Tài liệu Hàm vectơ hầu tuần hoàn và sự tồn tại các nghiệm hầu tuần hoàn của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất trong không gian banach

1 bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Trêng §¹i häc Vinh ------------------ TRÇN THÞ THI£N H¦¥NG HµM VECT¥ HÇU TUÇN HOµN Vµ Sù TåN T¹I C¸C NGHIÖM HÇU TUÇN HOµN CñA PH¦¥NG TR×NH VI PH¢N TUYÕN TÝNH THUÇN NHÊT TRONG KH«NG GIAN BANACH luËn V¡N TH¹C sÜ TO¸N HäC Vinh – 2007 2 bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Trêng §¹i häc Vinh ------------------ TRÇN THÞ THI£N H¦¥NG HµM VECT¥ HÇU TUÇN HOµN Vµ Sù TåN T¹I C¸C NGHIÖM HÇU TUÇN HOµN CñA PH¦¥NG TR×NH VI PH¢N TUYÕN TÝNH THUÇN NHÊT TRONG KH«NG GIAN BANACH Chuyªn ngµnh: gi¶I tÝch M· sè : 60. 46. 01 luËn V¡N TH¹C sÜ TO¸N HäC Ngêi híng dÉn khoa häc: Pgs.ts t¹ quang h¶i Vinh – 2007 3 Môc lôc Më ®Çu………………………………………………………………………..2 Ch¬ng I. C¸c hµm vect¬ hÇu tuÇn hoµn 1.1. Kh«ng gian Banach c¸c hµm hÇu tuÇn hoµn.. ………………...........4 1.2. TÝnh hÇu tuÇn hoµn cña ®¹o hµm vµ tÝch ph©n c¸c hµm hÇu tuÇn hoµn.........6 1.3. Gi¸ trÞ trung b×nh vµ chuçi Fourier…………………………………..7 1.4. Kh«ng gian Hilbert cña hµm hÇu tuÇn hoµn………………………...9 1.5. §Þnh lý duy nhÊt vµ §Þnh lý xÊp xØ……………………………………...10 Ch¬ngII. C¸c nghiÖm hÇu tuÇn hoµn cña ph¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt trong kh«ng gian Banach 2.1. Tiªu chuÈn vÒ tÝnh hÇu tuÇn hoµn cña tÊt c¶ c¸c nghiÖm………………..13 2.2. §a ra vÝ dô ®Ó chøng tá r»ng §Þnh lý 2.1.5 ë môc 2.1 kh«ng ®óng trong trêng hîp v« h¹n chiÒu…………………………………………..17 2.3. §Þnh lý Rcèp……………………………………………………….20 2.4. TÝnh hÇu tuÇn hoµn cña c¸c nghiÖm giíi néi…………………........20 2.5. Nªu vÝ dô nãi vÒ sù trï mËt cña bao tuyÕn tÝnh cña nghiÖm giíi néi……...25 4 KÕt luËn……………………………………………………………………...28 Tµi liÖu tham kh¶o…………………………………………………….........29 Më ®Çu Lý thuyÕt hµm hÇu tuÇn hoµn lµ mét bé phËn quan träng cña lý thuyÕt ®Þnh tÝnh ph¬ng tr×nh vi ph©n. Lý thuyÕt hµm hÇu tuÇn hoµn ®îc øng dông trong c¸c lÜnh vùc kh¸c nhau, nhÊt lµ trong kinh tÕ vµ khoa häc kü thuËt. Môc ®Ýnh cña luËn v¨n lµ kh¶o s¸t c¸c tÝnh chÊt hµm vect¬ hÇu tuÇn hoµn vµ tõ ®ã kh¶o s¸t mét sè tiªu chuÈn vÒ sù tån t¹i c¸c nghiÖm hÇu tuÇn hoµn cña ph¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt trong kh«ng gian Banach. Trªn c¬ së tµi liÖu vÒ hµm hÇu tuÇn hoµn cña Левинтан В.