Tài liệu Giới hạn liên tục toán cao cấp

  • Số trang: 48 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 202 |
  • Lượt tải: 0
tranvantruong

Đã đăng 3224 tài liệu

Mô tả:

giới hạn liên tục toán cao cấp
Nội dung --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- I.2 – Giới hạn của hàm số  – Hàm số.  – Giới hạn của hàm số.  – Vô cùng bé, Vô cùng lớn. 1. Hàm số Định nghĩa (hàm hợp) Cho hai hàm g : X  Y ; f : Y  Z . Khi đó tồn tại hàm hợp f  g : X  Z . h  f  g  f ( g ( x)) Ví dụ. g ( x)  x  3; f ( x)  x 2  f  g ( x)  f ( g ( x )  f ( x  3)   x  3 2  g  f ( x)  g ( f ( x))  g ( x 2 )  x 2  3 1 Ví dụ. Cho f ( x )  x ; g ( x)  2  x . Tìm các hàm sau và miền xác định của nó: a ) f  g ; a ) f  g ( x)  b) g  f ; 2 x  4 2 x c) f  f ; d) g  g .  D f  g  (,2] b) g  f ( x)  2  x  Dg  f   0,4 c) f  f ( x)  4 x  D f  f   0,   d ) g  g ( x)  2  2  x  Dg  g   2, 2 Đầu vào Đầu ra 2 Định nghĩa (hàm 1 – 1) Hàm y = f(x) được gọi là hàm 1 – 1, nếu x1  x2  D f thì f ( x1 )  f ( x2 ). Hàm y = f(x) là hàm 1 – 1 khi và chỉ khi không tồn tại đường thẳng nằm ngang cắt đồ thị nhiều hơn một điểm. Ví dụ. Hàm 1 – 1 Không là hàm 1 – 1 3 Định nghĩa (hàm ngược) Cho y = f(x) là hàm 1 – 1 với miền xác định D và miền giá trị E. Hàm ngược của y = f(x) là hàm từ E vào D, ký hiệu x  f 1 ( y ), xác định bởi x  f 1 ( y )  y  f ( x). Chú ý: Vì a  f 1 (b)  b  f ( a ) , nên (a,b) thuộc đồ thị y = f(x) khi và chỉ khi (b,a) thuộc đồ thị của f 1. 4 Đồ thị y = f(x) và đồ thị của f 1 đối xứng nhau qua qua đường thẳng y = x. Ví dụ. Vẽ đồ thị của Vẽ đồ thị của y   x  1 và đồ thị hàm ngược. Định nghĩa (hàm lượng giác ngược) Xét hàm lượng giác y = sin x  -   Trên đoạn  ,  , y = sin x là hàm 1 – 1.  2 2 Tồn tại hàm ngược, ký hiệu y  arcsin x 5 Định nghĩa (hàm lượng giác ngược) Xét hàm lượng giác y = cos x Trên đoạn 0,  , y = cos x là hàm 1 – 1. Tồn tại hàm ngược, ký hiệu y  arccos x Hàm arcsin x Miền xác định: [-1,1] Miền giá trị:  -    2 , 2  Hàm luôn luôn tăng. Hàm arccos x Miền xác định: [-1,1] Miền giá trị: 0,  Hàm luôn luôn giảm. 6 Định nghĩa (hàm lượng giác ngược) Xét hàm lượng giác y = tanx    Trên khoảng   ,  , y = tan x là hàm 1 – 1.  