Tài liệu Giáo trình logic mờ và ứng dụng

TRƯỜNG ðẠI HỌC KHOA HỌC HUẾ KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN PGS.TSKH NGUYỄN CÁT HỒ TS. NGUYỄN CÔNG HÀO Giáo trình LOGIC MỜ VÀ ỨNG DỤNG ( Dành cho học viên cao học ) Huế, 2009 Chương 1 LÝ THUYẾT TẬP MỜ 1.1. Tập mờ và thông tin không chắc chắn L.A. Zadeh là người sáng lập ra lý thuyết tập mờ với hàng loạt bài báo mở ñường cho sự phát triển và ứng dụng của lý thuyết này, khởi ñầu là bài báo “Fuzzy Sets” trên Tạp chí Information and Control, 8, 1965. Ý tưởng nổi bật của khái niệm tập mờ của Zadeh là từ những khái niệm trừu tượng về ngữ nghĩa của thông tin mờ, không chắc chắn như trẻ, nhanh, cao-thấp, xinh ñẹp.., ông ñã tìm ra cách biểu diễn nó bằng một khái niệm toán học, ñược gọi là tập mờ, như là một sự khái quát trực tiếp của khái niệm tập hợp kinh ñiển. ðể dễ hiểu chúng ta hãy nhớ lại cách nhìn khái niệm tập hợp kinh ñiển như là khái niệm các hàm số. Cho một tập vũ trụ U. Tập tất cả các tập con của U ký hiệu là P(U) và nó trở thành một ñại số tập hợp với các phép tính hợp ∪, giao ∩, hiệu \ và lấy phàn bù –, (P(U), ∪, ∩, \, –). Bây giờ mỗi tập hợp A ∈ P(U) có thể ñược xem 1 λA(a) =1 1 như là một hàm số λA : U → {0, 1} ñược λA(b) = 0 xác ñịnh như sau: 0 a b U 1 khi x ∈ A λ A ( x) =  0 khi x ∉ A Mặc dù λA và A là hai ñối tượng toán học hoàn toàn khác nhau, nhưng chúng ñều biểu diễn cùng một khái niệm về tập hợp: x ∈ A khi và chỉ khi λA(x) = 1, hay x thuộc vào tập A với “ñộ thuộc vào” bằng 1. Vì vậy, hàm λA ñược gọi là hàm ñặc trưng của tập A. Như vậy tập hợp A có thể ñược biểu thị bằng một hàm mà giá trị của nó là ñộ thuộc về hay ñơn giản là ñộ thuộc của phần tử trong U vào tập hợp A: Nếu λA(x) = 1 thì x ∈ A với ñộ thuộc là 1 hay 100% thuộc vào A, còn nếu λA(x) = 0 thì x ∉ A hay x ∈ A với ñộ thuộc là 0 tức là ñộ thuộc 0%. 5 Trên cách nhìn như vậy, chúng ta hãy chuyển sang việc tìm kiếm cách thức biểu diễn ngữ nghĩa của khái niệm mờ, chẳng hạn, về lứa tuổi “trẻ”. Giả sử tuổi của con người nằm trong khoảng U = [0, 120] tính theo năm. Theo ý tưởng của Zadeh, khái niệm trẻ có thể biểu thị bằng một tập hợp như sau: Xét một tập hợp Atrẻ những người ñược xem là trẻ. Vậy, một câu hỏi là “Một người x có tuổi là n ñược hiểu là thuộc tập Atrẻ như thế nào?” Một cách chủ quan, chúng ta có thể hiểu những người có tuổi từ 1 – 25 chắc chắn sẽ thuộc vào tập hợp Atrẻ, tức là với ñộ thuộc bằng 1; Nhưng một người có tuổi 30 có lẽ chỉ thuộc vào tập Atrẻ với ñộ thuộc 0,6 còn người có tuổi 50 sẽ thuộc vào tập này với ñộ thuộc 0,0 … Với ý tưởng ñó, ngữ nghĩa của khái niệm trẻ sẽ ñược biểu diễn bằng một hàm số µtrẻ : U → [0, 1], một dạng khái quát trực tiếp từ khái niệm hàm ñặc trưng λA của một tập hợp kinh ñiển A ñã ñề cập ở trên. Một câu hỏi tự nhiên xuất hiện là tại sao người có tuổi 30 có lẽ chỉ thuộc vào tập Atrẻ với ñộ thuộc 0,6 mà không phải là 0,65? Trong lý thuyết tập mờ chúng ta không có ý ñịnh trả lời câu hỏi kiểu như vậy mà ghi nhận rằng tập mờ của một khái niệm mờ phụ thuộc mạnh mẽ vào chủ quan của người dùng hay, một cách ñúng ñắn hơn, của một cộng ñồng, hay của một ứng dụng cụ thể. Khía cạch này cũng thể hiện tính không chính xác về ngữ nghĩa của các khái niệm mờ. Tuy nhiên, thực tế này không ảnh hưởng ñến khả năng ứng dụng của lý thuyết tập mờ vì mỗi giải pháp dựa trên lý thuyết tập mờ cũng chỉ nhằm vào một miền ứng dụng cụ thể trong ñó các khái niệm mờ trong ứng dụng (hay trong cộng ñồng sử dụng ứng dụng ñó) sẽ có ý nghĩa chung thống nhất. 1.1.1. Khái niệm tập hợp mờ ðịnh nghĩa 1.1. Cho một tập vũ trụ U. Tập hợp A∼ ñược xác ñịnh bởi ñẳng thức: A∼ = { µ A~ (u ) /u : u ∈ U, µA∼(u) ∈ [0, 1]} ñược gọi là một tập hợp mờ trên tập U. Biến u lấy giá trị trong U ñược gọi là biến cơ sở và vì vậy tập U còn ñược gọi là tập tham chiếu hay miền cơ sở. Hàm µ A~ : U → [0, 1] ñược gọi là hàm thuộc (membership function) và giá