Tài liệu Hàm r-lồi và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN MINH ĐỨC HÀM r-LỒI VÀ Ƣ́NG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS TẠ DUY PHƢỢNG THÁI NGUYÊN - NĂM 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU .................................................................................................. 1 CHƢƠNG 1: HÀM r-LỒI .............................................................................. 3 1.1 Một số khái niệm hàm lồi và hàm r-lồi ................................................... 3 1.2 Tính chất của hàm r-lồi......................................................................... 12 1.3 Tính khả vi của hàm r-lồi ....................................................................... 17 1.4. Quan hệ với hàm lồi suy rộng khác ....................................................... 20 CHƢƠNG 2: TỐI ƢU VỚI HÀM MỤC TIÊU r-LỒI ............................... 25 2.1 Bài toán tối ưu......................................................................................... 25 2.2 Điều kiện tối ưu đối với bài toán có ràng buộc ...................................... 31 2.3 Điều kiện tối ưu và thuật toán giải bài toán tối ưu r-lồi ......................... 36 2.4 Ví dụ về tối ưu hàm r-lồi phi tuyến ....................................................... 45 KẾT LUẬN ..................................................................................................... 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................. 49 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn DANH MỤC CHƢ̃ VIẾT TẮT Stt Tƣ̀ viết tắt Nội dung 01 KKT 02 CP Bài toán tối ưu lồi khả vi 03 NLP Bài toán tối ưu phi tuyến Karush-Kuhn-Tucker Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 LỜI NÓI ĐẦU Giải tích lồi với hai khái niệm cơ bản là tập lồi và hàm lồi đã phát triển mạnh mẽ và cơ bản định hình trong những năm 70 của thế kỉ trước . Hàm lồi là mở rộng của hàm tuyến tính và do đó nó cho phép nghiên cứu lớp các bài toán tối ưu lồi , rộng hơn nhiều so với lớp bài toán tối ưu tuyến tí nh . Vì vậy Giải tích lồi đóng vai trò quan trọng trong ứng dụng toán học vào các bài toán tối ưu trong thực tế. Tuy nhiên, các bài toán trong thực tế thường không nhất thiết là lồi. Vì vậy, cần mở rộng khái niệm hàm lồi. Mangasarian, Hoàng Tụy, Rockaffelar...là những người có đóng góp lớn trong nghiên cứu các lớp hàm lồi suy rộng (lớp các hàm tựa lồi, giả lồi,...). Avriel (1973) đã đưa ra một lớp hàm r  lồi, là sự mở rộng của lớp hàm lồi và có một số tính chất tốt khi áp dụng cho bài toán tối ưu. Luận văn Hàm r  lồi và ứng dụng có mục đích trình bày nội dung hai bài báo của Avriel về hàm lồi và ứng dụng của nó trong tối ưu. Luận văn gồm hai chương. Chương 1 “Hàm r  lồi” trình bày các tính chất cơ bản của hàm r  lồi. Các tính chất của hàm r  lồi (khả vi hay không khả vi) cho thấy mối quan hệ thú vị giữa các lớp hàm lồi và hàm lồi suy rộng với lớp hàm r  lồi. Chương 2 “Tối ưu với hàm mục tiêu r  lồi” trình bày ứng dụng của hàm r  lồi trong bài