Giáo án ôn thi vào 10.
GV : Nguyễn Tài Minh
Chuyên ñề 1.
CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BA
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ :
1. Bảy hằng ñẳng thức ñáng nhớ.
x ≥ 0
x 2 = a
2. Căn bậc hai số học : Với a ≥ 0 , ta có : x = a ⇔
Lưu ý : Với a ≥ 0 thì
2
( a)
=a.
3. A có nghĩa ⇔ A ≥ 0
4. Các phép toán biến ñổi căn bậc hai.
+) Hằng ñẳng thức căn bậc hai :
A khi A ≥ 0
A 2 = A =
;
−A khi A < 0
+) Khai phương một tích và nhân các căn bậc hai :
A.B = A. B
+) Khai phương một thương và chia hai căn bậc hai :
+) ðưa thừa số ra ngoài dấu căn bậc hai :
+) ðưa một thừa số vào dấu căn bậc hai :
A B = − A2B
A2B = A B
A
1
=
B B
AB
( A ≥ 0,B > 0 ) .
( B ≥ 0 ) .;
A B = A2B
( A < 0, B ≥ 0 ) ;
+) Khử mẫu của biểu thức lấy căn :
A
A
=
B
B
( A ≥ 0,B ≥ 0 ) .
( A ≥ 0, B ≥ 0 ) ;
( AB ≥ 0,B ≠ 0 ) ;
+) Trục căn thức ở mẫu :
A
A B
=
( B > 0) ;
B
B
(
)
(
)
C A− B
C
=
A−B
A+ B
C A+ B
C
=
A−B
A− B
( A ≥ 0, B ≥ 0, A ≠ B) .
( A ≥ 0, B ≥ 0, A ≠ B) .
B. VÍ DỤ.
Ví dụ 1. Thực hiện phép tính.
11 − 2 10 ;
b.
9 − 2 14 ;
c. 13 − 2 42 ;
d.
46 + 6 5 ;
a.
e. 12 − 3 15 ;
f. 21− 8 5 .
Ví dụ 2. Tìm ðKXð của các biểu thức sau ñây :
a.
−3x + 2
b.
4
2x + 3
d.
2( x + 3) ;
e.
9x 2 − 6x + 1
ðT liên hệ : 0948294515
1
c.
2
x2
f.
2x −1
.
2−x
[email protected]
Giáo án ôn thi vào 10.
g.
GV : Nguyễn Tài Minh
x −3
;
5− x
x −1. x + 5
h.
ðáp án gợi ý :
a.
b.
2
−3x + 2 có nghĩa ⇔ −3x + 2 ≥ 0 ⇔ −3x ≥−2 ⇔ x ≤ .
3
4
−3
có nghĩa ⇔ 2x + 3 > 0 ⇔ x >
.
2x + 3
2
2
2
có nghĩa ⇔ x > 0 ⇔ x ≠ 0.
2
x
d. 2( x + 3) có nghĩa ⇔ 2( x + 3) ≥ 0 . Vì 2 > 0, nên 2( x + 3) ≥ 0 ⇔ x + 3 ≥⇔ x ≥−3 .
c.
e. Ta có :
2
2
2
9x 2 − 6x + 1 = (3x ) + 2.(3x ).1 + (1) = (3x + 1)
9x 2 − 6x + 1 có nghĩa với mọi x ∈ ℝ .
2x −1 ≥ 0
2 − x > 0
2x −1
2x −1
1
có nghĩa ⇔
≥ 0 ⇔
⇔ ≤x<2
2−x
2− x
2x −1 ≤ 0 2
2 − x < 0
Suy ra
f.
C. MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP VỀ BIỂU THỨC VÔ TỶ
Bài 1. Cho biểu thức : Cho biểu thức:
a
2a − a
−
a −1 a − a
P=
a. Tìm ðKXð rồi rút gọn P.
b. Tính giá trị của P với a = 3 − 8
c. Tìm a ñể P < 0.
(Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An. Năm học 2000 – 2001).
ðáp án gợi ý :
a ≥ 0
a > 0
a. ðKXð : P có nghĩa ⇔
. ðS : P = a −1
a − 1 ≠ 0 ⇔
a ≠ 1
a − a ≠ 0
⇒ a = 3− 8 =
Thay
a =
2
( 2) − 2
( 2 −1) =
b. Biến ñổi : a = 3 − 8 = 3 − 2 2 =
2 +1 =
2
2 −1 vào (1) ta ñược : P = = a −1 =
(
(1)
2
)
2 −1
2 −1 = 2 −1 ∈ ðKXð
(
)
2 −1 – 1 =
2 −2
2 − 2 khi a = 3 − 8 .
a −1 < 0 ⇔ a < 1 ⇔ 0 ≤ a < 1 . Kết hợp với ðKXð, P < 0 khi 0 < a < 1.
Vậy P =
c. P < 0 ⇔
ðT liên hệ : 0948294515
2
[email protected]
Giáo án ôn thi vào 10.
Bài 2. Cho biểu thức:
GV : Nguyễn Tài Minh
x
2 x −1
−
x −1
x ( x −1)
A=
a. Tìm ðKXð rồi rút gọn A.
b. Tính giá trị của A với x =36.
c. Tìm x ñể
A >A.
(Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An. Năm học 2001 – 2002).
ðáp án gợi ý :
x ≥ 0
x > 0
a. ðKXð : P có nghĩa ⇔ x − 1 ≠ 0
. ðS : A =
⇔
x
≠
1
x x −1 ≠ 0
(
b. Biến ñổi x = 36 ∈ ðKXð ⇒
x = 6 vào biểu thức A =
Thay
Vậy A =
c. Ta có
)
x −1
x
2
x = 36 = (±6) = ±6 = 6 .
x −1
6 −1 5
, ta ñược A =
= .
6
6
x
5
khi x = 36.
6
A > A ⇔ A < 0 ⇔ x −1 < 0
x
x −1
< 0 thì
x
Với x ∈ ðKXð thì
x > 0 . ðể
Kết hợp với ðKXð,
A > A khi 0 < x < 1.
x −1 < 0 ⇔ 0 ≤ x < 1 .
1
1
3
−
:
x −3
x + 3 x − 3
Bài 3. Cho biểu thức: M =
a. Tìm ðKXð rồi rút gọn M.
b. Tìm x ñể M >
1
.
3
c. Tìm x ñể biểu thức M ñạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất ñó.
(Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An. Năm học 2002 – 2003).
ðáp án gợi ý :
x ≥ 0
x ≥ 0
2
a. ðKXð : M có nghĩa ⇔ x − 3 ≠ 0 ⇔
. ðS : M =
.
x ≠ 9
x +3
3
≠0
x − 3
b. Ta có M >
1
2
1
3− x
⇔
> ⇔
>0 .
3
x +3 3
x +3
Với x ∈ ðKXð thì
x + 3 > 0. ðể
ðT liên hệ : 0948294515
3− x
> 0 cần 3 − x > 0 ⇔ 0 ≤ x < 9 .
x +3
3
[email protected]
Giáo án ôn thi vào 10.
GV : Nguyễn Tài Minh
Kết hợp ðKXð, M >
1
3
khi 0 ≤ x < 9 .
