Tài liệu Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8

Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn Buæi 1 : h»ng ®¼ng thøc a. môc tiªu: * Cñng cè vµ n©ng cao kiÕn thøc vÒ phÐp nh©n ®a thøc – h»ng ®¼ng thøc * TiÕp tôc rÌn luyÖn kü n¨ng gi¶i c¸c bµi to¸n vÒ phÐp nh©n ®a thøc – h»ng ®¼ng thøc * T¹o høng thó cho HS trong qu¸ tr×nh häc n©ng cao m«n to¸n b. ho¹t ®éng d¹y häc: I. Nh¾c l¹i néi dung bµi häc: 1. Nh©n ®a thøc víi ®a thøc: A( B + C + D) = AB + AC + AD (A + B + C) (D + E) = AD + AE + BD + BE + CD + CE 2.Nh÷ng h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí: B×nh ph¬ng mét tæng: ( A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (1) B×nh ph¬ng mét hiÖu: ( A - B)2 = A2 - 2AB + B2 (2) HiÖu hai b×nh ph¬ng: A2 – B2 = (A + B)(A – B) (3) II. Bµi tËp ¸p dông: Ho¹t ®éng cña GV Ho¹t ®éng cña HS HS ghi ®Ò, thùc hiÖn theo nhãm 1. Bµi 1: Rót gän biÓu thøc HS cïng GV thùc hiÖn lêi gi¶i a) (x + 1) (x2 + 2x + 4) a) (x + 1) (x2 + 2x + 4) =x3 + 2x2 + 4x + x2 + Thùc hiÖn phÐp nh©n råi rót gän 2x + 4 = x3 + 3x2 + 6x + 4 2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 – x + 1) b) (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 – x + 1) b) (x = …= x7 + x2 + 1 2 – 2(3x + 1)(3x + 5) + (3x + 5)2 c) (3x + 1)2 – 2(3x + 1)(3x + 5) + (3x + 5)2 c) (3x + 1) = [(3x + 1) – (3x + 5)]2 = (3x + 1 – 3x – 5)2 = (- 4)2 = 16 Bµi 2: T×m x biÕt: 2 + (2x – 1)2 – 7(x + 3)(x - 3) = 3(x + 2) HS ghi ®Ò bµi 172 gi¶i theo nhãm Ýt phót ¸p dông c¸c H.®¼ng thøc (1), (2), (3) ¸p dông c¸c H.®¼ng thøc nµo ®Ó gi¶i 3(x + 2)2 + (2x – 1)2 – 7(x + 3)(x - 3) = BiÕn ®æi, rót gän vÕ tr¸i 172 � 3(x2 + 4x + 4) + 4x2 – 4x + 1 – 7(x2 – 9) = 172 � …. � 8x = 96 � x = 12 Bµi 3: Cho x + y = a; xy = b. tÝnh gi¸ trÞ c¸c biÓu HS ghi ®Ò bµi, tiÕn hµnh bµi gi¶i thøc sau theo a vµ b: Ta cã x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = a2 – 2b x2 + y2; x4 + y4 x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2(xy)2 = (a2 – 2b)2 – 2b2 = a4 - 4a2b + 2b2 Bµi 4: chøng minh r»ng a) (x + y)(x3 – x2y + xy2 – y3) = x4 – y4 HS ghi ®Ò, tiÕn hµnh gi¶i cïng víi GV a)VT = (x + y)(x3 – x2y + xy2 – y3) = x4 – x3y + x2y2 – xy3 +x3y - x2y2 + xy3y4 2 = 2(a2 + b2) th×: a = b = x4 – y4 = VP (®pcm) b) NÕu: (a + b) b) Tõ (a + b)2 = 2(a2 + b2) suy ra Tõ (a + b)2 = 2(a2 + b2) suy ra ®iÒu g×? a2 + 2ab + b2 = 2a2 + 2b2 � a2 - 2ab + b2 = 0 � (a – b)2 = 0 � a – b = 0 � a = b c) NÕu: x + y + z = 0 vµ (®pcm) xy + yz + zx = 0 th× x = y = z c) Tõ : x + y + z = 0 � (x + y + z)2 = 0 Tõ : x + y + z = 0 � (x + y + z)2 =? � x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = 0 Tõ ®o ta cã ®iÒu g×? � x2 + y2 + z2 = 0 ( v× xy + yz + zx = 0) d) cho a + b + c = 0 vµ a2 + b2 + c2 = 2 4 + b4 + c4 = 2 � x=y=z c/m: a d) Tõ a + b + c = 0 � (a + b + c )2 = 0 HD c¸ch gi¶i t¬ng tù 1 Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn � a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 0 � ab + bc + ca = -1 (1) Bµi 5: So s¸nh: a) A = 1997 . 1999 vµ B = 19982 b)A = 4(32 + 1)(34 + 1)…(364 + 1) vµ B = 3128 - 1 TÝnh 4 theo 32 – 1? Khi ®ã A = ? ¸p dông h»ng ®¼ng thøc nµo liªn tiÕp ®Ó so s¸nh A vµ B Ta l¹i cã: (a2 + b2 + c2)2 = a4 + b4 + c4 + 2( a2b2 + b2c2 + c2a2) = 4 (2) Tõ (1) � (ab + bc + ca)2 = 1 � a2b2 + b2c2 + c2a2 = 1 (3) Tõ (2) vµ (3) suy ra a4 + b4 + c4 = 2 a) A = 1997 . 1999 = (1998 – 1)(1998 + 1) = 19982 – 1 < 19982 � A < B 2 b) V× 4 = 3  1 nªn 2 A = 4(32 + 1)(34 + 1)(38 + 1)…(364 + 1) 2 = 3  1 (32 + 1)(34 + 1)(38 + 1)…(364 + 1) 2 1 2 1 = (38 - 1)(38 + 1)…(364 + 1) 2 1 16 = (3 - 1)(316 + 1)(332 + 1)(364 + 1) 2 1 = (332 - 1)(332 + 1)(364 + 1) 2 1 1 1 = (364 - 1)(364 + 1) = (3128 - 1) = B 2 2 2 = (34 - 1) (34 + 1)(38 + 1)…(364 + 1) Bµi 6: a) Cho a = 11…1( co n ch÷ sè 1) b = 100…05( cã n – 1 ch÷ sè 0) Cmr: ab + 1 lµ sè chÝnh ph¬ng VËy: A < B b) Cho Un = 11…155…5 (cã n ch÷ sè 1 vµ n ch÷ sè 5) Ta cã: b = 10n + 5 = 9….9 + 6 Cmr: Un + 1 lµ sè chÝnh ph¬ng = 9(1…1) + 6 = 9a + 6 � ab + 1 = a(9a + 6) + 1 = 9a2 + 6a +1 = (3a + 1)2 lµ mét sè chÝnh ph¬ng Ta viÕt: = Un = n sè 1 n sè 5 + n sè + n sè 0 = 11…1.10n 1 5. 11…1 n sè 5 §Æt: a = 11…1 th× 9a + 1 = 10n Do ®ã : Un + 1 = 9a2 + 6a +1 =(3a + 1)2 III. Bµi tËp vÒ nhµ: Bµi 1: cho x + y = 3. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: x2 + y2 + 2xy – 4x – 4y + 1 Bµi 2: Chøng minh r»ng: x4 + y4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2 Bµi 3: Cho (a + b + c)2 = 3(a2 + b2 + c2). Cmr: a = b = c Bµi 4: Chøng minh r»ng: NÕu n lµ tæng cña hai sè chÝnh ph¬ng th× 2n vµ n2 cñng lµ tæng cña hai sè chÝnh ph¬ng 2 Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn Bµi 5: So s¸nh: xy x2  y2 A= víi B = 2 (Víi 0 < y < x ) xy x  y2 Buæi 2 : h»ng ®¼ng thøc ( TiÕp) a. môc tiªu: * Cñng cè vµ n©ng cao kiÕn thøc vÒ h»ng ®¼ng thøc * TiÕp tôc rÌn luyÖn kü n¨ng gi¶i c¸c bµi to¸n vÒ h»ng ®¼ng thøc * T¹o høng thó cho HS trong qu¸ tr×nh häc n©ng cao m«n to¸n b. ho¹t ®éng d¹y häc: I. Nh¾c l¹i néi dung bµi häc: Nh÷ng h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí: B×nh ph¬ng mét tæng: ( A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (1) B×nh ph¬ng mét hiÖu: ( A - B)2 = A2 - 2AB + B2 (2) HiÖu hai b×nh ph¬ng: A2 – B2 = (A + B)(A – B) (3) LËp ph¬ng mét tæng: (A + B)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (4) LËp ph¬ng mét hiÖu: (A - B)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 (5) Tæng hai lËp ph¬ng: a3 + b3 = ( a + b )( a2 – ab + b2 ) (6) HiÖu hai lËp ph¬ng: a3 – b3 = ( a – b )( a2 + ab + b2 ) (7) B×nh ph¬ng tæng ba h¹ng tö: (A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2(AB + AC + BC) II. Bµi tËp ¸p dông: Ho¹t ®éng cña GV Ho¹t ®éng cña HS Bµi 1: Rót gän biÓu thøc: HS ghi ®Ò, tiÕn hµnh bµi gi¶i a) (x - 2)3 - x(x + 1)(x - 1) + 6x(x - 3) 1HS lªn gi¶i Cho HS ghi ®Ò, tiÕn hµnh bµi gi¶i a) (x - 2)3 - x(x + 1)(x - 1) + 6x(x - 3) Ta thùc hiÖn phÐp tÝnh nh thÕ nµo? = ...= 5x - 8 HS thùc hiÖn, 1HS lªn gi¶i 3 Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn b) (x - 2)(x2 - 2x + 4)(x + 2)(x2 + 2x + 4) Ta nªn thùc hiÖn phÐp tÝnh nh thÕ nµo? b) (x - 2)(x2 - 2x + 4)(x + 2)(x2 + 2x + 4) = (x - 2)(x2 + 2x + 4)(x + 2)(x2 - 2x + 4) = (x3 - 8)(x3 + 8) = x6 - 64 Bµi 2: T×m x biÕt (x - 3)(x2 + 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = 1 §Ó t×m x ta lµm thÕ nµo? HS ghi ®Ò, tiÕn hµnh bµi gi¶i Thùc hiÖn phÐp tÝnh, rót gän vÕ tr¸i 1HS lªn b¶ng gi¶i (x - 3)(x2 + 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = 1 � x3 - 27 - x(x + 2)(x - 2) = 1 � x3 - 27 - x(x2 - 4) = 1 � x3 - 27 - x3 + 4x = 1 � 4x = 28 � x = 7 Bµi 3: ViÕt biÓu thøc sau díi d¹ng tæng cña ba b×nh ph¬ng: A = (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 Cho HS suy nghÜ, t×m c¸ch gi¶i NÕu HS cha gi¶i ®îc th× gîi ý: H·y triÓn khai, t¸ch tæng trªn thµnh ba tæng cã d¹ng: A2 + 2AB + B2 Bµi 4: TÝnh gi¸ trÞ Bt khi biÕt gi¸ tri Bt kh¸c a) Cho x + y = 2; x2 + y2 = 10. TÝnh gi¸ trÞ cña Bt A = x3 + y3 Cho HS gi¶i ViÕt A thµnh tÝch §Ó tÝnh gi¸ trÞ cña A ta cÇn tÝnh xy. TÝnh xy nh thÕ nµo? Tõ : x + y = 2; x2 + y2 = 10. H·y t×m c¸ch tÝnh xy b) Cho a + b + c = 0 ; a2 + b2 + c2 = 1 TÝnh gi¸ trÞ cña Bt: B = a4 + b4 + c4 ? §Ó cã a4 + b4 + c4 ta lµm thÕ nµo? HS ghi ®Ò, t×m c¸ch gi¶i §¹i diÖn HS lªn tr×nh bµy( NÕu kh«ng gi¶i ®îc th× theo Hd cña GV) NhiÖm vô b©y giê lµ lµm g×? §Ó cã (a2b2 + b2c2 + c2a2) ta ph¶i lµm g×? Khi ®ã ab + bc + ca = ? a2b2 + b2c2 + c2a2 = ? Tõ ®©y, lµm thÕ nµo ®Ó tÝnh gi¸ trÞ cña Bt B Bµi 5: { { { Cho a = 1....1 ; b = 1....1 vµ c = 6....6 2n n 1 n Chøng minh r»ng: A = a + b + c + 8 lµ mét sè chÝnh ph¬ng §Ó chøng minh mét tæng lµ mét sè chÝnh ph¬ng, ta cÇn c/m g×? A = a2+ b2+ c2 +2ab+2bc+ 2 ca+ a2+ b2+ c2 = (a2+ 2ab+ b2) + (a2 +2ac+ c2) + (b2+ 2bc+ c2) = (a + b)2 + (a + c)2 + (b + c)2 HS gi¶i A = (x + y)(x2 + y2 - xy) = 2( 10 - xy) (1) HS suy nghÜ, t×m c¸ch tÝnh xy Tõ x + y = 2 � x2 + y2 + 2xy = 4 � xy = - 3 (2) Thay (2) vµo (1) ta cã : A = 2(10 + 3) = 26 HS ghi ®Ò B×nh ph¬ng Bt: a2 + b2 + c2 = 1, ta cã a4 + b4 + c4 + 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) = 1 � a4 + b4 + c4 = 1 - 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) (1) TÝnh: 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) ta ph¶i b×nh ph¬ng Bt: (ab + bc + ca) Ta b×nh ph¬ng Bt: a + b + c = 0, ta cã: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 0 1 1 � (ab + bc + ca)2 = 2 4 1 � a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2(a + b + c) abc = 4 1 � a2b2 + b2c2 + c2a2 = (2) 4 � ab + bc + ca =  Thay (2) vµo (1) ta cã: B = 1 - 2. 1 1 1 =1- = 4 2 2 HS ghi ®Ò, t×m c¸ch gi¶i §Ó chøng minh mét tæng lµ mét sè chÝnh ph4 Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn ¬ng, ta cÇn c/m nã b»ng b×nh ph¬ng cña mét sè { { { A = 1....1 + 1....1 + 6....6 + 8 A=a+b+c+8=? 9 9 Ta cã: 11...1  (11...1) . ViÕt thµnh luü { { thõa 10? n n n 1 2n 9 1....1 9 { { ( { ) + (1....1 ) + 6( 1....1 ) + 8 n 9 2n 9 n 1 2n n 1 n = 10  1 + 10  1 + 6. 