М (1952) [4], [1], [2], [3], [5], [6], [7], [8], díi sù híng dÉn cña PGS.TS T¹ Quang H¶i luËn v¨n ®· nghiªn cøu ®Ò tµi “Hµm vect¬ hÇu tuÇn hoµn vµ sù tån t¹i c¸c nghiÖm hÇu tuÇn hoµn cña ph¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt trong kh«ng gian Banach” 5 Néi dung cña luËn v¨n ®îc tr×nh bµy theo 2 ch¬ng Ch¬ng I. C¸c hµm vect¬ hÇu tuÇn hoµn 1.1. Kh«ng gian Banach c¸c hµm hÇu tuÇn hoµn. 1.2. TÝnh hÇu tuÇn hoµn cña ®¹o hµm vµ tÝch ph©n c¸c hµm hÇu tuÇn hoµn. 1.3. Gi¸ trÞ trung b×nh vµ chuçi Fourier. 1.4. Kh«ng gian Hilbert c¸c hµm hÇu tuÇn hoµn. 1.5. §Þnh lý duy nhÊt vµ §Þnh lý xÊp xØ. Ch¬ng II. C¸c nghiÖm hÇu tuÇn hoµn cña ph¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt trong kh«ng gian Banach 2.1. Tiªu chuÈn vÒ tÝnh hÇu tuÇn hoµn cña tÊt c¶ c¸c nghiÖm. 2.2. VÝ dô. 2.3. §Þnh lý Rcèp. 2.4. TÝnh hÇu tuÇn hoµn cña c¸c nghiÖm giíi néi. 2.5. vÝ dô. Trong ch¬ng I tr×nh bµy mét sè nÐt c¬ b¶n vÒ hµm vect¬ hÇu tuÇn hoµn víi gi¸ trÞ trong kh«ng gian Banach. Trong ch¬ng II kh¶o s¸t sù tån t¹i c¸c nghiÖm hÇu tuÇn hoµn cña ph¬ng tr×nh vi ph©n sau ®©y:  x  Ax , víi A to¸n tö giíi néi h»ng sè, thùc hiÖn trong kh«ng gian Banach E. 6 nªu vµ chøng minh 4 ®Þnh lý vÒ sù hÇu tuÇn hoµn c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt. XÐt sù liªn hÖ gi÷a tÝnh giíi néi vµ tÝnh hÇu tuÇn hoµn c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt, vµ ®a ra hai vÝ dô: Chøng tá ®iÒu kh¼ng ë §Þnh lý 2.1.5 môc 2.1 kh«ng ®óng trong trêng hîp v« h¹n chiÒu vµ chøng tá r»ng bao tuyÕn tÝnh cña c¸c nghiÖm giíi néi etA  trï mËt trong E th× phæ cña to¸n tö A cha h¼n ®· thuÇn ¶o. LuËn v¨n nµy ®îc hoµn thµnh díi sù híng dÉn tËn t×nh cña ThÇy gi¸o PGS.TS T¹ Quang H¶i. Trong qu¸ tr×nh nghiªn cøu chóng t«i ®· nhËn ®îc sù quan t©m gióp ®ì cña c¸c ThÇy C« gi¸o, b¹n bÌ. Qua ®©y t«i xin bµy tá lßng biÕt ¬n ch©n thµnh vµ s©u s¾c nhÊt tíi ThÇy gi¸o híng dÉn, tíi c¸c ThÇy C« gi¸o trong tæ Gi¶i tÝch, Khoa To¸n, Khoa sau ®¹i häc trêng §¹i häc Vinh cïng tÊt c¶ c¸c b¹n ®ång nghiÖp vµ gia ®×nh. T«i rÊt mong nhËn ®îc sù gãp ý, chØ b¶o cña c¸c ThÇy C« gi¸o vµ b¹n. Vinh, th¸ng 12/2007 T¸c gi¶ 7 8 Ch¬ng I C¸c hµm vect¬ hÇu tuÇn hoµn Trong ch¬ng nµy tr×nh bµy mét sè nÐt c¬ b¶n vÒ hµm vect¬ hÇu tuÇn hoµn víi gi¸ trÞ trong kh«ng gian Banach. 