TS. PHẠM GIA HƯNG (Chủ biên)
ThS. NGUYỄN THỊ HÀ, ThS. NGUYỄN THỊ THÙY DUNG
GIÁO TRÌNH
ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
ĐẠI HỌC NHA TRANG
Bộ môn Toán 9/2019
PHAM G. HUNG
NGUYEN T. HA, NGUYEN T.T. DUNG
LINEAR ALGEBRA
NHA TRANG UNIVERSITY
Maths Departement, September 2019
2
Lời giới thiệu
Mục đích của giáo trình là cung cấp những kiến cơ sở những chương đầu tiên của
môn Đại số tuyến tính cho những sinh viên học các ngành kỹ thuật và kinh tế; chúng
tôi xem đây là tập đầu của môn học.
Để phù hợp với tình hình chung hiện nay là thời lượng dành cho môn học quá ít
ỏi (2 tín chỉ) và sự phổ cập đại học làm cho khả năng tiếp thụ của các sinh viên quá
chênh lệch nhau nên các vấn đề được trình bày khá tỉ mỉ, có nhiều ví dụ. Hầu hết các
kết quả đều được chứng minh là dành cho những độc giả muốn nghiên cứu chi tiết hơn
về môn học; còn đối với những người chỉ coi môn học như một công cụ thì chỉ cần
hiểu ý nghĩa và biết cách sử dụng các kết quả đó.
Nội dung của giáo trình gồm 3 chương. Chương 1 nói về ma trận và định thức,
với những khái niệm về ma trận, một số dạng ma trận và các phép toán trên ma trận;
các khái niệm và các tính chất về định thức; khái niệm về ma trận nghịch đảo, điều
kiện khả nghịch và phương pháp tính ma trận nghịch đảo. Chương 2 nói về hệ phương
trình tuyến tính, với những khái niệm chung về hệ phương trình tuyến tính, hệ Cramer;
khái niệm về hạng của ma trận và cách tìm hạng của ma trận; một số phương pháp giải
hệ phương trình tuyến tính. Chương 3 nói về không gian véc-tơ n , với những khái
niệm và các tính chất của không gian này; những khái niệm và các tính chất của hệ
véc-tơ phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính; Cơ sở và số chiều của không gian
n ; Tọa độ của vector theo một cơ sở; Ma trận chuyển cơ sở và công thức đổi tọa độ.
Cuối mỗi chương có tóm tắt các kiến thức quan trọng, tối thiểu và hệ thống bài
tập để sinh viên tự làm. Các bài tập chia thành mức độ: Mức 1 nhằm giúp người học
ôn luyện các kiến thức quan trọng, tối thiểu của chương; Mức 2 đòi hỏi người học phải
hiểu sâu hơn về vấn đề, biết vận dụng các kiến thức tổng hợp để giải quyết.
Lần đầu tiên giáo trình ra mắt bạn đọc không tránh khỏi những sai sót, mong bạn
đọc góp ý để giáo trình có thể phục vụ các bạn tốt hơn.
Nhóm tác giả
3
Một số ký hiệu và chữ viết tắt
1, 2, 3,...
Tập các số tự nhiên
n
x X
x X
X Y
X Y {x : x X x Y }
X Y {x : x X x Y }
X \Y {x : x X x Y }
X Y {(x , y ) : x X , y Y }
p
Tập các số thực
Tập các véc-tơ (thực) n chiều
Tập rỗng
Phần tử x thuộc tập X
Phần tử x không thuộc tập X
Tập X là tập con của tập Y
Giao của X và Y
Hợp của X và Y
Hiệu của X và Y
Tích Descartes của X và Y
Phủ định của mệnh đề p (không p )
p q
p và q
p q
p hoặc q
p q
p suy ra q
p q
p tương đương với q
P (x ), x X
P (x ) với mọi x thuộc X
x X : P (x )
Với mọi x thuộc X ta có P (x )
x X : P (x )
Tồn tại x thuộc X sao cho P (x )
f : X Y
Ánh xạ f từ tập X vào tập Y
m n
Tập các ma trận cỡ m n
(A)ij
Phần tử nằm ở hàng i cột j của ma trận A
Ai *
Hàng thứ i của ma trận A
A* j
Cột thứ j của ma trận A
A
AT
A1
O
I
det A
r (A)
x
0
[x ]B
Ma trận đối của ma trận A
Ma trận chuyển vị của ma trận A
Ma trận nghịch đảo của ma trận A
Ma trận không
Ma trận đơn vị
Định thức của ma trận A
Hạng của ma trận A
Véc-tơ x
Véc-tơ không
Tọa độ của véc-tơ x ttheo cơ sở B
dim n
Số chiều của không gian n
4
Mục lục
Lời giới thiệu
3
Một số ký hiệu và chữ viết tắt
4
Chương 1. Ma trận - Định thức
7
1.1. Các khái niệm cơ sở
1.1.1. Tập hợp
1.1.2. Mệnh đề toán học
1.1.3. Phương pháp quy nạp toán học
1.2. Ma trận
1.2.1. Các khái niệm về ma trận
1.2.2. Các dạng ma trận
1.2.3. Các phép toán trên ma trận
1.3. Định thức
1.3.1. Khái niệm về định thức
1.3.2. Các tính chất cơ bản của định thức
1.4. Ma trận nghịch đảo
1.4.1. Định nghĩa ma trận nghịch đảo và điều kiện khả nghịch
1.4.2. Phương pháp Gauss-Jordan tìm ma trận nghịch đảo
1.4.3. Phương trình ma trận
Tóm tắt các kiến thức quan trọng chương 1
Bài tập chương 1
7
7
8
10
10
10
12
14
22
22
23
34
35
37
39
40
43
Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính
46
2.1. Hệ phương trình tuyến tính
2.1.1. Các khái niệm về hệ phương trình tuyến tính
2.1.2. Hệ phương trình Cramer
2.2. Hạng của ma trận
2.2.1. Định thức con và hạng của ma trận
2.2.2. Cách tìm hạng của ma trận
2.3. Điều kiện tương thích và một số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính
2.3.1. Điều kiện tương thích
2.3.2. Phương pháp Gauss
2.3.3. Phương pháp Cramer
Tóm tắt các kiến thức quan trọng chương 2
Bài tập chương 2
46
46
48
50
50
52
55
55
60
65
68
70
Chương 3. Không gian vector
73
3.1. Không gian vector n
73
3.1.1. Các khái niệm về không gian véc-tơ n
73
5
3.1.2. Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
3.1.3. Hạng của hệ véc-tơ
75
78
3.2. Cơ sở và số chiều của không gian n . Tọa độ của véc-tơ theo một cơ sở
3.2.2. Cơ sở và số chiều của không gian n
3.2.3. Tọa độ của vector theo một cơ sở
3.2.2. Ma trận chuyển cơ sở - Công thức đổi tọa độ
81
81
82
84
Tóm tắt các kiến thức quan trọng chương 3
88
Bài tập chương 3
91
Tài liệu tham khảo
93
6
Chương 1
Ma trận và định thức
1.1. Các khái niệm cơ sở
1.1.1. Tập hợp
1) Khái niệm. Tập hợp (gọi tắt là tập) và các phần tử của nó là những khái niệm cơ
bản của toán học không được định nghĩa, chúng được làm cơ sở để định nghĩa các khái
niệm khác.