10  1 + 8 9 9 9 2n n 1 n 2n n = 10  10  10  64 = 10  16.10  64 9 9 = 2 Bµi 6: Tån t¹i hay kh«ng c¸c sè x, y, z tho· m·n ®¼ng thøc: x2 + 4y2 + z2 - 4x + 4y - 8z + 23 = 0 H·y biÕn ®æi vÕ tr¸i ®¼ng thøc thµnh d¹ng tæng c¸c b×nh ph¬ng? Cã nhËn xÐt g× vÒ hai vÕ cña ®¼ng thøc? Ta cã kÕt luËn g×? Ta cã thÓ nãi : BiÓu thøc A = x2 + 4y2 + z2 - 4x + 4y - 8z + 23 cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 2 khi x = 2 ; y =  n 2 2 � � n � 100...08 � � 10 = �  8 � � 33...36 � � � 2 3 � 1 � 3 � � 3 � � n 1 � x2 + 4y2 + z2 - 4x + 4y - 8z + 23 = 0 � (x2- 4x+ 4)+(4y2+4y+1)+(z2- 8z +16)+ 2 = 0 � (x - 2)2 + (2y + 1)2 + (z - 4)2 + 2 = 0 Râ rµng, vÕ tr¸i cña ®¼ng thøc lµ mét sè d¬ng víi mäi x, y, z; cßn vÕ ph¶i b»ng 0 VËy kh«ng tån t¹i c¸c sè x, y, z tho· m·n ®¼ng thøc: x2 + 4y2 + z2 - 4x + 4y - 8z + 23 = 0 1 vµ 2 z=4 Bµi tËp vÒ nhµ Bµi 1: Rót gän biÓu thøc: a) (y - 2)(y + 2)(y2 + 4) - (y + 3)(y - 3)(y2 + 9) b) 2(x2 - xy + y2)(x - y)(x2 + xy + y2)(x + y) - 2(x6 - y6) Bµi 2: a) Cho x - y = 1. TÝnh gi¸ trÞ Bt: A = x3 - y3 - 3xy b) Cho x + y = a + b; x2 + y2 = a2 + b2 . TÝnh x3 + y3 theo a vµ b Bµi 3: Chøng minh r»ng NÕu a + b + c = 0 th× a3 + b3 + c3 = 3 abc 5 Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn Buæi 3 : ®êng trung b×nh cña tam gi¸c, h×nh thang a. môc tiªu: - Cñng cè vµ n©ng cao kiÕn thøc vÒ h×nh thang, ®êng trung b×nh cña tam gi¸c, ®êng trung b×nh cña h×nh thang - TiÕp tôc rÌn luyÖn kû n¨ng chøng minh h×nh häc cho HS A - t¹o niÒm tin vµ høng thó cho HS trong khi häc n©ng cao b. ho¹t ®éng d¹y häc: E I. Nh¾c l¹i mét sè kiÕn thøc bµi häc: F 1. §êng trung b×nh cña tam gi¸c * §o¹n th¼ng nèi trung ®iÓm hai c¹nh cña tam gi¸c gäi lµ ®êng trung b×nh cña tam gi¸c B C - E lµ trung ®iÓm AB, F lµ trung ®iÓm AC thi EF lµ ®êng trung b×nh cña  ABC - NÕu E lµ trung ®iÓm AB vµ EF // BC th× F lµ trung ®iÓm AC - EF lµ ®êng trung b×nh cña ABC th× EF // BC vµ EF  = 1 BC 2 4. §êng trung b×nh cña h×nh thang: * §o¹n th¼ng nèi trung ®iÓm hai c¹nh bªn cña h×nh thang gäi lµ ®êng trung b×nh cña h×nh thang + H×nh thang ABCD (AB // CD) cã M lµ trung ®iÓm AD, N lµ trung ®iÓm BC th× MN lµ ®êng trung b×nh cña h×nh thang ABCD + NÕu MA = MD, MN // CD // AB th× NB = NC + MN lµ ®êng trung b×nh cña h×nh thang ABCD th× MN // AB // CD vµ MN = II. Bµi tËp ¸p dông: 1 (AB + CD) 2 6 Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn Bµi 1: Cho  ABC ®Òu c¹nh a. Gäi M, N theo thø tù lµ trung ®iÓm cña AB vµ AC a) Tø gi¸c BCMN lµ h×nh g×? v× sao? b) TÝnh chu vi cña tø gi¸c BCNM theo a Cho HS t×m lêi gi¶i Ýt phót Dù ®o¸n d¹ng cña tø gi¸c BCNM? §Ó c/m tø gi¸c BCNM lµ h×nh thang c©n ta cÇn c/m g×? V× sao MN // BC � � V× sao B = C ? Tõ ®ã ta cã KL g×? A HS ghi ®Ò bµi ViÕt GT, KL, vÏ h×nh M HS suy nghÜ, t×m lêi gi¶i HS dù ®o¸n c/m: MN // BC vµ � � B=C N B C Tõ GT � MN lµ ®êng trung b×nh cña  ABC 1 � MN // BC (1) vµ MN = BC (2) 2 � = C  600 (3) �  ABC ®Òu nªn B Chu vi h×nh thang c©n BCNM tÝnh nh thÕ nµo? H·y tÝnh c¹nh BM, NC theo a BC = ? v× sao? VËy: chu vi h×nh thang c©n BCNM tinh theo a lµ bao nhiªu? Tõ (1) vµ (3) suy ra tø gi¸c BCNM lµ h×nh thang c©n Chu vi h×nh thang c©n BCNM lµ PBCNM = BC +BM + MN + NC (4) 1 1 1 AB = BC = a 2 2 2 1 1 BC = a, MN = BC = a 2 2 BM = NC = VËy : PBCNM = BC +BM + MN + NC =a+ Bµi 2: Cho  ABC cã ba gãc ®Òu nhän; AB > AC VÏ h×nh Gäi M, N, P lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AB, AC, BC. VÏ ®êng cao AH a) C/m: MP = NH b) Gi¶ sö: MH  PN. M C/m: MN + PH = AH §Ó C/m MP = NH ta cÇn C/m g×? Tõ GT suy ra MP cã tÝnh chÊt g×? B A N P H C Tø gi¸c MPHN lµ h×nh thang c©n hoÆc C/m: MP vµ NH cïng b»ng mét ®o¹n nµo ®ã MP lµ ®êng Tb cña  ABC nªn MP // AC vµ MP = Ta cÇn C/m g×? Gäi I = MN �AH th× ta cã ®iÒu g×? V× sao? Hoµn thµnh lêi gi¶i? 1 1 1 5 a+ a+ a= a 2 2 2 2 1 AC 2 Ta cÇn C/m NH = 1 AC 2 M lµ trung ®iÓm AB vµ MI // BH ( do MN lµ ®êng trung b×nh cña  ABC) nªn I lµ trung ®iÓm AH vµ AI  MN (Do AH  BC ) �  ANH c©n t¹i N � NH = NA = Khi MH  PN th× MH  AB? V× sao?  AMH lµ tam gi¸c g×? v× sao? VËy: MP = NH 7 1 AC 2 Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn HS hoµn thµnh lêi gi¶i c©u a Khi MH  PN th× MH  AB v× NP // AB  ABH lµ tam gi¸c g×? v× sao?  AMH lµ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i M v× cã � AMH  900 vµ cã MI võa lµ trung tuyÕn võa lµ Tõ ®ã suy ra ®iÒu g×? � � ®êng cao � MAH = AHM  450 � �  ABH cã AHB  900 mµ AHM  450 nªn Bµi 3: 0 � �  ABH vu«ng c©n t¹i H. Cho  ABC. Gäi I lµ giao ®iÓm cña c¸c tia HBM  45 Suy ra BH = AH ph©n gi¸c trong. kÎ IM  AB; IN  BC Mµ BH = BP + PH = MN + PH vµ IK  AC. Qua A vÏ ®êng th¼ng a // MN; ®êng th¼ng b // NK. A c¾t NK t¹i E, VËy: MN + PH = AH b c¾t NM t¹i D, ED lÇn lît c¾t AC, AB t¹i HS ghi ®Ò, VÏ h×nh, P, Q. Cmr: PQ // BC A D Gäi giao ®iÓm cña BC vµ AD lµ L, cña BC vµ AE lµ H §Ó c/m: AM = AK ta c/m g×?, T¬ng tù h·y c/m: BN = BM, CN = CK Y MNHA lµ h×nh g×? V× sao Ta suy ra ®iÒu g×? Y KNLA lµ h×nh g×? V× sao? Tõ ®ã ta cã ®iÒu g×? Ta cã thÓ KL g× vÒ Mqh gi÷a ND, NE trong  ALH DE cã tÝnh chÊt g×? Bµi 4: Cho  ABC cã AB = c, BC = a, AC = b Qua A vÏ ®êng th¼ng song song víi BC c¾t c¸c tia ph©n gi¸c cña gãc B vµ gãc C t¹i D vµ E. Tõ A vÏ AP  BD; AQ  CE. PQ lÇn lît c¾t BE, CD t¹i M vµ N TÝnh MN, PQ theo a, b, c Q P E M K I B L C N H  AMI =  AKI (C. huyÒn – g. nhän) � AM = AK (1)  BMI =  BNI (C. huyÒn – g. nhän) � BM = BN (2)  CNI =  CKI (C. huyÒn – g. nhän) � CN = CK (3) Y MNHA lµ h×nh thang c©n( v× cã: MN//AH, � � � � MAH = BMN = NHA = BNM ) � NH = AM (4) Y KNLA lµ h×nh thang c©n � NL = AK (5) Tõ (1), (4), (5) � NL = NH (6) NE, ND lµ ®êng trung b×nh cña  ALH nªn: EA = EH (7) vµ DA = DL (8) Tõ (7) vµ (8) suy ra: DE lµ ®êng trung b×nh cña  ALH � DE // LH � PQ // BC HS vÏ h×nh E A Dù ®o¸n xem MN cã tÝnh chÊt g×? H·y C/m BCDE lµ h×nh thang D 1 1 M 1 Tõ ®ã ta cã ®iÒu g×? Q P Dù ®o¸n vµ c/m d¹ng cña  BAD B N 1 2 2 C Dù ®o¸n: MN lµ ®êng trung b×nh cña h×nh 8 Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn PQ cã tÝnh chÊt g×? Suy ra tÝnh chÊt cña MN H·y tÝnh MN vµ PQ theo a, b, c thang BCDE Tõ gt � BCDE lµ h×nh thang v× cã DE // BC � � � � B1 = B2 mµ B2 = D1 (so le trong – do BC // � � DE) � B1 = D1 �  BAD c©n t¹i A. mµ AP  BD � PB = PD; AB = AD = c T¬ng tù  CAE c©n t¹i A Vµ AQ  CE � QC = QE vµ AC = AE = b PQ lµ ®o¹n th¼ng nèi trung ®iÓm cña hai ®êng chÐo h×nh thang BCDE nªn PQ // AB � MN lµ ®êng trung b×nh cña h×nh thang BCDE nªn: BC + DE BC + AE + AD a + b + c =  2 2 2 BC + DE PQ = MN–(MQ + NP) = - BC 2 AD + AE - BC b+c-a =  2 2 MN = III. Bµi tËp vÒ nhµ: Bµi 1: 1 � Cho h×nh thang vu«ng ABCD (AB // CD, A = 900); AB = CD = AB 2 kÎ CH  AB, Gäi giao ®iÓm cña AC vµ DH lµ E, giao ®iÓm cña BD vµ CH lµ F a) Tø gi¸c ADCH lµ h×nh g×? b) C/m : AC  BC c) EF = 1 1 DC = AB 2 4 Bµi 2: Chøng minh r»ng: §o¹n th¼ng nèi trung ®iÓm hai ®êng chÐo cña h×nh thang th× song song víi hai ®¸y vµ b»ng nöa hiÖu hai ®¸y Buæi 4 – ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a. môc tiªu: * Cñng cè, kh¾c s©u vµ n©ng cao kiÕn thøc vÒ ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö * HS sö dông thµnh th¹o c¸c ph¬ng ph¸p ®Ó ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö 9 Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn * VËn dông viÖc ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö vµo c¸c bµi to¸n chøng minh, t×m gi¸ trÞ cña biÓu thøc, cña biÕn b. ho¹t ®éng d¹y häc: I. Nh¾c l¹i kiÕn thøc bµi häc: C¸c ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: * Ph¬ng ph¸p ®Æt nh©n tö chung: AB + AC + AD = A(B + C + D) * Ph¬ng ph¸p dïng h»ng ®¼ng thøc: Sö dông H®t ®Ó viÕt ®a thøc thµnh tÝch * Ph¬ng ph¸p nhãm c¸c h¹ng tö: Nhãm c¸c h¹ng tö nµo ®ã víi nhau ®Ó lµm xuÊt hiÖn nh©n tö chung hoÆc xuÊt hiÖn h»ng ®¼ng thøc * Ph¬ng ph¸p t¸ch h¹ng tö : Víi ®a thøc d¹ng: a x2 + bx + c ta lµm nh sau: ViÕt tÝch ac = b1b2 = b3b4 = sau ®ã chän ra 2 thõa sè cã tæng b»ng b. T¸ch bx = (b1x + b2x) nÕu b = b1 + b2 Khi ®ã a x2 + bx + c = (b1 x2 + b1x) + ( b2x + b2) = * Ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô: §Æt Èn phô ®Ó ®a biÓu thøc cÇn ph©n tÝch thµnh mét biÓu thøc dÔ ph©n tÝch h¬n * Ph¬ng ph¸p Thªm bít cïng mét h¹ng tö : Thªm hoÆc bít cïng mét h¹ng tö ®Ó lµm xuÊt hiÖn nh©n tö chung hoÆc mét h»ng ®¼ng thøc * Phèi hîp nhiÒu ph¬ng ph¸p: sö dông ®ång thêi nhiÒu ph¬ng ph¸p ®Ó ph©n tÝch II. Bµi tËp vËn dông: Ho¹t ®éng cña Gi¸o viªn Ho¹t ®éng cña häc sinh HS: ¸p dông PP dïng H®t Bµi 1: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö: 25x4 – 10x2y + y2 = (5x2)2 – 2. 5x2.y + y2 a) 25x4 – 10x2y + y2 ¸p dông ph¬ng ph¸p nµo ®Ó ph©n tÝch ®a = (5x2 – y)2 thøc nµy b) 8m3 + 36m2n + 54mn2 + 27n3 b) 8m3 + 36m2n + 54mn2 + 27n3 = (2m)3 + 3.(2m)2.3n + 3.2m.(3n)2 + (3n)3 = (2m + 3n)3 2 – 3x -18)2 – (4x2 + 3x)2 c) (4x2 – 3x -18)2 – (4x2 + 3x)2 c) (4x = [(4x2 – 3x -18) – (4x2 + 3x)][(4x2 – 3x -18) + (4x2 + 3x)] = (8x2 – 18) (- 6x – 18) = 2(4x2 – 9)[- 6(x + 3)] = -12(2x + 3)(2x – 3)(x + 3) Bµi 2: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö a) x4 + 2x3 – 4x - 4 Ta ¸p dông ph¬ng ph¸p nµo ®Ó ph©n tÝch ¸p dông ph¬ng ph¸p nhãm h¹ng tö a) x4 + 2x3 – 4x – 4 = (x4 – 4 ) + (2x3 – 4x) = (x2 + 2)(x2 – 2) + 2x(x2 – 2) 3 +2x2y – x – 2y = (x2 – 2)(x2 + 2x + 2) b) x b) x3 +2x2y – x – 2y = x2 (x + 2y) – (x + 2y) 2x – adx – bc2x + cdx +bdx – c3x = (x + 2y)(x2 – 1) = (x + 2y)(x – 1)(x + 1) c) ac c) ac2x – adx – bc2x + cdx + bdx – c3x = (– adx + bdx + cdx) + (ac2x – bc2x – c3x) = dx( -a + b + c) + c2x(a – b – c) = x[(b + c – a)d – c2(b + c – a)] = x(b + c – a) (d - c2) 3. Bµi 3: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö 2 – 6x + 8 a) x HS ghi ®Ò ¸p dông ph¬ng ph¸p nµo ®Ó ph©n tÝch? C¸ch 1: Ph©n tÝch b»ng c¸ch t¸ch h¹ng tö nµo? V× 1.8 = 2.4 = (-4)(-2); -6 = (-2) + (-4) t¸ch nh thÕ nµo? Cã thÓ t¸ch nh thÕ nµo kh¸c n÷a ®Ó xuÊt nªn ta cã: x2 – 6x + 8 = (x2 - 2x) – (4x – 8) = x(x – 2) – 4(x – 2) = (x – 2)(x - 4) hiÖn h»ng ®¼ng thøc råi tiÕp tôc ph©n C¸ch 2: x2 – 6x + 8 = (x2 – 6x + 9) – 1 = …? tÝch C¸ch 3: x2 – 6x + 8 = (x2 – 4) – 6x + 12 =…? C¸ch 4: x2 – 6x + 8 = (x2 – 16) – 6x + 24 =..? T¬ng tù, GV cïng HS t×m ra c¸c c¸ch 10 Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn ph©n tÝch kh¸c trong ph¬ng ph¸p t¸ch h¹ng tö b) a4 + a2 + 1 H·y t¸ch a2 thµnh 2 h¹ng tö ®Ó ph©n tÝch c) x3 – 19x – 30 H·y t¸ch h¹ng