Tài liệu Giải tích hàm nhiều biến

Bài giảng GIẢI TÍCH HÀM NHIỀU BIẾN MỤC LỤC CHƯƠNG 1. LÝ THUYẾT CHUỖI 1. Chuỗi số 2. Dãy Hàm và Chuỗi Hàm 3. Bài Tập Chương 1 3 3 10 23 CHƯƠNG 2. PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN 1. Những Khái Niệm Cơ Bản 2. Giới Hạn Của Hàm Số 3. Hàm Số Liên Tục 4. Đạo Hàm Riêng 5. Đạo Hàm Hàm Hợp 6. Đạo Hàm và Vi Phân Cấp Cao 7. Công Thức Taylor 8. Cực Trị Của Hàm Nhiều Biến 9. Bài Tập Chương 2 27 27 28 30 31 34 35 38 38 42 CHƯƠNG 3. TÍCH PHÂN BỘI 1. Tích Phân Trên Hình Hộp 2. Các Tính Chất 3. Định Lí Fubini 4. Đổi Biến Trong Tích Phân Bội 45 45 45 46 49 CHƯƠNG 4. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI 1. Tính Diện Tích Hình Phẳng 2. Tính Thể Tích Vật Thể 3. Diện Tích Mặt Cong 4. Bài Tập Chương 4 57 57 57 58 60 CHƯƠNG 5. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 1. Tích phân đường loại I 2. Đưa Tích Phân Đường Về Tích Phân Xác Định 3. Tích Phân Đường Loại II 4. Sự Tồn Tại và Cách Tính Tích Phân Đường Loại II 5. Trường Hợp Đường Cong Kín. Định Hướng Mặt Phẳng 6. Sự Liên Hệ Giữa Hai Loại Tích Phân Đường 7. Công Thức GREEN 8. Điều Kiện Độc Lập Tích Phân Đường Với Đường Lấy Tích Phân 9. Bài Tập Chương 5 63 63 64 66 67 69 72 73 76 80 CHƯƠNG 6. TÍCH PHÂN MẶT 1. Tích Phân Mặt Loại I 2. Tích Phân Mặt Loại II 3. Đưa tích phân mặt loại II Về Tích Phân Hai Lớp 4. Liên Hệ Giữa Hai Loại Tích Phân mặt 5. Công Thức OSTROGRADSKY và Công Thức STOKE 6. Bài Tập Chương 6 83 83 84 86 88 89 93 1 CHƯƠNG 7. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 1. Các Khái Niệm Cơ Bản 2. Phương Trình Vi Phân Cấp I 3. Một Số Phương Trình Cấp Cao Giải Được Bằng Cầu Phương 4. Phương Trình Vi Phân Tuyến Tính Cấp II 5. Phương Trình Vi Phân Tuyến Tính Cấp Hai Với Hệ Số Hằng 6. Bài Tập Chương 7 2 95 95 96 105 109 114 118 CHƯƠNG 1 LÝ THUYẾT CHUỖI 1. Chuỗi số 1.1. Các Khái Niệm Cơ Bản và Các định nghĩa. Định nghĩa 1.1. Giả sử (xn )n là một dãy số. Ta lập một dãy mới, ký hiệu (sn )n được xác định bởi s 1 = x1 s 2 = x1 + x2 ... n X s n = x1 + x2 + · · · + xn = xi i=1 ... Khi ấy dãy số (sn )n này được gọi là một chuỗi số, và được ký hiệu là ∞ P xi . Ta gọi sn là tổng i=1 riêng thứ n của chuỗi, xn là số hạng tổng quát (thứ n) của chuỗi. Ta gọi chuỗi số ∞ P xi là hội i=1 tụ nếu dãy tổng riêng (sn )n hội tụ. Lúc ấy, đặt s = lim sn và gọi s là tổng của chuỗi. Ta viết n→∞ ∞ ∞ P P s= xi . Như vậy, với cùng một ký hiệu xi , ta vừa dùng để chỉ một chuỗi vừa chỉ tổng của n=1 i=1 nó nếu chuỗi này hội tụ. Một chuỗi không hội tụ thì gọi là chuỗi phân kỳ. a) Ta có thể đánh số của chuỗi từ một số n ∈ Z nào đó chứ không nhất ∞ ∞ P P thiết bắt đầu từ i = 1, chẳng hạn an , xi . Nhận xét 1.1. b) Giả sử chuỗi số ∞ P n=2 i=0 ∞ P xi hội tụ và có tổng s = i=1 rn = s − sn = ∞ X xi − i=1 = lim k→∞ xi . Đặt i=1 k X i=n+1 n X xi = lim k→∞ i=1 xi = ∞ X k X i=1 xi − n X ! xi i=1 xi . i=n+1 Ta gọi rn là phần dư thứ n của chuỗi ∞ P xi . Theo định nghĩa, ta có lim rn = 0. i=1 n→∞ c) Chuỗi số chẳng qua là một dãy đặc biệt, được cấu tạo từ một dãy cho trước. Do đó, chuỗi số có đầy đủ các tính chất của dãy số. Ngược lại, cho một dãy số (sn )n , ta có thể thiết lập dãy số (xn )n như sau x1 = s 1 x2 = s 2 − s 1 ............ xn = sn − sn−1 ............ Khi ấy (sn )n trở thành chuỗi số, cấu tạo từ dãy (xn )n . 3 1.2. Ví dụ. Ví dụ 1.1. a) Cho chuỗi số ∞ P 1 1 1 1 . Để ý = − , n ∈ N, do đó n(n + 1) n n+1 n=1 n(n + 1) 1 1 1 + + ··· + 1·2 2·3 n(n + 1)

1 1 1 1 1
1 = 1 − + − +··· + − = 1− . 2 2 3 n n+1 n+1   ∞ P 1 1 Vậy lim sn = lim 1 − = 1, nên chuỗi đã cho hội tụ và tổng = 1. n→∞ n→∞ n+1 n=1 n(n + 1) b) Cấp số nhân ∞ P Ta xét chuỗi sau aq n , trong đó a ∈ R, q ∈ R tương ứng lần lượt là số hạng đầu và sn = n=0 1 − qn , q 6= 1. công bội của cấp số nhân, ta có sn = a · 1−q a + Nếu |q| < 1 thì lim sn = , nên chuỗi hội tụ và n→∞ 1−q ∞ X a aq n = . 1−q n=0 + Nếu |q| > 1 thì dãy (sn )n phân kỳ nên chuỗi phân kỳ. 1.3. Một số tính chất của chuỗi hội tụ. ∞ P Định lí 1.1. Nếu chuỗi xn hội tụ thì lim xn = 0. n→∞ n=1 Chứng minh. Theo giả thiết, tồn tại lim sn = s. Khi ấy dãy con (sn )n≥2 của dãy (sn )n n→∞ cũng hội tụ về s nên lim xn = lim (sn − sn−1 ) = 0. n→∞  n→∞ Nhận xét 1.2. Định lý 1.1 chỉ là điều kiện cần mà không phải là điều kiện đủ. Như vậy, nếu ∞ P lim xn = x0 6= 0, thì xn phân kỳ còn lim xn = 0 thì chưa kết luận về sự hội tụ hay phân n→∞ kỳ của chuỗi ∞ P n→∞ n=1 xn . n=1 Định lí 1.2 (Tiêu chuẩn Cauchy). Điều kiện cần và đủ để chuỗi   m  P   tồn tại n0 sao cho  xi  < ε, với bất kỳ m ≥ n ≥ n0 . ∞ P xn hội tụ là với mọi ε > 0, n=1 i=n+1 Chứng minh. Theo định nghĩa, ta có ∞ X ! xn hội tụ  ⇐⇒  (sn )n hội tụ . n=1 Áp dụng tiêu chuẩn Cauchy cho dãy (sn )n , ta thấy điều này tương đương với mệnh đề của định lý.  