Chuyên đề BDHSG: Giới hạn của dãy số
THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp
MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY
SINH BỞI PHƯƠNG TRÌNH
Huỳnh Chí Hào
Trường THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu, Đồng Tháp
A. Một số kiến thức bổ trợ
1) Định lý tồn tại nghiệm của hàm số liên tục:
Định lý: Nếu hàm số f ( x) liên tục trên đoạn a; b và f (a). f (b) 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c a; b
sao cho f (c) 0
2) Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính đơn điệu:
Định lý: Cho hàm số y f ( x) có đạo hàm trong khoảng (a;b)
a) Nếu f '( x) 0 với mọi x a; b thì hàm số y f ( x) đồng biến trên khoảng đó
b) Nếu f '( x) 0 với mọi x a; b thì hàm số y f ( x) nghịch biến trên khoảng đó
2) Liên hệ giữa tính đơn điệu và nghiệm của phương trình:
Định lý: Nếu hàm số y f x đồng biến trên a; b và y g x làm hàm hằng hoặc là một hàm số nghịch
biến trên a; b thì phương trình f x g x có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng a; b
Dựa vào tính chất trên ta suy ra:
Nếu có x 0 a; b sao cho f x 0 g x 0 thì phương trình f x g x có nghiệm duy nhất trên a; b
3) Nguyên lý kẹp:
n0 , n , n n0 un vn wn
Cho ba dãy số un , vn , wn sao cho:
lim vn a
n
un lim wn a
nlim
n
4) Tiêu chuẩn hội tụ:(Tiêu chuẩn Weierstrass)
1) Một dãy số đơn điệu và bị chặn thì hội tụ.
2) Một dãy số tăng và bị chặn trên thì hội tụ.
3) Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì hội tụ.
5) Định lý LAGRANGE:
Nếu f ( x) là hàm số liên tục trên đoạn a; b , có đạo hàm trong khoảng a; b thì tồn tại c a; b sao cho
f '(c)
f (b) f (a )
hay f (b) f (a ) f '(c)(b a)
ba
1
B. Các bài toán.
Bài toán 1.
1
1
1
1
1
... 2
... 2
trong đó n là số nguyên dương.
x 1 4x 1
k x 1
n x 1 2
1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có duy nhất nghiệm trong 1; và ký
Xét phương trình
hiệu nghiệm đó là xn .
2) Chứng minh rằng lim xn 4
n
Hướng dẫn tư duy:
+ Sử dụng tính liên tục và đơn điệu chứng minh nghiệm duy nhất.
+ Sử dụng tiêu chuẩn Weierstrass và định lý Lagrange để tìm giới hạn.
Lời giải
1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có duy nhất nghiệm trong 1;
1
1
1
1
1
... 2
... 2
với x 1;
x 1 4x 1
k x 1
n x 1 2
1
1
1
1
1
(1) f n ( x)
Biến đổi
... 2
... 2
0
2 x 1 4x 1
k x 1
n x 1
Khảo sát tính đơn điệu của f n ( x) trên 1;
Xét phương trình
(1)
(2)
Dễ thấy rằng f(x) liên tục trên 1;
1
4
k2
n2
Do f ( x)
...
...
2
x 12 4 x 12
n2 x 1
k 2 x 1
nên f n ( x) nghịch biến trên x 1; .
'
n
0, x 1;
(3)
Xét sự tồn tại nghiệm của phương trình (2) trên 1;
lim f n ( x)
x 1
Do f n ( x) liên tục trên 1; và
1 nên tồn tại x0 1; sao cho f n ( x0 ) 0
f n ( x)
xlim
2
Từ (3) và (4) suy ra với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có duy nhất nghiệm trong
(4)
1; .
2) Ký hiệu nghiệm đó là xn .Chứng minh rằng lim xn 4
n
So sánh f n ( xn ) và f n (4) , ta có
1
1
1
1
1
f n (4) 2
2
...
...
2
2
2 2 1 4 1
2k 1
2n 1
1
1 1 1
1
1
1
1
1 1 ...
...
2
3 3 5
2k 1 2k 1
2n 1 2n 1
1
0
2 2n 1
2
( Do
1
2k
2
1 1
1
)
1 2 2k 1 2k 1
Do f n ( xn ) 0 nên f n ( xn ) f n (4) .
Do f n ( x) nghịch biến trên 1; và f n ( xn ) f n (4) nên theo định nghĩa tính đơn điệu suy ra xn 4
Lại tiếp tục đánh giá xn . Áp dụng định lý Lagrange cho f n ( xn ) trên xn ; 4 , ta suy ra với mỗi số n
nguyên dương, tồn tại cn xn ; 4 sao cho
f 4 f n ( xn ) f n' (cn )(4 xn ) f n' (cn )
1
2 2n 1 4 xn
1
4
k2
n2
Mặt khác f (cn )
...
