Tài liệu Giáo trình cơ lý thuyết phần 2 - vũ duy cường

  • Số trang: 161 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 330 |
  • Lượt tải: 0
nguyen-thanhbinh

Đã đăng 10809 tài liệu

Mô tả:

66 PHAÀN II ÑOÄNG HOÏC Ñoäng hoïc laø moät phaàn cuûa cô hoïc lyù thuyeát, nghieân cöùu caùc tính chaát hình hoïc cuûa chuyeån ñoäng cuûa vaät theå. Ñoái töôïng khaûo saùt cuûa ñoäng hoïc laø vaät raén vaø ñoäng ñieåm (ñieåm hình hoïc chuyeån ñoäng). Ñoäng hoïc ngoaøi vieäc cung caáp kieán thöùc cho phaàn ñoäng löïc hoïc, coøn laø cô sôû trong moân hoïc chuyeån ñoäng. Ñoäng hoïc, ngoaøi vieäc cung caáp kieán thöùc cho phaàn ñoäng löïc hoïc, coøn laø cô sôû trong caùc moân hoïc khaùc nhö: cô caáu maùy, ñoäng hoïc maùy,... Chuyeån ñoäng cuûa vaät theå dieãn ra trong khoâng gian, troâi theo thôøi gian. Khoâng gian ôû ñaây ñöôïc choïn laø khoâng gian Eclit, thôøi gian troâi ñeàu theo moät chieàu taêng, luoân laáy thôøi ñieåm xuaát phaùt chuyeån ñoäng laøm goác (öùng vôùi t= 0). Khi khaûo saùt chuyeån ñoäng bao giôø cuõng phaûi choïn moät vaät chuaån ñöôïc goïi laø heä quy chieáu ñeå töø ñoù quan saùt vò trí cuûa vaät theå. Roõ raøng tính chaát chuyeån ñoäng cuûa vaät theå phuï thuoäc vaøo vieäc choïn heä quy chieáu. Ñeå thuaän lôïi trong tính toaùn, söû duïng ñöôïc caùc kieán thöùc toaùn hoïc, ngöôøi ta gaén vaøo quy chieáu (vaät raén chuaån) moät heä toïa ñoä thích hôïp. Nhö vaäy khaûo saùt chuyeån ñoäng cuûa vaät theå ñoái vôùi moät heä quy chieáu nghóa laø khaûo saùt chuyeån ñoäng cuûa vaät theå trong heä toïa ñoä naøo ñoù. Noäi dung khaûo saùt chuyeån ñoäng cuûa vaät theå bao goàm caùc vaán ñeà sau ñaây: 1- Laäp phöông trình chuyeån ñoäng: thieát laäp quan heä haøm soá giöõa caùc thoâng soá ñònh vò vôùi thôøi gian ñeå chæ ra vò trí cuûa vaät theå moät caùch lieân tuïc. Ñoái vôùi ñoäng ñieåm coøn coù theå chæ ra quyõ ñaïo. 2- Xaùc ñònh caùc ñaëc tröng cuûa chuyeån ñoäng, cuï theå laø vaän toác, gia toác. 68 6 Chöông ÑOÄNG HOÏC ÑIEÅM Noäi dung Khaûo saùt chuyeån ñoäng cuûa ñoái töôïng ñôn giaûn nhaát laø ñoäng ñieåm. Qua ñoù trình baøy moät caùch cuï theå noäi dung vaø phöông phaùp nghieân cöùu trong ñoäng hoïc. Yeâu caàu - Naém vöõng phöông phaùp thieát laäp phöông trình chuyeån ñoäng, caùc ñaïi löôïng ñaëc tröng cuûa ñoäng hoïc (vaän toác, gia toác) - Nhôù caùc coâng thöùc xaùc ñònh caùc ñaïi löôïng ñaëc tröng cuûa chuyeån ñoäng, moái quan heä giöõa chuùng, ñeå aùp duïng khi giaûi caùc baøi toaùn thöïc teá. Ñeå giaûi quyeát ñöôïc caùc yeâu caàu cuûa ñoäng hoïc ñieåm ñaët ra, chuùng ta coù theå söû duïng nhieàu phöông phaùp moâ taû chuyeån ñoäng khaùc nhau tuøy thuoäc vaøo tính chaát cuûa chuyeån ñoäng vaø muïc ñích chính caàn giaûi quyeát. Döôùi ñaây chuùng ta ñöa ra boán phöông phaùp nghieân cöùu ñoäng hoïc ñieåm. 6.1. KHAÛO SAÙT ÑOÄNG HOÏC ÑIEÅM BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP VECTOR VAØ TOÏA ÑOÄ DECARTES 1. Phöông trình chuyeån ñoäng Xeùt ñoäng ñieåm M chuyeån ñoäng trong khoâng gian. Neáu choïn moät ñieåm tuøy yù xaùc ñònh O laøm goác thì vò trí M z r hoaøn toaøn xaùc ñònh bôûi vector OM = r. k Khi M chuyeån ñoäng: r r r = r (t) Phöông trình (6.1) chính laø phöông trình chuyeån ñoäng cuûa M. M i x j O y (6.1) Hình 6.1 69 Taïi goác O, xaây döïng heä truïc Oxyz, vò trí cuûa M hoaøn toaøn xaùc ñònh bôûi: ⎧ x = x (t ) ⎪ ⎨ y = y (t ) ⎪z = z(t) ⎩ (6.2) chính laø phöông trình chuyeån ñoäng cuûa M trong heä toïa ñoä Decartes. 