Tài liệu Giải tích ngẫu nhiên và ứng dụng trong thị trường tài chính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------ VŨ ĐỨC THẮNG GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG TRONG THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Hà Nội, 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------ VŨ ĐỨC THẮNG GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG TRONG THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH Chuyên ngành: Mã số: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC 60.46.01.06 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. PHAN VIẾT THƯ Hà Nội, 2014 Lời cảm ơn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS.TS. Phan Viết Thư, người thầy đã tận tình giúp đỡ, chỉ bảo, định hướng nghiên cứu cho tôi để hoàn thành luận văn này. Qua đây, tôi cũng xin chân thành cám ơn sự giúp đỡ của các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Toán - Cơ - Tin học, Bộ môn Xác suất thống kê trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học quốc gia Hà Nội, những người đã giúp đỡ, giảng dạy và truyền đạt kiến thức cho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại trường. Mặc dù đã có nhiều cố gắng, do hạn chế về thời gian thực hiện nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả kính mong nhận được ý kiến đóng góp quý báu của quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn. Xin trân trọng cảm ơn! Hà Nội,tháng 11 năm 2014 Vũ Đức Thắng 1 Mục lục BẢNG KÝ HIỆU 5 MỞ ĐẦU 6 1 QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN 1.1 Những khái niệm chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với một bộ lọc . 1.1.3 Thời điểm Markov và thời điểm dừng . . . . . . . 1.1.4 Kỳ vọng có điều kiện lấy đối với một σ -trường . . 1.1.5 Xác suất có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.6 Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Quá trình Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Quá trình Wiener hay chuyển động Brown . . . . . . . . . 1.3.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Vài tính chất quan trọng . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Các martingale tạo thành từ chuyển động Brown 1.3.4 Đặc trưng Lévy của chuyển động Brown . . . . . . 1.4 Quá trình Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Quá trình đếm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Quá trình Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Đặc trưng Watanabe của quá trình Poisson . . . . 1.5 Quá trình Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Phương trình Chapman-Kolmogorov . . . . . . . . 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 8 8 9 10 10 12 13 17 17 17 18 18 19 19 20 20 20 20 21 21 21 22 3 MỤC LỤC 1.5.3 Chú ý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN Phần I. TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN . . . . . . . . . . . . 2.1 Tích phân Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Mục đích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Định nghĩa tích phân Itô . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Vi phân ngẫu nhiên Itô và Công thức Itô . . . . . . 2.1.4 Các thí dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Tích phân ngẫu nhiên Stratonovich . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Khái niệm và định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Biến phân bậc hai của hai quá trình ngẫu nhiên . . Phần II. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN 2.3 Định nghĩa phương trình và lời giải . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Định lý tồn tại và duy nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Sự duy nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Sự tồn tại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Tính Markov của lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 VÀI ỨNG DỤNG TRONG THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH Phần I. QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN VÀ THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Phương án đầu tư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Phương án đầu tư, Phương án mua và bán . . . . . . . . . 3.1.2 Cân đối lại và phương án tự tài trợ (Self-financial portfolio) 3.2 Cơ hội có độ chênh thị giá và nguyên lý AAO . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Nguyên lý AAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Phái sinh kiểu Châu Âu và Châu Mỹ . . . . . . . . . . . . 3.3 Nguyên lý đáp ứng và thị trường đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Chiến lược đáp ứng (Replicating Strategy) . . . . . . . . . 3.3.2 Phái sinh đạt được trong thị trường M. . . . . . . . . . . 3.3.3 Thị trường đầy đủ (Complete Market). . . . . . . . . . . . 3.4 Định giá bằng phương pháp độ chênh thị giá (Arbitage Pricing) . 3.4.1 Đáp ứng duy nhất và quá trình sở hữu. . . . . . . . . . . . 23 23 23 23 24 26 28 29 29 30 32 32 33 33 35 39 41 41 41 42 42 44 44 45 45 45 45 46 46 46 46 4 MỤC LỤC 3.4.2 Ý tưởng chính của việc định giá bằng phương pháp độ chênh thị giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3 Xác suất trung hòa rủi ro hay độ đo martingale . . . . . 3.5 Các tài sản phái sinh (Derivatives) . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Quyền chọn mua (Call) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2 Quyền chọn bán (Put) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phần II. MÔ HÌNH BLACK-SCHOLES . . . . . . . . . . . . . 3.6 Mô hình Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1 Định nghĩa mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.2 Giá cổ phiếu trong mô hình Black-Scholes . . . . . . . . . 3.6.3 Các giả thiết trong mô hình Black-Scholes. . . . . . . . . 3.6.4 Hiện giá quyền chọn mua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Xây dựng công thức Black-Scholes để tính giá quyền chon kiểu châu Âu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.1 Cách xây dựng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.2 Công thức Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8 Những mô hình quyền chọn liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 49 50 51 51 52 52 52 53 53 54 . . . . 