Người ta thường mô tả tập hợp như một lớp hay một nhóm các đối tượng có
chung những tính chất nào đó, chẳng hạn như tập các học sinh trong một lớp học, tập
các nghiệm của một phương trình,…
Nếu x là phần tử thuộc (tương ứng, không thuộc) tập A thì ta viết x Î A (tương
ứng, x Ï A ). Ta nói A là tập con của B , ký hiệu A Ì B , nếu mọi phần tử của A đều
là phần tử của B . Nếu A Ì B và B Ì A thì ta nói A và B bằng nhau, ký hiệu
A = B . Người ta quy ước rằng, một tập không chứa phần tử nào gọi là tập rỗng (hay
tập trống), ký hiệu Æ , và tập rỗng là tập con của mọi tập hợp.
2) Các cách cho tập hợp. Để diễn tả tập hợp người ta thường liệt kê các phần tử của
tập hợp giữa các dấu ngoặc nhọn {¼} hoặc nêu thuộc tính chung P (x ) của các phần
tử x trong tập hợp bằng cách viết {x : P (x )} .
Ví dụ 1.1.1. Tập A = {1, 2, 3, 4} cũng có thể mô tả dưới dạng
A = {x Î : 1 £ x £ 4} ,
trong đó := {1, 2, 3, ¼} là tập các số tự nhiên.
3) Các tập số. Tập các số nguyên và tập các số hữu tỷ, tương ứng, là tập
ìp
ü
ï
ï
:= {0, 1, 2, ¼} , := ïí : p Î , q Î ïý .
ï
ï
ïq
ï
î
þ
Tập số hữu tỷ bao gồm các số nguyên, số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn,
chẳng hạn như các số
5
-1
1
= 5;
= -0, 25; = 0, 33333 ¼
1
4
3
Số thập phân vô hạn không tuần hoàn được gọi là số vô tỷ, chẳng hạn như
p = 3,1415926535 ¼, e = 2, 7182818284 ¼, 2 = 1, 4142135623 ¼
7
Tập gồm các số hữu tỷ và vô tỷ được gọi là tập số thực, ký hiệu là .
4) Một số phép toán về tập hợp. Hợp, giao, hiệu, tích Descates của hai tập A và B
tương ứng là những tập được cho bởi
A Ç B := {x : x Î A x Î B } ,
A È B := {x : x Î A x Î B } ,
A \ B := {x : x Î A x Ï B } ,
A ´ B := {(x , y ) : x Î A y Î B } ,
trong đó, các dấu “ , ” tương ứng đọc là “và, hoặc”.
Ví dụ 1.1.2. Cho
Khi đó
A = {1, 2, 3, 4} và B = {2, 4, 6} .
A È B = {1, 2, 3, 4, 6}, A Ç B = {2, 4}, A \ B = {1, 3} ,
A ´ B = {(1, 2),(1, 4),(1, 6),(2, 2),(2, 4),(2, 6),(3, 2),(3, 4),(3, 6),(4, 2),(4, 4),(4, 6)} .
Tích Descartes của n tập hợp A1, A2 ,..., An được cho bởi
{
}
A1 ´ A2 ´ ... ´ An = (a1 , a2 ,..., an ) : ai Î Ai , i = 1, n ,
trong đó i = 1, n nghĩa là i Î {1, 2,...n } . Khi A1 = A2 = ... = An = A thì ta viết
{
}
An := A
´ A ´ ... ´ A = (a1, a2 ,..., an ) : ai Î A, i = 1, n .
n
Ví dụ 1.1.3. Ta có
2 = {(x , y ) : x , y Î } , 3 = {(x 1, x 2 , x 3 ) : x 1, x 2 , x 3 Î } .
1.1.2. Mệnh đề toán học
1) Khái niệm. Mệnh đề (toán học) là một khẳng định hoặc đúng hoặc sai. Sai hay
đúng của một mệnh đề chỉ là quy ước.
Ví dụ 1.1.4. Mệnh đề p := (1 + 1 = 2) là một mệnh đề đúng. Mệnh đề q : (2 3) là
một mệnh đề sai.
