Tài liệu Giáo trình phương pháp tính và matlab lý thuyết, bài tập và chương trình minh họa (dùng cho sinh viên khối các trường khoa học công nghệ) lê trọng vinh, trần minh toà

LÊTRỌNGVINH, TRẨN MINHTOÀN Giáo trình Phương pháp tính và Matlab -t Lý thuyết, bài tập và chương trình minh họa (Dùng cho sinh viên khối các trường Khoa học Công nghệ) ir NHÀ XUẤT BẢN BÁCH KHOA - HÀ NỘI LÊ TRỌNG VINH, TRÁN MINH TOÀN Giáo trình PHƯƠNG PHÁP TÍNH VÀ MATLAB Lý thuyết, bài tập và chương trình minh họa (Dùng cho sinh viên khối các trường Khoa học Công nghệ) NHÀ XƯÁT BẢN BÁCH KHOA - HÀ NỘI Bàn quyền thuộc về trường Đại học Bách Khoa Hà Nội. Mọi hình thức xuất bán, sao chép mà không có sự cho phép bằng văn bản của trường là vi phạm pháp luật. Mã số: 1264 - 2013/CXB/01 - 51/BKHN Biên mục trên xuất bản pháni của Thư viện Quốc gia Việt Nam Lê Trọng Vinh Giáo trình phưưng pháp tính và matlab : Lý thuyết, bài tập và chương trình minh họa : Dùng cho sinh viên khối các trường Khoa học Công nghê / Lê Trọng Vinh, Trần Minh Toàn. - H. : Bách khoa Hà Nội, 2013. - 228tr. ; 24cm Thư mục: tr. 223 ISBN 9786049115578 1. Phương pháp tính 2. Phần mém Matlab 3. Giáo trình 515.0285 - dc 14 BKF0033p-CIP 11 LỜI NÓI ĐẦU P HƯƠNG p h áp tín h còn được gọi là giải tíc h số hay to án học tín h to án là m ôn khoa học nghiên cứu cách giải g ầ n đúng, chủ yếu là giải số các phương trìn h , các bài to á n xấp xi hàm số và các bài to á n tối ưu. N gay từ đầu, to án học sinh ra do yêu cầu giải quyết các vấn đề th ự c tế n h ư tín h diên tích m ôt m ản h đất; do chiều cao của các v ậ t có độ cao lớn; tìm quỹ đạo của sao chổi, đường đi của tà u buôn trê n b iể n ,... N h ư vậy, có th ể nói to á n học ban đầu x u ấ t h iệ n ch ín h là to á n hoc tín h to á n . T ừ n h ữ n g năm cuối của th ế kỷ XX, phương p h á p tín h đươc p h á t triể n m ạ n h m ẽ cùng với sư b ù n g nô của tin học. Đ ặc biệt, với sự x u ấ t hiện của các siêu m áy tín h th ì k h ả n ă n g song song hóa các q u á trìn h tín h to án ngày càng được mỏ rộng. C ác n hiệm vụ chính của phương p h áp tín h là: 1. G iải g ần đ ú n g các loại phương trìn h đại số hay siêu việt; giải hệ phương trìn h ; tìm tr ị riêng, vector riê n g của m a trậ n ; giải gần đúng phương trìn h vi phân,... 2. X ấp xỉ h àm số: T hay h àm có dạng phức tạ p h ay h àm cho dưỏi dạng b ản g số bởi hàm có d ạn g đơn giản hơn để dễ tín h toán. T rong khi đó, tin học có nhiệm vụ cài d ặ t và k h ai th á c th ự c hiện quá trìn h tín h để cho kết q u ả m ong m uốn. Song việc tă n g tốc độ tín h to án (khi khối lượng tín h to á n lớn) đối với m áy g ặp n h iề u khó k h ă n về kỹ th u ậ t và đòi hỏi chi p h í lớn. Do đó, cần th iế t phải cải tiế n th u ậ t to án để iii IV có th ể giải các bài to á n cỡ lón. Điều đó có n g h ĩa là to án học tín h to án và tin hoc có mối q u a n hệ qua lại đặc biệt q u a n trong. H iện nay, đã có n h iều giáo trìn h khác n h a u , giới th iê u các cách sử dung các loai ngôn ngữ lập trìn h khác n h a u để k h ai th á c tín h to án n h ư ngôn ngữ c, M aple,... T rong giáo trìn h này ch ú n g tôi giới th iệ u ngôn ngữ lập trìn h bậc cao M a t L ab chuyên được sử d ụ n g cho các tín h to án kỹ th u ậ t. Đối với h ầ u h ế t các vấn đề, chúng tôi giới th iệ u th u ậ t to án và kèm theo chương trìn h M a t L ab (đã được chạy th ử m ột cách cẩn th ậ n ) để đôc già kiểm nghiệm và có th ể dễ dàng sử dụng đ ể giải quyết các v ấn đề cần nghiên cứu. Giáo trìn h bao gồm 6 chương, tro n g đó p h ầ n các th u ậ t to á n (phương pháp tín h ) do PGS. TS. Lê T rọng V inh biên soạn, p h ầ n lập trìn h M a t L ab do ThS. T rầ n M inh Toàn biên soạn. C h ú ng tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. H à Thị Ngoe Yến và TS. N guyễn T h a n h H uyền đã đọc b ản th ả o và có n h ữ n g đóng góp vô cùng quý báu. Do giáo trìn h được biên soạn lần đ ầ u nên không th ể trá n h khỏi n h ữ n g th iế u sót. C h ú n g tôi r ấ t m ong sự lượng th ứ và góp ý của bạn đọc. Mọi ý kiến xin chuyển về địa chỉ: V iện Toán ứng d ụ n g và Tin học, Đai học B ách K hoa H à Nội, số 1 Đại c ồ Việt, H à Nôi. Các tác giả Mue LUC Lôi nói đ ầ u ............................................ iii Mue l u• e .................................................. • ( 'h ư ơ n g 1 . S a i s ố ....................................................................................... 1 2 1 7 Số xấp xi, sai s ố ............................................................................. 7 1.1 Sai số tu y ệ t đối ................................................................. 7 1.2 Sai số tương đ ố i ................................................................ 8 1.3 C hữ số có n g h ĩ a ................................................................ 8 1.4 C hữ số tin tưởng, chữ số k h ả nghi tro n g m ột số . . . 8 1.5 Sai số quy trò n và quy trò n s ố ....................................... 9 1.6 C ách viết số xấp xỉ .......................................................... 9 Các phép tín h về sai s ố ................................................................ 9 2.1 Các phép t í n h .................................................................... 9 2.2 C ông thức tổng q u át về sai s ố ....................................... 11 2.3 Bài to án ngươc về sai s ố ................................................. 12 2.4 S ai số phương pháp, sai số tín h toán và sự ổn định . 14 C h ư ơ n g 2 . M a t L a b cơ b ả n ....................................................................... 17 1 Khỏi đông M a t L a b ....................................................................... 18 2 Biểu th ứ c M a t L a B: biến, số, toán tử , h à m ............................. 19 2.1 B i ế n ....................................................................................... 19 2.2 S ố ................................................................................... 20 2.3 Toán t ử ................................................................................. 20 2.4 H à m ....................................................................................... 21 1 2 MỤC LỤC 3 4 5 6 Các dang dữ liệu cơ bàn tro n g M a t L ab .............................. 22 3.1 V e c to r .................................................................................. 22 3.2 Đ a t h ứ c .............................................................................. 27 3.3 Ma t r ậ n .............................................................................. 30 Vẽ đồ th ị tro n g M a t L a b ........................................................... 37 4.1 Đồ th ị 2 D .............................................................................. 37 4.2 Đồ th ị 3 D ........................................................................... 41 L ập trìn h với M a t L a b .............................................................. 43 5.1 T h ủ tục ( S c r i p t ) .............................................................. 44 5.2 H àm "m-files" (F u n c tio n ).............................................. 45 5.3 N hập, x u ấ t dữ l i ệ u ........................................................... 48 5.4 Điều k h iển l u ồ n g ........................................................... 55 5.5 Vector hóa (V e c to riz a tio n )........................................... 