55 55 56 57 KẾT LUẬN 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 BẢNG KÝ HIỆU N Tập các số tự nhiên Q Tập các số hữu tỷ R Tập các số thực R+ Tập các số thực không âm R Tập các số thực và −∞, ∞ Z Tập các số nguyên C Tập các số phức R⋉ Không gian n− chiều ∅ Tập rỗng (xn ) = {xn } Dãy số (hoặc dãy các phần tử) |x| Giá trị tuyệt đối của x kxk Chuẩn của x f := g Định nghĩa f là g lim = lim sup Giới hạn trên n→∞ n→∞ lim = lim inf Giới hạn dưới n→∞ R Ω Rt n→∞ f (ω) dµ Tích phân Lebesgue f (s, ω) dWs Tích phân Wiener 0 5 MỞ ĐẦU Giải tích ngẫu nhiên bắt đầu hình thành từ đầu thế kỷ XX. Đầu tiên phải kể đến sự ra đời của khái niệm toán học về chuyển động Brown hay quá trình Wiener đưa ra bởi Louis Bachelier (1900) và Albert Einstein (1905). Đặc biệt là sự sáng tạo ra tích phân ngẫu nhiên Itô (1944) đã giúp giải quyết nhiều bài toán ngẫu nhiên trong kinh tế, vật lý,. . . mà Giải tích tất định cổ điển không sử lý được. Giải tích ngẫu nhiên bao gồm ba bộ phận chính : 1. Lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên. 2. Lý thuyết các tích phân ngẫu nhiên. 3. Phương trình vi phân ngẫu nhiên. Trong hơn một thế kỷ qua , các nội dung này đã phát triển rất mạnh mẽ và là những công cụ không thể thiếu được trong nghiên cứu về tài chính. Lý do là bản thân giá chứng khoán và giá các tài sản tài chính biến động một cách ngẫu nhiên nên có thể xem chúng như các quá trình ngẫu nhiên . Giải tích ngẫu nhiên đã làm cơ sở cho việc mô hình hóa các biến động giá cả trên thị trường tài chính. Một số khái niệm cơ bản của giải tích ngẫu nhiên, trong đó có martingale, chuyển động Brown, tích phân Itô, tích phân Stratonovich, Phương trình vi phân ngẫu nhiên đã được ứng dụng rộng rãi trong việc nghiên cứu thị trường tài chính. Các mô hình định giá , chẳng hạn như mô hình Black – Scholes, đều dựa trên kiến thức về Giải tích ngẫu nhiên . Luận văn này gồm 3 chương : Chương I. Quá trình ngẫu nhiên Chương này trình bày những khái niệm cơ bản về quá trình ngẫu nhiên dùng 6 MỤC LỤC MỤC LỤC trong nghiên cứu về tài chính. Ngoài những khái niệm chung, thì các quá trình Gauss, quá trình Markov, chuyển động Brown và quá trình Poisson đều được đề cập Chương II. Tích phân ngẫu nhiên và Phương trình vi phân ngẫu nhiên Tích phân ngẫu nhiên và Phương trình vi phân ngẫu nhiên là những yếu tố cơ bản cấu thành môn Giải tích ngẫu nhiên. Chương này nói về tích phân ngẫu nhiên Itô và tích phân ngẫu nhiên Stratonovich, định nghĩa Phương trình vi phân ngẫu nhiên và lời giải, định lý tồn tại duy nhất lời giải cùng một vài ví dụ minh họa. Chương III. Vài ứng dụng trong thị trường tài chính Chương này trình bày về các quá trình giá tài sản tài chính như là các quá trình ngẫu nhiên, các khái niệm độ chênh thị giá, thị trường đầy đủ và phương pháp định giá bằng phương pháp độ chênh thị giá, các hợp đồng tài chính và đặc biệt đề cập đến mô hình quyền chọn Black - Scholes 7 Chương 1 QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN Chương này trình bày những khái niệm cơ bản về quá trình ngẫu nhiên dùng trong nghiên cứu về tài chính. Ngoài những khái niệm chung, thì các quá trình Gauss, quá trình Markov, chuyển động Brown và quá trình Poisson đều được đề cập. 1.1 Những khái niệm chung Cho (Ω, F , P) là không gian xác suất, tức là một bộ ba gồm • Ω là một tập hợp cơ sở bất kỳ nào đó mà mỗi phần tử ω ∈ Ω đại diện cho một yếu tố ngẫu nhiên. Mỗi tập con của Ω gồm một số yếu tố ngẫu nhiên nào đó • F là một họ nào đó các tập con của Ω, chứa Ω và đóng đối với phép hợp đếm được và phép lấy phần bù; nói cách khác F là một σ -trường các tập con của Ω. Mỗi