1.1 Kh«ng gian Banach c¸c hµm sè hÇu tuÇn hoµn Gi¶ sö � lµ trôc sè, E kh«ng gian Banach phøc, f x¸c ®Þnh trªn � víi gi¸ trÞ trong E, f : �  E. Sè  � ®îc gäi lµ chu kú cña f nÕu Sup f  t    f  t    . t � TËp c¸c  - hÇu chu kú cña f kÝ hiÖu () = (f). TËp c¸c sè thùc gäi lµ trï mËt t¬ng ®èi nÕu trong mçi kho¶ng tuú ý cña ®êng th¼ng sè víi ®é dµi cè ®Þnh cã Ýt nhÊt mét ®iÓm cña tËp nµy. Hµm vect¬ liªn tôc f : � E gäi lµ hÇu tuÇn hoµn (theo Bore) nÕu víi  > 0 tËp (,f) trï mËt t¬ng ®èi. Hµm hÇu tuÇn hoµn giíi néi, liªn tôc ®Òu vµ compact t¬ng ®èi. Gäi Q = Q ( �, E) kh«ng gian Banach c¸c hµm liªn tôc giíi f  t . néi f : �  E víi chuÈn f  sup t � def Gäi fh tÞnh tiÕn (víi h �) cña hµm f : � E, fh(t)  f(t + h). Chøng minh r»ng f  Q hÇu tuÇn hoµn khi vµ chØ khi hä 9 tÞnh tiÕn {fh} compact t¬ng ®èi ë trong Q (§Þnh lý Bocner¬). Tõ §Þnh lý nµy dÔ dµng suy ra tæng c¸c hµm hÇu tuÇn hoµn lµ hµm hÇu tuÇn hoµn, v× tÝch cña hµm hÇu tuÇn hoµn víi mét ®¹i lîng v« híng còng lµ hÇu tuÇn hoµn, cho nªn tËp tÊt c¶ c¸c hµm hÇu tuÇn hoµn lµm thµnh mét kh«ng gian vect¬. §a vµo trong kh«ng gian víi chuÈn nh ®· x¸c ®Þnh ë trªn ta sÏ ®îc kh«ng gian ®Þnh chuÈn B = B ( �, E). DÔ dµng chøng minh ®îc giíi h¹n d·y héi tô c¸c hµm hÇu tuÇn hoµn lµ hµm hÇu tuÇn hoµn, cho nªn B lµ mét kh«ng gian ®Çy ®ñ, tøc lµ B lµ kh«ng gian Banach. §a thøc lîng gi¸c p(t) =    p  eit víi  tËp h÷u h¹n tõ �, p  E víi   , lµ mét thÝ dô ®¬n gi¶n vÒ hµm sè hÇu tuÇn hoµn. NÕu f : �  E hµm vect¬ hÇu tuÇn hoµn th× víi   E* hµm sè def f(t)  f  t  ,  , f : � C (C trêng sè phøc) còng lµ hµm hÇu tuÇn hoµn. Hµm sè cã tÝnh chÊt ®ã ®îc gäi lµ hµm hÇu tuÇn hoµn yÕu. Hµm hÇu tuÇn hoµn yÕu lµ hÇu tuÇn hoµn khi vµ chØ khi nã lµ compact t¬ng ®èi. §Ó ph¸t biÓu tiªu chuÈn compact t¬ng ®èi cña hä hµm hÇu tuÇn hoµn cÇn nh¾c l¹i c¸c ®Þnh nghÜa sau ®©y: 10 Hä hµm  f    I = F gäi lµ liªn tôc ®Òu nÕu víi  > 0 tån h t¹i  > 0 ®Ó f  f   , víi h   vµ  f  Hä hµm  f    I  f    I . = F gäi lµ hÇu tuÇn hoµn ®Òu nÕu víi   > 0 tån t¹i tËp trï mËt t¬ng ®èi  ®Ó f  f   víi    vµ víi f  F vµ lµ compact t¬ng ®èi ë t  � nÕu tËp F(t) de f   f (t),f  F compact t¬ng ®èi ë E. Hä F =  f   I c¸c hµm hÇu tuÇn hoµn f : �  E compact t¬ng ®èi ë B khi vµ chØ khi nã liªn tôc ®Òu, hÇu tuÇn hoµn ®Òu vµ compact t¬ng ®èi ë mçi ®iÓm t  �. 