toán tối ưu với các hàm mục tiêu và hàm tham gia trong hạn chế là các hàm r  lồi. Trình bày thuật toán và ví dụ giải bài toán tối ưu với hàm r  lồi. Do thời gian có hạn nên luận văn này mới chỉ dừng lại ở việc tì m hiểu tài liệu, sắp xếp và trì nh bày các kết quả nghiên cứu đã có theo chủ đề đặt ra . Trong quá trì nh viết luận văn cũng như trong xử lý văn bản chắc chắ n không Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 tránh khỏi có những sai sót nhất định . Tác giả rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn . Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy h ướng dẫn, PGS-TS Tạ Duy Phượng đã tận tì nh giúp đỡ trong suốt quá trì nh làm luận văn. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu , Khoa Toán và Phòng Đào tạo sau Đại học Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên , các thầy, cô ở Viện Toán họ c đã tận tì nh giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập tại trường. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu , Tổ Toán - Tin và các thầy cô giáo Trường THPT Lương Ngọc Quyến , nơi tác giả công tác , đã tạo những điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ học tập. Tác giả cũng xin bày tỏ sự quý mến và lòng biết ơn sâu sắc tới bố mẹ , gia đì nh và người thân đã luôn khuyến khí ch , động vi ên tác giả trong suốt quá trình học cao học và viết luận văn này. Thái Nguyên, tháng 7 năm 2011 Tác giả Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 CHƢƠNG 1 HÀM r-LỒI Chương này nhắc lại vắn tắt một số kiến thức cơ bản , cần thiết của giải tích lồi (tập lồi , hàm lồi ), trình bày khái niệm hàm r-lồi, tính chất của hàm r-lồi, tính khả vi của hàm r-lồi và quan hệ với hàm lồi suy rộng khác nhằm phục vụ cho việc tìm hiểu và nghiên cứu các bài toán tối ưu . Khái niệm hàm r-lồi do M. Avriel đưa ra năm 1972-1973 (xem [3] và [4]). 1.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM HÀM LỒI VÀ HÀM r-LỒI 1.1.1. Tập lồi Tập S   n được gọi là tập lồi nếu S chứa mọi đoạn thẳng nối hai điểm của nó tức là với mọi x1  S , x 2  S ta có  x1  (1   ) x2  S ,  0,1. 1.1.2. Hàm lồi Định nghĩa 1.1 Hàm f xác định trên một tập lồi S   n được gọi là hàm lồi trên S nếu f ( x1  (1   ) x2 )   f ( x1 )  (1   ) f ( x2 ) x1, x2  S ,  0,1. Định nghĩa 1.2 Hàm f được gọi là lồi chặt trên S nếu f ( x1  (1   ) x2 )   f ( x1 )  (1   ) f ( x2 ) x1  x2 ,    0,1. Hàm f được gọi là hàm lõm (lõm chặt) trên S nếu  f là lồi (lồi chặt) trên S . Một hàm tuyến tính vừa là hàm lồi, vừa là hàm lõm. Hàm f ( x )  c là hàm tuyến tính nhưng không phải là hàm lồi chặt , cũng không phải là hàm lõm chặt . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 f  x f  x2  )  f ( x1 )  (1   ) f ( x 2 ) f  x1  f   x1  (1   ) x 2  ) 0 x1  x1  (1   ) x 2 x x2 Hình 1.1: Hàm lồi f  x f  x2  f   x1  (1   ) x 2   f ( x1 )  (1   ) f ( x 2 ) f  x1  0 x1  x1  (1   ) x 2 x2 x Hình 1.2: Hàm lõm Định nghĩa 1.3 Cho f là hàm xác định trên tập lồi S   n , f được gọi là hàm tựa lồi trên S nếu x1 , x 2  S , f ( x1 )  f ( x 2 )  f ( x1  (1   ) x 2 )  f ( x 2 )   0,1. tức là x1 , x 2  S , f ( x1  (1   ) x 2 )  max  f ( x1 ), f ( x 2 )   0,1. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 Hàm f được gọi là hàm tựa lõm trên S nếu - f là tựa lồi trên S tức là nếu x1, x2  S mà f ( x1 )  f ( x2 ) thì f ( x1 )  f ( x1  (1   ) x 2 )   0,1. Định nghĩa 1.4 Hàm f xác định trên một tập lồi S   n được gọi là hàm tựa lồi chặt (strictly quasiconvex) trên S nếu với mọi x1 , x 2  S , x1  x 2 , ta có f ( x1  (1   ) x 2 )  max  f ( x1 ), f ( x 2 ) với mọi    0,1 , hay tương đương với f ( x1 )  f ( x 2 )  f ( x1  (1   ) x 2 )  f ( x 2 )    0,1. Hàm f được gọi là hàm tựa lõm chặt trên S nếu (- f ) là tựa lồi chặt, tức là f ( x1 )  f ( x 2 )  f ( x1  (1   ) x 2 )  f ( x 2 )    0,1. 1.1.3. Hàm r-lồi Khái niệm tập lồi và hàm lồi đóng vai trò rất quan trọng trong hầu hết những vấn đề của qui hoạch toán học . Mục đích của luận văn này là trình bày khái niệm hàm r-lồi do M . Avriel đưa ra (xem [3]). Lớp hàm r-lồi khá rộng , nó là mở rộng tự nhiên của lớp hàm lồi và chứa lớp hàm lồi như một trường hợp đặc biệt. Ta đã biết là hàm f xác định trên một tập lồi S   n được gọi là hàm lồi trên S nếu f ( x1  (1   ) x2 )   f ( x1 )  (1   ) f ( x2 ) x1, x2  S ,  0,1. (1.1) Nói cách khác , giá trị của hàm số tại điểm x :  x1  (1   ) x2 là tổ hợp của x1 và x 2 với các trọng số  và (1   ), f ( x1  (1   ) x2 ) nhỏ hơn tổ hợp của f  x1  và f  x 2  với cùng trọng số  và (1   ). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 Khái niệm r-lồi mở rộ ng bất đẳng thức (1.1) bằng cách thay vế phải của (1.1) bằng một trọng số tổng quát hơn của giá trị hàm số tại x1 và x 2 . Điều này cho phép chúng ta xét một lớp các hàm rộng hơn là lớp hàm lồi mà nó vẫn còn giữ được nhiều tí nh chất của hàm lồi (trên quan điểm áp dụng vào bài qui hoạch toán học). Có rất nhiều mở rộng khác của hàm lồi , chủ yếu là với mục đích ứng dụng trong qui hoạ ch toán học (xem [3], [4]). Trong luận văn này cũng sẽ trình bày một số quan hệ giữa r-lồi và các dạng mở rộng khác của hàm lồi. Hàm r-lồi (r-convex function) Giả sử w m là véc tơ m chiều các thành phần dương và q m , qi  m ( i  1, m ) là các số không âm sao cho  qi  1, i  1, m, r là số thực. i 1 Đị nh nghĩ a 1.5 Trọng số trung bình r của các số w1 ,..., wm được đị nh nghĩ a là số (xem [3]) 1  m r   qi wi r  , r  0;  i 1  M r (w; q)  M r  w1 ,..., wm ; q    m  wi qi , r  0.  i 1 Nhận xét 1.1 Nếu m  2; r  1 thì M r (w; q)  q1w1  q2 w2  q1w1  1  q1  w2 là tổ hợp lồi của w1 và w2 . Đị nh nghĩ a 1.6 Hàm thực f xác định trên một tập lồi C   n được gọi là hàm r-lồi (r-convex function) nếu với mọi x1  C , x 2  C ta có   f  q1 x1  q2 x 2   log M r exp  f  x1   ,exp  f  x 2   ; q  hay tương đương với Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 f  q1 x1  q2 x 2  1  r 1 2     log q exp rf x  q exp rf x , r  0;  1 2      q f x1  q f x 2 , r  0. 2  1          Đị nh nghĩ a 1.7 Hàm thực f xác định trên một tập lồi C   n được gọi là hàm r-lõm (r-concave function) nếu với mọi x1  C , x 2  C ta có         f q1 x1  q2 x 2  log M r exp  f x1  , exp  f x 2  ; q  hay tương đương với f  q1 x1  q2 x 2  1  r 1 2     log q exp rf x  q exp rf x  1 2     , r  0;  q f x1  q f x 2 , r  0. 