2
2
≤ với x ∈ ðKXð.
x +3 3
ðẳng thức xảy ra ⇔ x = 0 ⇔ x = 0 (x ∈ ðKXð).
2
Vậy maxM = khi x = 0.
3
c. Ta có M =
1
1
1 + 1
+
x −1
x + 1
x
Bài 4. Cho biểu thức: A =
a. Tìm ðKXð rồi rút gọn A.
b. Tính giá trị của A khi x =
1
.
4
A = A.
c. Tìm giá trị của x ñể:
(Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An. Năm học 2003 – 2004).
ðáp án gợi ý :
x ≥ 0
x > 0
a. ðKXð : A có nghĩa ⇔
. ðS : A =
x −1 ≠ 0 ⇔
x ≠ 1
x ≠ 0
2
1
b. Với x = ∈ ðKXð. Ta có :
4
Thay
2
.
x −1
1
1
1 1
x=
= ± = ± = = 0,5 .
2
4
2 2
2
2
x = 0,5 vào biểu thức A =
, ta ñược A =
= −4 .
0,5 −1
x −1
Vậy A = −4 khi x =
c. Ta có :
1
.
4
A = 0
A=A⇔
. Suy ra
A = 1
Kết hợp ðKXð,
Bài 5. Cho biểu thức:
2
=0
x −1
2
2
=
⇔
⇔ x =9.
x −1
x −1 2
=1
x −1
A = A khi x = 9.
1
1
P = 1 +
.
x −1 x − x
.
a. Tìm ðKXð rồi rút gọn P.
b. Tính giá trị của A với x = 25.
c. Tìm x ñể:
P. 5 + 2 6 .( x −1) 2 = x − 2005 + 2 + 3
(Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An. Năm học 2004 – 2005).
ðáp án gợi ý :
ðT liên hệ : 0948294515
4
[email protected]
Giáo án ôn thi vào 10.
GV : Nguyễn Tài Minh
x ≥ 0
x > 0
1
a. ðKXð : P có nghĩa ⇔ x − 1 ≠ 0 ⇔
. ðS: P =
.
2
x ≠ 1
( x −1)
x − x ≠ 0
2
x = 25 = (±5) = ±5 = 5.
b. Với x = 25 ∈ ðKXð. Ta có :
x = 5 vào biểu thức P =
Thay
Vậy P =
c. Với
1
(
2
)
x −1
, ta ñược P =
1
2
(5 −1)
=
1
1
= .
2
4
16
1
khi x = 25.
16
P. 5 + 2 6 .( x −1) 2 = x − 2005 + 2 + 3 , P =
Ta có phương trình :
1
(
2
)
x −1
.
(
2+ 3
)(
)
x −1 = x – 2005 +
(
1
(
2+
2
)
3)
x −1
⇔ x – 2005 = 0 ⇔ x = 2005 ∈ ðKXð.
Vậy
P. 5 + 2 6 .( x − 1) 2 = x − 2005 + 2 + 3 khi x = 2005.
1
1
x +1
+
:
Bài 6. Cho biểu thức P =
2
x − x 1 − x (1 − x )
a. Tìm ðKXð và rút gọn P.
b. Tìm x ñể P > 0.
(Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An. Năm học 2006 – 2007)
ðáp án gợi ý :
x ≥ 0
x > 0
1− x
a. ðKXð : P có nghĩa ⇔ 1 − x ≠ 0 ⇔
. ðS: P =
x ≠ 1
x
x − x ≠ 0
1− x
> 0.
x
1− x
x > 0 . ðể
> 0 thì 1− x > 0 ⇔ x < 1 ⇔ 0 ≤ x < 1 .
x
b. Ta có x > 0 và x ≠ 1 , P > 0 trở thành
Với x ∈ ðKXð, suy ra
Kết hợp ðKXð, suy ra P > 0 khi 0 < x < 1.
x
1
−
:
x − x
x −1
Bài 7. Cho biểu thức A =
1
x −1
a. Nêu ñiều kiện xác ñịnh và rút gọn biểu thức A.
b. Tìm tất cả các giá trị của x sao cho A < 0.
c. Tìm tất cả các giá trị của tham số m ñể phương trình A x = m − x có nghiệm.
(Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An. Năm học 2007 – 2008)
ðáp án gợi ý :
x > 0
x −1
. ðS : A =
.
x
x ≠ 1
a) ðiều kiện xác ñịnh:
ðT liên hệ : 0948294515
5
[email protected]
Giáo án ôn thi vào 10.
GV : Nguyễn Tài Minh
b. Với ∀x > 0, x ≠ 1, A < 0 trở thành
Vì
x −1
x
< 0.
x −1
< 0 ⇔ x - 1 < 0 ⇔ x < 1.
x
Kết hợp với ñiều kiện ta có kết quả 0 < x < 1.
c. Với x > 0, x ≠ 1 thì A x = m - x trở thành
x > 0 . Nên
x −1
x
x =m−
⋅
x ⇔ x+
x − m − 1 = 0 (1)
ðặt x = t, vì x > 0, x ≠ 1 nên t > 0, t ≠ 1. Phương trình (1) qui về
t2 + t - m - 1 = 0 (2). Phương trình (1) có nghiệm ⇔ phương trình (2) có nghiệm dương khác 1.
b
Nhận thấy − = − 1 < 0 .Nên phương trình (2) có nghiệm dương khác 1
a
− m − 1 < 0
m > − 1
⇔
⇔
1 + 1 − m − 1 ≠ 0
m ≠ 1
Kết luận: m > -1 và m ≠ 1.
Bài 8. Cho biểu thức:
3
1
1
P =
+
:
x −1
x + 1 x + 1
a. Nêu ðKXð và rút gọn P.
5
b. Tìm các giá trị của x ñể P = .
4
c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M =
x + 12 1
.
x −1 P
(Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An. Năm học 2008– 2009)
ðáp án gợi ý :
x ≥ 0
x ≥ 0
x +2
. ðS : P =
.
⇔
x −1 ≠ 0 x ≠ 1
x −1
a. ðKXð : P có nghĩa ⇔
b. Với x ≥ 0 và x ≠ 1, P =
5
trở thành :
4
x +2 5
= ⇔4
x −1 4
(
) (
x +2 =5
)
x −1 ⇔ x = 13 ⇔ x = 169
Kết hợp với ðKXð ta có kết quả x = 169.
c. Với x ≥ 0 và x ≠ 11, M =
x + 12 1
. , trở thành :
x −1 P
x + 12 x −1
x + 12
M=
.
=
= 2+
x −1 x + 2
x +2
ðẳng thức xảy ra khi x − 2 = 0 ⇔ x = 4 .
(
x −2
2
)
x +2
≥ 2.
Kết hợp với ðKXð ta có kết quả minP = 2 khi x = 4.
Bài 9. Cho biểu thức A =
x x +1 x −1
−
.
x −1
x +1
a. Nêu ñiều kiện xác ñịnh và rút gọn biểu thức A.
ðT liên hệ : 0948294515
6
[email protected]
Giáo án ôn thi vào 10.
GV : Nguyễn Tài Minh
9
.
4
b. Tính giá trị của biểu thức A khi x =
c. Tìm tất cả các giá trị của x ñể A < 1.
(Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An. Năm học 2009– 2010)
ðáp án gợi ý :
x ≥ 0
x ≥ 0
. ðS : A =
⇔
x −1 ≠ 0 x ≠ 1
x
.
x −1
a. ðKXð : A có nghĩa ⇔
9
b. x =
∈ ðKXð,
4
Thay
x=
2
3
9
3 3
x=
= ± = ± = .
2
4
2 2
3
x
3 3
. Ta ñược A = 2 = : −1 = 3 .
3
x −1
−1 2 2
2
3
vào biểu thức A =
2
c. Với x ≥ 0 và x ≠ 1, A < 1 trở thành :
x
1
−1 < 0 ⇔
< 0 ⇔ x −1 < 0 ⇔ 0 ≤ x < 1
x −1
x −1
Kết hợp với ðKXð ta có kết quả 0 ≤ x < 1 .
x
<1
x −1
x
2
2
−
−
.
x −1
x + 1 x −1
a. Nêu ñiều kiện xác ñịnh và rút gọn biểu thức A.
b. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9.
c. Khi x thoả mãn ñiều kiện xác ñịnh. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất cuả biểu thức B, với B = A(x – 1).
(Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An. Năm học 2010– 2011)
ðáp án gợi ý :
Bài 10. Cho biểu thức A =
x ≥ 0
x ≥ 0
a. ðKXð : A có nghĩa ⇔ x −1 ≠ 0 ⇔
. ðS : A =
x ≠ 1
x −1 ≠ 0
x +1
x = 9 = 3.
b. x = 9 ∈ ðKXð. Suy ra
Thay
x
x
x = 3 vào biểu thức A =
x +1
, ta có kết quả : A =
3
3
= .
3 +1 4
c. Với x ≥ 0 và x ≠ 1 , ta có:
B = A. ( x − 1) =
x
x +1
( x − 1) = x ( x − 1) = x − x
2
1
1 1 1
1
1
= ( x ) − 2. x. + − = ( x − ) 2 + − ≥ −
2
2 2 4
4
4
2
1
Dấu bằng xảy ra khi ( x − ) 2 = 0 ⇔
2
x−
1
1
=0⇔ x=
2
4
1
1
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức B là − ñạt ñược khi x = .
4
4
ðT liên hệ : 0948294515
7
[email protected]
Giáo án ôn thi vào 10.
GV : Nguyễn Tài Minh
Bài tập ñề nghị.
a +3
Bài 1. Cho biểu thức: M =
3− a
(với a ≥ 0; a ≠ 9.)
2 a −6 2 a +6
a. Rút gọn biểu thức M.
b. Tìm giá trị của a ñể M = 4.
c. Tìm giá trị nguyên của a ñể M có giá trị nguyên lớn hơn 10. Tìm giá trị nguyên của M.
1
1
Bài 2. Cho biểu thức:
A=
−
−1
a −1
a +1
a) Tìm tập xác ñịnh và rút gọn biểu thức A.
b) Tìm các số nguyên tố a ñể giá trị biểu thức A là một số nguyên.
3
3
x x+x
Bài 3. Cho biểu thức A =
+
+
x−3 − x
x−3 + x
x +1
61
a) Rút gọn A nếu x ≥ 3 ;
b) Tính giá trị của A khi x =
9+2 5
Bài 4. Cho biểu thức C = 1 −
−
x − 1 − 4x + 4 −1 + 2x
2 x −1
−
: 1 −
5 − 4x
5
4x
−
2
x
−
1
−
1
b. Tìm các giá trị của x ñể C < C2.
2a + 1
1 + a3
a
.
Bài 5. Cho biểu thức P =
−
−
a
3
3
a −1 a + a + 1 1 + a
a. Rút gọn P.
b. Xét dấu của biểu thức P. 1 − a .
a. Rút gọn C.
a +1
a −1 a a
−
−
a −1
a + 1 a −1
Bài 6. Cho biểu thức : B =
a. Rút gọn gọn B.
1
1
Bài 7. Cho biểu thức A =
−
:
a
a −1
a −a −3
1
−
a −1
a −1
:
b. So sánh B với 1.
a +1
a + 2
−
a −2
a − 1
b. Tìm giá trị của a ñể A >
a. Rút gọn A.
1
.
6
2a + 4
a +2
2
+
−
a a −1 a + a + 1
a −1
a. Rút gọn P.
b. Tính giá trị của P khi a = 3 - 2 2 .
1
1
2 x −2
2
:
Bài 9. Cho biểu thức A =
−
−
x +1 x x − x + x −1 x −1 x −1
a. Rút gọn A
b. Với GT nào của x thì A ñạt GTNN và tìm GTNN ñó.
Bài 8. Cho biểu thức : P=
Bài 10. Cho biểu thức : P =
2a + 4
a +2
2
+
−
a a −1 a + a + 1
a −1
a. Rút gọn P.
b. Tính P khi a = 3 - 2 3 .
2x + 1
1
x+4
: 1 −
Bài 11. Cho biểu thức P=
−
3
x −1 x + x + 1
x −1
a. Rút gọn P.
b. Tìm GT nguyên của x ñể P nhận GT nguyên dương.
ðT liên hệ : 0948294515
8
[email protected]
Giáo án ôn thi vào 10.
GV : Nguyễn Tài Minh
x
1 1
2
:
Bài 12. Cho biểu thức P =
−
+
x −1 x − x x + 1 x −1
a. Rút gọn P.
b. Tìm các GT của x ñể P > 0.
c. Tìm các số m ñể có các GT của x thoả mãn P. x = m − x .
x −4
3 x +2
x
:
.
Bài 13. Cho biểu thức : P =
+
−
x −2
x
x − 2
x x −2
a) Rút gọn P
b) Tính GT của P biết x=6 - 2 5
c) Tìm các GT của n ñể có x thoả mãn P.( x + 1) > x + n .
(
)
x+2
x
x −4
Bài 14. Cho biểu thức : P = x −
:
−
1
−
x
x
+
1
x
+
1
a) Rút gọn P.
b) Tìm các GT của x ñể P < 0.
c) Tìm GTNN của P.
x −1
4 x
8x
2
Bài 15. Cho biểu thức P = (
+
):(
−
)
2+ x 4− x x−2 x
x
a/ Rút gọn P.
b/ Tìm giá trị của x ñể P = -1.
c/ Tì m m ñể với mọi giá trị của x >9 ta có: m( x - 3)P > x+1
1 x −1 1− x
Bài 16. Cho biểu thức P = x −
:
+
x
x
x
+
x
a) Rút gọn P.
2
b) Tính GT của P khi x =
.
2+ 3
c) Tìm các GT của x thoả mãn P. x = 6 x − 3 − x − 4 .
a+3 a +2
a+ a 1
1
Bài 17. Cho biểu thức P=
−
+
:
a −1 a +1
a −1
a + 2 a −1
(
)(
)
a. Rút gọn P.
b.Tìm a ñể :
1
Bài 18. Cho biểu thức P =
+
x
a. Rút gọn P
Bài 19. Cho biểu thức :
x
x
:
.
x + 1 x + x
b. Tính GT của P khi x = 4;
P=
1
a +1
−
≥ 1.
P
8
x
x −1
+
3
x +1
−
c. Tìm x ñể P =
13
.