1.2 TÝnh hÇu tuÇn hoµn cña ®¹o hµm vµ tÝch ph©n 1.2.1. §Þnh lý Ka®ex¬ [8]. Gi¶ sö f : �  E hÇu tuÇn g hoµn kh¶ vi ë mçi ®iÓm t  �. Khi ®ã ®¹o hµm g = f : �  E lµ hÇu tuÇn hoµn khi vµ chØ khi nã liªn tôc ®Òu. Trong trêng hîp h÷u h¹n chiÒu, ®Þnh lý Bol-Bore kh¼ng ®Þnh tÝch ph©n cña hµm hÇu tuÇn hoµn lµ hÇu tuÇn hoµn khi vµ chØ khi tÝch ph©n ®ã giíi néi. ë trong trêng hîp v« h¹n chiÒu §Þnh lý nµy kh«ng ®óng. Ch¼ng h¹n xÐt hµm f víi gi¸ trÞ trong kh«ng gian Banach E = C tÊt c¶ c¸c d·y sè héi tô x = (x1, x2, ..., xn, ...) cã d¹ng sau ®©y: 11 f(t) = (i1 ei1t ,...,i n ein t ...) , víi 0 < n  0. Gi¶ sö Pn(s) = (i1 ei1t ,...,i n ein t ,0...) lµ ®a thøc lîng gi¸c,  k  0 víi n  , do ®ã f lµ hµm hÇu tuÇn v× f  p n  Sup nk hoµn. Ta cã   Do ®ã   t  f  s  ds 0 t  f (s)ds 0    ei1t  1,...,ein t  1,...  2 . giíi néi. Nhng (t) kh«ng ph¶i lµ hÇu tuÇn hoµn.   ThËt vËy, nÕu n =   2 , 3 2  th×  n n   t      t   vµ víi 0 <  < ®èi v× ®é dµi t   f  s  ds  sup e t 2 th× tËp  n i n  1  2 (, ) kh«ng trï mËt t¬ng  n cña n cã thÓ lµm cho lín tuú ý. Nh vËy vÊn ®Ò xÐt tÝnh hÇu tuÇn hoµn cña tÝch ph©n c¸c hµm hÇu tuÇn hoµn trong trêng hîp v« h¹n chiÒu lµ mét bµi to¸n lý thó. Bocner¬ chøng minh r»ng §Þnh lý Bol - Bore ®óng trong kh«ng gian Banach nÕu nh tÝch ph©n lµ compact t¬ng ®èi. Sau ®ã Amerio chøng minh ®îc r»ng §Þnh lý nµy ®óng cho 12 trêng hîp kh«ng gian Hilbert vµ sau ®ã cho c¸c kh«ng gian Banach låi ®Òu. C©u tr¶ lêi cuèi cïng vÒ tÝnh ®óng ®¾n cña §Þnh lý Bol - Bore lµ do Ka®ex¬. Chøng minh, §Þnh lý Bol - Bore ®óng khi vµ chØ khi kh«ng gian Banach kh«ng chøa c¸c kh«ng gian con, ®¼ng cÊu víi kh«ng gian C c¸c d·y sè héi tô. Chóng ta sÏ gäi tÝnh chÊt c¸c kh«ng gian Banach ë trªn lµ kh«ng gian cã K tÝnh chÊt. Do ®ã kh«ng gian Hilbert, c¸c kh«ng gian Banach låi ®Òu cã K tÝnh chÊt, nªn §Þnh lý Bol Bore ®óng. 1.3 Gi¸ trÞ trung b×nh vµ chuçi Fourier Víi mäi hµm hÇu tuÇn hoµn tån t¹i duy nhÊt vect¬ J{f} =J{f(t)} E gäi lµ gi¸ trÞ trung b×nh cña hµm hÇu tuÇn hoµn f: Víi  > 0 tån t¹i () > 0 ®Ó 1  f (t)dt  J f  <  víi  -  >      To¸n tö J :B  E cã c¸c tÝnh chÊt sau 1) J{f + } = J{f} + J{}. ThËt vËy, víi f,g B ta cã J{f +g} = J{(f +g)(t)} = J{f(t) + g(t)} = J{f(t)} + J{g(t)} =J{f} + J{g},  t  �. 