2  1           Nếu r  0, hàm r-lồi được gọi là hàm lồi trên (superconvex).  Nếu r  0, hàm r-lõm được gọi là hàm lõm trên (superconcave).  Nếu r  0, hàm r-lồi được gọi là hàm lồi dưới (subconvex).  Nếu r  0, hàm r-lõm được gọi là hàm lõm dưới (subconcave). Nhận xét 1.2 i) Hàm thực f xác định trên một tập lồi C   n là hàm lồi khi và chỉ khi f là hàm 0-lồi. ii) Hàm thực f xác định trên một tập lồi C   n là hàm lõm khi và chỉ khi f là hàm 0-lõm. Ví dụ 1.1 Xét hàm logx, x  0 là hàm lõm do đó, logx là hàm 0-lõm. Theo Định nghĩa 1.6 thì logx cũng là 1-lồi và 1-lõm. Do đó, nó vừa là hàm lồi trên vừa là hàm lồi dưới. Đị nh nghĩ a 1.8 Trọng số trung bình r của m véc tơ dương w1 , w2 ,..., wm  n được định nghĩa là: M r (w1 ,..., wm ; q)  (M r (w11,..., w1m ; q),..., M r (wn1 ,..., wnm ; q)). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 Đị nh nghĩ a 1.9 Tập con X   n được gọi là tập r-lồi nếu với mọi x1  X , x 2  X , q1  0, q2  0, q1  q2  1   thì log  M r (e x , e x ; q)  ,...,log  M r (e x , e x ; q)   X . 1 1 1 n 2 1 2 n (1.2) Tập r-lồi có minh họa hình học đơn giản là với hai điểm bất kỳ thuộc tập r-lồi thì đường cong xác định bởi (1.2) sẽ chứa trong tập đó. Tập 0-lồi là tập lồi. Mặt khác, tập X   n là r-lồi với r  0 khi và chỉ khi tập Y cho bởi Y   y : y   n , y j  erx , j  1,..., n, x  X  j là tập lồi. Định nghĩa của hàm r-lồi có thể mở rộng hơn trên tập r-lồi. Định nghĩa 1.10 Hàm thực  xác định trên tập p-lồi X   n được gọi là (p,r)-lồi nếu với mỗi x1  X , x2  X , q1  0, q2  0, q1  q2  1 thì     log M p (e x , e x ; q)   log M r  e ( x ) , e ( x ) ; q  . 1 2 1 2 Trong đó log và e trong vế trái của bất đẳng thức được hiểu là log và e theo từng thành phần. Mở rộng khái niệm tập r  lồi dẫn đến định nghĩa hàm  p, r   lồi dưới đây. Định nghĩa 1.11 Cho X   n , Y   m thì tập T  XxY  ( x, y) : x  X , y Y  được gọi là tập (p, r)-lồi nếu log M e , e ; q  ,log M e , e ; q   T x1 p x2 y1 y2 r với ( x1 , y1 )  T , ( x 2 , y 2 )  T và q1  0, q2  0, q1  q2  1. Hàm thực  xác định trên tập p-lồi X   n được gọi là (p, r)-lồi nếu epigraph của  là (p, r)-lồi. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 9 Ở đây epigraph của hàm  được đị nh nghĩ a là epi  :  x,   : x  X ,    ,   f ( x). Dưới đây ta chỉ xét các hàm  0,r   lồi, tức là các hàm r  lồi. Tuy nhiên phần lớn các kết quả có thể dễ dàng mở rộng cho hàm  p, r   lồi. Ta nhận xét rằng có thể mở rộng khái niệm lồi bằng cách sử dụng trọng số theo cách khác nhau. Thí dụ, ta có định nghĩa dưới đây. Đị nh nghĩ a 1.12 Hàm thực dương f xác định trên một tập lồi C   n được gọi là hàm r+-lồi (r+-convex) nếu với mỗi x1 , x 2  C và q ta có f  q1 x1  q2 x2   M r  f  x1  , f  x 2  ; q  , hay tương đương với f  q1 x  q2 x    q1 f 1 2 r x  q 1 2 f r  x  2 1 r . Nhận xét 1.3 Nếu hàm f xác định trên một tập lồi C   n là hàm 1+-lồi thì f là hàm lồi. Nhận xét 1.4 Hàm f xác định trên một