trị µ A~ (u ) tại u ñược gọi là ñộ 6 thuộc của phần tử u thuộc về tập hợp mờ A∼. Nếu không gây nhầm lẫn, hàm thuộc µ A~ cũng ñược ký hiệu là A∼(.), nếu biến cơ sở u không biểu thị hiển, hay A∼(u), nếu biến u xuất hiện hiển. Lưu ý rằng vế phải của ñịnh nghĩa A∼ là một tập kinh ñiển và do ñó ñịnh nghĩa trên là hoàn chỉnh. Họ tất cả các tập mờ trên miền cơ sở U ñược ký hiệu là F(U), F(U) = { µ A~ : U → [0, 1]} = [0, 1]U Có nhiều cách biểu diễn hình thức một tập mờ. Trong trường hợp U là một tập hữu hạn, ñếm ñược hay vô hạn liên tục, tập mờ A∼ có thể ñược biểu diễn bằng các biểu thức hình thức như sau: Trong trường hợp U hữu hạn, U = {ui : 1 ≤ i ≤ n}, ta có thể viết: A∼ = ∑ 1≤i ≤ n µA∼(u1)/u1 + µA∼(u2)/u2 + ... + µA∼(un)/un hay A∼ = µ A (ui ) / ui ~ Trong trường hợp này tập mờ ñược gọi là tập mờ rời rạc (discrete fuzzy set). Trong trường hợp U là vô hạn ñếm ñược, U = {ui : i = 1, 2, …}, ta có thể viết: A∼ = ∑ 1≤i <∞ µ A (u i ) / u i ~ Trong trường hợp U là vô hạn liên tục, U = [a, b], ta có thể viết b ∼ A = ∫µ A~ (u ) / u a Lưu ý rằng các biểu thức trên chỉ có tính hình thức, các phép cộng +, phép tổng Σ và phép lấy tích phân ñều không có nghĩa theo quy ước thông thường. Tuy nhiên cách biểu diễn như vậy sẽ rất tiện dụng khi ñịnh nghĩa và thao tác các phép tính trên các tập mờ sau này. Ví dụ 1.1. Xét tập U gồm 5 người là x1, x2,….x5 tương ứng có tuổi là 10, 15, 50, 55, 70 và A∼ là tập hợp các người “Trẻ”. Khi ñó ta có thể xây dựng hàm thuộc như sau: 7 µTrẻ(10) = 0.95, µTrẻ(15) = 0.75, µTrẻ(50) = 0.35, µTrẻ(55) = 0.30, µTrẻ(70) = 0.05 và tập mờ A∼ = 0.95 0.75 0.35 0.30 0.05 + + + + x1 x2 x3 x4 x5 ðịnh nghĩa 1.2. Tập mờ A∼ có dạng hình thang xác ñịnh bởi bộ 4 giá trị (a, b, c, d), ký hiệu A∼ = (a, b, c, d) và ñược xác ñịnh: µA ~  x b  (x) =  d d  0 − a − a 1 − x −c 0 nếu x ≤ a nếu a < x < b nếu b ≤ x ≤ c nếu c < x < d nếu x ≥ d 1.1.2. Tập lát cắt của tập mờ Ở trên chúng ta thấy khai niệm tập mờ là một sự khái quát trực tiếp, ñẹp ñẽ của khái niệm tập kinh ñiển. ðiều này cho phép hy vọng nó sẽ ñặt cơ sở cho mối liên hệ chặt chẽ giữa hai khái niệm tập hợp này. ðể dẫn ñến việc nghiên cứu ñó, trước hết chúng ta ñưa ra khái niệm tập lát cắt α của một tập mờ. ðịnh nghĩa 1.3. Cho một tập mờ A~ trên tập vũ trụ U và α ∈ [0, 1]. Tập lát ~ cắt α (hoặc α+) của tập A~ là một tập kinh ñiển, ký hiệu là Aα~ (hoặc Aα + ), ñược xác ñịnh bằng ñẳng thức sau: ~ Aα~ = {u ∈ U : µ A~ (u ) ≥ α } (hoặc Aα + = {u ∈ U : µ A~ (u ) > α }). Như vậy, mỗi tập mờ A~ sẽ cảm sinh một họ các tập kinh ñiển, ta có ánh xạ h : A~ ∈ F(U) → { Aα~ ∈ P(U): 0 ≤ α ≤ 1} (1*) ðể ñơn giản ký hiệu, ta viết họ các tập kinh ñiển như vậy bằng h(A~) = { Aα~ : 0 ≤ α ≤ 1}, A~ ∈ F(U). Họ các tập hợp như vậy có các tính chất sau: ðịnh lý 1.1. Cho A~, B~ ∈ F(U), h là ánh xạ ñược cho trong (1*) và h(A~) = { Aα~ : 0 ≤ α ≤ 1}, h(B~) = { Bα~ : 0 ≤ α ≤ 1}. Khi ñó, (i) Mỗi họ h(A~) như vậy là dãy ñơn ñiệu giảm, nếu α < β , thì Aα~ ⊇ Aβ~ ; 8 (ii) Nếu A~ ≠ B~ thì { Aα~ : 0 ≤ α ≤ 1} ≠ { Bα~ : 0 ≤ α ≤ 1}. Nghĩa là tồn tại một song ánh từ họ các tập mờ F(U) vào họ của những họ tập kinh ñiển P(U) ở dạng (1*). Chứng minh: Tính chất (i) dễ dàng rút ra từ tính chất (A∼(u) ≥ β ⇒ A∼ (u) ≥ α). ðể chứng minh (ii), giả sử A∼ ≠ B∼, ∃u∈U(A∼(u) ≠ B∼(u)). ðể ñịnh ý, ta giả sử rằng có u0 ∈ U sao cho A∼(u0) > B∼(u0). Chọn α ∈ [0, 1] sao cho A∼(u0) > α > B∼(u0). ðiều này khẳng ñịnh u0 ∈ Aα~ nhưng u0 ∉ Bα~ hay Aα~ ≠ Bα~ . Vậy, { Aα~ : 0 ≤ α ≤ 1} ≠ { Bα~ : 0 ≤ α ≤ 1}. Hiển nhiên là nếu A~ = B~ thì { Aα~ : 0 ≤ α ≤ 1} = { Bα~ : 0 ≤ α ≤ 1}. Như vậy ta ñã chứng tỏ rẳng ánh xạ h là song ánh. 1.1.3. Một số khái niệm ñặc trưng của tập mờ ðịnh nghĩa 1.4. (i) Giá của tập mờ: Giá của tập mờ A~, ký hiệu là Support(A~), là tập con của U trên ñó µ A (u ) ≠ 0, Support(A~) = {u: µ A (u ) > 0}. ~ ~ (ii) ðộ cao của tập mờ: ðộ cao của tập mờ A~, ký hiệu là hight(A~), là cận