2) J{f} = J{f}; 3) J  f   J  f  . ThËt vËy, víi f B, ta cã 13 J  f   Sup J  f  t    J.Sup f  t   J  f  ; 4) J{c} = c víi f(t)  c; 5) J{fh} = J{f}; 6) J{f(-t)} =J{f(t)}; 7) J  f  t   = J{ f (t) }. ThËt vËy, víi f B ta cã    J f  t   = J f   J f  J f  t  ; 8) J{f}  0 nÕu f(t)  0 víi t  � vµ J{f} > 0 nÕu f  0. Tõ §Þnh nghÜa gi¸ trÞ trung b×nh suy ra gi¸ trÞ trung b×nh thuéc bao låi ®ãng c¸c gi¸ trÞ cña hµm hÇu tuÇn hoµn. Chó ý r»ng, §Þnh lý V©ylia - Maka vÒ sù tån t¹i cña gi¸ trÞ trung b×nh cña hµm hÇu tuÇn hoµn trªn nhãm t¬ng ®¬ng víi §Þnh lý Markop vÒ sù tån t¹i ®iÓm bÊt ®éng chung cña nhãm c¸c to¸n tö tuyÕn tÝnh. Hµm x¸c ®Þnh bëi c«ng thøc f  = J{f(t) e - i t } gäi lµ hµm phæ, tËp (f) = {: f  0} gäi lµ phæ cña f, sè   (f) gäi lµ sè mò Fourier cña f vµ f lµ hÖ sè Fourier. Chøng minh ®îc r»ng (f) kh«ng qu¸ ®Õm ®îc. §iÒu ®ã cho phÐp chóng ta thiÕt lËp chuçi sau: §èi víi mçi hµm hÇu tuÇn hoµn f lËp chuçi Fourier t¬ng øng 14 f(t) ~ feit. Víi E lµ kh«ng gian liªn hîp cña E, thiÕt lËp t¬ng øng   E* hµm hÇu tuÇn hoµn sè def A (t)   f (t),   . def Víi to¸n tö A, ¸nh x¹ E vµo B1  B( �,C) lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh giíi néi vµ A  f . Chøng minh ®îc to¸n tö nµy hoµn toµn liªn tôc. ThËt vËy, v× hä c¸c hµm {A } víi   1,   E* giíi néi ®Òu, liªn tôc ®Òu vµ hÇu tuÇn hoµn ®Òu. Tõ ®ã suy ra kÕt luËn trªn. Cã thÓ chøng minh ®îc hÖ sè Fourier f thuéc bao låi ®ãng tËp c¸c gi¸ trÞ cña hµm f. NÕu f kh¶ vi liªn tôc vµ g f hÇu tuÇn hoµn th× g f  = if (  �). NÕu tÝch ph©n  cña f hÇu tuÇn hoµn th×   f i víi 0    �. 1 e  ih  1  f (t  h)  f (t)  f    ThËt vËy, tõ hÖ thøc J  h h  víi h  0 ta nhËn ®îc ®iÒu cÇn chøng minh ®èi víi ®¹o hµm, tõ ®ã suy ra cã c«ng thøc ®èi víi tÝch ph©n. 1.4 Kh«ng gian Hilbert c¸c hµm hÇu tuÇn hoµn Gi¶ sö E lµ kh«ng gian Hilbert (E = H). §èi víi c¸c hµm hÇu tuÇn hoµn 15 f, g: �  H = J{(f(t), g(t))}. ThÊy r»ng kÝ hiÖu <,> cã tÊt c¶ c¸c tÝnh chÊt cña tÝch v« híng. Kh«ng gian vect¬ c¸c hµm hÇu tuÇn hoµn f : �  E víi tÝch v« híng trªn lµ kh«ng gian Hilbert H = H ( �, E). 1 §Æt f  f ,f  2 , khi ®ã f  f . ë trong H cã ®ång nhÊt thøc sau 2 2 f   c e  f   f e   c   f  , 2       víi lµ tËp h÷u h¹n thuéc �, C lµ c¸c hÖ sè vect¬ tuú ý trong H, e: �  C cã d¹ng e(t) = eit. Tõ ®ång nhÊt thøc nµy suy ra tÝnh chÊt cùc trÞ cña hÖ sè Fourier vµ ®ång nhÊt thøc Betxen (víi C  0) 2 f   f e  f   f  . 2 2     V× vÕ tr¸i kh«ng ©m tõ ®ã suy ra bÊt thøc Betxen    f 2 2  f . BÊt ®¼ng thøc nµy chøng tá hµm phæ nhËn gi¸ trÞ kh¸c kh«ng trªn mét tËp kh«ng qu¸ ®Õm ®îc (tøc lµ phæ (f)) cña hµm hÇu tuÇn hoµn f lµ tËp kh«ng qu¸ ®Õm ®îc, vµ cã bÊt ®¼ng thøc Betxen sau ®©y    f 2 2  f . 