2) Các phép toán về mệnh đề. Ta có thể thực hiện các phép toán trên các mệnh đề
dưới đây để tạo dựng nên những mệnh đề mới phức tạp hơn.
Phủ định của mệnh đề p , ký hiệu p , là một mệnh đề đúng khi p sai và ngược
lại.
Ví dụ 1.1.5. Nếu p = (1 + 1 = 2) là một mệnh đề đúng thì p = (1 + 1 ¹ 2) là một
mệnh đề sai. Nếu q = (2 > 3) là một mệnh đề sai thì q = (2 £ 3) là một mệnh đề
đúng.
Mệnh đề p kéo theo mệnh đề q , ký hiệu p q và đọc là ( p suy ra q ) hay
(nếu p thì q ), là một mệnh đề sai khi p đúng q sai và đúng trong những trường hợp
còn lại. Ta nói: p điều kiện đủ để có q và q điều kiện cần để có p .
8
Như vậy, nếu p đúng q đúng thì p q đúng, còn nếu p sai thì dù q đúng hay
sai thì p q vẫn đúng. Điều này có nghĩa là, nếu giả thiết p sai thì muốn kết luận
q ra sao cũng được. Khi làm toán người ta chỉ thường chú ý tới trường hợp giả thiết p
đúng mà thôi.
Ví dụ 1.1.6. Ta có
( a < b) (b > 0) .
Vậy, ( a < b) là điều kiện đủ để có (b > 0) ; (b > 0) là điều kiện cần để có ( a < b) .
Mệnh đề p tương đương với mệnh đề q , ký hiệu p q và đọc là ( p nếu và
chỉ nếu q ) hoặc ( p khi và chỉ khi q ) hay ( p là điều kiện cần và đủ của q ), là một
mệnh đề hội bởi hai mệnh đề p q và q p .
Ví dụ 1.1.7. Ta có
(a < b) (b > a ) ,
( x £ a ) (-a £ x £ a ) .
Nếu mọi phần tử x thuộc tập A đều thỏa tính chất P (x ) thì ta ký hiệu
"x Î A : P (x ) hay P (x ), "x Î A
và đọc là (với mọi x thuộc A ta có P (x ) ) hay ( P (x ) với mọi x thuộc A ).
Ví dụ 1.1.8. Ta có
("x Î : x 2 + x + 1 > 0) (x 2 + x + 1 > 0, "x Î ) ,
tương ứng được đọc là (với mọi x Î ta có x 2 + x + 1 > 0 ) và ( x 2 + x + 1 > 0 với
mọi x Î ).
Nếu có ít nhất một phần tử x thuộc tập A thỏa tính chất P (x ) thì ta ký hiệu
$x Î A : P (x )
và đọc là (tồn tại ít nhất một phần tử x thuộc tập A sao cho P (x ) ) hoặc đơn giản hơn
(tồn tại x thuộc A sao cho P (x ) ).
Ví dụ 1.1.9. Mệnh đề ( $x Î : x 2 - 1 = 0 ) được đọc là (tồn tại x Î sao cho
x 2 - 1 = 0) .
Ví dụ 1.1.10. Mệnh đề ( $ ! x Î : x 2 = 0 ) được đọc là (tồn tại duy nhất x Î sao
cho x 2 = 0) . Ở đây, ký hiệu ( $ ! ) được đọc là (tồn tại duy nhất).
3) Một số tính chất của các phép toán mệnh đề.
a) (p q ) (p q ) ,
b) (p q ) (q p ) ,
c) ("x Î A : P (x )) ($x Î A : P (x )) , d) ($x Î A : P (x )) ("x Î A : P (x )) .
9
1.1.4. Phương pháp quy nạp toán học
Hình thức đơn giản và phổ biến nhất của phương pháp quy nạp toán học suy luận
rằng một mệnh đề liên quan đến một số tự nhiên n sẽ đúng với tất cả các giá trị
của n . Cách chứng minh bao gồm hai bước sau:
1) Bước cơ sở: Chứng minh rằng mệnh đề đúng với số tự nhiên đầu tiên n (thông
thường n = 1 hoặc n = 2 ).
2) Bước quy nạp: Chứng minh rằng, nếu mệnh đề đúng với một số số tự nhiên n = k
thì nó cũng đúng với n = k + 1 . Giả thuyết ở bước quy nạp rằng mệnh đề đúng với
số n = k được gọi là giả thiết quy nạp. Để thực hiện bước quy nạp, ta sử dụng giả
thiết quy nạp để chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1 .
Ví dụ 1.1.13. Chứng minh rằng, với mọi số tự nhiên n ta luôn có
n(n + 1)
.
2
Rõ công thức đúng khi n = 1 . Giả sử công thức đúng với n = k , tức là
1 + 2 + ... + n =
k (k + 1)
.
2
Ta sẽ chứng minh công thức đúng với n = k + 1 . Thật vậy, ta có
k (k + 1)
1 + 2 + ... + k + (k + 1) =
+ (k + 1)
2
(k + 1)(k + 2) (k + 1) éëê(k + 1) + 1ùûú
ĐPCM.
=
=
2
2
1 + 2 + ... + n =
Nhận xét 1.1.2. Có thể trình bày bước quy nạp như sau: Giả sử công thức đúng với
n - 1 , tức là
(n - 1)n
1 + 2 + ... + (n - 1) =
.
2
Ta sẽ chứng minh công thức đúng với n . Thật vậy, ta có
n éêë(n - 1) + 2ùúû
(n - 1)n
n(n + 1)
.
+n =
=
1 + 2 + ... + (n - 1) + n =
2
2
2
1.2. Ma trận
1.2.1. Các khái niệm về ma trận
Định nghĩa 1.2.1. Một ma trận cỡ m ´ n là một bảng các số được xếp thành m hàng
và n cột, ký hiệu
æa
çç 11 a12
çç a
a22
A = çç 21
çç ..