...
2
cn 12 4cn 12
n 2 cn 1
k 2 cn 1
1
1
2
(Do 1 xn cn 4 0 cn 1 9
) nên
2
9
cn 1
'
n
1
9
1
9
1
xn 4
2 2n 1 4 xn
9
2 2n 1
9
xn 4 với mỗi số nguyên dương n
2 2n 1
Tóm lại ta luôn có:
Từ (5) và theo nguyên lý kẹp ta suy ra được lim xn 4 .
4
n
(5)
Bài toán 2.
1
1
1
1
1
... 2
...
0 trong đó n là số nguyên dương.
2x x 1 x 4
x k
x n2
1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có duy nhất nghiệm trong 0;1 và ký
Xét phương trình
hiệu nghiệm đó là xn .
2) Chứng minh rằng tồn tại giới hạn hữu hạn lim xn
n
Hướng dẫn tư duy:
+ Sử dụng tính liên tục và đơn điệu chứng minh nghiệm duy nhất
+ Sử dụng tiêu chuẩn Weierstrass để tìm giới hạn
Lời giải
1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có duy nhất nghiệm trong 0;1
1
1
1
1
1
... 2
...
0 với x 0;1
2x x 1 x 4
x k
x n2
1
1
1
1
1
... 2
...
Đặt f n ( x)
2x x 1 x 4
x k
x n2
Khảo sát tính đơn điệu của f n ( x) trên 0;1
Xét phương trình
2
1
1
Do f ( x)
...
2
2
2 x x 1
x k2
nên f n ( x) nghịch biến trên 0;1 .
'
n
(1)
0, x 0;1
...
2
2
x n
1
2
(2)
3
Xét sự tồn tại nghiệm của phương trình (1) trên 0;1
lim f n ( x)
x 0
Do f n ( x) liên tục trên 0;1 và
nên tồn tại x0 0;1 sao cho f n ( x0 ) 0
lim
f
(
x
)
n
x 1
(3)
Từ (2) và (3) suy ra với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có duy nhất nghiệm trong 0;1 .
2) Chứng minh rằng tồn tại giới hạn hữu hạn lim xn
n
Khảo sát tính đơn điệu và bị chặn của xn
Với mỗi số nguyên dương n ta có:
1
1
1
1
1
1
1
f n 1 ( xn )
... 2
...
f n ( xn )
2
2
2
xn k
xn n
2 xn xn 1 xn 4
xn n 1
xn n 1
f n 1 ( xn )
1
xn n 1
2
0
(do 0 xn 1)
Mặt khác lim f n 1 ( x) và f n 1 ( x) nghịch biến trên 0; xn nên suy ra phương trình f n 1 ( x) 0 có
x 0
duy nhất nghiệm trên 0; xn , gọi nghiệm duy nhất này là xn 1 . Do 0; xn 0;1 nên 0 xn 1 xn
Dãy xn là dãy đơn điệu giảm và bị chặn dưới bởi 0 nên tồn tại giới hạn hữu hạn lim xn .
n
Bài toán 3.
Xét phương trình x n x 2 x 1 0 trong đó n là số nguyên dương và n 2 .
1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n 2 , phương trình trên có một nghiệm dương duy nhất và ký
hiệu nghiệm đó là xn .
2) Tìm lim xn
n
Hướng dẫn tư duy:
+ Sử dụng tính liên tục và đơn điệu chứng minh nghiệm duy nhất
+ Sử dụng tiêu chuẩn Weierstrass để tìm giới hạn
Lời giải
1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n 2 , phương trình trên có duy nhất nghiệm trong 0;
Xét phương trình x n x 2 x 1 0 với x 1;
Đặt
f x xn x2 x 1
Khảo sát tính đơn điệu của f ( x) trên 0;
Do f '( x) nx n 1 2 x 1
nên f n ( x) nghịch biến trên x 1; .
(3)
Xét sự tồn tại nghiệm của phương trình (2) trên 1;
lim f n ( x)
x 1
Do f n ( x) liên tục trên 1; và
1 nên tồn tại x0 1; sao cho f n ( x0 ) 0
f n ( x)
xlim
2
4
(4)
Từ (3) và (4) suy ra với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có duy nhất nghiệm trong
1; .
2) Ký hiệu nghiệm đó là xn .Chứng minh rằng lim xn 1
n
Do xn là nghiệm của phương trình (1) nên : xnn xn2 xn 1 0 xn n xn2 xn 1
Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có:
xn n xn2 xn 1
2
n xn xn 1 .1.1...1
xn2 xn 1
1
...