Nhận xét 1.3. Người ta cũng hay viết như sau ! X  ! ∞ X  n+p  xn hội tụ ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃n0 , ∀n ≥ n0 , ∀p ∈ N :  xn < ε . n=1 i=n+1 4 ∞ P Định lí 1.3. Cho hai chuỗi hội tụ ∞ P xn , n=1 ∞ P yn và α ∈ R, khi ấy các chuỗi n=1 ∞ P (xn ± yn ), n=1 (αxn ) hội tụ và n=1 ∞ X (xn ± yn ) = ∞ X n=1 xn ± n=1 ∞ X ∞ ∞ X X (αxn ) = α xn . yn ; n=1 n=1 Chứng minh. Ta có n n n X X X (xi ± yi ) = xi ± yi ; i=1 i=1 n X i=1 n=1 (αxi ) = α i=1 n X xi . i=1 Chuyển qua giới hạn khi n → ∞, ta có kết quả. Định lí 1.4. Cho chuỗi số ∞ P  xi . Ta viết i=1 ∞ X xi = i=1 Lúc đó ∞ P ∞ X xi + i=1 ∞ P xi hội tụ khi và chỉ khi i=1 n0 X xi . i=n0 +1 xi hội tụ. i=n0 +1 Chứng minh. Đặt sn = n P i=1 ∗ (sn )n (sn )n hội tụ khi và chỉ khi n P xi , s∗n = với mọi n ≥ n0 . Khi ấy sn = i=n0 +1 n0 P xi + s∗n . Vậy i=1  hội tụ. Mệnh đề 1.5. Tính hội tụ của một chuỗi không thay đổi khi ta thay đổi một số hữu hạn các số hạng của chuỗi đó. Định lí 1.6. Giả sử ∞ P n=1 tự nhiên. Khi ấy chuỗi xn là một chuỗi hội tụ và (nk )k là một dãy tăng thực sự các số nguyên ∞ P yk hội tụ và k=1 ∞ P yk = ∞ P xn , trong đó n=1 k=1 y1 = x1 + · · · + xn1 y2 = xn1 +1 + xn1 +2 + · · · + xn2 ............ yk = xnk−1 +1 + xnk−1 +2 + · · · + xnk ............ Chứng minh. Đặt s∗k = (sn )n nên (snk )k hội tụ và k P yi = i=1 lim s∗k k→∞ nk P xi = snk . Vậy (snk )k là dãy con của dãy tổng riêng i=1 = lim snk = s = lim sn .  n→∞ k→∞ Nhận xét 1.4. Định lý 1.6 nêu lên tính chất kết hợp của chuỗi số hội tụ. Ngược lại một chuỗi ∞ ∞ ∞ P P P yk có thể hội tụ nhưng xn phân kỳ. Ta xét ví dụ sau Chuỗi (−1)n+1 phân kỳ nhưng k=1 chuỗi ∞ P n=1 n+1 (−1) n+2 + (−1)
n=1 hội tụ. n=1 1.4. Chuỗi Số Dương. Định nghĩa 1.2. Cho chuỗi số ∞ P xn (1.1). Nếu xn ≥ 0 với mọi n ∈ N thì (1.1) được gọi là n=1 một chuỗi số không âm hay gọn hơn, (1.1) là chuỗi số dương. Nếu xn ≤ 0 với mọi n ∈ N thì bằng cách nhân với (-1), ta đưa về chuỗi số dương. 5 Việc khảo sát sự hội tụ của một chuỗi số dương là khá thuận lợi vì có nhiều dấu hiệu để nhận biết sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số dương đó. ∞ n P P Định lí 1.7. Điều kiện cần và đủ để chuỗi số dương xn hội tụ là dãy tổng riêng sn = xi n=1 i=1 bị chặn trên. Chứng minh. Nếu chuỗi (1.1) hội tụ, nghĩa là dãy (sn )n hội tụ. Lúc đó (sn )n bị chặn. Ngược lại, cho dãy (sn )n bị chặn trên, ngoài ra sn+1 − sn = xn+1 ≥ 0 hay sn+1 ≥ sn , ∀n ∈ N tức là (sn )n tăng. Như thế (sn )n phải hội tụ hay chuỗi (1.1) hội tụ.  ∞ 1 P . Với mọi n ∈ N, ta có 2 n=1 n 1 1 1 + 2 + ··· + 2 2 n 1 1 1 1+ + + ··· + 1·2 2·3 n(n − 1) 1 1 1 1 1 1 + 1 − + − + ··· + − 2 2 3 n−1 n 1 2 − ≤ 2. n Ví dụ 1.2. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi sn = ≤ ≤ ≤ Vậy chuỗi ∞ 1 P hội tụ. 2 n=1 n 1.5. Một số dấu hiệu hội tụ. Định lí 1.8 (Dấu hiệu so sánh). Giả sử ∞ P xn (1.1) và n=1 ∞ P yn (1.2) là hai chuỗi số dương. n=1 Nếu có một số dương C sao cho xn ≤ Cyn với mọi n ∈ N, khi đó * Chuỗi (1.2) hội tụ thì chuỗi (1.1) hội tụ. * Chuỗi (1.1) phân kỳ thì chuỗi (1.2) phân kỳ. Chứng minh. Ký hiệu sn = n P xi và Sn = i=1 n P yi . Theo giả thiết, ta có xi ≤ C · yi , ∀i ∈ N i=1 nên sn ≤ C · Sn , ∀n ∈ N. Nếu chuỗi (1.2) hội tụ thì Sn bị chặn trên, kéo theo sn bị chặn trên nên chuỗi (1.1) hội tụ. Ngược lại, nếu chuỗi (1.1) phân kỳ thì sn không bị chặn và do đó Sn cũng không bị chặn.  Về mặt thực hành, chúng ta thường sử dụng dấu hiệu so sánh dưới dạng sau. xn = A, (0 ≤ A ≤ +∞). Hệ quả 1.9. Giả sử lim n→∞ yn * Nếu A ∈ [0, +∞) và chuỗi (1.2) hội tụ thì chuỗi (1.1) hội tụ. * Nếu 0 < A ≤ +∞ và chuỗi (1.2) phân kỳ thì chuỗi (1.1) phân kỳ. xn Chứng minh. Giả sử 0 ≤ A < +∞ và chuỗi (1.2) hội tụ. Theo giả thiết lim = A nên n→∞ yn xn với ε = 1 > 0, tồn tại n0 để mọi n ≥ n0 , ta có < A + 1, từ đó xn < (A + 1)yn , ∀n ≥ n0 . yn    xn  A Vậy chuỗi (1.2) hội tụ thì chuỗi (1.1) hội tụ. Nếu 0 < A < +∞ thì ta có  − A< ε = khi yn 2 xn A A n ≥ n1 , với n1 là số nguyên dương nào đó. Như thế > A − , ∀n ≥ n1 hay xn > yn . Như yn 2 2 xn vậy nếu (1.2) phân kỳ thì (1.1) cũng phân kỳ. Còn lim = +∞ thì xn > k · yn với k > 0 và n→∞ yn mọi n đủ lớn nên ta cũng có kết quả.  Nhận xét 1.5. Nếu 0 < A < +∞ thì hai chuỗi (1.1) và (1.2) đồng thời hội tụ hoặc phân kỳ. 6 ∞ P x . Ta có +n+1 n=1