2. Vaän toác, gia toác Caùc ñaïi löôïng vaän toác, gia toác raát quen thuoäc. ÔÛ ñaây chæ ñöa ra caùc bieåu thöùc moâ taû chuùng trong caùc phöông phaùp nghieân cöùu töông öùng. 1 - Vaän toác Vaän toác ñoäng ñieåm kyù hieäu laø: V Phöông phaùp vector: V = dr r& =r dt (6.3) (Töø ñaây ñaïo haøm theo thôøi gian kí hieäu laø (.)) r r r Phöông phaùp toaï ñoä Decartes: V = Vx i + Vy j + Vz k ôû ñaây: Vx = dx dy dz & = x& ; Vy = = y& ; Vz = =z dt dt dt 2- Gia toác r Gia toác ñoäng kieåm kí hieäu laø w r r& d 2r r W = V = 2 = &r& dt r r& r& - Phöông phaùp toïa ñoä Decartes: W = Wx i + Wy j + Wzk - Phöông phaùp vector: ôû ñaây: Wx = &x&; Wy = &y&; (6.4) Wz = &z& 3. Tính chaát chuyeån ñoäng bieåu thò qua V , W 1- Ñoäng ñieåm chuyeån ñoäng thaúng V cuøng phöông vôùi W ⇔ V x W = 0 (6.5) 2- Ñoäng ñieåm chuyeån ñoäng cong V khaùc phöông vôùi W ⇔ V x W ≠ 0 2 Xeùt söï bieán thieân cuûa chuyeån ñoäng qua: V = V 2 töø 3- Ñoäng ñieåm chuyeån ñoäng nhanh daàn V taêng theo thôøi gian ⇔ V .W > 0 4- Ñoäng ñieåm chuyeån ñoäng ñeàu V giaûm theo thôøi gian ⇔ V .W = 0 5- Ñoäng ñieåm chuyeån ñoäng chaäm daàn ⇔ V .W < 0 2 dV = 2V.W dt (6.6) 70 6.2. KHAÛO SAÙT CHUYEÅN ÑOÄNG ÑIEÅM BAÈNG TOÏA ÑOÄ CÖÏC 1. Phöông trình chuyeån ñoäng Xeùt chuyeån ñoäng M treân maët phaúng Oxy, vò trí cuûa M hoaøn toaøn xaùc ñònh bôûi hai tham soá: y - Ñoä daøi r = OM - Goùc ñaïi soá giöõa Ox vaø OM : M P r Khi M chuyeån ñoäng, r vaø ϕ thay ñoåi theo thôøi gian: j Po ⎧r = r(t) ⎨ϕ = ϕ(t) ⎩ ro ϕ x i Hình6.26.2 Hình (6.7) (6.7) chính laø phöông trình chuyeån ñoäng. 2. Vaän toác, gia toác Goïi Or laø truïc cöïc coù höôùng döông theo chieàu OM vôùi vector ñôn vò laø r π ro . Quay OM theo chieàu ngöôïc kim ñoàng hoà moät goùc ta ñöôïc truïc OP coù 2 vector ñôn vò laø Po . Duøng quan heä chuyeån ñoåi truïc, ta coù: r r r r r ⎧⎪ ro = i cos ϕ + j sin ϕ r ⎨ r r r ⎪⎩P o = − i sinϕ + j cos ϕ rr r r r ⎧⎪ r&o = − i ϕ& sin ϕ + ϕ& cos ϕ = ϕ& .P o ⇒ ⎨r rr rr rr & ⎪⎩Po = − i ϕ& cos ϕ − j ϕ& sin ϕ = −ϕ& .ro (6.8) 1- Vaän toác Söû duïng (6.3) ta ñöôïc: trong ñoù: r r r r r d V = r& = (r.ro ) = r& .ro + r.r&o = Vr ro + VP P o dt r V = r&; V = rϕ& r (6.9) p 2- Gia toác trong ñoù: r r r d2 W = &r& = 2 (r.ro ) = Wr ro + Wp P o dt && + 2r& ϕ& Wr = &r& − r ϕ& 2; Wp = rϕ (6.10) 6.3. KHAÛO SAÙT CHUYEÅN ÑOÄNG ÑIEÅM BAÈNG TOÏA ÑOÄ TÖÏ NHIEÂN 1. PHÖÔNG TRÌNH CHUYEÅN ÑOÄNG Nhöõng tröôøng hôïp ñaõ bieát quyõ ñaïo cuûa ñoäng ñieåm, chuùng ta thöôøng khaûo saùt chuyeån ñoäng cuûa chuùng baèng toïa ñoä töï nhieân. O + M b τ ν Hình 6.3 Γ 71 Giaû söû quyõ ñaïo cuûa ñoäng ñieåm laø ( Γ ), neáu laáy ñieåm tuøy yù xaùc ñònh O ∈ Γ laøm goác vaø quy öôùc chieàu döông treân quyõ ñaïo, vò trí cuûa chuyeån ñoäng ñieåm M hoaøn toaøn xaùc ñònh thoâng qua ñoä daøi ñaïi soá s = OM. Khi M chuyeån ñoäng: (6.11) s = s(t) (6.11) laø phöông trình chuyeån ñoäng cuûa ñoäng ñieåm trong heä toïa ñoä töï nhieân. 2. Vaän toác, gia toác 1- Tam dieän ñoäng Frene Vaän toác ñaëc tröng caû höôùng chuyeån ñoäng trong khoâng gian, toïa ñoä s khoâng theå hieän ñöôïc vai troø naøy. Ñeå moâ taû ñöôïc höôùng chuyeån ñoäng cuûa ñoäng ñieåm (treân quyõ ñaïo) chuùng ta xaây döïng tam dieän ñoäng Frene. Xeùt tam dieän vuoâng Mτnb coù goác luoân truøng vôùi M, chuyeån ñoäng theo M r - τ laø vector ñôn vò tieáp tuyeán vôùi quyõ ñaïo taïi M theo chieàu döông. r r - n laø vector ñôn vò phaùp tuyeán chính vuoâng goùc vôùi τ , höôùng vaøo phía loõm cuûa quyõ ñaïo, naèm trong maët phaúng giôùi haïn ñi qua ba ñieåm M vaø hai ñieåm thuoäc quyõ ñaïo M1, M2 laân caän khi M1 vaø M2 tieán ñeán M (maät tieáp) r - b laø vector ñôn vò truøng phaùp tuyeán coù phöông chieàu sao cho M τ nb laø moät heä toïa ñoä vuoâng goùc thuaän. 