1
n sô 1
n
n 1 sô 1
xn2 xn n
n
(5)
(Trong (5) không có dấu bằng bởi vì xn 1 nên xn2 xn 1 1 )
Kết hợp với xn 2 , với mọi n 1, 2... ta được: xn2 xn 6
6
Từ (5) và (6) suy ra: 1 xn 1
n
6
Do lim 1 1 và theo nguyên lý kẹp suy ra lim xn 1
n
n
n
(6)
Bài toán 4.
Xét phương trình x 2 n 1 x 1 trong đó n là số nguyên dương .
1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có một nghiệm duy nhất và ký
hiệu nghiệm đó là xn .
2) Tìm lim xn
n
Hướng dẫn tư duy:
+ Sử dụng tính liên tục và đơn điệu chứng minh nghiệm duy nhất
+ Sử dụng tiêu chuẩn Weierstrass để tìm giới hạn
Lời giải
1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương, phương trình trên có một nghiệm duy nhất
Xét phương trình x 2 n 1 x 1 với x
x 2 n 1 x 1 x x 2 n 1 1
Ta có:
(1)
(2)
+ Với x 1 thì x 2 n 1 nên VT (2) 0 , suy ra (2) vô nghiệm trên ; 1
+ Với 0 x 1 thì x 2 n 1 nên VT (2) 0 , suy ra (2) vô nghiệm trên 0;1
+ Với 1 x 0 thì x 2 n 1 0 x 1 nên VT (2) 1 , suy ra (2) vô nghiệm trên 1;0
Suy ra: (2) vô nghiệm trên ;1 nên (1) vô nghiệm trên ;1
(3)
Khảo sát tính đơn điệu của f x x 2 n 1 x 1 trên 1;
Dễ thấy rằng f(x) liên tục trên 1;
Ta lại có:
f '( x) 2n 1 x 2 n 1 0, x 1;
nên f ( x) đồng biến trên x 1; .
(4)
Xét sự tồn tại nghiệm của phương trình (2) trên 1;
5
f (1) 1 0
Do f ( x) liên tục trên 1; và
2 n 1
3 0, n 1, 2,...
f (2) 2
nên tồn tại x0 1; sao cho f ( x0 ) 0
(5)
Từ (3), (4), (5) suy ra với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có duy nhất nghiệm .
2) Ký hiệu nghiệm của phương trình (1) là xn . Tìm lim xn
n
Do xn là nghiệm của phương trình (1) nên : xn 1 và xn2 n 1 xn 1 xn 2 n 1 xn 1
Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có:
xn 2 n 1 xn 1 .1.1...1
1
1 ...
1
xn 1 1
2n sô 1
2n 1
2 n sô 1
xn
xn 2n 1
2n 1
xn 2n 1
2n 1
2n 1
xn
2n
Kết hợp với xn 1 , với mọi n 1, 2... ta được:
Do lim
1 xn
2n 1
2n
2n 1
1 và theo nguyên lý kẹp suy ra lim xn 1
n
2n
Vậy lim xn 1
n
n
Bài toán 5.
Xét phương trình x n x n 1 ... x 1 0 trong đó n là số nguyên dương và n 2 .
1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n 2 , phương trình trên có một nghiệm dương duy nhất và ký
hiệu nghiệm đó là xn .
2) Tìm lim xn .
n
Hướng dẫn tư duy:
+ Sử dụng tính liên tục và đơn điệu chứng minh nghiệm duy nhất
+ Sử dụng tiêu chuẩn Weierstrass để tìm giới hạn
Lời giải
1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n 2 , phương trình trên có một nghiệm dương duy nhất
Xét phương trình: x n x n 1 ... x 1 0
Khảo sát tính đơn điệu của f n ( x) x n x n 1 ... x 1 trên 0;
(1)
Dễ thấy rằng f(x) liên tục trên 0;
Do f n' ( x) nx n 1 n 1 x n 2 ... 1 0 với mọi x 0; và n 2
nên f n ( x) là hàm số đồng biến trên 0;
(2)
Xét sự tồn tại nghiệm của phương trình (1) trên 0;
f n (0) 1 0
nên tồn tại x0 0; sao cho f n ( x0 ) 0
Do f n ( x) liên tục trên 0; và
f n (1) n 1 0
6
(3)
Từ (2) và (3) suy ra với mỗi số nguyên dương n 2 , phương trình trên có duy nhất nghiệm trong
0; .
2) Ký hiệu nghiệm đó là xn .Tìm lim xn
n
Do xn là nghiệm của phương trình (1) nên: xn 0 và xn xn2 ... xnn 1
Vì xn 0 nên từ (4) suy ra ( xn ) là dãy giảm , mặt khác lại bị chặn dưới bởi 0, nên tồn tại giới hạn hữu
(5)
hạn lim xn a
(4)
n
1 xnn
Ta lại có: 1 xn x ... x xn
và lim xnn 0 nên kết hợp với (4), (5) suy ra
n
1 xn
1
1
1 a
a
1 a
2
1
Vậy lim xn
n
2
2
n
n
n
Bài toán 6.
Xét phương trình x n x n trong đó n là số nguyên dương n 2 .
1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương, phương trình trên có một nghiệm dương duy nhất và ký
hiệu nghiệm đó là xn .
2) Tìm lim xn
n
Hướng dẫn tư duy:
+ Sử dụng tính liên tục và đơn điệu chứng minh nghiệm duy nhất
+ Sử dụng tiêu chuẩn Weierstrass để tìm giới hạn
Lời giải
1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n 2 , phương trình trên có một nghiệm dương duy nhất
Xét phương trình: x n x n
Khảo sát tính đơn điệu của f ( x) x n x n trên 1;
(1)
Do f n' ( x) nx n 1 1 0 với mọi x 1;
nên f n ( x) là hàm số đồng biến trên 1;
(2)
Xét sự tồn tại nghiệm của phương trình (1) trên 0;
f n (1) n 0
Do f n ( x) liên tục trên 0; và
nên tồn tại x0 0; sao cho f n ( x0 ) 0 (3)
n
f n (1) n 2n 0
Từ (2) và (3) suy ra với mỗi số nguyên dương n 2 , phương trình trên có duy nhất nghiệm trong
0; .
2) Ký hiệu nghiệm đó là xn .Tìm lim xn
n
Do xn là nghiệm của phương trình (1) nên xnn xn 1 1 xn n xn n n 2n
Vì lim n 2n 1 , theo nguyên lý kẹp ta được lim xn 1
Vậy lim xn 1
n
n
n
7
Bài toán 7.
10 n 10
x n ... x 1 (n = 1,2,...). Chøng minh r»ng víi mçi n ph−¬ng
tr×nh f n ( x) a cã ®óng mét nghiÖm xn (0; ) . Chøng minh d·y sè ( xn ) cã giíi h¹n h÷u h¹n khi
n .
Cho sè thùc a > 2. §Æt f n ( x) a x
Lời giải
Víi mçi n, ®Æt g n ( x) f n ( x) a ; khi ®ã g n ( x) lμ hμm liªn tôc, t¨ng trªn [0;+ ). Ta cã g n (0) 1 a <0;
g n (1) a10 n 1 a 0 nªn g n ( x) 0 cã nghiÖm duy nhÊt xn trªn (0;+ ).
§Ó chøng minh tån t¹i giíi h¹n lim xn , ta chøng minh d·y xn t¨ng vμ bÞ chÆn.
n
n 1
1
1 1
n 10
a
1
1
Ta cã g n 1 a10 1
a
1
a
a
a
n 1
9
n 1
1 9 1
1
= a 1 a 1 1 a 1 (a 1)9 1 0 .
a a
a
1
Suy ra x n < 1
n .
a
MÆt kh¸c, tõ g n ( xn ) a10 xnn 10 xnn ... 1 a 0 , suy ra
xn g n ( xn ) a10 xnn 11 xnn 1 ... xn axn 0
1
.
a
Do g n1 lμ hμm t¨ng vμ 0 g n1 ( xn1 ) g n1 ( xn ) nªn xn xn 1. VËy d·y xn t¨ng vμ bÞ chÆn nªn tån t¹i
=> g n 1 ( xn ) xn g n ( xn ) 1 axn a axn 1 a 0 do xn 1
lim xn .
n
Chó ý: Cã thÓ chøng minh lim xn 1
n
1
b»ng c¸ch ®¸nh gi¸
a
1
1
1 a (a 1)9 1 1
a
a
n 1
xn 1
1
.
a
ThËt vËy, ta cã
aa x
10
n 10
n
1
x ... xn 1 a 1
a
n
n
10
n 10
n
Suy ra
1 2 1 n 1
a 1 1 xn 1 ,
a a
n 1
1
1
9
xn 1 a (a 1) 1 1 .
a
a
1
a a 1
a
n 10
10
kÐo theo
8
2
1
1
1 ... 1 xn 1 .
a
a
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Phan Huy Khải. Các bài toán về dãy số. NXBGD 2007.
[2] Nguyễn Văn Mậu - Nguyễn Thủy Thanh. Giới hạn dãy số & hàm số. NXBGD 2002.
[3] Nguyễn Văn Mậu - Nguyễn Văn Tiến.
Một số chuyên đề giải tích bồi dưỡng học sinh giỏi THPT. NXBGD 2009.
[4] Phạm Văn Nhâm. Một số lớp bài toán về dãy số . Luận văn thạc sĩ khoa học 2011.
[5] Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30/4 lần thứ XV – 2009.
[6] Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30/4 lần thứ XVI – 2010.
9
- Xem thêm -
.PDF 
9 
1306 
77 