61 5.6 T ính giá trị hàm m ột cách gián tiế p ......................... 66 5.7 C hú t h í c h ........................................................................... 66 5.8 Gỡ l ỗ i .................................................................................. 67 5.9 P h â n tích m ột chương trìn h sử d ụ n g "The Profiler" 68 Bài t ậ p ........................................................................................... 69 C h ư ơ n g 3 . G iả i g ầ n đ ú n g p h ư ơ n g t r ì n h .......................................... 79 1 2 3 4 Tìm kh oảng p h â n ly n g h i ệ m .................................................... 80 1.1 K hoảng p h â n ly n g h i ệ m .............................................. 80 1.2 Phương p h áp hìn h hoc tìm k hoảng p h â n ly nghiêm 80 Phương pháp lặp d ơ n ................................................................. 82 2.1 Nội dung phương p h á p ................................................. 82 2.2 Sự hội tụ của phương p h á p ........................................... 82 2.3 Sai s ố .................................................................................. 84 2.4 C hương trìn h M a t L ab 85 .............................................. Phương p h áp N ewton (phương p h áp tiế p tu y ến ) ............. 87 3.1 Nội d u n g phương p h á p .................................................... 87 3.2 Sự hội tụ của phương ph áp N e w to n .............................. 88 3.3 Sai s ố ..................................................................................... 89 3.4 C hương trìn h M a t L ab ................................................. 90 Phương p h áp dây c u n g ................................................................. 92 M Ụ C L ỰC__________________________________________________________ 3 5 6 7 4.1 Nội d u n g phương p h á p ............................................... 92 4.2 Sự hội tụ của phương pháp dây c u n g ..................... 93 4.3 S ai s ố ............................................................................... 94 4.4 C hương trìn h Mat L ab P hư ơng tr ìn h đa thức bậc n ................................................ 94 ....................................................... 96 5.1 M iền chứa nghiệm của đa t h ứ c ............................... 96 5.2 Sơ đồ H o rn er tín h giá trì của đa t h ứ c ..................... 97 5.3 C hương trìn h M at L ab ................................................ 97 G iải g ầ n đ ú n g hệ phương trìn h phi t u y ế n ............................. 98 6.1 P hư ơng pháp N e w to n ....................................................... 99 6.2 Phương pháp lặp 6.3 C hương trìn h M at L ab ................................................................. 100 .....................................................101 B ài t ậ p ..................................................................................................102 C h ư ơ n g 4 . P h ư ơ n g p h á p số tr o n g đ ạ i số tu y ế n t í n h .................105 1 2 3 Mở đ ầu về hê đai số tuyến t í n h .....................................................105 1.1 Đ ặ t vấn đ ề .......................................................................105 1.2 P hư ơng pháp C r a m e r ....................................................106 P hư ơng p h á p giải đúng và chương trìn h M a t L ab ................. 107 2.1 P hư ơng pháp G a u s s .......................................................... 