x x x sin 2 sin 2 2 n + n + 1 = lim n + n + 1 · n + n + 1 = 1. lim x x x n→∞ n→∞ 2 2 n n +n+1 n2 ∞ x ∞ P P x Mặt khác, chuỗi hội tụ. hội tụ nên sin 2 2 n +n+1 n=1 n n=1 ∞ P √ Định lí 1.10 (Dấu hiệu Cauchy). Cho chuỗi số dương xn . Giả sử tồn tại lim n xn = `. Ví dụ 1.3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số sin n2 n→∞ n=1 Nếu ` < 1 thì chuỗi hội tụ, còn ` > 1 thì chuỗi phân kỳ. Trường hợp ` = 1 không có kết luận. √ Chứng minh. Vì n xn ≥ 0 nên ` ≥ 0. Ta xét các trường hợp sau a). 0 ≤ ` < 1. Chọn 1−` √ chẳng hạn) để ` + ε = q < 1. Vì lim n xn = ` nên với ε > 0 ở trên, ε > 0 đủ bé (ε = n→∞ 2 ∞ P √ √ ta có n xn − ` < ε với n ≥ n0 hay n xn < ε + ` = q. Do 0 < q < 1 nên chuỗi q n hội tụ. n=1 ∞ P `−1 > 0, ta có Theo tiêu chuẩn so sánh, ta cũng có chuỗi xn hội tụ. b). ` > 1 Với ε = 2 n=1 `−1 ` 1 √ √ − < n xn − ` hay n xn > + > 1 khi n ≥ n1 , n1 ∈ N. Suy ra xn 9 0 khi n → ∞. Vậy 2 2 2 ∞ P xn phân kỳ.  n=1 Ví dụ 1.4. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi ∞ P n=1  2n 4n − 3 n  . Ta có an = 2n 4n − 3 n nên lim n→∞ √ n an = 1 2n = < 1. Vậy chuỗi đã cho hội tụ. n→∞ 4n − 3 2 lim ∞ P Định lí 1.11 (Dấu hiệu Dalambert). Cho chuỗi số dương xn , xn > 0 ∀n ∈ N. Giả sử tồn n=1 xn+1 tại lim = `. Nếu ` < 1 thì chuỗi hội tụ, ` > 1 thì chuỗi phân kỳ, còn nếu ` = 1 thì chưa n→∞ xn có kết luận. ∞ P Chứng minh. Như định lý trên, ta so sánh chuỗi xn với một cấp số nhân khi ` < 1. n=1 xn+1 Lấy ε > 0 đủ bé để 0 < ` + ε = q < 1. Do lim = ` nên tồn tại n0 ∈ N để với mọi n ≥ n0 , n→∞ xn xn+1 ta có < ` + ε = q, hay xn xn0 +1 < q · xn0 xn0 +2 < q · xn0 +1 < q 2 · xn0 ... xn0 +k < q k · xn0 . Vì 0 < q < 1 nên chuỗi ∞ P xn0 q k hội tụ. Theo dấu hiệu so sánh, ta có n=1 k=1 ∞ n! P . Ta có n n=1 n  n (n + 1)! nn n 1  n , = · = = (n + 1)n+1 n! n+1 1 1+ n Ví dụ 1.5. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi an=1 an ∞ P an+1 1 = < 1. Vậy chuỗi đã cho là hội tụ. n→∞ an e suy ra lim 7 xn hội tụ.  ∞ P Định lí 1.12 (Tiêu chuẩn Raabe). Cho an là một chuỗi số dương thực sự. Nếu n=1 lim n( n→∞ an − 1) = p an+1 thì chuỗi đã cho hội tụ với p > 1 và phân kỳ với p < 1. Định lí 1.13 (Tiêu chuẩn Gauss). Cho ∞ P an là một chuỗi số dương thực sự. Nếu n=1 µ θn an = λ + + 1+ , an+1 n n trong đó  > 0 và |θn | ≤ c thì chuỗi đã cho hội tụ với λ > 1 và phân kỳ với λ < 1; trường hợp λ = 1 thì chuỗi đã cho hội tụ khi µ > 1 và phân kỳ khi µ ≤ 1. Định lí 1.14 (Dấu hiệu tích phân Cauchy). Cho f là một hàm liên tục, dương và giảm trên [a, +∞), a ∈ N. Đặt Zy F (y) = f (x)dx (1.3) a và xét chuỗi ∞ X f (a + k), (1.4) k=0 khi đó chuỗi (1.4) hội tụ nếu và chỉ nếu tồn tại lim F (y) ∈ R. y→∞ Chứng minh. Với mỗi số nguyên k, do f (x) là một hàm giảm với mọi x ≥ a nên với a + k ≤ x ≤ a + k + 1 thì f (a + k) ≥ f (x) ≥ f (a + k + 1). Suy ra a+k+1 Z a+k+1 Z f (a + k)dx ≥ a+k a+k+1 Z f (x)dx ≥ a+k f (a + k + 1)dx a+k hay a+k+1 Z f (a + k) ≥ f (x)dx ≥ f (a + k + 1). (*) a+k Lấy tổng theo k từ 0 đến n − 1 các vế của (*), ta có n−1 X Z n−1 a+k+1 n−1 X X f (a + k) ≥ f (x)dx ≥ f (a + k + 1) k=0 k=0 a+k k=0 hay n−1 X k=0 a+n Z n−1 X f (a + k) ≥ f (x)dx ≥ f (a + k + 1). k=0 a =⇒ sn−1 ≥ F (a + n) ≥ sn − f (a), n = 1, 2, . . . trong đó sn là tổng riêng thứ n của chuỗi (1.4). - Nếu lim F (y) = A ∈ R thì do sn ≤ A + f (a) nên chuỗi (1.4) hội tụ. y→∞ - Nếu lim F (y) = +∞ ∈ R thì do sn ≥ F (a + n + 1) nên (sn )n không bị chặn. Vậy chuỗi y→∞ (1.4) phân kỳ.  Ví dụ 1.6. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi ∞ 1 P , α ∈ R. α n=1 n 8 1 6 0 nên chuỗi phân kỳ. = n→∞ nα 1 - Nếu α > 0, ta xét hàm số f (x) = α , x ∈ [1, +∞). Rõ ràng f (x) liên tục, dương, x giảm trong [1, +∞). Ta có  Zy ln y, α=1 1
1 1 F (y) = dx =  − 1 , α 6= 1 xα α−1 1−α y 1 - Nếu α ≤ 0, ta thấy lim Từ đó  +∞, lim F (y) = 1 y→∞  , α−1 α≤1 α>1 ∞ 1 P hội tụ khi α > 1 và phân kỳ khi α ≤ 1. α n=1 n ∞ 1 P Lưu ý khi α = 1, chuỗi được gọi là chuỗi điều hòa. Như vậy chuỗi điều hòa phân kỳ. n=1 n Vậy chuỗi 1.6. Chuỗi Với Số Hạng Có Dấu Bất Kỳ. 1.7. Chuỗi đan dấu. Định nghĩa 1.3. Ta gọi chuỗi đan dấu là chuỗi có dạng ∞ P (−1)n an hay n=1 đó an > 0 với mọi n. ∞ X ∞ P (−1)n+1 an trong n=1 (−1)n+1 an = a1 − a2 + a3 − a4 + · · · + (−1)n+1 an + · · · n=1 Định lí 1.15 (Dấu hiệu Leibnitz). Cho chuỗi đan dấu ∞ P (−1)n+1 an (1.5). Giả sử (an )n là n=1 một dãy giảm và lim an = 0. Khi ấy chuỗi (1.5) hội tụ. n→∞ Chứng minh. Ta chứng minh dãy tổng riêng (sn )n của (1.5) hội tụ. Để ý rằng một dãy (sn )n hội tụ khi và chỉ khi 2 dãy con (s2n )n và (s2n+1 )n hội tụ về cùng một giới hạn. Với mọi k ≥ 2, ta có s2k − s2k−2 = a2k−1 − a2k ≥ 0 nghĩa là (s2n )n là dãy tăng. Hơn nữa s2k = a1 − a2 + a3 − a4 + · · · + a2k−1 − a2k = a1 − (a2 − a3 ) − (a4 − a5 ) − · · · − (a2k−2 − a2k−1 ) − a2k ≤ a1 . Vậy s2k bị chặn trên. Do đó dãy (s2n )n hội tụ, nghĩa là chuỗi (1.5) hội tụ.  ∞ (−1)n+1 P . Ta thấy các điều kiện của định lý Leibnitz thỏa mãn. Ví dụ 1.7. Xét chuỗi sau n n=1 Ta thường gọi chuỗi này là chuỗi điều hòa đan dấu. 1.8. Chuỗi hội tụ tuyệt đối. Định nghĩa 1.4. Ta gọi chuỗi số ∞ P xn là hội tụ tuyệt đối nếu như chuỗi số dương n=1 ∞ P |xn | n=1 hội tụ. Định lí 1.16. Mọi chuỗi số hội tụ tuyệt đối đều hội tụ. ∞ P Chứng minh. Ta sử dụng tiêu chuẩn Cauchy. Với số ε > 0 cho trước, vì |xn | hội tụ nên n=1   n+p n+p  n+p  P P P có n0 ∈ N để ∀n ≥ n0 và ∀p ∈ N thì |xk | < ε. Nhưng khi ấy  xk  ≤ |xk | ≤ ε. k=n+1 Vậy ∞ P k=n+1 xn hội tụ. k=n+1  n=1 9 ∞ P Mệnh đề 1.17. Việc khảo sát sự hội tụ của chuỗi ∞ P xn (1.1) có thể nhờ chuỗi số dương n=1 |xn | (1.6). Nếu chuỗi (1.6) hội tụ thì (1.1) hội tụ, còn (1.6) phân kỳ thì ta chưa có kết n=1 luận đối với (1.1). Cũng xảy ra trường hợp (1.1) hội tụ còn (1.6) thì phân kỳ, chẳng hạn ta lấy ∞ (−1)n+1 ∞ 1 P P (1.1) là chuỗi điều hòa đan dấu hội tụ còn (1.6) là chuỗi điều hòa phân kỳ. n n=1 n=1 n ∞ P Ta gọi xn là hội tụ không tuyệt đối nếu n=1 ∞ P xn hội tụ còn n=1 ∞ P |xn | phân kỳ. n=1 Định lí 1.18 (Tính chất giao hoán của chuỗi hội tụ tuyệt đối). Giả sử chuỗi ∞ P tụ tuyệt đối và có tổng là s thì chuỗi số ∞ P xn (1.1) hội n=1 yn (1.2) có được bằng cách đổi chỗ tùy ý các số n=1 hạng xn của chuỗi (1.1), cũng hội tụ tuyệt đối và có tổng là s. Chứng minh. Việc thay đổi chỗ các số hạng của dãy (xn ) trong chuỗi (1.1) là thực hiện ∞ ∞ P P một song ánh σ : N −→ N, khi đó yn = xσ(n) . Ta có n=1 n X n=1 n X |yk | ≤ k=1 |xσ(k) | ≤ m X |xi | ≤ i=1 k=1 trong đó m = max{σ(1), . . . , σ(n)}. Vậy chuỗi số dương tuyệt đối. Tiếp theo, ta chứng minh n ≥ n0 thì ∞ P |xn | = n=1 ∞ P ∞ X ∞ P |xi | i=1 ∞ P |yk | hội tụ hay chuỗi k=1 ∞ P yn hội tụ n=1 |xσ(n) |. Với ε > 0, tồn tại n0 để với mọi n=1 ε |xk | < . Với mọi m ∈ N, ta có σ(m) ≥ m nên 2 k=n+1     ∞ ∞ ∞ m   X  X X X     |xk | x = x ≤ x −    k k σ(k)     k=1 k=1 nếu lấy n đủ lớn sao cho trong tổng n P k=1 k6=σ(i),i=1,...,m k=1 k6=σ(i),i=1,...,m xk , các số hạng xk bao gồm hết các số hạng xσ(k) , k = k=1 1, . . . , m, ta có       m ∞ m n n ∞ X  X  X  X X X ε ε       x − x ≤ x − x + x − x + = ε, ∀m ∈ N.    k k k k < σ(k) σ(k)       2 2 k=1 k=1 k=1 k=1 k=1 k=1 Vậy ∞ P k=1 xσ(k) = ∞ P xk .  k=1 2. Dãy Hàm và Chuỗi Hàm 2.1. Các Khái Niệm Cơ Bản. Giả sử X ⊂ R. Ký hiệu F(X) là tập hợp tất cả các hàm số thực xác định trên X. Ánh xạ x : N −→ F(X) n 7−→ x(n) = xn ∈ F(X)
được gọi là một dãy hàm xác định trên X. Ta thường ký hiệu gọn một dãy hàm là xn n∈N
hay x(t) n trong đó xn : X −→ R là hàm số thực, với mọi n ∈ N, được gọi là hạng tử thứ n 10 của dãy hàm.
Tương tự với định nghĩa của chuỗi số, ta cũng có định nghĩa chuỗi
hàm như sau: giả sử un (t) n là một dãy hàm xác định trên C ⊂ R. Lập dãy hàm mới sn (t) n xác định bởi: s1 (t) = u1 (t) s2 (t) = u1 (t) + u2 (t) ... sn (t) = u1 (t) + u2 (t) + · · · + un (t) = n X ui (t) i=1 ... Khi ấy dãy hàm sn (t)
này được gọi là chuỗi hàm, hạng tử tổng quát là un (t) và tổng riêng ∞
P thứ n là sn (t). Ta cũng ký hiệu chuỗi hàm là un (t). Cho dãy hàm xn (t) n (tương ứng, chuỗi hàm ∞ P n n=1 un (t)) xác định trên X ⊂ R. Điểm t0 ∈ X được gọi là điểm hội tụ của dãy hàm n=1 ∞
P (tương ứng, chuỗi hàm) nếu dãy số xn (t0 ) n (tương ứng, chuỗi số un (t0 )) hội tụ. Tập hợp n=1 tất cả các điểm hội tụ của dãy hàm (tương ứng, chuỗi hàm) được gọi là miền hội tụ của dãy hàm (tương ứng, chuỗi hàm) đó. Giả sử X0 ⊂ X là miền hội tụ của dãy hàm (tương ứng, chuỗi ∞ P hàm). Khi đó, ta đặt x(t) = lim xn (t), ∀t ∈ X0 (tương ứng, u(t) = un (t), ∀t ∈ X0 ) và n→∞ n=1 ∞
P cũng được gọi là dãy hàm xn (t) n (tương ứng un (t)) hội tụ về hàm x(t) (tương ứng u(t)) n=1 trên tập X0 . Ví dụ 2.1. Tìm miền hội tụ của dãy hàm sau xn (t) = tn , n = 1, 2, 3, . . . , t ∈ R. - Với |t| < 1, ta có lim xn (t) = lim tn = 0. n→∞ n→∞ - Với t ≤ −1 hay t > 1, lim tn không tồn tại hữu hạn, còn khi t = 1 ta có lim 1n = 1. n→∞ n→∞ Vậy miền hội tụ của dãy hàm trên là (−1, 1] và: ( 0 nếu |t| < 1 x(t) = lim xn (t) = n→∞ 1 nếu t = 1. ∞ xn ∞ P P x Ví dụ 2.2. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm . Đặt q = , chuỗi viết lại qn. n 2 n=1 2 n=1 x   - Nếu |q| < 1 hay   < 1 hay |x| < 2, chuỗi hội tụ. 2 - Còn |q| ≥ 1 thì chuỗi phân kỳ. Vậy miền hội tụ của chuỗi là (−2, 2). 2.2. Hội Tụ Đều. 2.2.1. Các định nghĩa.

