HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ
KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN
PGS TS TÔ VĂN BAN (Chủ biên), ThS Nguyễn Thị Thu Hương,
ThS Phan Thu Hà
ĐỀ CƯƠNG CHI TIẾT BÀI GIẢNG
GIẢI TÍCH
(Dùng cho hệ cao đẳng)
Hà nội, 9-2014
BỘ MÔN DUYỆT
ĐỀ CƯƠNG CHI TIẾT BÀI GIẢNG
Chủ nhiệm Bộ môn
(Dùng cho hệ Cao đẳng, 75 tiết
giảng)
Học phần: GIẢI TÍCH (Cho Cao
Đẳng)
Tô Văn Ban
Nhóm môn học: Toán Cao cấp
Bộ môn: Toán
Khoa: Công nghệ thông tin
Thông tin về giáo viên
TT
Họ tên giáo viên
1
Tô Văn Ban
2 Nguyễn Thị Thu Hương
3
Phan Thu Hà
Học hàm
Phó giáo sư
Giảng viên
Giảng viên
Thay mặt nhóm môn
học
Tô Văn Ban
Học vị
TS
ThS
ThS
Địa điểm làm việc: Bộ Môn Toán, P1301, Nhà S4, 236 Hoàng Quốc Việt
Điện thoại, email: 069 515 330,
[email protected]
Bài giảng1: Giới hạn – Liên tục – Đạo hàm
Chương I: Giới hạn, liên tục, phép tính vi phân của hàm một biến
Mục: §1.1 Giới hạn của dãy số (1t)
§1.2 Giới hạn của hàm số (1t)
§1.3 Sự liên tục của hàm số (1t)
§1.4. Đạo hàm và vi phân (1t)
Bài tập Giới hạn của hàm số (1t)
Tiết thứ: 1-5,
Tuần thứ: 1
- Mục đích, yêu cầu:
Nắm sơ lược về Học phần, các chính sách riêng của giáo viên, địa
chỉ Giáo viên, bầu lớp trưởng Học phần.
Nắm được các khái niệm về giới hạn dãy số, vài tính chất;
Tìm giới hạn của một số dãy thông thường, dãy đơn điệu;
Tìm giới hạn của một số hàm dùng các phép thay tương đương;
Nắm được các tính chất của hàm liên tục, liên tục trên đoạn kín,
giới nội.
Nắm được những khái niệm căn bản về đạo hàm, tính đúng đạo
hàm một số hàm số
- Hình thức tổ chức dạy học:
Hình thức chủ yếu: Lý thuyết, thảo luận - tự học, tự nghiên cứu
- Thời gian: Lý thuyết, thảo luận: 5t - Tự học, tự nghiên cứu: 7t
1
- Địa điểm: Giảng đường do P2 phân công.
- Nội dung chính:
Giới thiệu môn học GIẢI TÍCH (Cho CĐ - 15 phút)
Giải tích toán học là bộ môn của toán học liên quan đến những vấn đề
của biến đổi và chuyển động. Phương tiện chủ yếu của nó là nghiên cứu
các đại lượng vô cùng bé. Nó đề cập đến chuyện những đại lượng nọ tiến
đến những đại lượng kia. Hai nhánh chính của giải tích là phép tính vi phân
và phép tính tích phân được liên hệ với nhau bởi định lý cơ bản của giải
tích.
Ngày nay, giải tích dùng để tính toán quỹ đạo của các vệ tinh, dự
báo kích cỡ quần thể, các chỉ số kinh tế, dự báo thời tiết, đo thông số tim
mạch, tính toán phí bảo hiểm ...
Một số chứng minh định lý ... được lược giản. Chúng tôi chú
trọng đến khía cạnh áp dụng của vấn đề. Những ví dụ, bài tập có tính ứng
dụng cao trả lời cho người học câu hỏi học phần này, để làm gì, tác dụng ra
sao với các môn học tiếp, với năng lực người kỹ sư tương lai.
Chúng ta sẽ thấy rất nhiều ví dụ, bài tập liên quan đến thực tiễn
Các khái niệm, định lý, tính chất ... thường được phát biểu bằng
lời và kết hợp với công thức...
Chính sách riêng
Mỗi lần lên bảng chữa bài tập đúng được ghi nhận, cộng vào
điểm quá trình 0.5 điểm. Chữa bài tập sai không bị trừ điểm.
Không đi học hơn 4 buổi trở lên sẽ không được thi.
BÀI TẬP VỀ NHÀ
Chữa trên lớp các bài sau
Chương 1: Giới hạn, liên tục … (tài liệu 1)
1(a,c),
2(a,c)
3(a,b),
5(a,c),
6(a,b),
7(b),
8,
10(b),
11(a,b),
12(a,b),
14(a,b,c,d), 15(c,d,e),
16(b,c),
18(a,b),
19(b,c),
20(a,b),
22(b),
23(b,c).