tập hợp A ∈ F sẽ được gọi là một biến cố ngẫu nhiên. • P là một độ đo xác suất xác định trên không gian đo được (Ω, F) 1.1.1 Quá trình ngẫu nhiên Một quá trình ngẫu nhiên X là một họ các biến ngẫu nhiên X = (Xt (ω), t ∈ T ) trong đó T là một tập các chỉ số thực, T ⊆ R. T có thể hữu hạn, đếm được hoặc vô hạn không đếm được. Đôi khi ta cũng kí hiệu Xt (ω) = X(t, ω). Vậy với (a) 8 CHƯƠNG 1. QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN mỗi t, Xt là một hàm đo được từ (Ω, F ) vào (T, BT ) trong đó BT là σ -trường Borel trên T ⊆ R Một quá trình ngẫu nhiên (Xt , t ≥ 0) gọi là đo được là một hàm hai biến X(t, ω) xác định trên tích BR+ ×Ω lấy giá trị trong R, và là một hàm đo được đối với σ -trường tích BR+ × F , trong đó BR+ là σ -trường các tập Borel trên R+ = [0, ∞). Điều đó có nghĩa là với mọi tập Borel B trên R thì tập hợp  (t, ω) ∈ R+ × Ω : X (t, ω) ∈ B (b) là một phần tử của σ -trường tích BR+ × F , σ -trường này là σ -trường nhỏ nhất chứa các tập có dạng  [0, t] × A : t ∈ R+ , A ∈ F khi cố dịnh một ω ∈ Ω, thì ánh xạ riêng phần (c) t → X (t, ω) từ R+ vào R được gọi là một quỹ đạo của quá trình ngẫu nhiên X = (Xt , t ≥ 0), ứng với yếu tố ngẫu nhiên ω ấy. Nếu X lấy giá trị trong không gian Rn (n ≥ 1) thì ta có một quá trình ngẫu nhiên n-chiều. (d) Trong tài chính, các quá trình giá chứng khoán St , giá trái phiếu Pt , giá sản phẩm phái sinh Ct ... đều được xem là các quá trình ngẫu nhiên. (e) 1.1.2 Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với một bộ lọc Một họ các σ -trường con (Ft, t ≥ 0) của F , Ft ⊂ F , được gọi là một bộ lọc thỏa mãn các điều kiện thông thường nếu (a) • Đó là một họ tăng theo t, tức là Fs ⊂ Ft nếu s < t, • Họ đó là liên tục phải, tức là Ft = • T ε>0 Ft+ε Nếu A ∈ F và P (A) = 0 thì A ∈ F0 (và do đó A nằm trong mọi Ft ). 9 CHƯƠNG 1. QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN Cho một quá trình ngẫu nhiên X = (Xt , t ≥ 0). Ta xét σ -trường FtX sinh bởi tất cả các biến ngẫu nhiên Xs với s ≤ t : FtX = σ(Xs , s ≤ t). σ−trường này chứa đựng mọi thông tin về diễn biến quá khứ của quá trình X cho đến thời điểm t. Người ta gọi đó là bộ lọc tự nhiên của quá trình X , hay là lịch sử của X , hay cũng còn gọi là trường thông tin về X . (b) Một không gian xác suất (Ω, F , P ) trên đó ta gắn thêm vào một bộ lọc (Ft ), được gọi là một không gian xác suất có lọc và kí hiệu là (Ω, F , (Ft ), P ). (c) 1.1.3 Thời điểm Markov và thời điểm dừng Cho một không gian xác suất có lọc (Ω, F , (Ft ), P ). (a) Một biến ngẫu nhiên T được gọi là một thời điểm Markov nếu với mọi t ≥ 0 {ω ∈ Ω : T (ω) ≤ t} ∈ Ft Một thời điểm Markov T được gọi là thời điểm dừng nếu T là hữu hạn hầu chắc chắn, tức là: (b) P {ω ∈ Ω : T (ω) ≤ t} = 1 . 1.1.4 Kỳ vọng có điều kiện lấy đối với một σ-trường 1.1.4.1 Định nghĩa Cho (Ω, F , P ) là không gian xác suất, G là một σ -trường con của F , G ⊂ F và X là một biến ngẫu nhiên, tức là một ánh xạ đo được từ (Ω, F ) vào (R, BR ) trong đó BR là σ -trường các tập Borel tập đường thẳng R. Khi đó, một biến ngẫu nhiên X ∗ sẽ được gọi là kỳ vọng có điều kiện của X đối với σ -trường G , nếu: • X ∗ là biến ngẫu nhiên đo được đối với G . • Với mọi tạp A ∈ G thì ta có Z Z (a) X ∗ dP = A XdP A Biến ngẫu nhiên X ∗ này sẽ được ký hiệu là E(X|G). Ta chú ý rằng kỳ vọng có điều kiện E(X|G) là một biến ngẫu nhiên. 10 CHƯƠNG 1. QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN Nếu ta chọn σ -trường G là σ−trường σ(Y ) sinh ra bởi một biến ngẫu nhiên Y nào đó, thì khi đó kỳ vọng có điều kiện của X lấy đối với σ(Y ) cũng được kí hiệu là E(X|Y ). (b) 1.1.4.2 Các tính chất Ta có các hệ thức phát biểu dưới đây đều được hiểu theo nghĩa hầu chắc chắn: (1) Nếu G là σ -trường tầm thường {φ, Ω} thì E (X|G) = EX (2) Nếu X và Y là hai biến ngẫu nhiên thì E (X + Y |G) = E (X|G) + E (Y |G) (3) Nếu X là đo được đối với G thì E (XY |G) = XE (Y |G) Nói riêng, nếu c là một hằng số thì E (cY |G) = cE (Y |G) (4) Nếu G1 ⊂ G2 thì E (E (X|G2 ) |G1 ) = E (X|G1 ) Nói riêng E (E (X|G)) = E (X) (5) Nếu X độc lập đối với G thì E (X|G) = E (X) Nếu G và H là hai σ−trường con của F và độc lập đối với nhau, và X là biến ngẫu nhiên độc lập đối với G thì (6) E (X|σ (G, H)) = E (X|H) . trong đó σ (G, H) là σ -trường nhỏ nhất chứa cả G lẫn H. 11 CHƯƠNG 1. QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN Bất đẳng thức Jensen đối với kỳ vọng có điều kiện Nếu g(x) là một hàm lồi trên tập I ⊂ R, tức là (7) g (λx + (1 − λ) y) ≤ λg (x) + (1 − λ) g (y) với mọi x, y ∈ I với mọi λ ∈ [0, 1], và nếu X là một biến ngẫu nhiên lấy giá trị trên I thì g (E (X|G)) ≤ E (g (X) |G) Nói riêng, với g(x) = |x| thì |E (X|G)| ≤ E (|X| |G) Sự hội tụ đơn điệu đối với kỳ vọng có điều kiện Nếu 0 ≤ Xn và Xn ↑ X (Xn đơn điệu tăng dần tới X khi n → ∞) với E|X| < ∞ thì (8) E (Xn |G) ↑ E (X|G) (9) Bổ đề Fatou đối với kỳ vọng có điều kiện Nếu 0 ≤ Xn thì   E lim inf Xn |G ≤ lim inf E (Xn |G) . n n Sự hội tụ bị làm trội đối với kỳ vọng có điều kiện Nếu lim Xn = X hầu chắc chắn và Xn ≤ Y với EY < ∞ thì (10) x→∞ lim E (Xn |G) = E (X|G) x→∞ Cho X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập và φ(x, y) là một hàm hai biến sao cho E|φ(X, Y )| < ∞. Khi đó thì (11) E (φ (X, Y ) |Y ) = E (φ (X, Y )) 1.1.5 Xác suất có điều kiện Định nghĩa 1.1.5.1. Xác suất có điều kiện P (A|G) của một biến cố A ∈ F là một biến ngẫu nhiên xác định bởi P (A|G) = E (1A |G) 12 CHƯƠNG 1. QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN trong đó 1A là hàm chỉ tiêu của biến cố A, tức là 1A (ω) = ( nếu ω ∈ A 1 nếu ω ∈ /A 0 Tính chất 1.1.5.1. (1) P (Ω|G) = 1 (hầu chắc chắn)
(2) ∀A ∈ F : P A|G = 1 − P (A|G) (h.c.c), trong đó A là biến cố đối lập của A: A = Ω\A. (3) ∀A1 , A2 , ... ∈ F rời nhau từng đôi một thì ! ∞ ∞ X [ P n=1 1.1.6 An |G = n=1 P (An |G) (h.c.c) Martingale 1.1.6.1.Định nghĩa Cho một quá trình ngẫu nhiên X = (Xt , t ≥ 0) thích nghi với bộ lọc (Ft ) và khả tích: E|Xt | < ∞ với mọi t ≥ 0 Giả thử s và t là hai giá trị ≥ 0 bất kì sao cho s ≤ t. Khi đó: (1) Nếu E(Xt |Fs ) ≤ Xs thì X gọi là martingale trên (supermartingale) (2) Nếu E(Xt |Fs ) ≥ Xs thì X gọi là martingale dưới (submartingale) (3) Nếu E(Xt |Fs ) = Xs thì X gọi là martingale đối với bộ lọc (Ft , t ≥ 0) Khi không chỉ rõ bộ lọc nào thì ta hiểu rằng (Ft ) là bộ lọc tự nhiên của Xt , tức là Ft = σ(Xs , s ≤ t) = FtX (ký hiệu) 1.1.6.2.Một số ví dụ Cho Z là một biến ngẫu nhiên bất kì sao cho EZ < ∞ (khả tích) và cho (Ft ) là một bộ lọc bất kì trên (Ω, F , P ). Khi đó, quá trình ngẫu nhiên X = (Xt , t ≥ 0) xác định bởi (1) Xt = E (Z|Ft ) là một martingale đối với (Ft ). 