Định nghĩa 2.1. Cho dãy hàm fn (x) n xác định trên X ⊂ R. Nhắc lại rằng fn (x) n hội tụ về f (x) trên X0 ⊂ X nếu (∀x ∈ X0 ) lim fn (x) = f (x) hay n→∞ (∀x ∈ X0 )(∀ε > 0)(∃n0 )(∀n ≥ n0 ) : |fn (x) − f (x)| < ε.
Dãy hàm fn (x) n được gọi là hội tụ đều về hàm f(x) trên X0 ⊂ X nếu: (2.1) (∀ε > 0)(∃n0 )(∀n ≥ n0 )(∀x ∈ X0 ) : |fn (x) − f (x)| < ε. (2.2) 11 Mới nhìn qua, ta dễ có cảm giác là hai định nghĩa ở (2.1) và (2.2) là như nhau, tuy nhiên chúng khác nhau về bản chất: số n0 ở (2.1) phụ thuộc vào ε > 0 và phụ thuộc vào mỗi x ∈ X0 , với các điểm khác nhau có các n0 khác nhau. Trong khi ở (2.2), số n0 chung cho toàn thể các x ∈ X0 : nếu n ≥ n0
thì mọi x ∈ X0 ta đều có |fn (x) − f (x)| < ε. Trong trường hợp (2.1), ta còn gọi dãy fn (x) n là hội tụ đơn hay hội tụ từng điểm về f (x) trên X0 và ký hiệu: fn (x) −→ f (x) (n → ∞). X0
Còn fn (x) n hội tụ đều về hàm f (x) trên X0 được ký hiệu là: fn (x) ⇒ f (x). X0 Hiển nhiên nếu fn (x) ⇒ f (x) thì fn (x) −→ f (x). Điều ngược lại không đúng. X0 X0 2.3. Điều kiện hội tụ đều.
Định lí 2.1 (Tiêu chuẩn Cauchy). Cho fn (x) n là một dãy hàm xác định trên X. Điều kiện cần và đủ để fn (x) ⇒ f (x) là X0 (∀ε > 0)(∃n0 )(∀m, n ≥ n0 )(∀x ∈ X0 ) : |fn (x) − fm (x)| < ε. Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử fn (x) ⇒ f (x). Khi ấy X0 ε (∀ε > 0)(∃n0 )(∀n ≥ n0 )(∀x ∈ X0 ) : |fn (x) − f (x)| < . 2 Nếu m, n ≥ n0 thì ∀x ∈ X0 , ta cũng có ε ε |fn (x) − fm (x)| ≤ |fn (x) − f (x)| + |fm (x) − f (x)| < + = ε. 2 2 Vậy điều kiện cần được chứng minh. Ngược lại, ∀x ∈ X0 , ta có:
|fn (x) − fm (x)| < ε khi m, n ≥ n0 với ε > 0 tùy ý, nghĩa là ∀x ∈ X0 , dãy số thực fn (x) n là một dãy Cauchy nên phải hội tụ trong R. Đặt f (x) = lim fn (x), ∀x ∈ X0 . Ta chứng minh fn (x) ⇒ f (x). Thật vậy, n→∞ X0 ∀ε > 0, theo giả thiết (∃n0 )(∀m, n ≥ n0 )(∀x ∈ X0 ) : |fn (x) − fm (x)| < ε. Tạm thời cố định n ≥ n0 , x ∈ X0 , cho m → ∞, ta được |fn (x) − f (x)| < ε với mọi n ≥ n0 và với mọi x ∈ X0 . Vậy fn (x) ⇒ f (x).  X0 Đối với chuỗi hàm, tiêu chuẩn Cauchy được phát biểu như sau ∞ P un (x) hội tụ đều trên X0 là: với mọi ε > 0, Định lí 2.2. Điều kiện cần và đủ để chuỗi hàm n=1 tồn tại n0 ∈ N sao cho  n+p   X    (∀n ≥ n0 )(∀p ∈ N)(∀x ∈ X0 ) :  um (x) < ε.   m=n+1 Một điều kiện đủ khá thuận lợi trong việc kiểm tra sự hội tụ đều của chuỗi hàm là định lý sau. ∞ P Định lí 2.3 (Dấu hiệu Weierstrass). Cho chuỗi hàm un (x) xác định trên X ⊂ R. Giả sử n=1 tồn tại một dãy số dương (an )n sao cho (∀x ∈ X0 ) |un (x)| ≤ an , n = 1, 2, . . . ∞ ∞ P P và an hội tụ, khi đó chuỗi hàm un (x) hội tụ tuyệt đối và hội tụ đều trên X0 ⊂ X. n=1 n=1 12 Chứng minh. Do chuỗi ∞ P an hội tụ nên với mọi ε > 0 cho trước, tồn tại n0 để ∀n ≥ n=1 n0 , ∀p ∈ N, ta có n+p P |uk (x)| ≤ k=n+1 n+p P |un (x)| ≤ an , ∀x ∈ X0 , n = 1, 2, . . . nên ak < ε. Mặt khác k=n+1 n+p P ak < ε. Vậy theo tiêu chuẩn Cauchy, chuỗi ∞ P un (x) hội tụ tuyệt đối n=1 k=n+1 và đều trên X0 . 