Chương 2: Tích phân (tài liệu 1)
1(b,c),
2(b),
3(a,b),
5(b,c),
6(b,c,d),
7,
10(b,c,d,e),
11(a,b,c),
12(a,b,c),
14(a),
15(b),
Chương 3: Hàm nhiều biến (tài liệu 2)
2
4(b,d),
9(a),
13,
17(a,b),
21,
4(a,b),
8,
9(a),
13(a,b),
1(a,b,c),
2(a,b),
3(c,d),
4(b,c),
5(b,c,d,e),
6(a),
7(a,b),
9,
10(a,b),
11(a,b),
Chương 4: Tích phân bội – đường – mặt (tài liệu 2)
1(a,b,c,f,g),
2(a,b,c,d),
3(a,b,c),
4(a,b,c).
Chương 5: Chuỗi (tài liệu 1)
1(a,b,c),
2(a,b),
3(a,b,c),
4(a,b,c),
5(a,b),
6(a,b,c,e),
7(b,c,d,e),
8(a,b,c,d).
Chương 6: PTVP (tài liệu 2)
1(a,b,c,d),
2(a,b,c,d,h),
3(a,b,c,e),
4(a,b),
5(a,b,c),
6(a,b,c,d,e,g).
(Khoảng trên 150 ý – Xem ở cuối tài liệu)
Tài liệu tham khảo
TT Tên tài liệu
Tác giả
Nxb
Năm xb
1
Giáo trình Giải tích I
Tô Văn Ban
Giáo dục
2012
2
Giáo trình Giải tích II
Tô Văn Ban
Giáo dục
2012
3
Toán học cao cấp
Nguyễn Đình Trí và
Giáo dục
2007
(T2,3)
…
4
Giải tích 1
Trần Bình
KH và KT
2007
5
Bài tập giải tích
Nguyễn Xuân Viên
HVKTQS
2006
6
Bài tập Giải sẵn giải Trần Bình
KH và KT
2007
tích I
7
Cho CĐ
CẤU TRÚC ĐỀ THI, CÁCH THỨC CHO ĐIỂM
Câu số
Về phần
Số điểm tối đa
Câu 1
Chương 1: Giới hạn, liên tục, đạo
1.5 đ
hàm
Câu 2
Chương 2: Tích phân
1.5 đ
Câu 3
Chương 3: Hàm nhiều biến
2.0 đ
Câu 4
Chương 4: Tích phân bội, tích
2.0 đ
phân đường, tích phân mặt
Câu 5
Chương 4: Chuỗi
1.5 đ
Chương 6: Phương trình vi phân
1.5 đ
Điểm bài thi
10đ
Điểm quá trình
10đ
Điểm chuyên cần
10đ
Tổng điểm = điểm chuyên cần x 10%
10đ
+ điểm quá trình x 20% + điểm bài thi x 70%
Hình thức thi:
Thi viết
Bầu lớp trưởng lớp học phần. Kết quả:
Số điện thoại giáo viên:
3
Địa chỉ Email cần:
Webside cần:
Danh sách SV (Ít nhất 7 cột kiểm tra sĩ số)
Cách đọc chữ cái Hy lạp
Chương 1
GIỚI HẠN, LIÊN TỤC, ĐẠO HÀM CỦA HÀM MỘT BIẾN
§ 1.1. GIỚI HẠN DÃY SỐ (1 tiết)
1.1.1. Sự hội tụ - Phân kỳ
a. Những khái niệm và kết quả mở đầu
a.1. Dãy số
Một ánh xạ xác định trên tập các số nguyên dương và nhận giá trị thực
u : , n u(n)
được gọi là một dãy số.
u1 u(1) : số hạng thứ nhất, …,
u n u(n) : số hạng thứ n hay số hạng tổng quát.
Ký hiệu dãy số bởi {u n , n 1,2,...} hay {u n , n 1} hay đơn giản {u n } . Dãy số cũng
được viết dưới dạng khai triển: u1 ,u 2 ,...,u n ,...
Cũng hay xét các dãy {u n , n n 0 , n 0 1,...} , chẳng hạn
1
1
1
, n 1 ,
, n 3 ,
, n 1 .
n
2
n
2
n
2
Chúng lần lượt là
1 1 1
, , ,... ,
3 4 5
1 1 1
, , ,...,
5 6 7
1,
1 1
, ,...
2 3
a.2. Sự hội tụ, phân kỳ của dãy số
Định nghĩa. Dãy {u n } được gọi là hội tụ đến giới hạn (hay có giới
hạn ) nếu với mọi số 0 , tồn tại N sao cho | u n | , n N .
Khi đó ta viết lim u n hay u n (n ).
n
Hình ảnh trực quan của điều này là: Từ chỉ số N đủ lớn trở đi, u n sẽ
"rơi" vào lân cận ( , ) .
