BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC
PHƯƠNG PHÁP HÀM SÔẤ
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤẤT
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤẤT, GIÁ TRỊ NH Ỏ NHẤẤT BẰẰNG
BẰẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SÔẤ
§1. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số
A. Tóm tắt lý thuyết
Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một hàm số, ta có hai quy tắc sau
đây:
1. Quy tắc 1 (Sử dụng định nghĩa)
Giả sử xác định trên . Ta có
D
f
;
max
M
mD
fxfx
xxDD
ff M
mxxmin
xx
D
D
D a::;ffbf xx00
M
m
2. Quy tắc 2 (Quy tắc tìm GTLN, xx00
GTNN của hàm số trên một
đoạn): Để tìm giá GTLN, GTNN của hàm số xác định trên đoạn , ta làm như sau:
B1 Tìm các điểm , , …, thuộc
khoảng mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng
0;fm12b
x
x
a
hoặc không có đạo hàm.
B2 Tính , , …, , , .
B3 So sánh các giá trị tìm được ở fff xxbam12 bước 2. Số lớn nhất trong các giá trị đó
f
chính là GTLN của trên đoạn ; số a; b nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN
của trên đoạn .
max f x max f x1 , f x2 , , f xm , f a , f b
x a ;b
.
min f x min f x1 , f x2 , , f xm , f a , f b
x a ;b
.
Quy ước. Khi nói đến GTLN, GTNN của hàm f số mà không chỉ rõ GTLN, GTNN trên tập
nào thì ta hiểu là GTLN, GTNN trên tập xác định của .
B. Một số ví dụ
2
Ví dụ 1. [ĐHD11] Tìm GTLN, GTNN
23 x 3
2x0;
y
của hàm số trên đoạn .
x 1
Giải. Ta có . Lại có , .
17
17
min
yx220xy2y
0;
323x 3 2 x 2 4 x
4 x 3 x 1 max
xy0;2
y
'
0
x
0;2
Suy ra , .
2
2
33
x 1
x 1
Nhận xét.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
0983070744 website: violet.vn/phphong84
DĐ:
1
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC
PHƯƠNG PHÁP HÀM SÔẤ
đồng biến trên ;
nghịch biến trên .
Ví dụ 2. [ĐHB03]
GTNN của hàm số .
Tìm
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤẤT, GIÁ TRỊ NH Ỏ NHẤẤT BẰẰNG
min f a;fxb f a
x a ;b
f ;fxb f b
xmax
min
x f b
a ;b f a
x a ;b
GTLN, y x 4 x 2
f x f a
xmax
a ;b
TXÑ 2; 2
Giải.. Ta có
Với mọi , ta có
x x 2; 2 4 x 2 x
4x x 2 2; 2 4 x 2
Vậy
yx
'20x2 02
4x4x
x
x0
2
2
4 x x
y ' 1
().
.
min y min y 2 ; y 2 ;xy 22
.
min 2; 2; 2 2 2
, đạt được max y max y 2 ; y 2 ; y 2 2
min 2; 2; 2 2 2
,
đạt
được ;
2
Ví dụ 3. [ĐHD03] Tìm GTLN, GTNN 1;x2 1
y
của hàm số trên đoạn .
x2 1
Giải. Ta có
x 2 1 x 1
Với mọi ta có
y'
.
x
1 x
x2 1
x 1; 2 2
x 1
x 1 x 2 1
yx
' 10
2
.
Vậy
x
1
3 5
min y min y 1 ; y 2 ; y 1 min 0;
; 2 0
5
x
1
, đạt được
3 5
max y max y 1 ; y 2 ; y 1 max 0;
; 2 2
.
5
Ví dụ 4. [ĐHB04] Tìm GTLN, GTNN của 1;eln3 2 x
y
hàm số trên đoạn .
x
, đạt được ;
Giải. Ta có
ln x
2
2
.x ln x 2 ln x ln 2 x
x
y '
x2
x2
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
0983070744 website: violet.vn/phphong84
.
DĐ:
2
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC
PHƯƠNG PHÁP HÀM SÔẤ
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤẤT, GIÁ TRỊ NH Ỏ NHẤẤT BẰẰNG
Với mọi ta có
x 1; e3
x' ln
2002x 0
2 ln xlny
hoặc
e123
1 xx
1;e
hoặc
().
x
1
9 4
min y min y 1 ; y e3 ; y e 2 min 0; 3 ; 2 0
e e
2
, đạt được .
