Tài liệu Hàm vectơ và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ PHƢƠNG THẢO HÀM VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2016 Công trình được hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. LÊ VĂN DŨNG Phản biện 1: TS. PHAN ĐỨC TUẤN Phản biện 2: GS.TS. LÊ VĂN THUYẾT Luận văn được bảo vệ tại Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 13 tháng 8 năm 2016. Có thể tìm Luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học sư phạm, Đại học Đà Nẵng 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Vectơ là một khái niệm trừu tượng. Để nắm được các kiến thức về vectơ đòi hỏi người học phải có tư duy logic, khả năng sáng tạo biết vận dụng liên hệ với thực tế. Trong chương trình phổ thông, kiến thức về vectơ được đề cập xuyên suốt ba năm cấp ba với số tiết chiếm một nửa tổng số tiết hình học của ba năm cấp ba. Kiến thức về vectơ ở phổ thông là các định nghĩa, các phép toán cơ bản để vận dụng giải quyết một số bài toán cơ bản của vectơ trong không gian, phương pháp tọa độ trong không gian. Đây chỉ là một phần về kiến thức vectơ và ứng dụng hình học của vectơ. Ngoài các ứng dụng trong hình học, vectơ còn có các ứng dụng trong vật lí, trong đạo hàm và tích phân. Hàm vectơ là sự mở rộng khái niệm vectơ bằng cách đặt tương ứng mỗi giá trị t R một vectơ, khi đó mỗi vectơ có thể xem là một hàm vectơ hằng. Ứng dụng của hàm vectơ được vận dụng để giải quyết các bài toán trong Vật lí, chẳng hạn ta có thể viết phương trình vận tốc của chuyển động vt v0 a.t, trong đó a là vectơ gia tốc và t là thời gian. Khi chuyển động thẳng đều thì độ lớn của vt là vt v0 at. Là giáo viên dạy toán ở trường phổ thông với mong muốn được tìm hiểu sâu sắc hơn về hàm vectơ và các ứng dụng của hàm vectơ nhằm có cái nhìn toàn diện hơn từ đó đưa ra cách truyền đạt để học sinh có thể nắm bắt và tiếp cận kiến thức về vectơ một cách dễ dàng, tôi quyết định chọn đề tài: “Hàm vectơ và ứng dụng” 2. Mục đích nghiên cứu - Hệ thống lại các kiến thức cơ bản về vectơ. - Phát biểu khái niệm hàm vectơ và các kiến thức liên quan đến hàm vectơ như: đạo hàm, tích phân, vectơ tiếp tuyến… - Hệ thống và phân loại một số bài toán có thể giải được bằng cách sử dụng kiến thức về hàm vectơ. 3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu - Các kiến thức cơ bản về vectơ. - Các kiến thức về hàm vectơ và các ứng dụng của hàm vectơ. - Các bài toán có thể giải được bằng cách sử dụng kiến thức về hàm vectơ. 4. Phƣơng pháp nghiên cứu Với đề tài: “Hàm vectơ và ứng dụng” tôi đã sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau: + Thu thập, tổng hợp, hệ thống các tài liệu liên quan đến nội dung đề tài luận văn. + Phân tích, nghiên cứu các tài liệu để thực hiện đề tài luận văn. + Trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến của người hướng dẫn, của các chuyên gia và của các đồng nghiệp. 