Chú ý. Rất dễ dàng nhận được kết quả:
lim u n lim | u n | 0 .
n
n
4
a.3. Dãy bị chặn
Ta nói dãy { u n } là bị chặn (tương ứng: bị chặn trên, bị chặn dưới) nếu
tập hợp {u n , n 1, 2, ...} là bị chặn (tương ứng: bị chặn trên, bị chặn
dưới).
b. Tính chất về thứ tự của giới hạn
Định lý 1.1. Giả sử {u n }, {v n } là hai dãy thỏa mãn điều kiện u n v n với n N nào đó
và tồn tại các giới hạn lim u n u; lim v n v . Khi đó u v .
n
n
Định lý 1.2 (Định lý kẹp). Cho {u n }, {v n }, {w n } là ba dãy. Nếu từ một chỉ số N nào đó
trở đi xảy ra bất đẳng thức u n w n v n còn {u n } và {v n } cùng hội tụ đến giới hạn thì
{w n } cũng hội tụ đến .
n N, u n w n v n ;
lim u lim u lim w n .
n
n n n n
c. Các phép toán về giới hạn
Định lý 1.3. Cho {u n }, {v n } là hai dãy, , , là ba số thực.
(a ) u n (n ) | u n || | (n ).
(b) u n 0 (n ) | u n || 0 | (n ).
u (n )
(c) n
u n v n (n ).
v n (n )
(d) u n (n ) u n (n ).
u n 0 (n )
(e)
u n v n 0 (n ).
n
{v n } bÞchÆ
u n (n )
(f )
u n v n (n ).
v n (n )
(g) u n 0 (n ) thì
1
1
(n ) .
un
un
.
n v n
(h) u n , v n 0 (n ) thì lim
d. Giới hạn vô hạn
Ta nói dãy {u n } tiến đến + (hay {u n } có giới hạn + ) nếu:
L 0, N : n N, u n L.
Khi đó ta viết lim u n hoặc u n (n ) .
n
Chúng ta dễ hiểu ý nghĩa của ký hiệu u n (n ) .
Ta nói dãy {u n } tiến đến (hay {u n } có giới hạn , {u n } nhận
làm giới hạn) nếu:
L 0, N : n N, | u n | L.
Định lý 1.4. Cho hai dãy {u n }, {v n } .
5
N , n N, u n v n
lim v n .
lim u n
n
n
Định lý 1.5. Cho hai dãy {u n }, {v n } .
(a)
* u n (n )
u n v n (n )
v n bÞchÆ
n d í i
* u n (n )
u n v n (n )
v n (n )
* u n (n )
u n v n (n )
v n (n )
u n (n )
u n v n (n )
C 0, N , n N, v n C
(b)
(c) u n (n )
(d)
1
0 (n ) .
un
u n 0 (n )
1
(n ) .
N, n N, u n 0 u n
Như vậy, khi gặp các giới hạn dạng như ở Định lý trên, ta coi đấy là
các giới hạn thông thường, không phải là dạng vô định, không cần phải
"khử dạng vô định".
Ví dụ 1.1. Xét sự hội tụ của dãy
n a , (a 0) .
lim n a 1 (a 0).
Kết quả:
(1.1)
n
Ngoài ra
lim
n
(Mạnh hơn!)
n 1
n
1.1.2. Dãy đơn điệu
a. Định nghĩa. Dãy {u n } được gọi là tăng (giảm) nếu với mọi n
u n u n 1 (u n u n 1) .
Dãy tăng hoặc giảm gọi chung là dãy đơn điệu.
Định lý 1.6. Dãy tăng (giảm), bị chặn trên (dưới) thì hội tụ.
Hệ quả. Dãy tăng, không bị chặn trên thì hội tụ tới + ,
Dãy giảm, không bị chặn dưới thì hội tụ tới - .
Ví dụ 1.2. Chứng minh được dãy sau đây tăng và bị chặn bởi 3:
n
un
1
1
1
1
k! 1 1! 2! ... n! ,
n = 1, 2, . . .
k 0
Vậy dãy này có giới hạn, gọi là e. Ta biết e 2.718 281 828 .
n
1
(Một định nghĩa khác của số e là: e lim 1 ).
n
n
6
#
§ 1.2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ (1 tiết)
1.2.1. Sơ lược về hàm số
Các phương pháp biểu diễn hàm số
Hàm số được biểu diến theo một trong 4 cách:
Bằng biểu thức
Bằng đồ thị
Bằng bảng số liệu
Bằng lời
1.2.2. Hàm số ngược
a. Hàm số ngược
Cho hàm số y f (x) với tập xác định là X, tập giá trị là Y. Giả sử
ánh xạ
f:
X Y
x X y f (x) Y
là một song ánh (đơn ánh và toàn ánh). Khi đó ánh xạ ngược
x f 1(y) được gọi là hàm ngược của hàm y = f(x) đã cho.
