Tài liệu Giải và biện luận phương trình, bất phương trình bằng phương pháp hàm số – nguyễn thành trung

Tư duy giải toán Hàm Số Vận Dụng – Vận Dụng Cao Nguyễn Thành Trung Contents  DẠNG 1: Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) ( xác định số nghiệm của phương trình ) f t ( x ) = k .................................................................................................................................... 4  DẠNG 2: Cho bảng biến thiên f  ( x ) tìm tham số m để bất phương trình g ( x , m )  0 có nghiệm thuộc D . .................................................................................................................... 6  DẠNG 3: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị f ( x ) xác định tham số m để g ( x , m )  0 13  DẠNG 4: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị f  ( x ) xác định tham số m để g ( x , m )  0 36  DẠNG 5: Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) xác định tham số để phương trình có nghiệm ...................................................................................................................................................... 41 Theo bất đẳng thức Bunyakovsky ........................................................................................... 48  DẠNG 6: Cho đồ thị hàm số y = f  ( x ) xác định số nghiệm của hàm số g ( x ) = f ( x ) + g ( x ) ...................................................................................................................... 51  DẠNG 7 : Biện luận tham số m của bất phương trình hoặc phương trình bằng cách đưa về hàm số đặc trưng .......................................................................................................... 53 3 Tư duy giải bài toán vận dụng- vận dụng cao hàm số Nguyễn Thành Trung ( )  DẠNG 1: Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) xác định số nghiệm của phương trình f t ( x ) = k Ví dụ 1. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên y = f ( x ) như hình bên. có đồ thị Đặt g ( x ) = f  f ( x ) xác định số nghiệm của phương trình g ( x ) = 0 A. 8 . B. 7 . C. 6 . D. 5 .  Lời giải  Chọn đáp án A Ta có  g ( x ) =  f f ( x )  = f  ( x ) f   f ( x )     x = −1   f ( x) = 0 x = 2 g ( x ) = 0    f ( x ) = 1 ( 1)  f   f ( x )  = 0   f ( x ) = 2 ( 2 ) ( ) Phương trình ( 1) có 3 nghiệm vì đường thẳng y = 1 cắt đồ thị hàm số f ( x ) tại 3 điểm phân biệt. Phương trình ( 2 ) có 3 nghiệm vì đường thẳng y = 2 cắt đồ thị hàm số f ( x ) tại 3 điểm phân biệt. 4 Tư duy giải toán Hàm Số Vận Dụng – Vận Dụng Cao Nguyễn Thành Trung Suy ra g ( x ) = 0 có 8 nghiệm. Ví dụ 2. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên có đồ thị y = f ( x ) như hình bên. Số nghiệm ( ( )) = 1 thực của phương trình f 2 + f e x là A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 .  