3
6 x −4
x −1
1
b. Tìm các GT của x ñể P < .
2
1
x
x
:
Bài 20. Cho biểu thức : P =
+
x + 1 x + x
x
a. Rút gọn P ;
a. Rút gọn P
ðT liên hệ : 0948294515
b. Tính GT của P khi x= 4
9
c. Tìm GT của x ñể P =
13
3
[email protected]
Giáo án ôn thi vào 10.
Bài 21.
Cho P =
GV : Nguyễn Tài Minh
x
x +3
+
a. Rút gọn P.
Bài 22. Cho T =
2 x
3x + 9
,x ≥ 0& x ≠ 9.
x −3 x−9
1
b. Tìm giá trị của x ñể P = . c. Tìm GTLN của P.
3
−
2x 2 + 4
1
1
.
2
1-x
1+ x 1- x
a. Tìm ñiều kiện của x ñể T xác ñịnh. Rút gọn T.
Bài 23. Cho A =
2
x + x x - x x + x
b. Tìm giá trị lớn nhất của T.
x
b. Tìm x thoả mãn A =
a, Hãy rút gọn biểu thức A
x - 2
+ 1.
x2 - 1
1 4 1 - x 4
Bài 24. Cho biểu thức: M = 4
x +
2
2
2 .
x
x
+
1
x
+
1
1
+
x
a. Rút gọn M.
b. Tìm giá trị nhỏ nhất của M.
Bài 25. Cho biểu thức: P =
a. Rút gọn P
x −1
x2 − 3x
+
:
x − 2 x − x − 2
x
1
+
x − 1 x − 3 x + 2
2
c. Tìm x ñể P = − 2 x + 2 x − 1 .
b. Tìm x ñể P > 0.
x + 2 x − x −3 x − x
2
−
+
Bài 26. Cho biểu thức: P =
:
x − 2
x +1 x − x − 2 x − x − 2
b. Chứng minh rằng : P < 1 . c. Tìm giá trị lớn nhất của P.
a. Rút gọn P
.....................Hết......................
Chuyên ñề 2.
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN,
HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN.
MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP.
A. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN, HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI
ẨN.
1. Kiến thức cần nhớ :
* Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng : ax + b = 0 ( a ≠ 0 ) ; a, b ∈ ℝ , x là ẩn.
Phương trình có duy nhất một nghiệm x = −
b
.
a
ax + by = c
a 'x + b' y = c'
* Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn :
Trong ñó : a, b, c, a', b', c' ∈ ℝ ; a, b không ñồng thời bằng 0, a' và b' không ñồng thời bằng 0 và x,
y là ẩn.
Các phương pháp giải hệ phương trình :
a) Phương pháp thế :
+) Từ một trong hai phương trình rút ra một ẩn theo ẩn kia, thế vào phương trình thứ hai ta
ñược phương trình bậc nhất một ẩn
+) Giải ra một ẩn, suy ra ẩn thứ hai.
b) Phương pháp cộng.
+) Quy ñồng hệ số một ẩn nào ñó (làm cho ẩn nào ñó của hệ số có hệ số bằng nhau hoặc ñối
nhau).
+) Giải ra một ẩn, suy ra ẩn thứ hai.
10
ðT liên hệ : 0948294515
[email protected]
Giáo án ôn thi vào 10.
GV : Nguyễn Tài Minh
c) Phương pháp ñặt ẩn phụ.
Trong quá trình giải toán, tùy vào từng trường hợp cụ thể ñể có phương pháp hợp lý.
B. VÍ DỤ.
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:
2x 3 − 1
b) 3
= 2.
x + x +1
x
x
a)
+
=2
x −1 x + 2
Phương pháp.
ðây là phương trình chứa ẩn ở mẫu ñể giải bài toán này người ta thường làm như sau :
Biến ñổi phương trình về dạng : ax + b = 0 hoặc ax2 + bx + x = 0 bằng cách :
+ Tìm ðKXð.
+ Quy ñồng và khử mẫu.
+ Giải phương trình vừa tìm ñược.
+ Kết hợp với ðKXð ñể trả lời.
Giải.
a) ðKXð : x ≠ 1, x ≠ - 2.
⇒ − x − 4 = 0 ⇔ x = −4 , thỏa mãn.
3
b) ðKXð : x + x + 1 ≠ 0 (*)
⇒ 2x + 3 = 0 ⇔ x =
−3
.
2
3
−3
−31
−3
−3 −3
Với x =
thay vào (*) ta có
+1=
≠ 0 . Vậy x =
là nghiệm.
+
2
2
8
2
2
Ví dụ 2. Tìm m nguyên ñể phương trình sau ñây có nghiệm nguyên :
( m − 2 ) x + 2m 2 + m − 2 = 0 (1)
Giải.
Với m nguyên thì 2m − 3 ≠ 0 vậy phương trình 1 có nghiệm :
x=
− ( 2m 2 + m − 2 )
2m − 3
= − ( m + 2) −
4
2m − 3
ðể phương trình có nghiệm nguyên thì 2m - 3 phải là ước của 4 hay 2m - 3 ∈ {±1, ±2, ±4} .
Giải ra ta ñược m = 2 và m = 1.
2x + 3y = a
5x − 3y = 2
Ví dụ 3. Cho hệ phương trình :
1) Giải hệ phương trình với a = 1.
2) Tìm giá trị của a ñể hệ phương trình có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x > 0, y < 0.
Giải.
3
x
=
2x + 3y = 1
2x + 3y = 1
7
1) Với a = 1, ta có hệ phương trình :
⇔
⇔
5x − 3y = 2 7x = 3
y = 1
21
2) Lấy phương trình ñầu cộng với phương trình thứ hai ta có :
7x = a + 2 ⇒ x =
a+2
a+2
5a − 4
⇒ 2.
+ 3y = a ⇒ y =
7
7
21
Hệ có nghiệm
ðT liên hệ : 0948294515
11
[email protected]
Giáo án ôn thi vào 10.
GV : Nguyễn Tài Minh
a + 2
>0
a > −2
x > 0 7
4
⇔
⇔
4 ⇔ −2 < a <
5
y < 0
5a − 4 < 0 a < 5
21
4
hệ phương trình có nghiệm x > 0, y < 0.
5
x − ( m + 3) y = 0
Ví dụ 4. Cho hệ phương trình :
( m − 2 ) x + 4y = m − 1
Vậy với −2 < a <
1) Giải hệ khi m = -1.
2) Giải và biện luận hệ phương trình ñã cho theo m.
Giải.
x − 2y = 0
x = 2
⇔
−3x + 4y = −2
y = 1
1) Với m = -1 hệ phương trình ñã cho có dạng :
x − ( m + 3) y = 0
( m − 2 ) x + 4y = m − 1
2) Xét hệ phương trình :
(1)
(2)
Từ (1) ta có : x = ( m + 3) y thay vào (2) ta có : ( m − 2 )( m + 3) y + 4y = m − 1
⇒ ( m 2 + m − 2 ) y = m − 1 ⇒ ( m − 1)( m + 2 ) y = m − 1
(3)
*) Nếu m = 1 ta có : (3) ⇔ 0 = 0 hay phương trình có nghiệm với mọi y ⇒ hệ có vô số nghiệm.
