Tài liệu Hệ phương trình

Th¸ng 08 – 2007...Ph¹m Kim Chung HÖ ph−¬ng tr×nh  I. HÖ ph−¬ng tr×nh d¹ng ho¸n vÞ vßng quanh. " Bµi 1. ( §Ò thi HSG quèc gia n¨m 1994 ) ( ( ( ) ) ) ⎧ x 3 + 3 x − 3 + ln x 2 − x + 1 = y ⎪ ⎪ Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎨ y 3 + 3 y − 3 + ln y 2 − y + 1 = z ⎪ 3 2 ⎪⎩ z + 3z − 3 + ln z − z + 1 = x Gi¶i : ( XÐt hµm sè : f ( t ) = t 3 + 3t − 3 + ln t 2 − t + 1 ) 2t 2 − 1 > 0, ∀x ∈ R t2 − t + 1 ®ång biÕn trªn R. Ta viÕt l¹i hÖ ph−¬ng tr×nh nh− sau : Ta cã : f' ( t ) = 3t 2 + 1 + VËy hµm sè f ( t ) ⎧ f (x) = y ⎪ ⎨ f (y) = z ⎪ f ( z) = x ⎩ Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t, gi¶ sö : x = min { x, y, z} . Lóc ®ã : x ≤ y ⇒ f ( x ) ≤ f ( y ) ⇒ y ≤ z ⇒ f ( y ) ≤ f ( z ) ⇒ z ≤ x . Hay : x ≤ y ≤ z ≤ x ⇒ x = y = z ( ) Víi : x = y = z , xÐt ph−¬ng tr×nh : x 3 + 2 x − 3 + ln x 2 − x + 1 = 0 ( ) Do hµm sè : ϕ ( x ) = x 3 + 2 x − 3 + ln x 2 − x + 1 ®ång biÕn trªn R nªn pt cã nghiÖm duy nhÊt : x = 1 . VËy hÖ ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt : x = y = z = 1 . " Bµi to¸n tæng qu¸t 1 . XÐt hÖ ph−¬ng tr×nh cã d¹ng : ⎧ f ( x1 ) = g ( x2 ) ⎪ ⎪ f ( x 2 ) = g ( x3 ) ⎪ ⎨ .... ⎪ f (x ) = g(x ) n −1 n ⎪ ⎪⎩ f ( x n ) = g ( x1 ) NÕu hai hµm sè f vµ g cïng t¨ng trªn tËp A vµ ( x1 , x2 ..., xn ) lµ nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh , trong ®ã xi ∈ A, ∀i = 1, 2,..., n th× x1 = x2 = ... = xn . Chøng minh : Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t gi¶ sö : x1 = min { x1 , x2 ..., x n } . Lóc ®ã ta cã : x1 ≤ x2 ⇒ f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) ⇒ g ( x2 ) ≤ g ( x3 ) ⇒ x2 ≤ x3 ... ⇒ x n ≤ x1 . VËy : x1 ≤ x2 ≤ .... ≤ xn ≤ x1 Tõ ®ã suy ra : x1 = x2 = ... = xn . 1 " Bµi 2. ⎧⎛ 1 ⎞2 x + x ⎪⎜ ⎟ =y ⎪⎝ 4 ⎠ ⎪ 2 y3 + y 2 ⎪⎛ 1 ⎞ Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎨ ⎜ ⎟ =z ⎪⎝ 4 ⎠ 2 z3 + z 2 ⎪ 1 ⎛ ⎞ ⎪ =x ⎪ ⎜⎝ 4 ⎟⎠ ⎩ 3 Gi¶i: 2 V× vÕ tr¸i cña c¸c ph−¬ng tr×nh trong hÖ ®Òu d−¬ng nªn hÖ chØ cã nghiÖm : x, y, z > 0 . 2 t3 +t2 ⎛1⎞ XÐt hµm sè : f ( t ) = ⎜ ⎟ , ta cã : f' ( t ) = − ( 2 ln 4 ) 3t 2 + t 4 ⎝ ⎠ VËy hµm sè f ( t ) nghÞch biÕn trªn kho¶ng ( 0; + ∞ ) . ( ) ⎛1⎞ .⎜ ⎟ ⎝4⎠ 2 t3 +t2 < 0, ∀t > 0 . Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t, gi¶ sö : x = min { x, y, z} . Lóc ®ã : x ≤ y ⇒ f ( x) ≥ f ( y) ⇒ y ≥ z ⇒ f ( y) ≤ f (z) ⇒ z ≤ x ⇒ x = z ⇒ f ( x ) = f (z) ⇒ y = x . 1 . 2 " Bµi to¸n tæng qu¸t 2 . XÐt hÖ ph−¬ng tr×nh cã d¹ng (víi n lÎ ): VËy hÖ ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt : x = y = z = ⎧ f ( x1 ) = g ( x2 ) ⎪ ⎪ f ( x 2 ) = g ( x3 ) ⎪ ⎨ .... ⎪ f (x ) = g(x ) n −1 n ⎪ ⎪⎩ f ( x n ) = g ( x1 ) NÕu hµm sè f gi¶m trªn tËp A , g t¨ng trªn A vµ ( x1 , x2 ..., x n ) lµ nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh , trong ®ã xi ∈ A, ∀i = 1, 2,..., n th× x1 = x2 = ... = xn víi n lÎ . Chøng minh : Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t gi¶ sö : x1 = min { x1 , x2 ..., x n } . Lóc ®ã ta cã : x1 ≤ x2 ⇒ f ( x1 ) ≥ f ( x2 ) ⇒ g ( x2 ) ≥ g ( x3 ) ⇒ x2 ≥ x3 ... ⇒ x n ≤ x1 ⇒ f ( xn ) ≥ f ( x1 ) ⇒ x1 ≥ x2 . ⇒ x1 = x2 Tõ ®ã suy ra : x1 = x2 = ... = xn . " Bµi 3. ⎧( x − 1)2 = 2 y ⎪ 2 ⎪⎪ ( y − 1) = 2 z Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎨ 2 ⎪ ( z − 1) = 2 t ⎪ 2 ⎪⎩ ( t − 1) = 2 x 2 Gi¶i : V× vÕ tr¸i cña c¸c ph−¬ng tr×nh trong hÖ kh«ng ©m nªn ph−¬ng chØ cã nghiÖm : x, y, z, t ≥ 0 . XÐt hµm sè : f ( s ) = ( s − 1) , ta cã : f' ( s ) = 2 ( s − 1) . Do ®ã hµm sè t¨ng trªn kho¶ng (1; + ∞ ) vµ gi¶m 2 trªn [ 0; 1] ( Do f(s) liªn tôc trªn R ). Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t, gi¶ sö : x = min { x, y, z, t} . + NÕu x ∈ (1; + ∞ ) ⇒ x, y, z, t ∈ (1; + ∞ ) , do ®ã theo bµi to¸n tæng qu¸t 1, hÖ cã nghiÖm duy nhÊt : x = y = z = t = 2 + 3 . + NÕu x ∈ [ 0; 1] ⇒ 0 ≤ f ( x ) ≤ 1 ⇒ 0 ≤ 2 y ≤ 1 , hay y ∈ [ 0;1] , t−¬ng tù ⇒ z, t ∈ [ 0; 1] . VËy x, y, z, t ∈ [ 0; 1] . Do ®ã ta cã : x ≤ y ⇒ f ( x) ≥ f ( y) ⇒ y ≥ z ⇒ f ( y) ≤ f (z) ⇒ z ≤ x ⇒ x = z . Víi x = z ⇒ f ( x ) = f ( z ) ⇒ y = t . ⎧( x − 1)2 = 2 y ⎧⎪( x − 1)2 = 2 y ⎪ ⇔ x = y = 2− 3 Lóc ®ã hÖ ph−¬ng tr×nh trë thµnh : ⎨ ⇔ ⎨ ⎡x = y 2 ⎪⎩( y − 1) = 2 x ⎪⎢ ⎩ ⎣ x = −y VËy hÖ ph−¬ng tr×nh ®· cho cã 2 nghiÖm : x = y = z = t = 2 + 3 vµ x = y = 2 − 3 . " Bµi to¸n tæng qu¸t 3 . XÐt hÖ ph−¬ng tr×nh cã d¹ng (víi n ch½n ): ⎧ f ( x1 ) = g ( x2 ) ⎪ ⎪ f ( x 2 ) = g ( x3 ) ⎪ ⎨ .... ⎪ f (x ) = g(x ) n −1 n ⎪ ⎪⎩ f ( xn ) = g ( x1 ) NÕu hµm sè f gi¶m trªn tËp A , g t¨ng trªn A vµ ( x1 , x2 ..., x n ) lµ nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh , trong ⎡ x = x3 = ... = x n −1 víi n ch½n . ®ã xi ∈ A, ∀i = 1, 2,..., n th× ⎢ 1 ⎣ x2 = x 4 = ... = x n Chøng minh : Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t gi¶ sö : x1 = min { x1 , x2 ..., xn } . Lóc ®ã ta cã :. x1 ≤ x3 ⇒ f ( x1 ) ≥ f ( x3 ) ⇒ g ( x2 ) ≥ g ( x 4 ) ⇒ x2 ≥ x 4 ⇒ f ( x 2 ) ≤ f ( x 4 ) ⇒ g ( x3 ) ≤ g ( x5 ) ⇒ x3 ≤ x5 ......... ⇒ f ( xn −2 ) ≤ f ( x n ) ⇒ g ( x n −1 ) ≤ g ( x1 ) ⇒ x n −1 ≤ x1 ......... ⇒ f ( xn −1 ) ≥ f ( x1 ) ⇒ g ( x n ) ≥ g ( x2 ) ⇒ x n ≥ x2 VËy : x1 ≤ x3 ≤ .... ≤ xn −1 ≤ x1 ⇒ x1 = x3 = ... = xn −1 ; x2 ≥ x4 ≥ .... ≥ xn ≥ x2 ⇒ x2 = x4 = ... = xn 3 PhÇn bμi tËp øng dông ph−¬ng ph¸p ) 1. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎧2 x 3 − 7 x 2 + 8 x − 2 = y ⎪ 3 2 ⎨ 2 y − 7y + 8y − 2 = z ⎪ 2 z3 − 7 z 2 + 8z − 2 = x ⎩ ) 2. Chøng minh víi mçi a ∈ R , hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎧ x 2 = y3 + y + a ⎪ 2 3 ⎨y = z +z+a ⎪ z2 = x 3 + x + a ⎩ ) 3. Cho hÖ ph−¬ng tr×nh : cã mét nghiÖm duy nhÊt . ⎧x2 = y + a ⎪ 2 ⎨y = z + a ⎪ 2 ⎩z = x + a T×m a ®Ó hÖ ph−¬ng tr×nh chØ cã nghiÖm víi d¹ng x = y = z . ) 4. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎧ x 31 − 3 x1 + 2 = 2 x2 ⎪ 3 ⎪⎪ x 2 − 3 x2 + 2 = 2 x3 ⎨ ......... ⎪ x 3 − 3x + 2 = 2 x 99 100 ⎪ 99 3 ⎪⎩ x 100 − 3 x100 + 2 = 2 x1 ) 5. Cho n lµ sè nguyªn lín h¬n 1. T×m a ®Ó hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎧ x 21 = x 32 − 4 x2 + ax2 ⎪ 2 3 ⎪ x 2 = x 3 − 4 x3 + ax3 ⎪ cã mét nghiÖm duy nhÊt . ⎨ ......... ⎪ x 2 = x 3 − 4 x + ax n n n ⎪ n −1 2 3 ⎪⎩ x n = x 1 − 4 x1 + ax1 ) 6. Cho n lµ sè nguyªn lín h¬n 1 vµ a ≠ 0 . Chøng minh hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎧ x 21 = x 32 − 4 x2 + ax2 ⎪ 2 3 ⎪⎪ x 2 = x 3 − 4 x3 + ax3 cã nghiÖm duy nhÊt . ⎨ ......... ⎪ x 2 = x 3 − 4 x + ax n n n ⎪ n −1 2 3 ⎪⎩ x n = x 1 − 4 x1 + ax1 ) 7. Chøng minh víi mçi a ∈ R , hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎧ x 2 = y3 + y2 + y + a ⎪ 2 3 2 ⎨ y = z + z + z + a cã mét nghiÖm duy nhÊt . ⎪ z2 = x 3 + x 2 + x + a ⎩ 4  Ii. HÖ ph−¬ng tr×nh gi¶i ®−îc b»ng ph−¬ng ph¸p l−îng gi¸c ho¸. ⎧⎪ x 1 − y 2 + y 1 − x 2 = 1 " 1. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎨ ⎪⎩(1 − x )(1 + y ) = 2 ⎧1 − x 2 ≥ 0 ⎪⎧ x ≤ 1 ⇔ Gi¶i. §K : ⎨ ⎨ 2 ⎩1 − y ≥ 0 ⎩⎪ y ≤ 1 (1) (2) §Æt x = cosα ; y=cosβ víi α ,β ∈ [ 0; π ] , khi ®ã hÖ ph−¬ng tr×nh : π ⎧ ⎧cosα .sinβ + cosβ .sinα =1 ⎪ α + β = ⇔⎨ ⇔⎨ 2 ⎩ (1 − cosα )(1 + cosβ ) = 2 ⎪⎩sinα − cosα − sinα .cosα − 1 = 0 1 − t2 §Æt t = sinα − cosα , t ≤ 2 ⇒ sinα .cosα = 2 2 1− t − 1 = 0 ⇔ t 2 + 2t − 3 ⇒ t = 1 Khi ®ã ta cã : t − 2 ⎧x = 0 π⎞ π ⎛ Víi t = 1 , ta cã : 2sin ⎜ α − ⎟ = 1 ⇒ α = ⇒ β = 0 ⇒ ⎨ 4⎠ 2 ⎝ ⎩y = 1 NÕu : x ≤ a ( a > 0 ) , ta ®Æt x = acosα , víi α ∈ [ 0; π ] ⎧⎪ 2 ( x − y )(1 + 4 xy ) = 3 2 2 ⎪⎩ x + y = 1 ( 1) (2) " 2. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎨ Gi¶i . Do x 2 + y 2 = 1 ⇒ x, y ∈ [ −1; 1] . §Æt x = sinα , y = cosα víi α ∈ [ 0; 2π ] . Khi ®ã (1) ⇔ 2 ( sinα − cosα )(1 + 2sin2α ) = 3 π⎞ ⎛ 1⎞ π ⎞⎛ π⎞ ⎛ ⎛ ⇔ 2. 2sin ⎜ α − ⎟ .2. ⎜ sin2α + ⎟ = 3 ⇔ 4sin ⎜ α − ⎟ ⎜ sin2α + sin ⎟ = 3 4⎠ ⎝ 2⎠ 4 ⎠⎝ 6⎠ ⎝ ⎝ π⎞ ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ π ⎞⎡ π π ⎞⎤ ⎛ ⎛ ⎛ ⇔ 8sin ⎜ α − ⎟ sin ⎜ α − ⎟ cos ⎜ α − ⎟ = 3 ⇔ 4cos ⎜ α + ⎟ ⎢ cos − cos ⎜ 2α − ⎟ ⎥ = 3 12 ⎠ ⎣ 3 6 ⎠⎦ 4⎠ ⎝ 12 ⎠ 12 ⎠ ⎝ ⎝ ⎝ ⎝ π ⎞ π ⎞ ⎛ π⎞ ⎛ ⎛ ⇔ 2cos ⎜ α − ⎟ − 4cos ⎜ α − ⎟ cos ⎜ 2α − ⎟ = 3 12 ⎠ 12 ⎠ 6⎠ ⎝ ⎝ ⎝ π⎞ π ⎞ ⎡ ⎛ π⎞ π ⎞⎤ ⎛ ⎛ ⎛ ⇔ 2cos ⎜ α − ⎟ − 2 ⎢ cos ⎜ 3α − ⎟ + cos ⎜ α − ⎟ ⎥ = 3 ⇔ −2cos ⎜ 3α − ⎟ = 3 12 ⎠ 4⎠ 12 ⎠ ⎦ 4⎠ ⎝ ⎝ ⎝ ⎣ ⎝ 0 0 ⎡α = −35 + k120 π⎞ 3 ⎛ ⇔⎢ cos ⎜ 3α − ⎟ = − (k ∈ R) 0 0 4⎠ 2 ⎝ ⎣ α = 65 + k120 Tõ ®ã suy ra hÖ cã 6 nghiÖm ( x, y ) = {( sin650 , cos650 ) , ( −sin350 , cos350 ) , ( sin850 , cos850 ) , ( −sin5 , − cos5 ) , ( -sin25 , − cos25 ) , ( sin305 , cos305 ) } 0 0 0 5 0 0 0 NÕu : x 2 + y 2 = a ( a > 0 ) , ta ®Æt x = asinα , y = acosα , víi α ∈ [ 0; 2π ] ⎧2 x + x 2 y = y ⎪ 2 " 3. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎨2 y + y z = z 2 ⎪ ⎩2 z + z x = x Gi¶i : Tõ c¸c ph−¬ng tr×nh cña hÖ , suy ra : x, y, z ≠ ±1 . Do ®ã ta cã : ⎧ 2x ⎪ y = 1 − x 2 (1) ⎪ 2y ⎪ (2) ⎨z = 1 − y2 ⎪ ⎪ 2z (3) ⎪x = 1 − z2 ⎩ ⎛ π π⎞ §Æt §Æt x = tgα víi α ∈ ⎜ − ; ⎟ (4) vµ sao cho tgα , tg2α , tg4α ≠ ±1 (5). ⎝ 2 2⎠ kπ 2kπ 4kπ ⎞ ⎛ , y = tg , z = tg , k = 0, ± 1,..., ±3 T−¬ng tù bµi 2. HÖ ph−¬ng tr×nh cã 7 nghiÖm ⎜ x = tg 7 7 7 ⎟⎠ ⎝ ⎛ π π⎞ Víi mäi sè thùc x cã mét sè α víi α ∈ ⎜ − ; ⎟ sao cho x = tgα ⎝ 2 2⎠ ⎧ x − 3z 2 x − 3z + z 3 = 0 ⎪ 2 3 ⎨ y − 3x y − 3x + x = 0 ⎪ z − 3y 2 z − 3y + y 3 = 0 ⎩ " 4. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : Gi¶i . ViÕt l¹i hÖ ph−¬ng tr×nh d−íi d¹ng : ⎧ x 1 − 3z 2 = 3z − z 3 ⎪ ⎪ 2 3 ⎨ y 1 − 3x = 3x − x ⎪ 2 3 ⎪⎩ z 1 − 3 y = 3y − y ( ( ( Tõ ®ã, dÔ thÊy nÕu ⎧ 3z − z 3 x = ⎪ 1 − 3z 2 ⎪ ⎪ 3x − x 3 (I) ⇔ ⎨ y = 1 − 3x 2 ⎪ ⎪ 3y − y 3 z = ⎪ 1 − 3y 2 ⎩ ( x , y, z ) ) ) ) (I) lµ nghiÖm cña hÖ ®· cho th× ph¶i cã x, y, z ≠ ± 1 3 . Bëi thÕ : (1) (2) (II) (3) 1 ⎛ π π⎞ (5). §Æt x = tgα víi α ∈ ⎜ − ; ⎟ (4) vµ sao cho tgα , tg3α , tg9α ≠ ± 3 ⎝ 2 2⎠ Khi ®ã tõ (2), (3), (1) sÏ cã : y = tg3α , z = tg9α vµ x = tg27α 6 Tõ ®©y dÔ dµng suy ra ( x, y, z ) lµ nghiÖm cña (II) khi vµ chØ khi y = tg3α , z = tg9α , x = tgα , víi α ®−îc x¸c ®Þnh bëi (4), (5) vµ tgα = tg27α (6). L¹i cã : ( 6 ) ⇔ 26α = kπ ( k ∈ Z ) kπ víi k nguyªn tho¶ m·n : 26 −12 ≤ k ≤ 12 . DÔ dµng kiÓm tra ®−îc r»ng, tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ α ®−îc x¸c ®Þnh nh− võa nªu ®Òu tho¶ m·n (5). VËy tãm l¹i hÖ ph−¬ng tr×nh ®· cho cã tÊt c¶ 25 nghiÖm, ®ã lµ : kπ 3kπ 9 kπ ⎞ ⎛ ⎜ x = tg 26 , y = tg 26 , z = tg 26 ⎟ , k = 0, ± 1,... ± 12 ⎝ ⎠ " 5. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎧ ⎛ ⎛ 1⎞ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎪ 3⎜ x + ⎟ = 4 ⎜ y + ⎟ = 5⎜ z + ⎟ x⎠ y⎠ z⎠ ⎝ ⎨ ⎝ ⎝ ⎪ xy + yz + zx = 1 ⎩ NhËn xÐt : xyz ≠ 0; x, y, z cïng dÊu . NÕu ( x, y, z ) lµ mét nghiÖm cña hÖ th× Gi¶i. V× thÕ α tho¶ m·n ®ång thêi (4) vµ (6) khi vµ chØ khi α = ( − x, − y, − z ) còng lµ nghiÖm cña hÖ, nªn chóng ta sÏ t×m nghiÖm ( x, y, z d−¬ng . ) §Æt x = tgα ; y = tgβ ; z = tgγ 0 < α , β , λ < 90 0 . ⎧ ⎛ ⎛ ⎛ 1 ⎞ 1 ⎞ 1 ⎞ ⎪ 3 ⎜ tgα + ⎟ = 4 ⎜ tgβ + ⎟ = 5 ⎜ tgγ + ⎟ ( 1) tgα ⎠ tgβ ⎠ tgγ ⎠ HÖ ⎨ ⎝ ⎝ ⎝ ⎪tgα tgβ + tgβ tgγ + tgγ tgα = 1 (2) ⎩ ⎛ 1 + tg2α ⎞ ⎛ 1 + tg2 β ⎞ ⎛ 1 + tg2γ ⎞ 3 4 5 = = (1) ⇔ 3 ⎜ = = 4 5 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⇔ sin2α sin2β sin2γ ⎝ tgα ⎠ ⎝ tgβ ⎠ ⎝ tgγ ⎠ Tõ (2) suy ra : tgγ ( tgα + tgβ ) = 1 − tgβ tgα ⇒ cotgγ = ( tgα + tgβ ) = tg 1 − tgβ tgα (α + β ) π ⎛π ⎞ ⇒ tg ⎜ − γ ⎟ = tg (α + β ) ⇔ α + β + γ = . 