Tài liệu Giáo án dạy thêm toán 11 (phần 1)

  • Số trang: 6 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 252 |
  • Lượt tải: 0
vndoc

Đã đăng 7399 tài liệu

Mô tả:

Tài liệu phụ đạo Môn Toán 11 _ (Phần Đại số & Giải tích) Chương IV: GIỚI HẠN (GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ - GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ - HÀM SỐ LIÊN TỤC) A. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ I. Tóm tắt lý thuyết: 1. Giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực: a). Giới hạn hữu hạn  lim un = a  lim (un – a) = 0 n   n   b). Giới hạn vô cực:  lim un = +   lim(un.vn) = a.b u a  lim n  ( nếu b  0 ) vn b b). Nếu u n  0; n  N * , và limun = a, thì n    lim un = –   lim (–un ) = +  lim u n  a .  Chú ý: Thay vì viết: lim un = a; 4. Định lí liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực: a). Nếu lim un = a và lim vn =   n   n   n   lim un =   , ta viết tắt: lim un = a; n   lim un =   2. Các giới hạn đặc biệt: 1 1 a). lim  0 ; lim k  0 ; limnk = +  n n ( với k nguyên dương) 0;..neu.. : q  1 b). lim q n    ;.neu.. : q  1 c). limc = c ( với c là hằng số ) 3. Định lí về giới hạn hữu hạn: a). Nếu limun = a và limvn = b, thì:  lim(un + vn) = a + b  lim(un – vn) = a – b un  0. vn b). Nếu lim un = a > 0, lim vn = 0 và vn > 0 u  n thì lim n   vn c). Nếu limun = +  và limvn = a > 0 thì lim(un.vn) = +  . 5. Cấp số nhân lùi vô hạn: a). Định nghĩa: CSN lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn có công bội q thỏa mãn q  1 . thì lim b). Công thức tính tổng của CSNLVH: u S  u1  u 2  ...  u n  ...  1 1 q II. Các dạng bài tập áp dụng: Bài 1: Tìm giới hạn sau: a). lim(2n2 + 3n – 1) b). lim(– n2 – n + 3) c). lim(3n3 – n2 + n + 5) Bài 2 Tìm giới hạn sau: 3n  2 3  2n 5  7n 4n 2  5 n2  n 1 5n 2  3n  1 a). lim b). lim c). lim d). lim 2 e). lim f). lim 2 2n  3 2n  3 3  6n 2n  3n 2n 2  n 7 n  6n  3 2 2 (2n  1)(n  2) 5n  3n  1 (n  n)(2n  1) 2n n  1 g). lim h). lim i). lim j). lim 2 2 3 (25n  2)(n  1) 2n  3n  1 n  3n  1 n n3 k). lim 2 n 3  3n  5 1  3 n3  n2  1 3n n 2  n  2 n 2  3  4n 2  1 l). m). n). lim lim lim 3 2n  3 7 n 2  6n  9 n2  n 1 27 n 3  n  3 Tr­êng THPT Nam Giang Trang : 1 Tài liệu phụ đạo Môn Toán 11 _ (Phần Đại số & Giải tích) o). lim 2n 2  n 3  3n  1 3n 2  3n  2 Bài 3: Tìm các giới hạn sau: 2 n  3n 3.5 n  2.3 n 7.5 n  2.7 n 7.3 n  2.6 n (2) n  5 n a). lim b). c). d). e). lim lim lim lim 2.3 n  5.2 n 5 n  5.3 n 5 n  5.7 n 5.3 n  5.6 n 3 n 1  5 n 1 4.3 n  7 n 1 (3) n  5 n 2 2  3n  4 n (3) n 1  5 n  2 f). lim g). h). i). j). lim lim lim 2.5 n  7 n (3) n 1  5 n  1 2 n  3 n 1  4 n 1 3 n 1  5 n 1 5 n 1  7 n 1  1 3 n 1  7 n 1  3.2 n Bài 4: Tìm các giới hạn sau: lim a). lim( n  2  n  1) b). lim( 3n  5  n  1) c). lim( n 2  2n  1  n  1) n 2  2n  n  1 d). lim e). lim n2  n  n n2  n  n  3 n2 1  n f). lim n  n2  n n2 1  n h). lim( 8n  3n  1  1  2n) i). lim( 27 n  n  1  2n) j). lim 3 3 k). lim 3 2 3 3 2 g). lim 3 n  2  3n 2  2n  1 n 2  2  2n 2  n3  n n2  n  n 2n  3n 3  n  1 n2 1  n Bài 5: Tìm các giới hạn sau: 1 1 1 1 1 1  ...  ) b). lim(   ...  ) a). lim(  1.3 2.4 n(n  2) 1.3 3.5 (2n  1)(2n  1) 1 1 1 1 c). lim(1  2 )(1  2 )...(1  2 ). (ĐS : ) 2 2 3 n Bài 6: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: 1 1 1 1 1 a). S  1       ...; 2 4 8 16 32 1 1 b). S  2  1    ....; 2 2 2 1 1  ....; 2 1 2  2 2 Bài 7: Tìm các giới hạn sau: (n  1)(n  3) 1  2  3  ...  