*) Nếu m = - 2 từ (3) ⇒ 0 = - 3 hay hệ phương ñã cho trình vô nghiệm.
1
m+3
*) Nếu m ≠ 1, m ≠ −2 từ (3) ⇒ y =
⇒x=
m+2
m+2
m+3
x = m + 2
Vậy hệ có nghiệm duy nhất :
y = 1
m+2
Ví dụ 5. Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng hai lẫn chữ số hàng ñơn vị lớn hơn chữ số hàng
chục 1 ñơn vị. Và nếu viết hai chữ số ấy theo thứ tự ngược lại thì ñược số mới có hai chữ số bé hơn
số cũ 36 ñơn vị.
Phương pháp.
Bước 1 : Lập hệ phương trình.
- Tìm mối liên hệ ñể dự kiến phương trình.
- Chọn ẩn, xác ñịnh ñiều kiện cho ẩn.
- Biểu thị các yếu tố qua ẩn.
Bước 2. Giải hệ phương trình vừa lập.
Bước 3. ðối chiếu giá trị vừa tìm ñược với ðK ñể trả lời.
Giải. Gọi chữ số hàng chục của số cần tìm là x, chữ số hàng ñơn vị là y. ðiều kiện của ẩn là x và y
là số nguyên , 0 < x ≤ 9 và 0 < y ≤ 9. Khi ñó, số cần tìm là xy = 10x + y . Khi viết hai chữ số
theo thứ tự ngược lại, ta ñược số yx = 10y + x . Theo bài ra ta có hệ phương trình :
2y − x = 1
− x + 2y = 1
⇔
(10x + y ) − (10y − x ) = 36 x − y = 4
Giải hệ phương trình ta có nghiệm : x = 9, y = 5 thỏa mãn ðK bài toán
12
ðT liên hệ : 0948294515
[email protected]
Giáo án ôn thi vào 10.
GV : Nguyễn Tài Minh
Vậy chữ số cần tìm là : 95.
Ví dụ 6. Một ôtô và một xe ñạp chuyển ñộng ñi từ 2 ñầu một quảng ñường AB sau 3 giờ thì gặp
nhau. Nếu ñi cùng chiều và xuất phát tại một ñịa ñiểm, sau một giờ ô tô cách xe ñạp 28 km. Biết
quảng ñường AB dài 156km, tính vận tốc xe ñạp và ôtô.
Giải. Gọi x là vận tốc xe ô tô là x (km/h, x >0), vận tốc xe ñạp là y (km/h, y >0).
3x + 3y = 156 y = 40
⇔
x
−
y
=
28
x = 12
Ta có :
x = 40, y = 12 thỏa mãn ðK bài toán.
Vậy vận tốc xe ñạp là 12 km/h, vận tốc xe ô tô là 40 km/h.
Ví dụ 7. Một chiếc xe tải ñi từ A ñến B, quảng ñường dài 189 km. Sau khi xe tải xuất phát 1 giờ,
một chiếc xe khách bắt ñầu ñi từ B ñến A và gặp xe tải sau 1 giờ 48 phút. Tính vận tốc của mỗi xe,
biết rằng mỗi giờ xe khách ñi nhanh hơn xe tải 13 km.
Giải . ðổi : 1 giờ 48 phút =
9
giờ.
5
Gọi vận tốc xe khách là x (km/h) và vân tốc của xe tải là y (km/h). ðiều kiện của ẩn là x và y là
những số dương. Theo bài ra ta có hệ phương trình.
x − y = 13
14x + 14y = 182
x = 49
⇔
⇔
14
9
9x − 14y = 945
y = 36
5 x + 5 y = 189
x = 49, y = 36 thỏa mãn ðK bài toán.
Vậy vận tốc xe khách là 49 km/h, vận tốc xe tải là 36 km/h.
Ví dụ 8. ðể trở một số hàng có thể dùng một ô tô lớn trở 12 chuyến hoặc một ô tô nhỏ trở 15
chuyến. Ô tô lớn trở một số chuyến rồi chuyển sang làm việc khác, ô tô nhỏ trở tiếp cho xong, hai xe
trở tổng cộng 14 chuyến xong công việc. Hỏi mỗi ô tô trở mấy chuyến.
Giải. Gọi x là sô chuyến ô tô lớn chở, y là sô chuyến ô tô nhỏ chở (x, y nguyên dương)
x + y = 14
x = 4
⇔
Theo bài ra ta có hệ phương trình : x
y
12 + 15 = 1 y = 10
x = 4, y = 10 thỏa mãn ðK bài toán.
Vậy ô tô lớn chở 4 chuyến, ô tô nhỏ chở 10 chuyến.
Ví dụ 9. Hai ñội công nhân cùng làm một ñoạn ñường trong 24 ngày thì xong. Mỗi ngày, phần việc
ñội A làm ñược bằng
2
ñội B. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi ñội làm xong ñoạn ñường ñó trong
3
bao lâu ?
Giải. Gọi thời gian ñội A làm một mình xong ñoạn ñường là x (ngày) và thời gian ñội B làm một
mình xong ñoạn ñường là y (ngày). ðiều kiện của ẩn là x và y là những số dương. Ta có :
1
(công việc).
x
1
Công việc ñội B làm trong một ngày
(công việc).
y
Công việc ñội A làm trong một ngày
Theo bài ra ta có hệ phương trình :
ðT liên hệ : 0948294515
13
[email protected]
Giáo án ôn thi vào 10.
GV : Nguyễn Tài Minh
1 2 1
1 1
=
x = 3 ⋅ y
x = 60
x 60
⇔
⇔
y = 40
1 + 1 = 1
1 = 1
x y 24
y 40
x = 60, y = 40 thỏa mãn ðK bài toán.
Vậy thời gian ñội A làm một mình xong ñoạn ñường là : 60 ngày, thời gian ñội B làm một mình
xong ñoạn ñường là 40 ngày.
Ví dụ 10. Hai người cùng làm chung một công việc thì sau 7 giờ12 phút xong. Nếu một mình người
thứ nhất làm trong hai giờ sau ñó một mình người thứ hai làm trong ba giờ làm ñược
1
công việc .
3
Hỏi nếu mỗi người làm một mình thì sau bao nhiêu lâu sẽ xong công việc ?
Giải. Gọi x , y lần lượt là thời gian ñể một mình người thứ nhất, một mình người thứ hai làm xong
công việc (giờ, x, y > 7,2)
Trong một giờ :
1
công việc ;
x
1
Người thứ hai làm ñược
công việc ;
y
Người thứ nhất làm ñược
1 1 5
1 1
=
x + y = 36
x = 12
x 12
.
Theo bài ra ta có hệ phương trình :
⇔
⇔
y = 18
2 + 3 = 1
1 = 1
x y 3
y 18
x = 12, y = 18 thỏa mãn ðK bài toán.
Vậy một mình người thứ nhất làm xong công việc trong 12 giờ, một mình người thứ hai làm xong
công việc trong 18 giờ.
Ví dụ 11. Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3
giờ và người thứ hai làm 6 giờ thi chỉ hoàn thành ñược 25% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi
người hoàn thành công việc ñó trong bao lâu ?
Giải. Gọi x , y lần lượt là thời gian ñể một mình người thứ nhất, một mình người thứ hai làm xong
công việc (giờ, x, y > 16)
Trong một giờ :
1
công việc ;
x
1
công việc ;
Người thứ hai làm ñược
y
Người thứ nhất làm ñược
1 1 1
1 1
=
x + y = 16
x = 24
x 24
Theo bài ra ta có hệ phương trình :
.
⇔
⇔
y = 48
3 + 6 = 1
1 = 1
x y 4
y 48
x = 24, y = 48 thỏa mãn ðK bài toán.
Vậy một mình người thứ nhất làm xong công việc trong 24 giờ, một mình người thứ hai làm xong
công việc trong 48 giờ.
ðT liên hệ : 0948294515
14
[email protected]
Giáo án ôn thi vào 10.
GV : Nguyễn Tài Minh
Ví dụ 12. Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn nước (không có nước) thì bể sẽ ñầy trong 1
giờ 30 phút. Nếu hai vòi chảy nhưng vòi thứ nhất chảy 15 phút, vòi thứ hai trong 20 phút thì chỉ
ñược
1
bể nước. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian ñể mỗi vòi chảy ñầy bề là bao nhiêu ?
5
Giải. Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy một mình ñầy bể là x (giờ) và thời gian vòi thứ hai chảy một
mình ñầy bể là y (giờ). ðiều kiện của ẩn là x và y là những số dương. Ta có :
1
(bể nước).
x
1
1 giờ vòi thứ hai chảy ñược
(bể nước).
y
1 giờ vòi thứ nhất chảy ñược
Theo bài ra ta có hệ phương trình :
1 1 2
1 4
15
=
x
=
x + y = 3
x 15
4
⇔
⇔
1
2
1 + 1 =1
=
y = 5
4x 3y 5
y 5
2
15
5
, y = 40 thỏa mãn ðK bài toán.
4
2
15
5
giờ ; vòi thứ hai chảy một mình ñầy bể : giờ.
Vậy vòi thứ nhất chảy một mình ñầy bể :
4
2
x=
Bài tập tự luyện.
3x − 2y = 6
Bài 1. Cho hệ phương trình :
ax + y = −3
1) Giải hệ phương trình với a = 4.
(x, y là ẩn ; a là tham số)
2) Tìm giá trị của a sao cho nghiệm (x ; y) của hệ thỏa mãn y =
3
x.
4
ax + y = 3
Bài 2. Cho hệ phương trình :
x + ay = −1
1) Giải hệ phương trình với a = 3
2) Với giá trị nào của a thì hệ phương trình ñã cho có nghiệm duy nhất.
( a − 1) x − ay = 3a − 1
Bài 3. Cho hệ phương trình :
2x − y = a + 5
1) Giải hệ phương trình với a = 3
2) Xác ñịnh giá trị của a ñể hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho :
S = x2 + y2 ñạt giá trị nhỏ nhất.
mx – y = 2
Bài 4. Cho hệ phương trình:
3x + my = 5
1) Giải hệ phương trình khi m = 2.
2) Tìm m ñể hệ phương trình có nghiệm:(x, y) sao cho: x + y = 0.
Bài 5. Hai người thợ cùng làm một công việc trong 18 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong 4
giờ rồi nghỉ và người thứ 2 làm tiếp trong 7 giờ thì họ làm ñược
1
công việc. Hỏi nếu làm một
3
mình thì mỗi người mất bao lâu ñể hoàn thnàh công việc ?
Bài 6. ðể chở một ñoàn khách 320 người ñi tham quan chiến trường ðiện Biên Phủ, công ty xe
khách ñã bố trí 2 loại xe, loại thứ nhất mỗi xe có 40 chỗ, loại thứ hai mỗi xe có 12 chỗ. Em hãy tính
ðT liên hệ : 0948294515
15
[email protected]
Giáo án ôn thi vào 10.
GV : Nguyễn Tài Minh
số xe mỗi loại biết loại thứ nhất ít hơn số xe loại thứ hai là 5 chiếc và số người ngồi vừa ñủ số ghế
trên xe.
Bài 7. Hai người thợ cùng sơn cửa cho một ngôi nhà trong 2 ngày thì xong. Nếu người thứ nhất làm
trong 4 ngày rồi nghỉ và người thứ hai làm tiếp trong 1 ngày nữa thì xong việc. Hỏi mỗi người làm
một mình thì sau bao lâu xong việc ?
Bài 8. Hai người cùng làm chung một công việc thì sau 4 giờ 30 phút họ làm xong công việc. Nếu một
mình người thứ nhất làm trong 4 giờ, sau ñó một mình người thứ hai làm trong 3 giờ thì cả hai người làm
ñược 75% công việc. Hỏi nếu mỗi người làm một mình thì sau bao lâu sẽ xong công việc? (Biết rằng
năng suất làm việc của mỗi người là không thay ñổi).
Bài 9. ðể chuẩn bị cho kỉ niệm ngày sinh nhật Bác, các ñoàn viên hai lớp 9A và 8A của trường
trung học cơ sở Kim Liên, tổ chức trồng 110 cây quanh trường. Mỗi ñoàn viên lớp 9A trồng 3 cây,
mỗi ñoàn viên lớp 8A trồng hai cây. Biết rằng số ñoàn viên lớp 9A nhiều hơn số ñoàn viên lớp 8A là
5 người. Hãy tính số ñoàn viên của các lớp 9A và 8A.
Bài 10. Cho hệ phương trình :
(1)
mx − y = 3
2x + my = 9 (2)
1) Giải hệ phương trình khi m=1
b) Tìm các giá trị nguyên của m ñể hệ ñã cho có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho biểu thức
A = 3x - y nhận giá trị nguyên .
2x + y = 5m − 1
Bài 11. Cho hệ phương trình:
(m là tham số)
x − 2y = 2
1) Giải hệ phương trình với m = 1
2) Tìm m ñể hệ phương trình có nghiệm (x ; y) thỏa mãn: x2 – 2y2 = 1.
mx − y = 2 (1)
Bài 12. Cho hệ phương trình :
x + my = 1 (2)
1) Giải hệ phương trình theo tham số m.
2) Gọi nghiệm của hệ phương trình là (x, y). Tìm các giá trị của m ñể x + y = -1.
3) Tìm ñẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
(a − 1)x + y = a
Bài 13. Cho hệ phương trình:
có nghiệm duy nhất là (x; y).
x + (a − 1)y = 2
1) Tìm ñẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào a.
2) Tìm các giá trị của a thoả mãn 6x2 – 17y = 5.
2x − 5y
3) Tìm các giá trị nguyên của a ñể biểu thức
nhận giá trị nguyên.
x+y
( a + 1) x + y = 4
Bài 14. Cho hệ phương trình
(a là tham số).
ax + y = 2a
1) Giải hệ khi a = 1.
2) Chứng minh rằng với mọi a hệ luôn có nghiệm duy nhất (x ; y) thoả mãn x + y ≥ 2.
2 x − y = m − 2
Bài 15. Cho hệ phương trình:
x + 2 y = 3m + 4
1) Giải hệ phương trình với m = 1
2) Tìm m ñể hệ có nghiệm (x;y) thỏa mãn : x2 + y2 =10
x − 2y = 3 − m
2x + y = 3(m + 2)
1) Giải hệ phương trình khi thay m = - 1.
2) Gọi nghiệm của hệ phương trình là (x, y). Tìm m ñể x2 + y2 ñạt giá trị nhỏ nhấtl.
Bài 16. Cho hệ phương trình:
ðT liên hệ : 0948294515
16
[email protected]
Giáo án ôn thi vào 10.
Bài 17. Cho hệ phương trình:
GV : Nguyễn Tài Minh
x + ay = 1
(1)
ax + y = 2
1) Giải hệ (1) khi a = 2.
2) Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm duy nhất.
Chuyên ñề 3.
CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1. Giải phương trình bậc hai dạng : ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (1)
a) Nhẩm nghiệm:
x1 = 1
a + b +c = 0 ⇒ pt (1) có 2 nghiệm:
.
x2 = c
a
x1 = − 1
a – b +c = 0 ⇒ pt (1) có 2 nghiệm:
.
x2 = − c
a
b) Giải với ∆ ' :
b
Nếu b = 2b’ ⇒ b’ = ⇒ ∆ ' = (b’)2 – ac.
2
−b ' + ∆ '
−b ' − ∆ '
+) Nếu ∆ ' > 0 ⇒ phương trình có 2 nghiệm phân biệt : x1 =
; x2 =
a
a
−b '
+) Nếu ∆ ' = 0 ⇒ phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =
.
a
+) Nếu ∆ ' < 0 ⇒ phương trình vô nghiệm.
c) Giải với ∆ :
Tính ∆ : ∆ = b2 – 4ac.
−b + ∆
−b − ∆
+) Nếu ∆ > 0 ⇒ phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x1 =
; x2 =
2a
2a
−b
+) Nếu ∆ = 0 ⇒ phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =
.
2a
+) Nếu ∆ < 0 ⇒ phương trình vô nghiệm.
* ðiều kiện có nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0) (1)
- (1) có 2 nghiệm ⇔ ∆ ≥ 0 ; có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > 0 .
∆ ≥ 0
- (1) có 2 nghiệm cùng dấu ⇔
.
P > 0
- (1) có 2 nghiệm dương
∆ ≥ 0
⇔ P > 0
S > 0
- (1) có 2 nghiệm âm
∆ ≥ 0
⇔ P > 0
S < 0
- (1) có 2 nghiệm trái dấu ⇔ ac < 0 (hoặc P < 0)
2. Hệ thức Vi ét và ứng dụng:
ðT liên hệ : 0948294515
17
[email protected]
Giáo án ôn thi vào 10.
GV : Nguyễn Tài Minh
b
S = x1 + x2 = −
a
a) ðịnh lý: Nếu x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì ta có:
.
P = x x = c
1 2
a
b) ðịnh lý ñảo:
u + v = S
Nếu
⇒ u, v là 2 nghiệm của phương trình x2 – Sx + P = 0 (ðK: S2 – 4P ≥ 0).
u
.
v
=
P
* Một số hệ thức khi áp dụng hệ thức Vi-ét:
+ Tổng bình phương các nghiệm: x12 + x22 = ( x1 + x2 )2 − 2 x1 x2 = S2 – 2P.
1 1
x +x
S
= 1 2 = .
+ Tổng nghịch ñảo các nghiệm: +
x1 x2
x1 x2
P
+ Tổng nghịch ñảo bình phương các nghiệm:
1
1
x12 + x22 S2 − 2P
+
=
=
.
x12
x22 ( x1 x2 )2
P2
+ Bình phương của hiệu các nghiệm: ( x1 − x2 )2 = ( x1 + x2 )2 − 4 x1 x2 = S2 – 4P.
+ Tổng lập phương các nghiệm: x13 + x23 = ( x1 + x2 )3 − 3 x1 x2 ( x1 + x2 ) = S3 – 3PS
B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP.
1) Giải phương trình bậc hai dạng tổng quát.
2) Xác ñịnh tham số ñẩ phương trình có nghiệm ; có nghiệm kép ; có hai nghiệm phân biệt ; có hai
nghiệm dương ; có hai nghiệm âm ; có hai nghiệm khác dấu ...
3) Chứng minh (chứng tỏ) phương trình có nghiệm với mọi giá trị của tham số.
4) Tìm biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số.
C. MỘT SỐ BÀI TẬP ðIỂN HÌNH.
Bài 1. Cho phương trình bậc hai x2 + 2x – m = 0 (1)
1) Giải phương trình ( 1 ) khi m = 4
2) Xác ñịnh m ñể phương trình (1) có nghiệm. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = x14 + x24
Bài 2. Cho phương trình bậc hai x2 – (m – 3)x – 2m = 0 (1).
2) Giải phương trình (1) khi m = – 2.
3) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
3) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.
Bài 3. Cho phương trình bậc hai x2 – (m + 1)x + m = 0 (1).
1. Giải phương trình (1) khi m = 3.
2. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
3. Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ
thuộc vào m.
Bài 4. Cho phương trình 2x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0 (m là tham số) (1)
1. Giải phương trình (1) khi m = 2.
2. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
3. Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Thiết lập hệ thức liên hệ giữa x1, x2 ñộc
lập với m.
Bài 5. Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + 2m – 3 = 0 (m là tham số) (1)
1. Giải phương trình (1) khi m = 5.
2. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
3.Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Thiết lập hệ thức liên hệ giữa x1, x2 ñộc lập
với m.
4. Tìm m ñể phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu.
Bài 6. Cho phương trình bậc hai x2 –2(m + 1)x + m – 4 = 0 (1).
1. Giải phương trình (1) khi m = –2.
2. Chứng minh rằng : ∀m , phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt
ðT liên hệ : 0948294515
18
[email protected]
Giáo án ôn thi vào 10.
GV : Nguyễn Tài Minh
3. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của pt (1). Chứng minh biểu thức:
A = x1(1 – x2) + x2(1 – x1) không phụ thuộc vào m.
Bài 7. Cho phương trình bậc hai x2 –2(m + 1)x + (2m – 4) = 0 (1).
1) Giải phương trình (1) khi m = – 2.
2) Chứng minh rằng : Với mọi m, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
3) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của (1). Tính A = x12 + x22 theo m.
4) Tìm giá trị của m ñể A ñạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 8. Cho phương trình bậc hai x2 – (m – 1)x + 2m – 7 = 0 (1).
1. Giải phương trình (1) khi m = –1.
2. Chứng minh rằng : Với mọi m, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
3. Tìm m ñể phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu.
4. Thiết lập mối quan hệ giữa 2 nghiệm x1, x2 không phụ thuộc và m.
5. Tìm m ñể x12 + x22 = 10.
Bài 9. Cho phương trình bậc hai x2 + 2x + 4m + 1 = 0 (1).
1) Giải phương trình (1) khi m = –1.
2) Tìm m ñể:
a) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
b) Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu.
c) Tổng bình phương các nghiệm của pt (1) bằng 11.
Bài 10. Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (m là tham số) (1).
a) Tìm m ñể phương trình (1) có nghiệm kép và tính nghiệm kép ñó.
b) Trong trường hợp phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 hãy tìm hệ thức liên
hệ giữa các nghiệm x1, x2 mà không phụ thuộc m.