..
çç
çèam 1 am 2
10
.. a1n ö÷
÷÷
.. a2n ÷÷
÷÷
.. .. ÷÷
÷÷
.. amn ÷÷ø
hay đơn giản là
A = (aij )
mxn
hay A= (aij ) .
Ký hiệu phần tử nằm ở hàng thứ i và cột thứ j của ma trận A là aij hoặc
(A)
ij
. Ký hiệu hàng thứ i và cột thứ j của A tương ứng là Ai * , A* j . Tập các ma trận
cỡ m ´ n được ký hiệu là m´n .
Ví dụ 1.2.1. Bảng số
æ0 1 2ö÷
÷÷
A = ççç
÷÷
3
4
5
èç
ø
là một ma trận cỡ 2 ´ 3 với các phần tử
a11 = 0, a12 = 1, a13 = 2, a21 = 3, a22 = 4, a23 = 5 .
Các hàng của A là
(
)
(
)
A1* = 0 1 2 , A2* = 3 4 5
và các cột của A là
æ0ö÷
æ1ö÷
æ2ö÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
A*1 = ç ÷, A*2 = ç ÷ , A*3 = ççç ÷÷ .
÷
÷
çè3÷÷ø
èç4ø÷
èç5ø÷
Ví dụ 1.2.2. Bảng số
(
B= 1 2 3 4
)
là một ma trận cỡ 1 ´ 4 với các phần tử
b11 = 1, b12 = 2, b13 = 3, b14 = 4 .
Định nghĩa 1.2.2. Ma trận đối của ma trận A , ký hiệu -A , là một ma trận mà các
phần tử của nó là đối của các phần tử của A .
Ví dụ 1.2.3. Ma trận đối của ma trận
æ1
æ-1 -2 -3ö÷
2 3ö÷÷
çç
çç
÷÷
÷
ç
ç
÷
ç
ç
A = ç-1 2 3÷÷ là -A = ç 1 -2 -3÷÷÷ .
çç
çç
÷
÷
2 -3÷÷ø
çè-1 -2 3÷ø÷
çè 1
Định nghĩa 1.2.3. Ma trận không là ma trận mà mọi phần tử của nó đều bằng không,
ký hiệu là O .
Ví dụ 1.2.4. Các ma trận
æ0 0 0ö÷
çç
÷
çç0 0 0÷÷÷,
è
ø
æ0 0ö÷
çç
÷
çç0 0÷÷÷
è
ø
là ma trận không cỡ 2 ´ 3 , 2 ´ 2 tương ứng.
11
Định nghĩa 1.2.4. Cho A là ma trận cỡ m ´ n . Ma trận chuyển vị của A , ký hiệu là
AT , là một ma trận cỡ n ´ m , nhận được từ A bằng cách đổi hàng thành cột và cột
thành hàng với thứ tự của các hàng và các cột không thay đổi.
Ví dụ 1.2.5. Ta có
æ1
çç
æ1 2 3ö÷
ç
ç
T
÷
A = çç
÷÷ « A = çç2
çè4 5 6ø÷
çç
çè3
æ1 2 3ö÷
æ1
çç
çç
÷÷
ç
T
÷
B = çç4 5 6÷÷ « B = ççç2
çç
çç
÷÷
èç7 8 9÷ø
èç3
Nhận xét 1.2.1. Dễ thấy
( )
(AT )T = AT và AT
ij
4÷ö÷
÷
5÷÷÷ .
÷
6÷÷ø
4 7ö÷÷
÷
5 8÷÷÷ .
÷
6 9÷÷ø
= (A) , "i, j .
ji
Định nghĩa 1.2.5. Hai ma trận A, B Î m´n được gọi là bằng nhau, ký hiệu A = B ,
nếu
(A)
ij
= (B ) , "i = 1, m; j = 1, n .
ij
nghĩa là, hai ma trận A và B là bằng nhau nếu chúng cùng cỡ và có các phần tử cùng
vị trí tương ứng bằng nhau.
Ví dụ 1.2.6. Ta có
æx
ç 1
çççx
è 4
x2
x5
x 3 ö÷ æç1 2 3ö÷
÷÷ x = 1, x = 2,..., x = 6.
÷÷ = ç
1
2
6
x 6 ÷÷ø èçç4 5 6÷÷ø
1.2.2. Các dạng ma trận
Ma trận hàng (gọi tắt là hàng) là ma trận chỉ có một hàng. Ma trận hàng cỡ
1 ´ n có dạng
X = (x 1 ,..., x n ) .
Ma trận cột (gọi tắt là cột) là ma trận chỉ có một cột. Ma trận cột cỡ m ´ 1 có
dạng
æ y ö÷
çç 1 ÷
T
÷
y = ççç : ÷÷÷ = (y1,..., ym ) .
çç ÷÷
çèym ÷ø
Ma trận vuông cấp n là ma trận cỡ n ´ n
æa
çç 11 a12 ..
çça
a22 ..
A = çç 21
çç ..
.. ..
çç
çèan 1 an 2 ..
12
(có số hàng bằng số cột), nó có dạng
a1n ö÷
÷÷
a2n ÷÷
÷÷ .
.. ÷÷
÷÷
ann ÷÷ø
Các phần tử a11, a22 ,..., ann của ma trận vuông A được gọi là các phần tử chéo của A ,
hoặc ta cũng nói, chúng tạo nên đường chéo chính của A .
Ma trận đơn vị cấp n, ký hiệu là I n hoặc đơn giản I , là ma trận vuông cấp n
có các phần tử chéo đều bằng 1, còn các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều
bằng 0, tức là ma trận có dạng
æ1
çç
çç0
I := çç
çç..