tập lồi C   n là hàm r-lồi khi và chỉ khi exp( f ) là hàm r  -lồi ( r   convex ) với cùng r. Chứng minh Với r  0 : f là hàm r-lồi  f  q1 x1  q2 x 2   q1 f ( x1 )  q2 f ( x 2 )  exp f  q1 x1  q2 x 2   exp q1 f ( x1 )  q2 f ( x 2 )   e q f ( x ) q f ( x )  e q f ( x ) .e q f ( x ) 1 1 2 2 1 1 2 2  exp q1 f  x1  .exp q2 f  x 2   exp  f  là hàm r  -lồi. Với r  0 : f là hàm r-lồi  f  q1 x  q2 x   log q1 exp  rf ( x )   q2 exp  rf ( x )  1 2 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2 1 r http://www.lrc-tnu.edu.vn 10 1   1 2  exp  f q1 x  q2 x   exp log q1 exp rf ( x )  q2 exp rf ( x )  r      1 2           1  exp  f q1 x1  q2 x2   q1 exp rf ( x1 )  q2 exp rf ( x 2 )  r  exp( f ) là r  - lồi. Luận văn này chủ yếu nghiên cứu hàm r-lồi, từ các kết quả đối với hàm r-lồi có thể biến đổi để có các kết quả tương tự đối với hàm r  -lồi. Có thể nhận được quan hệ sắp thứ tự của các hàm r-lồi dựa trên quan hệ đã biết của trọng số trung bì nh của các số dương (xem [3]). Bổ đề 1.1 Cho r, s và w1 ,..., wm là các số dương. Nếu s  r thì M s  w1 ,..., wm ; q   M r  w1,..., wm ; q  với mọi giá trị của các trọng số q1 ,..., qm . Đị nh lý 1.1 (Đị nh lý xếp thứ tự ) Nếu f là hàm r -lồi (r-lõm) thì f cũng là hàm s-lồi (s-lõm) với mọi s  r  s  r  . Chƣ́ng minh Hàm f là r-lồi nên theo Đị nh nghĩ a 1.6 ta có   f  q1 x1  q2 x 2   log M r exp  f  x1   ,exp  f  x 2   ; q  với mọi x  C, x  C. 1 2 Theo Bổ đề 1.1, với mọi s  r ta có    M s exp  f  x1  ,exp  f  x2  ; q  M r exp  f  x1  ,exp  f  x2  ; q  Suy ra       log M r exp  f  x1  ,exp  f  x 2  ; q  log M s exp  f  x1  ,exp  f  x 2  ; q .    Do đó f  q1 x1  q2 x 2   log M s exp  f  x1   ,exp  f  x 2  ; q . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 11 Vậy f là hàm s-lồi. Chứng minh với f là hàm r-lõm làm tương tự. Tương ứng với các thuật ngữ, ta có nhận xét dưới đây. Nhận xét 1.5 Hàm f là hàm lồi trên thì f là hàm lồi, điều ngược lại không đúng. Xét các trường hợp tới hạn của hàm r-lồi (nghĩa là r   và r   ). Ta biết rằng (xem [3]). Định nghĩa 1.13 Hàm f là hàm () -lồi nếu lim M r (w1,..., wm ; q)  M  (w1,..., wm )  max(w1,..., wm ). r  Hàm f là hàm () -lồi nếu lim M r (w1 ,..., wm ; q)  M  (w1,..., wm )  min(w1,..., wm ). r  Khi ấy ta suy ra Nhận xét 1.6 M  (w1 ,..., wm )  M r (w1 ,..., wm ; q)  M  (w1 ,..., wm ) với mọi r  . Như vậy, nếu f là hàm r  lồi trên C thì f cũng là (  )-lồi trên C nghĩa là f (q1 x1  q2 x 2 )  max  f ( x1 ), f ( x 2 )  x1  C , x 2  C. Theo định nghĩa ở trên, f là (  )-lồi trên C tương đương với f là tựa lồi. Tương tự, ta cũng có thể định nghĩa hàm   lõm như sau. Định nghĩa 1.14 Hàm f là hàm    -lõm nếu f (q1 x1  q2 x 2 )  min  f ( x1 ), f ( x 2 )  x1  C , x 2  C. Đị nh nghĩa này tương ứng với f là tựa lõm. Nhận xét 1.7 Hàm    -lồi trên C  f ( x)  c, c là hằng số. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 12 Như vậy, hàm hằng là r  lồi với mọi r   , . Ta có đị nh lý sau Định lý 1.2 Mọi hàm r-lồi (r-lõm) xác định trên tập lồi C cũng là hàm tựa lồi (tựa lõm) trên C. Như vậy, khái niệm r  lồi và tính chất sắp thứ tự dẫn tới khái niệm tựa lồi và tựa lõm một cách tự nhiên. Ta biết rằng có những hàm tựa lồi mà không phải là lồi . Tương tự có những hàm tựa lồi nhưng không là hàm r  lồi với mọi r  . 