tö -19x ®Ó ph©n tÝch Bµi 4: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö a) a4 + 64 D¹ng a2 + b2 nªn ta thªm vµ bít h¹ng tö nµo ®Ó xuÊt hiÖn mét h»ng ®¼ng thøc b) x5 – x4 - 1 c) a3 + b3 + c3 - 3abc Ta ®· cã a3 + b3, vËy nªn thªm bít c¸c h¹ng tö nµo ®Ó xuÊt hiÖn h»ng ®¼ng thøc H·y ph©n tÝch ®a thøc trªn thµnh nh©n tö Bµi 5: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö a) (x2 + x )2 + 4x2 + 4x - 12 Ta sö dông ph¬ng ph¸p nµo ®Ó ph©n tÝch b) (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15 Yc HS lµm t¬ng tù nh c©u a Bµi 6: a) Cho a + b + c = 0 c/m r»ng: a4 + b4 + c4 = 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) Tõ a + b + c = 0 � ? b) cho xy � (a2+b2)(x2+y2) = (ax + by)2 0; C/m: a b  x y HS vÒ nhµ t×m thªm c¸ch kh¸c b) a4 + a2 + 1 = (a4 + 2a2 + 1 ) – a2 = (a2 + 1)2 – a2 = (a2 – a + 1)(a2 + a + 1) c) x3 – 19x – 30 = (x3 – 9x) – (10x + 30) = x(x2 – 9) – 10 (x + 3) = (x + 3)[x(x – 3) – 10] = (x + 3)(x2 – 3x – 10) = (x + 3) [(x2 – 5x) + (2x – 10)] = (x + 3)[x(x – 5) + 2(x – 5)] = (x + 3)(x – 5)(x + 2) thªm vµ bít 2ab ta cã; a4 + 64 = (a2)2 + 2.8a2 + 64 – 2.8a2 = (a2 + 8)2 – (4a)2 = (a2 + 4a + 8)(a2 - 4a + 8) b) x5 – x4 – 1 = (x5 - x4 + x3) - (x3- x2 + x) - (x2 - x + 1) = x3 (x2 - x + 1) - x (x2 - x + 1) - (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1)(x3 - x - 1) HS suy nghÜ, tr¶ lêi c) a3 + b3 + c3 - 3abc = (a3+ b3+ 3a2b+ 3ab2)+ c3- (3a2b+ 3ab2+3abc) = (a + b)3+ c3- 3ab(a+ b+ c) = (a+ b+ c)[(a+ b)2- (a+ b)c + c2] - 3ab(a+b+c) = (a+ b+ c)(a2+ b2+ c2 - ab - ac - bc) a) (x2 + x )2 + 4x2 + 4x - 12 = (x2 + x )2 + 4(x2 + x ) – 12 (*) §Æt (x2 + x ) = y ta cã (*) = y2 + 4y – 12 = (y2 + 4y + 4) – 16 = (y + 2)2 – 42 = (y + 6)(y – 2) = (x2 + x +6 )(x2 + x - 2) = (x2 + x +6 )[(x2 – x) + (2x – 2)] = (x2 + x +6 )[x(x – 1) + 2(x – 1)] = (x2 + x +6 )(x – 1)(x + 2) b) §Æt y = x2 + 8x + 7 th× x2 + 8x + 15 = y + 8 ta cã: (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15 = y(y + 8) + 15 = y2 + 8y + 15 = y2 + 8y +16 – 1 = (y + 4)2 – 1 = (y + 3)(y + 5) =(x2 + 8x + 10)(x2 + 8x + 12) a) Tõ a + b + c = 0 � (a + b + c )2 = 0 � a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 0 � (a2 + b2 + c2)2 = [ - 2(ab + bc + ca)]2 � a4 + b4 + c4 + 2( a2b2 + b2c2 + c2a2) = 4[a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2abc(a + b + c) � a4 + b4 + c4 + 2( a2b2 + b2c2 + c2a2) = 4(a2b2 + b2c2 + c2a2). V× a + b + c = 0 � a4 + b4 + c4 = 2( a2b2 + b2c2 + c2a2) b) Tõ (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 � (a2 + b2)(x2 + y2) - (ax + by)2 = 0 � a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 - a2x2 - 2abxy - b2y2 11 Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn = 0 � a2y2 - 2abxy + b2x2 = 0 � (ay – bx)2 = 0 � ay – bx = 0 � ay = bx � a b  (®pcm) x y III. Bµi tËp vÒ nhµ: Bµi 1: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö a) 25x2 – 20xy + 4y2 b) x3 – 4x2 – 9x + 36 2 – 7xy + 10y2 c) x d) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 Bµi 2: Chøng minh r»ng a) HiÖu c¸c b×nh ph¬ng cña hai sè lÎ liªn tiÕp th× chia hÕt cho 8 b) A = (n + 1)4 + n4 + 1 chia hÕt cho mét sè chÝnh ph¬ng kh¸c 1 víi n �N bµi 5: h×nh b×nh hµnh – h×nh ch÷ nhËt A. MUÏC TIEÂU: * Cuûng coá vaø naâng cao kieán thöùc veà hình bình haønh vaø hình chöõ nhaät * Vaän duïng thaønh thaïo kieán thöùc vaøo caùc baøi taäp veà Hbh vaø hcn * HS coù höùng thuù vaø nghieâm tuùc trong hoïc taäp B. HOAÏT ÑOÄNG DAÏY HOÏC: I. Nhaéc laïi kieán thöùc baøi hoïc: Kieán Hình bình haønh Hình chöõ nhaät thöùc � � � � AB � // CD 1. Ñònh ABCD laø Hcn � A = B = C = D  900 �� ABCD laø Hbh AD � // BC nghóa 2. Tính ABCD laø Hbh , AC �BD = O ABCD laø Hcn , AC �BD = O AB AB � = CD, AD = BC � = CD, AD = BC chaát � � � � � A � =C,B=D �� OA � = OC, OD = OB � = BD AC � � � � � � �� = C , B = D A � = OC, OD = OB OA � 3. Daáu hieäu nhaän bieát AB // CD, AD // BC � AB = CD, AD = BC � � � �=B,C=D � � � A � � � OA = OC, OB = OD � ( O = AC � BD) � � + + ABCD coù AB // CD Vaø + ABCD laø Hbh coù: - AC = BD ABCD laø Hbh II. Baøi taäp vaän duïng: Hoaït ñoäng cuûa GV 1. Baøi 1: � Cho Hbh ABCD coù A = 1200 . Ñöôøng Hoaït ñoäng cuûa HS HS ghi ñeà, veõ hình 12 � ABCD Laø hcn Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn phaân giaùc cuûa goùc D ñi qua trung ñieåm cuûa AB a) C/m: AB = 2AD b) Goïi F laø trung ñieåm cuûa CD. C/m  ADF ñeàu,  AFC caân c) C/m AC  AD Giaûi Goïi E laø trung ñieåm cuûa AB. Ta coù  ADE laø tam giaùc gì? Vì sao? Haõy C/m ñieàu ñoù Haõy C/m  ADF caân taïi A coù moät goùc 600 Haõy C/m  AFC caân taïi F Töø  AFC caân taïi F ta suy ra ñieàu gì? Goùc DFA baèng hai laàn goùc naøo cuûa  AFC � DAC =? 