çç
çè0
0 .. 0ö÷
÷÷
1 .. 0÷÷
÷÷ .
.. .. ..÷÷
÷÷
0 .. 1÷÷ø
Ví dụ 1.2.7. Các ma trận đơn vị cấp 1, 2, 3 tương ứng là
æ1 0 0ö÷
çç
æ1 0ö÷
÷
ç
çç0 1 0÷÷ .
÷
=
I 1 = (1), I 2 = çç
,
I
÷÷
÷
çè0 1ø÷÷ 3 ççç
÷
çè0 0 1÷÷ø
Ma trận chéo (cấp n ) là ma trận vuông (cấp n )
chéo chính đều bằng 0, có dạng
æl 0
çç 1
çç 0 l
2
D := Dg(l1, l2 ,..., ln ) := çç
çç .. ..
çç
çè 0 0
mà các phần tử ngoài đường
0 ö÷
÷÷
0 ÷÷
÷÷ .
.. .. ÷÷
÷÷
.. ln ÷÷ø
..
..
Ma trận vuông A gọi là ma trận đối xứng nếu
AT = A hay (A) = (A) ; "i, j = 1, n.
ji
ij
Ví dụ 1.2.8. Ma trận sau là ma trận đối xứng
æ-1 1
2 ö÷÷
çç
çç 1 -2 3 ÷÷ .
÷÷
çç
÷÷
çç 2
3
3
÷ø
è
Ma trận tam giác trên là ma trận vuông có các phần tử nằm dưới đường chéo
chính đều bằng 0, có dạng
æa
çç 11 a12
çç 0 a
22
çç
çç ..
..
çç
çè 0
0
.. a1n ö÷
÷÷
.. a2n ÷÷
÷÷ .
.. .. ÷÷
÷÷
.. ann ÷÷ø
Nói cách khác, ma trận A = (aij ) Î n´n là ma trận tam giác trên nếu aij = 0 khi
i > j.
13
Tương tự, ma trận tam giác dưới là ma trận vuông có các phần tử nằm trên
đường chéo chính đều bằng 0, tức là, ma trận A = (aij ) Î n´n là ma trận tam giác
dưới nếu aij = 0 khi i < j .
1.2.3. Các phép toán trên ma trận
1) Cộng (/ trừ) ma trận. Cho A và B là hai ma trận cùng cỡ m ´ n . Tổng của A và
B , ký hiệu A + B , là một ma trận có cỡ m ´ n được xác định bởi
(A + B ) := (A) + (B ) ; "i = 1, m; j = 1, n .
Nhắc lại rằng: (A + B ) , (A) , (B ) tương ứng là phần tử nằm ở hàng i
ij
ij
ij
ij
ij
ij
cột j của ma
trận A + B, A, B .
Hiệu của hai ma trận cùng cỡ A và B , ký hiệu là A - B , được định nghĩa bởi
A - B := A + (-B ) .
Nói cách khác, muốn cộng (/ trừ) hai ma trận cùng cỡ, ta cộng (/ trừ) các phần
tử cùng vị trí tương ứng.
Ví dụ 1.2.9. Cho
æ 2 0 1ö÷
æ-1 3 2ö÷
÷÷, B = çç
÷÷ Î 2´3 .
A = ççç
ç
÷
÷
çè-4 2 5÷ø
èç 1 0 7ø÷
Ta có
æ2 + (-1) 0 + 3 1 + 2 ö÷ æ 1 3 3 ÷ö
÷÷ = çç
÷÷ Î 2´3 ,
A + B = ççç
ç
÷
÷
èç -4 + 1 2 + 0 5 + 7÷ø èç-3 2 12÷ø
æ2 - (-1) 0 - 3 1 - 2 ö÷ æ 3 -3 -1ö÷
÷÷ = çç
÷÷ Î 2´3 .
A - B = ççç
ç
÷
çè -4 - 1 2 - 0 5 - 7÷ø çè-5 2 -2÷÷ø
Tính chất 1.2.1. Với mọi A, B,C ,O Î m´n , ta có
a) A + B = B + A .
b) (A + B ) + C = A + (B + C ) .
c) A + O = A .
d) A + (-A) = O .
Chứng minh. Dễ dàng suy trực tiếp từ định nghĩa, chẳng hạn, ta chứng minh tính chất
a). Với mọi i, j , ta có
(A + B )
ij
= (A) + (B )ij = (B ) + (A) = (B + A) .
ij
ij
ij
ij
Chứng tỏ A + B = B + A .
2) Nhân một số với ma trận. Cho l Î và A là ma trận cỡ m ´ n . Tích của số l
với A , ký hiệu lA , là một ma trận cỡ m ´ n được xác định bởi
(lA)
ij
14
= l (A) , "i = 1, m; j = 1, n .
ij
Nói cách khác, muốn nhân một số với một ma trận, ta nhân số đó với tất cả các phần tử
của ma trận.
Ví dụ 1.2.10. Ta có
æ
ö æ
2 ´ (-2) 2 ´ 2÷÷ö çæ 2 -4 4÷÷ö
çç 1 -2 2÷÷ çç 2 ´ 1
÷
÷ ç
÷
2 ççç 0
1 3÷÷÷ = ççç 2 ´ 0
2 ´1
2 ´ 3÷÷÷ = ççç 0
2 6÷÷÷ .
ç
÷ ç
÷ ç
÷
çèç-4 -3 1ø÷÷ çèç2 ´ (-4) 2 ´ (-3) 2 ´ 1÷ø÷ çèç-8 -6 1÷ø÷
Tính chất 1.2.2. Với mọi l, m Î và mọi A, B,O Î m´n , ta có
a) l(A + B ) = lA + lB .
b) (l + m)A = lA + mA .
c) (lm)A = l(mA) .
d) 1A = A .
e) -1A = -A .
f) 0A = O .
g) lO = O .
h) (lA + mB )T = lAT + mBT .