2- Vaän toác Töø ñònh nghóa, chuùng ta coù toác ñoä cuûa ñoäng ñieåm: V = s& r - Neáu chuyeån ñoäng theo chieàu döông quyõ ñaïo, töùc V cuøng chieàu τ , toïa r ⇒ s& > 0 ñoä s taêng theo thôøi gian r - Neáu chuyeån ñoäng ngöôïc chieàu döông, töùc V ngöôïc chieàu τ , toïa ñoä s giaûm theo thôøi gian ⇒ s& < 0 r Keát hôïp, chuùng ta vieát ñöôïc: V = s& τ (6.12) 3- Gia toác r r& r r r rr r dτ d s &&r s& 2 r W = V = &s& τ + s& τ& = &s&τ + s& = sτ + n = Wτ τ + w nn d s dt ρ r (Chuù yù raèng τ ñoåi höôùng) Wτ = &s& - goïi laø gia toác tieáp trong ñoù: s& 2 V2 - goïi laø gia toác phaùp = Wn = ρ ρ ( (6.13) (6.14) (6.15) r dτ 1 r = n ñaõ ñöôïc chöùng minh ôû hình vi phaân vôùi ρ laø baùn kính cong cuûa quyõ ds ρ ñaïo taïi M). 72 6.4. MOÄT SOÁ CHUYEÅN ÑOÄNG ÑAËC BIEÄT 1. Chuyeån ñoäng thaúng Choïn phöông chuyeån ñoäng laøm truïc toïa ñoä (truïc x). Chuùng ta nhaän ñöôïc: phöông trình chuyeån ñoäng: x = x(t) Vaän toác : V = x& Gia toác : W = &x& Ví duï 6.1. Xeùt chuyeån ñoäng cuûa vò trí hình chieáu leân moät ñöôøng thaúng cuûa moät ñieåm thuoäc vaät quay quanh truïc coá ñònh vaän toác goác khoâng thay ñoåi ωo , caùch truïc quay ñoaïn a (H.6.4). Giaûi. Giaû söû thôøi ñieåm ñaàu ñoäng ñieåm truøng vôùi vò trí Mo, chuùng ta nhaän ñöôïc: M a x(t) = a cos(ϕ + α) = a cos(ωot + α) laø phöông trình chuyeån ñoäng. Vaän toác: V = x& = −aωo sin(ωot + α) Mo ϕ α xo x O x Hình 6.4 Hình 6.4 Gia toác : W = &x& = −aω2o cos(ωo t + α) = −ω2o x 2. Chuyeån ñoäng troøn Ví duï 6.2. Cho ñoäng ñieåm M chuyeån ñoäng treân ñöôøng troøn theo luaät OM = s = 2at . Töø phöông trình chuyeån ñoäng daïng toïa ñoä töï nhieân ta coù: r r V = s& τ = 2aτ r& r r V2 r 4a 2 r W = V = s& τ + n = 0+ n = Wnn R R V M Within I W + 0 3. Chuyeån ñoäng Xycôloâít Hình 6.5 Ví duï 6.3. Xeùt chuyeån ñoäng cuûa ñieåm M treân bieân cuûa ñöôøng troøn laên khoâng tröôït treân ñöôøng thaúng (H.6.6) coù vaän toác cuûa taâm laø V1 = const. Tìm quyõ ñaïo, V , W cuûa ñoäng ñieåm. Giaûi. y V W M O I ϕ 2πR A Hình 6.6 Hình 6.6 1- Phöông trình chuyeån ñoäng Laáy heä truïc toïa ñoä Oxy coù O truøng vôùi vò trí cuûa M khi tieáp xuùc ñöôøng thaúng coá ñònh. Taïi thôøi ñieåm baát kyø, vò trí M(x, y) ñöôïc xaùc ñònh: x 73 ⎧x = OA − R sin ϕ = AM − r sin ϕ ⎨ ⎩y = R − R cos ϕ = R(1 − cos ϕ) Vt V ôû ñaây: ϕ = 1 = ωt (ñaët ω = 1 , R - laø baùn kính cuûa ñöôøng troøn. R R ⎧x = V1t − R sin ωt Thay vaøo (6.17): ⎨ ⎩y = R − R cos ϕ = R(1 − cos ωt) (6.17) (6.18) Phöông trình (6.18) laø phöông trình chuyeån ñoäng daïng tham soá. Quyõ ñaïo cuûa noù laø ñöôøng cong Xycôloâít (H.6.6). 2- Vaän toác V ( V x , V y ) : Vx = x& = VΙ − Rω cos ωt = VΙ (1 − cos ωt) Vy = Rω sin ωt = VΙ sin ωt V = Vx2 + Vy2 = V1 .2 sin ω t 2 Vx 1 − cos ωt ωt ϕ = = tg = tg Vy sin ωt 2 2 xeùt: Suy ra V - coù phöông luoân ñi qua ñieåm cao nhaát cuûa ñöôøng troøn 3- Gia toác: W(Wx , Wy ): Wx = VΙω sin ωt ; Wy = VΙ ω cos ωt ⇒W= Wx2 + Wy2 = V1ω = Wx = tgωt = tgϕ . Wy xeùt: VΙ2 R Suy ra W - coù phöông ñi qua taâm I. 4- Tính baùn kính cong cuûa quyõ ñaïo (P) Wτ = VΙ2 ω sin t R 2 ω 4VΙ2 sin2 t V2 2 = 4R sin ω t = = 2 Wn VΙ2 ω sin t R 2 Wn = suy ra: ρ V2 dv d ω ω ω (VΙ .2 sin t) = VΙω cos t = Ι cos t = R 2 dt dt 2 2 W 2 − Wτ2 = Baùn kính cong taêng daàn töø chaân ñeán ñænh Xycôloâít. 4. Chuyeån ñoäng Parabol Ví duï 6.4. Ñoäng ñieåm chuyeån ñoäng theo quy luaät: ⎧⎪x = 300t ⎨ ⎪⎩y = 400t − 5t 2 (m, s) Tìm V , W, ñoä cao, taàm xa vaø baùn kính cong taïi ñoä cao cöïc ñaïi. Giaûi. 