trên ñúng của hàm thuộc µ A trên U, hight(A~) = sup{ µ A (u ) : u ∈ U}. ~ ~ (iii) Tập mờ chuẩn (normal): Tập mờ A~ ñược gọi là chuẩn nếu hight(A~) = 1. Trái lại, tập mờ ñược gọi là dưới chuẩn (subnormal). (iv) Lõi của tập mờ: Lõi của tập mờ A~, ký hiệu là Core(A~), là một tập con của U ñược xác ñịnh như sau: Core(A~) = {u ∈ U: µ A (u ) = hight(A~)}. ~ Bây giờ chúng ta sẽ lấy một số ví dụ về việc biểu diễn ngữ nghĩa của các khái niệm mờ thuộc các lĩnh vực khác nhau bằng tập mờ. Ví dụ 1.2. Giả sử U là tập vũ trụ về số ño nhiệt ñộ thời tiết, chẳng hạn U = [0, 50] tính theo thang ñộ C. Chúng ta sẽ xác ñịnh tập mờ biểu thị khái niệm mờ thời tiết NÓNG và LẠNH. Trong ví dụ này ta sử dụng một hàm số mẫu, gọi là S-hàm vì ñồ thị của nó có hình chữ S. Chúng ta ký hiệu hàm này là S(u, a, b, 9 c), trong ñó a, b và c là những tham số. Nó là hàm từng khúc bậc 2 và ñược ñịnh nghĩa như sau: ñối với u ≤ a S(u, a, b, c) = 0 u−a  c−a = 2  2 ñối với a ≤ u ≤ b u−c  c−a = 1 − 2  2 ñối với b ≤ u ≤ c ñối với c ≤ u = 1 Hàm thuộc µA~(u) = S(u, 15, 25, 35) là khái niệm thời tiết NÓNG của người Lạng Sơn ở cực Bắc nước ta, còn hàm thuộc µB~(u) = S(u, 25, 35, 45) là khái niệm NÓNG của người Sài Gòn (xem Hình 1.1). Với hai tập mờ này ta có: Support(A~) = [15, 50], Support(B~) = [25, 50], Hight(A~) = Hight(B~) = 1, Core(A~) = [35, 50] và Core(B~) = [45, 50]. Hàm thuộc biểu thị khái niệm mờ LẠNH ñược xác ñịnh qua hàm thuộc NÓNG bằng biểu thức sau: µA’~(u) = 1 − µA~(u) và µB’~(u) = 1 − µB~(u) Ví dụ này thể hiện tính chủ quan về ngữ nghĩa của khai niệm mờ và do ñó thể hiện tính tự do trong việc xây dựng các hàm thuộc. Tình huống tương tự như vậy khi ta nói ñến khái niệm cao của giới nữ và giới nam, hay khái niệm cao của người Việt Nam và người Châu Âu. 1,0 µA’~(u) µB~(u) µA~(u) 0 µB’~(u) 15 25 35 45 50 Hình 1.1: Hàm thuộc của tập mờ NÓNG và LẠNH Ví dụ 1.3. Tập mờ hình chuông: Người ta có thể biểu diễn ngữ nghĩa của khái niệm mờ trời mát mẻ hay dễ chịu bằng hàm dạng hình chuông như sau: exp (− ((u − u0)/b)2) Chúng ta có thể chấp nhận hàm chuông trong Hình 1.2 là biểu thị ngữ nghĩa của khái niệm nhiệt ñộ DỄ CHỊU và khi ñó tập mờ D~ 1,0 µD~(u) có dạng: µD~(u) = exp (− ((u − 24)/10)2) 0 10 15 25 35 45 50 Hình 1.2: Hàm thuộc của tập mờ DỄ CHỊU Ví dụ 1.4. Ta sẽ ñưa ra một ví dụ về tập mờ rời rạc (discrete fuzzy set). Xét U là tập các giá trị trong thang ñiểm 10 ñánh giá kết quả học tập của học sinh về môn Toán, U = {1, 2, …, 10}. Khi ñó khái niệm mờ về năng lực học môn toán giỏi có thể ñược biểu thị bằng tập mờ G~ sau: G~ = 0,1/4 + 0,2/5 + 0,4/6 + 0,7/7 + 0,9/8 + 1,0/9 +1,0/10 (2*) ở ñây các giá trị của miền U không có mặt trong biểu thức (2*) có nghĩa ñộ thuộc của chúng vào tập mờ G~ là bằng 0,0. Trong trường hợp tập mờ rời rạc ta có thể biểu diễn tập mờ bằng một bảng. Chẳng hạn, ñối với tập mờ G~ ở trên ta có bảng như sau: Bảng 1.1: Tập mờ G~ U G~ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0,0 0,0 0,0 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 1,0 1,0 Ví dụ 1.5. Trong ví dụ này chúng ta sẽ xây dựng tập mờ biểu thị ngữ nghĩa của khái niệm GIÀ và TRẺ của thuộc tính lứa tuổi. Giả sử tập vũ trụ chỉ tuổi tính theo ñơn vị năm là U = {u : 0 ≤ u ≤ 120}, chẳng hạn tuổi của x là 8,37 năm. Khi ñó khái niệm GIÀ có thể ñược biểu thị bằng tập mờ với hàm thuộc như sau: µGIÀ(u) = 120 ∫ 0 −2  u − 60  −1 {1 +   } /u  6  µTRẺ(u) = 1 − µGIÀ(u) = 120 ∫ 0 −2  u − 60  −1 {1 − {1 +   } }/ u  6  Cần nhấn mạnh một lần nữa rằng ñây là công thức hình thức biểu diễn các tập mờ. Dấu tích phân chỉ có nghĩa miền xác ñịnh U của hàm thuộc là vô hạn continuum, tập hợp có lực lượng tương ñương với ñoạn [0, 1]. Ví dụ 1.6. Tập rời rạc trên miền phi số: Trong thực tế ứng dụng người ta cũng hay sử dụng tập mờ trên miền phi số, chẳng hạn, miền giá trị ngôn ngữ. Ví dụ, ta xét biến ngôn ngữ NHIỆT ðỘ có thể xem như xác ñịnh trên