Theo thói quen, ta dùng chữ x để chỉ đối số, chữ y để chỉ hàm số. Như
vậy ta sẽ ký hiệu hàm ngược của hàm y f (x) là y f 1 (x), x Y .
Tính chất. * Nếu hàm f(x) đồng biến (hay nghịch biến) thì hàm
ngược cũng đồng biến (hay nghịch biến).
* Hàm f(x) là lẻ thì hàm ngược cũng lẻ; hàm chẵn không có hàm
ngược.
* Đồ thị hàm ngược đối xứng với đồ thị hàm xuất phát qua phân giác
của góc phần tư thứ nhất.
Ví dụ 1.3.1. y x 2 , x 0 x y, y 0. Hàm ngược là y x .
Lưu ý rằng hàm y x 2 , x không có hàm ngược.
#
x . Hàm số này đồng biến.
2
2
Vậy tồn tại hàm ngược, ký hiệu là arcsinx hay đầy đủ hơn
y arcsin x, 1 x 1 . Đồ thị như Hình 2.1a.
#
Ví dụ 1.4. Xét hàm số y sin x,
Ví dụ 1.5. Hàm số y tan x, x ; đồng biến, nó có hàm ngược, ký hiệu là
2 2
arc tan x - hay đầy đủ hơn - y arc tan x, x (; ) . Đây là hàm lẻ, đồng biến, và đồ thị của
nó cho ở Hình 2.1b. Lưu ý rằng
arc tan() lim arc tan x ; arc tan( ) lim arc tan x . #
x
x
2
2
7
(a)
(b)
Hình 1. 1. Hàm sinx và hàm arcsinx (a), và hàm arctan x (b)
b. Một số hàm sơ cấp cơ bản
Hàm lũy thừa:
y x , x 0 ( ) .
Hàm số mũ:
y ax
Hàm số logarit:
y log a x, x 0 (0 a 1) .
(a 0) .
Hàm lượng giác: y sin x, y cos x, y tan x, y cot x .
Hàm lượng giác ngược:
y arcsin x, x [ 1;1] là hàm ngược của hàm y sinx,
x .
2
2
y arc cos x, x [ 1; 1] là hàm ngược của hàm y cosx, 0 x .
y arctan x, x (; ) là hàm ngược của hàm y tan x,
x .
2
2
y arc cot x, x (; ) là hàm ngược của hàm y cot x, 0 x .
Hàm lượng giác hyperbolic:
cosh x
e x e x
2
: cos hyperbol;
e x e x
: sin hyperbol;
2
sinh x
th x
: tan hyperlol;
cosh x
sinh x
cth x
cosh x
sinh x
: cotang hyperrbol.
Hàm sơ cấp: Gồm các hàm sơ cấp cơ bản, các hàm tạo bởi một số
hữu hạn lần các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên luỹ thừa và hợp
các hàm sơ cấp cơ bản.
Lưu ý: Một số tài liệu dùng hàm: csc x
1
1
, sec x
.
sin x
cos x
8
1.2.4. Một số hàm số thông dụng khác
a. Hàm bước nhảy đơn vị y(x)
d. Hàm dấu
Hàm dấu sgn x (đọc là signum của x) (có thể viết sign x) cho bởi
y ln x x ln y
Hình 1.2. Đồ thị của hàm bước nhảy đơn vị (trái) và hàm dấu (phải)
1.2.4. Giới hạn hàm số
* Nếu giá trị của hàm số f(x) có thể làm cho gần số L một cách tùy ý
khi lấy x đủ gần a (nhưng khác a) thì ta nói rằng giới hạn của hàm f(x) khi
x dần đến a bằng L, và ta viết
lim f (x) L .
x a
(Chính xác là
0, 0, x : 0 x a thì f (x) L ).
* Nếu trong định nghĩa trên ta chỉ xét những giá trị của x bé hơn a, ta
nhận được giới hạn trái của hàm f(x) khi x dần đến a, và ta viết
lim f (x) L .
x a
Ta cũng nói, giới hạn của f(x) khi x dần đến a từ bên trái là L.
* Chúng ta có thể định nghĩa tương tự cho giới hạn phải
lim f (x) L .
x a
Mô tả giới hạn, giới hạn một phía cho ở Hình 2.2.
Hình 1.3. Giới hạn hàm số (a) 2 phía, (b) trái, (c) phải
1
0
x x
* lim
Ví dụ 1.6. * lim (2x 3) 5 .
x 1
9
* lim
x 2x 5
x 0
* lim
x 0
2x 2 x
2 5
x x2
2.
1
2
x
1
2
lim
x 0
1 x 1 1 x 1
1 x 1
lim
x 0
2x
2x 1 x 1
1 x 1
1
.
#
x 0 2x 1 x 1
4
1.2.5. Giới hạn vô hạn
+ Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng (a, b) (có thể trừ ra tại
x 0 (a , b) ). Ta nói f(x) có giới hạn + khi x dần đến x 0 (hoặc tại x x 0 )
và viết lim f x nếu giá trị của hàm số f(x) có thể làm cho lớn một
lim
x x0
cách tùy ý khi lấy x đủ gần a (nhưng khác a).