1- Vaän toác, gia toác 74 V (V x , V y ) : Vx = x = 300 ; Vy = y& = 400 − 10t V (Wx , Wy ) : Wx = &x& = 0 ; Wy = &y& = −10 2- Ñoä cao h Ñoäng ñieåm ñaït taïi ñoä cao h luùc: Vy = 0 ⇔ t = 40 s Tính ñöôïc: hmax = y(40) = 8000 (m) 3- Taàm xa S y h M S O x Hình 6.7 Hình 6.7 Taàm xa S laø toïa ñoä x cuûa ñoäng ñieåm töông öùng thôøi ñieåm y = 0 ⇒ 80 (s), (t = 0 loaïi) Tính ñöôïc : S = x(80) = 24.000 (m) 4- Baùn kính cong ρ (hmax ) Taïi vò trí khaûo saùt: V(40) = Vx (40) = 300 (m) Ñeå tìm Wn, ta tìm Wτ vaø W. V 2 = Vx2 + Vy2 ⇒ V = & = Wτ = V ⇒ Wn = 250.000 − 8000t + 100t 2 200t − 8000 2 250.000 − 8000t + 100t 2 300 W 2 − Wτ2 = 2500 − 80t + t 2 Taïi t = 40 coù ρ = V2 Wn t = 40 = 9000 (m) t= 75 Chöông 7 CHUYEÅN ÑOÄNG CÔ BAÛN CUÛA VAÄT RAÉN Noäi dung Khaûo saùt hai chuyeån ñoäng cô baûn cuûa vaät raén laø chuyeån ñoäng tònh tieán vaø quay quanh truïc coá ñònh, laøm cô sôû ñeå nghieân cöùu caùc chuyeån ñoäng phöùc taïp khaùc. Yeâu caàu - Naém vöõng ñaëc ñieåm cuûa chuyeån ñoäng tònh tieán - Naém vöõng caùc ñaëc tröng moâ taû vaät chuyeån ñoäng quay quanh truïc coá ñònh vaø caùc coâng thöùc xaùc ñònh chuùng - Naém vöõng caùc coâng thöùc lieân heä ñaëc tröng chuyeån ñoäng cuûa vaät vaø ñieåm thuoäc vaät 7.1. CHUYEÅN ÑOÄNG TÒNH TIEÁN CUÛA VAÄT RAÉN 1. Ñònh nghóa Chuyeån ñoäng tònh tieán cuûa vaät raén laø chuyeån ñoäng maø moãi ñoaïn thaúng thuoäc vaät coù phöông khoâng ñoåi trong suoát quaù trình chuyeån ñoäng. Ví duï: - Thuøng xe chuyeån ñoäng treân ñöôøng thaúng - Vaät raén AB trong cô caáu boán khaâu hình bình haønh (H.7.1) A B Hình Hình7.17.1 2. Ñaëc ñieåm cuûa chuyeån ñoäng tònh tieán Ñònh lyù. Khi vaät raén chuyeån ñoäng tònh tieán, vaän toác, gia toác cuûa moïi ñieåm thuoäc vaät töông öùng baèng nhau quyõ ñaïo cuûa chuùng gioáng nhau. Chöùng minh. Xeùt hai chuyeån ñoäng tuøy yù A, B thuoäc vaät S chuyeån ñoäng tònh tieán (H.7.2), chuùng ta coù: r r rB = rA + AB ( 76 Vaän toác: Gia toác: r& r r V B = r&B = r&A = VA (do AB = const) r& r& WB = VB = VA = W A (7.2) (7.3) - Quyõ ñaïo: giaû söû quyõ ñaïo cuûa A laø ΓA , töø z B (7.1) ñieåm B coù quyõ ñaïo ΓB chính laø ΓA dòch rB A chuyeån tònh tieán ñoä dôøi AB , vaäy hai quyõ ñaïo phaûi r gioáng nhau. y O Nhaän xeùt: x - Töø ñaëc ñieåm cuûa chuyeån ñoäng tònh tieán, ñeå Hình 7.2 khaûo saùt chuyeån ñoäng cuûa caû vaät, chuùng ta chæ caàn khaûo saùt chuyeån ñoäng cuûa moät ñieåm thuoäc vaät - Chuùng ta noùi vaät raén chuyeån ñoäng tònh tieán thaúng, troøn... coù nghóa laø ñieåm thuoäc vaät chuyeån ñoäng thaúng, troøn... A 7.2. CHUYEÅN ÑOÄNG QUAY QUANH TRUÏC COÁ ÑÒNH CUÛA VAÄT RAÉN 1. Ñònh nghóa Vaät raén chuyeån ñoäng coù hai ñieåm coá ñònh laø vaät raén quay quanh hai truïc coá ñònh ñi qua hai ñieåm ñoù. 2. Khaûo saùt chuyeån ñoäng caû vaät 1- Phöông trình chuyeån ñoäng z Xeùt maët phaúng P gaén chaët vaøo vaät vaø chöùa truïc quay. Xaùc ñònh vò trí cuûa vaät töông ñöông xaùc ñònh vò trí cuûa (P). Laäp maët phaúng chöùa truïc quay ( π ) coá ñònh, vò trí cuûa (P) hoaøn toaøn xaùc ñònh bôûi goùc nhò dieän ϕ giöõa ( π ) vaø (P) (H.7.3). ω k ϕ = ϕ(t) (7.4) ε P π Khi vaät raén chuyeån ñoäng, ϕ laø haøm cuûa thôøi gian: ϕ y O x Hình 7.3 Phöông trình (7.4) chính laø phöông trình chuyeån ñoäng cuûa vaät raén. Chuùng ta quy öôùc chieàu quay döông ( ϕ > 0 ) neáu nhö nhìn töø ñænh truïc quay vaät quay theo chieàu ngöôïc chieàu kim ñoàng hoà, ( ϕ < 0 ) neáu quay ngöôïc laïi. 2- Vaän toác goùc • Vaän toác goùc cuûa vaät raén quay quanh truïc coá ñònh Vaän toác goùc cuûa vaät raén quay quanh truïc coá ñònh laø ñaïi löôïng ñaïi soá: ω = ϕ& - Vaät quay chieàu döông : ω > 0 (7.5) 77 - Vaät quay chieàu aâm - Ñôn vò rad/s : ω<0 Trong kyõ thuaät coøn duøng ñôn vò voøng/phuùt: n voøng/phuùt ⇔ nπ rad / s 30 • Vector vaän toác goùc Ñeå theå hieän ñöôïc phöông cuûa truïc quay thoâng qua vector ñôn vò chæ r phöông ( k ), chuùng ta ñònh nghóa vector vaän toác goùc ω laø vector naèm treân truïc quay (bieåu dieãn theâm moät muõi teân voøng) (H.7.3): r r& ω = ϕ& k (7.6) r Nhö vaäy, neáu bieát ω chuùng ta bieát phöông truïc quay, chieàu quay vaø vaän toác quay. 3- Gia toác goùc • Gia toác goùc vaät raén quay quanh truïc coá ñònh && Laø ñaïi löôïng : ε = ω& = ϕ (7.7) r • Vector gia toác ε r r r r && k Töông töï ω chuùng ta coù : ε = ω& k = ϕ r r 4- Tính chaát cuûa chuyeån ñoäng qua ω , ε Töông töï aûnh höôûng cuûa V , W ñeán chuyeån ñoäng, chuùng ta xeùt bieán thieân r cuûa ω2 = ω2 : r dω2 r r 2.ω.ε dt rr ω.ε = 0 ⇔ vaät raén quay ñeàu r r rr ⇔ ω.ε > 0 ( ω, ε cuøng chieàu) vaät raén quay nhanh daàn r r rr ω.ε < 0 ( ω, ε ngöôïc chieàu) ⇔ vaät raén quay chaäm daàn 3. Khaûo saùt chuyeån ñoäng thuoäc ñieåm vaät 1- Phöông trình chuyeån ñoäng Xeùt M thuoäc vaät caùch truïc quay Δ ñoaïn IM = r Khi vaät chuyeån ñoäng vaïch neân quyõ ñaïo troøn trong maët phaúng vuoâng goùc truïc quay coù taâm I (H.7.4). Choïn ñieåm O treân quyõ ñaïo truøng vôùi vò trí ñaàu cuûa M laøm goác, ta nhaän ñöôïc phöông trình chuyeån s = OM = r.ϕ(t) ñoäng: 2- Vaän toác • Phaân boá vaän toác treân tia baùn kính thuoäc maët phaúng quyõ ñaïo AÙp duïng: V = s& τ Δ ω r I ϕ O Hình 7.4 M 78 r s& = ΙM.ϕ& = r ω r ⇒ V = rωτ r r Neáu choïn τ cuøng chieàu quay: V = rωτ trong ñoù: Döïa vaøo (7.10) treân moät tia baùn kính, vaän toác caùc ñieåm phaân boá tuyeán tính theo luaät tam giaùc vuoâng (H.7.6) taêng theo r heä soá ω : V = r ω r • Bieåu dieãn vaän toác qua ω r r r Chuùng ta deã daøng kieåm chöùng: V = ω × OM = ω × ρ (H.7.6) ÔÛ ñaây O laø ñieåm thuoäc truïc quay. 3- Gia toác ε • Bieåu dieãn treân maët phaúng quyõ ñaïo (H.7.5) W = Wτ + Wn r r Wτ = &s& τ = r ε τ ω Within α Wτ r V2 r Wn = n = r ω2n r VM Ι r r W M Hình 7.5 Xeùt moät ñieåm thuoäc tia baùn kính coù: tgα = Wτ ε - khoâng phuï thuoäc vaøo vò trí cuûa ñieåm = Wn ω2 Coøn ñoä lôùn: W = Wτ2 + Wn2 = r ε2 + ω4 Tæ leä vôùi khoaûng caùch r heä soá Δ ε2 + ω4 W phaân boá treân moät tia baùn kính theo quy luaät tuyeán tính tam giaùc nhoïn (H.7.5) r r • Bieåu dieãn qua ω, ε (H.7.6) dV = dt r r = ε×ρ + r r ôû ñaây: W τ = ε × ρ ; W = d r r (ω × ρ) dt r ω × V = Wτ + Wn r Wn = ω × V I ω Wn M Wτ ρ ε O Hình 7.6 7.3. CAÙC CÔ CAÁU TRUYEÀN ÑOÄNG CÔ BAÛN 1. Söï caàn thieát cuûa caùc boä truyeàn löïc Trong moät maùy hoaëc heä thoáng maùy, ñoäng cô (khaâu ñaàu) chæ taïo ra chuyeån ñoäng ñôn giaûn (thöôøng laø quay quanh truïc coá ñònh). Caùc nhaø thieát keá phaûi taïo ra boä phaän trung gian (khaâu daãn) ñeå bieán ñoåi chuyeån ñoäng cuûa ñoäng cô thaønh nhöõng chuyeån ñoäng theo yù muoán ôû khaâu coâng taùc. 79 2. Caùc boä truyeàn ñôn giaûn 1- Truyeàn chuyeån ñoäng quay quanh truïc coá ñònh thaønh chuyeån ñoäng quay quanh truïc coá ñònh (thay theá cheá ñoä quay) song song vôùi nhau Duøng daây ñai, xích, baùnh raêng... (H.7.7) R1 R1 R2 ω1 R2 O1 O2 ω1 ω2 O2 O1 ω2 R1 R2 O2 R1 R2 O2 O1 O1 ω1 ω2 ω2 Hình 7.7 ω1 R ⎛ Z ⎞ ω1 ε = 1 = ± 2 ⎜= ± 2 ⎟ R1 ⎝ Z1 ⎠ ω2 ε2 Z1, Z2 - laø soá raêng töông öùng cuûa caùc baùnh raêng 1 vaø 2 Trong coâng thöùc (7.11) hai baùnh raêng quay cuøng chieàu ta laáy daáu coäng, ngöôïc chieàu laáy daáu (−). 