107 2.2 C hương trìn h M at L ab 2.3 P hư ơng pháp G auss-Jordan (trụ tối đ ạ i ) ........................112 2.4 P hư ơng pháp Cholesky (khai c ă n ) .....................................116 2.5 Công thức truy đuổi giải hê có ma trận dạng ba đường chéoi21 2.6 C hương trìn h M at Lab .....................................................111 .....................................................122 P hư ơng p h á p lặp đ ơ n ........................................................................123 3.1 C h u ẩ n của m a trâ n và sự hội tụ của dãy m a trcận . . 123 3.2 P hư ơng p h áp lặp dơn (lặp cổ điển) ................................. 125 4 S ự k h ông ổn định của hệ đại số tuyến t í n h ................................. 128 5 M a tr ậ n nghịch đảo và chương trìn h M a t L ab ........................130 5.1 B ài to án ..................................................................................130 5.2 P hư ơng pháp tìm A~l trong đại số tu y ế n tín h . . . . 5.3 P hư ơng pháp G a u s s - J o r d a n .......................................131 5.4 T rường hơp m a trậ n đối xứng. Phương p h áp C holeskyl34 131 4__________________________________________________ 6 7 8 M Ự C LUC T rị riêng, vector riê n g của m a trậ n và chương trìn h M a t L ab 137 6.1 K hái niệm về trị riên g và vector r i ê n g ....................... 6.2 T rị riê n g và vector riêng của các m a trậ n đồng dạng 137 6.3 Phương p h á p D a n h ile p s k i.............................................. 6.4 Phương p h áp K rưlôp A.N......................................................145 Tìm gần đúng tr ị riê n g và vector r i ê n g .................................... 137 138 147 7.1 Nội dung phương p h áp tìm trị riê n g t r ộ i ........................147 7.2 T rường hợp m a trậ n đối xứng, xác định dương . . . 152 Bài t ậ p .............................................................................................. 157 C h ư ơ n g 5 . P h é p n ô i s u y v à x ấ p x ỉ h à m .......................................... 161 1 2 3 4 5 K hái niệm về nội s u y .................................................................... 161 1.1 Bài to án 161 1.2 Sự duy n h ấ t của đa thức nôi suy .............................................................................. ................................. 163 Đa thức nội suy L a g r a n g e .......................................................... 163 2.1 Đ a thứ c nội suy L a g r a n g e .............................................. 163 2.2 Sai số của đa thức nôi suy L a g r a n g e .............................. 164 2.3 C hương trìn h M a t L ab ................................................. 165 Đa thức nội suy N ew ton có mốc cách đ ề u ................................. 166 3.1 K hái niệm về sai p h â n .................................................... 166 3.2 Đa thức nội suy N ew ton tiến có mốc nội suy cách đều 168 3.3 Đa thức nội suy N ew ton lùi có mốc nội suy cách đều 169 3.4 Sai s ố ..................................................................................... 170 3.5 C hương trìn h M a t L ab ................................................. 172 P hép nội suy n g ư ợ c ....................................................................... 173 4.1 Sử dụng đa thứ c nội suy L a g r a n g e ..................................173 4.2 T rường hợp các mốc nội suy cách đ ề u .......................... 174 4.3 C hương tr ìn h Mat Lab ................................................. 174 Phương p h áp bình phương tối th iể u ............................................ 175 5.1 K hái niệm về sai số tru n g bình p h ư ơ n g ........................175 5.2 Bài to án 5.3 Xây dựng phương p h áp t í n h ...............................................177 5.4 Sai số của phương pháp 5.5 T rường hợp {a (x')} a.