(Chính xác là
A 0, 0, x (a, b) : 0 x x 0 thì f x A).
Chúng ta hãy tự hiểu ý nghĩa của các ký hiệu
lim f x ; lim f x ; lim f (x) ; lim f (x) ...
x x0
x x0
x x0
Một số minh họa về giới hạn vô hạn thể hiện ở Hình 1.19
Hình 1.4. Giới hạn vô hạn
10
x
Định lý 1.7 (Định lý kẹp). Cho ba hàm số f(x), g(x), h(x) xác định trên khoảng suy rộng I
của . Giả sử
f (x) g(x) h(x), x I ;
c I , lim f (x) lim h(x) .
x c
x c
Khi đó, tồn tại giới hạn của hàm g(x) tại x = c và lim g(x) .
x c
Định lý 1.8. (Các phép toán về giới hạn hàm số)
Cho f (x), g(x), x I là hai hàm số trên khoảng mở rộng I; a I (bao đóng của I);
, , là ba số thực. Khi đó
1. lim f (x) lim | f (x) | | | .
x a
x a
2. lim f (x) 0 lim | f (x) | 0.
x a
x a
lim f (x)
lim (f (x) g(x))
x a
x a
3.
lim
g(x)
f (x).g(x)) .
x a
xlim
a
lim f (x) 0
4. x a
lim (f (x).g(x)) 0.
n trong mét l©n cËn cña a x a
g(x) bÞchÆ
lim f (x)
f (x)
x a
5.
lim
.
x
a
lim
g(x)
0
g(x)
x a
Các giới hạn đặc biệt
Khi tìm giới hạn, các giới hạn đặc biệt sau đây hay được sử dụng:
(a) lim
x 0
sin x
1;
x
(b) lim
ln 1 x
x 0
x
1;
x
(c)
1
lim 1 e ;
x
x
(d)
lim (1 x)1/x e ;
x 0
Ví dụ 1.7. Tìm các giới hạn sau:
1 sin 7x
(i) lim
.
x
2x
1 sin 7x 2
1 sin 7x
1 sin 7x
Ta có
lim
0 lim
0.
1
x
x
2x
2x
lim
0
x | x |
sin mx
sin mx nx mx m
(ii) m,n 0, lim
lim
.
.
.
x 0 sin nx
x 0 mx
sin nx nx n
(v)
f (x)
x a g(x)
lim
11
§ 1.3. SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ (1 tiết)
1.3.1. Định nghĩa
* Cho hàm số f (x), x (a, b) và điểm x 0 (a, b) . Hàm f(x) được
gọi là liên tục tại x 0 nếu lim f (x) f (x 0 ) .
x x0
* Hàm f(x) được gọi là gián đoạn tại x 0 nếu nó xác định tại một lân
cận của x 0 , có thể trừ ra tại chính điểm này, và không liên tục tại đó.
* Hàm f(x) được gọi là gián đoạn loại một tại x 0 , (lúc đó ta nói x 0 là
điểm gián đoạn loại một của f(x)) nếu:
f(x) gián đoạn tại x 0 ;
tồn tại các giới hạn x 0 .
* Nếu hàm f(x) gián đoạn tại x 0 nhưng không gián đoạn loại một tại
đó thì f(x) được gọi là gián đoạn loại hai tại x 0 ; x 0 là điểm gián đoạn loại
hai.
* Hàm f (x), x (a, b) được gọi là liên tục trong khoảng (a; b) nếu nó
liên tục tại mọi điểm x 0 (a, b) .
* Hàm f (x), x [a, b] được gọi là liên tục trên đoạn [a, b] nếu nó liên
tục tại mọi điểm x0 (a, b) và liên tục phải tại a, liên tục trái tại b, nghĩa là:
Nhận xét.* Đồ thị của hàm liên tục là đường cong liền nét; khi vẽ, ta
không phải nhấc bút lên khỏi giấy (phấn lên khỏi bảng).
* Đặt x x x 0 ( x x 0 x) ,
f f (x) f (x 0 ) f (x 0 x) f (x 0 ) .
Từ định nghĩa, ta suy ngay ra rằng, f(x) liên tục tại x 0 khi và chỉ khi
lim f 0 .
(1.2)
x 0
Ví dụ 1.8. (i) Hàm Sa(x). Xét hàm y
sin x
.
x
Hình 1.5. Đồ thị hàm Sa(x)
sin x
, x 0,
Hàm số Sa(x) x
liên tục,
1,
x 0.
12
0, x 0
(ii) Hàm bước nhảy đơn vị y u(x)
1, 0 x.
Hình 1.6. Đồ thị hàm bước nhảy đơn vị
1
sin ,
(iii) f (x) x
0,
x 0,
x 0.