miền 3 giá trị ngôn ngữ U = {Thấp, Trung-bình, Cao}. Khi ñó, một tập mờ rời rạc T~ trên miền U có thể ñược biểu thị như sau: T~ = µ1/Thấp + µ2/Trung-bình + µ3/Cao 11 Chẳng hạn Trời-mát có thể biểu thị bằng tập mờ như sau: Trời-mát = 0,7/Thấp + 0,8/Trung-bình + 0,2/Cao ðối với tập hợp kinh ñiển A chúng ta có khái niệm số lượng các phần tử của một tập hợp, trong trường hợp A là hữu hạn, hay lực lượng của tập hợp, trong trường hợp A là vô hạn. Hai tập hợp A và B có lực lượng bằng nhau nếu có tồn tại một ánh xạ 1-1 từ A lên B. ðối với tập mờ A~, khái niệm lực lượng ñược khái quát hóa bằng ñịnh nghĩa sau: ðịnh nghĩa 1.5. Lực lượng của tập mờ Cho A~ là một tập mờ trên U (i) Lực lượng vô hướng (scalar cardinality): Lực lượng hay bản số thực của tập A~, ký hiệu là Count(A~), ñược tính theo công thức ñếm sau (ñôi khi ñược gọi là sigma count). Count(A~) = ∑ arith u∈U = ở ñây ∑ arith và ∫ µ A~ (u) , nếu U là tập hữu hạn hay ñếm ñược arith ∫µ U A~ (u)du , nếu U là tập vô hạn continuum arith là tổng và tích phân số học. (ii) Lực lượng mờ (fuzzy cardinality): Lực lượng hay bản số mờ của tập A~ là một tập mờ trên tập các số nguyên không âm N ñược ñịnh nghĩa như sau: Card(A~) = ∫µ N Card ( A~ ) (n)dn trong ñó µ Card ( A~ ) (n) ñược xác ñịnh theo công thức sau, với | At~ | là lực lượng của tập mức At~ , µ Card ( A ~ ) (n) = suppremum {t ∈ [0, 1]: | At~ | = n}. Có thể xem công thức tính Count(A~) ở trên như là công thức “ñếm” số phần tử trong U. Thực vậy, nếu tập A~ trở về tập kinh ñiển thì µA~(u) ≡ 1 trên U và do ñó công thức Count(A~) trên chính là bộ ñếm số phần tử. Khi µA~(u) ≠ 1, thì u chỉ thuộc về tập A~ với tỷ lệ phần trăm bằng µA~(u) và do ñó phần tử u chỉ ñược “ñếm” vào số lượng các phần tử một ñại lượng bằng µA~(u). 12 Lưu ý rằng, khác với trường hợp tập kinh ñiển, dù tập U là vô hạn ñếm ñược hay vô hạn continuum, thì lực lượng của tập mờ A~ vẫn có thể là hữu hạn, tùy theo dáng ñiệu của hàm µA~(u). 1.2. Biến ngôn ngữ L.A.Zadeh viết “khi thiếu hụt tính chính xác bề ngoài của những vấn ñề phức tạp, một cách tự nhiên là tìm cách sử dụng các biến ngôn ngữ, ñó là các biến mà giá trị của chúng không phải là số mà là các từ hoặc các câu trong ngôn ngữ tự nhiên hoặc nhân tạo. ðộng lực cho việc sử dụng các từ, các câu hơn các số là ñặc trưng ngôn ngữ của các từ, các câu thường là ít xác ñịnh hơn của số”. Trong cơ sở dữ liệu quan hệ, các quan hệ hay các bảng dữ liệu chứa các thuộc tính hay các tên cột. Nó chỉ tính chất của ñối tượng. Các thuộc tính này cũng thể hiện trong ngôn ngữ như ñể mô tả tính chất ñối tượng là con người, trong ngôn ngữ tự nhiên chúng ta có những thuộc tính TUỔI, CHIỀU CAO, LƯƠNG, NĂNG LỰC … . Các thuộc tính này có thể ñược mô tả bằng giá trị ngôn ngữ như trẻ, già, rất trẻ, … Vì lý do như vậy, Zadeh gọi các thuộc tính kiểu như vậy là biến ngôn ngữ và miền giá trị của chúng là giá trị ngôn ngữ hay gọi là miền ngôn ngữ (linguistic domain hay term-domain). Tuy nhiên, như chúng ta ñã ñề cập trong Mục 1.1, vì bản thân giá trị ngôn ngữ không phải là ñối tượng toán học, ngữ nghĩa của chúng ñược biểu thị bằng các tập mờ hay hàm thuộc. ðể khái niệm biến ngôn ngữ trở thành một khái niệm toán học, Zadeh hình thức hóa khái niệm này như sau: ðịnh nghĩa 1.6. Biến ngôn ngữ là một bộ năm (X, T(X), U, R, M ), trong ñó X là tên biến, T(X) là tập các giá trị ngôn ngữ của biến X, U là không gian tham chiếu của biến cơ sở u, mỗi giá trị ngôn ngữ xem như là một biến mờ trên U kết hợp với biến cơ sở u, R là một qui tắc cú pháp sinh các giá trị ngôn ngữ của T(X), M là qui tắc ngữ nghĩa gán mỗi giá trị ngôn ngữ trong T(X) với một tập mờ trên U. Ví dụ 1.7. Cho X là biến ngôn ngữ có tên là AGE, biến cơ sở u lấy theo số tuổi của con người có miền xác ñịnh là U = [0,100]. Tập các giá trị ngôn ngữ 13 T(AGE) = {old, very old, more or less young, less young, very young….