=õ77 là hệ trự c c h u ẩ n .....................180 .............................................................................. ................................................. 176 179 M Ụ C LỤ C 6 7 5 5.6 T rương hợp hệ cơ bàn là hệ đại s ố .....................................181 5.7 T rưòng hơp hệ cơ bàn là hệ lương g i á c ...........................182 5.8 C hương trìn h Mat L ab .................................................... 185 Tìm hàm thưc nghiệm theo phương pháp b ìn h phương tối th iể u l8 5 6.1 H àm thực nghiệm dang y = a e 1>x. (a > 0 ) ......................186 6.2 H àm thực nghiệm dang y = a x 1’, (a > 0, 6.3 C hương trìn h M a t L ab X > 0) . . 187 .................................................... 189 Bài t ậ p ............................................................................................... C h ư ơ n g 6 . Đ ạ o h à m , tíc h p h â n v à p h ư ơ n g t r ì n h v i p h â n . . . 1 2 3 4 5 T ính dạo h à m .................................................................................. 189 193 193 1.1 T ính đao hàm nhờ đa thức nôi suy L ag ran g e . . . . 1.2 Trưòng hơp các mốc nôi suy cách đều n h a u ...................194 1.3 Trưòng hợp n = 2 ................................................................. 194 1.4 Trưồng hơp n = 3 ................................................................. 195 T ính gần đúng tích p h ân xác định 193 ................................................ 197 2.1 Mỏ đ ầ u .................................................................................. 197 2.2 Công thức h ìn h t h a n g ...........................................................197 2.3 Công thức S im p s o n ..............................................................202 2.4 Chương trìn h M at Lab .................................................... 205 Giải gần đúng phương trìn h VIphản (bài to án Cauchy) . . 205 3.1 Mỏ đ ầ u .................................................................................... 205 3.2 Bài toán C a u c h y ....................................................................206 3.3 Phương pháp giải bài toán C âuehy............................ 206 3.4 C hương trìn h M a t L ab .................................................... 216 Giải phương trìn h vi p h ân cấp cao và hê phương trìn h vi phân217 4.1 Bài toán .................................................................................217 4.2 Công thức E u l e r .................................................................... 218 4.3 Công thức dạng R u n g e - K u tta ........................................... 218 4.4 Chương trìn h M at Lab .................................................... 219 Bài t ậ p ................................................................................................. 220 Tài liệu tham k h ả o ...................................................... 223 6 MỤC LUC CHƯƠNG 1 S ai s ồ §1. SỐ rong T XẤP XỈ, SAI SỐ tín h toán, ta phải làm việc với các giá trị g ần đúng của một đại lượng, vì vậy luôn có sai số. Việc hiểu rõ sai số đó là r ấ t cần th iế t. G iả sử A là đại lương cần nghiên cứu, n h ư n g thưc tế ta chỉ th u được đại lượng gần đú n g với nó, ký hiệu là a. Khi đó, ta nói a là số xấp xỉ của A và ký hiệu a. « A. 1.1 Sai số tu yệt đối Đại lượng A = |a - A\ được gọi là sai số tu y ệt đối của số xấp xỉ o. Do A nói chung không biết n ên không th ể biết được A. Vì vậy, người ta đưa ra càn trên củ a A và goi là sai số tuyệt đối giới h a n cho phép của a. D in h n g h ĩa 1.1. Sai số tu y ệ t đối giới h an cho phép của số gần đúng a là số A„ > 0 th ỏ a m ãn a — A I < A a hay a — A a < A < a + A„. ( 1 . 