Hình 1.6. Đồ thị hàm
sin (1/ x)
Ví dụ 1.9. Tìm hằng số a để hàm sau đây liên tục trên toàn trục số
x 1
ex ,
y
x 1
ax 1,
Giải. Dễ thấy hàm đã cho liên tục trên các khoảng {x 1} và {x 1} .
Tại
x 1, lim f (x) lim (ax 1) a 1 f (1); lim f (x) lim e x e .
x 1
x 1
x 1
x 1
Vậy hàm liên tục tại x = 1 a 1 e hay a e 1.
#
1.3.2. Các phép toán với các hàm số liên tục
Định lý 1.9. Nếu f(x) và g(x) là những hàm liên tục tại x 0 (a; b) thì
(a) f (x) g(x); f (x) g(x); f (x) liên tục tại x 0 .
(b) C , Cf(x) liên tục tại x 0 .
(c) Nếu g(x0) 0 thì
f (x)
liên tục tại x 0 .
g(x)
Định lý 1.10 ( Sự liên tục của hàm hợp)
Cho u u(x) là hàm liên tục trong khoảng (a, b). Giả sử tập giá trị của hàm này được
chứa trong khoảng (c, d) và z f (u) là hàm liên tục trong (c, d). Khi đó hàm hợp z f (u(x))
liên tục trong (c, d).
13
Nói một cách ngắn gọn, hợp của hai hàm liên tục là một hàm liên tục.
Hệ quả
Hàm sơ cấp liên tục trên tập xác định của chúng.
Hàm sơ cấp xác định trong khoảng (a, b) thì liên tục trong khoảng
đó.
Cũng vậy: Nếu trong một lân cận nào đó của điểm x 0 , f (x) là hàm
sơ cấp thì f(x) liên tục tại x 0 .
1.3.3. Các tính chất của hàm số liên tục trên đoạn kín
Định lý 1.11 (Định lý về sự triệt tiêu của hàm liên tục)
Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên đoạn [a, b] sao cho f(a) f(b) < 0. Khi đó có điểm
c trong khoảng (a, b) để f(c) = 0.
Hệ quả (Định lý về các giá trị trung gian). Hàm f(x) liên tục trên đoạn đóng [a, b] sẽ
nhận mọi giá trị trung gian giữa f(a) và f(b).
Ví dụ 1.10. Chứng minh rằng phương trình e x 2 x có 2 nghiệm trên khoảng (-2, 2).
Giải. PT g(x) e x x 2 0
* g( 2) e 2 0, g(0) 1 0 x1 ( 2,0), g(x1 ) 0
* g(0) 1 0, g(2) e 2 4 0 x 2 (0,2), g(x 2 ) 0
Định lý 1.12 (Định lý Weierstrass). Cho f(x) liên tục trên đoạn đóng
giới nội [a, b]. Khi đó nó bị chặn, đạt được giá trị lớn nhất M Max f (x)
x [a, b]
và giá trị nhỏ nhất m Min f (x) .
x [a, b]
Định lý 1.13 (Sự liên tục của hàm ngược)
Cho I là một khoảng suy rộng (chứa đầu mút hay không) và
y f (x), x I là hàm số liên tục và đơn điệu thực sự trên I.
Gọi J là tập giá trị của f. Tồn tại hàm ngược y f 1(x), x J liên tục,
đơn điệu thực sự, biến thiên cùng chiều với f.
1.3.4. Liên tục đều
Định nghĩa. Giả sử f(x) là hàm số xác định trên I là một khoảng mở rộng của . Ta nói
hàm số f(x) là liên tục đều trên I nếu:
0, 0; x , x I, x x thì f (x ) f (x ) .
Nhận xét. i. Nếu ta tìm được số 0 và hai dãy {x n }, {y n } sao cho
lim (x n yn ) 0 nhưng f (x n ) f (y n ) 0
n
thì f(x) không liên tục đều trên I.
ii. Nếu f(x) liên tục đều trên I thì liên tục trên I.
ii. Nếu hàm f(x) liên tục đều trên I thì cũng liên tục đều trên mọi khoảng con J của nó.
iii. Nếu hàm f(x) liên tục đều trên 2 khoảng I, J thì cũng liên tục đều trên I J .
Ví dụ 1.11. Chứng minh rằng hàm f (x) sin
không liên tục đều trong khoảng đó.
14
liên tục trong khoảng (0; 1) nhưng
x
Thực vậy, f(x) là hàm sơ cấp trong khoảng (0, 1) nên nó liên tục trên khoảng này.
Ta chọn 2 dãy x n
1
1
, tn
thì x n , t n (0, 1) , x n t n 0 , (n ) còn
2n
2n 1 / 2
f (x n ) f (t n ) 1 . Vậy f(x) liên tục không đều trong (0; 1). #
Định lý 1.14 (Định lý Heine-Cantor). Cho f(x) là hàm liên tục trên đoạn [a,b] , a, b .