9 4 4
3 x e
max y max y 1 ; y e ; y e max 0; 3 ; 2 2
e e e
Ví dụ 5. [ĐHD10]
y x 2 4 x 21 x 2 3 x 10
Tìm GTNN của hàm số .
Vậy
Giải.
, đạt được .
, suy ra . Ta có
TXÑ
57
2;5
0
x2x23
4
xx x
21
TXÑ=
2 2 x 5
x 3 x 10 0
y '
x 2
x 2 4 x 21
2x 3
2 x 2 3 x 10
.
' 04 x 2 212
x x3 9
x 2 x 4 x2 4 y
22
2 2
xx 44xx21
21 42 x2 x3 x3x
1010
4 x 2 3 x 10 x 2 4 x 4
x 4 x 21 4 x 2 12 x 9
hoặc .
x29
1
51x 2 104
xx
29 0
17
3
y '1
Thử lại, ta thấy chỉ có là nghiệm của .
x
3
1432
yy1x5
2
min
y
y 2
3 3
, , , đạt được .
C. Bài tập
Tìm GTLN, GTNN của các hàm số
1) .
2) trên đoạn .
3) trên đoạn .
4) trên đoạn .
5) trên đoạn .
6) trên đoạn .
7) trên đoạn .
8) trên đoạn .
9) trên khoảng .
10) trên khoảng .
11) trên nửa khoảng .
12) trên nửa khoảng .
13) trên đoạn .
y 4 x2
y x2 2;3
2x 5
2
y x2;42 x 4
y x 3 3 x 3
3;
1 3 4;0
y x3 2 x22 2 3x 4
y 3x 34;x 4 9 x 1
y x 3 3;1
5x 4
4
y x 1;3
8x 2 16
1
y 0;
x
1x
1;x
y
x 1 1
y 0;x2
2; 4x x
y
2
x52x 4
2 x 0;1
y
x2
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
0983070744 website: violet.vn/phphong84
DĐ:
3
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC
PHƯƠNG PHÁP HÀM SÔẤ
14) .
15) .
16) .
17) .
18) .
19)
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤẤT, GIÁ TRỊ NH Ỏ NHẤẤT BẰẰNG
y sin 4 x cos 4 x
y 2sin 2 x 2 sin x 1
y cos 2 2 x sin x cos x 4
y cos3 x 6 cos 2 x 9 cos x 5
y sin 3 x cos 2 x sin x 2
y sin 3x 3sin 3 x
y
2 cos 2 cos x 1
cos 1
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
0983070744 website: violet.vn/phphong84
DĐ:
4
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC
PHƯƠNG PHÁP HÀM SÔẤ
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤẤT, GIÁ TRỊ NH Ỏ NHẤẤT BẰẰNG
§2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức
A. Nguyên tắc chung
Việc giải bài toán dạng này gồm các bước như sau:
Xác định ẩn phụ .
t
Từ
giả
thiết,
tìm
miền
giá
trị
của
.
t
Đưa việc tìm GTLN, GTNN của biểu thức cần xét về việc tìm GTLN, GTNN của một
t
hàm biến trên miền giá trị của .
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN,
x1
S xx3y y
0 4y3 1
GTNN của .
t xy 2
x y 4
0 t
4
Giải. Đặt , suy ra . Ta có
.
Xét hàm , với . Ta có đồng biến trên
f 'tt
t
33
42t0;12
t 63
0
t
tf0;
t0;
4412
. Do đó
, đạt được khi và chỉ khi
min S min f t f 0 63
xy
3
3
23 2
3Stt 631
x y tx 4y t 4 12
3xy
hoặc .
t 0;4
, đạt được khi và chỉ khi
max S max f t f 4 49
xy 0
y2;
24
x; y x
xy 4
.
t 0;4
Ví dụ 2. Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN,
2 x
x 2y0
S x
2xy
y y
GTNN của .
t
x
t
0y
Giải. Đặt . Ta có
2
22 x 2 y 2 4
t 2 x y t
,
.
2
2 2 xy x 2 y 2 2
t 2 x y x 2 t
y2
Suy ra . Lại có
t 2; 2
2
x 2 1 y2 2
yf t
Sx
t t
1 t 2 1
xy
2
2 2 t
2
,, . Do
3
f ' tt
ff
211 0
1 2;
2
Ta có với mọi
đó
, đạt được
.
.
x
y
min
f1 2 1
xS
2
2
, đạt được hoặc .
x yy12
1 3 3
xSy1f
Ví dụ 3. Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, max
x2 2 1 2
xyy202
2y
x
xx2 y
GTNN của .
S
8
x3 1
yy11
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH2 XÂY DỰNG
0983070744 website: violet.vn/phphong84
DĐ:
y0;
4;0
44
x; y x
5
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC
PHƯƠNG PHÁP HÀM SÔẤ
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤẤT, GIÁ TRỊ NH Ỏ NHẤẤT BẰẰNG
t x y
Giải. Đặt , ta có
,
.
Suy ra . Lại có
Ta có biến đổi sau đây
.
Xét hàm với . Ta có
x y
x y
2
x y
2
2 xt2
4y 2 2 8 16
2 22xy x 2 y 2 8
x 2 t y2
2 2 t 4
x y
2
x2 y 2
2
.
t2 8
2
tyx222 1t Stxty28yy8 12 xy
x x
t 2 2 2t 6
x8 11
xyty1txy
481
2 t
f 2t t
22
t 2t 6
f ' t
t
2
2t 6 t 8 2t 2
t
2
2t 6
2
2 t 2
t2 t :16
22t 4
0
2
t 2 2t 6
,.
Suy ra nghịch biến trên . Do đó . . max f t 2 ff2; 42 2 22
min f t f 4
t 2 2 ;4
3
2 2
x2
yy
4
+) , dấu bằng xảy ra . Vậy , đạt
4
x
8
S 2min
minS f t
t 2 2;4 3
được .
3
x y 4
2 t8 4 2
+) , dấu bằng xảy ra hoặc .
2xx
S 2 xmax
y02f
2
t 2 2 ;4
y
20 22 2
y
x
Vậy , đạt được hoặc .
S0224
xx
max
3
x20xy
yyy
0 23
Ví dụ 4. Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, x
GTNN của
.
x2
y2
1
S
y 1 x 1 x y 3
Giải. Đặt
3 ty
t0
3x
txy
xy
2
2 t t3
3 t
4
Ta có
.
x y
t 3 3 t33 t 2t 7t 2t 2 13 t 3 1
t
4 3 t 4t 1t 3 2 t 3
Xét hàm , .
Ta có ,
Do đó
đồng biến trên .
3
3
3
22
y2 S 1
3xy x y x x y y x 2 xy
1
x
1
y
1
x
33
xy .x y 1
x yy
t 3 t 2;3
7t
1
3
f t t2
4
4 t 3 2
12;3
f2;3
3t 2 t
7
1
f ' t 2t
0
4
4 t 3 2
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
0983070744 website: violet.vn/phphong84
DĐ:
6
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC
PHƯƠNG PHÁP HÀM SÔẤ
x
13 4
x
y
y xy
S f t f 2
5
x y 2
. Dấu “” xảy ra
. Dấu “” xảy ra
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤẤT, GIÁ TRỊ NH Ỏ NHẤẤT BẰẰNG
hoặc .
x yx
xy
30 3 35
S f t f 3
6
303
x yy
, Đạt được .
y 14
x
min S
5
, Đạt được hoặc .
3035
x
max
S6
y 03
2 x
Ví dụ 5. Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, Sx 2xxy
yxyy 2y12
GTNN của .
Giải.
Cách 1. Từ giả thiết
32 2x32 y2 x3 y 2 3 x y 2
t
2
x 4 ty ;1
suy ra . Do đó, nếu đặt 1 x y xyt
3
3 4
4
thì , hay .
Ta có , suy ra
2
xy x y 1 t 2 1
2
S x y 3xy t 2 3 t 2 1 2t 2 3
.
Xét hàm với . Ta có , có nghiệm
f ft'2f
t 2' 3
t23t 224t233 3
t
t
0
; ;
duy nhất .
3 3 3 3
Ta có , .
2 3 f 0 32 3 1
f
f
3
3
3
Do đó
, đạt được chẳng hạn khi
1
min S
3
.
221233 31
xx;xyx yy
y
;
33 3 3
S 32
, đạt được khi và chỉ khi
xx2max
xy 12 yxy
y
11
xy
3
hoặc .
1
x; y 1; 1;1
Cách 2. Ta có .
Xét . Khi đó .
S
x 2 xy y 2
x 2 xy y 2
Sy 1
0
đặt , ta được
y yS2 x0
t
y
2
t t 1
2t
Xét hàm , ta có .
S 2
1 2 2
2
t
t t 112 t t 1
t 1
ff ' tt
f tt2 t 12
Bảng biến thiên của hàm :
t 2 t 1
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
0983070744 website: violet.vn/phphong84
x0
0y 0
xxyy
x 2 xyxy
2 2 1
y 1
xy
y
Xét . Chia cả tử và mẫu của cho và
.
DĐ:
7
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC
PHƯƠNG PHÁP HÀM SÔẤ
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤẤT, GIÁ TRỊ NH Ỏ NHẤẤT BẰẰNG
.
2
t
lim f t lim 1
t
t
1 1 12
t t
1
Suy ra:
+) , đạt được khi và chỉ khi
1
hoặc .
min
S
1 3 1 1
+) . Đạt được khi và chỉ khi x;xy;xy
y max
1 S ;3
3 3 3
hoặc .
xxx2;y xy
1;
1;1
2 1
Ví dụ 6. [ĐHB09] Cho , thỏa mãn . 1 y 1
3 x
y
x y y 4 xy 2
Tìm GTNN của
x 2 xy y 2 1
A 3 x 4 y 4 x 2 y 2 2 x 2 y 2 1
.
Giải. Áp dụng bất đẳng thức với , 2
baab xy2 3 a b 2
2
a
b
4
ta được
2
2
9
3
A x4 yx42 xy22y 2 2 x 2x 2y 2y2
1
Từ giả thiết, áp dụng bất đẳng
4
4 2
4xy x y
thức , ta có
x y
2
2
y
2 x y 2x x y 1 1 0
.
102
x y 1 x y x y2 xxxyyy2
3
2
2
(do , ).
Đặt .
2
2
Xét hàm , . Ta có đồng biến trên xtyx y1
t 1f9
9t211
1 t901
.
2
f
'
t
t
t
f
t
f
;
t t22 22
242
2 16
Như vậy , dấu “” xảy ra khi và chỉ
99t 2 2t 1
A f t
khi
S 4
16
Vậy , đạt được hoặc .
1 91 1
2 2 2
S
; y
;XÂY
x;xymin
ĐH
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG
16 DỰNG
0983070744
website: violet.vn/phphong84
hoặc .
x 1y 1
1
2 2 22 21
x y 2
x; y x ;y ; ;
DĐ:
8
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC
PHƯƠNG PHÁP HÀM SÔẤ
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤẤT, GIÁ TRỊ NH Ỏ NHẤẤT BẰẰNG
2 0 5
zxyzyz5
Ví dụ 7. [ĐHB12] Cho các số thực , , P
x 2x
xyy5 2
z1
thỏa mãn các điều kiện và . Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức .
Giải. Từ suy ra , thay vào đẳng thức thứ
y xzy0
zx
hai của giả thiết, ta được
2
2
2
1 x 2 y 2 x y 2 x y 2 xy 2 x y
1
3
2
2
x y x y
2
2
t x y
Do đó, nếu đặt thì ta có
t 2 16
226
3
t xy 2t ;1
2
3 3
Biến đổi
,.
5
5
x 3 y 3 x2 x5 y2 y5Px 2 yx2 xy y x y
3
2
5
x y 3xy x y x y 2 xy x 2 y 2 x y x y
2
2
2
5
.
3
2 2t23t t 1 2t 2 1
2t 1
5
t 3
t t 4 2
t t
2
5 232 2
Xét hàm , với . Ta có
6 26t66 t16
f
f
't
tt 6
t
; ;
4
4
có hai nghiệm là
6 3 33 3
.
Ta có , , , .
666 555666
f ff
3
6
3
36
36
36
Vậy , đạt được chẳng hạn khi , .
656 6
xzP
y
Ví dụ 8. Cho , , thỏa mãn . Tìm GTNN min
y
x
z 03636
3
của biểu thức
x yz
2
S x 2 y 2 z 2
1
1
1
2 2
2
x y y z z x
.
Giải. Đặt . Ta có và
Suy ra .
Lại có
,
3 xyz
t
0
t
.
1
3
x yt
z 3 3 xyz
2
2
1
t 0;
2
1
1 x2 1
y 2 z323 31 3
x 2 1y 2 z2 13t2 3 3
x2 y y 2 z z 2 x
x 2 y y 2 z z 2 x xyz t 3
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
0983070744 website: violet.vn/phphong84
DĐ:
1
S 3 t 2 3
t
9
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC
PHƯƠNG PHÁP HÀM SÔẤ
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤẤT, GIÁ TRỊ NH Ỏ NHẤẤT BẰẰNG
.
Xét hàm với . Ta có , suy ra
12t15 99
3f 1t211
3
t
30;
f
0;
0;
f ' min
t fS2t
0
3
4
4
nghịch biến trên . Vậy , đạt được
t 2 222t t 4
khi và chỉ khi
.
x y z 1
x y z
xy 12
y
0z1
Ví dụ 9. [ĐHA03] Cho , , thỏa mãn . x3 zxyz
2
Chứng minh rằng:
x2
Giải. Xét , , , ta có .
.
1
1
1
y 2 2 z 2 2 82
2
x
y
z
1 1 1 1
a b c baxc yxzy;; z;
xyz x y z
a b c a b c
Từ suy ra
1
1
1
x 2 y2 2 z2 2
x
y
z
2
1 1 1
x y z
x y z
2
2
Đến đây ta có
hai cách đi tiếp:
Cách 1. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
Do đó
1x 1y z1 3 3 xyz
1
3 3
x y z
xyz
Ta có
9
3
VTt
1 xyz
9t
t
2
,.
, với .
2
.
1
x yz
0 t
9
3 1 9
Xét với . Ta có
f t
t 0;9t
9 t
nghịch biến trên .
f
1t 19 0
f ' t t
0;9 0;
2
9 t9
(ĐPCM).
1
VTf 1t
8282
f f (t )
9 2
2
Cách 2.
1 2 1 11 1 1
2
2
81 x y xz y z 80 x y z
x y xz y z
2
1 1
2 1
2
2 81 x y z 80 x y z
x y z
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ:
10
0983070744 website: violet.vn/phphong84
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC
PHƯƠNG PHÁP HÀM SÔẤ
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤẤT, GIÁ TRỊ NH Ỏ NHẤẤT BẰẰNG
18.9
80
1 –1
1 82
2
18 x y z 80 x y z
x y z
Từ đó suy ra điều phải
chứng minh.
.
C. Bài tập
Bài 1. [ĐHD09] Cho ,
GTLN, GTNN của
thỏa mãn . Tìm
xy 01
x
y
.
2
2
Bài 2. Cho , thỏa mãn . Tìm S 4 x 3 y 4 y 3x 25 xy
xy 01
x
y
GTLN, GTNN của
.
Bài 3. Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, S x y
xy1 01x 1
xy
y
GTNN của
.
2
2
2
2
Bài 4. Cho , thỏa mãn . Tìm S x 1 y 1 x y 1
x
x yyxy
0 3
GTLN, GTNN của
S
Bài 5. Cho , thỏa mãn . Tìm
GTLN, GTNN của biểu thức
.
x
y
6
x 22 y2 xy 2 x y 1
x y 1 xy
.
4
4
2 2
Bài 6. Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, S x y x y
x 2 xyy 2 1
GTNN của biểu thức
Bài 7. [ĐHD12] Cho ,
mãn . Tìm GTNN của
thỏa
.
S 1 x 1 y
2
y 2
x 4 y x4 2 xy 32
A x 3 y 3 3 xy 1 x y 2
.
Bài 8. [ĐHA06] Cho , thỏa mãn .
yx 10
02 1 2
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . x y Axy
3x 3y xy
x
y
Bài 9. [ĐHB08] Cho , thỏa mãn . Tìm
2
2
y
x
x y 1
GTLN, GTNN của biểu thức
.
2 x 2 6 xy
Bài 10. Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN,
2
2x
y xy 12
Px
GTNN của biểu thức
1 y 2
xy 2 y
.
Bài 11. Cho , thỏa mãn . Tìm GTNN
2 x 2 y 2xy xy 1
của biểu thức
S x 2 y 2
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
0983070744 website: violet.vn/phphong84
S x 2 2 xy y 2
.
DĐ:
11
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC
PHƯƠNG PHÁP HÀM SÔẤ
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤẤT, GIÁ TRỊ NH Ỏ NHẤẤT BẰẰNG
xy 0 3
z
Bài 12. Cho , , thỏa mãn . Tìm GTNN
x yz
của biểu thức
2
.
Bài 13. [ĐHB10] Cho , , thỏa S x y z 1 1 1
a cb
ba 0c x1 y z
mãn . Tìm GTNN của biểu thức
.
Bài 14. Cho , , M 3 a b b c c a 3 ab bc ca 2 a b a
xy 0 3
z
thỏa mãn . Tìm
x yz
2
GTNN của biểu thức
2 2
2 2
2
2
x
y
x
x5 y5 z 5
P 2 2 2
y z z x x y y
z
x
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
0983070744 website: violet.vn/phphong84
2
2
2
.
DĐ:
12
- Xem thêm -