Lời giải  Chọn đáp án B Ta có Theo đồ thị ( f 2 + f (e x ))  2 + f ( e x ) = −1 =1   2 + f ( e x ) = a , ( 2  a  3)  e x = 1 2 + f e x = −1  f e x = −3   x x=0  e = b  −1 ( loaïi ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 + f ex = a  f ex  e x = c  −1 ( loaïi )  = a − 2, ( 0  a − 2  1)   e x = d  0 ( loaïi )  x = ln t  x  e = t  2 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt Ví dụ 3. 5 Tư duy giải bài toán vận dụng- vận dụng cao hàm số Nguyễn Thành Trung Cho hàm số f ( x ) liên tục trên có đồ thị y = f ( x ) như hình bên. Phương trình ( ) f 2 − f ( x ) = 0 có bao tất cả bao nhiêu nghiệm phân biệt. A. 4 . C. 6 . B. 5 . D. 7 . Thi Thử THPT Quốc Gia Trường Yên Lạc Vĩnh Phúc Lần 4  Lời giải  Chọn đáp án B Theo đồ thị  x = a ( −2  a  −1)  2 − f ( x) = a  f ( x) = 2 − a (1)     f (2 − f ( x)) = 0   2 − f ( x) = b   f ( x) = 2 − b (2) f ( x) = 0   x = b (0  b  1)  x = c (1  c  2)  2 − f ( x) = c  f ( x) = 2 − c (3) Nghiệm của phương trình ( 1) ; ( 2 ) ; ( 3 ) là giao điểm của đường thẳng y = 2 − a; y = 2 − b; y = 2 − c với đồ thị hàm số f ( x ) . • a  (−2; −1)  2 − a  (3; 4) suy ra phương trình ( 1) có đúng 1 nghiệm phân biệt. • b  (0;1)  2 − b  (1; 2) suy ra phương trình ( 2 ) có đúng 1 nghiệm phân biệt. • c  (1; 2)  2 − b  (0;1) suy ra nên phương trình ( 3 ) có 3 nghiệm phân biệt. Kết luận: Có tất cả 5 nghiệm phân biêt.  DẠNG 2: Cho bảng biến thiên f  ( x ) tìm tham số m để bất phương trình g ( x , m )  0 có nghiệm thuộc D . Ví dụ 1. 6 Tư duy giải toán Hàm Số Vận Dụng – Vận Dụng Cao Nguyễn Thành Trung Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên . Bảng biến thiên của hàm số y = f  ( x ) như hình dưới −1 x 3 1 3 f ( x) 1 2 1 Tìm m để bất phương trình m + x 2  f ( x ) + x 3 nghiệm đúng với mọi x ( 0; 3 ) . 3 2 A. m  f (0) . B. m  f (0) . C. m  f (3) . D. m  f (1) − . 3  Lời giải  Chọn đáp án A 1 1 Ta có m + x2  f ( x ) + x3  m  f ( x ) + x3 − x 2 . 3 3 1 Đặt g ( x ) = f ( x ) + x 3 − x 2 . 3 Ta có g ( x ) = f  ( x ) + x2 − 2x = f  ( x ) − −x2 + 2x . ( g ( x ) = 0  f  ( x ) = − x + 2 x . ) 2 f  ( x )  1 x  ( 0; 3 ) Theo bảng biến thiên và g ( x )  0, x  ( 0; 3 ) . −x2 + 2x = 1 − ( x − 1)  1,x  ( 0; 3 ) 2 nên Từ đó ta có bảng biến thiên của g( x) : x g ( x ) 0 3 + g ( 3) g ( x) g (0) 1 Bất phương trình m  f ( x ) + x 3 − x 2 nghiệm đúng với mọi x ( 0; 3 ) 3  m  g ( 0 )  m  f (0) . Ví dụ 2. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau: x f ( x) −1 − + 0 4 0 − 0 + 2 0 + − 3 7 Tư duy giải bài toán vận dụng- vận dụng cao hàm số Nguyễn Thành Trung f ( x) − ( − 2 ) Bất phương trình x + 1 f ( x )  m có nghiệm trên khoảng ( −1; 2 ) khi và chỉ khi 2 C. m  27 . B. m  15 . A. m  10 . D. m  15 . Đề thi Duyên Hải Bắc Bộ năm 2019  Lời giải  Chọn đáp án B Yêu cầu bài toán  m  max g ( x )  −1; 2 ( ) Với g ( x ) = x 2 + 1 f ( x ) . ( ) Ta có: g  ( x ) = 2 x f ( x ) + x 2 + 1 f  ( x ) . x  0  2  f ( x )  4  g  ( x )  0, x  ( −1; 0 ) . Với x  ( −1; 0 ) thì   f x  0 ( )   x2 + 1  0  Tại x = 0 , g  ( 0 ) = 0 . x  0  2  f ( x )  3  g  ( x )  0, x  ( 0; 2 ) . Với x  ( 0; 2 ) thì   f ( x)  0  x2 + 1  0  ( ) Ta có bảng biến thiên của hàm số g ( x ) = x 2 + 1 f ( x ) trên khoảng ( −1; 2 ) như sau x g ( x ) g ( x) Suy ra max g ( x ) = 15 .  −1; 2 Kết luận: m  15 . Ví dụ 3. 8 −1 0 − 8 0 3 2 2 + 15 Tư duy giải toán Hàm Số Vận Dụng – Vận Dụng Cao Nguyễn Thành Trung Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau: 0 x f ( x) 1 4 + − − Tìm m để bất phương trình m + 2sin x  f ( x ) nghiệm đúng với mọi x  ( 0; + ) . B. m  f (1) − 2sin1 . A. m  f ( 0 ) . C. m  f ( 0 ) . D. m  f (1) − 2sin1 .  Lời giải  Chọn đáp án C BPT m + 2sin x  f ( x )  m  f ( x ) − 2sin x . Yêu cầu bài toán  m  min g ( x ) ; g ( x ) = f ( x ) − 2sin x Ta có g ( x ) = f  ( x ) − 2cos x . g ( x ) = 0  f  ( x ) = 2cos x . Mà f  ( x )  2, x  ( 0; + ) và 2cosx  2,x  ( 0; + ) nên g ( x )  0, x  ( 0; + ) .  f '( x) = 2 g ( x ) = 0    x = 0 . Với g ( 0 ) = f ( 0 ) − 2sin 0 = f ( 0 ) 2 cos x = 2 Từ đó ta có bảng biến thiên của g( x) : x g ( x ) + 0 + + g ( x) f (0) Bất phương trình m  f ( 0 ) nghiệm đúng với mọi x  ( 0; + ) Ví dụ 4. 9 Tư duy giải bài toán vận dụng- vận dụng cao hàm số Nguyễn Thành Trung Cho hàm số y = f ( x ) có f ( −2 ) = m + 1 , f (1) = m − 2 . Hàm số y = f  ( x ) có bảng biến thiên 0 0 x + + 2 0 f ( x) −2 − Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình 1 2x + 1 f ( x) −  m có 2 x+3 nghiệm trên x   −2;1 là  7 A.  −5; −  . 2  B. ( −;0 ) .  7  D.  − ; +   .  2  C. ( −2;7 ) .  Lời giải  Chọn đáp án D Yêu cầu bài toán g ( x ) = Ta có g ( x ) = 1 2x + 1 f ( x) −  m, x   −2; 1  min g ( x )  m 2 x+3 −  2; 1 1 5 f ( x) − . 2 2 ( x + 3) Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y = f  ( x ) ta có f  ( x )  0, x  ( −2;1) và − 5 ( x + 3) 2  0, x  ( −2;1) . Do đó g ( x )  0, x  ( −2;1) . Bảng biến thiên của hàm số y = h ( x ) trên khoảng  −2;1 . x g ( x ) −2 1 + g ( −2 ) g ( x) g ( 1)  min g ( x ) = g ( 1) −  2; 1 Suy ra g (1)  m  10 2m − 7 1 m−2 3 3 7  m  −  m. f ( 1) −  m  − m  4 2 2 4 4 2 Tư duy giải toán Hàm Số Vận Dụng – Vận Dụng Cao Nguyễn Thành Trung Ví dụ 4. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và có đồ thị như hình vẽ. Tập các giá trị thực của tham số m để phương trình f ( ) 4 − x 2 = m có nghiệm thuộc nữa ) khoảng  − 2 ; 3 là  A.  −1; 3  .  ( C. −1 ; f  ( 2 ) . B.  −1; f ( 2)  .   D. ( −1; 3 . Đề thi thử THPT Quốc Gia Phan Bội Châu Nghệ An Lần 2 năm 2019  Lời giải  Chọn đáp án D  4−x ) ( , t = = 2 Đặt t = 4 − x 2 2 4−x −x 2 4 − x2 x − 2 , t=0x=0 Bảng biến thiên t ( x ) 0 3 2 t Suy ra t  t  ( 1; 2  . 