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài - Hệ thống được kiến thức cơ bản về vectơ, khái niệm về hàm vectơ và một số kiến thức liên quan về hàm vectơ nhằm phục vụ cho đề tài. - Đề tài có giá trị về mặt lý thuyết.Có thể sử dụng luận văn như là tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành toán,giáo viên phổ thông và các đối tượng quan tâm đến các kiến thức về vectơ. 6. Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu và kết luận,tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận văn được chia thành hai chương. Chƣơng 1: Kiến thức cơ bản về vectơ Chƣơng 2: Hàm vectơ và ứng dụng CHƢƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VECTƠ 1.1. CÁC ĐỊNH NGHĨA VỀ VECTƠ Định nghĩa 1.1.1 Đại lượng có hướng được gọi là đại lượng vectơ (hay gọi tắt là vectơ) Các đại lượng vật lí như khối lượng, thể tích, công và năng lượng là vô hướng; trong khi độ dời, vận tốc, gia tốc và lực là các vectơ. Định nghĩa 1.1.2. Các vectơ có độ lớn bằng 1 được gọi là vectơ đơn vị. Trong luận văn này vectơ đơn vị được phân biệt với vectơ khác bằng một dấu mũ; ví dụ aˆ là đại diện cho một vectơ đơn vị theo hướng của vectơ a . Rõ ràng, a = a aˆ . Trong hệ trục tọa độ Descartes vuông góc OXYZ, các vectơ đơn vị trên trục OX , OY , OZ lần lượt được kí hiệu là i, j, k . Định nghĩa 1.1.3. Vectơ - không là vectơ có độ lớn bằng không và không có hướng, được ký hiệu 0 . Định nghĩa 1.1.4. Vectơ đối của vectơ a , được kí hiệu là – a , là một vectơ có modul bằng vectơ a nhưng ngược hướng với vectơ a . Định nghĩa 1.1.5. Các vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng modul và cùng hướng. 1.2. CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN VỀ VECTƠ Định nghĩa 1.2.1 (Phép cộng hai vectơ) Cho hai vectơ a,b được biểu diễn lần lượt bởi PQ , QR (Hình (a)). Khi đó vectơ biểu diễn bởi PR được định nghĩa là tổng của a và b , được viết: a b và được gọi là quy tắc 3 điểm của phép cộng vectơ. Định nghĩa 1.2.2 (Phép trừ hai vectơ) Hiệu giữa hai vectơ a,b được viết là a b và theo quy tắc của đại số vô hướng nó được viết thành tổng a + (- b ). Biễu diễn a,b bởi các vectơ PQ , QR như trước, khi đó QR ' sẽ đại diện cho - b , với QR' = QR (hình vẽ). Nên a b hoặc a + (- b ) được biểu diễn bởi' hoặc SQ PR Định nghĩa 1.2.3 (Tổng của nhiều vectơ) Giả sử có n vectơ a1 , a2 ,..., an . Cho a1 được biểu diễn bởi OA1 , a 2 được đại diện A1 A2 , …, a n được biểu diễn bởi OA2 OA1 A1 A2 a1 a 2 ; bởi Vậy thì An1 An . OA3 OA2 A2 A3 a1 a 2 a 3 ; OA4 OA3 A3 A4 a1 a 2 a 3 a 4 ; …………………………………………… OAn OAn1 An1 An a1 a 2 a3 ... a n . Định nghĩa 1.2.4 (Phép nhân một vectơ với một số) Nếu m là một số thực dương, khi đó m a được định nghĩa như một vectơ cùng hướng a có độ lớn bằng ma. Định lý 1.2.5 Nếu các vectơ a , b được biểu diễn lần lượt bởi OP, OQ và m, n là các hằng số dương, khi đó m a +n b = (m+n) c , với c được biểu diễn bởi vectơ OR , R là một điểm