2 2 Tồn tại hàm ngược, ký hiệu y  arctanx Định nghĩa (hàm lượng giác ngược) Xét hàm lượng giác y = cot x Trên khoảng  0,  , y = cot x là hàm 1 – 1. Tồn tại hàm ngược, ký hiệu y  arccot x 7 Hàm arctan x Miền xác định: R Miền giá trị:  -    ,   2 2 Hàm luôn luôn tăng. Hàm arccotan x Miền xác định: R Miền giá trị:  0,  Hàm luôn luôn giảm. Định nghĩa (hàm Hyperbolic) sin hyperbolic e x  e x sinh( x)  2 cos hyperbolic e x  e x cosh( x )  2 tan hyperbolic tanh( x)  sinh( x) cosh( x) cotan hyperbolic coth( x)  cosh( x) sinh( x) 8 Hàm y  cosh( x) Hàm y  tanh( x) Hàm y  sinh( x) Hàm y  coth( x) 9 Có các công thức sau (tương tự công thức lượng giác) 1) cosh 2 (a)  sinh 2 (a )  1 2) sinh(2a)  2sinh( a ) cosh( a ); cosh(2a )  cosh 2 ( a)  sinh 2 (a ) 3) cosh( a  b)  cosh( a ) cosh(b)  sinh( a )sinh(b) 4) cosh(a  b)  cosh(a ) cosh(b)  sinh(a )sinh(b) 5) sinh(a  b)  sinh(a) cosh(b)  sinh(b) cosh(a) 6) sinh(a  b)  sinh(a) cosh(b)  sinh(b) cosh(b) và các công thức lượng giác hyperbolic khác. Để thu được công thức lượng giác hyperbolic từ công thức lượng giác quen thuộc ta thay cos bởi cosh và thay sin bởi isinh. Ví dụ. Từ công thức cos2 a  sin 2 a  1 ta có cosh 2 a  i 2 sin 2 a  1  cosh 2 a  sinh 2 a  1 10 Hàm cho bởi phương trình tham số. Cho hai hàm x = x(t), y = y(t) xác định trong một lân cận V nào đó của điểm t0 . Giả sử tồn tại hàm ngược của một trong hai hàm trên, giả sử của x = x(t) là t = t(x). Khi đó tồn tại hàm y = y(t(x)) và hàm này được gọi là hàm cho bởi phương trình tham số: x = x(t) và y = y(t). Ví dụ. Hàm y = y(x) cho bởi phương trình tham số  x  2cos t (1)  y  3sin t  x  2  cos t (1)    y  sin t  3 x2 y 2   1 4 9 Đây chính là phương trình của ellipse. 11 Ví dụ. Phương trình tham số của đường tròn tâm O bán kính R:  x  R cos t   y  R sin t Phương trình tham số của đường tròn tâm (a,b) bán kính R: Phương trình tham số của ellipse  x  a  R cos t   y  b  R sin t x2 a 2  y2 b 2  1 là  x  a cos t   y  b sin t 2. Giới hạn của hàm số Định nghĩa. Cho D là tập số thực. Điểm x0 được gọi là điểm tụ của tập D nếu trong mọi khoảng ( x0   , x0   ) đều chứa vô số các phần tử của tập D. Ví dụ. D = (0,1) Điểm tụ của D là [0,1] 1  D   ,n N  D có duy nhất một điểm tụ là 0 n  n 1   D  (1)n , n  N  D có hai điểm tụ -1 và 1. n2   12 2. Giới hạn của hàm số Định nghĩa. (ngôn ngữ    ) Cho x0 là điểm tụ của miền xác định. lim f ( x )  a x  x0    0   0 x  D f , x  x0   | f ( x )  a |  . Chú ý: Trong định nghĩa không đòi hỏi là f(x) phải xác định tại x0 Ví dụ. lim x 0 1  cos x x2  1 2 mặc dù hàm không xác định tại x = 0. 2. Giới hạn của hàm số Định nghĩa. lim f ( x)  a    0 x  A  0 x  D f , x  A | f ( x)  a |  . Định nghĩa. lim f ( x)  a    0 B  0 x  x  D f , x  B | f ( x )  a |  . 