2 ⎝2 ⎠ 3 4 5 ⎧ = = ⎪⎪ sin2α sin2β sin2γ Do ⎨ nªn 2α,2β,2γ lµ c¸c gãc cña mét tam gi¸c cã sè ®o 3 c¹nh 3,4,5. ⎪0 < α , β , γ < π ;α + β + γ = π ⎪⎩ 2 2 Do tam gi¸c cã 3 c¹nh 3,4,5 lµ tam gi¸c vu«ng nªn 2γ = 900 ⇒ γ = 450 ⇒ z = tgγ = 1 2tgα 3 2x 3 1 = ⇔ = ⇒x= 2 2 1 − tg α 4 1− x 4 3 2tgβ 4 2y 4 1 = ⇔ = ⇒y= tg2β = 2 2 1 − tg β 3 1− y 3 2 tg2α = 7 TuyÓn tËp c¸c bμi to¸n hay  II . HÖ ph−¬ng tr×nh 2 Èn. 698 ⎧ 4 2 (1) ⎪ x +y = " 1. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : 81 ⎨ ⎪⎩ x 2 + y 2 + xy − 3 x − 4 y + 4 = 0 (2) Gi¶i : Gi¶ sö hÖ ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm . Ta thÊy (2) t−¬ng ®−¬ng víi : x 2 + ( y − 3) x + ( y − 2 ) = 0 §Ó ph−¬ng tr×nh nµy cã nghiÖm ®èi víi x ta ph¶i cã : 7 2 2 Δ = ( y − 3) − 4 ( y − 2 ) ≥ 0 ⇔ 1 ≤ y ≤ (3) 3 MÆt kh¸c ph−¬ng tr×nh (2) còng t−¬ng ®−¬ng víi : y 2 + ( x − 4 ) y + x 2 − 3 x + 4 = 0 §Ó ph−¬ng tr×nh nµy cã nghiÖm ®èi víi y ta ph¶i cã : 4 2 Δ = ( x − 4) − 4 x 2 − 3x + 4 ≥ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ (4) 3 256 49 697 698 Tõ (3) vµ (4) ta cã : x 4 + y 2 ≤ + = < , kh«ng tho¶ m·n (1). 81 9 81 81 VËy hÖ ph−¬ng tr×nh ®· cho v« nghiÖm . 2 ( ) ) 2. ( §Ò thi HSG Quèc Gia n¨m 1995-1996.B¶ng A ) ⎧ ⎛ 1 ⎞ ⎪ 3x ⎜1 + ⎟=2 x+y⎠ ⎪ ⎝ Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎨ ⎪ 7y ⎛ 1 − 1 ⎞ = 4 2 ⎜ ⎟ ⎪ x+y⎠ ⎝ ⎩ " 3. ( §Ò thi HSG Quèc Gia n¨m 1995-1996.B¶ng A ) H·y biÖn luËn sè nghiÖm thùc cña hÖ ph−¬ng tr×nh víi Èn x, y : ⎧ x 3 y − y 4 = a2 ⎨ 2 2 3 2 ⎩ x y + 2 xy + y = b Gi¶i . §iÒu kiÖn cã nghÜa cña hÖ : x, y ∈ R . ViÕt l¹i hÖ d−íi d¹ng : ⎧ y x 3 − y 3 = a 2 ( 1) ⎪ ⎨ 2 ⎪⎩ y ( x + y ) = b 2 (2) XÐt c¸c tr−êng hîp sau : Ì Tr−êng hîp 1 : b = 0 . Khi ®ã : ⎧⎪ y = 0 ⎨ 3 3 2 ⎡ ⎪⎩ y x − y = a ⎧y = 0 vµ do vËy : HÖ ®· cho ⇔ ⎢ (2) ⇔ ⎨ ⎣ ⎧⎪ y = − x ⎩y = −x ⎨ 3 3 2 ⎪⎩ y x − y = a ( ) 8 ( ) (I) ( ) ( II ) ⎧ y = −x Cã (II) ⇔ ⎨ 4 2 ⎩ −2 x = a Tõ ®ã : + NÕu a ≠ 0 th× (I) vµ (II) cïng v« nghiÖm, dÉn ®Õn hÖ v« nghiÖm . + NÕu a = 0 th× (I) cã v« sè nghiÖm d¹ng ( x ∈ R, y = 0 ) , cßn (II) cã duy nhÊt nghiÖm ( x = 0, y = 0 ) . V× thÕ hÖ ®· cho cã v« sè nghiÖm . ( x, y ) Ì Tr−êng hîp 2 : b ≠ 0 . Khi ®ã, tõ (1) vµ (2) dÔ thÊy , nÕu ph¶i cã x, y >0 . V× thÕ (2) ⇔ x = b y −y lµ nghiÖm cña hÖ ®· cho th× ( 3) . 3 ⎡⎛ b ⎤ ⎞ − y ⎟ − y 3 ⎥ = a2 ThÕ (3) vµo (1) ta ®−îc : y ⎢⎜ ⎟ ⎢⎜⎝ y ⎥ ⎠ ⎣ ⎦ §Æt y = t > 0 . Tõ (4) ta cã ph−¬ng tr×nh sau : 3 ⎡⎛ b ⎤ ⎞ 2 6 ⎢ t ⎜ − t ⎟ − t ⎥ = a2 ⇔ t 9 − b − t 3 ⎢⎣⎝ t ⎥⎦ ⎠ ( 2 ) 3 + a2 t = 0 ( 5 ) XÐt hµm sè : f ( t ) = t 9 − ( b − t 3 ) + a 2 t x¸c ®Þnh trªn [ 0;+ ∞ ) cã : 3 ( f' ( t ) = 9t 8 + 9 b − t 3 ) 2 t 2 + a 2 ≥ 0, ∀t ∈ [ 0; + ∞ ) . Suy ra hµm sè f ( t ) ®ång biÕn trªn [ 0; + ∞ ) , vµ v× thÕ ph−¬ng tr×nh (5) cã tèi ®a 1 nghiÖm trong [ 0; + ∞ ) . Mµ f ( 0 ) = − b < 0 vµ f 3 ( b )= b 3 3 + b a 2 > 0 , nªn ph−¬ng tr×nh (5) cã duy nhÊt ⎛ ⎞ b nghiÖm, kÝ hiÖu lµ t0 trong ( 0; + ∞ ) . Suy ra hÖ cã duy nhÊt nghiÖm ⎜ x = − t0 2 , y = t0 2 ⎟ . t0 ⎝ ⎠ VËy tãm l¹i : + NÕu a = b = 0 th× hÖ ®· cho cã v« sè nghiÖm . ` + NÕu a tuú ý , b ≠ 0 th× hÖ ®· cho cã duy nhÊt nghiÖm . + NÕu a ≠ 0, b = 0 th× hÖ ®· cho v« nghiÖm . ⎧2 x 2 + xy − y 2 = 1 " 4. T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎨ 2 2 ⎩ x + xy + y = m Gi¶i . ⎧2 x 2 = 1 1 + Víi y = 0 hÖ trë thµnh ⎨ 2 . HÖ cã nghiÖm khi m = 2 ⎩x = m x + Víi y ≠ 0 , ®Æt = t , hÖ trë thµnh y 1 ⎧ 2 1 ⎧ 2 ⎪2 t + t − 1 = y 2 ⎪ 2t + t − 1 = y 2 ⎪ (2) ⇔⎨ ⎨ ⎪t 2 + t + 1 = m 2 t 2 + t − 1 ⎪ t2 + t + 1 = m ⎩ ⎪⎩ y2 ( VËy hÖ PT (1) cã nghiÖm ( x, y ) ) khi vµ chØ khi hÖ PT (2) cã nghiÖm 9 ( t, y ) . (1) cã nghiÖm . ⎡ t < −1 1 2 XÐt hÖ (2), tõ 2t + t − 1 = 2 suy ra 2t + t − 1 > 0 ⇔ ⎢ . Do ®ã hÖ (2) cã nghiÖm ( t, y ) ⎢t > 1 y ⎢⎣ 2 2 t + t +1 t2 + t + 1 ⎛1 ⎞ ⇔m= 2 cã nghiÖm t ∈ ( −∞, −1) ∪ ⎜ , + ∞ ⎟ . XÐt hµm sè f ( t ) = 2 trªn kho¶ng 2t + t − 1 2t + t − 1 ⎝2 ⎠ ⎡ t = −3 − 7 1 t 2 + 6t + 2 , f' t = 0 ⇔ ( −∞, −1) ∪ ⎛⎜ , + ∞ ⎞⎟ . Ta cã : f' ( t ) = − 2 ( ) ⎢ 2 ⎝2 ⎠ ⎢⎣ t = −3 + 7 2t + t − 1 LËp b¶ng biÕn thiªn : 2 ( −∞ t −3 − 7 - f’(t) ) 0 −3 − 7 -1 + 1 2 + 0 −∞ 1 2 +∞ +∞ f(t) −∞ 14 + 5 7 1 2 −∞ 28 + 11 7 Nh×n vµo b¶ng biÕn thiªn ta thÊy ®Ó hÖ cã nghiÖm : m ≥ ⎧⎪ x 3 ( 2 + 3 y ) = 1 " 5. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎨ 3 ⎪⎩ x y − 2 = 3 Gi¶i . Râ rµng nÕu y = 3 2 hÖ v« nghiÖm. ( 27 ( 2 + 3y ) (y 3 −2 ) 3 = 1 (3) . XÐt hµm sè : f ( y ) = Suy ra : f' ( y ) = 0 ⇔ y = −1 Ta cã b¶ng biÕn thiªn : y f’(y) f (y) −∞ + −∞ -1 0 0 28 + 11 7 . ( 1) (2) ) Víi y ≠ 3 2 , tõ (2) suy ra x = 14 + 5 7 3 , thay vµo (1) ta cã : y −2 3 27 ( 2 + 3y ) (y 3 −2 ) 3 3 − 1 , ta cã : f' ( y ) = − 2 ( 81 8y 3 + 6 y 2 + 2 (y 3 −2 +∞ - +∞ −∞ 10 −∞ ) 3 ) ( ) Nh×n vµo b¶ng biÕn thiªn suy ra pt(3) kh«ng cã nghiÖm trªn c¸c kho¶ng ( −∞; −1) vµ −1; 3 2 . Ph−¬ng tr×nh cã 1 nghiÖm y = −1 vµ 1 nghiÖm trong kho¶ng DÔ thÊy y = 2 lµ 1 nghiÖm thuéc kho¶ng ( 3 ) ( 3 2, + ∞ ) 2, + ∞ . ⎛1 ⎞ VËy hÖ ph−¬ng tr×nh ®· cho cã 2 nghiÖm : ( −1; −1) vµ ⎜ ; 2 ⎟ . ⎝2 ⎠ ) 6. ( §Ò thi HSG Quèc Gia n¨m 2004 –B¶ng B ) ⎧ x 3 + 3 xy 2 = −49 Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh sau : ⎨ 2 2 ⎩ x − 8 xy + y = 8 y − 17 x " 7. ( §Ò thi HSG Quèc Gia n¨m 1998-1999 –B¶ng A ) ⎧(1 + 4 2 x − y ) .51−2 x + y = 1 + 22 x − y +1 ⎪ Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎨ 3 2 ⎪⎩ y + 4 x + 1 + ln ( y + 2 x ) = 0 Gi¶i . §K: y 2 + 2 x > 0 §Æt t = 2 x − y th× ph−¬ng tr×nh thø nhÊt cña hÖ trë thµnh : 1 + 4 t 1 + 2 t +1 = (1) 5t 5 VÕ tr¸i lµ hµm nghÞch biÕn, vÕ ph¶i lµ hµm ®ång biÕn trªn nªn t=1 lµ nghiÖm duy nhÊt cña (1). y +1 thÕ vµo ph−¬ng tr×nh thø hai cña hÖ ta ®−îc : VËy 2 x − y = 1 ⇒ x = 2 y 3 + 2 y + 3 + ln y 2 + y + 1 = 0 ( 2 ) (1 + 4 ) .5 t 1− t = 1 + 2 t +1 ⇔ ( ) VÕ tr¸i lµ hµm ®ång biÕn do ®ã y =-1 lµ nghiÖm duy nhÊt cña (2). §¸p sè : x = 0, y = −1 . " 8. ( §Ò thi HSG Quèc Gia n¨m 2000-2001 –B¶ng B ) ⎧⎪ 7 x + y + 2 x + y = 5 Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎨ ⎪⎩ 2 x + y + x − y = 2 Gi¶i : §K cã nghÜa cña hÖ ph−¬ng tr×nh : min {7 x, 2 x} ≥ − y §Æt : 7x + y = a vµ 2x + y = b . Tõ hÖ ph−¬ng tr×nh ®· cho ta cã hÖ : ⎧⎪ a + b = 5 ⎨ ⎪⎩b + x − y = 2 (1 ) (2) NhËn thÊy : a 2 − b2 = 5 x . KÕt hîp víi (1) suy ra : b = 5− x + x − y = 2 ⇔ x = 2y − 1 2 ThÕ (3) vµo (2) ta cã : 5y − 2 + y − 1 = 2 ⇒ y = ( 5 − x ) , thÕ vµo (2) ta ®−îc : 2 ( 3) 11 − 77 2 ThÕ vµo (3) suy ra nghiÖm cña hÖ lµ: x = 10 − 77, y= 11 11 − 77 . 2 ) 9. Cho hÖ ph−¬ng tr×nh 2 Èn x, y : ⎧ k x 2 + 3 x 4 + 3 x 2 + 1 = yx ⎪ ⎨ ⎪ k 3 x 8 + x 2 + 3 x 2 + 1 + ( k − 1) 3 x 4 = 2 y 3 x 4 ⎩ 1. X¸c ®Þnh k ®Ó hÖ ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm . 2. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh víi k = 16. ( ( ) ) " 10. ( §Ò thi HSG Quèc Gia n¨m 1995-1996 –B¶ng A ) ⎧ ⎛ 1 ⎞ ⎪ 3x . ⎜1 + ⎟=2 x+y⎠ ⎪ ⎝ Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎨ ⎪ 7y . ⎛ 1 − 1 ⎞ = 4 2 ⎜ ⎟ ⎪ x+y⎠ ⎝ ⎩ Gi¶i . §K cã nghÜa cña hÖ : x ≥ 0, y ≥ 0 vµ x 2 + y 2 ≠ 0 . DÔ thÊy , nÕu ( x, y ) lµ nghiÖm cña hÖ ®· cho th× ph¶i cã x >0, y>0 . Do ®ã : ⎧ 1 ⎧⎛ 1 2 2 1 ⎞ 2 = − ( 1) ⎪ ⎪⎜ 1 + ⎟= x+y⎠ 3x 7y 3x ⎪⎝ ⎪x + y HÖ ®· cho ⇔ ⎨ ⇔⎨ ⎪ ⎛1 − 1 ⎞ = 4 2 ⎪1 = 1 + 2 2 (2) ⎟ ⎪ ⎪ ⎝⎜ x+y⎠ 7y 3x 7y ⎩ ⎩ Nh©n (1) víi (2) theo vÕ ta ®−îc : 1 1 8 = − ⇔ 21xy = ( x + y )( 7 y − 3 x ) ⇔ ( y − 6 x )( 7 y + 4 x ) = 0 ⇔ y = 6 x ( v× x >0, y>0) x + y 3x 7y Thay vµo (2) vµ gi¶i ra ta ®−îc : x = 11 + 4 7 22 + 8 7 , y= .Thö l¹i ta thÊy tho¶ m·n yªu cÇu bt. 21 7  Iii. HÖ ph−¬ng tr×nh 3 Èn. ) 1. ( §Ò thi HSG TØnh Qu¶ng Ng·i 1995-1996) ⎧ y 3 − 6 x 2 + 12 x − 8 = 0 ⎪ 3 2 Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎨ z − 6 y + 12 y − 8 = 0 ⎪ x 3 − 6 z 2 + 12 z − 8 = 0 ⎩ ) 4. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎧12 x 2 − 48 x + 64 = y 3 ⎪ 2 3 ⎨12 y − 48y + 64 = z ⎪12 z 2 − 48z + 64 = x 3 ⎩ ⎧ x 19 + y 5 = 1890 z + z 2001 ⎪ 19 5 2001 " 5. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎨ y + z = 1890 x + x ⎪ z19 + x 5 = 1890 y + y 2001 ⎩ Gi¶i . Chóng ta sÏ chøng minh hÖ ph−¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm duy nhÊt x = y = z = 0 . 12 Gi¶ sö ( x, y, z ) lµ mét nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh khi ®ã ( − x, − y, − z ) còng lµ mét nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh , nªn kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta cã thÓ gi¶ thiÕt : cã Ýt nhÊt hai trong ba sè x, y, z kh«ng ©m. VÝ dô x ≥ 0, y ≥ 0 . Tõ ph−¬ng tr×nh thø nhÊt ta suy ra z ≥ 0 . MÆt kh¸c nÕu 0 < u ≤ 1 th× 1890 + u2000 > 2 ≥ u18 + u4 NÕu u > 1 th× 1890 + u2000 > 1 + u2000 > 2. u2000 = 2.u1000 > u18 + u4 Do ®ã 1890u + u2001 > u19 + u5 víi mäi u>0. Bëi vËy nÕu céng tõng vÕ cña HPT ta suy ra x = y = z = 0 .®pcm ) 6. T×m ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ cña m ®Ó hÖ ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm duy nhÊt : ⎧ x 2 = ( 2 + m ) y 3 − 3y 2 + my ⎪ 2 3 ⎨ y = ( 2 + m ) z − 3z + mz ⎪ z 2 = ( 2 + m ) x 3 − 3 x + mx ⎩ " 7. ( §Ò thi HSG Quèc Gia n¨m 2004 –B¶ng A ) ⎧ x 3 + x ( y − z )2 = 2 ⎪⎪ 2 Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh sau : ⎨ y 3 + y ( z − x ) = 30 ⎪ 3 2 ⎪⎩ z + z ( x − y ) = 16 ⎧ x 2 ( x + 1) = 2 y 3 − x ⎪ ⎪ 2 3 " 8. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎨ y ( y + 1) = 2 z − y ⎪ 2 3 ⎪⎩ z ( z + 1) = 2 x − z Gi¶i . ViÕt l¹i hÖ ®· cho d−íi d¹ng : ⎧ x 3 + x 2 + 2 x = 2 y3 + 1 ⎪ 3 2 3 hay ⎨ y + y + 2 y = 2z + 1 ⎪ z3 + z 2 + 2 z = 2 x 3 + 1 ⎩ ( ( ( ) +1 ) +1 ) +1 ⎧ f ( x) = g ( y) ⎪ ⎨ f ( y ) = g ( z) ⎪ f ( z) = g ( x ) ⎩ Trong ®ã f ( t ) = t 3 + t 2 + 2t vµ g ( t ) = 2t 3 + 1 . NhËn xÐt r»ng g(t), f(t) lµ hµm ®ång biÕn trªn R v× : f' ( t ) = 3t 2 + 2t + 2 > 0, g ( t ) = 6t 2 ≥ 0, ∀t ∈ R. ⎧x = y = z Suy ra hÖ ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi hÖ : ⎨ ( 4) ⎩h ( x ) = 0 Trong ®ã h ( t ) = t 3 − t 2 − 2t + 1 . NhËn xÐt r»ng h ( t ) liªn tôc trªn R vµ : h ( −2 ) < 0, h ( 0 ) > 0, h (1) < 0, h ( 2 ) > 0 nªn ph−¬ng tr×nh h ( t ) = 0 cã c¶ 3 nghiÖm ph©n biÖt ®Òu n»m trong ( −2; 2 ) §Æt x = 2cosu, u ∈ ( 0; π ) . Khi ®ã sinu ≠ 0 vµ (4) cã d¹ng : ⎧⎪ x = y = z = 2cosu, u ∈ ( 0; π ) ⎧ x = y = z = 2cosu, u ∈ ( 0; π ) hay ⎨ ⎨ 3 2 3 2 ⎩8cos u − 4cos u − 4cosu + 1 = 0 ⎪⎩sinu 8cos u − 4cos u − 4cosu + 1 = 0 ⎧ x = y = z = 2cosu, u ∈ ( 0; π ) Hay ⎨ (5). ⎩ sin4u = sin3u ( 13 ) ⎧ x = y = z = 2cosu, u ∈ ( 0; π ) ⎪ ⎧ π 3π 5π ⎫ ; Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh (5) ta thu ®−îc u ∈ ⎨ ; ⎬ vµ ⎨ ⎧ π 3π 5π ⎫ ⎩7 7 7 ⎭ ⎪u∈⎨ 7 ; 7 ; 7 ⎬ ⎩ ⎭ ⎩ " 9. T×m tÊt c¶ c¸c bé ba sè d−¬ng ( x, y, z ) tho¶ m·n hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎧2 x 2004 = y 6 + z 6 ⎪ 2004 = z6 + x 6 ⎨2 y ⎪ 2004 = x 6 + y 6 ⎩2 z Gi¶i : Gi¶ sö ( x, y, z ) lµ mét bé ba sè d−¬ng tho¶ m·n hÖ PT ®· cho . Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t , gi¶ sö 0 < x ≤ y ≤ z . Nh− vËy : ⎧ x 2004 ≥ x 6 ⎧2 x 2004 = y 6 + z 6 ≥ x 6 + x 6 ⎧x ≥ 1 ⇒ ⇒⎨ ⇒ x = y = z =1 ⎨ 2004 ⎨ 2004 6 6 6 6 6 ≤z = x +y ≤z +z ⎩z ≤ 1 ⎩z ⎩ 2z §¶o l¹i, dÔ thÊy x = y = z = 1 lµ mét bé ba sè d−¬ng tho¶ m·n yªu cÇu bµi to¸n . ) 10. T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó hÖ ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm : ⎧ x 2 + y 2 − z 2 + xy − yz − zx = 1 ⎪ 2 2 ⎨ y + z + yz = 2 ⎪ x 2 + z 2 + xz = m ⎩ ⎧x5 − x 4 + 2 x2 y = 2 ⎪ 5 4 2 ) 11. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎨ y − y + 2y z = 2 ⎪ z5 − z 4 + 2 z 2 x = 2 ⎩ ( ( ( ) ) ) ⎧ x 3 y 2 + 3y + 3 = 3y 2 ⎪ ⎪ 3 2 2 ) 12. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎨ y z + 3z + 3 = 3z ⎪ 3 2 2 ⎪⎩ z x + 3 x + 3 = 3 x " 13. T×m tÊt c¶ c¸c sè thùc a sao cho hÖ ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm thùc x, y, z : ⎪⎧ x − 1 + y − 1 + z − 1 = a − 1 ⎨ ⎪⎩ x + 1 + y + 1 + z + 1 = a + 1 Gi¶i. §K: x ≥ 1, y ≥ 1, z ≥ 1 HÖ ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng víi hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎧ x − 1 + x + 1 + y − 1 + y + 1 + z − 1 + z + 1 = 2a ⎪ ⎨ ⎪ x +1 − x −1 + y +1 − y −1 + z +1 − z −1 = 2 ⎩ §Æt u = x − 1 + x + 1 ; v = y − 1 + y + 1 ; s = z − 1 + z + 1 ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) Do x ≥ 1, y ≥ 1, z ≥ 1 nªn u ≥ 2, v ≥ 2, s ≥ 2 . Ng−îc l¹i nÕu u ≥ 2, v ≥ 2, s ≥ 2 , ta cã : 1⎛ 2⎞ 1⎛ 4⎞ 2 2 x +1 − x −1 = = ⇒ x + 1 = ⎜ u + ⎟ ⇒ x = ⎜ u2 + 2 ⎟ ≥ 1 2⎝ u⎠ 4⎝ u ⎠ x +1 + x −1 u T−¬ng tù ®èi víi y, z . 14 Do ®ã bµi to¸n cña ta ®−a vÒ bµi to¸n t−¬ng ®−¬ng : T×m tÊt c¶ c¸c sè thùc a sao cho hÖ ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm u ≥ 2, v ≥ 2, s ≥ 2 : ⎧u + v + s = 2 a ⎪ ( 1) ⎨1 1 1 ⎪⎩ u + v + s = 1 + §iÒu kiÖn cÇn : Gi¶ sö hÖ ph−¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm . Theo bÊt ®¼ng thøc Bunhia ta cã : 9 ⎛ 1 1 1⎞ 2a = ( u + v + s ) ⎜ + + ⎟ ≥ 9 ⇒ a ≥ 2 ⎝u v s⎠ 9 + §iÒu kiÖn ®ñ : Gi¶ sö a ≥ . Chóng ta sÏ chøng minh hÖ ph−¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm 2 ⎧ u + v = 2a − 3 ⎪ LÊy s = 3 ( tho¶ m·n s ≥ 2 ) . Khi ®ã (1) t−¬ng ®−¬ng víi : ⎨ 3 ( 2a − 3) ⎪u.v = ⎩ 2 3 ( 2a − 3 ) ⇔ u, v lµ hai nghiÖm cña tam thøc bËc hai : t 2 − 2 ( 2 a − 3 ) t + 2 2a − 3 ± ( 2a − 3 )( 2a − 9 ) ⇒ u, v = 2 ( Chó ý : §Æt h = 2a − 9 ≥ 0 ⇒ h + 6 − 2 2 ( 2a − 3 ) − 2 2> ( 2a − 3)( 2a − 9 ) ) 2 > ( h + 3 ) > h ( h + 6 ) . Tøc lµ : 2 ⇒ u > 2, v > 2 . Nh− vËy hÖ ph−¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm u ≥ 2, v ≥ 2, s ≥ 2 . 9 Tãm l¹i c¸c sè thùc a cÇn t×m lµ tÊt c¶ c¸c sè thùc a ≥ . 2 " 14. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎧ ⎛ ⎛ 1⎞ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎪20 ⎜ x + ⎟ = 11 ⎜ y + ⎟ = 2007 ⎜ z + ⎟ x⎠ y⎠ z⎠ ⎝ ⎨ ⎝ ⎝ ⎪ xy + yz + zx = 1 ⎩ " 15. ( §Ò thi HSG Quèc Gia n¨m 2005-2006 –B¶ng A ) ⎧ x 2 − 2 x + 6.log ( 6 − y ) = x 3 ⎪ ⎪ 2 Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎨ y − 2 y + 6.log3 ( 6 − z ) = y ⎪ 2 ⎪⎩ z − 2 z + 6.log3 ( 6 − x ) = z Gi¶i . §K x¸c ®Þnh x, y, z < 6 . HÖ ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi : ⎧ x ⎪ log3 ( 6 − y ) = 2 ⎪ x − 2x + 6 ⎪⎪ y ⎨ log3 ( 6 − z ) = 2 y − 2y + 6 ⎪ ⎪ z ⎪log3 ( 6 − x ) = ⎪⎩ z2 − 2 z + 6 15 (1 ) (2) ( 3) NhËn thÊy f ( x ) = x lµ hµm t¨ng, cßn g ( x ) = log3 ( 6 − x ) lµ hµm gi¶m víi x<6. x − 2x + 6 NÕu ( x, y, z ) lµ mét nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh ta chøng minh x=y=z.Kh«ng mÊt tÝnh 2 tæng qu¸t gi¶ sö x = max { x, y, z} th× cã hai tr−êng hîp : 1) x ≥ y ≥ z . Do g ( x ) lµ hµm gi¶m, suy ra : log3 ( 6 − y ) ≥ log3 ( 6 − z ) ≥ log3 ( 6 − x ) ⇒ x ≥ z ≥ y . Do y ≥ z nªn z = y . Tõ (1) vµ (2) suy ra : x=y=z. 2) x ≥ z ≥ y . T−¬ng tù log3 ( 6 − y ) ≥ log3 ( 6 − x ) ≥ log3 ( 6 − z ) ⇒ z ≥ x ≥ y . Do x ≥ z nªn z = x . Tõ (1) vµ (3) suy ra : x=y=z. Ph−¬ng tr×nh f ( x ) = g ( x ) cã nghiÖm duy nhÊt x=3. VËy hÖ ®· cho cã nghiÖm duy nhÊt : x=y=z=3. " 16. ( §Ò thi HSG Quèc Gia n¨m 2005-2006 –B¶ng B ) ⎧ x 3 + 3x 2 + 2 x − 5 = y ⎪ Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎨ y 3 + 3 y 2 + 2 y − 5 = z ⎪ z 3 + 3z 2 + 2 z − 5 = x ⎩ Gi¶i . Gi¶ sö x = max { x, y, z} . XÐt hai tr−êng hîp : 1) x ≥ y ≥ z ⎧ x3 + 3x 2 + 2 x − 5 ≤ x Tõ hÖ trªn ta cã : ⎨ 3 2 ⎩ z + 3z + 2 z − 5 ≥ z ⎧( x − 1) ⎡( x + 2 )2 + 1⎤ ≤ 0 ⎧x ≤ 1 ⎪ ⎣ ⎦ ⇒⎨ ⇒⎨ 2 ⎩1 ≤ z ⎪ ( z − 1) ⎡( z + 2 ) + 1⎤ ≥ 0 ⎣ ⎦ ⎩ 2) x ≥ z ≥ y ⎧ x3 + 3x 2 + 2 x − 5 ≤ x Tõ hÖ trªn ta cã : ⎨ 3 2 ⎩ y + 3y + 2 y − 5 ≥ y ⎧( x − 1) ⎡( x + 2 )2 + 1⎤ ≤ 0 ⎧x ≤ 1 ⎪ ⎣ ⎦ ⇒⎨ ⇒⎨ 2 ⎪( y − 1) ⎡( y + 2 ) + 1⎤ ≥ 0 ⎩1 ≤ y ⎣ ⎦ ⎩ C¶ hai tr−êng hîp ®Òu cho x = z = y = 1 . Thö l¹i ta thÊy x = z = y = 1 lµ nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh . Tãm l¹i hÖ ®· cho cã nghiÖm duy nhÊt : x = z = y = 1 . ) 17. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎧ 1 1 1 8 − − = ⎪ x+ y+ z− x y z 3 ⎪ ⎪⎪ 1 1 1 118 ⎨ x+ y+z+ + + = x y z 9 ⎪ ⎪ 1 1 1 728 − − = ⎪x x + y y + z z − 27 x x y y z z ⎪⎩ 16 " 18 . Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎧ x2 + y2 = −y ( x + z) ⎪ 2 ⎨ x + x + y = −2 yz ⎪3 x 2 + 8 y 2 + 8 xy + 8yz = 2 x + 4 z + 2 ⎩ Gi¶i . HÖ ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi : ⎧ x ( x + y) + y ( y + z) = 0 ⎪⎪ ⎨ x ( x + 1) + y ( 2 z + 1) = 0 ⎪ 2 2 2 2 ⎪⎩4 ( x + y ) + 4 ( y + z ) = ( x + 1) + ( 2 z + 1) GG GG G 2 G2 G G G XÐt : a = ( x; y ) , b = ( x + y; y + z ) , c = ( x + 1; 2 z + 1) ⇒ a.b = 0, a.c = 0, 4 b = c G G 1 + NÕu a = 0 th× x = y = 0, z = − . 2 G G G G G G 1 + NÕu a ≠ 0 th× b vµ c céng tuyÕn nªn : c = ±2 b , tõ ®ã ta cã : x = 0, y = z = . 2 1⎞ ⎛ 1 1⎞ ⎛ Tãm l¹i hÖ cã hai nghiÖm : ⎜ 0; 0; − ⎟ , ⎜ 0; ; ⎟ . 2⎠ ⎝ 2 2⎠ ⎝  iV. HÖ ph−¬ng tr×nh n Èn. ( n >3, n∈ N ) " 1. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎧ x1 + x2 = x31996 ⎪ 1996 ⎪ x 2 + x3 = x 4 ⎪ ⎨ ......... ⎪ x + x = x 1996 1 ⎪ 1995 1996 1996 ⎪⎩ x1996 + x1 = x2 Gi¶i : Gäi X lµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña c¸c nghiÖm xi , i = 1,...1996 vµ Y lµ gi¸ trÞ bÐ nhÊt cña chóng. ThÕ th× tõ ph−¬ng tr×nh ®Çu ta cã : 2X ≥ x1 + x2 = x31996 2X ≥ x k1996 , ∀k = 1, 2,....,1996 Tõ ®ã ®èi víi c¸c ph−¬ng tr×nh cña hÖ ta cã : Hay lµ ta cã : 2X ≥ X1996 suy ra : 2 ≥ X1995 ( v× X >0 ) LËp luËn mét c¸ch t−¬ng tù ta còng ®i ®Õn : 2 ≤ Y1995 Tõ (1) vµ (2) suy ra X1995 = Y1995 = 2 NghÜa lµ ta cã : x1 = x2 = .... = x1996 = 1995 2 x −a ⎧ x1 − a1 x2 − a2 = = ... = n n ⎪ b2 bn " 2. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎨ b1 ⎪ x + x + .... + x = c n ⎩ 1 2 víi b1 , b2 ,..., bn ≠ 0, n ∑b i =1 i ≠0 17 (1) (2) Gi¶i . §Æt : x −a x1 − a1 x2 − a2 = = ... = n n = t b1 b2 bn n n n i =1 i =1 i =1 Ta cã : xi = tbi + ai ⇒ ∑ xi = ∑ ai + t ∑ bi n ⎛ ⎞ − c ⎜ ∑ ai ⎟ n n ⇒ c = ∑ ai + t ∑ bi ⇒ t = ⎝ n i =1 ⎠ i =1 i =1 ∑ bi i =1 ⎛ ⎞ ⎜ c − ∑ ai ⎟ ⇒ xi = ai + bi ⎝ n i =1 ⎠ ∑ bi n i =1 18