Chứng minh. Suy trực tiếp từ định nghĩa, chẳng hạn, ta chứng minh tính chất h). Với
mọi i, j , ta có
Tö
æ
çç(lA + mB ) ÷÷ = (lA + mB ) = (lA) + (mB ) = l(A)ji + m(B )ji
ji
ji
ji
è
ø
ij
= l(AT )ij + m(BT )ij = (lAT )ij + (mBT )ij = (lAT + mBT )ij .
Chứng tỏ (lA + mB )T = lAT + mBT .
3) Nhân ma trận. Cho A Î m´n và B Î n´p . Tích của hai ma trận A và B , ký
hiệu là AB , là ma trận cỡ m ´ p , được xác định bởi
(AB )
ij
= (A) (B ) + (A)
i1
1j
= Ai *B* j =
i2
(B )
2j
n
å (A) (B )
ik
k =1
kj
+ ... + (A)
in
(B )
nj
; "i = 1, m, j = 1, p .
Để có phần tử (AB ) , là phần tử nằm ở hàng i cột j của ma trận AB , ta lấy
ij
hàng i của A nhân với cột B , tức là từng cặp phần tử tương ứng theo thứ tự ở hàng i
của A và cột j của B nhân với nhau rồi cộng lại, có thể hình dung bằng sơ đồ
æ ..
çç
çç ..
çç
çç(A)
çç i 1
çç ..
çç
çè ..
..
..
(A)
..
..
ö÷ æ
÷÷ ç..
÷÷ çç
÷÷ çç..
.. (A) ÷÷÷ çç
in ç
÷ ..
..
.. ÷÷÷ ççç
÷ ç..
..
.. ø÷÷ çè
..
..
i2
..
..
..
(B )
(B )
..
:
..
(B )
..
1j
2j
nj
æ..
.. ..÷ö çç
÷÷ çç..
.. ..÷÷÷ ççç
÷÷ = ç..
.. ..÷÷÷ ççç
÷ ç..
.. ..÷÷÷ø çç
ççè..
..
..
..
..
..
(AB )
..
..
..
..
ij
.. ..ö÷
÷÷
.. ..÷÷
÷÷
.. ..÷÷÷ .
÷
.. ..÷÷÷
÷
.. ..÷÷ø
Ví dụ 1.2.11. Tính tích các ma trận
15
æ0
çç
çç-1
ç
(v1 ) AB = ç
çç 1
çç
çè 3
1ö÷
÷÷
2÷÷
÷÷
1÷÷
÷÷
2÷÷ø
4´2
æ2 -1 -2÷ö
ççç
÷÷
çè1 -2 3 ÷÷ø
2´3
æ 0 ´ 2 + 1´1
0 ´ (-1) + 1 ´ (-2)
0 ´ (-2) + 1 ´ 3 ö÷
çç
÷
çç(-1) ´ 2 + 2 ´ 1 (-1) ´ (-1) + 2 ´ (-2) (-1) ´ (-2) + 2 ´ 3÷÷
÷÷
= çç
÷
çç 1 ´ 2 + 1 ´ 1
1 ´ (-1) + 1 ´ (-2)
1 ´ (-2) + 1 ´ 3 ÷÷
÷÷
çç
çè 3 ´ 2 + 2 ´ 1
3 ´ (-1) + 2 ´ (-2)
3 ´ (-2) + 2 ´ 3 ÷÷ø
æ1 -2 3ö÷
çç
÷
çç0 -3 8÷÷
÷÷
= çç
.
÷
çç3 -3 1÷÷
÷÷
çç
çè8 -7 0÷÷ø
4´3
æ4ö÷
çç ÷
÷
(v2 ) 1 2 3 ççç5÷÷÷ = (1 ´ 4 + 2 ´ 5 + 3 ´ 6) = (32) .
1´1
1´3 ç ÷
çç6÷÷
è ø3´1
(
)
æ4ö÷
çç ÷
÷
(v3 ) ççç5÷÷÷ 1 2 3
ç ÷
çèç6÷ø÷
3´1
(
)
1´3
æ4 ´ 1 4 ´ 2 4 ´ 3ö÷ æ4 8 12÷ö
çç
÷÷ çç
÷÷
ç
= çç5 ´ 1 5 ´ 2 5 ´ 3÷÷÷ = ççç5 10 15÷÷÷
ç
÷ ç
÷
ççè6 ´ 1 6 ´ 2 6 ´ 2÷÷ø ççè6 12 18÷÷ø
3´3
Nhận xét 1.2.2. Muốn có tích AB thì số cột của phải bằng số hàng của B . Các tích
AB và BA nói chung không bằng nhau thậm chí một trong chúng hoặc cả hai không
tồn tại. Trường hợp đặc biệt khi A và B là hai ma trận vuông cùng cấp thì tích AB
và BA đều tồn tại, tuy nhiên, nói chung AB ¹ BA .
Tính chất 1.2.3. Dưới đây ta hiểu rằng nếu một tích trong hai vế có nghĩa thì tích ở vế
kia cũng có nghĩa. Ta có
a) AI n = A và I m A = A với A Î m´n .
b) (AB )C = A(BC ) := ABC .
c) A(B + C ) = AB + AC và (A + B )C = AC + BC .
d) (AB )T = BT AT . Tổng quát (A1A2 ...An ) = AnT ...A2T A1T .
T
Chứng minh.
a) Ta chứng minh đẳng thức thứ nhất (đẳng thức thứ hai được chứng minh tương
tự). Ta có
ì
ï1 khi i = j
I
=
( )ij ïíï0 khi i ¹ j với i, j = 1, n .