13 lim f ( x)  L x  thì f(x) trong khoảng này khi x trong khoảng này lim f ( x)  L thì f(x) trong khoảng này x     khi x trong khoảng này 14 2. Giới hạn của hàm số Định nghĩa. lim f ( x )   x  x0   0  M  0 x  D f ,| x  x0 |   f ( x)  M . Định nghĩa. lim f ( x )    M  0   0 x  x0 x  D f ,| x  x0 |   f ( x)  M . 2. Giới hạn của hàm số Định nghĩa. (ngôn ngữ dãy ) Cho x0 là điểm tụ của miền xác định. lim f ( x)  a  ( xn )  D f , x  x0 n  xn  x0 , xn   xo n  f ( xn )  a Chú ý: Thường dùng định nghĩa này chứng tỏ hàm không có giới hạn. Nếu tìm được hai dãy ( xn ),( xn' )  x0 mà f ( xn ), f ( xn' ) hội tụ về hai số khác nhau thì hàm không có giới hạn. 15 2. Giới hạn của hàm số Ví dụ. Chứng tỏ không tồn tại giới hạn limsin 1 x 0 x Chọn dãy xn  Chọn dãy 1 n  0 2n xn,   f ( xn )  sin 2n  0  0 1 n  0 2n   / 2   f ( xn )  sin(2n  )  1  1 2 Suy ra không tồn tại giới hạn Tính chất của giới hạn hàm số lim f ( x)  a, lim g ( x)  b x  x0 x  x0 1) lim ( f )   a,   R x  x0 3) lim ( f  g )  a  b 2) lim ( f  g )  a  b x  x0 4) lim x  x0 x  x0 f a  , b0 g b 5)  x  V ( x0 ), f ( x )  g ( x )   a  b  f ( x )  g ( x)  h( x ) 6)  lim f  lim h  a x  x0  x  x0  lim g ( x)  a x  x0 16 Mệnh đề  lim u ( x )  a  0  x x0  v( x )  b  xlim  x 0  lim  u ( x)  x  x0 v( x )  lim e  lim  u ( x)  x  x0 v ( x ) ln  u ( x )   ab lim v ( x ) ln(u ( x )) e x  x0 v ( x) x  x0  eb ln a  a b . x  1 lim 1    e x    x x  1 lim 1   e x    x 1 x lim 1  x   e x0 17 Các giới hạn cơ bản thường gặp khi x  0 1) lim x 0 sin x 1 x 6) lim x 0 ex 1 2) lim 1 x 0 x 1  cos x 1 3) lim  2 x 0 x 2 ln(1  x) 4) lim 1 x 0 x (1  x)  1 5) lim  x 0 x arctan x 1 x arcsin x 1 x 0 x tan x 8) lim 1 x 0 x 7) lim 1/ x 9) lim 1  x  x0 1/ x 10) lim 1  x  x 0 e  1 e Các giới hạn cơ bản thường gặp khi x   1) lim x  ,   0 x   2) lim  ln x   ,   0 x  3) lim a x  , a  1 x  x  1 4) xlim 1   e    x 5) lim sin x không tồn tại x  18 Các dạng vô định 0 1) 0  2)  3) 0   4)    6) 0  5) 1 0 7) 0 Định nghĩa. (giới hạn trái) Số a gọi là giới hạn trái của y = f(x) tại điểm x0, nếu   0   0 x  D f ,0  x0  x   ký hiệu | f ( x)  a |  . lim f ( x)  a x  x0 Định nghĩa. (giới hạn phải) Số a gọi là giới hạn trái của y = f(x) tại điểm x0, nếu   0   0 x  D f ,0  x  x0   ký hiệu | f ( x)  a |  . lim f ( x)  a x  x0 19 Ví dụ lim x 1 1   x 1 lim x 1 1   x 1 Ví dụ lim e1/ x  0 x 0 lim e1/ x    x 0 Ví dụ sin x lim 1 x0 x sin x Không tồn tại lim x0 |x| Vì lim sin x sin x  lim 1 x  0 |x| x và lim sin x sin x  lim  1 x  0 | x| x x 0 x  0   20
- Xem thêm -