1) T ất nhiên, ta luôn m ong tìm đươc A(1 càng nhỏ càng tốt. Khi đó, bất đẳn g thức (1.1) cũng có th ể đươc th ay th ế bởi đẳn g thức Ia - A\ - A„ hay A = a ± Aa. 7 8 Chương 1. Sai NO 1.2 Sai số tương đối Để mô tả ch ất lương của viêc xấp xỉ, người ta goi ỏa = (a ■ 0) |«| là sai số tương đối của đai lương a. Sai số tương đối ổ„ thường cỉươc tín h theo tỷ lệ phần tră m (%), n ghĩa là ỏ, = 7 7 X 100%. M 1.3 Chữ số có n ghĩa Để th ố n g n h ấ t việc biểu diễn các số th ậ p p h ân tro n g giáo trìn h , ta đưa ra quy ước sau. Q u y ư ó c : Với dạng số th ậ p p h ân a — ± *** Oio0.o_i ***, từ đày về sau ta hiểu dấu "chấm" chính là dấu "phẩy" để ph ân biệt p h ần nguyên và phần th â p p h â n của số đó. Ví du khi ta viết 2.5 chính là 2,5 như cách viết tay thông thường. Trong tín h to á n cũng như tro n g máy tín h thường sử dụng số tro n g dang chữ số th ậ p p h â n do 10 ký tự 0 , 1 , 2 , . . . , 9 tạo nên. Trong m ột số có nhiều chữ số, người ta quy ước những chữ số có nghĩa tro n g số đó là nhữ ng chữ số kể từ chữ số khác "0" đầu tiên tín h từ trá i q u a phải. Ví d ụ 1.1. Số 0.003042 có 4 chữ số có nghĩa là 3, 0. 4, 2. Xét một ví dụ khác, số 3600 = 360 X 10 chi có 3 chữ số có nghĩa. Mcăt khác, nếu viết 3600 = 36 X 102 th ì chi có 2 chữ số có nghĩa. N hư vậy, th ừ a số 10* tro n g số đó không đươc tín h vào chữ số có nghĩa. C ũng với số trê n , để có 5 chữ số có nghĩa th ì ta viết 3600 = 36000 X 10“ 1. 1.4 Chữ số tin tưởng, chữ số khả nghi trong m ôt số Đ ịn h n g h ĩ a 1.2. G iả sử số « — ±a„ ... a^aião, a _ i a _2 .. . íỉ-n ... có sai số tu y ệt đối giới h ạ n là Aa. Khi đó, nếu 0 < A„ < 0.5 X 10* th ì ta nói chữ số as là chữ số tin tưởng] ngược lại (Aa > 0.5 X 10*) th ì chữ số as dươc gọi là chữ số khả nghi. Từ định n g h ĩa trê n ta dễ dàng suy ra, nếu chữ số as là chữ số tin tường th ì moi chữ số đứng trưóc nó đều là chữ số tin tưởng, n ếu as là chữ số khà 9 2. Các phép tín h về sai số nghi th ì mọi chữ số đứng sau nó đều là chữ số k h ả nghi. Ví dụ 1.2. G iả sử số a — 2.5785030 có sai số tu y ệ t đối là Aa = 0.0043. Do Aa 0.43 X 10 2 < 0.5 X 10 2 nên chữ số th ứ hai sau dấu chấm là chữ số tin tưởng. Vây số a có 3 chữ số tin tường là 2,5, 7 còn các chữ số 8. 5, 0, 3,0 là các chữ số k h ả nghi. 1.5 Sai số quy tròn và quy tròn số T rong tín h toán, ta tín h đươc số n có nhiều chữ số, thư ờ ng phải n g ắt bớt và chỉ giữ lai m ột số chữ số trong số đó và th u được số ã để tín h tiếp. Việc thay a bởi ã đươc gọi là sự quy tròn số và đại lượng tía = Ia —ã I đươc gọi là sai số quy tròn. Q u y ước: N ếu chữ số dầu tiên (kể từ trá i sang phải) tro n g các số bị bỏ di của số a lớn hơn hoặc bằng 5 th ì chữ số cuối cùng được giữ lại liền kề trước nó được tă n g lên m ột đơn vị, ngược lại th ì giữ nguyên. V í d ụ 1.3. 1. H ãy quy trò n số a = 237.542457 để được số ã có 2 số lẻ th à p phân. Theo quy ước trê n th ì ã — 237.54. 2. Cho số h — 237865. H ãy quy trò n số h để th u đươc số ỉ) chỉ gồm 4 chữ số. Theo quy ưóc trê n ta có h — 2379 X 102. 1.6 Cách v iết số xấp xỉ Giả sử A là số cần tính, ta ehỉ tính được và Au là sai số tuyệt đối giới (1 h ạ n cho phép. Ta viết A — n ± A„ để biểu diễn k ết q u ả tín h toán. Còn cách viết .4 ~ n (xấp xỉ) là cách viết chì gồm các chữ số có n g h ĩa (thưồng là số tin tưởng n hư tro n g bảng tín h , bảng logarit, b ản g giá tri các hàm số lương giác,...). §2. CÁC p h é p t ín h VỀ SAI s ố 2.1 Các p h ép tính G iả sử đại lương / có sai số tu y ệt đối giới h ạ n là A ; và sai số tương đối là Ố/. Ta đả biết A / - |A /| ( A / là số gia của đai lượng /) . Khi đó: 10 Chương 1. S a i số 1. N ếu u = X + y + z th ì A u = A x 4- Ay + A j, (.T. y . z > 0). 