1 Ví dụ 1.2 Xét hàm tựa lồi f xác định trên  cho bởi f ( x)   2 Xét x1  1, x 2  5, q1  q2  x2 x  2. 1 2 thì f  q1 x1  q2 x 2   f  3  2   1 1  và log M r e f ( x ) , e f ( x ) ; q  log M r  e, e2 ; ,   2, r  . 2 2 1 2   Như vậy, f là tựa lồi nhưng không phải là r  lồi với mọi r  . Mặt khác, có những hàm tựa lồi không là hàm lồi nhưng có thể là lồi dưới với một vài r  0 nào đó, ví dụ, hàm log x. Câu hỏi về sự tồn tại của một r  0 nào đó sao cho hàm tựa lồi là r  lồi sẽ được xem xét trong mục 1.4. 1.2 TÍNH CHẤT CỦA HÀM r-LỒI Một đặc trưng đơn giản của hàm r  lồi có thể nhận được từ khái niệm lồi bình thường. Định lí dưới đây cho phép chuyển các hàm r  lồi và r  lõm về các hàm lồi và hàm lõm. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 13 Định lý 1.3 Cho  là hàm thực trên tập lồi C   n và hàm ˆ xác định bởi ˆ  exp  r ( x)  . Khi đó ,  là r-lồi (r-lõm) với r  0 khi và chỉ khi ˆ là hàm lồi (lõm) khi r  0 và ˆ là hàm lõm (lồi) khi r  0. Chứng minh Giả sử  là hàm r-lồi và r  0. Khi đó, với mỗi x1  C , x 2  C và q ta có:  (q1 x  q2 x )  log q1e 1 2  q2e r ( x1 )   r (q1 x  q2 x )  r log q1e 1 2  1 r ( x2 ) r r ( x1 )  q2e  1 r ( x 2 ) r r q x  q x  e   q1er ( x )  q2er ( x ) 1 2 1 1 2 2  ˆ là hàm lồi. Nếu r  0 thì er ( q x q x )  q1er ( x )  q2er ( x ) 1 1 2 2 2 1  ˆ là hàm lõm. Chứng minh tương tự với  là hàm r-lõm. Ngược lại, giả sử ˆ  er là hàm lồi trên C thỏa mãn r q x  q x  e   q1er ( x )  q2er ( x ) với mọi x1  C , x 2  C. 1 1 2 2 1 2 Nếu r  0 ta được log er ( q x q x )  log q1er ( x )  q2er ( x )  1 2 1 1 2 2  r (q1 x1  q2 x2 )  log q1er ( x )  q2er ( x )  1 1 2   (q1 x  q2 x2 )  log q1er ( x )  q2er ( x )  r 1 1 2 1   (q1 x1  q2 x2 )  log q1er ( x )  q2er ( x )  r 1 2   hàm r-lồi. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 14 Nếu r  0 , chứng minh tương tự được  là hàm r-lõm. 2 Ví dụ 1.3 Xét hàm  ( x)  ln x với x  0, r  0. r Ta có ˆ( x)  er ( x )  x2 là hàm lồi. 2 Do đó  ( x)  ln x là hàm r-lồi. r Nhiều tính chất đại số và hình học của hàm lồi vẫn đúng hoặc có thể tổng quát hóa cho hàm r-lồi. Dưới đây là một vài kết quả . Ta biết rằng f là hàm lồi khi và chỉ khi   f  là hàm lõm. Đị nh lý dưới đây tổng quát hóa kết quả này. Định lý 1.4 Hàm  là hàm r-lồi khi và chỉ khi (  ) là hàm (-r)-lõm. Chứng minh Với r  0 và  là 0-lồi khi và chỉ khi (  ) là hàm 0-lõm. Giả sử r  0 và  là hàm r-lồi. Do đó 1  (q1 x  q2 x )  log q1er ( x )  q2er ( x )  r với mỗi x1  C , x 2  C và q 1 1 2 2 1   (q1 x  q2 x )  log q1er ( x )  q2er ( x )   r   1 1 2 2   là hàm (-r)-lõm. Chiều ngược lại chứng minh tương tự. Định lý 1.5 Nếu hàm  là hàm r-lồi (r-lõm) và k  * ,    . Khi đó i)    là hàm r-lồi (r-lõm). ii) Hàm k là hàm r r -lồi ( -lõm). k k Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 15 Chƣ́ng minh i) Với r  0, theo tí nh chất của hàm lồi ta có ngay