Bài 12. Cho phương trình bậc hai : x2 + (m + 1)x + m -1 = 0
1) Giải phương trình khi m = 2.
2) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
Bài 13. Cho phương trình bậc hai, với tham số m : 2x2 – (m + 3)x + m = 0 (1)
1) Giải phương trình (1) khi m = 2.
5
x1x 2 .
2
3) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x1 − x2 .
2) Tìm các giá trị của tham số m ñể phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: x1 + x2 =
Bài 14. Cho phương trình bậc hai : x2 + (m + 1)x + m -1 = 0
1) Giải phương trình khi m = 2.
2) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
2
Bài 15. Cho phương trình: x − 2(m − 1)x + 2m − 4 = 0 ( m là tham số)
1) Giải phương trình khi m = -2.
2) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
3) Tìm 1 hệ thức không phụ thuộc tham số m giữa các nghiệm.
Bài 16. Cho phương trình: (m+1)x2 - 2(m + 2)x + m - 3 = 0.
(1)
1. Giải phương trình (1) khi m = 0.
2. ðịnh m ñể phương trình (1) có nghiệm.
3. ðịnh m ñể phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn: (4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18.
Bài 17. Cho phương trình: 3x2 - 4x + m + 5 = 0 (m là tham số)
(1)
1. Giải phương trình với m = - 4
2. Xác ñịnh m ñể phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt sao cho
2
Bài 18. Cho phương trình: x − mx + m
1. Giải phương trình khi m = 2.
ðT liên hệ : 0948294515
2
−m −3 = 0
19
1
1
4
+
=−
x1 x 2
7
(với m là tham số).
[email protected]
Giáo án ôn thi vào 10.
GV : Nguyễn Tài Minh
2. Tìm m ñể phương trình có nghiệm x1, x2 là dộ dài 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông
ABC có ñộ dài cạnh huyền BC = 2.
Bài 19. Cho phương trình: x2 – 2(m + 2)x + m2 – 9 = 0. (1)
1. Giải phương trình (1) với m = 1.
2. Tìm m ñể (1) có 2 nnghiệm phân biệt.
3. Gọi 2 nghiệm phân biệt của (1) là x1 và x2. Hãy xác ñịnh các giá trị của m ñể:
x1 − x 2 = x1 + x 2 .
Bài 20. Cho phương trình bậc hai sau, với tham số m : x2 - (m + 1)x + 2m - 2 = 0 (1)
1. Giải phương trình (1) khi m = 2.
2. Tìm giá trị của tham số m ñể x = -2 là một nghiệm của phương trình (1).
Bài 21. Một canô chạy xuôi dòng từ A ñến B rồi quay trở lại A ngay mất 4 giờ. Biết quãng sông AB
dài 30km và vận tốc dòng nước là 4km/h. Tính vận tốc thực của canô ?
Bài 22. Hai ôtô khởi hành cũng một lúc từ A ñến B cách nhau 150km. Biết vận tốc ôtô thứ nhất hơn
vận tốc ô tô thứ hai 10km/h và ôtô thứ nhất ñến B trước ôtô thứ hai 45 phút. Tính vận tốc mỗi xe ?
Bài 23. Hai xe máy khởi hành cùng một lúc ñi từ A ñến B. Xe máy thứ nhất có vận tốc trung bình
lớn hơn vận tốc trung bình của xe máy thứ hai 10km/h, nên ñến trước xe máy thứ hai 1 giờ. Tính
vận tốc trung bình của mỗi xe máy, biết rằng quãng ñường AB dài 120km.
Bài 24. Một ô tô ñi trên quãng ñường dài 520 km. Khi ñi ñược 240 km thì ô tô tăng vận tốc thêm 10
km/h và ñi hết quãng ñường còn lại. Tính vận tốc ban ñầu của ô tô, biết thời gian ñi hết quãng ñường
là 8 giờ.
Bài 25. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 12 giờ bể ñầy . Nếu từng vòi
chảy riêng thì thời gian vòi thứ nhất chảy ñầy bể sẽ ít hơn vòi thứ 2 chảy ñầy bể là 10 giờ . Hỏi nếu
chảy riêng từng vòi thì mỗi vòi chảy bao lâu ñầy bể ?
Bài 15. Một ca nô xuôi từ A ñến B với vận tốc 30km/h, sau ñó lại ngược từ B về A. Thời gian xuôi
ít hơn thời gian ngược 1h20 phút. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B biết rằng vận tốc dòng
nước là 5km/h và vận tốc riêng của ca nô khi xuôi và ngược là bằng
nhau.
Bài 26. Một người ñi xe máy từ A ñến B cách nhau 12 0km với vận tốc dự ñịnh trước. Sau khi ñi
ñược
1
quảng ñường AB người ñó tăng vận tốc lên 10km/h trên quãng ñường còn lại. Tìm vận tốc
3
dự ñịnh và thời gian lăn bánh trên ñường, biết rằng người ñó ñến B sớm hơn dự ñịnh 24 phút.
Bài 27. Một người dự ñịnh ñi xe ñạp từ A ñến B cách nhau 96km trong một thời gian nhất ñịnh. Sau
khi ñi ñược nửa quãng ñường người ñó dừng lại nghỉ 18 phút. Do ñó ñể ñến B ñúng hẹn người ñó ñã
tăng vận tốc thêm 2km/h trên quãng ñường còn lại. Tính vận tốc ban ñầu và thời gian xe lăn bánh
trên ñường.
Bài 28. Một công nhân dự ñịnh làm 150 sản phẩm trong một thời gian nhất ñịnh. Sau khi làm ñược
2 giờ với năng xuất dự kiến, người ñó ñã cải tiến các thao tác nên ñã tăng năng xuất ñược 2 sản
phẩm mỗi giờ và vì vậy ñã hoàn thành 150 sản phẩm sớm hơn dự kiến 30 phút. Hãy tính năng xuất
dự kiến ban ñầu.
Bài 29. Một ca nô xuôi dòng trên một khúc sông từ bến A ñến bến B cách nhau 80km,sau ñó lại
ngược dòng ñến ñịa ñiểm C cách B 72km, thời gian ca nô xuôi dòng ít hơn thời gian ca nô ngược
dòng 15 phút. Tính vận tốc riêng của ca nô,biết vận tốc của dòng nước là 4km/h.
Bài 30. Một người ñi xe ñạp từ A ñến B cách nhau 24km. Khi từ B trở về A người ñó tăng vận tốc
thêm 4km/h so với lúc ñi, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian ñi 30 phút . Tính vận tốc của người ñi
xe ñạp khi ñi từ A ñến B.
Bài 31. Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 48 km. Một canô ñi từ bến A ñến bến B, rồi quay
lại bến A. Thời gian cả ñi và về là 5 giờ (không tính thời gian nghỉ). Tính vận tốc của canô trong
nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 4 km/h.
Bài 32. Hai ô tô cùng xuất phát từ A ñến B, ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai mỗi giờ 10km
nên ñến B sớm hơn ô tô thứ hai 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe ô tô, biết quãng ñường AB dài là
300km.
ðT liên hệ : 0948294515
20
[email protected]
.PDF 
96 
2152 
83 