Nhận xét 2.1. Để chứng minh dãy hàm fn (x) n hội tụ đều về f (x) trên X0 , ta có thể xét sup |fn (x) − f (x)| = rn . Nếu rn → 0 (n → ∞) thì fn (x) ⇒ f (x). X0 x∈X0 Ví dụ 2.3. Xét sự hội tụ đều của các dãy hàm sau sin x a. fn (x) = , x∈R n x b. fn (x) = sin , x ∈ R. n sin x = 0. Vậy fn (x) −→ 0. Tiếp theo, với ε > 0 tùy a. Ta có ∀x ∈ R, lim fn (x) = lim n→∞ n→∞ n R      sin x  1 1 1  ý, ta chọn n0 = + 1, khi đó ∀n ≥ n0 , ∀x ∈ R, ta có  − 0 ≤ ≤ < ε. ε n n n0 sin x ⇒ 0. Vậy n R x x 1 b. ∀x ∈ R, lim sin = 0. Vậy sin −→ 0. Mặt khác, với ε = , ∀n0 ∈ N, ta lấy n→∞ n n R 2 π x = n0 ∈ R, khi đó 2  π     n0     sin x  = sin 2  = sin π = 1 > ε.  n0   n0  2  Đối với chuỗi hàm ta cũng có khái niệm hội tụ đơn và hội tụ đều, được định nghĩa như sau, ∞ P chuỗi hàm un (x) gọi là hội tụ đơn (tương ứng, hội tụ đều) về hàm u(x) trên tập X0 nếu dãy n=1 tổng riêng sn (x) = n P ui (x) hội tụ đơn (tương ứng, hội tụ đều) về hàm u(x) trên tập X0 . i=1
2.4. Tính chất của sự hội tụ đều. Ký hiệu X0 là khoảng (a, b) hay đoạn [a, b]; fn (x) n ∞ P un (x) lần lượt là các dãy hàm và chuỗi hàm xác định trên X0 . và n=1 Định lí 2.4. Giả sử fn (x) là các hàm liên tục tại x0 ∈ X0 và fn (x) ⇒ f (x). Khi đó f (x) liên X0 tục tại x0 ∈ X0 . Chứng minh. Cho ε > 0. Do fn (x) ⇒ f (x) nên có n0 ∈ N sao cho ∀n ≥ n0 và ∀x ∈ X0 X0 ε thì: |fn (x) − f (x)| < . Vì fn0 (x) liên tục tại x0 nên với ε > 0 ở trên, tồn tại δ > 0 để nếu 3 ε x ∈ X0 , |x − x0 | < δ thì |fn0 (x) − fn0 (x0 )| < . Như thế, nếu |x − x0 | < δ, ta có 3 |f (x) − f (x0 )| ≤ |f (x) − fn0 (x)| + |fn0 (x) − fn0 (x0 )| + |fn0 (x0 ) − f (x0 )| ε ε ε < + + = ε. 3 3 3 Vậy f (x) liên tục tại x0 .  13 Hệ quả 2.5. Nếu mỗi hàm un (x) liên tục tại x0 ∈ X và ∞ P un (x) hội tụ đều về hàm u(x) thì n=1 u(x) liên tục tại x0 . Chứng minh. Áp dụng định lý trên cho dãy hàm sn (x) = n P ui (x) là các hàm liên tục tại i=1 x0 và sn (x) ⇒ u(x).  X0 Nhận xét 2.2.
1. Trong định lý, ta chỉ cần giả thiết là có một dãy con fn (x) n là hàm liên tục tại điểm x0 . Tuy nhiên, đối với chuỗi hàm, giả thiết tất cả các hàm un (x) đều liên tục tại điểm x0 là cần thiết. 2. Giả sử fn (x) −→ f (x) và fn (x) liên tục tại x0 ∈ X0 , còn f (x) thì gián đoạn tại x0 . X0 Khi đó fn (x) 6⇒ f (x). X0

Định lí 2.6 (Định lý Dini). Giả sử fn (x) n là dãy hàm xác định, liên tục trên [a, b], fn (x) n đơn điệu (tăng hoặc giảm) và fn (x) −→ f (x) với f (x) là hàm liên tục trên [a, b], khi đó [a,b] fn (x) ⇒ f (x). [a,b]
Chứng minh. Để định ý, ta giả sử fn (x) n là dãy tăng các hàm liên tục trên [a, b]. Đặt rn = f (x) − fn (x), khi ấy rn (x) liên tục và r1 (x) ≥ r2 (x) ≥ · · · ≥ rn (x) và ∀x ∈ [a, b], lim rn (x) = 0. Giả sử fn (x) 6⇒ f (x). Theo định nghĩa, tồn tại ε0 > 0 sao cho với mọi n→∞ [a,b] n0 ∈ N, tồn tại m ≥ n0 và xm ∈ [a, b] để rm (xm ) ≥ ε0 . Dãy (xm ) ⊂ [a, b] nên theo định lý Bonzano-Weierstrass, tồn tại dãy con (xkm )m ⊂ (xm )m : xkm → x0 ∈ [a, b] khi m → ∞. Bây giờ với mỗi p ∈ N, ta có hàm rp (x) liên tục nên rp (xkm ) → rp (x0 ) khi m → ∞. Với mọi m đủ lớn sao cho km ≥ p, ta có rp (xkm ) ≥ rkm (xkm ) ≥ ε0 . Cho m → ∞, ta có lim rp (xkm ) = rp (x0 ) ≥ ε0 . m→∞ Điều này mâu thuẫn với lim rp (x0 ) = 0. Vậy định lý được chứng minh.  p→∞ Đối với chuỗi hàm, ta cố định lý tương ứng sau Định lí 2.7. Giả sử các hàm un (x) ≥ 0 (tương ứng un (x) ≤ 0) với mọi n ∈ N và với mọi ∞ P x ∈ [a, b]. Giả sử un (x) liên tục đều trên [a, b] và chuỗi hàm un (x) có tổng là hàm u(x) liên n=1 tục trên [a, b]. Lúc ấy chuỗi hàm này hội tụ đều trên [a, b].
2.5. Qua giới hạn dưới dấu tích phân và đạo hàm. Cho fn (x) n là dãy hàm xác định trên X ⊂ R và f (x) = lim fn (x), x ∈ X (X = (a, b) hoặc X = [a, b]). Với điều kiện nào n→∞ thì Zb Zb lim fn (x)dx = lim n→∞ fn (x)dx hoặc n→∞ a  0 0 lim fn (x) = lim fn (x). n→∞ n→∞ a Câu hỏi tương tự cũng được đặt ra đối với chuỗi hàm, đó là sự mở rộng của tính chất “đạo hàm một tổng bằng tổng các đạo hàm” và “tích phân một tổng bằng tổng các tích phân”.
Định lí 2.8. Cho fn (x) n là một dãy gồm các hàm liên tục trên [a, b]. Giả sử fn ⇒ f , khi đó [a,b] Zb Zb lim fn (x)dx = f (x)dx = lim n→∞ a Zb fn (x)dx. n→∞ a a 14 Chứng minh. Với mọi ε > 0 do fn ⇒ f nên tồn tại n0 ∈ N sao cho (∀n ≥ n0 )(∀x ∈ [a, b]), [a,b] ε , khi ấy ta có |fn (x) − f (x)| < b−a  b  Z  Zb Zb Zb   ε  fn (x)dx − f (x)dx ≤ |fn (x) − f (x)|dx ≤ dx = ε.   b−a   a Vậy lim Rb n→∞ a a fn (x)dx = Rb a a f (x)dx.  a Đối với chuỗi hàm, ta có Định lí 2.9. Giả sử chuỗi hàm ∞ P un (x) hội tụ đều về u(x) trên [a, b] và un (x) là các hàm liên n=1 tục, khi đó ta có Zb X ∞ ∞ X
un (x) dx = n=1 a Zb un (x)dx. n=1 a Chứng minh. Áp dụng định lý cho dãy tổng riêng, ta nhận được kết quả. 
Định lí 2.10. Giả sử fn (x) n là dãy hàm trong đó các fn (x) khả vi liên tục trên X = [a, b]
(hay X = (a, b)). Giả sử dãy hàm fn0 (x) n hội tụ đều về hàm g(x) trên X và fn (x) hội tụ đến f (x) trên (a, b). Khi ấy f (x) cũng khả vi liên tục trên X và
0 f 0 (x) = lim fn (x) = lim fn0 (x) = g(x), ∀x ∈ X. n→∞ n→∞ Chứng minh. Do fn (x) khả vi liên tục trên X nên ta có Zx fn (x) = fn0 (y)dy + fn (x0 ), x ∈ X, n = 1, 2, . . . x0
Do fn0 (x) ⇒ g(x) nên áp dụng định lý cho dãy hàm fn0 (x) n trên [x0 , x] (hoặc (x, x0 )), ta có X Zx f (x) = lim fn (x) = lim n→∞ n→∞  Zx fn0 (y)dy + fn (x0 ) = g(y)dy + f (x0 ). x0 x0 Suy ra f (x) khả vi tại x ∈ X và f 0 (x) = g(x). Mặt khác, g(x) liên tục nên f (x) khả vi liên tục.  Ta phát biểu kết quả tương ứng đối với chuỗi hàm. Định lí 2.11. Cho các hàm số un (x) khả vi liên tục trên tập X. Giả sử chuỗi hàm ∞ P un (x) n=1 hội tụ đều về u(x) trên X thì u(x) khả vi liên tục và !0 ∞ ∞ X X 0 u (x) = un (x) = u0n (x) = v(x). n=1 n=1 2.6. Chuỗi Lũy Thừa. Trong phần này ta xét một loại chuỗi hàm khá đơn giản, nhưng có nhiều ứng dụng trong tính toán xấp xỉ. 15 2.6.1. Các khái niệm cơ bản. Chuỗi hàm lũy thừa (viết tắt chuỗi lũy thừa) là chuỗi hàm có dạng ∞ X an x n (1.1) n=0 hoặc ∞ X an (x − x0 )n (1.2) n=0 trong đó an , n = 0, 1, 2, . . . là các hằng số. Nói cách khác chuỗi lũy thừa là chuỗi hàm mà các hạng tử tổng quát là hàm lũy thừa nguyên không âm. Bằng cách đặt X = x − x0 hoặc X − X0 = x, ta có thể đưa chuỗi lũy thừa dạng (1.2) về dạng (1.1) hoặc dạng (1.1) về dạng (1.2). Do đó, để đơn giản về mặt ký hiệu, sau đây ta chỉ khảo sát chuỗi lũy thừa dạng (1.1). 2.7. Miền Hội Tụ Của Chuỗi Lũy Thừa. Định lí 2.12 (Abel). Giả sử chuỗi lũy thừa (1.1) hội tụ tại x0 6= 0. Khi ấy nó hội tụ tuyệt đối tại mọi x ∈ R thỏa |x| < |x0 |. Chứng minh. Theo giả thiết, chuỗi số ∞ P an xn0 hội tụ nên lim an xn0 = 0. Vậy dãy này bị n→∞ n=1 |an xn0 | < M với mọi n ∈ N. Chuỗi (1.1) được viết lại như sau  n ∞ ∞ X X x n n an x 0 an x = . x 0 n=0 n=0 chặn tồn tại M > 0 sao cho Ta có   n  n      x n n  = |an x0 | ·  x  ≤ M · q n , n = 0, 1, 2, . . . |an x | = an x0  x0  x0    ∞ x P trong đó q =   < 1, với mọi |x| < |x0 |. Vì q n hội tụ nên theo dấu hiệu so sánh, ta có x0 n=0 ∞ ∞ P P n n chuỗi |an x | hội tụ. Vậy an x hội tụ tuyệt đối tại x.  n n=0 n=0 Hệ quả 2.13. Nếu chuỗi (1.1) phân kỳ tại x1 thì nó phân kỳ tại mọi x thỏa điều kiện |x| > |x1 |. Thật vậy, nếu có x ∈ R, |x| > |x1 | mà (1.1) hội tụ thì theo định lý trên, chuỗi (1.1) sẽ hội tụ tại x1 . Tiếp theo chúng ta hãy xác định miền hội tụ của chuỗi lũy thừa (1.1). Rõ ràng 0 ∈ D với mọi chuỗi lũy thừa (1.1). Trường hợp D 6= {0}, tức là (1.1) có điểm hội tụ x0 6= 0, ta đặt ∞ X  an xn hội tụ R = sup x ∈ R : n=1 khi ấy 0 < R ≤ +∞. Định lí 2.14. Chuỗi hàm lũy thừa (1.1) hội tụ với mọi x ∈ R mà |x| < R và phân kỳ tại mọi x ∈ R thỏa |x| > R (nếu R < +∞). Chứng minh. Giả sử |x| < R < +∞. Theo định nghĩa của supremum, tồn tại x0 ∈ R sao ∞ P cho |x| < x0 < R và an xn0 hội tụ. Khi ấy theo định lý Abel, chuỗi (1.1) hội tụ tại x. Lý luận n=1 này được áp dụng cho trường hợp R = +∞. Nếu |x| > R thì ta chọn x1 để |x| > x1 > R, khi ∞ ∞ P P ấy an xn1 phân kỳ nên an xn phân kỳ.  n=1 n=1 Định nghĩa 2.2. Số R ∈ [0, +∞] xác định như trên được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa (1.1); khoảng (−R, R) được gọi là khoảng hội tụ của (1.1). 16 Như vậy miền hội tụ của chuỗi (1.1) gồm khoảng hội tụ và có thể thêm các điểm đầu mút ±R hoặc không, tùy theo từng trường hợp cụ thể. Để tìm bán kính hội tụ R của chuỗi (1.1), ta xét hai trường hợp sau với cách phát biểu đơn giản nhất.    an+1   = ` (0 ≤ ` ≤ +∞), khi đó bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa  Định lí 2.15. Giả sử lim  n→∞ an  (1.1) được xác định bởi công thức sau  1    ` R= 0   +∞ với 0 < ` < +∞ với ` = +∞ với ` = 0 . Chứng minh. a. 0 < ` < +∞: với mỗi x ∈ R, ta hãy áp dụng dấu hiệu d’Axplbert đối với chuỗi số dương ∞ P |an xn |: n=0    an+1  |an+1 xn+1 |   = `|x|. lim = |x| lim  n→∞ n→∞ |an xn | an  ∞ ∞ P P 1 |an xn | hội tụ nên an xn hội tụ. * Nếu `|x| < 1 hay |x| < thì chuỗi ` n=0 n=0 1 n+1 n * Nếu `|x| > 1 hay |x| > , ta có |an+1 x > |an x | với n đủ lớn nến |an xn | 9 0, do đó ` ∞ P 1 an xn 9 0. Vậy an xn phân kỳ. Theo định nghĩa, bán kính hội tụ R = . ` n=0   n+1 ∞  an+1 x  P  = 0 < 1, nên b. ` = 0 : lúc đó ∀x ∈ R, lim  an xn hội tụ.  n n→∞ an x n=1 c. ` = +∞ : với mọi x ∈ R, x 6= 0, ta có      an+1   an+1 xn+1   = +∞.  = |x| lim  lim  n→∞  an  n→∞  an x n  Vậy chuỗi ∞ P an xn phân kỳ. Định lý được chứng minh.  n=1 Trường hợp nhiều hệ số an = 0, ta dùng định lý sau để tìm bán kính hội tụ p Định lí 2.16. Nếu lim n |an | = ` (0 ≤ ` ≤ +∞), khi đó bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa n→∞ (1.1) được xác định bởi công thức sau  1    ` R= 0   +∞ với 0 < ` < +∞ với ` = +∞ với ` = 0 . Chứng minh. Lập luận tương tự như ở chứng minh định lý trên bằng cách dùng dấu hiệu ∞ P Cauchy cho chuỗi số dương |an xn |.  n=1 2.8. Tính Chất Của Chuỗi Hàm Lũy Thừa. Cho chuỗi hàm lũy thừa ∞ P an x n n=1 có bán kính hội tụ R > 0. Khi ấy ∀x ∈ (−R, R), chuỗi (1.1) hội tụ về hàm u(x) = ∞ P (3.1) an xn . Ta n=1 hãy khảo sát tính chất của tổng u(x) này. Định lí 2.17. Giả sử R 6= 0 là bán kính hội tụ của (1.1), khi ấy với mọi 0 < r < R, chuỗi hàm (1.1) sẽ hội tụ đều trên [−r, r]. 17 Chứng minh. Do r < R và theo tính chất của supremum, tồn tại x0 ∈ R sao cho r < x0 < ∞ ∞ P P R và an xn0 hội tụ. Vậy ∀x ∈ [−r, r], ta có |an xn | ≤ |an rn |. Vì an xn hội tụ nên theo dấu n=0 hiệu Weierstrass, chuỗi ∞ P n=0 an xn hội tụ tuyệt đối và đều trên [−r, r].  n=0 Hệ quả 2.18. Giả sử R > 0 là bán kính hội tụ của (1.1), khi ấy tổng u(x) = ∞ P an xn là hàm n=0 liên tục trên (−R, R). Chứng minh. Với mọi x ∈ (−R, R), tồn tại r > 0 để x ∈ [−r, r] ⊂ (−R, R). Do an xn là hàm liên tục và chuỗi (1.1) hội tụ đều trên [−r, r] nên u(x) liên tục trên [−r, r], đặc biệt liên tục tại x. Vậy u(x) liên tục trên (−R, R).  Hệ quả 2.19. Với mỗi x ∈ (−R, R), ta có ! Zx Zx X ∞ ∞ ∞ X X an n+1 n an tn dt = an t dt = x . n + 1 n=0 n=0 n=0 0 0 Chứng minh. ∀x ∈ (−R, R), ta có chuỗi lũy thừa (1.1) hội tụ đều trên [x, 0] hay [0, x] chứa trong (−R, R) nên áp dụng định lý qua giới hạn dưới dấu tích phân sẽ nhận được kết quả.  Hệ quả 2.20. Tổng của chuỗi hàm lũy thừa (1.1) là một hàm khả vi vô hạn trên (−R, R) và với mọi k = 0, 1, 2, . . . , ta có ∞ X u(k) (x) = n(n − 1) · · · (n − k + 1)an xn−k . (1.3) n=k Hơn nữa bán kính hội tụ của (1.3) cũng bằng R. Chứng minh. Khi k = 1, ta xét chuỗi ∞ X nan xn−1 . (1.4) n=1 Gọi R1 là bán kính hội tụ của nó. Ta chứng minh R = R1 . Với x ∈ (−R, R), ta chọn r > 0 để ∞ P |x| < r < R. Lúc ấy an rn hội tụ nên an rn → 0 (n → ∞). Suy ra |an |rn ≤ C với C = const n=0  x n−1 ∞ P   và mọi n ∈ N. Xét chuỗi số n  , ta có r n=1 r   r      √  x n−1 x x x n n n  lim = lim n · lim n   ·   =   < 1 (x 6= 0) n→∞ n→∞ n→∞ r r r r   ∞ n−1 P x nên n  hội tụ. Từ đánh giá r n=1  n−1 1 x n   n−1 n x |nan x | = |an | · x   ≤ C · n  r r r r ∞ ∞ P P ta suy ra chuỗi |nan xn−1 | hội tụ. Vậy chuỗi nan xn−1 hội tụ tại x ∈ (−R, R) nên R ≤ R1 . n=1 n=1 Tiếp theo, nếu R < R1 , ta chọn x0 sao cho R < x0 < R1 . Khi ấy ∞ P nan x0n−1 hội tụ. Với mọi n=1 n mà x0 ≤ n, ta có |an xn0 | ≤ Theo dấu hiệu so sánh, ta có chuỗi ∞ P n |an |xn = n|an |x0n−1 . x0 |nan xn−1 | hội tụ. Vậy chuỗi n=1 ∞ P nan xn−1 hội tụ, mâu n=1 thuẫn với R là bán kính hội tụ của (1.1). Vậy R = R1 . Bây giờ, với x ∈ (−R, R), ta chọn r để 18 |x| < r < R, khi đó chuỗi (1.1), (1.3) hội tụ đều trên [−r, r] nên áp dụng định lý lấy đạo hàm một chuỗi hàm, ta có !0 ∞ ∞ X X u0 (x) = an x n = nan xn−1 với (a0 )0 = 0 n=0 nên u0 (x) = ∞ P n=0 nan xn−1 . Bằng quy nạp, ta chứng minh được kết quả tổng quát trên.  n=1 Ví dụ 2.4. Tính tổng của một số chuỗi lũy thừa. Cơ sở để tính tổng của chuỗi lũy thừa ∞ P an x n n=0 là các hệ quả trên cùng với công thức tính tổng của một cấp số nhân có công bội |q| < 1 ∞ X qn − n=0 (1) Tính u(x) = ∞ P 1 . 1−q  n nx . Chuỗi này có bán kính hội tụ R = 1. Ta có u(x) = x n=0 ∞ P nx n−1  . n=0 Với x 6= 0, ta có u(x) = x ∞ X nx n−1 ∞ X = n=1 !0 x n  = n=0 với mọi x thỏa |x| < 1. Vậy 1 1−x 0 1 x u(x) = nên u(x) = . Công thức này 2 x (1 − x) (1 − x)2 cũng đúng khi x = 0. Vậy ∞ X nxn = n=1 (2) Tính ∞ P x . (1 − x)2 n x = u(x). Chuỗi lũy thừa này có bán kính hội tụ R = 1. Ta có n 0 X ∞ ∞  n X 1 0 n−1 x = (−1)n xn−1 = . u (x) = (−1) n x+1 n=1 n=1 (−1)n−1 n=0 Vì u(0) = 0 nên Zx 0 Zx u (t)dt = u(x) = 0 dt = ln(1 + x). 1+t 0 2.9. Khai Triển Mac - Laurent. Khi nghiên cứu một hàm số nào đó, người ta thường tìm cách xấp xỉ nó bằng những hàm đơn giản hơn, dễ khảo sát. Lớp hàm đơn giản nhất đó là các hàm đa thức. Trong mục này, ta xét xem với những điều kiện nào thì hàm số f (x) có thể biểu diễn thành tổng của một chuỗi lũy thừa, nghĩa là có thể xấp xỉ nó bằng một dãy các đa thức (dãy các tổng riêng của chuỗi lũy thừa hội tụ về f (x)). Định nghĩa 2.3. Hàm số f(x) được gọi là khai triển được thành chuỗi hàm lũy thừa trong ∞ P khoảng (−R, R) nếu tồn tại chuỗi hàm lũy thừa an xn sao cho n=0 f (x) = ∞ X an xn , với mọi x ∈ (−R, R). n=0 Từ định nghĩa trên và tính chất của tổng của chuỗi lũy thừa, ta có 19