) f i =1 k =1 1≤ j ≤ n x∈Ω n m ~ + ∑∑ max bijk f X i =1 k =1 n m ⎡ n m (ν ) ( x) + ∑∑ = ⎢∑∑ max sup α ijk i =1 k =1 ⎣ i =1 k =1 1≤ j ≤ n x∈Ω n m ⎡ (ν ) = ⎢∑∑ max sup α ijk ( x) + [bijk ] 1≤ j ≤ n x∈Ω ⎣ i =1 k =1 1≤ j ≤ n X ⎤ ~ max bijk ⎥ f X 1≤ j ≤ n ⎦ ⎤ ~ ⎥ f X = αν f − h ⎦ X . Vaäy Tν f − Tν h n . ≤ sup ∑ (Tν f ) i ( x) − (Tν h) i ( x) ≤ αν f − h X x∈Ω i =1 X . Söû duïng ñònh lyù ñieåm baát ñoäng Banach, ñònh lyù 4.1 ñöôïc chöùng minh.„ Ñònh lyù 4.2. Giaû söû ( H 1 ) − ( H 3 ) ñuùng. Cho aijk ∈ IR. Khi ñoù, toàn taïi hai haèng soá M , ε , sao cho: Vôùi f (0) ∈ K M cho tröôùc, heä (4.3)−(4.5) toàn taïi duy nhaát nghieäm f (ν ) thoûa ñieàu kieän f (ν ) ∈ K M , ∀ν = 0,1,2,... (4.10) Chöùng minh. Giaû söû f (0) ∈ K M , vôùi hai haèng soá M , ε , maø ta seõ choïn sau. Ta cuõng giaû söû baèng qui naïp raèng: (4.11) f (ν −1) ∈ K M . Ta seõ chöùng minh raèng f (ν ) ∈ K M . Vôùi moïi x ∈ Ω, ta coù töø (4.3) raèng: n ∑ i =1 n n m (ν ) f i(ν ) ( x) ≤ ∑∑∑ α ijk ( x) f j(ν ) ( Rijk ( x)) i =1 j =1 k =1 n n m n + ∑∑∑ bijk f j(ν ) ( S ijk ( x)) + ∑ g i(ν ) ( x) i =1 j =1 k =1 n i =1 m (ν ) ≤ ∑∑ max α ijk ( x) i =1 k =11≤ j ≤ n n m + ∑∑ max bijk i =1 k =11≤ j ≤ n n n ∑ j =1 n ∑ j =1 f j(ν ) ( Rijk ( x)) f j(ν ) ( S ijk ( x)) + g (ν ) m (ν ) ≤ ∑∑ max sup α ijk ( x) f (ν ) i =1 k =1 1≤ j ≤ n x∈Ω n m + ∑∑ max bijk f (ν ) i =1 k =1 1≤ j ≤ n X X + g (ν ) X X 14 ⎛ n m (ν ) ≤ ⎜⎜ ∑∑ max sup α ijk ( x) + [bijk ] j n ≤ ≤ 1 x ∈ Ω ⎝ i =1 k =1 ⎞ (ν ) ⎟ f ⎟ ⎠ X + g (ν ) X (4.12) . Do ñoù f (ν ) X ⎛ n m (ν ) ≤ ⎜⎜ ∑∑ max sup α ijk ( x) + [bijk ] j n ≤ ≤ 1 x ∈ Ω i k = = 1 1 ⎝ ⎞ (ν ) ⎟ f ⎟ ⎠ X + g (ν ) X . (4.13) Maët khaùc, vôùi moïi x ∈ Ω, ta coù töø (4.4), (4.11), raèng: ( ) (ν ) α ijk ( x) ≤ ε aijk Φ / f j(ν −1) ( Rijk ( x)) ≤ ε aijk sup Φ / ( y ) ≡ ε M 1 aijk , (4.14) y ≤M trong ñoù M 1 = sup Φ / ( y ) . y ≤M Ta suy töø (4.14) raèng: n m (ν ) sup α ijk ( x) ≤ ε M 1 ∑∑ 1max ≤ j ≤ n x∈Ω j =1 k =1 (4.15) [aijk ] . Maët khaùc, ta cuõng coù töø (4.5) raèng: g i(ν ) ( x) = g i ( x) −ε ∑∑ aijk [Φ( f j(ν −1) ( Rijk ( x))) − Φ / ( f j(ν −1) ( Rijk ( x))) f j(ν −1) ( Rijk ( x))] . m n k =1 j =1 Chuù yù raèng soá haïng trong daáu moùc […] ñöôïc ñaùnh giaù nhö sau Φ ( f j(ν −1) ( Rijk ( x))) − Φ / ( f j(ν −1) ( Rijk ( x))) f j(ν −1) ( Rijk ( x)) = Φ ( f j(ν −1) ( Rijk ( x))) − Φ (0) − Φ / ( f j(ν −1) ( Rijk ( x))) f j(ν −1) ( Rijk ( x)) + Φ (0) = Φ / (θ f j(ν −1) ( Rijk ( x))) f j(ν −1) ( Rijk ( x)) − Φ / ( f j(ν −1) ( Rijk ( x))) f j(ν −1) ( Rijk ( x)) + Φ (0) ( ≤ Φ / (θ f j(ν −1) ( Rijk ( x))) + Φ / ( f j(ν −1) ( Rijk ( x))) )f (ν −1) j ( Rijk ( x)) + Φ (0) ≤ 2M 1 f j(ν −1) ( Rijk ( x)) + Φ (0) , trong ñoù soá thöïc θ , 0 < θ < 1 xuaát hieän do vieäc aùp duïng ñònh lyù Lagrange cho haøm Φ : Φ ( z ) − Φ (0) = zΦ / (θ z ) vôùi z = f j(ν −1) ( Rijk ( x)). Do ñoù ta suy ra töø (4.11) raèng 15 n ∑ i =1 n g i(ν ) ( x) ≤ ∑ g i ( x) i =1 n m n ∑∑∑ aijk +ε i =1 k =1 j =1 ≤ g X +ε n Φ ( f j(ν −1) ( Rijk ( x))) − Φ / ( f j(ν −1) ( Rijk ( x))) f j(ν −1) ( Rijk ( x)) m ∑∑ max aijk i =1 k =1 1≤ j ≤ n ≤ g ≤ g X j =1 f j(ν −1) ( Rijk ( x)) 1 ∑∑ max a (n Φ(0) + 2M + ε [aijk ] (n Φ (0) + 2 MM 1 ) . X n +ε X m i =1 k =1 Vaäy g (ν ) ∑ ( Φ ( 0) + 2 M n ≤ g X 1≤ j ≤ n ijk 1 ) f (ν −1) X ) + ε [aijk ] (n Φ (0) + 2MM 1 ). (4.16) Töø (4.13), (4.15) vaø (4.16), ta ñöôïc: f (ν ) X ( ≤ ε M 1 [aijk ] + [bijk ] + g X hay (1 − [bijk ] − ε M 1 [aijk ] ) f (ν ) (4.17) X + ε [aijk ] (n Φ (0) + 2 MM 1 ). ) f (ν ) X ≤ g X + ε [aijk ] (n Φ (0) + 2MM 1 ). Vôùi M > 0 ñaõ choïn nhö trong ( H 5 ), ta choïn ε sao cho hai ñieàu kieän sau ñöôïc thoûa: (4.18) [bijk ] + ε M 1 [aijk ] < 1, g X (4.19) + ε [aijk ] (3MM 1 + n Φ (0) ) ≤ (1 − [bijk ] ) M . Khi ñoù, ta suy ra töø (4.17), (4.18) vaø (4.19) raèng: f (ν ) X ≤ g X + ε [aijk ] (n Φ (0) + 2 MM 1 ) 1 − [bijk ] − ε M 1 [aijk ] (4.20) ≤ M. Ñieàu naày khaúng ñònh (4.10). Ta chuù yù raèng (4.19) daãn ñeán (4.18), bôûi vì (4.19) töông ñöông vôùi: g X ( ) + ε [aijk ] (2MM 1 + n Φ (0) ) ≤ 1 − [bijk ] − ε M 1 [aijk ] M . Nhö vaäy, ta chæ caàn choïn ε thoûa (4.19). (4.21)
- Xem thêm -