n 1  2  3  4  ....  (2n  1)  2n a). lim ; c). lim ; b). lim ; 2 (n  2)(n  4) 2n  1 n 1  a  a 2  ...  a n d). lim , ( a  1, b  1); 1  b  b 2  ...  b n Bài 8*: Tìm các giới hạn sau: log a n n 2n a). lim( 2 .4 2 .8 2 ...2 2 ) ; b). lim n a ; (a  0) ; c). lim ; d). lim ; (a  0) n! n 1  1  1   1 3 5 2n  1   e). lim . . ... ; f). lim1  2 1  2 ...1  2 ; 2n  2 4 6  2  3   n  c). S   1  Tr­êng THPT Nam Giang Trang : 2 Tài liệu phụ đạo Môn Toán 11 _ (Phần Đại số & Giải tích) B. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ I. Tóm tắt lý thuyết: 1). Giới hạn hữu hạn: Xem SGK 2). Giới hạn vô cực: 3). Các giới hạn đặc biệt: ):Định lí 1: a). lim x  x0 b). lim c  c c). lim c  c x  x0 x  x0 x   c  0 e). lim x k   với k nguyên x   x x   dương  ; neu..k ...chan f). lim x k   x    ; neu..k ...le 4). Định lí về giới hạn hữu hạn: a). Nếu lim f ( x)  L và lim g ( x)  M , thì: d). lim x  x0 x  x0  lim [ f ( x)  g ( x)]  L  M ; ( Chú ý: Định lí 1 vẫn đúng khi x   hoặc x   ) ):Định lí 2: lim f ( x)  L  lim f ( x)  lim f ( x)  L x  x0 x  x0 x  x0 x  x0 a). Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x): lim f ( x) x x0 lim g ( x)  lim [ f ( x).g ( x)]  L.M ;     L>0 L<0 lim f ( x) x  x0 f ( x) L  lim  ; ( M  0) ; x  x0 g ( x ) M b). Nếu f ( x)  0 và lim f ( x)  L , L  0 thì: x  x0 lim x x0     b). Quy tắc tìm giới hạn của thương x  x0 x  x0 lim f ( x).g ( x) x x0 x  x0  lim [ f ( x)  g ( x)]  L  M ; x  x0 5). Quy tắc về giới hạn vô cực: lim f ( x)  L ; lim g ( x)   f ( x)  L . x x0 L L>0 L<0 lim g ( x) x x0  0 0 Dấu của f(x) b). lim( x 2  1) c). lim ( x 2  2 x  1) x2 x1 x  1 lim x x0 Tùy ý + – + – d). lim( x  2 x  1) x 1 f ( x) g ( x) 0     II. Các dạng bài tập áp dụng: Bài 1 : Tính giới hạn : a). lim x 2 f ( x) : g ( x) e). lim x 1 x 1 2x  1 Bài 2 : Tính các gới hạn sau : x 2  3x  2 x 2  3x  2 3x 2  3x  6 x2  x  6 x 1 a). lim b). lim c). lim d). lim e). lim 2 x 1 x  2 x  2 x  2 x  2 x 1 x2 x2 4x  4 x  3x  2 Bài 3: Tìm các giới hạn sau ( khi x   ): 2x 2  5x  1 a). lim (2 x  3 x  5) b). lim ; c). lim (x  x 2  1) ; d). lim (x  x 2  1) 2 x   x  x  x  3x  1 2 e). lim ( x 2  x  3  x) f). lim ( x 2  5 x  6  x) ; g). lim ( x 2  x  1  x 2  x  1) x   x   x   h). lim (3 x 3  x 2  x) ; i). lim (3 x 3  x 2  x 2  1); j). lim x   x   Tr­êng THPT Nam Giang x   2 x 2  7 x  12 ; 3 x  17 Trang : 3 Tài liệu phụ đạo Môn Toán 11 _ (Phần Đại số & Giải tích) x  x2  x x 1 k). lim ( x  2) 3 ; m). lim ( 1  x  x ). ; l). lim x   x   x   x  10 x x Bài 4: Áp dụng định nghĩa giới hạn bên phải và giới hạn bên trái của hàm số,tìm các giới hạn sau:   1 1 1 ; d) lim e). lim x 1 x 5 x 3 x  3 x 3 x  3 x 3 x  3 2 x2 x2 x2 x 4x x 2  3x  2 f). lim ; g). lim ; h). lim i). lim ; j). lim  ; x 2 x  2 x 2 x  2 x 0 x  x 2 x ( 1) x 2x x5  x 4 a). lim x  1 ;b). lim k). lim x 2  7x  12 o). lim x 0 x 2x 2  5x  3 2x 2  5x  3 l). lim (x  2) 2 ; m). lim  ; n) lim  x 2 x ( 3) x ( 3) x 4 (x  3) 2 (x  3) 2 9  x2 x 3 5  x  2x ; c). lim x2  x  x 1 x 3 x ; p). lim x ; q). lim 2 x 1 x 3 x 2 1 x 1 x 27  x 3 ; r). lim x 2 x3  8 x 2  2x Bài 5: Tìm các giới hạn sau: a). lim x 1 x32 x 1 2 x 3 x 7 x 2  49 b). lim c). lim x 3 x 3 3  6x  x 2 x 2  2x  6  x 2  2x  6 3 x  2 f). lim x 3 x 7 x 2  2x  35 x 2  4x  3 2 x  1 neu x  2 Bài 6: a). Cho hàm số: f (x)   2  2x  1 neu x  2 Tìm lim  f (x) ; lim  f (x) và lim f (x) (nếu có). e). lim x ( 2) d). lim x 2 x2 2 x 7 3 3x  2  2 x  2 x 2  7x  18 g). lim x 2 x ( 2)  x 2  2x  3 neu x  2 neu x  2 4x  3 Tìm lim f (x) ; lim f (x) ; lim f (x) ( nếu có ). b). Cho hàm số : f (x)   x 2 x 2 x 2 Tr­êng THPT Nam Giang Trang : 4 Tài liệu phụ đạo Môn Toán 11 _ (Phần Đại số & Giải tích) C. HÀM SỐ LIÊN TỤC I. Tóm tắt lý thuyết: 1). Hàm số liên tục:  Cho hàm số y  f (x) xác định trên khoảng K và x0  K . y  f (x) liên tục tại x0  lim f ( x)  f ( x0 ) x  x0  y  f (x) liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.  y  f (x) liên tục trên đoạn [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng (a;b) và: lim f ( x)  f (a ) ; lim f ( x)  f (b) xa x b ). Nhận xét: Đồ thị của hàm số liên tục trên một đoạn được biểu diễn thị bởi một “ đường liền nét” trên khoảng đó. y a x 2). Các định lí: O b ). Định lí 1: a. Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực. b. Hàm phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng. ). Định lí 2: Giả sử y  f (x) và y  g (x) là hai hàm số liên tục tại điểm x0. khi đó: a). Các hàm số f ( x)  g ( x) ; f ( x)  g ( x) và f ( x).g ( x) cũng liên tục tại x0. f ( x) b). Hàm số liên tục tại điểm x0. nếu g ( x) g ( x0 )  0 ). Định lí 3: Nếu hàm số y  f (x) liên tục trên đoạn [a;b] và f (a ). f (b)  0 thì tồn tại ít nhất một c  (a; b) sao cho f (c)  0 . Suy ra: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f (a ). f (b)  0 thì phương trình f ( x)  0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (a;b) II. Các dạng bài tập áp dụng: Bài 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại một điểm ( đoạn ) cho trước.  x 2  1 khi x  0  x 2  1 khi x  1  a) . f (x)   1 tại điểm x = –1 b). f (x)   tại điểm x = 1 khi x  1 x  1 khi x  1    2  x 2  3x  2  x3  1 khi x  2 khi x  1   c). f (x)   x  2 tại điểm x = 2 d). f (x)   x  1 tại điểm x = 1 1  2 khi x  2 khi x  1    x2  4  x 2  4 khi x  2 khi x  2  e). f (x)   x  2 tại điểm x = –2 f). f (x)   tại điểm x = 2 2x  1 khi x  2  4 khi x  2   x 2 4  3x 2 khi x  2 khi x  0 g). f (x)   tại điểm x = 0 h). f (x)   tại điểm x 3 khi x  2  x 1  x khi x  0 = –1  x 2  5x  6 khi x  3  i). f (x)   x  3 tại điểm x = 3 5 khi x  3  Bài 2: Chứng minh rằng: Tr­êng THPT Nam Giang Trang : 5 Tài liệu phụ đạo Môn Toán 11 _ (Phần Đại số & Giải tích) a). Hàm số f (x)  1  x 2 liên tục trên đoạn [-1;1]. b). Hàm số f (x)  c). Hàm số f (x)  x  1 liên tục trên nữa khoảng [1;) . 1 1 x2 liên tục trên khoảng (-1;1) d). Hàm số f (x)  8  2x 2 liên tục trên nữa khoảng [2;2] . 1 e). Hàm số f (x)  2x  1 liên tục trên nữa khoảng [ ;) . 2 2 (x  1) khi x  0 f). Hàm số f (x)   2 gián đoạn tại điểm x = 0  x  2 khi x  0 Bài 3: Tìm số thực a sao cho hàm số: x 2 khi x  1 a). f (x)   liên tục trên R 2ax  3 khi x  0 a 2 x 2 khi x  2 b). f (x)   liên tục trên R. (1  a)x khi x  2 2  x  a khi x  0 c). f (x)   x liên tục trên R khi x  0 2 Bài 4: Chứng minh rằng phương trình: a). x 2 cos x  x sin x  1  0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng (0; ) b). x 3  x  1  0 có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn -1. Tr­êng THPT Nam Giang Trang : 6
- Xem thêm -