kết quả trên. Giả sử r  0,  là hàm r-lồi. Theo Định lý 1.3 thì er ( x ) là hàm lồi. Do đó, hàm er .er ( x )  er r ( x )  er  ( x )  e  r   ( x ) cũng là hàm lồi. Nên    là hàm r-lồi. Chứng minh với  là hàm r-lõm làm tương tự. ii) Với r  0, theo tí nh chất của hàm lồi ta có ngay kết quả trên. Giả sử r  0,  là hàm r-lồi và k   * , ta có với mọi x1  C , x 2  C và q ,   q1 x  q2 x   log  q1e 1 2   r x1  1   r  q2e r x 2  1 r  x  r  x  r   k  q1 x  q2 x   k log q1e  q2 e   1 1 2 2 k r . k  x   r  r .k  x   k  q1 x1  q2 x 2   log  q1e k  q2e k    1 Suy ra k là hàm 2 r -lồi. k Chứng minh với  là hàm r-lõm làm tương tự. Định lý 1.6 Cho  ,  là hàm r-lồi (r-lõm) trên tập lồi C   n và giả sử 1 ,  2  là các số dương . Khi đó , hàm  xác định bởi 1  log 1er ( x )   2er ( x )  r , r  0,   1 ( x)   2 ( x), r  0. cũng là hàm r-lồi (r-lõm). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 16 Chƣ́ng minh Với r  0, theo tí nh chất của hàm lồi ta có ngay kết quả trên. Với r  0, do  ,  là hàm r-lồi nên theo Đị nh lý 1.3 ta có er ( x ) và er ( x ) là hàm lồi. Với mọi x1  C , x 2  C , 1 ,  2 là các số dương và q , ta có e  r q1 x1  q2 x2  1 e  r log 1er 1er  r q1 x1  q2 x 2  1e  r q1 x1  q2 x 2    2e   r q1 x1  q2 x 2  r  x  r  x     q er  x   q er  x    1 q1e  q2e 2  1 2     1 2 1 2 r  x  r  x    q  er  x    er  x    q1 1e   2e 2  2  1   1 e  r q1 x1  q2 x 2   q1e   r x1 2  q2 e   r x 2 2 2 . Suy ra e r là hàm lồi nên  là hàm r-lồi. Chứng minh với  là hàm r-lõm làm tương tự. Định lý 1.7 Cho  là hàm r-lồi (r-lõm) trên tập lồi C   n với r  0  r  0  và cho  là hàm s-lồi (s-lõm) không giảm trên  . Khi đó, hàm hợp   là hàm s-lồi (s-lõm). Chứng minh Cho x1  C, x2  C, q1  0, q2  0, q1  q2  1. Nếu  là hàm r-lồi, ta có  (q1 x1  q2 x2 )  log M r (e ( x ) , e ( x ) ; q). 1 2 Theo định nghĩa,  (q1 x1  q2 x 2 )   (q1 x1  q2 x 2 ) . Do  là không giảm nên Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 17  (q1 x1  q2 x 2 )   log M r (e ( x ) , e ( x ) ; q) . 1 2   Vì r  0 nên  (q1 x1  q2 x2 )  q1 ( x1 )  q2 ( x 2 ) . Do  là hàm s-lồi nên  (q1 x1  q2 x2 )  log M s (e ( ( x )) , e ( ( x )) ; q) 1  2    (q1 x1  q2 x2 )  log M s (e ( x ) , e ( x ) ; q) 1 2   là hàm s-lồi. Chứng minh tương tự cho trường hợp  là hàm s-lõm. Định lý dưới đây cho phép nhiều khi đơn giản hóa chứng minh các định lý liên quan đến các hàm lồi suy rộng. Định lý 1.8  là hàm r-lồi (r-lõm) trên tập lồi C   n khi và chỉ khi với mọi x1  C , x 2  C và hàm  cho bởi  ( )    1    x1   x 2  là hàm r-lồi (r-lõm) với 0    1. 1.3 TÍNH KHẢ VI CỦA HÀM r-LỒI Trong trường hợp hàm khả vi thì đị nh nghĩ a hàm r-lồi có thể đơn giản hơn Định lý 1.9 Cho  là hàm khả vi trên tập lồi C   n . Khi đó,  là hàm r-lồi khi và chỉ khi với mọi x1  C , x 2  C ta có   T 1 r ( x ) 1 r ( x ) e  e 1  r  x 2  x1   ( x1 ) , với r  0; r r 2 1   x 2     x1    x 2  x1    x 2  , với r  0. T Định lý 1.10 Cho  là hàm khả vi trên tập lồi C   n . Khi đó,  là hàm r-lõm khi và chỉ khi với mọi x1  C , x 2  C ta có Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn