Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Giáo án - Bài giảng Trung học phổ thông Giáo án ôn thi đại học môn toán bài giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một hàm số...

Tài liệu Giáo án ôn thi đại học môn toán bài giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một hàm số

.DOC
12
146
50

Mô tả:

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP HÀM SÔẤ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤẤT TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤẤT, GIÁ TRỊ NH Ỏ NHẤẤT BẰẰNG BẰẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SÔẤ §1. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số A. Tóm tắt lý thuyết Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một hàm số, ta có hai quy tắc sau đây: 1. Quy tắc 1 (Sử dụng định nghĩa) Giả sử xác định trên . Ta có D f   ; max M mD  fxfx xxDD   ff M mxxmin xx D  D D a::;ffbf  xx00  M m 2. Quy tắc 2 (Quy tắc tìm GTLN, xx00  GTNN của hàm số trên một đoạn): Để tìm giá GTLN, GTNN của hàm số xác định trên đoạn , ta làm như sau:  B1 Tìm các điểm , , …, thuộc khoảng mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0;fm12b  x x a  hoặc không có đạo hàm.  B2 Tính , , …, , , .  B3 So sánh các giá trị tìm được ở fff xxbam12 bước 2. Số lớn nhất trong các giá trị đó f chính là GTLN của trên đoạn ; số  a; b  nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của trên đoạn . max f  x  max  f  x1  , f  x2  ,  , f  xm  , f  a  , f  b   x a ;b  . min f  x  min  f  x1  , f  x2  ,  , f  xm  , f  a  , f  b   x a ;b  . Quy ước. Khi nói đến GTLN, GTNN của hàm f số mà không chỉ rõ GTLN, GTNN trên tập nào thì ta hiểu là GTLN, GTNN trên tập xác định của . B. Một số ví dụ 2 Ví dụ 1. [ĐHD11] Tìm GTLN, GTNN 23 x  3 2x0;  y của hàm số trên đoạn . x 1 Giải. Ta có . Lại có , . 17 17 min yx220xy2y 0;    323x  3  2 x 2  4 x  4 x  3  x 1 max xy0;2    y '   0 x  0;2   Suy ra , . 2 2 33  x  1  x  1 Nhận xét. THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG 0983070744 website: violet.vn/phphong84 DĐ: 1 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP HÀM SÔẤ  đồng biến trên ;  nghịch biến trên . Ví dụ 2. [ĐHB03] GTNN của hàm số . Tìm TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤẤT, GIÁ TRỊ NH Ỏ NHẤẤT BẰẰNG  min f a;fxb   f  a   x a ;b  f ;fxb  f  b   xmax min  x f  b  a ;b  f a  x a ;b GTLN,  y x  4  x 2 f  x  f  a  xmax  a ;b  TXÑ   2; 2 Giải.. Ta có Với mọi , ta có x x   2; 2  4  x 2  x  4x x 2 2; 2  4  x 2 Vậy  yx '20x2 02 4x4x x x0  2 2 4  x x y ' 1  (). .  min y min y   2  ; y  2  ;xy 22  .   min   2; 2; 2 2  2 , đạt được max y max y   2  ; y  2  ; y 2 2    min   2; 2; 2 2  2 , đạt được ; 2 Ví dụ 3. [ĐHD03] Tìm GTLN, GTNN   1;x2 1 y của hàm số trên đoạn . x2 1 Giải. Ta có x 2  1   x  1 Với mọi ta có y' . x 1 x x2 1 x    1; 2   2 x 1  x 1 x 2 1 yx ' 10 2 . Vậy x  1  3 5  min y min  y   1 ; y  2  ; y  1  min 0; ; 2  0 5   x 1 , đạt được  3 5  max y max  y   1 ; y  2  ; y  1  max 0; ; 2  2 . 5   Ví dụ 4. [ĐHB04] Tìm GTLN, GTNN của  1;eln3 2 x y   hàm số trên đoạn . x , đạt được ; Giải. Ta có  ln x  2 2  .x  ln x 2 ln x  ln 2 x x  y '   x2 x2 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG 0983070744 website: violet.vn/phphong84 . DĐ: 2 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP HÀM SÔẤ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤẤT, GIÁ TRỊ NH Ỏ NHẤẤT BẰẰNG Với mọi ta có x   1; e3  x' ln 2002x 0 2 ln xlny  hoặc e123  1 xx 1;e hoặc (). x 1  9 4 min y min y  1 ; y  e3  ; y  e 2  min 0; 3 ; 2  0  e e   2 , đạt được .  9 4 4 3 x e max y max y  1 ; y  e  ; y  e  max 0; 3 ; 2   2  e e  e Ví dụ 5. [ĐHD10] y   x 2  4 x  21   x 2  3 x  10 Tìm GTNN của hàm số . Vậy Giải. , đạt được .   , suy ra . Ta có   TXÑ 57    2;5   0 x2x23 4 xx x 21  TXÑ=  2 2  x 5   x  3 x  10 0 y '  x 2  x 2  4 x  21  2x  3 2  x 2  3 x  10 .  ' 04 x 2 212 x x3 9 x 2 x 4 x2 4 y    22 2 2 xx 44xx21 21 42  x2 x3 x3x 1010  4   x 2  3 x  10   x 2  4 x  4     x  4 x  21  4 x 2  12 x  9  hoặc . x29 1 51x 2  104 xx   29 0 17 3 y '1 Thử lại, ta thấy chỉ có là nghiệm của . x 3  1432 yy1x5  2   min y  y   2  3 3 , , , đạt được . C. Bài tập Tìm GTLN, GTNN của các hàm số 1) . 2) trên đoạn . 3) trên đoạn . 4) trên đoạn . 5) trên đoạn . 6) trên đoạn . 7) trên đoạn . 8) trên đoạn . 9) trên khoảng . 10) trên khoảng . 11) trên nửa khoảng . 12) trên nửa khoảng . 13) trên đoạn . y  4  x2 y x2 2;3  2x  5 2 y  x2;42 x  4 y x 3  3 x  3  3;  1 3  4;0 y  x3  2 x22 2 3x  4 y 3x 34;x 4 9 x  1 y x 3 3;1  5x  4 4 y  x  1;3  8x 2  16 1 y 0; x  1x  1;x  y   x 1 1 y 0;x2  2; 4x x y  2 x52x  4 2 x 0;1 y x2 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG 0983070744 website: violet.vn/phphong84 DĐ: 3 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP HÀM SÔẤ 14) . 15) . 16) . 17) . 18) . 19) TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤẤT, GIÁ TRỊ NH Ỏ NHẤẤT BẰẰNG y sin 4 x  cos 4 x y 2sin 2 x  2 sin x  1 y cos 2 2 x  sin x cos x  4 y cos3 x  6 cos 2 x  9 cos x  5 y sin 3 x  cos 2 x  sin x  2 y  sin 3x  3sin 3 x y 2 cos 2  cos x  1 cos  1 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG 0983070744 website: violet.vn/phphong84 DĐ: 4 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP HÀM SÔẤ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤẤT, GIÁ TRỊ NH Ỏ NHẤẤT BẰẰNG §2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức A. Nguyên tắc chung Việc giải bài toán dạng này gồm các bước như sau: Xác định ẩn phụ .  t Từ giả thiết, tìm miền giá trị của .  t Đưa việc tìm GTLN, GTNN của biểu thức cần xét về việc tìm GTLN, GTNN của một  t hàm biến trên miền giá trị của . B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, x1  S  xx3y y 0 4y3  1 GTNN của . t  xy 2  x  y  4 0 t  4 Giải. Đặt , suy ra . Ta có . Xét hàm , với . Ta có đồng biến trên f 'tt t 33 42t0;12 t  63 0  t tf0;  t0; 4412 . Do đó , đạt được khi và chỉ khi  min S min f  t   f  0   63  xy  3  3 23 2 3Stt  631   x  y    tx  4y t 4 12 3xy   hoặc . t 0;4  , đạt được khi và chỉ khi max S max f  t   f  4  49   xy 0   y2; 24  x; y x    xy 4 . t 0;4 Ví dụ 2. Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, 2 x x 2y0 S x  2xy y y GTNN của . t x t  0y Giải. Đặt . Ta có 2  22 x 2  y 2  4 t 2  x  y  t , . 2  2 2 xy x 2  y 2 2 t 2  x  y  x 2 t y2  Suy ra . Lại có t   2; 2  2 x 2 1 y2 2  yf  t   Sx   t  t 1 t 2  1 xy  2 2 2  t 2 ,, . Do 3 f ' tt  ff  211  0  1 2; 2 Ta có với mọi đó , đạt được  .  . x y min f1 2  1   xS   2 2 , đạt được hoặc .  x yy12  1 3 3 xSy1f Ví dụ 3. Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, max  x2 2 1  2 xyy202 2y x xx2 y GTNN của . S   8  x3 1  yy11  THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH2 XÂY DỰNG 0983070744 website: violet.vn/phphong84  DĐ:   y0;  4;0 44  x; y x  5 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP HÀM SÔẤ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤẤT, GIÁ TRỊ NH Ỏ NHẤẤT BẰẰNG t x  y Giải. Đặt , ta có , . Suy ra . Lại có Ta có biến đổi sau đây . Xét hàm với . Ta có  x  y  x  y 2 x y  2  2  xt2 4y 2  2 8 16 2 22xy  x 2  y 2 8  x 2 t y2 2 2 t 4  x  y 2   x2  y 2  2  . t2  8 2 tyx222 1t Stxty28yy8 12 xy x x     t 2 2 2t  6 x8 11 xyty1txy 481 2 t  f  2t t  22 t  2t  6 f ' t  t  2  2t  6    t  8   2t  2  t 2  2t  6  2  2 t 2   t2 t :16 22t 4 0 2  t 2  2t  6  ,. Suy ra nghịch biến trên . Do đó . . max f  t  2 ff2; 42 2  22 min f  t   f  4   t 2 2 ;4  3 2 2 x2 yy 4 +) , dấu bằng xảy ra . Vậy , đạt 4  x  8 S 2min minS f  t   t 2 2;4  3 được . 3  x  y 4 2  t8 4 2 +) , dấu bằng xảy ra hoặc . 2xx S 2  xmax y02f  2  t 2 2 ;4 y 20 22 2 y  x Vậy , đạt được hoặc . S0224  xx  max  3 x20xy  yyy  0 23 Ví dụ 4. Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, x    GTNN của . x2 y2 1 S   y 1 x 1 x  y  3 Giải. Đặt   3 ty t0  3x  txy  xy  2   2 t t3 3 t   4 Ta có .  x  y  t 3  3 t33  t 2t 7t 2t  2 13  t 3 1 t     4 3  t  4t  1t  3 2 t  3 Xét hàm , . Ta có , Do đó đồng biến trên . 3  3 3 22 y2 S 1  3xy  x  y  x x y y x  2 xy 1  x  1 y  1 x   33     xy   .x  y   1 x  yy  t 3 t   2;3 7t 1 3 f  t  t2    4 4 t 3 2 12;3 f2;3 3t 2 t 7  1  f '  t    2t   0 4 4  t  3 2 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG 0983070744 website: violet.vn/phphong84 DĐ: 6 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP HÀM SÔẤ    x 13 4 x y y xy S  f  t   f  2   5  x  y 2 . Dấu “” xảy ra . Dấu “” xảy ra TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤẤT, GIÁ TRỊ NH Ỏ NHẤẤT BẰẰNG hoặc .  x  yx xy 30 3 35 S f  t  f  3  6 303  x yy  , Đạt được . y 14 x  min S  5 , Đạt được hoặc . 3035  x max  S6  y 03 2 x Ví dụ 5. Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, Sx 2xxy yxyy 2y12 GTNN của . Giải. Cách 1. Từ giả thiết 32 2x32 y2 x3 y  2 3  x  y  2 t  2  x 4 ty  ;1   suy ra . Do đó, nếu đặt 1  x  y   xyt 3 3 4 4  thì , hay . Ta có , suy ra 2 xy  x  y   1 t 2  1 2 S  x  y   3xy t 2  3  t 2  1  2t 2  3 . Xét hàm với . Ta có , có nghiệm f ft'2f t 2' 3 t23t 224t233 3  t t 0 ; ;      duy nhất .   3 3 3 3  Ta có , .  2 3  f  0  32 3  1 f    f     3 3     3 Do đó , đạt được chẳng hạn khi  1 min S  3  .    221233 31   xx;xyx yy y  ;   33 3 3     S 32 , đạt được khi và chỉ khi xx2max  xy 12  yxy   y 11  xy  3  hoặc .  1  x; y   1; 1;1 Cách 2. Ta có .  Xét . Khi đó . S x 2  xy  y 2 x 2  xy  y 2 Sy 1 0 đặt , ta được y yS2 x0 t y 2 t  t 1 2t Xét hàm , ta có . S 2 1 2 2 2 t t  t 112  t t 1  t 1 ff ' tt  f  tt2  t  12 Bảng biến thiên của hàm :  t 2  t 1 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG 0983070744 website: violet.vn/phphong84  x0 0y 0 xxyy   x 2  xyxy 2 2 1 y 1  xy   y  Xét . Chia cả tử và mẫu của cho và . DĐ: 7 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP HÀM SÔẤ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤẤT, GIÁ TRỊ NH Ỏ NHẤẤT BẰẰNG . 2   t lim f  t   lim  1  t   t    1  1  12 t t     1   Suy ra: +) , đạt được khi và chỉ khi 1 hoặc . min S   1 3 1 1  +) . Đạt được khi và chỉ khi  x;xy;xy   y max 1 S ;3     3 3 3  hoặc .   xxx2;y xy  1;  1;1 2 1  Ví dụ 6. [ĐHB09] Cho , thỏa mãn .   1  y  1 3 x y  x y y   4 xy 2 Tìm GTNN của  x 2  xy  y 2 1  A 3  x 4  y 4  x 2 y 2   2  x 2  y 2   1 . Giải. Áp dụng bất đẳng thức với , 2 baab xy2 3 a  b 2 2 a  b    4  ta được  2 2 9 3 A x4  yx42 xy22y 2 2  x 2x 2y 2y2  1  Từ giả thiết, áp dụng bất đẳng 4 4 2 4xy  x  y  thức , ta có  x  y 2 2 y  2  x  y  2x  x  y  1  1  0 .  102  x  y  1   x  y x  y2 xxxyyy2 3 2  2 (do , ). Đặt . 2 2 Xét hàm , . Ta có đồng biến trên   xtyx  y1 t   1f9 9t211 1 t901 . 2 f ' t    t t    f t  f ;    t t22 22   242  2  16 Như vậy , dấu “” xảy ra khi và chỉ  99t 2  2t  1 A  f  t   khi S 4 16 Vậy , đạt được hoặc .  1 91 1   2 2 2  S    ; y  ;XÂY   x;xymin  ĐH THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG 16   DỰNG 0983070744 website: violet.vn/phphong84 hoặc . x  1y 1  1   2 2 22 21  x  y  2  x; y x ;y  ; ; DĐ: 8 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP HÀM SÔẤ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤẤT, GIÁ TRỊ NH Ỏ NHẤẤT BẰẰNG 2 0 5 zxyzyz5 Ví dụ 7. [ĐHB12] Cho các số thực , , P x 2x xyy5 2 z1 thỏa mãn các điều kiện và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Giải. Từ suy ra , thay vào đẳng thức thứ  y xzy0 zx  hai của giả thiết, ta được 2 2 2 1 x 2  y 2   x  y  2  x  y   2 xy 2  x  y   1 3 2 2  x  y   x  y 2 2 t x  y Do đó, nếu đặt thì ta có t 2  16  226 3  t xy 2t ;1  2  3 3  Biến đổi ,. 5 5  x 3  y 3   x2 x5 y2 y5Px 2 yx2 xy  y    x  y  3 2 5   x  y   3xy  x  y     x  y   2 xy   x 2 y 2  x  y    x  y     2 2 2 5 .  3  2  2t23t t 1   2t 2  1  2t  1   5  t  3  t   t 4 2    t t  2    5 232    2  Xét hàm , với . Ta có  6 26t66 t16 f f 't  tt 6 t     ; ;    4 4 có hai nghiệm là 6 3 33  3  . Ta có , , , .  666 555666 f ff     3 6 3 36 36 36       Vậy , đạt được chẳng hạn khi , . 656 6 xzP y  Ví dụ 8. Cho , , thỏa mãn . Tìm GTNN min y x z  03636 3 của biểu thức x yz  2 S x 2  y 2  z 2  1 1 1  2  2 2 x y y z z x . Giải. Đặt . Ta có và Suy ra . Lại có , 3 xyz t 0 t . 1 3  x  yt  z 3 3 xyz 2 2  1 t   0;   2 1 1 x2  1 y 2 z323 31 3  x 2 1y 2 z2 13t2 3  3   x2 y y 2 z z 2 x x 2 y y 2 z z 2 x xyz t 3 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG 0983070744 website: violet.vn/phphong84 DĐ: 1  S 3  t 2  3  t   9 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP HÀM SÔẤ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤẤT, GIÁ TRỊ NH Ỏ NHẤẤT BẰẰNG . Xét hàm với . Ta có , suy ra 12t15 99   3f 1t211 3 t 30; f 0; 0; f ' min t  fS2t   0 3        4 4 nghịch biến trên . Vậy , đạt được  t 2 222t t 4 khi và chỉ khi . x y  z 1 x y z   xy 12 y  0z1 Ví dụ 9. [ĐHA03] Cho , , thỏa mãn . x3 zxyz  2 Chứng minh rằng: x2  Giải. Xét , , , ta có . . 1  1 1  y 2  2  z 2  2  82 2 x y z      1  1 1 1  a  b  c  baxc yxzy;;  z;       xyz x y z  a  b  c a  b  c Từ suy ra 1 1 1 x  2  y2  2  z2  2  x y z 2 1 1 1  x  y  z      x y z 2 2 Đến đây ta có hai cách đi tiếp: Cách 1. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: Do đó 1x  1y  z1 3 3 xyz 1   3 3 x y z xyz Ta có 9 3 VTt  1 xyz 9t  t   2 ,. , với . 2 . 1  x yz 0  t    9   3 1  9 Xét với . Ta có f t  t  0;9t   9  t nghịch biến trên . f   1t 19  0 f ' t t  0;9 0; 2    9  t9  (ĐPCM). 1 VTf  1t  8282    f f (t )   9  2 2 Cách 2.  1 2 1  11  1 1  2 2 81 x  y  xz  y z     80  x  y  z   x y  xz  y z  2  1 1 2 1 2 2 81 x  y  z       80  x  y  z   x y z THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 10 0983070744 website: violet.vn/phphong84 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP HÀM SÔẤ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤẤT, GIÁ TRỊ NH Ỏ NHẤẤT BẰẰNG 18.9 80   1 –1  1 82 2 18  x  y  z       80  x  y  z   x y z Từ đó suy ra điều phải chứng minh. . C. Bài tập Bài 1. [ĐHD09] Cho , GTLN, GTNN của thỏa mãn . Tìm xy 01 x y . 2 2 Bài 2. Cho , thỏa mãn . Tìm S  4 x  3 y   4 y  3x   25 xy xy 01 x y GTLN, GTNN của . Bài 3. Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, S  x  y xy1 01x  1 xy y GTNN của . 2 2 2 2 Bài 4. Cho , thỏa mãn . Tìm S  x  1  y  1  x  y  1 x x  yyxy 0 3 GTLN, GTNN của S Bài 5. Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức . x y 6   x  22 y2 xy 2 x  y  1 x  y 1  xy . 4 4 2 2 Bài 6. Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, S x  y  x y x 2  xyy 2 1 GTNN của biểu thức Bài 7. [ĐHD12] Cho , mãn . Tìm GTNN của thỏa . S  1 x  1 y 2 y 2  x  4    y  x4   2 xy 32 A x 3  y 3  3  xy  1  x  y  2  . Bài 8. [ĐHA06] Cho , thỏa mãn . yx 10 02 1 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .  x  y Axy 3x  3y  xy x y Bài 9. [ĐHB08] Cho , thỏa mãn . Tìm 2 2 y x x  y 1 GTLN, GTNN của biểu thức . 2  x 2  6 xy  Bài 10. Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, 2 2x y xy 12 Px  GTNN của biểu thức 1 y 2 xy  2 y . Bài 11. Cho , thỏa mãn . Tìm GTNN 2 x 2  y 2xy xy 1 của biểu thức S x 2  y 2 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG 0983070744 website: violet.vn/phphong84 S x 2  2 xy  y 2 . DĐ: 11 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP HÀM SÔẤ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤẤT, GIÁ TRỊ NH Ỏ NHẤẤT BẰẰNG xy 0 3 z Bài 12. Cho , , thỏa mãn . Tìm GTNN x yz  của biểu thức 2 . Bài 13. [ĐHB10] Cho , , thỏa S  x  y  z  1  1  1 a cb  ba 0c x1 y z mãn . Tìm GTNN của biểu thức . Bài 14. Cho , , M 3  a b  b c  c a   3  ab  bc  ca   2 a  b  a xy 0 3 z thỏa mãn . Tìm x yz  2 GTNN của biểu thức 2 2 2 2 2 2 x y x x5 y5 z 5 P 2  2  2    y z z x x y y z x THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG 0983070744 website: violet.vn/phphong84 2 2 2 . DĐ: 12
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan