Tài liệu Giáo án giải tích 11 chương 1 bài 3 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 2 cột soạn theo 5 hoạt động định hướng phát triển năng lực trường học mới

MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP (5 tiết) I.Mục tiêu: 1/ Kiến thức: - Biết được dạng PT và cách giải PT bậc nhất đối với một hàm số lượng giác, PT qui về PT bậc nhất đối với một hàm số lượng giác. - Biết được dạng PT và cách giải PT bậc hai đối với một hàm số lượng giác, PT qui về PT bậc hai đối với một hàm số lượng giác. -Biết được dạng PT và cách giải PT bậc nhất đối với sinx và cosx, PT thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx. 2/ Kĩ năng: - Giải được PT bậc nhất đối với một hàm số lượng giác , PT bậc hai đối với một hàm số lượng giác, PT bậc nhất đối với sinx và cosx, , PT thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx. - Giải được một số dạng phương trình lượng giác khác - Có kĩ năng chọn nghiệm trong khoảng để làm bài trắc nghiệm - Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm. 3/ Thái độ : - Nghiêm túc, tích cực, chủ động, độc lập và hợp tác trong hoạt động nhóm - Có hứng thú trong học tập và tìm tòi nghiên cứu liên hệ thực tiễn . 4/ Đinh hướng phát triển năng lực: - Năng lực hợp tác: Tổ chức nhóm học sinh hợp tác thực hiê ̣n các hoạt đ ̣ng. - Năng lực tự học, tự nghiên cứu: Học sinh tự giác tìm tòi, lĩnh h ̣i kiến thức và phương pháp giải quyết bài tâ ̣p và các tình huống. - Năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề: Học sinh biết cách huy động các kiến thức đã học để giải quyết các câu hoi. Biết cách giải quyết các tình huống trong giơ học. - Năng lực tính toán. -Năng lực quan sát - Năng lực vận dụng kiến thức vào cuộc sống. II.CHUẨN BỊ: 1. Giáo viên: + Soạn bài và xem lại giáo án trước giơ lên lớp. + Chuẩn bị phương tiện dạy học: Phấn, thước kẻ, máy chiếu... 2. Học sinh: + Đọc bài trước ở nhà. +Làm việc nhóm ở nhà, trả lơi các câu hoi được giáo viên giao từ tiết trước III. Chuỗi các hoạt động học Kiểm tra bài cũ: 1)Giải các phương trình: a) sin 2 x  3 2 b) 3 tan x  1 0 ( b) Bài mới: 1 I. Giới thiêu: ̣ Các em đã được học xong c ng thức nghiệm của PTLG cơ bản. Bây giơ chúng ta sẽ tìm hiểu phương pháp giải một số PTLG thương gặp dựa trên PTLG cơ bản đã biết.(5 phút) II.Nô ̣i dung bài học: 1.Phương trình bậc nhất đối với một HSLG (40 phút) HĐ1: Tiếp câ ̣n kiến thức: + Chuyển giao: Học sinh trả lơi các câu hoi sau. 1)Nêu định nghĩa PT bậc nhất đối với x ? 2)Dựa vào PT (b) ở trên hãy phát biểu ĐN PT bậc nhất đối với 1 HSLG? 3) Cho VD về PT bậc nhất đối với 1 HSLG? 4) Nêu cách giải PT bậc nhất đối với 1 HSLG? + Thực hiện: Học sinh suy nghĩ và trả lơi câu hoi. + Báo cáo, thảo luận: Chỉ định một học sinh bất kì trả lơi câu hoi, các học sinh khác đánh giá lơi giải. 1)Dạng : ax+b=0 ( a 0) 2) PT bậc nhất đối với 1 HSLG là PT có dạng at + b = 0(a  0), t là 1 trong các HSLG 3) 2cosx – 3 = 0 4) at  b 0  t  b a + Đánh giá, nhận xét, tổng hợp chốt kiến thức: Trên cơ sở câu trả lơi của học sinh, giáo viên phân tích, đánh giá, chính xác hóa lơi giải . GV định nghĩa. HS viết bài vào vở HĐ2: Hình thành kiên thưc: Gợi y a. Định nghĩa: PT bậc nhất đối với 1 HSLG là PT có dạng at + b = 0,trong đó a, b là các hằng số (a  0), t là 1 trong các HSLG b. Cách giải : at  b 0  t  b a . Ta đưa PT trên về PTLG cơ bản. VD:Tìm tất cả các nghiệm của phương trình tan x  1 0 . A. C.   k 2 , k  Z 4  x   k , k  Z 4 x   k , k  Z . 4  D. x  4  k 2 , k  Z . B. x c. PT đưa về PT bậc nhất đối với một hàm số lượng giác VD : PT 5cosx – 2sin2x = 0 HĐ3: Củng cố kiên thưc: + Chuyển giao: Học sinh thảo luận theo nhóm giải quyết các bài tập sau + Thực hiện: HS trao đổi theo Gợi y 2 nhóm tìm lơi giải + Báo cáo, thảo luận: Gọi mỗi nhóm 1 hs lên trình bày LG + Đánh giá, nhận xét: Trên cơ sở câu trả lơi của học sinh, giáo viên phân tích, đánh giá, chính xác hóa lơi giải . 1)Giải các phương trình sau a) 2cosx – 3 = 0 b) 2sinx – 3 = 0 c) 3 cot x  3 0 d) (sinx + 1)(2cos2x – 2 ) = 0 e) 5cosx – 2sin2x = 0 f) 8sinx.cosx.cos2x = –1 g) sin2x – sinx = 0 a) cos x  3   x   k 2 , k  Z 2 6 b) pt  sinx = c) 3 > 1: PT VN 2 cot x  3  sin x  1 d) PT  2 cos 2 x   2 e) PT  cosx(5 – 4sinx) = 0 f) PT  2sin4x = –1 g) PT  sinx(sinx – 1) = 0 2. PT bậc hai đối với một HSLG (45 phút) HĐ1: Tiếp câ ̣n kiến thức: + Chuyển giao:: Học sinh trả lơi các câu hoi sau. + Thực hiện: Học sinh suy nghĩ và trả lơi câu hoi. + Báo cáo, thảo luận: Chỉ định một học sinh bất kì trả lơi câu hoi, các học sinh khác đánh giá lơi giải. + Đánh giá, nhận xét, tổng hợp chốt kiến thức: Trên cơ sở câu trả lơi của học sinh, giáo viên phân tích, đánh giá, chính xác hóa lơi giải, từ đó GV định nghĩa. HS viết bài vào vở.. 1)Nêu định nghĩa PT bậc hai đối với x ? 2) HS lấy VD về PT bậc hai đối với một HSLG sau đó cho biết dạng của PT bậc hai đối với một HSLG 3) Nêu cách giải của PT bậc hai đối với một HSLG 4)Để giải được phương trình đưa về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác Gợi y 1) ax 2  bx  c 0(a 0) 2) sin 2 x  3 sin x  2 0 3) Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) rồi giải phương trình theo ẩn phụ này. Cuối cùng ta đưa về việc giải các phương trình lượng giác cơ bản. 3 các em hãy nhắc lại - Hằng đẳng thức lượng giác cơ bản. - C ng thức cộng. - C ng thức nhân đ i. - C ng thức biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích. . HĐ2: Hình thành kiên thưc: a. Định nghĩa: phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng at 2  bt  c 0 ( a, b, c  R (a 0) và t là một trong các hàm số lượng giác. b. . Cách giải : Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) rồi giải phương trình theo ẩn phụ này. Cuối cùng ta đưa về việc giải các phương trình lượng giác cơ bản. * asin2x + bsinx + c = 0 Đặt t = sinx Đk: t 1 * acos2x + bcosx + c = 0 Đặt t = cosx Đk: Gợi y t 1 * atan2x + btanx + c = 0 Đặt t = tanx * acot2x + bcotx + c = 0 Đặt t = cotx c. PTquy về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác. Tìm cách đưa về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác. HĐ3: Củng cố kiên thưc: + Chuyển giao: Học sinh thảo luận theo nhóm giải quyết các BT dưới đây. + Thực hiện: HS trao đổi theo nhóm để tìm ra lơi giải + Báo cáo, thảo luận: Gọi mỗi nhóm một học sinh lên trình bày lơi giải. + Đánh giá, nhận xét, tổng hợp chốt kiến thức, GV chuẩn hóa lời giải x x a) 2 sin 2  2 sin 2  2 0 2 Gợi y Đặt sin x t 2 (  1 t 1 ) (*) 4 b)cos2x + sinx + 1 =0 c) 3 tan x  6 cot x  2 3  2 PT 3 0  2 d) 2 sin x  5 sin x cos x  cos x  2 Chú ý: Phương trình: 2 2 a sin x  b sin x cos x  c cos x d . 2 2 2 ( a  b  c 0 , a, b, c, d  R ) Chia cả hai vế cho cos 2 x ( với điều kiện cos x 0 ) để đưa về phương trình bậc hai đối với tanx. Khi đó ta được phương trình sau: a s in 2 x s inx d b c  2 2 cos x cos x cos x  a tan 2 x  b tan x  c d  1  tan 2 x    a  d  tan 2 x  b tan x  c  d 0 Giải phương trình bậc hai đối với tanx ta tìm được nghiệm của phương trình ban đầu. Nếu chia cả hai vế PT cho sin 2 x (sin x 0) ta được phương trình bậc hai đối với cotx.  2t 2  2t  2 0  t  2 (loai )  2  t  ( nhân )  2  ……. b)cos2x + sinx + 1 =0  1  sin 2 x  s inx +1 =0  sin 2 x  s inx  2 =0 Đặt t = sinx Đk: t 1 pht thành: t2 – t – 2 =0  t  1   t 2(loai)  s inx =  1   x   k 2 (k  Z) 2 c) 3 tan x  6 cot x  2 3  3 0 +) Điều kiện: sin x 0 và cos x 0 (*) Ta có : 3 tan x  6 1  2 3  3 0 tan x 3 tan 2 x  ( 2 3  3) tan x  6 0 Đặt tan x =t ta có. 3t 2  ( 2 3  3)t  6 0 t  3   t  2 Ta có    x   k  (k  Z ) 3 3 tanx  2  x arc tan( 2)  k  (k  Z ) tanx  3  tanx tan Các giá trị này đều thoa mãn điều kiện (*)  3 Vậy phương trình có nghiệm là : x   k và x arc tan( 2)  k  (k  Z ) d) 2 sin 2 x  5 sin x cos x  cos 2 x  2 (3)  2 Trương hợp 1 : cos x 0  x   k , k  Z kh ng phải là nghiệm của phương trình (3) Trương hợp 2 : cos x 0 Chia cả hai vế phương trình (3) cho cos 2 x ta được. 5 2 cos 2 x  4 tan 2 x  5 tanx  1 0 2 tan 2 x  5 tan x  1     tan x 1  x  4  k   (k  Z )  tan x  1  x arctan 1  k  4  4 Vậy phương trình có các nghiệm là :    x  4  k (k  Z )   x arctan 1  k  4 3.PT bậc nhất đối với sinx và cosx.(45 phút) HĐ1: Tiếp câ ̣n kiến thức: + Chuyển giao: Học sinh trả lơi các câu hoi dưới đây. + Thực hiện: Học sinh suy nghĩ và trả lơi câu hoi. + Báo cáo, thảo luận: Chỉ định một học sinh bất kì trả lơi câu hoi, các học sinh khác đánh giá lơi giải. + Đánh giá, nhận xét, tổng hợp chốt kiến thức: Trên cơ sở câu trả lơi của học sinh, giáo viên chính xác hóa lơi giải. 1) HS nhắc lại c ng thức cộng 2) Với kết quả sin   2 cos  4 4 2 cos( a  b) cos a cos b  sin a sin b cos( a  b) cos a cos b  sin a sin b . sin(a  b) sin a cos b  sin b cos a   CM: s inx+cosx= 2 sin  x    Gợi y sin(a  b) sin a cos b  sin b cos a 4 3): Chứng minh rằng:   s inx+cosx= 2 sin  x   4  + Vì a 2  b 2  0 nên ta viết được biểu A=a sin x  b cos x thức dưới dạng trên.   a b  a b  s inx  cosx  2 2 a 2  b2  a b  2 2 4)Tính: 2     a b I     2 2 2 2  a b   a b  2 +, I=1 6 a 5) Với cos  2 a b 2 b , sin   2 a  b2 , hãy thu gọn biểu thức A? + Ta có A  a 2  b 2  sin x cos   cos x sin    a 2  b 2 sin  x    HĐ2: Hình thành kiên thưc: a) Biến đổi biểu thức: a sin x  b cos x , Gợi y a 2  b 2 0 a sin x  b cos x  a 2  b 2 sin( x   ) Với cos  a a 2  b2 ,sin   (*) b a2  b2 b) Phương trình dạng a sin x  b cos x c . ( a, b, c  R, a 2  b 2 0) PT  a 2  b 2 sin( x   ) c  sin( x   )  c 2 a  b2 (Chia hai vế pt cho a 2  b 2 ) c PT có nghiệm khi 1 a  b2  c 2 a 2  b 2 2 HĐ3: Củng cố kiên thưc: + Chuyển giao:Phát phiếu học tập + Thực hiện: HS độc lập làm BT + Báo cáo, thảo luận: Gọi 1 hs lên trình bày LG , Gọi HS khác nhận xét + Đánh giá, nhận xét: phân tích, đánh giá ,chính xác hóa lơi giải. Gợi y 1) Giải các phương trình sau sin x + 3cosx = 1 2) Với giá trị nào của m thì phương trình 2sin 2 x  5cos2 x m có nghiệm 1 3 1 sin x  cos x  2 2 2   1  cos sin x  sin cos x  3 3 2    sin( x  ) sin 3 6    x  6  k 2    x    k 2  2 PT  1) 7 2)Phương trình có nghiệm khi   m2  5 2  22   3 m 3 III. HOẠT ĐÔ ̣NG LUYỆ ̣N TT ̣P (Â60 hhút) +/ Chuyển giao: GV trình chiếu đề bài của các BT. +/ Thực hiện nhiệm vụ: Học sinh thảo luận làm BT +/ Báo cáo, thảo luận: Gọi học sinh lên chữa bài tập, các học sinh khác thảo luận để hoàn thiện lơi giải. +/ Đánh giá, nhận xét: Trên cơ sở lơi giải của học sinh, giáo viên phân tích, đánh giá ,chính xác hóa lơi giải. Bài tập Gợi y 3  Phương trình bậc nhất đối với một hàm số a)  cos x  2  x 6  k 2, k   lượng giác. b)  sin x ( sin x - 1) = 0 1) Giải các phương trình sau:  x k   sin x 0 a) 2 cos x - 3 = 0    sin x 1  x    k 2 , k   2   b) sin x - sin x = 0  2 c) 2sin 2 x + 2 sin 4 x = 0 c)  2sin 2 x(1 + 2 cos 2 x) = 0 sin x + 1 2cos 2 x 2 = 0 )( ) d) (    sin 2 x 0  x k 2 ,k    2 3 cos 2 x   x   k   2 8     sin x  1 x   k 2  2 ,k  d)   2  cos 2 x   x   k   2 8  Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác. 2) Giải các phương trình sau: a) 2 cos 2 x - 3cos x +1 = 0 x 2 x 2 2 c) 2 tan x + 3 tan x +1 = 0 d) tan x - 2 cot x +1 = 0 b) sin 2 - 2 cos + 2 = 0 t cos x,  1 t 1 2 2t  3t  1 0 a)   x  1 t 1 t cos , b)  2 t 2  2t  3 0 t tan x 2 2t  3t  1 0 c)  t tan x , t  t  2 0 d)  2 t 0 3) Giải các phương trình sau: 8 a. sin 2 x  sin x cos x  3 cos 2 x 0 b. 3 sin 2 x  4 sin x cos x  5 cos 2 x 2 c. sin 2 x  sin 2 x  2 cos 2 x  1 2 d. 25sin 2 x +15sin 2 x + 9 cos 2 x = 25 PT bậc nhất đối với sinx và cosx. 4) Giải các phương trình sau: a) cos x  3 sin x  2 b) 3 sin 3x  4 cos 3 x 5 c) 2 sin x  2 cos x  2 0 BTTN +/ Chuyển giao: GV chiếu các câu hỏi trắc nghiệm hoặc phát phiếu học tập +/ Báo cáo, thảo luận: Chỉ định một học sinh bất kì trả lơi đáp án, các học sinh khác thảo luận để hoàn thiện lơi giải. +/ Đánh giá, nhận xét: Trên cơ sở câu trả lơi của học sinh, giáo viên chính xác hóa lơi giải.và chốt lại đáp án. Câu 1. Phương trình nào sau đây v nghiệm? A . 3 cos x  1 0 . B. 3 sin x  4 0 . C. 3 tan x  1 0 . D. cot x  2 0 . Câu 2. Tìm tất cả các nghiê ̣m của phương trình: cos 2 x  3 cos x  2 0 . A. x k 2 . x   2 B. x k . C. x   k 2 .   k 2 . 2 Câu3.Tìm tất cả các nghiệm của phương trình: A. D. x 30 0  k180 0 , k  Z . B. C. x 30 0  k 90 0 , k  Z . D. Câu 4. Tìm tập nghiệm T của phương trình . 3 cot(2 x  30 0 )  3 0 . x 30 0  k ,k  Z 2 . x 60 0  k 90 0 , k  Z . A.    T   k 2 ; arcsin( 3)  k 2 , k  Z  .  3  B.    T   k 2 ;   arcsin(  3)  k 2 , k  Z  .  3  C.    T   k 2 , k  Z  .  6  D.    T   k 2 , k  Z  .  3  Câu 5. Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình A.  m  3  m 3 .  B.  3 m 3 . C. sin x  m cos x  10 m 3 . D. Câu 6.Tìm tất cả các nghiệm của phương trình thuộc khoảng ( A. x 0; x   2 . B. x 0; x   ; x  4  2 có nghiệm. m 3 . ; ) . . 9 C. x    ; x 0; x  2 4 . D. x 0; x   4 . Câu 7: Gọi GTLN, GTNN của hàm số y 2cos2 x  sin 2 x lần lượt là M, m. Tìm A=M+m. A. A 2 B. A 0 . C. A  2. D. A 2 2. IV. HOẠT ĐÔ ̣NG VṬN DUNG VVA M ̉Ô ̣NG: (Â30 hhút) +/ Chuyển giao: GV trình chiếu đề bài của các BT. +/ Thực hiện nhiệm vụ: Học sinh thảo luận nhóm làm BT +/ Báo cáo, thảo luận: Gọi học sinh đại diện cho nhóm lên chữa bài tập, các học sinh khác thảo luận để hoàn thiện lơi giải. +/ Đánh giá, nhận xét: Trên cơ sở lơi giải của học sinh, giáo viên phân tích, đánh giá ,chính xác hóa lơi giải. Bài tập 1) Giải các phương trình sau: a) 2)sin2x + cos2x - 2sin3x = 0 Gợi y a) sin 2 x  cos 2 x  2 sin 3x b) sin x  cox sin 2 x  cos 2 x b) sin x + cosx - sin2x + 2cos2 x - 1 = 0 2) Giải các phương trình sau: a) tan(2 x  1) tan(3x  1) 1 b) c) tan x  tan( x   ) 1 4 (1  tan x )(1  sin 2 x ) 1  tan x 1 1 2 d) sin 2 x  cos 2 x  sin 4 x a) ĐK: cos( 2 x  1)  0  cos(3 x  1)  0 PT  tan(2 x  1) tan(3x  1) 1  tan(3 x  1)  1 tan(2 x  1)  tan(3 x  1) cot(2 x  1)   tan(3 x  1)  tan(  2 x  1) 2 b)ĐK: cos x  0    ) 0 cos( x    4 tan x  1 1  tan 2 x  3 tan x 0 1  tan x ĐK: cos x 0 tan x  c) Với ĐK trên (cos x  sin x )(sin x  cos x ) 2 (cos x  sin x )  cos x cos x  x  k  (sin x  cos x )(cos 2 x  1) 0    x     k  4 PT  (thoa) Vậy PT v nghiệm d) ) ĐK: sin 4 x 0 Với ĐK trên 10 1 1 1   sin 2 x cos 2 x sin 2 x cos 2 x  2 x k 2  (sin 2 x  cos 2 x 1   ( Không thoa ĐK )  2 x    k 2  2 PT  3).Một vật nặng treo bởi một chiếc lò xo , chuyển động lên xuống qua vị trí cân bằng (như hình vẽ bên). Khoảng cách h từ vật đó đến vị trí cân bằng ở thơi điểm t giây được tính theo c ng thức h = d trong đó d = 4sin6t - 3cos6t , với d được tính bằng cm , ta quy ước rằng d > 0 khi vật ở phía trên vị trí cân bằng , d < 0 khi vật ở phía dưới vị trí cân bằng .Hoi: a)Ở vào thơi điểm nào trong một 1 giây đầu tiên ,vật ở vị trí cân bằng ? b) Ở vào thơi điểm nào trong một 1 giây đầu tiên ,vật ở xa vị trí cân bằng nhất? 3) Ta có: 5 sin 6t  4 cos 6t  41 sin(6t   ) Với cos   5 41 ; sin   4 41 Sử dụng máy tinh , ta chọn  0.675 a)Vật ở vị trí cân bằng khi d=0, nghĩa là sin(6t   ) 0  t   k  (k  Z ) 6 6 Ta cần tìm k nguyên dương sao cho  k  6   1   k  6 6    0.675 thu được  0.215  k  1.7 0 t 1  0  Với Nghĩa là Vậy k   0,1    t  0.11( giây ) và t   0.64( giây ) 6 6 6 b) Vật ở xa vị tri cân bằng nhất khi và chỉ khi nhận giá trị lớn nhất. Điều đó xảy ra nếu d   k   (k  Z ) 6 12 6   k  1 6  1 0 t 1  0    1    k   6 12 6  2  2 Với  0.675 thu được  0.715  k  1.2 sin(6t   ) 1  cos(6t   ) 0  t  Nghĩa là Vậy k   0,1      t  0.37( giây ) và t    0.90( giây) 6 12 6 12 6 11