}. R là một qui tắc sinh các giá trị này. M gán ngữ nghĩa mỗi tập mờ với một giá trị ngôn ngữ. Chẳng hạn, ñối với giá trị nguyên thủy old, M (old) = {(u, µold(u) | u∈[0,100]}, ở ñây chọn 0  µold(u) = (1 + ( u − 50 ) −2 ) −1   5 u ∈ [0,50] u ∈ [50,100] Các ñặc trưng của biến ngôn ngữ Trong thực tế có rất nhiều biến ngôn ngữ khác nhau về các giá trị nguyên thuỷ, chẳng hạn như biến ngôn ngữ SỐ NGÀY LÀM VIỆC có giá trị nguyên thuỷ là ít, nhiều, biến ngôn ngữ LƯƠNG có giá trị nguyên thuỷ là thấp, cao…..Tuy nhiên, những kết quả nghiên cứu ñối với một miền trị của một biến ngôn ngữ cụ thể vẫn giữ ñược ý nghĩa về mặt cấu trúc ñối với miền giá trị của các biến còn lại. ðặc trưng này ñược gọi là tính phổ quát của biến ngôn ngữ. Ngữ nghĩa của các gia tử và các liên từ hoàn toàn ñộc lập với ngữ cảnh, ñiều này khác với giá trị nguyên thủy của các biến ngôn ngữ lại phụ thuộc vào ngữ cảnh. Ví dụ ta nói LƯƠNG của cán bộ An là rất cao, khi ñó ñược hiểu rằng LƯƠNG khoảng trên 8.000.000 ñồng, nhưng ta nói CHIỀU CAO của cán bộ An là rất cao thì ñược hiểu rằng CHIỀU CAO khoảng trên 1.8 m. Do ñó khi tìm kiếm mô hình cho các gia tử và các liên từ chúng ta không quan tâm ñến giá trị nguyên thuỷ của biến ngôn ngữ ñang xét. ðặc trưng này ñược gọi là tính ñộc lập ngữ cảnh của gia tử và liên từ. Các ñặc trưng trên cho phép chúng ta sử dụng cùng một tập các gia tử và xây dựng một cấu trúc toán học duy nhất cho miền giá trị của các biến ngôn ngữ khác nhau. 1.3. Các phép tính trên trên tập mờ Xét một biến ngôn ngữ X như ñã ñược ñịnh nghĩa ở trên. Trước hết, chúng ta có nhận xét rằng, nhìn chung, tập ảnh của tập T(X) qua ánh xạ M(X) không có cấu trúc ñại số, trên ñó chúng ta không ñịnh nghĩa ñược các phép 14 tính trên tập mờ. Một lý do nữa làm cho chúng ta không quan tâm ñến ñiều này là cấu trúc ñại số của tập gốc T(X) cũng chưa ñược phát hiện. Trong khi chúng ta chưa phát hiện ra cấu trúc ñại số của miền T(X), trong mục này chúng ta sẽ ñịnh nghĩa trên tập F(U, [0, 1]) một cấu trúc ñại số. Cũng cần nhấn mạnh rằng mục tiêu của lý thuyết tập mờ là mô hình hóa toán học ngữ nghĩa của các khái niệm mờ và, quan trọng nhất, là mô hình hóa phương pháp lập luận của con người. ðây là một vấn ñề cực kỳ khó và phức tạp vì những vấn ñề này thuộc loại có cấu trúc yếu, hay khó có thể có một cấu trúc toán duy nhất mô hình hóa trọn vẹn những vấn ñề nêu trên. Như là một hệ quả, khó lòng chúng ta tìm ñược một cấu trúc toán học chặt chẽ, ñẹp của tập F(U, [0, 1]). Chính vì vậy chúng ta không có một ràng buộc chặt chẽ, minh bạch trong ñịnh nghĩa các phép toán trong F(U, [0, 1]). Như chúng ta sẽ thấy dưới ñây, chúng ta có nhiều cách khác nhau ñể ñịnh nghĩa các phép tính và do ñó nó tạo ra tính mềm dẻo, ña dạng trong tiếp cận, thích nghi với các bài toán ứng dụng khác nhau, miễn là nó cho phép giải quyết ñược các bài toán ứng dụng, ñặc biệt các bài toán thuộc lĩnh vực trí tuệ nhân tạo. Trước khi ñịnh nghĩa các phép tính trong F(U, [0, 1]), chúng ta hãy xem ñoạn [0, 1] như là một cấu trúc dàn L[0,1] = ([0, 1], ∪, ∩, –) với thứ tự tự nhiên trên ñoạn [0, 1]. Khi ñó, với mọi a, b ∈ [0, 1], ta có: a ∪ b = max {a, b}, a ∩ b = min {a, b} và – a = 1 − b. Chúng ta có thể kiểm chứng rằng L[0,1] = ([0, 1], ∪, ∩, –) là một ñại số De Morgan, hơn nữa nó có các tính chất sau: - Các phép tính hợp ∪ và giao ∩ có tính giao hoán a ∪ b = b ∪ a và a ∩ b = b ∩ a - Các phép tính hợp ∪ và giao ∩ có tính chất phân phối lẫn nhau a ∪ (b ∩ c) = (a ∪ b) ∩ (a ∪ c) và a ∩ (b ∪ c) = (a ∩ b) ∪ (a ∩ c) - Tính chất nuốt (absorption) và nuốt ñối ngẫu (dual absorption): : a ∩ (a ∪ b) = a, - Tính chất nuốt ñối ngẫu : a ∪ (a ∩ b) = a. - Tính lũy ñẳng : - Tính chất phủ phủ ñịnh : a ∪ a = a và a ∩ a = a –(–a) = a - Tính ñơn ñiệu giảm a ≤ b ⇒ –a ≥ –b - Tính chất nuốt : 15 - Tính chất De Morgan –(a ∪b)= –a∩–b; –(a ∩ b) = –a ∪ –b. : Dựa trên cấu trúc L[0,1] chúng ta sẽ ñịnh nghĩa