ï
î
16
nên
(AI )ij = (A) (I ) + (A)
i1
1j
i2
(I )
+ ... + (A) (I ) + ... + (A)
2j
ij
do trong các số (I ) , (I ) ,..., (I ) ,..., (I )
1j
2j
jj
jj
in
(I )
nj
= (A) , "i, j
ij
chỉ có (I ) = 1; còn lại đều bằng 0.
nj
jj
Điều này chứng tỏ AI = A.
b) Ta có
(
(AB )C
)
=
ij
p
å (AB ) (C ) =
ik
k =1
=
p
n
å (A)
il
l =1
kj
æ n
ö
çç (A) (B ) ÷÷ (C )
å
ççå
il
lk ÷
kj
÷ø
k =1 è l =1
p
n
å (B ) (C ) =
lk
k =1
å (A) (BC )
kj
il
l =1
lj
(
)
= A (BC ) , "i, j .
ij
Chứng tỏ (AB )C = A(BC ) .
c) Ta chứng minh đẳng thức thứ nhất (đẳng thức thứ hai được chứng minh tương
tự). Ta có
(
)
A (B + C )
ij
=
n
å (A) (B + C )
ik
k =1
kj
n
n
= å (A) (B ) + å (A) (C ) = (AB ) + (AC ) , "i, j ,
ik
k =1
kj
ik
k =1
kj
ij
ij
tức là A(B + C ) = AB + AC .
d) Ta có
Tö
æ
çèç(AB ) ÷ø÷ = (AB )ji =
ij
n
å (A)
k =1
T
ik
(B ) =
jk
( ) (A )
= å BT
k =1
n
kj
ki
(
= BT AT
n
å (A ) (B )
T
k =1
)
ij
T
kj
ik
, "i, j ,
tức là (AB )T = BT AT .
Trường hợp tổng quát được chứng minh bằng phương pháp quy nạp. Theo trên
đẳng thức đã đúng khi n = 2 . Giả sử đẳng thức đúng với n - 1 , tức là
(A A ...A )
T
1
2
n -1
= AnT-1 ...A2T A1T .
Suy ra
(
(A1A2 ...An-1An ) = (A1A2 ...An-1 ) An
T
(
)
T
(
= AnT An -1 ..A2 A1
)
T
)
= AnT AnT-1 ..A2T A1T = AnT AnT-1 ...A2T A1T .
Định nghĩa 1.2.6. Cho A Î n´n . Ta định nghĩa phép luỹ thừa ma trận như sau
A0 := I n , A1 := A, A2 := A ´ A,..., Ak +1 := Ak A = A
.A..A .
k +1
17
æ1 1ö÷
÷÷ . Ta có
Ví dụ 1.2.12. Cho A = ççç
çè0 1÷÷ø
æ1 1öæ
÷÷ çç1 1ö÷÷ æçç1 2÷÷ö
A2 = A.A = ççç
֍
÷=
÷,
çè0 1÷øè
÷ ç0 1÷ø÷ ççè0 1÷÷ø
æ1 2÷öæ1 1÷ö æ1 3÷ö
÷÷ çç
÷÷ = çç
÷÷ ,
A = A .A = ççç
ç
÷
çè0 1÷øèç0 1÷÷ø ççè0 1÷÷ø
3
2
æ1 3öæ
÷÷ çç1 1ö÷÷ æçç1 4ö÷÷
A4 = A3 .A = ççç
÷
÷=
÷ ,…
çè0 1÷÷øèçç0 1ø÷÷ èçç0 1÷÷ø
Dùng phương pháp quy nạp, ta được
æ1 k ÷öæ1 1÷ö æ1 k + 1÷ö
ç
ç
Ak +1 = Ak .A = ççç
÷÷÷ çç
÷÷÷ = çç
÷÷ .
1 ÷÷ø
çè0 1÷øèç0 1÷ø çè0
4) Các phép toán tuyến tính trên các hàng và cột. Cho trước k hàng ( k ma trận
hàng)
A1 = (a11 , a21,..., an 1 ), A2 = (a12 , a22 ,..., an 2 ),..., Ak = (a1k , a2k ,..., ank ) .
Lấy k số thực tuỳ ý l1, l2 ,..., lk . Khi đó, biểu thức
l1A1 + l2A2 + ... + lk Ak
là một hàng mới. Ta gọi biểu thức đó là tổ hợp tuyến tính của các hàng A1, A2 ,..., Ak .
Các số l1, l2 ,..., lk được gọi là các hệ số của tổ hợp tuyến tính đó. Mỗi cách chọn các
số l1, l2 ,..., lk ta được một tổ hợp tuyến tính của các hàng A1, A2 ,..., Ak .
Ví dụ 1.2.13. Cho
A1 = (1,1,1), A2 = (1,1, 2), A3 = (1, 2, 3).
Khi đó
0A1 + 0A2 + 0A3 = (0, 0, 0), 1A1 + 1A2 + 1A3 = (2, 4, 7),
2A1 + 1A2 + 0A3 = (3, 3, 4) , 0A1 + 3A2 + 2A3 = (5, 7,12),...
là các tổ hợp tuyến tính của các hàng A1, A2 , A3 .
Bây giờ, giả sử rằng ngoài các hàng A1, A2 ,..., Ak ta còn biết một hàng nữa
B = (b1 , b2 ,..., bn )
và hàng B là một tổ hợp tuyến tính nào đó của các cột A1, A2 ,..., Ak , tức là tồn tại các
số l1, l2 ,..., lk sao cho
18
l1A1 + l2A2 + ... + lk Ak = B .
(1.1)
Trong trường hợp này, ta nói rằng hàng B biểu diễn tuyến tính được qua các hàng
A1, A2 ,..., Ak .