13 CHƯƠNG 1. QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN Cho X = (Xt , t ≥ 0) là một quá trình ngẫu nhiên khả tích thích nghi với bộ lọc (Ft ), và giả thử rằng: Với mọi s, t ≥ 0 sao cho s < t thì Xt − Xs độc lập với (Fs )(∗). Tính chất (∗) được gọi là tính chất có số gia độc lập với quá khứ. Khi đó, quá trình ngẫu nhiên Z = (Zt , t ≥ 0) xác định bởi (2) Zt = Xt − E (Xt ) là một martingale đối với (Ft ). Cho (Xt ) là một quá trình số gia độc lập, không nhất thiết phải khả tích. Gọi ϕXt (u) là hàm đặc trưng của Xt , tức là Z (3) ϕXt (u) = EeiuX t = eiuX t dP . Khi đó quá trình ngẫu nhiên Y = (Yt , t ≥ 0) xác định bởi: Yt = eiuX t ϕXt (u) là một martingale đối với bộ lọc tự nhiên của X : FtX = σ(Xs , s ≤ t). Trên không gian xác suất (Ω, F , P ) cho Q là một độ đo xác suất liên tục tuyệt đối đối với P : Q ≪ P (điều này có nghĩa là nếu A là một tập thuộc F sao cho P (A) = 0 thì ta cũng có Q(A) = 0). Gọi hạn chế của P trên Ft là Pt và hạn chế của Q trên Ft là Qt . khi đó đạo t hàm Radon - Nikodym Lt = dQ dPt tồn tại, và quá trình L = (Lt , t ≥ 0) là một martingale đối với Ft . (4) 1.1.6.3.Phân tích Doob-Meyer và ứng dụng trong toán tài chính Định lý 1.1.6.1. Nếu X = (Xt , t ≥ 0) là một martingale dưới đối với (Ft ), khả tích (tức E|Xt | < ∞, ∀t ≥ 0) và liên tục phải theo t, thì X có một biểu thức phân tích như sau: Xt = Mt + At trong đó Mt là một martingale đối với (Ft ) liên tục phải và At là một quá trình tăng và thích nghi với (Ft ). 14 CHƯƠNG 1. QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN (∗) Ứng dụng của lý thuyết martingale trong toán học tài chính Ý tưởng chính là như sau: Trong toán học tài chính, giá của các tài sản tài chính cơ bản (như giá cổ phiếu St , giá trái phiếu Bt ) cũng như giá của các tài sản phái sinh (như giá Quyền chọn Vt ) đều được xem là các quá trình ngẫu nhiên. Nói chung chúng không phải là những martingale đối với một trường thông tin (Ft ) đang xét. Giả thử Xt là giá của một tài sản tại thời điểm mà ta cần xác định. Nói chung Xt không phải là một martingale. Nếu bằng một cách nào đó, ta biến đổi được Xt thành một quá trình Zt = ϕ(Xt ) là một martingale và giả thử ta biết giá trị đáo hạn XT . Khi đó, vì E (ZT |Ft ) = Zt (t < T ) nên ta có thể tính được giá trị Xt tại thời điểm t < T bởi Xt = ϕ−1 [E (ZT |Ft )] (t < T ) có hai cách để thực hiện sự biến đổi nói trên: (a).Áp dụng phân tích Doob-Meyer Giả thử Xt là một martingale dưới. Ta có phân tích Xt = martingale Mt + quá trình tăng At Nếu tìm được có thể quá trình tăng At thì ta biến đổi được Xt thành một martingale cụ thể Mt = Xt − At . Nếu (Xt ) là một martingale trên thì (−Xt ) là một martingale dưới, do đó ta cũng có kết quả tương tự. (b).Thực hiện một phép biến đổi độ đo xác suất Khi ta nói Xt nói chung không phải là martingale, ấy là ta xét dưới độ đo xác suất ban đầu P đã cho. Bây giờ giả thử ta tìm được một độ đo xác suất mới Pe tương đương với độ đo xác suất P (có nghĩa là nếu P (A) = 0 với A ∈ F thì Pe(A) = 0 và ngược lại cũng đúng) và một phép biến đổi quá trình Xt thành một 15 CHƯƠNG 1. QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN et sao cho dưới xác suất Pe mới này thì X et trở thành một martingale. quá trình X eT . Khi đó, Giả thử bằng cách nào đó ta biết giá trị đáo hạn Xt , tức là biết X et ta có do tính chất martingale của X eT |Ft ) = X et , EPe (X (∀t < T ) et , vậy Xt = ϕ−1 (X et ) và ta định giá được tài gọi ϕ là phép biến đổi từ Xt sang X sản Xt tại thời điểm t bởi công thức eT |Ft )]. Xt = ϕ−1 [EPe (X Ta lưu ý hai điều quan trọng: •Thông thường phép biến đổi đó là một phép chiết khấu không rủi ro (tức là một phép tính lùi), sao cho et = e−r(T −t)XT , X (t < T ) với hằng số r > 0 là lãi suất không rủi ro, còn T là thời điểm đáo hạn. Vì eT |Ft ) = X et = e0 Xt EPe (X nên cuối cùng ta có công thức định giá tài sản X tại thời điểm t < T là Xt = e−r(T −t) EPe (XT ). •Xác suất Pe ở đây sẽ gọi là xác suất trung hòa rủi ro hay còn gọi là độ đo martingale, và kí hiệu là Q. người ta đã chứng minh được rằng: Sự tồn tại của một độ đo martingale Q như vậy thì tương đương với sự kiện "thị trường đang xét là không có độ chênh thị giá", có nghĩa là tương đương với Nguyên lý AAO (định nghĩa Nguyên lý AAO mục 3.2.2) et là một phép chiết khấu, chẳng • Thông thường phép biến đổi ϕ : Xt → X hạn et+u = e−ru Xt+u , Xt → X (0 < u < T − t) 16 CHƯƠNG 1. QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN et là martingale đối với (Ft ) và xét dưới độ đo Pe, cho nên: thì X 1.2 1.2.1 Quá trình Gauss et+u |Ft ) = X et . EPe (X Định nghĩa Một quá trình ngẫu nhiên X = (Xt , t ≥ 0) được gọi là một quá trình Gauss, nếu mỗi tổ hợp tuyến tính có dạng Z= N X αi X t i i=1 là một biến ngẫu nhiên chuẩn (biến ngẫu nhiên Gauss), với mọi (α1 , ..., αn ) ∈ RN và mọi N . Nói cách khác, X là Gauss nếu mỗi phân phối hữu hạn chiều là chuẩn. Một điều kiện cần của quá trình Gauss (Xt ) là với mọi t thì Xt là một biến ngẫu nhiên chuẩn. Nhưng nó không phải là điều kiện đủ. Một điều kiện cần và đủ được cho bởi định lý sau đây 1.2.2 Định lý Phát biểu Một quá trình ngẫu nhiên (Xt , t ≥ 0) là một quá trình Gauss nếu và chỉ nếu: (a) EXt2 < ∞ với mọi t ≥ 0. (b) Với mọi tập hữu hạn giá trị (t1 , ..., tN ), ts ≥ 0, s = 1, ..., N , thì   ! N N N X X X 1 uj Xtj = exp i uj µ(tj ) − E exp i uk ul R(tk , tl ) j=1 j=1 trong đó 17 2 k,l=1 CHƯƠNG 1. QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN µ(t) = EXt và R(t, s) = E [(Xt − µ(t))(Xs − µ(s))] (hàm tương quan của X). Ý nghĩa Theo định lý nói trên thì một quá trình Gauss (Xt ) sẽ hoàn toàn được xác định một khi ta biết kỳ vọng µ(t) và hàm tương quan R(t, s) của nó. Bay giờ ta sẽ xét một trường hợp riêng của quá trình Gauss, đó là chuyển động Brown. 1.3 1.3.1 Quá trình Wiener hay chuyển động Brown Các định nghĩa Định nghĩa 1 Một quá trình ngẫu nhiên X = (Xt , t ≥ 0) được gọi là một quá trình Wiener tiêu chuẩn hay một chuyển động Brown tiêu chuẩn, nếu X là một quá trình Gauss sao cho (a) E(Xt ) = 0, ∀t, tức là Xt là qui tâm. (b) Hàm tương quan R(t, s) = min(t, s) = t + s − |t − s| . 2 Trong trường hợp tổng quát, một quá trình Wiener với tham số phương sai σ là một quá trình Gauss, qui tâm và hàm tương quan là • R(t, s) = σ 2 min(t, s). Định nghĩa 2 Một quá trình ngẫu nhiên X là một chuyển động Brown tiêu chuẩn nếu: (a) X0 = 0 hầu chắc chắn (b) Hiệu Xt − Xs là một biến ngẫu nhiên chuẩn với kỳ vọng 0 và phương sai là t − s, (s < t). (c) Các số gia Xt4 − Xt3 và Xt2 − Xt1 (với mọi t1 ≤ t2 ≤ t3 ≤ t4 ) là các biến ngẫu nhiên độc lập. 18