16 Trong lý thuyÕt hµm hÇu tuÇn hoµn, ®¼ng thøc Parxevan cã mét tÇm quan träng ®Æc biÖt ®ã lµ    f 2 2 f . §¼ng thøc nµy t¬ng ®¬ng víi §Þnh lý nh©n sau ®©y NÕu f, g H th× (f(t), g(t)) lµ hµm hÇu tuÇn hoµn sè vµ ta cã J{(f(t), g(t))} =  0 (f  , g ) , thªm vµo ®ã chuçi ë vÕ ph¶i héi tô. 1.5 §Þnh lý duy nhÊt vµ ®Þnh lý xÊp xØ ë ®©y ta xÐt hµm hÇu tuÇn hoµn ë trong kh«ng gian Banach tuú ý. 1.5.1 §Þnh lý duy nhÊt [4]. NÕu víi hµm hÇu tuÇn hoµn mµ hµm phæ (f  0) ®ång nhÊt b»ng kh«ng th× f(t)  0. §Þnh lý nµy cho thÊy ®èi víi hai hµm hÇu tuÇn hoµn kh¸c nhau th× hai chuçi Fourier cña chóng kh¸c nhau. §Þnh lý sau ®©y ®ãng vai trß quan träng trong lý thuyÕt c¸c hµm hÇu tuÇn hoµn: 1.5.2 §Þnh lý xÊp xØ. Gi¶ sö f: �  E lµ hµm hÇu tuÇn hoµn, khi ®ã víi  > 0 tån t¹i ®a thøc lîng gi¸c p : �  E ®Ó f  p   vµ (p)  (f). §Ó nhËn ®îc ®a thøc xÊp xØ víi hµm hÇu tuÇn hoµn ®· cho chóng ta cã thÓ tiÕn hµnh nh sau: §Æt ë trong chuçi Fourier cña hµm sè ®· cho mét sè h÷u h¹n c¸c sè h¹ng vµ nh©n c¸c hÖ sè cßn l¹i víi c¸c sè d¬ng 17 bÐ h¬n 1. Gi¶ sö f  B, , , ..., n,... c¬ së cña phæ. Víi m, n lµ c¸c sè tù nhiªn tuú ý, a  , a  , ..., a n lµ c¸c sè thùc. X©y dùng nh©n hçn hîp Bocner¬ - Ph©y¬re:  1t   n t  Ka(t) = K a1  ...K a n  ,  m!   m!  víi a = (m, n, a1 ... an) vµ at 2  1  k eikt Ka(t) =   t  a  k a  a.sin 2 2 sin 2 lµ nh©n s¬ cÊp Bocner¬ - Ph©y¬r¬. Nh©n s¬ cÊp Bocner¬ - Ph©y¬r¬ lµ ®a thøc lîng gi¸c tuÇn hoµn 2, gi¸ trÞ trung b×nh cña nã b»ng 1. Nh©n hçn hîp Bocner¬ - Ph©y¬r¬ lµ ®a thøc lîng gi¸c kh«ng ©m, gi¸ trÞ trung b×nh cña nã b»ng 1. §a thøc lîng gi¸c: f a (t) = J s {K a (s)f(t + s)} gäi lµ ®a thøc Bocner¬ - Ph©y¬r¬ cña hµm hÇu tuÇn hoµn f. Chøng minh ®îc r»ng víi > 0 t×m ®îc c¸c sè tù nhiªn m, n, a1, ... an ®Ó f a  f   . TËp c¸c gi¸ trÞ cña ®a thøc Bocner¬ - Ph©y¬r¬ n»m trong bao låi ®ãng Wf cña tËp c¸c gi¸ trÞ cña hµm f. §a thøc Bocner¬ - Ph©y¬r¬ n»m trong bao låi ®ãng Wf̂ tËp c¸c tÞnh tiÕn cña hµm f. ThËt vËy, gi¶ sö ng îc l¹i víi t0  � cã p(t 0 )  w f khi ®ã t×m ®îc c  � vµ   E* ®Ó Re[x, ] < c < Re[p(t0), ] (x  wf). 