Khi đó f(x) liên tục đều trên [a, b].
Nói cách khác, hàm liên tục trên đoạn kín, giới nội thì liên tục đều trên đó.
§1.4. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN (1 tiết)
1.4.1. Định nghĩa
Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a, b). Ta nói f(x) có đạo hàm
(còn gọi là khả vi) tại x 0 (a, b) nếu tồn tại giới hạn hữu hạn
lim
x x0
f (x) f (x 0 )
.
x x0
Giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm f(x) tại x 0 , và được kí hiệu
là f (x 0 ), hay
df (x 0 )
df
, hay
(x 0 ) .
dx
dx
Ý nghĩa hình học
f (x 0 ) bằng hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị tại M (x 0 , f (x 0 )) .
Tính chất. f(x) có đạo hàm tại x x 0 (a, b) thì f(x) liên tục tại x 0 .
Lưu ý. Điều ngược lại không phải luôn đúng.
Định nghĩa. Ta nói hàm số f(x) có đạo hàm trong khoảng (a, b) nếu
nó có đạo hàm tại mọi điểm x 0 (a, b).
Khi đó ta có một hàm mới, f (x) , xác định tại mọi điểm x (a, b) , ký
d
df
(f (x)),
, ... , được gọi là (hàm)
dx
dx
đạo hàm của hàm f(x) trên khoảng (a, b).
hiệu bởi một trong các ký hiệu f (x),
1.4.2. Đạo hàm của hàm hợp
[ f (u(x))] f (u(x)).u (x)
hay
df df du
. .
dx du dx
(1.3)
Dùng đạo hàm hàm hợp ta thu được công thức sau đây rất tiện lợi:
(eax f (x)) eax (f (x) af (x)) hay (eax f ) eax (f af ) .
Tổng quát
(eg f ) eg (f gf ) .
(1.4)
1.4.3. Các phép toán với đạo hàm
15
Định l ý 1.15. Cho hai hàm số f(x) và g(x) xác định trên (a; b), khả vi trên (a ; b) còn C
là một số thực. Khi đó:
(u(x) v(x)) u (x) v(x)
hay
(u v) u v ,
u(x)v(x) u (x)v(x) u(x)v(x)
hay
(u v) u v u v ,
u(x) u (x) v(x) u(x) v(x)
u u v u v
(
v(x)
0
)
hay
,
v 2 (x)
v
v2
v(x)
1.4.4. Đạo hàm của hàm ngược
Định lý 1.16. Giả sử hàm y y( x ) xác định trên khoảng (a, b) và có
tập giá trị là J {y(x) : x (a, b)} . Nếu y(x) là hàm đơn điệu thực sự, khả
vi và y(x) 0 trên (a, b) thì tồn tại hàm ngược x x(y) xác định, khả vi
trên J và
x(y)
1
, yJ .
y(x)
(1.5)
Để tìm đạo hàm hàm ngược khi biết rằng nó tồn tại, ta viết đồng nhất
thức
f (f 1 (x)) x hoặc f 1(f (x)) x
trên tập xác định rồi đạo hàm hai vế.
Ví dụ 1.12. Tìm đạo hàm của hàm số y arccos x .
Ta có cos(arccos x) x, x (1, 1) .
Vậy sin(arccos x).(arccos x) 1
(arccos x)
1
sin(arccos x)
1
1 cos 2 (arccos x)
1
1 x2
, x (1; 1).
Tương tự, để tính đạo hàm hàm số y arcsin x , bằng cách xét
x sin(arcsin x), x ( 1, 1) ta nhận được
(arcsin x)
1
1 x2
, x ( 1, 1).
16
#
Bảng 1.1. Đạo hàm một số hàm sơ cấp
Đạo hàm hàm hợp
Đạo hàm
(C) ' 0
(C) ' 0
(x )' x 1
(u ) ' u 1u '
( x ) ' 1 / (2 x )
( u ) ' (1 / 2 u )u '
(sin x) ' cos x
(sin u) ' c os u. u '
(cos x) ' sin x
1
(tan x) '
cos2 x
1
(cot x)'
sin 2 x
(cos u)' sin u. u '
1
(tan u) '
u'
cos2 u
1
(cot u) '
u'
sin 2 u
(a x ) ' a x ln a
(a u ) ' a u (ln a) u '
(e x ) ' e x
(e u ) ' e u u '
(log a x)'
(ln x) '
1
x ln a
(log a u) '
1
x
(arcsin x)'
(ln u) '
1
1
u'
u ln a
1
u'
u
(arcsin u) '
1
u'
1 u2
1
(arc cos u) '
u'
1 u2
1
(arc tan u) '
u'
1 u2
1
(arc cot u)
u'
1 u2
1 x2
1
(arccos x)'
1 x2
1
(arc tan x)'
1 x2
1
(arc cot x) '
1 x2
1.4.5. Đạo hàm một phía - Đạo hàm vô cùng
a. Định nghĩa
* Giả sử hàm số f(x) xác định trên [a; b) . Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn lim
x a
f (x) f (a)
xa
thì hàm f(x) được gọi là khả vi (phía) phải tại a, giới hạn trên được gọi là đạo hàm (phía) phải
tại a của hàm f(x), kí hiệu f a .