trên PQ sao cho mPR nRQ . Định nghĩa 1.2.6 (Thành phần của vectơ trong các hƣớng vuông góc với nhau) Giả sử OP đại diện cho vectơ r (Hình vẽ). Qua điểm O vẽ các đường thẳng vuông góc OX, OY, OZ theo quy tắc đinh ốc xoay bên phải từ OY tới OZ dọc theo OX và cứ tiếp tục tuần hoàn theo các chữ cái X, Y, Z. Vẽ lần lượt các đường vuông góc PQ, PR, PS xuống mp(YOZ), (ZOX), (XOY) và ta có hình hộp chữ nhật OASBCRPQ. Đặt OA= x, OB = y , OC = z và gọi các vectơ đơn vị theo các hướng OX,OY ,OZ là i , j , k suy ra: OA xi; OB y j; OC zk Vì OP OA AS SP OA OB OC . Nên r =xi +y j +zk. Các vectơ x i , y j , z k được gọi là các thành phần của r trong hệ trục tọa độ. Các thành phần của r theo từng hướng là duy nhất, giống như chỉ vẽ được 1 hình hộp như ở trên. Do đó nếu 2 vectơ bằng nhau thì các thành phần tương ứng của chúng cũng bằng nhau. Trong không gian 2 chiều, nếu r nằm trên mp(XOY), kết quả trên trở thành: r =xi +y j. Định nghĩa 1.2.7 (Modun và cosin theo hƣớng của một vectơ theo các thành phần của nó) 2 2 2 2 Từ hình vẽ trên, dễ thấy rằng : OP OA OB OC . 2 2 Vì vậy modun r của vectơ r được cho bởi: r x y 2 2 z , với x, y, z là các modul của thành phần của r 2 2 r  x y z 2 Hướng của vectơ r hay OP được xác định bởi cosin của góc tạo tạo bởi OP với các trục OX,OY ,OZ . Nếu góc này lần lượt là , , thì: OA x OB y  ; cos  ; OC z cos  OP r OP r OP r cos cos,cos,cos được gọi là cosin theo hướng của OP ; chúng phụ thuộc hệ thức: 2 cos 2 cos 2  cos2  x 2 2 y z r2 1 Trong không gian hai chiều, nếu r nằm trên mp(XOY), chúng ta có kết quả tương tự: x 2 2 r  x y ; cos ; cos với cos2 cos2 1 y  r r Định nghĩa 1.2.8 (Tổng và hiệu các vectơ theo thành phần) Giả sử các vectơ r1 , r 2 , r3 ,… được biểu diễn theo các thành phần của chúng trong các trục vuông góc OX,OY ,OZ r1 x1 i y1 j z1 k r 2 x2 i y2 j z2 k r 3 x3 i y3 j z3 k ................................ r1 r 2 r 3 .... (x1 i y1 j z1 k ) (x2 i y2 j z2 k ) (x3 i y3 j z3 k ) ... (x1 x2 x3 ...)i ( y1 y2 y3 ...) j (z1 z2 z3 ...)k Kết quả cho thấy phép cộng các vectơ thực hiện bằng cách cộng các thành phần của chúng. Hoàn toàn tương tự khi trừ các vectơ. 1.3. TÍCH CỦA CÁC VECTƠ Định nghĩa 1.3.1 (Tích vô hƣớng) Tích vô hướng của hai vectơ a và b tạo với nhau một góc được định nghĩa là đại lượng vô hướng a.b.cos và được ký hiệu là a . b Rõ ràng, phép nhân vô hướng của các vectơ là có tính giao hoán vì: a . b = ab.cos =ba.cos = b . a Định nghĩa 1.3.2 (Tích có hƣớng) Tích có hướng của 2 vectơ a , b tạo với nhau một góc được định nghĩa như một vectơ (gọi là vectơ tích) có độ lớn là ab.sin và có hướng vuông góc với hướng của cả 2 vectơ a và b theo đường đinh ốc xoắn về phía phải từ hướng của vectơ a đến hướng của vectơ b di chuyển theo hướng của vectơ tích. Vectơ tích của 2 vectơ a và b được ký hiệu là a b hoặc a x b . Định nghĩa 1.3.3 (Tích hỗn tạp)  Giá trị a b c là kết quả tích a và b c , nó được gọi là tích hỗn tạp và có thể được thể hiện dưới dạng b và c (bằng b và c) Đại diện cho tích hỗn tạp là v , sao đó là v vuông góc với b c nó có thể được coi như là trong mặt phẳng của b và c và do đó nó có thể được thể hiện như là v = bp + qc trong đó p,q là vô hướng Lấy hình chữ nhật có vectơ đơn vị i , j , k với j , k trong mặt phẳng b,c và j song song với mặt phẳng b. Khi đó : b =b j ; c = c2 j + c3 k ; a = a1 i a2 j a3 k v = ( a1 i a2 j a3 k ) [b j ( c 2 j + c3 k )] = ( a1 i a2 j a3 k ) (bc 3 j ) = - a2bc3 k a3bc3 j =- a2b(c c2 j) a3c3b =- a2bc a2c2b a3c3b =( a2c2 a3c3 )b- a2bc Nhưng a2c2 a3c3 =ac và a2b =ab   a  b c ac b ab c   Chú ý rằng  c  a  b khác với a b  c hoặc c   a  b tích hỗn tạp không có tính chất giao hoán. CHƢƠNG 2 HÀM VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG 2.1 VECTƠ CHỨA BIẾN SỐ VÀ ĐỊNH NGHĨA HÀM VECTƠ Định nghĩa 2.1.1 (Các hàm số vectơ của biến số vô hƣớng) , R . Hàm vectơ là phép đặt mỗi t  ,  tương ứng duy Cho nhất với một vectơ kí hiệu là a  t . Định nghĩa 2.1.2 (Định nghĩa hàm vectơ trong hệ trục tọa độ Descartes) Một hàm dạng r t f t i g t j có r t f t i g t j h t k hoặc là một hàm vectơ, trong đó hàm thành phần f, g và h là các hàm giá trị thực sự của tham số t. Các hàm giá trị vectơ đôi khi được biểu thị như r  t  f t , g t ,h t       r  t  f t  , g  t  hoặc  . 2.2 ĐẠO HÀM CỦA HÀM VECTƠ Định nghĩa 2.2.1 (Định nghĩa đạo hàm của một hàm vectơ) Cho hàm vectơ r  t vectơ với t (a;b). . Đạo hàm của một hàm của r  t  được định nghĩa bởi r 't nếu giới hạn trên tồn tại. Kí hiệu r '  t  r t t lim t 0 t r t  hoặc Dt r  t   Nếu r '  t tồn tại thì r được gọi là khả vi tại t. Nếu r ' t tồn tại cho tất cả t trong khoảng mở I thì r là khả vi trên khoảng I. Sự khả vi của hàm vectơ có thể được mở rộng cho khoảng đóng bằng cách xem xét giới hạn một bên như sau. Định nghĩa 2.2.2 (Định nghĩa đạo hàm một bên của hàm vectơ) Cho hàm vectơ r  t  với t [t0 ;b). Giới hạn bên phải nếu có của tỉ r t t r t  số lim khi t dần đến t0 được gọi là đạo hàm bên t 0 t  phải của hàm vectơ tại điểm t0 kí hiệu r 't0  r t r t0  0 r ' t lim t 0 t t0 t   Đạo hàm bên trái của hàm vectơ r  t với t (a;t0 ] , kí hiệu là r 't0  cũng được định nghĩa tương tự. r t r t0  0 r ' t lim t 0 t t0 t  Định nghĩa 2.2.3 (Định nghĩa đạo hàm trên một đoạn của hàm vectơ) Cho hàm vectơ r  t  với t [a;b]. Hàm vectơ r  t gọi là có đạo hàm trên đoạn [a; b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc khoảng (a; b) và có đạo hàm bên phải tại a và đạo hàm bên trái tại b. Định lí 2.2.4 (Tính chất của đạo hàm) Có r r(t) và u u(t) là hai hàm vectơ khác nhau có đạo hàm theo t và c là một đại lượng vô hướng.   