các phép tính trên tập mờ thông qua các phép tính của dàn L[0,1]. ~ 1.3.1. Phép hợp ∪ Cho hai tập mờ A~ và B~ trên tập vũ trụ U. Hợp của hai tập mờ này là ~ một tập mờ ký hiệu là A~ ∪ B~, mà hàm thuộc của nó ñược ñịnh nghĩa theo ñiểm (pointwise) như sau: µ ~ A~ ∪ B ~ (u ) = µ A~ (u ) ∪ µ B ~ (u ) hay, trong trường hợp U là hữu hạn hay ñếm ñược, A~ ∪ B~ = ∑1≤i<∞ µ A (ui ) / ui ∪ ∑1≤i<∞ µ B (ui ) / ui = ~ ~ ~ ~ ∑ 1≤i <∞ [ µ A~ (ui ) ∪ µ B ~ (ui )] / ui hay, trong trường hợp U là tập continuum, ~ A~ ∪ B~ = ~ ∫ u∈U µ A (u)du ∪ ~ ∫ u∈U µ B (u)du = ~ ∫ u∈U [ µ A~ (u ) ∪ µ B ~ (u )]du . ~ Một cách tổng quát, cho Ai ∈ F(U), i ∈ I, với I là tập chỉ số hữu hạn hay vô hạn nào ñó. Khi ñó, hợp của các tập mờ như vậy, ký hiệu là U i∈I Ai~ , ñược ñịnh nghĩa bằng hàm thuộc như sau (U i∈I ) ~ Ai~ (u ) = Supi ∈ I Ai (u ) (3*) Chúng ta sẽ cho một số ví dụ về phép tính này. Xét tập vũ trụ U như trong Ví dụ 1.3 và hai tập mờ G~ và K~ ñược cho như trong bảng dưới ñây. Bảng 1.2: Tập mờ trên U 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ~ 0,0 0,0 0,0 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 1,0 1,0 ~ 1,0 0.9 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 0,0 0,0 0,0 U G K Khi sử dụng cách biểu diễn tập mờ rời rạc, hợp của hai tập mờ G~ và K~ ñược thực hiện như sau: 16 ~ G~ ∪ K~ = (0,0/1 + 0,0/2 + 0,0/3 + 0,1/4 + 0,3/5 + 0,5/6 + 0,7/7 + 0,9/8 +1,0/9 + 1,0/10) ~ ∪ (1,0/1 + 0,9/2 + 0,8/3 + 0,6/4 + 0,4/5 + 0,2/6 + 0,0/7 + 0,0/8 + 0,0/9 + 0,0/10) = 1,0/1 + 0,9/2 + 0,8/3 + 0,6/4 + 0,4/5 + 0,5/6 + 0,7/7 + 0,9/8 + 1,0/9 + 1,0/10 Cách thực hiện phép tinh trong dàn L[0,1] theo ñiểm như vậy gợi ý cho chúng ta thực hiện các phép tính như vậy ngay trên Bảng 1.3 như sau: Bảng 1.3: Hợp hai tập mờ trên U U G~ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0,0 0,0 0,0 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 1,0 1,0 K~ 1,0 0.9 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 0,0 0,0 0,0 G~ ∪ K~ 1,0 0,9 0,8 0,6 0,4 0,5 0,7 0,9 1,0 1,0 ~ Một cách tổng quát, nếu cho trước các tập mờ Ai~ , i = 1, …, m, thì hợp của các tập mờ này là tập mờ A~ ñược ñịnh nghĩa mở rộng bằng quy nạp và ñược ký hiệu là ~ n ~ A = ∪ i =1 Ai ~ Nhận xét 1.1: Các hạng thức dạng µ(ui)/ui có thể xem là một tập mờ mà giá của nó chỉ chứa duy nhất một phần tử ui, hàm thuộc của nó bằng 0 tại mọi u ≠ ui và bằng µ(ui) tại phần tử ui. Kí hiệu tập mờ này là µ(ui){ui}, tích của số vô hướng của µ(ui) với tập kinh ñiển 1-phần tử {ui}. Khi ñó, với ñịnh nghĩa phép hợp như trên, các phép cộng hình thức “+” có thể ñược biểu thị bằng phép hợp, ta có, chằng hạn với U là tập hữu hạn, U = {u1, …, un}, tập mờ A~ ñược biểu diễn qua phép hợp như sau: ~ n A~ = ∪i =1 µ (ui ){ui } ~ Tập G~ ∪ K~ thu ñược có những ñặc ñiểm sau: ~ Support(G~ ∪ K~) = U ~ Nó là tập mờ chuẩn vì Hight(G~ ∪ K~) = 1 17 ~ Core(G~ ∪ K~) = {1, 9, 10} ~ Count(G~ ∪ K~) = 1,0 + 0,9 + 0,8 + 0,6 + 0,4 + 0,5 + 0,7 + 0,9 + 1,0 + 1,0 = 7,8 . ~ 1.3.2. Phép giao ∩ Cho hai tập mờ A~ và B~ trên tập vũ trụ U. Hợp của hai tập mờ này là ~ một tập mờ ký hiệu là A~ ∩ B~, mà hàm thuộc của nó ñược ñịnh nghĩa theo ñiểm (pointwise) như sau: µ ~ A~ ∩ B ~ (u ) = µ A~ (u ) ∩ µ B~ (u ) hay, trong trường hợp U là hữu hạn hay ñếm ñược, A~ ∩ B~ = ∑1≤i<∞ µ A (ui ) / ui ∩ ~ ~ ~ ∑ 1≤i <∞ µ B (ui ) / ui = ~ ∑ 1≤i < ∞ [ µ A~ (u i ) ∩ µ B ~ (u i )] / u i hay, trong trường hợp U là tập continuum, ~ A~ ∩ B~ = ~ ∫ u∈U µ A (u)du ∩ ~ ∫ u∈U µ B (u)du = ~ ∫ u∈U [ µ A~ (u ) ∩ µ B ~ (u )]du . ~ Một cách tổng quát, cho Ai ∈ F(U), i ∈ I, với I là tập chỉ số hữu hạn hay vô hạn nào ñó. Khi ñó, hợp của các tập mờ như vậy, ký hiệu là I i∈I Ai~ , ñược ñịnh nghĩa bằng hàm thuộc như sau (I i∈I ) ~ Ai~ (u ) = Infi ∈ I Ai (u ) Chúng ta sẽ cho một số ví dụ về phép tính này. Xét hai tập mờ G~ và K~ ñược cho trong Bảng 1.2. Khi sử dụng cách biểu diễn tập mờ rời rạc, giao của hai tập mờ G~ và K~ ñược thực hiện như sau: ~ G~ ∩ K~ = (0,0/1 + 0,0/2 + 0,0/3 + 0,1/4 + 0,3/5 + 0,5/6 + 0,7/7 + 0,9/8 +1,0/9 + 1,0/10) ~ ∩ (1,0/1 + 0,9/2 + 0,8/3 + 0,6/4 + 0,4/5 + 0,2/6 + 0,0/7 + 0,0/8 + 0,0/9 + 0,0/10) 18 = 0,0/1 + 0,0/2 + 0,0/3 + 0,1/4 + 0,3/5 + 0,2/6 + 0,0/7 + 0,0/8 + 0,0/9 + 0,0/10 Cách thực hiện phép tính trong dàn L[0,1] theo từng ñiểm như vậy, tương tự như trên, chúng ta thực hiện các phép tính như vậy ngay trên Bảng 1.4 dưới ñây: Bảng 1.4: Giao của hai tập mờ trên U U G~ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0,0 0,0 0,0 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 1,0 1,0 K~ 1,0 0.9 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 0,0 0,0 0,0 G~ ∩ K~ 0,0 0,0 0,0 0,1 0,3 0,2 0,0 0,0 0,0 0,0 ~ ~ Tập G~ ∩ K~ thu ñược có những ñặc ñiểm sau: ~ Support(G~ ∩ K~) = U ~ Nó là tập mờ dưới chuẩn vì Hight(G~ ∩ K~) = 0,3 < 1 ~ Core(G~ ∩ K~) = {5}, tập một phần tử ~ Count(G~ ∩ K~) = 0,1 + 0,3 + 0,2 = 0,6 1.3.3. Phép lấy phần bù ~ Xét một tập mờ A~ trên tập vũ trụ U. Phép lấy bù của tập A~, ký hiệu là ~ A~, là tập mờ với hàm thuộc ñược xác ñịnh bằng ñẳng thức sau: µ ~ A (u ) = 1 − µ A (u ) ~ ~ Tập mờ ~ A~ biểu diễn ở dạng công thức hình thức có dạng sau: Trường hợp U là hữu hạn hay vô hạn ñếm ñược ~ A~ = ~ ∑ u∈U µ A (u ) / u =∑u∈U (1 − µ A (u )) / u = ~ ~ Trường hợp U là vô hạn continuum ~ A~ = ∫ u ∈U µ ~ A (u )du = ~ ∫ ~ u∈U 19 µ A (u )du = ∫ ~ u∈U (1 − µ A~ (u ))du ðể lấy ví dụ. chúng ta xét hai tập mờ G~ và K~ ñược cho trong Bảng 1.2. Khi sử dụng cách biểu diễn tập mờ rời rạc, phép lấy phần bù của hai tập mờ G~ và K~ ñược thực hiện như sau: ~ G~ = ~ (0,0/1 + 0,0/2 + 0,0/3 + 0,1/4 + 0,3/5 + 0,5/6 + 0,7/7 + 0,9/8 +1,0/9 + 1,0/10) = (1,0/1 + 1,0/2 + 1,0/3 + 0,9/4 + 0,7/5 + 0,5/6 + 0,3/7 + 0,1/8 +0,0/9 + 0,0/10) còn ~ K~ = ~ (1,0/1 + 0,9/2 + 0,8/3 + 0,6/4 + 0,4/5 + 0,2/6 + 0,0/7 + 0,0/8 + 0,0/9 + 0,0/10) = (0,0/1 + 0,1/2 + 0,2/3 + 0,4/4 + 0,6/5 + 0,8/6 + 1,0/7 + 1,0/8 + 1,0/9 + 1,0/10) Tương tự như trên, phép lấy phần bù cũng có thể thực hiện trên bảng dữ liệu, cụ thể như sau: Bảng 1.5: Phần bù của tập mờ trên U U G~ ~G K ~ ~ ~K ~ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0,0 0,0 0,0 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 0,9 0,7 0,5 0,3 0,1 0,0 0,0 1,0 0.9 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,1 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,0 1,0 1,0 1.3.4. Phép tổng và tích ñại số của các tập mờ Phép cộng ñại số hai tập mờ: Cho hai tập mờ A~ và B~ trên tập vũ trụ U. Tổng ñại số của hai tập mờ này là một tập mờ, ký hiệu là A~ ⊕ B~, ñược ñịnh nghĩa bởi ñẳng thức sau: Trong trường hợp U là hữu hạn hay vô hạn ñếm ñược, A~ ⊕ B~ = ∑ u∈U [ µ A~ (u ) +µ B ~ (u ) − µ A~ (u ).µ B ~ (u )] / u , Trong trường hợp U là vô hạn continuum, A~ ⊕ B~ = ∫ u∈U [ µ A~ (u ) + µ B ~ (u ) − µ A~ (u ).µ B ~ (u )]du . 20 Lưu ý rằng giá trị biểu thức µ A (u ) + µ B (u ) − µ A (u ).µ B (u ) luôn luôn ~ ~ ~ ~ thuộc [0, 1] và do ñó các ñịnh nghĩa của phép tính ⊕ trên là ñúng ñắn. Phép nhân ñại số hai tập mờ: Nhân ñại số hai tập mờ A~ và B~ là một tập mờ, ký hiệu là A~ ⊗ B~, ñược xác ñịnh như sau: Trong trường hợp U là hữu hạn hay vô hạn ñếm ñược, A~ ⊗ B~ = ∑ µ A (u ).µ B (u ) / u , ~ u∈U ~ Trong trường hợp U là vô hạn continuum, A~ ⊗ B~ = ∫ u∈U µ A (u ).µ B (u )du . ~ ~ 1.3.5. Phép tập trung hay phép co (concentration) Cho tập mờ A~ trên U. Phép tập trung tập mờ A~ là tập mờ, ký hiệu là CON(A~ ), ñược ñịnh nghĩa như sau: CON(A~) = ∫ u∈U µ αA (u )du = (A~)α, với α > 1 ~ Vì α > 1 nên µ αA (u ) < µ A (u ) và do ñó miền giới hạn bởi hàm µ αA (u ) sẽ ~ ~ ~ nằm trọn trong miền giới hạn bởi hàm µ A (u ) , hàm thuộc µ A (u ) của tập mờ ~ ~ bị co lại sau phép tập trung. Nói khác ñi tập mờ CON(A~) biểu thị một khái niệm ñặc tả hơn khái niệm gốc biểu thị bởi tập mờ A~ (xem Hình 1.3). Về trực quan chúng ta thấy khái niệm mờ càng ñặc tả thì