* Tương tự, chúng ta hãy tự hiểu ý nghĩa đạo hàm trái f (a) .
* Hàm số f(x) gọi là khả vi (có đạo hàm) trên đoạn [a; b] nếu nó khả vi trong khoảng (a;
b), khả vi phải tại a và khả vi trái tại b.
f (x) f (c)
, ta nói f(x) có đạo hàm vô cùng tại c, và viết f (c) . Ngoài
x c
x c
* Nếu lim
ra, nếu hàm số liên tục tại x c thì tiếp tuyến tương ứng song song với trục Oy. Lưu ý rằng khi
ấy hàm f(x) không có đạo hàm hữu hạn tại x c .
b.Tính chất
17
Hàm số f(x) có đạo hàm tại x 0 (a; b) khi và chỉ khi
f (x 0 ), f (x 0 ); f (x 0 ) f (x 0 ).
Khi đó, f (x 0 ) f (x 0 ) f (x 0 ).
Ví dụ 1.13. i. Xét hàm số y | x | . Với hàm này thì
y (0) lim
x 0
x 0
x 0
1; y (0) lim
1 . Từ đó y(0)
x 0
x 0 x 0
ii. y x , x 0 : lim
x 0
x 0
y (0) .
x 0
sin x
, x0
iv. Hàm số y Sa(x) x
thể hiện dao động điều hòa.
0,
x0
Hình 1.7. Đồ thị hàm Sax
sin x
1
sin x x
cos x 1
sin x
y(0) lim x
lim
lim
lim
0.
2
x 0 x 0
x 0
x 0
x 0
2x
2
x
Bài tập: Giới hạn của hàm số (1 tiết)
- Yêu cầu SV chuẩn bị:
Đọc trước bài “Đạo hàm và vi phân”, (TL1, tr 95 -100), “Công thức
Taylor”, TL1, tr 114 – 1160.
18
Bài giảng2: Đạo hàm - Ứng dụng
Chương I: Giới hạn, liên tục, phép tính vi phân của hàm một biến
Mục § 1.4. Đạo hàm và vi phân (1t - tiếp)
§ 1.5. Công thức Taylor (1t)
§1.6. Quy tắc L’Hospital - 1t
Bài tập: Sự liên tục của hàm một biến số (1t)
Đạo hàm và vi phân (1t)
Tiết thứ: 6-10,
Tuần thứ: 2
- Mục đích, yêu cầu:
Nắm được định nghĩa, vi phân, dùng vi phân tính giá trị gần đúng
Hiểu và vận dụng công thức Taylor, tìm khai triển của vài hàm đơn
giản đến cấp 1, cấp 2.
Nắm được cách áp dụng quy tắc L’Hospital để tìm các giới hạn vô
định
- Hình thức tổ chức dạy học:
Hình thức chủ yếu: Lý thuyết, thảo luận - tự học, tự nghiên cứu
- Thời gian: Lý thuyết, thảo luận: 5t - Tự học, tự nghiên cứu: 7t
- Địa điểm: Giảng đường do P2 phân công.
- Nội dung chính:
§1.4. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN (1 tiết – Tiếp)
1.4.6. Vi phân
a. Định nghĩa. Cho hàm số f (x), x (a, b) và x 0 (a, b). Nếu số gia hàm số f được
viết dưới dạng
f f (x 0 x) f (x 0 ) A. x o( x)
(x 0)
(1.6)
trong đó A là hằng số, không phụ thuộc vào x , o( x) là VCB bậc cao hơn của x , thì hàm
f(x) được gọi là khả vi tại x 0 , A. x được gọi là vi phân của hàm f(x) tại điểm x 0 ứng với số
gia x của đối số x, ký hiệu là df (x 0 ) .
Ví dụ 1.14. Xét hàm số y x . Như thường lệ, dy dx 1.x . Vậy dx x . #
Định lý 1.17. Hàm số y f (x), x (a, b) khả vi tại x 0 (a, b) khi và
chỉ khi f(x) có đạo hàm tại đó . Khi đó,
df (x 0 ) f (x 0 ) x f (x 0 ) dx.
Nếu f(x) khả vi tại mọi điểm x 0 (a, b) thì ta nói f(x) khả vi trong
khoảng (a, b) và vi phân của f(x) tại x được tính theo công thức:
df (x) f (x)dx .
(1.7)
Ta nhận được f (x)
df (x)
, phù hợp với ký hiệu sử dụng ở đầu bài
dx
này.
19