2. Baøi 2: Cho  ABC vaø O laø ñieåm thuoäc mieàn trong cuûa tam giaùc ñoù. Goïi D, E, F laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB, BC, CA vaø L, M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa OA, OB, OC Chöùng minh raèng caùc ñoaïn thaúng EL, FM, DN ñoàng quy Giaûi Ñeå C/m ba ñoaïn thaúng EL, FM, DN ñoàng quy ta C/m gì? Ta C/m caùc ñoaïn thaúng ñoù laø ñöôøng cheùo cuûa hai hbh coù chung moät ñöôøng E A B C F D a)  ADE laø tam giaùc caân � Ta coù A = 1200 , maø ABCD laø Hbh neân � � � D = 600 � ADE = AED = 300 �  ADE caân taïi A � AD = AE maø AB = 2 AE Neân AB = 2AD b) AB = CD (do ABCD laø Hbh) 1 1 maø DF = 2 CD, AD = 2 AB. Suy ra � AD = DF �  ADF caân traïi D coù D = 600 vaäy:  ADF laø tam giaùc ñeàu Ta coù AF = DF (do  ADF ñeàu) Maø DF = FC (F laø trung ñieåm cuûa BC) Suy ra AF = FC �  AFC caân taïi F � � c)  AFC caân taïi F � DFA = 2FAC (Goùc ngoaøi taïi ñænh cuûa tam giaùc caân) � Maø FDA = 600 (do  ADF ñeàu). Suy ra � � FAC = 300 � DAC = 900 hay AC  AD HS ghi ñeà, veõ hình A L D F O M B N E C HS suy nghó , phaùt bieåu HS ghi nhôù phöông phaùp c/m E, F laø trung ñieåm cuûa BC, CA � EF laø ñöôøng 13 Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn cheùo trung bình cuûa  ABC suy ra Ñeå C/m töù giaùc EFLM laø Hbh ta c/m nhö EF // AB, EF = 1 AB (1) 2 theá naøo? Töông töï ta coù töù giaùc NLDE laø hình gì? Töông töï LM laø ñöôøng trung bình cuûa  OAB 1 suy ra LM // AB, LM = AB (2) 2 Hai Hbh naøy coù chung ñöôøng cheùo naøo? Töø (1) vaø (2) suy ra töù giaùc EFLM laø Hbh Töø ñoù ta coù keát luaän gì? C/m töông töï ta coù töù giaùc NLDE laø Hbh Nhöõng Hbh naøo coù taâm truøng nhau? (Vì coù NE //= LD) Hai Hbh EFLM vaø NLDE coù chung ñöôøng cheùo LE hay ba ñoaïn thaúng EL, FM, DN ñoàng quy taïi trung ñieåm cuûa LE Hay ba Hbh EFLM , NFDM vaø NLDE coù taâm 3. Baøi 3: truøng nhau  AC. Cho hìn chöõ nhaät ABCD; keû BH F D C Goïi E, F laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AH, HS ghi ñeà, veõ H CD. Chöùng minh BE  EF hình Giaûi E I Goïi K laø trung ñieåm cuûa AB ta coù ñieàu gì? Vì sao? Goïi K laø trung A K B ñieåm cuûa AB ta coù EK // HB (Vì EK laø ñöôøng trung bình cuûa  AHB) maø BH  AC � EK  AC suy ra Töù giaùc BCFK laø hình gì? Vì sao? � CEK = 900 �  CEK vuoâng taïi E EI coù tính chaát gì? Vì sao? Töù giaùc BCFK coù BK //= CF vaø coù � B = 900 neân laø hình chöõ nhaät neân hai ñöôøng cheùo BF vaø CK caét nhau taïi I vaø BF = CK � I laø trung ñieåm cuûa BF , CK � EI laø trung tuyeán thuoäc caïnh huyeàn CK cuûa  CEK  BFE laø tam giaùc gì? Vìa sao? 4. Baøi 4: Cho  ABC caân taïi A. Töø ñieåm D treân BC keû ñöôøng vuoâng goùc vôùi BC caét AB, AC laàn löôït taïi E, F. Döïng caùc hình chöõ nhaät BDEH vaø CDFK a) C/m: ba ñieåm A, H, K thaúng haøng � EI = 1 1 CK = BF 2 2  BFE coù trung tuyeán EI = 1 BF neân laø tam 2 giaùc vuoâng taïi E � BE  EF 14 Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn b) C/m: A laø trung ñieåm cuûa HK c) Goi I, J theo thöù töï laø taâm cuûa caùc hình chöõ nhaät BDEH vaø CDFK. Tìm taäp hôïp trung ñieåm M cuûa ñoaïn thaúng IJ khi D di ñoäng treân BC Ñeå C/m A, H, K thaúng haøng ta c/m gì? Haõy C/m AH, AK cuøng song song vôùi moät ñöôøng thaúng naøo ? Haõy c/m töù giaùc AIDJ laø Hbh? Nhö theá naøo? Töø I, J laø taâm cuûa caùc hình chöõ nhaät BDEH vaø CDFK vaø M laø trung ñieåm cuûa IJ ta suy ra ñieàu gì? Töø MI // AH vaø MJ // AK ta suy ra ñieàu gì Coù caùch C/m naøo khaùc? Ta ñaõ coù A, H, K thaúng haøng neân ñeå c/m A laø trung ñieåm cuûa HK ta C/m gì? Haõy C/m AB // DK vaø keát hôïp vôùi I laø trung ñieåm cuûa DH ñeå � AH = AK Keû MN  BC vaø ñöôøng cao AG thì MN coù tính chaát gì? M caùch BC moät khoaûng khoâng ñoåi thì m naèm treân ñöôøng naøo? HS ghi ñeà , veõ hình H F A I P E M K Q J B G N D C HS phaùt bieåu C/m AH, AK cuøng song song vôùi IJ HS neâu caùch c/m Töø I, J laø taâm cuûa caùc hình chöõ nhaät BDEH vaø CDFK vaø M laø trung ñieåm cuûa IJ ta suy ra MI vaø MJ laàn löôït laø ñöôøng trung bình cuûa caùc tam giaùc AHD vaø AKD Neân MI // AH vaø MJ // AK hay AH vaø AK cuøng song song vôùi IJ neân A, H, K thaúng haøng (theo tieân ñeà Ôclít) HS neâu caùch C/m khaùc � �  ABC caân taïi A neân ABC = ACB (1) I laø taâm cuûa hcn BDEH neân suy ra  BID caân � � � � taïi I � BDI = DBI hay ABD = BDI (2) Töø (1) vaø (2) suy ra AB // DK maø IH = ID neân AH = AK maø A, H, K thaúng haøng neân A laø trung ñieåm cuûa HK c) Keû MN  BC (N � BC); ñöôøng cao AG ta coù MN = 1 AH (vì MN laø ñöôøng trung bình 2 cuûa  ADG )khoâng ñoåi, neân M naèm treân ñöôøng thaúng song song vôùi BC vaø caùch BC 1 AH khoâng ñoåi chính laø 2 ñöôøng trung bình PQ cuûa  ABC (PQ // BC) moät khoaûng baèng III. Baøi taäp veà nhaø: 1. Cho hình chöõ nhaät ABCD. Keû BH vuoâng goùc vôùi AC. Goïi M, K theo thöù töï laø trung ñieåm cuûa AH vaø CD. Chöùng minh BM vuoâng goùc vôùi MK 2. cho hình bình haønh ABCD. Veõ ra phía ngoaøi hình bình haønh caùc tam giaùc ñeàu ABM, AND. Goïi E, F, Q theo thöù töï laø trung ñieåm cuûa BD, AN, AM 15 Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn a) tam giaùc MNC laø tam giaùc gì? Vì sao? � b) Tính FEQ BUOÅI 6 – PHEÙP CHIA ÑA THÖÙC A. MUÏC TIEÂU: * Cuûng coá vaø naâng cao veà pheùp chia ña thöùc * Tieáp tuïc reøn luyeän, naâng cao kyõ naêng vaän duïng pheùp chia ña thöùc vaøo caùc baøi toaùn khaùc * Taïo höùng thuù cho HS trong quaù trình hoïc taäp vaø vaän duïng vaøo thöïc tieã B. HOAÏT ÑOÄNG DAÏY HOÏC: I. Nhaéc laïi moät soá kieán thöùc: 1. Ña thöùc A chia heát cho ña thöùc B khi luyõ thöøa cuûa bieán trong A chia heát cho luyõ thöøa cuøng bieán ñoù trong B 2. Ña thöùc A chia heát cho ña thöùc B khi: A = B.Q 3. Neáu A = B.Q + R thì: A chia heát cho B khi R = 0 ; A khoâng chia heát cho b khi R � 0 II. Xaùc ñònh heä soá ñeå ña thöùc A chia heát cho ña thöùc B: 1. Phöông phaùp: 1.1- Caùch 1: + Chia A cho B ñöôïc thöông laø Q, dö laø R + Cho R = 0, tìm heä soá töông öùng baèng ñoàng nhaát thöùc 2.1- Caùch 2: Duøng heä soá baát ñònh Ña thöùc bò chia coù baäc laø m, ña thöùc chia coù baäc laø n thìo thöông coù baäc laø m – n Neáu goïi thöông laø xm – n + C (C laø moät ña thöùc chöa xaùc ñònh) Thì A = (xm – n + C ). B A chia heát cho B khi heä soá cuûa cuøng moät luyõ thöøa ôû hai veá phaûi baèng nhau 3.1 - Caùch 3: duøng giaù trò rieâng (chæ aùp duïng khi ña thöùc bò chia coù nghieäm) Goïi thöông cuûa pheùp chia A cho B laø C thì A = B.C Tìm moät giaù trò cuûa bieán ñeå C = 0 roài duøng heä soá baát ñònh ñeå xaùc ñònh heä soá III. Baøi taäp aùp duïng: Hoaït ñoäng cuûa GV Hoaït ñoäng cuûa HS 16 Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn III.1 - Daïng 1: Baøi 1: xaùc ñònh a, b ñeå A(x) = x3 + ax + b chia heát cho B(x) = x2 + x – 2 Haõy thöïc hieän pheùp chia A(x) cho B(x) HS ghi ñeà , tìm caùch giaûi HS thöïc hieän pheùp chia: x3+ ax +b = (x2+ x- 2)(x- 1)+ (a + 3)x + b -2 Ñeå A(x) MB(x) � (a + 3)x + b - 2 = 0 Ñeå A(x) chia heát cho B(x) thì phaûi coù Ñk gì Haõy duøng heä soá baát dònh ñeå tìm a vaø b a a �+ 3 = 0 �= - 3 �� �� b b �-2=0 �= 2 Thöû laïi xem coù ñuùng khoâng Baøi 2: Tìm a, b � Q ñeå A = x4 + ax + b chia heát cho B = x2 – 4 Goïi thöông laø x2 + c ta coù ñaúng thöùc naøo? HS thöû laïi: HS ghi ñeà vaø tìm caùch giaûi Goïi thöông laø x2 + c ta coù ñaúng thöùc x4 + ax + b = (x2 – 4)(x2 + c ) � x4 + ax + b = x4 + (c – 4)x2 – 4c Ñaúng thöùc xaåy ra vôùi x � Q neân Ñaúng thöùc xaåy ra vôùi x � Q neân ta coù ñieàu gì? Haõy tìm a, b, c töông öùng a a �0 �0 � � c c � 4  0 � �  4 �  4c �  16 b b � � III.2 – Daïng 2: Caùc baøi toaùn chöùng minh 1. Baøi 1: Chöùng minh ñònh lí Bô-du “ Soá dö trong pheùp chia f(x) cho nhò thöùc x – a baèng giaù trò ña thöùc aáy taïi x = a” Neáu goïi thöông laø q(x) dö laø r thì f(x) = ? Khi x = a thì f(x) = ? HS tieáp caän yeâu caàu Ta coù f(x) = (x – a). q(x) + r Khi x = a thì f(x) = (a – a). q(x) + r � f(x) = r (soá dö cuûa f(x) : (x – a)) 2. Baøi 2: chöùng minh raèng: (x2 + x – 1)10 + (x2 - x + 1)10 - 2 Mx – 1 Aùp duïng ñònh lí Bô- du ta coù ñieàu gì? HS tieáp caän ñeà baøi Ta coù: (x2 + x – 1)10 + (x2 - x + 1)10 - 2 = (x – 1). Q(x) + r (ñònh lí Bô-du) f(1) = (1 + 1 – 1)10 + (1 – 1 + 1)10 – 2 = 0 � (x2 + x – 1)10 + (x2 - x + 1)10 - 2 Mx – 1 3. Baøi 3: Chöùng minh raèng Vôùi m, n �Z thì: A = (x3m + 1 + x3n + 2 + 1) chia HS tieáp caän ñeà baøi heát cho B = x2 + x + 1 Ñeå C/m : A = (x3m + 1 + x3n + 2 + 1) chia heát HS phaùt bieåu: cho B = x2 + x + 1 ta C/m A M 3 – 1) (x Vì x3 – 1 = (x – 1)(x2 + x + 1) M(x2 + x + Vì sao? Ñeå C/m ñieàu naøy ta laøm theá naøo? 1) 17 Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn x3m – 1 = (x3 – 1)(x3m – 1 + x3m – 2 + … + 1) coù chia heát cho x3 – 1? A = (x3m + 1 – x) + (x3n + 2 – x2) + (x2 + x + 1) = x(x3m – 1) + x2 (x3n – 1) + (x2 + x + 1) x3m – 1 = (x3 – 1)(x3m – 1 + x3m – 2 + … + 1) chia heát cho x3 – 1 neân chia heát cho x2 + x + 1 � x(x3m – 1) Mx2 + x + 1 (1) Töông töï: x2 (x3n – 1) M x2 + x + 1 (2) Vaø x2 + x + 1 M x2 + x + 1 (3) Töø (1), (2), (3) suy ra ñpcm Töông töï ta coù keát luaän gì? III. 3- Daïng 3: Caùc baøi toaùn khaùc 1. Baøi 1: Tìm soá dö cuûa pheùp chia A(x) = x50 + x49 + ... + x + 1 cho B(x) = x2 – 1 Goïi thöông laø Q(x) , dö laø R(x) = ? Khi ñoù A(x) =? Ñaúng thöùc ñuùng vôùi moïi x neân ta coù ñieàu gì? Goïi thöông laø Q(x), dö laø R(x) = ax + b ta coù: A(x) = B(x). Q(x) + ax + b Ñaúng thöùc ñuùng vôùi moïi x neân x2 – 1 = 0 � x = 1 hoaëc x = -1 A(1) = a + b 51 a � � a+b � = 25 �� �� � A(-1) = - a + b 1 b � � =-a+b � = 26 Vaäy R(x) = 25x + 26 2. Baøi 2: Tìm ña thöùc f(x) bieát raèng f(x) chia x – 3 thì dö 2; chia x + 4 thì dö 9 vaø chia cho x2 + x – 12 ñöôïc thöông laø x2 + 3 coøn dö * So saùnh x2 + x – 12 vôùi (x + 3)(x + 4) ? Goïi dö cuûa f(x) : (x2 + x – 12 ) laø ax + b Thöông