2. Nếu XI — X — X) th ì ốu — (.T, y > 0). F - yI 3. N ếu u — X 1JZ th ì ốu — ốx + ổy + ¿2, ( x , y , z > 0 ) . 4. Nếu u — — th ì ốu — óx + óy, (x, y > 0). Chứng minh. Ta sẽ chứng m inh cho trư ờng hợp 2 và 3 còn các trường hợp 1 và 4 được chứng m in h tương tự. 2 . Vói =>■ A?í — A.r —A y =>■ |A?/| < |A.r| 4- |Ay| Ax + Ay hay A u < A r + Ay = > -ị-Ỵ < \x-y\ M Ax 4 Ay u —X —y l*-y| ’ 3. Ta có u — xyz = > ln u — ln X + ln y + ln í ==> A(ln u) = A(ln x) + A(ln y) + A(ln z). M ặt khác, A (lntt) ~ (ỈClnu) = — ~ XI. u . Tương tự ta củng có A(ln.r)w— ; A (ln y )^ = ^ ; X y A(ln z) « — . z Khi đó Au u A.r X Au XI. Ay y Ax X Az z Ay Az + + V hay Au A x Ay Aổ„ — -—- — 7 + T—7 + -Ị—Ị- — Óx + Ốy + ổ2. I y \z\ ỉi C hú ý 1.1. T rong công thứ c hiệu, nếu \x —y\ quá bé th ì sai số sẽ lớn. Vì vậy, tro n g tín h to án ngưòi ta tìm cách trá n h phép tr ừ các số khá gần n h a u khi tín h sai số tương đối của hiệu hai số. 2. Các phép tín h về sai số 11 2.2 Công th ứ c tổ n g quát về sai số G iả sử u - / (:t'i, X'2, . . . , £•„) với / là hàm khả vi liên tụ c th ì df A„ = Ẻ dxị A,.. 1= 1 ( 1. 2 ) và nếu / > 0 th ì ta có: dln/ A, dxị ỏu= t 1=1 (1.3) Chứng minh. B ằng cách sử dụng công thức số gia h àm số n Qf An ~ du = > - - A x ị , Ế í dxi ta có |An| < ¿ 1=1 hay df |A.r,l dXị n df A„ = Ẻ dXị A x, 1=1 Còn df s' = v r m 1 ớ/ ÌỊ ị ỞXị n A 1=1 / ỡln/ - T' Ax.. i=1 dx.ị Dây chính là đ iều phải chứng m inh. V í d ụ 1.4. Tìm sai số tu y ệ t đối và sai số tương đối giỏi h ạ n của th ể tích hình cầu V = ^7rá3, nếu đường kín h d = 3.7±0.05 (cm) và 7T = 3.14±0.0016. 6 Giải: Xem H và 7T là các đối số của hàm V, ta có: ĩ - ỉ ' ■ ỉ ' « - - « = I ttíÌ2 = i(3.14)(3.7)2 = 21.5. 12 Chương 1. S a i số Theo công thứ c (1.2) ta được sai số tu y ệt đối giói h ạn Av - dv dn An dv I A,i = 8.44 dd X 0.0016 I 21.5 X 0.05 = 1.088 a» 1.1 (cms). Vậy V = - Tĩd3 = --(3.14)(3.7)3 ± 1.1 = 27.4 ± l.l(c m 3). „ . X 3 . Av 1.088 Sai số tương đối ổv — 7777 — - ” « 0.04 = 4%. IV I 27.4 2.3 Bãi toán ngược v ề sai số Trong p h ầ n trước ta đã tín h sai số của hàm số tù y thuộc vào sai số của đối số. Bây giờ ta xét trư ờ ng hợp cho sai số của hàm th ì giới h an sai số của đối số cần cho phép là bao nhiêu? Bài toán: Cho hàm số u = f (xi, X2,. . . , :/:„). Hỏi sai số tu y ệ t đối (hay tương đối) giới h ạ n của mỗi đối số là bao n h iêu để sai số tu y ệ t đối (hay tương đối) giới h ạ n của hàm số không vượt q uá m ột số dương cho trước (số dương này được gọi là sai số cho phép)? Để giải quyết vấn đề đã đ ặ t ra , có hai cách thườ ng được sử dung. 1. Cách giải quyết theo nguyên tắc sai số của các đối số ngang bằng nhau. Theo công thứ c (1.2) ta có: i—\ df\ A dxị I Z| • Ta xem ản h hưởng của mọi th à n h phần n h ư n h a u , tức là àf dĩ Ar - ■■■A r_ d xn dl2 df df A r.. A, — n dxị i—1 tìxị d f Ar Í-3X1 dxi Au = t Từ đó ta có công thức sai số tu y ệt đối giới h ạ n cho phép của mỗi th à n h phần: A = L*Xl - A df dxị ¿ = 1.2,...,«. (1.4) 13 2. Các phép tín h về sai số V í dụ 1.5. Cho h ìn h tr ụ đứng, hán kín h R — 2(m); chiều cao II 3(m). Hỏi sai số tu y ệ t đối của R và II là bao n h iêu để th ể tích V ttR2H của h ìn h tr u đ a t sai số tu y ệt đối giới h a n là 0.1 (m3). Giải: T a có V - 7r/?2//, A y = 0.1(ra3), R = 2(ra), u = 3(m) và số 7T = 3.14 th ì khi đó: ¿>v = /?2/ / = 22 X 3 = 12; = 7r/?2 = 3.14 = 2tĩRII = 2 Ớ7T 6>v <97/ ỠV 0« X x 22 = 12.6; 3.14 X 2 X 3 = 37.7. ỏ đây u = 3, theo nguyên tắc ngang bằng n h a u ta th u đươc: A„ An A// = 0.1 < 0.003; 3 X 12 0.1 < 0.001; 3 X 12.6 0.1 < 0.003 3 X 37.7 là các sai số của mỗi th à n h phần để V có sai số tu y ệt đôi giới hạn không vượt quá 0.1(m3). 