nó càng chính xác hơn, ít mờ hơn và gần giá trị kinh ñiển hơn. Thông thường người ta sử dụng phét tập trung ñể biểu thị ngữ nghĩa tác ñộng của gia tử rất (very) vì ngữ nghĩa, chẳng hạn, của khái niệm rất trẻ là ñặc tả hay ít mờ hơn so với khái niệm trẻ. 1.3.6. Phép dãn (Dilation) Ngược với phép tập trung là phép dãn. Phép dãn khi tác ñộng vào một tập mờ A~, ký hiệu là DIL(A~), ñược xác 1,0 µ Aβ~ (u) ñịnh bởi ñẳng thức sau: µ ~ (u ) A DIL(A~) = ∫ u∈U µ Aβ~ (u)du = (A~)β, với β < 1 µ αA~ (u) 0 15 25 35 45 Hình 1.3: Phép tập trung 21 50 β Trong trường hợp này ta thấy µ A~ (u ) > µ A (u ) và do ñó phép dãn sẽ làm hàm ~ thuộc của tập mờ ñó dãn nở ra, hàm thuộc của tập mờ thu ñược sẽ xác ñịnh một miền thực sự bao hàm miền giới hạn bởi hàm thuộc của tập mờ gốc. Trên β Hình 1.3, ta thấy ñường cong nét chấm biểu thị hàm thuộc µ A~ (u ) còn ñường cong nét liền biểu thị hàm thuộc µ A (u ) . Ngữ nghĩa của khái niệm mờ biểu thị ~ bởi tập mờ kết quả ít ñặc tả hơn hay ngữ nghĩa của nó càng mờ hơn. Ngược với hay ñối ngẫu với việc sử dụng phép CON, phép DIL ñược sử dụng ñể biểu thị ngữ nghĩa của gia tử có thể hay xấp xỉ vì ngữ nghĩa của khái niệm có thể trẻ ít ñặc tả hơn hay tính mờ của nó lớn hơn. Ví dụ 1.8. Xét tập vũ trụ U = {1, 2, …, 8} và hai tập mờ A~ và B~ trên U ñược cho như sau: A~ = 0,8/3 + 1,0/5 + 0,6/6 và B~ = 0,7/3 + 1,0/4 + 0,5/6 Khi ñó ta có: A~ ⊕ B~ = 0,94/3 + 1,0/4 + 1,0/5 + 0,8/6 A~ ⊗ B~ = 0,56/3 + 0,30/6 CON(A~) = 0,64/3 + 1,0/5 + 0,36/6 , với α = 2. DIL(A~) = 0,8 /3 + 1,0/5 + 0,6 /6 , với β = 1/2 1.3.7. Tích ðề-ca-tơ các tập mờ Cho Ai là tập mờ của tập vũ trụ Ui, i = 1, 2, …, n. Tích ðê-ca-tơ của ~ n ~ ~ ~ các tập mờ Ai~ , i = 1, 2, …, n, ký hiệu là A1 × A2 × …× An hay Π i =1 Ai , là một tập mờ trên tập vũ trụ U1 × U2 ×…× Un ñược ñịnh nghĩa như sau: A1~ × A2~ × …× An~ = ∫ U1×...×U n µ A1 (u1 ) ∩ ... ∩ µ An (u n ) /(u1 ,..., u n ) Ví dụ 1.9. Cho U1 = U2 = {1, 2, 3} và 2 tập mờ A~ = 0,5/1 + 1,0/2 + 0,6/3 và B~ = 1,0/1 + 0,6/2 Khi ñó, A~ × B ~ = 0,5/(1,1) + 1,0/(2,1) + 0,6/(3,1) + 0,5/(1,2) + 0,6/(2,2) + 0,6/(2,3). 22 Một ví dụ ứng dụng của tích ðê-ca-tơ là kết nhập (aggreegation) các thông tin mờ về các thuộc tính khác nhau của một ñối tượng. Ví dụ, trong các hệ luật của các hệ trợ giúp quyết ñịnh hay hệ chuyên gia, hệ luật trong ñiều khiển thường có các luật dạng sau ñây: Nếu X1 := A1~ and X2 := A2~ and … and Xn := An~ thì Y := B~ trong ñó các Xi là các biến ngôn ngữ (vì giá trị của nó là các ngôn ngữ ñược xem như là nhãn của các tập mờ) và Ai là các tập mờ trên miền cơ sở Ui của biến Xi. Hầu hết các phương pháp giải liên quan ñến các luật nếu-thì trên ñều ñòi hỏi việc tích hợp các dữ liệu trong phần tiền tố “nếu” nhờ toán tử kết nhập, một trong những toán tử như vậy là lấy tích ðề-ca-tơ A1~ × A2~ × …× An~ . 1.3.8. Phép tổ hợp lồi (convex combination) Cho Ai~ là tập mờ của tập vũ trụ Ui tương ứng với biến ngôn ngữ Xi, i = 1, 2, …, n, và wi ∈ (0, 1], là các trọng số về mức ñộ quan trọng tương ñối của biến Xi so với các biến khác, i = 1, 2, …, n, và thỏa ràng buộc ∑ n i =1 wi = 1 . Khi ñó tổ hợp lồi của các tập mờ Ai~ , i = 1, 2, …, n, là một tập mờ A~ xác ñịnh trên U = U1×U2×…×Un, hàm thuộc của nó ñược ñịnh nghĩa như sau: µ A~ (u1 ,..., u n ) = ∑ n i =1 wi µ A~ (u i ) i trong ñó Σ là tổng số học (chứ không phải là tổng hình thức). Phép tổ hợp lồi thường ñược sử dụng ñể biểu thị ngữ nghĩa của gia tử kiểu “cốt yếu” (essentially) hay “ñặc trưng” hay “ñặc tính tiêu biểu” (typically). Ví dụ, khái niệm mờ về người “To lớn” ñược biểu thị một cách cốt yếu từ ngữ nghĩa của các khái niệm người Cao và Béo. Như vậy ngữ nghĩa của “To lớn” có thể biểu thị qua ngữ nghĩa của “Cao” và của “Béo” thông qua phép tổ hợp lồi. Cụ thể, giả sử ngữ nghĩa của các tập mờ Béo trên miền U1 = [40, 100] theo ñơn vị kg và của Cao trên miền U2 = [50, 220] với ñơn vị cm ñược biểu thị như sau: 23