cuûa f(x) chia cho x + 3; x + 4 laàn löôït laø p(x), q(x) ta coù ñieàu gì? HS ghi ñeà baøi x2 + x – 12 = (x + 3)(x + 4) HS phaùt bieåu � = (x - 3).p(x) + 2 f(x) (1) � f(x) (2) � = (x + 4).q(x) + 9 � = (x - 3)(x + 4)(x 2 + 3) + ax + b (3) f(x) � Töø (1) � f(3) = 2 ; töø (3) � f(3) = 3a + b � 3a + b = 2 (4) Töø (2) vaø (3) sy ra : -4a + b = 9 (5) Töø (4) vaø (5) suy ra: a = -1; b = 5 Vaäy: f(x) = (x – 3)(x + 4)(x2 + 3) – x + 5 = x4 +x3 – 9x2 + 2x – 31 Töø (1) vaø (3) suy ra ñieàu gì? Töø (2) vaø (3) suy ra ñieàu gì? Töø (4) vaø (5) ta coù a =?; b = ? Vaäy ña thöùc caàn tìm laø ña thöùc naøo? III. Baøi taäp veà nhaø: Baøi 1: Xaùc ñònh a; b ñeå a) A = x4 + a x2 + b chia heát cho B = x2 + x + 1 b) C = x4 – x3 – 3x2 + ax + b chia cho D = x2 – x – 2 coù dö laø R = 2x – 3 c) P = 2x3 + a x + b chia Q = x + 1 dö - 6 vaø chia R = x – 2 dö 21 18 Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn Baøi 2: Chöng minh raèng a) mn(m2 – n2) chia heát cho 6 vôùi moïi soá nguyeân m, n b) n4 + 6n3 + 11n2 + 6n chia heát cho 24 vôùi moïi soá nguyeân n Baøi 3: a)Tìm soá dö trong pheùp chia A = (x+1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 2009 cho B = x2 + 8x + 11 b) Tìm soá nguyeân x ñeå giaù trò bieåu thöùc A = x3 – 3x2 – 3x – 1 chia heát cho giaù trò bieåu thöùc B = x2 + x + 1 BUOÅI 7 – CAÙC BAØI TOAÙN VEÀ HÌNH THOI, HÌNH VUOÂNG Ngaøy soaïn: 28 – 11 - 2010 Ngaøy daïy: - 11 - 2010 A. MUÏC TIEÂU: * Cuûng coá vaø naâng cao kieán thöùc veà hình thoi, hình vuoâng: tính chaát vaø daáu hieäu nhaän bieát * Vaän duïng tính chaát cuûa hình thoi vaø hình vuoâng vaøo caùc baøi toaùn chöùng minh caùc ñoaïn thaúng, goùc baèng nhau, ñöôøng thaúng vuoâng goùc, song song,… * Naâng cao kyõ naêng chöùng minh hình hoïc cho HS B. HOAÏT ÑOÄNG DAÏY HOÏC: I. Heä thoáng kieán thöùc: Hình thoi Hình vuoâng Töù giaùc coù 4 caïnh baèng nhau vaø 4 goùc Ñònh Töù giaùc coù 4 caïnh baèng nhau baèng nhau nghóa - Caùc caïnh ñoái song somg, baèng nhau - Caùc caïnh ñoái song somg, baèng nhau - caùc goùc ñoái baèng nhau - caùc goùc ñoái baèng nhau Tính - Hai ñöôøng cheùo vuoâng goùc vôùi nhau - Hai ñöôøng cheùo baèng nhau, vuoâng goùc chaát taïi trung ñieåm moãi ñöôøng, laø truïc ñoùi vôùi nhau taïi trung ñieåm moãi ñöôøng, laø xöùng cuûa hình thoi truïc ñoùi xöùng cuûa hình vuoâng - moãi ñöôøng cheùo laø phaân giaùc cuûa - moãi ñöôøng cheùo laø phaân giaùc cuûa hai hai goùc ñoái nhau goùc ñoái nhau - Taâm ñoái xöùng laø giao ñieåm hai - Taâm ñoái xöùng laø giao ñieåm hai ñöôøng ñöôøng cheùo cheùo - Ñöôøng trung bình laø truïc ñoái xöùng - Töù giaùc coù 4 caïnh baèng nhau - Töù giaùc coù 4 caïnh vaø 4 goùc baèng nhau - Hbh coù 2 caïnh keà baèng nhau - hình thoi coù 1 goùc vuoâng Daáu - Hbh coù 2 ñöôøng cheùo vuoâng goùc vôùi - hình thoi coù 2 ñöôøng cheùo baèng nhau - hình chöõ nhaät coù 2 caïnh keà baèng nhau hieäu nhau nhaän - hbh coù ñöôøng cheùo laø tia phaân giaùc - hình chöõ nhaät coù 2 ñöôøng cheùo vuoâng cuûa 1 goùc goùc vôùi nhau bieát 19 Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn - Hình chöõ nhaät coù ñöôøng cheùo laø tia phaân giaùc cuûa 1 goùc II. Heä thoáng Baøi taäp Baøi 1: Cho hình thang caân ABCD AB // CD, AB < CD. Goïi M, N, P , Q laàn löôït laø trung ñieåm cuûa CD, AB, DB, CA � a) C/m: NM laø tia phaân giaùc cuûa PNQ b) Tính soá ño caùc goùc cuûa töù giaùc MPNQ bieát caùc goùc nhoïn cuûa hình � � thang ABCD laø C = D = 500 c) Hình thang ABCD thoaõ maõn ñieàu kieän gì thì töù giaùc MPNQ laø hình vuoâng? * Ñeå C/m MN laø tia phaân giaùc cuûa � PNQ Ta caàn C/m gì? Ñeå C/m MPNQ laø hình thoi ta C/m nhö theá naøo? Haõy C/m MPNQ laø Hình bình haønh Baèng caùch C/m coù hai caïnh ñoái vöøa song song vöøa baèng nhau, ñoù laø hai caïnh naøo? Haõy C/m NP //= MQ ? HS ghi ñeà vaø veõ hình A / N Q P D // B / M // C Ta C/m töù giaùc MPNQ laø hình thoi C/m MPNQ laø hình bình haønh coù hai caïnh keà baèng nhau Töø GT � NP laø ñöôøng trung bình cuûa  ADE 1 AD (1) 2 MQ laø ñöôøng trung bình cuûa  ADC neân 1 MQ // AD vaø MQ = AD (2) 2 � NP // MQ vaø NP = MQ suy ra Töø (1) vaø (2) neân NP // AD vaø NP = töù giaùc MPNQ laø H.b.h C/m MP = MQ ñeå suy ra H.b.h MPNQ laø hình thoi MPNQ laø hình thoi ta suy ra ñieàu gì ? � CMQ baèng goùc naøo? Vì sao? � PMD baèng goùc naøo? Vì sao? � � � CMQ + PMD = ? � PNQ =? � � MPN = MQN = ? Hình thoi MPNQ laø hình vuoâng khi naøo? Maët khaùc MP = 1 1 CB = AD (Vì AD = CB). 2 2 Suy ra MP = MQ � MPNQ laø hình thoi (H.b.h coù 2 caïnh keà baèng nhau) � NM laø tia phaân � giaùc cuûa PNQ � � b) MQ // AD � ADC = CMQ = 500 (3) � � MP // CE � ECD = PMD = 500 (4) � � Töø (3) vaø (4) � CMQ + PMD = 1000 � � � � � PMQ = 800 � PNQ = 800 � MPN = MQN = 1000 c) Hình thoi MPNQ laø hình vuoâng � � � � PMQ = 900 � CMQ + PMD = 900 � � � � � C + D = 900 � C = D = 45 0 20