2. Phương pháp điều chinh T rong thư c tế, khi sai số của th à n h phần nào đó tín h theo nguyên tắc n g a n g bằng n h a u là không phù hơp (không thực hiện được) ta p hải điều chinh th à n h p h ầ n đó. C hẳng h ạ n đối vói bài to án sau: V í d ụ 1.6. Hỏi phải đo bán kính R — 30.5(cm) có sai số tối đa là bao n h iê u và số 7Tlấy là bao n h iêu để đươc h ìn h trò n có diện tích đ ạ t sai số tươ ng đối không q u á 1%? Giải: Ta có diện tích h ìn h trò n s = ĩĩR2, n ên ln s = ln7T + 2 ln R, suy ra sai số tương đối Ss = % = - A „ + j - A R = 1% = 0.01. s 7T R 14 Chương 1. S a i số Theo nguyên tắc ngang bằng n h a u (có h ai th à n h p h ần ) thì Afí A* — 0_ “ R n 0.01 = 0.005. Từ đó suy ra • A* — 7T X • Ar = 0.005 < 0.0016 vói 7T = 3.14; — X 0.005 < 0.07(cm) với R = 30.5(cm). Rõ rà n g đối vói R khó thực hiện được vì Alì q u á nhỏ, do đó cần phài tă n g A r lên. Đo tổ n g cả hai th à n h p h ần là 0.01 nên kh i A r tă n g th i A* phải giảm , ng h ĩa là cần phải lấy th êm chữ số th â p p h ân tro n g số n. ", , , 3.1 4 2 -3 .1 4 1 6 T„ , , C h ẳn g h an , lấy 7T = 3.142 th ì —- — ----- ------ :------— 0.00013. Khi đó 7r 3.142 2 = ^ = 0.01 - 0.00013 = 0.00983, suy ra Ar = 0.00983 2 X 30.5 < 0.15(cm). Ta th ấy yêu cầu của độ chính xác này có th ể thưc h iệ n được. Q ua ví dụ trê n ta thấy, việc điều chỉnh là tù y thuộc công việc, không theo nguyên tắc chung n ên chúng tôi chi nêu ví dụ để cùng suy ngẫm khi thực h iện công việc m à thực tế đ ặ t ra. 2.4 Sai số phư ơng pháp, sai số tính toán và sự ổn định 2.4.1. S a i số p h ư ơ n g p h á p và sa i số tín h to á n G iả sử cần tín h đại lượng .4 m à không có k h ả n ăn g tín h dúng. B ằng cách nào đó ta tín h gần đúng được con số là a, th ì A a = \A —ri| là sai số phương pháp. T rong quá trìn h tín h toán ta cũng không th u được số (I m à chỉ th u được số ã do phải quy trò n số. Ta gọi 6a = I(I —õ| là sai số tín h toán. Số g ần đúng cuối cùng th u được là ã « .4, khi đó sai số tu y ệt dối giới h ạ n của A (bao gồm sai số phương pháp và sai số tín h to án ) sẽ là Aa = lỏ —A\ < |õ —n\ + ịa — A\ — 0a + Aa. N hư vậy, nếu chọn phương p háp tín h đúng th ì sai số phương p h áp A„ - 0, số gần đúng th u được chi là do quy trò n số tro n g q u á trìn h tín h toán. 15 2, Các p h ép tín h ưề sai số Ví dụ 1.7. T ín h A = ( y / 2 - l) 10. Giải: T a đ ã biết (theo k hai triển nhị thức Newton): { V 2 - l ) 10 = A = 3363 - 2378>/2. Do v/2 = 1.414213563 ★ *-*, kết quả tín h theo bên trá i, bên phải của A (đều là các phương p h áp tín h đúng) được cho trong b ản g sau: v/2 vế tr á i c ủ a vế p h ả i c ủ a A 1.4 0.0001048576 33.8 1.41 0.00013422659 10.2 1.414 0.00147912 0.508 1.41421 0.00014866399 0.00862 1.414213563 0.00014867678 0.0001472 yl B ản g 1.1 N hìn vào bảng 1.1 ta thấy, cùng là phương p h áp tín h đ ú n g n hư ng hai bên trá i, phải của A k ết q u ả sai khác n h au quá n h iều , nguyên n h â n là do sự quy trò n số sinh ra. Chọn cách tín h này hay tín h khác phải luôn luôn kiểm nghiệm theo thư c tế vì (\/2 - l ) 10 không th ể lớn hơn 1! Vi dụ 1.8. H ãy tin h đại lượng + 11=1 •+ ( - » sao cho sai sồ tu y ệ t đối không vươt q u á 4 Giải: Ta có |5 —5'nl = ( n + 1)2 X n—1 10~3 (n + 2)2 +• chính là sai số của phương pháp. Theo lý th u y ế t chuỗi đan dấu th ì |S —¿>„1 < 1 2. Sai số cuối cùng là tổng của sai số phương p h áp và sai số tín h to án (do quy trò n số). Vì vậy, trước hết cần xác định số số h ạ n g (/í) cụ th ể sao cho sai số phương p h áp |5 —5n| bé hơn nhiều so vói 4 |S’ - Snị < 3 X X 10-3, chảng h an 10~3, p h ầ n còn lại là 10-3 dành cho sai số tín h toán. Vậy n sẽ được chọn sao cho \ s - s n\ < 1 (n + 1)2 < 3 X 10- n = 6.