2 1 Phương trình tương đương với f ( t ) = m ( 1) có nghiệm t  ( 1; 2  Nghiệm của phương trình ( 1) là giao của đường thẳng y = m và đồ thị hàm số y = f ( x ) với x  ( 1; 2  . Theo đồ thị ta suy ra −1  m  3 . Chọn D. 11 Tư duy giải bài toán vận dụng- vận dụng cao hàm số Nguyễn Thành Trung Ví dụ 5. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và có đồ thị như hình vẽ. Số giá trị nguyên dương của m để phương trình ( ) f x2 − 4x + 5 + 1 = m có nghiệm là A. 0 . B. 3 . C. 4 . D. Vô số. 8 Trường chuyên đồng bằng Sông Hồng Lần 1 năm 2019  Lời giải  Chọn đáp án B ( ) ( ) f x2 − 4 x + 5 + 1 = m  f x2 − 4x + 5 = m − 1  f ( t ) = m − 1 ñoà thò Với t = x2 − 4x + 5 = ( x − 2 ) + 1  1  t  1; +  ) ⎯⎯⎯ → f ( t )  2; +  ) 2 Nên để phương trình có nghiệm  m − 1   2; +  )  m − 1  2  m  3 Và m  12 +  m 1; 2; 3 . Chọn đáp án B. Tư duy giải toán Hàm Số Vận Dụng – Vận Dụng Cao Nguyễn Thành Trung  DẠNG 3: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị f ( x ) xác định tham số m để g ( x , m )  0 Ví dụ 1. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên Bất phương trình f ( x)  sin x 2 , có đồ thị f  ( x ) như hình vẽ. + m nghiệm đúng với mọi x   −1;3 khi và chỉ khi C. m  f (−1) + 1 . B. m  f (1) − 1 . A. m  f (0) . D. m  f (2) .  Lời giải  Chọn đáp án B f ( x)  sin x 2 + m  m  f ( x ) − sin x 2 Để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x   −1;3 thì x  m  min  f ( x ) − sin   −1; 3  2  Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) − sin x 2 , g( x) = f ( x) −  2 cos x 2 Nhận thấy f  ( x ) đổi dấu khi qua x = 1 gợi ý cho ta xét dấu của hàm g  ( x ) trên 2 khoảng ( −1;1) và (1;3) • Với x  ( −1;1) x  ( −1;1)  f  ( x )  0 ( đồ thị hàm số x  ( −1;1)   x  −    x   ;   − cos    0, x  ( −1;1) 2  2 2 2  2  Vậy g  ( x ) = f  ( x ) − •  x  cos    0, x  ( −1;1) 2  2  Với x = 1 g  (1) = f  (1) − • f  ( x ) nằm dưới trục hoành )    .1  cos  =0 2  2  Với x  (1;3) 13 Tư duy giải bài toán vận dụng- vận dụng cao hàm số Nguyễn Thành Trung x  (1;3)  f  ( x )  0 (đồ thị hàm số f  ( x ) nằm trên trục hoành ) x  (1;3)   x   3    x    ;   − cos    0, x  (1;3) 2 2 2  2  2  Vậy g  ( x ) = f  ( x ) −  x  cos    0, x  (1;3) 2  2  Ta có bảng biến thiên −1 x g ( x ) 3 1 − 0 f ( −1) + 1 3 + f ( 3) + 1 g ( x) f ( 1) − 1 Suy ra Min g ( x ) = f (1) − 1 −1;3 Vậy m  f (1) − 1 . Ví dụ 2. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên và có đồ thị f  ( x ) như hình vẽ. Bất phương trình log 5  f ( x ) + m + 2  + f ( x )  4 − m đúng với mọi x ( −1; 4 ) khi và chỉ khi A. m  4 − f ( −1) . B. m  3 − f (1) . C. m  4 - f (-1) . D. m  3 − f (4) . Thi Thử THPT Quốc Gia Chuyên Hạ Long năm tháng 5 năm 2019  Lời giải  Chọn đáp án D log 5  f ( x ) + m + 2  + f ( x )  4 − m (1)  log 5  f ( x ) + m + 2  +  f ( x ) + m + 2   log 55 + 5 ( 2 ) Xét hàm số đặc trưng cho 2 vế của BPT ( 2 ) g ( t ) = log t5 + t với t  0 g ( t ) = 1 + 1  0 suy ra g ( t ) đồng biến với t  0 5ln t  ( 2)  f ( x) + m + 2  5  m  3 − f ( x) ( ) Yêu cầu bài toán  m  max 