Dt cr t cr 't   2. Dt  r t u t r 't u 't  3. Dt  w  t  r t w  t  r 't w'  t  r t    4. Dt r t .u t r t .u 't r 't .u t   5. Dt r t  u t r t  u 't r 't  u t  6. Dt r  w  t  r '  w  t   w'  t  7. Nếu r  t  .r  t  thì r t  .r ' t c 0 Định lí 2.2.5 (Đạo hàm của các hàm vectơ theo tọa độ) 1. Nếu r t f t i g t j r 't nơi f và g là các hàm khả vi của t, thì f 't i g 't j 2. Nếu r t f t i g t j h  t  k nơi f, g và h là các hàm khả vi của t, thì r 't f 't  i g 't j h '  t  k Trong định lí sau đây, a , b là các hàm vectơ và u là hàm vô hướng của biến số vô hướng t; c là một vectơ bất biến, là hằng số trong cường độ và hướng, và c là một hằng số vô hướng. Trong kết quả (iii), hàm của quy tắc hàm số, s một biến số vô hướng thứ hai là một hàm của t. Định lí 2.2.6 dc 0 ; (i) dt d da ca c ; (ii dt dt ) d du da d da ua  a u a b  (iii) db  ; dt dt dt     ds dt da a.b  .b a ; db a.  d dt d    d a . d s ; (iv ) dt ; d dt dt a bdb a  da dt dt dt b dt dt dt Nhận xét 2.2.7 (Đạo hàm của một hàm vectơ có độ lớn bất biến) Giả sử a a(t) là hàm vectơ có mudule là hằng số nhưng có hướng 2 2 thay đổi với t. Thì a = hằng số, điều này dẫn đến đạo hàm của a đối với t bằng 0. da da Vì vậy 2a. hay a. 0 0 dt dt Do đó a và đạo hàm của nó d a /dt là các vectơ vuông góc. Định lí 2.2.8. a a(t) (t) là hàm vectơ có mudule là hằng số nhưng có hướng thay đổi với t thì a và đạo hàm của nó d a /dt là các vectơ vuông góc. 2.3. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH CỦA HÀM VECTƠ Định nghĩa 2.3.1 Tích phân bất định (hoặc nguyên hàm) của hàm dA vectơ đã cho a(t) là hàm vectơ A (t) sao cho a . Khi đó kết quả dt được viết là  a(t)dt A(t). Nếu c là một vectơ hằng, ta cũng có d  A c/ dt a(t). , nên tích phân bất định tổng quát của a(t) là ∫ a(t) dt = A + c , trong đó c là vectơ hằng. Nhận xét 2.3.2 (Nguyên hàm của tích các vectơ) Với a , b là các hàm vectơ của t , khi đó a . b là một hàm thực theo t và a b là một hàm vectơ theo t . Khi đó ∫ a . b dt , ∫ a là các  b dt nguyên hàm của tích các vectơ cũng hoàn toàn được xác định. Định nghĩa 2.3.3 (Tích phân xác định của hàm vectơ) Nếu A (t) là một nguyên hàm của hàm vectơ a(t) thì tích phân xác định của a(t) từ a đến b được xác định bởi b a(t)dt A(b) A(a) :A(t) | a b . a Định nghĩa 2.3.4 (Tích phân của hàm vectơ theo tọa độ) 1. Nếu r t f t  i g t j , trong đó f và g là liên tục trên đoạn [a, b], thì tích phân bất định của vectơ r là     r t dt  f t  dt i   g t dt j  và nó cũng có tích phân xác định trên đoạn a t b là b b  b  r t dt f t dt i g t dt j  a   a  a 2. Nếu r  t f t  i g t j h t  k , trong đó f, g và k là liên tục trên đoạn [a, b] thì tích phân bất định của vectơ r là    r t dt  f t dt i g  t  dt j h t dt k     và nó cũng có tích phân xác định trên đoạn a t b là b b  b  b   r t dt f t dt i g t dt j  h  t dt k a     a  a a 2.4 VECTƠ TIẾP TUYẾN Định nghĩa 2.4.1 (Định nghĩa vectơ tiếp tuyến đơn vị) Cho C một đường cong phẳng đại diện bởi vectơ r trên một khoảng mở I. Vectơ tiếp tuyến đơn vị T t tại t được định nghĩa như sau: T t   r ' t  r ' t  , r 't 0. Định nghĩa 2.4.2 (Định nghĩa vectơ pháp tuyến đơn vị)