18 Khi ®ã Re[f (t0+s), ] < c < Re [p(t0), ] (s  �). Do tÝnh kh«ng ©m cña nh©n Re[K(s) f(t0+s), ]  K(s). c  Re[K(s) p(t0), ] thªm vµo ®ã dÊu b»ng sÏ kh«ng x¶y ra ë bÊt cø ®¼ng thøc nµo. V× K 0 = 1 suy ra Js{Re[K(s)f (t0+s), } < c < Js {Re[K(s)p(t0), ]} tøc lµ Re[p(t0), ] < c < Re[p(t), ]. §iÒu m©u thuÉn nµy chøng minh tÝnh chÊt 1. TÝnh chÊt thø 2 ®a vÒ tÝnh chÊt 1 víi chó ý r»ng p = Js{K(s) f̂ (s)}, víi s f̂ : �  B x¸c ®Þnh bëi c«ng thøc f̂ (s) = f . Tõ §Þnh lý xÊp xØ suy ra víi  > 0 tËp (f) = {:   �, f   } kh«ng qu¸ h÷u h¹n. ThËt vËy, chän ®a thøc lîng gi¸c p ®Ó f  p <, v× f   p    víi   � th× f  < p  +  víi   (p) cã f  < . Nh vËy (f)  (p), v× phæ cña ®a thøc lîng gi¸c lµ h÷u h¹n, cho nªn ®iÒu kh¼ng ®Þnh trªn ®îc chøng minh. 19 Ch¬ng II C¸c nghiÖm hÇu tuÇn hoµn cña ph¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt Trong ch¬ng nµy chóng t«i sÏ kh¶o s¸t sù tån t¹i c¸c nghiÖm hÇu tuÇn hoµn cña ph¬ng tr×nh vi ph©n sau ®©y:  x = Ax, (2.1) víi A to¸n tö giíi néi h»ng sè, thùc hiÖn trong kh«ng gian Banach E. KÝ hiÖu U(t) = exp (At) vµ f(t) = f(t, ) = U(t). Râ rµng f(t, ) lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (2.1) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu X(0) =  2.1 Tiªu chuÈn vÒ tÝnh hÇu tuÇn hoµn cña tÊt c¶ c¸c nghiÖm 2.1.1 §Þnh nghÜa. Gäi to¸n tö tuyÕn tÝnh A lµ to¸n tö ®óng nÕu U(t) < +. C(A) = Sup t � (2.2) DÔ thÊy r»ng, to¸n tö ®óng cã phæ thuÇn ¶o. 2.1.2 §Þnh nghÜa. Kh«ng gian Banach E ®îc gäi lµ cã tÝnh chÊt K nÕu E kh«ng chøa c¸c kh«ng gian con ®¼ng cÊu víi kh«ng gian C c¸c d·y sè héi tô. 2.1.3 §Þnh nghÜa. To¸n tö tuyÕn tÝnh A ®îc gäi ®¬n gi¶n nÕu 20 U(t) =    U     U  U  1 U  eit víi UU =  U (,   (U)), . 2.1.4 §Þnh lý. Gi¶ sö E cã tÝnh chÊt K, to¸n tö A ®óng vµ hoµn toµn liªn tôc. Khi ®ã tÊt c¶ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (2.1) lµ hÇu tuÇn hoµn. Chøng minh. Theo tÝnh ®óng vµ hoµn toµn liªn tôc cña to¸n tö A ®¹o hµm g g = f cña nghiÖm tuú ý f cña ph¬ng tr×nh (2.1) lµ compact t¬ng ®èi. Do ®ã víi d·y tuú ý h n  � cã thÓ chØ ra n = g(hn) héi tô, n  0. Khi ®ã g h n  f 0  sup U(t).n  U(t). 0  C(A)  n  0  0, víi n  . t � Theo §Þnh lý Bocner¬ hµm vect¬ g hÇu tuÇn hoµn, v× E cã tÝnh chÊt K cho nªn theo §Þ nh lý Ka®ex¬ tõ tÝnh gií i néi suy ra tÝnh hÇu tu Çn hoµn . Víi E  H lµ kh«ng gian Hilbert §Þnh lý 2.1.4 trïng víi kÕt qu¶ cña S«l«kh«Vich. VÝ dô sau ®©y chøng tá r»ng nÕu bá gi¶ thiÕt kh«ng gian cã tÝnh chÊt K th× §Þnh lý kh«ng cßn ®óng. VÝ dô. Trong kh«ng gian Banach C c¸c phÇn tö x = (x 1, ..., xn , ...). XÐt to¸n tö Ax = (ix1, ..., in.xn, ...), víi 0 < n  0. To¸n tö nµy ®óng vµ hoµn toµn liªn tôc, nhng nghiÖm e i1t ,...,e i n t ... cña ph¬ng tr×nh (2.1) víi ®iÒu kiÖn ®Çu x(0)