2- Truyeàn ñoäng cô caáu cam V2 V2 ω V1 O Tònh tieán 7.4. CAÙC VÍ DUÏ tònh tieán Hình 7.8 Quay tònh tieán Ví duï 7.1. Cho cô caáu truyeàn ñoäng nhö H.7.9, bieát goùc quay cuûa truï O laø ϕ = (a 2)t 2 coù chieàu nhö H.7.9. Xaùc ñònh ω, ε cuûa truï O1 cuõng nhö chuyeån ñoäng cuûa taûi A. Giaûi. • Phaân tích chuyeån ñoäng Cô caáu goàm ba vaät raén chuyeån ñoäng: 80 - Truï O vaø O1 quay quanh caùc coá ñònh töông öùng coù quan heä truyeàn ñoäng baùnh raêng tieáp xuùc ngoaøi. - Taûi A chuyeån ñoäng tònh tieán thaúng ñöùng. • Vaän toác, gia toác: (choïn chieàu quay laø chieàu döông) && = at ; ε = ϕ && = a - Truï O: ω = ϕ R R R ω= at ; R1 R1 O1 O truïc I ω ε Truï quay nhanh daàn ñeàu theo chieàu hình veõ - Truï O1 (laáy chieàu quay laøm chieàu döông) ω1 = R1 r1 A Hình 7.9 &1 = R ε = R a ε1 = ω R1 R1 Truï O1 cuõng quay nhanh daàn ñeàu theo chieàu hình veõ - Taûi A: quaõng ñöôøng cuûa taûi A vaø cuûa daây laø nhö nhau vaø cuõng baèng quaõng ñöôøng cuûa ñieåm thuoäc truï o1 caùch truïc moät ñoaïn r1. ⎧ V = r ω = r1R at 1 1 ⎪⎪ A R1 ⇒⎨ & = r1R a = (= r ε ) ⎪W = V A 1 1 ⎪⎩ A R1 Taûi A chuyeån ñoäng ñi leân nhanh daàn ñeàu. Ví duï 7.2. Cho cô caáu truyeàn ñoäng giöõa hai truïc vuoâng goùc vôùi nhau nhö H.7.10. Giaû thieát khoâng coù söï tröôït töông ñoái theo chieàu quay. Bieát truïc I dòch chuyeån doïc truïc theo luaät x = 0,1 + 0,2t (m,s) ñoàng thôøi quay quanh truïc vôùi vaän toác goùc 120 voøng/ phuùt. Tìm chuyeån ñoäng cuûa truïc II. x 0,4 I R1 = 0,4 R2 = x OII OI ω1 E ε2 ω1 ω2 ω2 Hình 7.11 Hình 7.10 ε2 II Giaûi. Hai truïc quay tieáp xuùc taïi E. Töông töï caùc baùnh raêng tieáp xuùc ngoaøi, chæ khaùc laø hai truïc vuoâng goùc (H.7.11). 81 ⇒ ω2 = hay: ω2 = R1 0,4 .120 (voøng/phuùt) ω = x 1 0,1 + 0,2t 1,6π 0,32π &2 = − (rad / s) ⇒ ε2 = ω 0,1 + 0,2t (0,1 + 0,2t)2 Chöùng toû truïc II quay chaäm daàn. Ví duï 7.3. Xaùc ñònh chuyeån ñoäng cuûa caàn cam AB cuûa cô caáu cam (H.7.12). Ñóa troøn baùn kính R; OI = l ; quay ñeàu vaän toác goùc ω o Giaûi. • Phaân tích chuyeån ñoäng - Caàn cam AB tònh tieán thaúng ñöùng V2 ω A R O ϕ β α I - Cam quay ñeàu quanh truïc O • Phöông trình chuyeån ñoäng Hình 7.12 Ñeå tìm chuyeån ñoäng cuûa caàn cam chuùng ta caàn tìm OA = x(t), choïn truïc x höôùng leân treân. Giaû söû vò trí ban ñaàu cuûa caûm öùng ϕo = 0 . ⇒ OA = x = R cos β − l cos ϕ AÙp duïng: l R R l sin ϕ = = → sin β = sin β sin α sin ϕ R cos β = l R R 2 − l 2 sin 2 ϕ ⇒ phöông trình chuyeån ñoäng cuûa caàn AB: x = l R 2 − l 2 sin 2 ω o t − l cos ω o t • Vaän toác V = x& = lωo sin ωo t − l2ωo sin 2ωo t 2 R 2 − l2 sin2 ωo t • Gia toác W = v& = &x& = = 1ω2o cos ωot − 1612 ω2o sin 2ωot(R2 − 12 sin2 ωot) − 12 ω2o sin2 2ωot 16(R2 − 12 sin2 ωot)3 / 2 82 Chöông 8 CHUYEÅN ÑOÄNG PHÖÙC HÔÏP CUÛA ÑIEÅM 8.1. MOÂ HÌNH BAØI TOAÙN VAØ CAÙC ÑÒNH NGHÓA 1. Moâ hình baøi toaùn Nhieàu tröôøng hôïp trong thöïc teá yeâu caàu chuùng ta phaûi khaûo saùt ñoäng ñieåm trong nhöõng heä quy chieáu khaùc nhau. Chaúng haïn z j k nhö con laéc dao ñoäng ñoái vôùi traàn xe ñang i O chaïy treân ñöôøng. Nhöõng baøi toaùn loaïi naøy ñöôïc giaûi quyeát thoâng qua moâ hình toång quaùt k X j i sau. y O Ñoäng ñieåm M chuyeån ñoäng trong heä Hình 8.1 x quy chieáu Oxyz. Heä quy chieáu Oxyz laïi chuyeån ñoäng ñoái vôùi heä quy chieáu O1x1y1z1 ñöôïc xem laø heä coá ñònh (H.8.1). Vaán ñeà ñaët ra ôû ñaây laø khaûo saùt chuyeån ñoäng cuûa M trong töøng heä quy chieáu vaø quan heä giöõa caùc chuyeån ñoäng naøy. 2. Caùc ñònh nghóa 1 1 1 1 1 1 1 1- Chuyeån ñoäng töông ñoái Chuyeån ñoäng cuûa M(x,y,z) trong heä ñoäng Oxyz ñöôïc goïi laø chuyeån ñoäng töông ñoái. Ñaây laø chuyeån ñoäng maø ngöôøi quan saùt caûm nhaän ñöôïc khi gaén chaët mình vôùi heä ñoäng (Oxyz). r Vaän toác töông ñoái : V r (hoaëc V ) r Gia toác töông ñoái : W r (hoaëc V ) laø vaän toác vaø gia toác trong chuyeån ñoäng töông ñoái. Caùc ñaïi löôïng naøy ñöôïc xaùc ñònh ñoái vôùi heä ñoäng (Oxyz). r r r Chuù yù: Caùc vector ñôn vò chæ phöông cuûa heä ñoäng i, j , k coá ñònh trong heä ñoäng nhöng bieán thieân (quay) trong heä coá ñònh (O1 x1 y1 z1). Chuùng ta nhaän ñöôïc: 83 Wr = ( ) r r r d x i + y j + zk dt Vr = dOM dt Oxyz = dV R dt Oxyz = d & r &r & r x i + y j + zk dt ( ) Oxyz Oxyz r r r = x& i + y& j + z& k (8.1) r r r = &x& i + &y& j + &z&k (8.2) 2- Chuyeån ñoäng tuyeät ñoái Chuyeån ñoäng cuûa ñieåm M(x1, y1, z1) ñoái vôùi heä coá ñònh O1x1y1z1 ñöôïc goïi laø chuyeån ñoäng tuyeät ñoái. a a Vaän toác tuyeät ñoái V a (hoaëc V ), gia toác tuyeät ñoái Wa (hoaëc W ) laø vaän toác, gia toác ñöôïc tính trong chuyeån ñoäng tuyeät ñoái. Chuù yù ñeán tính chaát caùc vector ñôn vò cuûa töøng heä toïa ñoä. Chuùng ta nhaän ñöôïc: Va = dO1M dt O1 x1 y1z1 = d (O O + OM) dt 1 O1 x1 y1z1 (8.3) • r& r r r r& r& = O1O+ x& i + y& i + z& k + x i + y j + zk Wa = d Va dt O1x1y1z1 •• ( ) r r r r r r &r& &r& &r& = O1O + x i + y j + zk + 2 &x& i + &y& j + &z&k + &x& i + &y& j + +&z&k (8.4) 3- Chuyeån ñoäng theo Chuyeån ñoäng cuûa heä ñoäng ñoái vôùi heä coá ñònh ñöôïc goïi laø chuyeån ñoäng theo. Ñeå ñoäng ñieåm M theå hieän ñöôïc chuyeån ñoäng theo chuùng ta ñöa ra khaùi nieäm truøng ñieåm M* cuûa M laø ñieåm thuoäc heä ñoäng nhöng truøng vôùi ñoäng ñieåm M taïi vò trí ñang xeùt. e Töông öùng chuùng ta coù vaän toác theo: V = V M* Gia toác theo: W = W M* e Chuù yù: taïi thôøi ñieåm ñang xeùt: * * O1M ≡ O1O + OM r r r r r * * * * ⎛ ⎞ ⇔ O1M ≡ O1O + ⎜ x i + y j + z k ⎟ = O1O + x i + y j + zk (do M ≡ M* ) ⎝ ⎠ Chuù yù: M* coá ñònh trong heä ñoäng Oxyz neân caùc toïa ñoä x, y, z cuûa M taïi vò trí naøy ñöôïc xem laø caùc haèng soá. e ⇒ V = * dO1M dt O1 x1 y1z1 •• r& r& r& = O1O + x i + y j + zk (8.5) 84 dV W = dt e e •• O1 x1 y1z1 &r& &r& &r& = O1O + x i + y j + zk (8.6) 8.2. CAÙC ÑÒNH LYÙ HÔÏP VAÄN TOÁC, GIA TOÁC 1. Ñònh lyù hôïp vaän toác Vaän toác tuyeät ñoái cuûa ñoäng ñieåm baèng toång hình hoïc vaän toác töông ñoái vaø vaän toác theo. (8.7) Va = Vr + Ve Chöùng minh. Söû duïng (8.1), (8.3) vaø (8.5), chuùng ta coù ngay keát quaû. 2. Ñònh lyù hôïp gia toác Gia toác tuyeät ñoái cuûa ñoäng ñieåm baèng toång hình hoïc gia toác töông ñoái, gia toác theo vaø thôøi gia toác phuï coârioâlit WC . (8.8) Wa = Wr + We + WC r WC = 2 ωe × V r ( trong ñoù: ) (8.9) Chöùng minh. Söû duïng (8.2), (8.4) vaø (8.6) chuùng ta coù keát quaû (8.8) trong ñoù r& r& r& Wc = 2⎛⎜ x& i + y& j + z& k ⎞⎟ ⎠ ⎝ r 1- Tröôøng hôïp heä ñoäng tònh tieán ( ωe = 0 ) r& r& r& Chuùng ta coù ngay: i = j = k = 0 ⇒ Wc = 0 (8.10) 2- Tröôøng hôïp heä ñoäng quay quanh truïc coá ñònh (H.8.2) r& r& r& Caùc vector i, j, k töông öùng laø vaän toác ñaàu muùt cuûa chuùng. Söû duïng (7.13): Δ r& r r r& r r j = ωe × j; k = ωe × k; r r r r (8.10) ⇒ WC = 2ωe × x& i + y& j + z& k r (8.1) ⇒ WC = 2ωe × V r r r& r i = ωe × i; ( ) Ngay caû khi heä ñoäng chuyeån ñoäng toång quaùt coâng r thöùc (8.9) vaãn ñuùng nhöng ωe laø vaän toác goùc töùc thôøi doïc j k i y O theo truïc quay töùc thôøi. Hình Hình 8.2 8.2 x 3- Phöông phaùp thöïc haønh xaùc ñònh W c Töø coâng thöùc (8.1) chuùng ta deã daøng suy ra gia toác W c W c = 2ωe Vr⊥ . Höôùng truøng höôùng cuûa Vr⊥ khi ñaõ quay theo chieàu quay cuûa ωe goùc π 2 . r ÔÛ ñaây Vr⊥ laø hình chieáu cuûa V r leân phöông vuoâng goùc vôùi vector ωe. 8.3. PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI CAÙC BAØI TOAÙN CHUYEÅN