3 − f ( x ) = max h ( x ) ( 2 ) x  ( −1; 4 ) với h ( x ) = 3 − f ( x ) khi đó h ( x )max  f ( x )min 14 Tư duy giải toán Hàm Số Vận Dụng – Vận Dụng Cao Nguyễn Thành Trung Từ đồ thị suy ra bảng biến thiên x f ( x) −1 0 1 + 0 4 − 0 f ( 1) f ( −1) f ( 4)  f ( −1) f ( x )min =   f ( 4 ) So sánh f ( −1) và f ( 4 ) S1  S2  1  −1 4 f  ( x ) dx  −  f  ( x ) dx  f ( 1) − f ( −1)  −  f ( 4 ) − f ( 1)   f ( −1)  f ( 4 ) 1 Suy ra f ( x )min = f ( 4 ) và ( 2 )  m  3 − f ( 4 ) Ví dụ 3. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên có đồ thị khi và chỉ khi A. m  f (1) − 1 . B. m  f ( 1) + 1 . C. m  f (1) − 1 . D. m  f (1) − 1 .  Lời giải  Chọn đáp án D Ta có f ( x )  3x − 2 x + m  f ( x ) − 3x + 2 x  m. 15 Tư duy giải bài toán vận dụng- vận dụng cao hàm số Nguyễn Thành Trung Đặt g( x) = f ( x ) − 3x + 2x. Khi đó g( x) = f  ( x ) − 3x ln 3 + 2. g( x) = 0  f  ( x ) = 3x ln 3 − 2. Đặt h( x) = 3x ln 3 − 2. Khi đó h( x) = 3x ln 2 3  0, x  ( −; 1 . Bảng biến thiên − x h ( x ) 1 + + − 3ln 3 − 2 h ( x) −2  h( x)  −2, x  ( −; 1 . (1) Theo đồi thị y = f ( x), ta thấy f ( x)  −3, x  ( −; 1 . (2) Từ (1) và (2), ta được f ( x)  h( x), x  ( −; 1 . Nên g( x) = f  ( x ) − h( x)  0, x  ( −; 1 ,=suy ra min g( x) = g(1) = f (1) − 1. ( − ; 1 Do đó f ( x )  3x − 2x + m có nghiệm trên ( −; 1 khi và chỉ khi m  min g( x)  m  f (1) − 1. ( − ; 1 Ví dụ 4. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên và đồ thị như hình vẽ. Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình ( ) ( ) f x f x f x 9.6 ( ) + 4 − f 2 ( x ) .9 ( )  −m2 + 5m .4 ( ) đúng với x  là A. 10 . B. 4 . C. 5 . D. 9 .  Lời giải  Chọn đáp án A ( ) ( ) f x f x f x 9.6 ( ) + 4 − f 2 ( x ) .9 ( )  −m2 + 5m .4 ( ) ( 1) Đặt t = f ( x )  ( −; −2  ( theo đồ thị) ( ) ( )  ( 1) : 9.6t + 4 − t 2 .9t  −m2 + 5m .4t t 2t 3 3  9.   + 4 − t 2    − m2 + 5m ( 2 ) 2 2 16 ( ) Tư duy giải toán Hàm Số Vận Dụng – Vận Dụng Cao Nguyễn Thành Trung t 3 Đặt: g ( t ) = 9.   + 4 − t 2 2 ( ) 2t t 3 3  .   =   . 9 + 4 − t 2 2  2   ( ) 3 .  2 t   , t  ( −; −2  .  t 3 Xét hàm số: h ( t ) = 9 + 4 − t .   với t  ( −; −2  2 ( t 3 h ( t ) = −2t.   + 4 − t 2 2 ( 2 ) ) t 3 3 3 .   .ln =   2 2 2 t  3 .  −2t + 4 − t 2 .ln  . 2  ( ) 2 2  3  3 −1 + 1 + 4  ln  −1 − 1 + 4  ln   2  2 h ( t ) = 0  t =  −2 (loại) hoặc t =  −2 (tm) 3 3 ln ln 2 2 Ta có BBT: x − h ( t ) 0  3 −1 − 1 + 4  ln   2 3 ln 2 − 0 2 −2 + 9 9 h (t ) 0 Từ BBT  h(t )  9 t  ( − ; − 2  (3). t 3 4 Vì t  ( −; −2   0     2 9 3 Từ (3) và (4) suy ra g ( t ) =   2 (4). t  . 9 + 4 − t 2  ( ) 3 .  2 t    4 t  ( − ; − 2    max g ( t ) = 4 . (Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi t = −2 ). ( − ; −2 Bất phương trình (1) đúng với x   Bất phương trình (2) đúng với t  ( − ; − 2   −m2 + 5m  max g ( t )  − m2 + 5m  4  m2 − 5m + 4  0  1  m  4 . ( − ; −2 Do m suy ra m1; 2; 3; 4 . Vậy tổng các giá trị nguyên của m là: 1 + 2 + 3 + 4 = 10 . Ví dụ 5. 17 Tư duy giải bài toán vận dụng- vận dụng cao hàm số Nguyễn Thành Trung Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn  −1; 9  và có đồ thị là đường cong như hình vẽ y Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình f x f x f x 16.3 ( ) −  f 2 ( x ) + 2 f ( x ) − 8  .4 ( )  m2 − 3m .6 ( ) nghiệm đúng với mọi giá trị x thuộc đoạn  −1; 9  ? ( A. 32 . ) C. 5 . B. 31 . D. 6 . Đề thi thử THPT Quốc Gia Yên Khánh Ninh Bình Lần 4 năm 2019  Lời giải  Chọn đáp án D Từ đồ thị ta suy ra −4  f ( x )  2 x  −1;9  . Đặt t = f ( x ) , t  −4; 2  . ( ) ycbt  tìm m sao cho bất phương trình 16.3t − t 2 + 2t − 8  .4t  m2 − 3m .6t (1) đúng với t   −4; 2  t 2 16 (1)  2t − t 2 + 2t − 8  .  3   m2 − 3m với t  −4; 2 (*).   Ta có 16  4, t   −4; 2  . Dấu bằng xảy ra khi t = 2 . 2t Mặt khác t 2 + 2t − 8  0 với t   −4; 2  . t 2 Do đó t + 2t − 8 .    0, t   −4; 2  . Dấu bằng xảy ra khi t = 2  t = −4 . 3 ( 2 ) t Như vậy t 2 2 16 16 − t 2 + 2t − 8  .    4 t   4; −2  . Mà − t 2 + 2t − 8  .    m2 − 3m với t 3 2t  2   3 t   −4; 2  . Suy ra m2 − 3m  4  −1  m  4 . Như vậy có 6 giá trị nguyên của m thỏa mãn. 18 Tư duy giải toán Hàm Số Vận Dụng – Vận Dụng Cao Nguyễn Thành Trung Ví dụ 6. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên  −1; 3 và có đồ thị như hình vẽ. Bất phương trình f ( x) + x + 1 + 7 − x  m có nghiệm thuộc  −1; 3 khi và chỉ khi A. m  7 . B. m  7 . C. m  2 2 − 2 . D. m  2 2 + 2 . Đề thi thử THPT Quốc Gia Yên Khánh A Ninh Bình Lần 4 năm 2019  Lời giải  Chọn đáp án A Xét hàm số g ( x ) = g '( x) = x + 1 + 7 − x liên tục trên  −1;3 ta có: 1 1 − , x  ( −1;3 2 x +1 2 7 − x g ' ( x ) = 0  x + 1 = 7 − x  x + 1 = 7 − x  x = 3 (nhận) g ( −1) = 2, g ( 3) = 4  max g ( x ) = max  g ( −1) , g ( 3) = g ( 3) = 4. (1) −1;3 Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) ta có: max f ( x ) = f ( 3) = 3. ( 2 )  −1;3 Đặt h ( x ) = f ( x) + g ( x ) trên  −1;3 , kết hợp với (1) và ( 2 ) ta suy ra: h ( x )  max f ( x ) + max g ( x ) = f ( 3) + g ( 3) = 7 , đẳng thức xảy ra khi x = 3. −1;3 −1;3 Vậy bất phương trình m  h ( x ) có nghiệm thuộc  −1;3 khi và chỉ khi m  max h ( x ) = 7. −1;3 Ví dụ 7. Cho hàm số f ( x) = x 3 − 4 x 2 − x + 4 có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình sau có 4 nghiệm thuộc đoạn 0; 2  2019 f ( ) 15x 2 − 30 x + 16 − m 15x 2 − 30 x + 16 − m = 0 A. 4541 . B. 4542 . C. 4543 . D. 4540 . 19 Tư duy giải bài toán vận dụng- vận dụng cao hàm số Nguyễn Thành Trung THPT Kinh Môn - Hải Dương - Lần 3 – tháng 5 – 2019  Lời giải  Chọn đáp án B Theo đề f  ( x ) = ( x + 1)( x − 1)( x − 4 ) x  0; 2  : t = 15x 2 − 30 x + 16 = 15 ( x − 1) + 1  1; t ( 0 ) = t ( 2 ) = 4  t  1; 4  2 Với t  1 thì phương trình có 2 nghiệm x thoả mãn. Với t = 1 có 1 nghiệm x thoả mãn. BPT  2019 f ( t ) = m ( t + 1)  2019 ( t + 1)( t − 1)( t − 4 ) = m ( t + 1) Xét t  (1; 4   5  2 9   9  m = g ( t ) = 2019 ( t − 1)( t − 4 ) = 2019 t − 5t + 4 = 2019  t −  −   2019  −  = −4542,75  2  4   4 ( x 1 g ( t ) 0 g (t ) 0 ) 2 5 2 − 0 4 + 0 0 y=m −4542,75 Yêu cầu bài toán  −4542,75  m  0  m −45042; −45042;...; −1 có 45042 m nguyên thoả mãn. Ví dụ 8. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. Tập hợp tất cả các giá trị của m để bất phương 1   2x   trình f  f  2   + 1 − m  0 có nghiệm là 2   x + 1  A. m  2 . B. 1  m  2 . C. m  1 . D. m  −5 .  Lời giải  Chọn đáp án A Đánh giá: x 2 + 1  2 x  20 2x x +1 2  1  −1  2x 1 x +1 2 Tư duy giải toán Hàm Số Vận Dụng – Vận Dụng Cao Nguyễn Thành Trung Từ đồ thị thấy x   −1;1  −2  f ( x)  2 x   −2; 2   −2  f ( x)  2 Xét bất phương trình 1 2   2x   2x ; u= ff 2   + 1  m . Đặt t = 2 x +1   x + 1  2x  f 2 .  x +1 1 Vì t   −1;1  u   −2; 2   −2  f (u)  2  0  f ( u ) + 1  2 2 Vậy để bất phương trình ban đầu có nghiệm thì m  2 . Ví dụ 9. Cho hàm f ( x ) = ax3 + bx2 + cx + d số với a, b, c, d có đồ thị như hình vẽ. S là tập hợp  −10; 10  để m chứa tất cả thuộc f ( ) 2 10 1 − x 2 + x3 − x 2 + − f (m)  0 có nghiệm 3 3 số phần tử của S là A. 9 . B. 10 . C. 11 . D. 12 .  Lời giải  Chọn đáp án A f ( ) ( 1 − x ) + 23 x − x + 31 = g ( x ) 2 1 m  min g ( x ) = min f ( 1 − x ) + min  x − x +  x   −1; 1 3 3 2 1 1 − x2 + x3 − x2 + − f ( m)  0  f ( m )  f 3 3 Yêu cầu bài toán 2 (vì điều kiện 1 − x 2  0  −1  x  1 ) • 0  t = 1 − x2  1 suy ra min f ( t ) = min f  0; 1 • h ( x) = 2 ( ) f ) ( 3 3 1 − x 2 = f ( t ) t 0; 1 2 2 quan sát đồ thị ta thấy 1 − x = 3 khi t = 0  x = 1 . −  1; 1 2 3 1 x − x2 + x   −1; 1 ; h ( x ) = 2x2 − 2x = 2x ( x − 1) ; h ( x ) = 0  x = 0; x = 1 3 3   8 min h ( x ) = min h ( 0 ) = ; h (1) = 0  = 0 3   min g ( x ) = min g ( x ) = min f −  1; 1 −1; 1 ( ) 1 − x 2 + min h ( x ) = 3 + 0 = 3 −1; 1 −  1; 1 21 Tư duy giải bài toán vận dụng- vận dụng cao hàm số Nguyễn Thành Trung Suy ra f ( m )  3 quan sát đồ thị  m  0 và m   −10; 10  suy ra m0; 1; 2;...;10 có 10 − 0 + 1 = 11 giá trị. Ví dụ 10. Cho hàm số f ( x ) = ax3 + bx2 + cx + d với a, b, c, d có đồ thị như hình vẽ Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình  3sin x − cos x − 1 f  2 cos x − sin x + 4  2   f m + 4m + 4  ( ) luôn đúng ? A. 3 . C. 1 . B. 4 . D. vô số.  Lời giải  Chọn đáp án D 3sin x −cos x − 1  ( 2t + 1)cos x − ( t + 3 )sin x = −1 − 4t ( * ) . Đặt t = 2 cos x − sin x + 4 Phương trình ( * ) có nghiệm  ( 2t + 1) + ( t + 3 )  ( 4t + 1)  − 2 2 2 9 t 1 . 11 Suy ra 0  t  1 . Từ đồ thị y = f ( x ) ta có y = f ( x ) đồng biến trên x  0; + ) Do m2 + 4m + 4 = ( m + 2 )  0; + ) ; t  0; + ) 2 Nên  3sin x − cos x − 1  2 2 2 f   f m + 4m + 4  f t  f m + 4m + 4  t  m + 4m + 4 Bất 2cos x − sin x + 4   ( ) ( ) ( )  m  −3 phương trình luôn đúng  m2 + 4 m + 4  1   . Suy ra có vô số giá trị của tham số m .  m  −1 Ví dụ 11. 22