Do định nghĩa hai ma trận bằng nhau, ta thấy hệ thức (1.1) tương đương với hệ
thức bằng số sau đây
ì
ï
l1a11 + l2a12 + ... + lk a1k = b1
ï
ï
ï
l1a21 + l2a22 + ... + lk a2k = b2
ï
ï
.
í
ï
...
ï
ï
ï
l a + l2an 2 + ... + lk ank = bn
ï
ï
î 1 n1
Giả sử rằng tất cả các hệ số l1, l2 ,..., lk trong (1.1) đều bằng 0. Khi đó B = O .
Điều này có nghĩa là hàng không O luôn là một tổ hợp tuyến tính của k hàng bất kỳ
A1, A2 ,..., Ak .
Nếu đặt li = 1 , còn tất cả các hệ số còn lại đặt bằng 0 ( lj = 0 với j ¹ i ) thì
(1.1) trở thành 1.Ai = B . Do đó, mỗi hàng Ai của nhóm A1, A2 ,..., Ak có thể xem như
một tổ hợp tuyến tính của nhóm A1, A2 ,..., Ak .
Định nghĩa 1.2.7. Các hàng A1, A2 ,..., Ak được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại
một tổ hợp tuyến tính của chúng là một hàng không O
l1A1 + l2A2 + ... + lk Ak = O ,
(1.2)
trong đó có ít nhất một trong các hệ số l1, l2 ,..., lk khác không. Các hàng
A1, A2 ,..., Ak được gọi là độc lập tuyến tính nếu chúng không phụ thuộc tuyến tính.
Lưu ý rằng, hàng không O luôn có thể biểu diễn tuyến tính qua các hàng cho
trước bằng cách lấy tất cả các hệ số trong tổ hợp tuyến tính bằng 0. Điều này không có
nghĩa là nhóm hàng đã cho phụ thuộc tuyến tính. Các hàng A1, A2 ,..., Ak là phụ thuộc
tuyến tính chỉ khi trong đẳng thức (1.2) có ít nhất một trong các hệ số l1, l2 ,..., lk
khác không. Còn nếu các hàng A1, A2 ,..., Ak là độc lập tuyến tính thì đẳng thức (1.2)
thoả mãn khi và chi khi tất cả các hệ số l1, l2 ,..., lk đều bằng 0.
Ví dụ 1.2.14. Xét các hàng
A1 = (1, 2, -1), A2 = (2, 3, 0), A3 = (0,1, -2), A4 = (3, 5,1).
Dễ kiểm tra lại rằng: 2A1 - A2 - A3 + 0A4 = O nên các hàng đó là phụ thuộc tuyến
tính.
Ví dụ 1.2.15. Các hàng
A1 = (1, 0, 0), A2 = (0,1, 0), A3 = (0, 0,1)
là độc lập tuyến tính. Thật vậy, đẳng thức
19
l1A1 + l2A2 + l3A3 = O
tương đương với
ì
ï
1l1 + 0l2 + 0l3 = 0
ï
ï
ï
í0l1 + 1l2 + 0l3 = 0
ï
ï
0l + 0l2 + 1l3 = 0
ï
ï
î 1
khi và chỉ khi l1 = l2 = l3 = 0 .
Định lý 1.1. Các hàng A1, A2 ,..., Ak là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có một hàng
nào đó trong số các hàng đó biểu diễn tuyến tính qua các hàng còn lại.
Chứng minh. Giả sử các hàng A1, A2 ,..., Ak là phụ thuộc tuyến tính. Khi đó theo định
nghĩa sẽ tồn tại các hệ số l1 ,..., lk không đồng thời bằng không và thoả mãn hệ thức
(1.2). Chẳng hạn giả sử li ¹ 0 (i Î {1,..., k }) . Khi đó từ hệ thức (1.2) có thể biểu diễn
hàng Ai như sau
Ai = -
1
(l A + ... + li-1Ai-1 + li+1Ai+1 + ... + lk Ak ) .
li 1 1
Ngược lại, nếu có một hàng Ar nào đó biểu diễn tuyến tính qua các hàng còn lại, tức là
Ar = m1A1 + ... + mr -1Ar -1 + mr +1Ar +1 + ... + mk Ak .
Chuyển Ar sang vế phải, ta được
m1A1 + ... + mr -1Ar -1 + (-1)Ar + mr +1Ar +1 + ... + mk Ak = O .
Hệ thức đó chứng tỏ có một tổ hợp tuyến tính của các hàng A1, A2 ,..., Ak bằng O ; các
hệ số của tổ hợp tuyến tính này là các số m1 ,..., mr -1 , -1, mr +1 ,..., mk có ít nhất một số
khác không (cụ thể là lr = -1 ). Do đó, theo định nghĩa, các hàng A1, A2 ,..., Ak phụ
thuộc tuyến tính.
Tương tự, ta cũng có thể đưa ra các khái niệm tổ hợp tuyến tính, biểu diễn tuyến
tính, phụ thuộc tuyến tính, độc lập tuyến tính của các cột (ma trận cột). Đồng thời, tất
cả các điều khẳng định ở trên vẫn đúng nếu ta thay từ “hàng” bằng từ “cột”.
Định lý 1.2. Cho A Î m´n , B Î n´p . Khi đó, ta có
a) (AB )i * = Ai *B = ai 1B1* + ai 2B2* + ... + ain Bn * ,
tức là hàng thứ i của tích AB là tổ hợp tuyến tính của các hàng của ma trận B .
b) (AB )* j = AB* j = b1 j A*1 + b2 j A*2 + ... + bnj A*n ,
tức là cột thứ j của tích AB là tổ hợp tuyến tính của các cột của ma trận A .
Chứng minh.
20
- Xem thêm -
.PDF 
93 
23 
55 