ÑOÄNG PHÖÙC HÔÏP Nhöõng baøi toaùn trong chöông naøy ñöôïc chia theo caùc daïng sau: 85 - Baøi toaùn tìm phöông trình chuyeån ñoäng: ví duï (8.1) - Baøi toaùn toång hôïp: bieát caùc chuyeån ñoäng thaønh phaàn (töông ñoái, theo) tìm chuyeån ñoäng tuyeät ñoái (caùc ví duï 8.2, 8.3, 8.4) - Baøi toaùn phaân tích: bieát chuyeån ñoäng tuyeät ñoái tìm caùc chuyeån ñoäng thaønh phaàn (caùc ví duï 8.5, 8.6, 8.7). Tuy nhieân cuõng coù nhöõng baøi toaùn hoãn hôïp bao goàm töøng phaàn cuûa caùc loaïi baøi toaùn treân. Ñeå giaûi ñöôïc caùc loaïi baøi toaùn naøy chuùng ta caàn phaûi: 1- Naém vöõng caùc ñònh nghóa veà chuyeån ñoäng 2- Choïn heä ñoäng phuø hôïp vôùi töøng baøi toaùn (thöôøng choïn vaät raén sao cho caùc ñieåm chuùng ta caàn xaùc ñònh chuyeån ñoäng hay moâ taû chuyeån ñoäng lieân quan tröïc tieáp ñeán vaät raén naøy). 3- Bao giôø cuõng giaûi caùc ñaïi löôïng thuoäc veà vaän toác tröôùc baèng caùch aùp duïng tröïc tieáp: Va = Ve + Vr 4. Sau khi giaûi ñöôïc caùc ñaïi löôïng vaän toác chuùng ta söû duïng phöông trình: n τ n τ n r Vieát moät caùch toång quaùt: W a + W a = W e + W e + W r + 2ωe × V r ⊥ Chieáu phöông trình vector naøy leân caùc truïc thích hôïp chuùng ta seõ giaûi ñöôïc caùc ñaëc tröng gia toác. 8.4. CAÙC VÍ DUÏ Ví duï 8.1. Baêng ñeå ghi dao ñoäng tònh tieán theo phöông Ox vaän toác 2 m/s. Ñaàu buùt (gaén vaøo vaät dao ñoäng theo phöông Oy) veõ leân baêng ñöôøng hình sin vôùi bieân ñoä AB = 2,5 cm; O1C = 8 cm. Tìm phöông trình dao ñoäng cuûa vaät neáu ñieåm O öùng vôùi vò trí cuûa vaät luùc t = 0. y1 V = 2 m/s y B x O1 A O C 1 x Hình 8.3 Giaûi. Chuùng ta caàn tìm dao ñoäng cuûa ñieåm ñaàu buùt, ñieåm naøy lieân heä tröïc tieáp vôùi baêng giaáy. Choïn baêng giaáy laøm heä ñoäng, ñöôøng hình sin treân baêng chính laø quyõ ñaïo töông ñoái cuûa ñieåm thuoäc vaät (vaät chuyeån ñoäng tònh tieán). Xaây döïng heä Oxy coá ñònh, heä O1x1y1 gaén chaët vaøo baêng giaáy laøm heä ñoäng, töø H.8.3 chuùng ta nhaän ñöôïc phöông trình chuyeån ñoäng töông ñoái cuûa ñieåm thuoäc vaät (ñaàu buùt): 86 ⎧x 1 = 200t ⎨ ⎩y 1 = 2.5 sin ω1 t (cm/s) Taàn soá voøng ω1 ñöôïc tính qua chu kyø T = 8/200 = 0,04 s ⇒ ω1 = 2π T = 50π Duøng pheùp ñoåi toïa ñoä chuùng ta nhaän ñöôïc phöông trình dao ñoäng cuûa vaät: Ví duï 8.2. Moät con thuyeàn bôi qua soâng coù vaän toác so vôùi maët nöôùc yeân laëng laø r u, doøng soâng chaûy vôùi toác ñoä v. Chieàu roäng cuûa soâng laø h. Tìm höôùng cuûa u ñeå con thuyeàn qua soâng nhanh nhaát ? r Giaûi. Giaû söû ngöôøi laùi thuyeàn cho thuyeàn chaïy theo höôùng u nhö H.8.4. AÙp duïng coâng thöùc hôïp vaän toác khi choïn maët nöôùc laøm heä ñoäng r r Va = u + v y Chieáu phöông trình vector leân hai truïc x, y: ⎧Vax = x& = u sin α + v ⇒ ⎨ ⎩Vay = y& = u cos α α u h v M Laáy tích phaân theo t töø thôøi ñieåm (xuaát phaùt) ñeán thôøi ñieåm ñang xeùt chuùng ta nhaän ñöôïc: O VA x Hình8.4 8.4 Hình ⎧x = (u sin α + v) . t ⇒ ⎨ ⎩y = u cos α .. t Khi caäp beán: y = h ⇒ t = h laø thôøi ñieåm caäp beán u cos α Quaõng ñöôøng thuyeàn troâi doïc theo bôø soâng luùc caäp beán laø: x = u sin α + v) h hv = htgα + u cos α u cos α Muoán qua soâng nhanh nhaát: α = 0, t min = h u ⇒ höôùng cho thuyeàn ñi vuoâng goùc vôùi bôø soâng. Ví duï 8.3. Boä phaän ñieàu tieát ly taâm quay quanh truïc thaúng ñöùng vôùi vaän toác goác khoâng ñoåi ωo = 6rad / s . Caùc quaû vaêng gaén vaøo ñaàu cuoái cuûa loø xo thöïc hieän dao ñoäng trong raõnh sao cho khoaûng caùch töø troïng taâm I cuûa noù tôùi truïc quay bieán thieân theo luaät: ωo n WC Ve Wr We Vr O I Hình 8.5 x
- Xem thêm -