Tài liệu Giải thuyết abc và siêu mặt phẳng hypebolic brody p adic

1 Trêng ®¹i häc vinh khoa to¸n ---------------- Phan §øc tuÊn gi¶ thuyÕt "abc" vµ siªu mÆt hyperbolic brody p- adic khãa luËn tèt nghiÖp vinh - 2002 më ®Çu Sù ph¸t triÓn cña sè häc, ®Æc biÖt lµ trong nh÷ng thËp niªn gÇn ®©y, chÞu sù ¶nh hëng rÊt lín cña sù t¬ng tù 2 gi÷a sè nguyªn vµ ®a thøc. Nãi c¸ch kh¸c, khi cã gi¶ thuyÕt nµo ®ã cha chøng minh ®îc ®èi víi c¸c sè nguyªn, ngêi ta cè g¾ng chøng minh sù kiÖn t¬ng tù cho c¸c ®a thøc. Vµo n¨m 1983, R.C.Mason ®· ph¸t hiÖn ra mét ®Þnh lý rÊt ®Ñp vÒ c¸c ®a thøc, tõ ®ã «ng ®· ®a ra mét chøng minh ®¬n gi¶n cña ®Þnh lý Fermat cho ®a thøc. §Þnh lý Mason vµ sù t¬ng tù gi÷a sè nguyªn vµ ®a thøc ®· gîi ý cho gi¶ thuyÕt sau ®©y Gi¶ thuyÕt "abc". Gi¶ sö a,b,c lµ c¸c sè nguyªn, nguyªn tè cïng nhau vµ tháa m·n hÖ thøc a+b = c. Khi ®ã, víi mäi   0 , tån t¹i h»ng sè C sao cho max ( a , trong ®ã N  b , c )  C N 1  p lµ tÝch c¸c íc nguyªn tè ph©n biÖt cña p / abc abc. T¬ng tù nh ®Þnh lý Mason, tõ gi¶ thuyÕt "abc" cã thÓ suy ra ®Þnh lý Fermat tiÖm cËn: víi n ®ñ lín, ph¬ng tr×nh Fermat kh«ng cã nghiÖm nguyªn. Nh vËy, sù t¬ng tù gi÷a sè nguyªn vµ ®a thøc ®· më ra mét con ®êng cã nhiÒu hy väng ®i ®Õn chøng minh ®Þnh lý Fermat. Tuy nhiªn chøng minh gi¶ thuyÕt "abc" lµ mét c«ng viÖc kh«ng ®¬n gi¶n. Do ®ã, tríc hÕt ngêi ta cè g¾ng nghiªn cøu sù thÓ hiÖn cña gi¶ thuyÕt "abc" trªn trêng hµm. Vµo n¨m 2001, hai nhµ to¸n häc Hu vµ Yang ®· chøng minh gi¶ thuyÕt "abc" cho c¸c hµm chØnh h×nh p-adic. GÇn ®©y, Vò Hoµi An vµ §oµn Quang M¹nh ®· ph¸t biÓu vµ chøng minh gi¶ thuyÕt "abc" ®èi víi c¸c hµm chØnh h×nh p-adic nhiÒu biÕn nh lµ mét sù më réng cña ®Þnh lý Hu -Yang. 3 TiÕp tôc híng nghiªn cøu trªn, trong kho¸ luËn nµy, chóng t«i nghiªn cøu ®Ò tµi "Gi¶ thuyÕt "abc" vµ siªu mÆt hyperbolic Brody p-adic " . Kho¸ luËn ®îc chia lµm hai ch¬ng cïng víi phÇn më ®Çu, kÕt luËn vµ tµi liÖu tham kh¶o. Trong ch¬ng 1, ë phÇn ®Çu ch¬ng chóng t«i giíi thiÖu ®Þnh lý Mason vµ øng dông cña nã trong viÖc t×m ra c¸c t¬ng tù sè häc cña mét sè gi¶ thuyÕt næi tiÕng. KÕt qu¶ chÝnh cña ch¬ng 1 ®ã lµ ®Þnh lý Mason suy réng. Ch¬ng 2 dµnh cho viÖc nghiªn cøu ®Þnh lý kiÓu Hu Yang vµ øng dông cña nã trong viÖc nghiªn cøu kh«ng gian hyperbolic Brody p-adic . KÕt qu¶ chÝnh cña ch¬ng 2 lµ ®Þnh lý kiÓu Hu - Yang. Tõ ®Þnh lý kiÓu Hu - Yang chóng t«i më réng ®îc bæ ®Ò Borel p-adic vµ bæ ®Ò MasudaNoguchi p-adic. Còng tõ ®Þnh lý kiÓu Hu- Yang chóng t«i ®a ra ®îc mét tiªu chuÈn vÒ tÝnh suy biÕn cña ®êng cong chØnh h×nh vµ x©y dùng mét sè siªu mÆt hyperbolic Brody p-adic. Cã thÓ nãi ®Þnh lý kiÓu Hu - Yang më ra mét híng nghiªn cøu míi vÒ tÝnh suy biÕn cña ®êng cong chØnh h×nh vµ kh«ng gian hyperbolic Brody p-adic. Theo híng nghiªn cøu nµy, trong ch¬ng 2 chóng t«i ®· chØ ra mét sè líp c¸c siªu mÆt hyperbolic ®îc x©y dùng bëi c¸c nhµ to¸n häc Mai V¨n T, Hµ Huy Kho¸i, Masuda vµ Noguchi víi sè mò nhá h¬n. Kho¸ luËn ®îc thùc hiÖn vµ hoµn thµnh t¹i khoa To¸n trêng §¹i häc Vinh díi sù híng dÉn cña thÇy gi¸o TiÕn sÜ NguyÔn Thµnh Quang. Nh©n dÞp nµy t¸c gi¶ xin ®îc bµy tá lßng biÕt ¬n vµ kÝnh träng s©u s¾c tíi c¸c thÇy c« gi¸o trùc tiÕp gi¶ng d¹y, TiÕn sÜ Ng« SÜ Tïng, TiÕn sÜ Mai V¨n T, TiÕn sÜ Lª Quèc H¸n vµ c¸c thÇy c« gi¸o trong Tæ bé m«n 4 §¹i sè, ®Æc biÖt lµ TiÕn sÜ NguyÔn Thµnh Quang, ®· dµnh rÊt nhiÒu thêi gian vµ lßng nhiÖt t×nh gióp ®ì t¸c gi¶ hoµn thµnh luËn v¨n nµy. Ch¬ng 1 §Þnh lý Mason suy réng 1.1. §Þnh lý mason vµ c¸c gi¶ thuyÕt sè häc Trong môc nµy, chóng t«i sö dông ®Þnh lý Mason ®Ó t×m mét sè tÝnh chÊt sè häc cña ®a thøc. Tríc hÕt, ta thÊy râ gi÷a tËp c¸c sè nguyªn vµ tËp c¸c ®a thøc cã nh÷ng tÝnh chÊt rÊt gièng nhau. Ta ®Ó ý ®Õn sù t¬ng tù gi÷a ph©n tÝch ra thõa sè nguyªn tè vµ ph©n tÝch ®a thøc bÊt kh¶ quy. NÕu gi¶ thiÕt k lµ trêng ®ãng ®¹i sè th× mçi ®a thøc f ( x)  k [ x ] cã thÓ ph©n tÝch díi d¹ng. f ( x)  = p1 1  p 2 2 ... p n n 5 trong ®ã p i ( x)  x  a1 , a i  k . Nh vËy, cã thÓ thÊy r»ng, trong sù ph©n tÝch bÊt kh¶ quy vµ ph©n tÝch ra thõa sè nguyªn tè, c¸c nghiÖm cña ®a thøc t¬ng øng víi c¸c íc nguyªn tè cña sè nguyªn. Do ®ã sè c¸c nghiÖm ph©n biÖt cña ®a thøc cã vai trß t¬ng tù nh sè c¸c íc nguyªn tè ph©n biÖt cña sè nguyªn. Tõ nhËn xÐt ®ã ngêi ta ®i ®Õn ®Þnh nghÜa sau 1.1.1. §Þnh nghÜa. Cho a sè nguyªn. §Þnh nghÜa c¨n cña a, ký hiÖu N 0 (a) , lµ tÝch c¸c íc nguyªn tè ph©n biÖt cña a : N 0 (a)  p p/a Ta sÏ thÊy r»ng, sù t¬ng tù trªn ®©y cïng víi tÝnh chÊt cña ®a thøc gîi ý mét con ®êng nhiÒu hy väng ®Ó ®i ®Õn chøng minh ®Þnh lý Fermat. N¨m 1983, R.C. Mason ®· chøng minh mét ®Þnh lý rÊt ®Ñp sau ®©y vÒ c¸c ®a thøc. 1.1.2. §Þnh lý Mason. Gi¶ sö a (t ), b (t ), c (t ) lµ c¸c ®a thøc víi hÖ sè phøc kh«ng ®ång thêi lµ h»ng sè, nguyªn tè víi nhau tõng cÆp vµ tháa m·n hÖ thøc a (t )  b(t )  c (t ) . Khi ®ã, nÕu ký hiÖu n0(f) lµ sè nghiÖm ph©n biÖt cña ®a thøc f, th× ta cã max  deg a, deg b, deg c  n 0 (abc)  1 . §Þnh lý Mason cho ta mét chøng minh ®¬n gi¶n cña ®Þnh lý Fermat trªn c¸c ®a thøc hÖ sè phøc. 1.1.3. §Þnh lý Fermat trªn c¸c ®a thøc. Kh«ng tån t¹i c¸c ®a thøc a, b, c kh¸c h»ng sè, hÖ sè phøc, nguyªn tè cïng nhau, tháa m·n ph¬ng tr×nh a n  bn  cn víi n  3. 6 Chøng minh. Gi¶ sö c¸c ®a thøc a,b,c tháa m·n ph¬ng tr×nh nãi trªn. Râ rµng sè nghiÖm ph©n biÖt cña ®a thøc a nb n c n kh«ng vît qu¸ deg a  deg b  deg c . ¸p dông ®Þnh lý Mason, ta cã : n deg a  deg a  deg b  deg c  1 . ViÕt bÊt ®¼ng thøc trªn víi b, c råi céng tõng vÕ ba bÊt ®¼ng thøc, ta ®îc : n(deg a  deg b  deg c)  3 (deg a  deg b  deg c)  3 . Ta cã m©u thuÉn nÕu n  3. §Þnh lý Mason vµ sù t¬ng tù gi÷a sè nguyªn vµ ®a thøc ®· gîi ý cho 1.1.4. Gi¶ thuyÕt "abc" (  esterle, 1986) . Gi¶ sö lµ c¸c sè nguyªn, nguyªn tè cïng nhau, vµ tháa m·n a, b, c hÖ thøc a  b  c . Khi ®ã, víi mäi   0 , tån t¹i h»ng sè C sao cho max ( trong ®ã N  p p / abc a , b , c )  CN1  lµ c¨n cña abc Hoµn toµn t¬ng tù nh trªn, tõ gi¶ thuyÕt " abc" ngêi ta cã thÓ suy ra ®Þnh lý Fermat tiÖm cËn: víi n ®ñ lín, ph¬ng tr×nh Fermat kh«ng cã nghiÖm nguyªn. Tríc khi ph¸t biÓu vµ chøng minh c¸c t¬ng tù sè häc cña mét sè gi¶ thuyÕt kh¸c trªn c¸c ®a thøc, ta chøng minh bæ ®Ò sau 1.1.5. Bæ ®Ò. Gi¶ sö a, b, c lµ c¸c ®a thøc nguyªn tè cïng nhau, kh«ng ®ång thêi lµ h»ng sè vµ tháa m·n hÖ thøc a (t )  b(t )  c (t ) . Khi ®ã 1 d1 + 1 d2 + 1 d3 >1 7 trong ®ã lÇn lît lµ béi nhá nhÊt cña c¸c nghiÖm cña c¸c d1 , d 2 , d 3 ®a thøc a, b, c. Chøng minh. V× lÇn lît lµ béi nhá nhÊt cña c¸c d1 , d 2 , d 3 nghiÖm cña c¸c ®a thøc a, b, c , nªn ta cã deg a  deg b  deg c  d1 n0 ( a ) , , d 2 n0 (b) . d 3 n0 (c ) Suy ra 1 d1 + 1 d2 + 1 d3  n0 ( a )  n0 (b)  n0 (c ) max (deg a, deg b, deg c ) 1 d1 + 1 d2 + 1 d3  n 0 ( abc) max (deg a, deg b, deg c ) hay . Theo ®Þnh lý Mason ta cã max (deg a  deg b  deg c)  n0 (abc) . Do ®ã 1 d1 + 1 d2 + 1 d3 >1. Trong trêng hîp cã mét ®a thøc lµ h»ng sè, ch¼ng h¹n a lµ h»ng sè, ta quy íc d1   . Lóc nµy bæ ®Ò 1.5 vÉn ®óng. 1.1.6. NhËn xÐt. NÕu a , b , c lµ c¸c ®a thøc hÖ sè phøc nguyªn tè cïng nhau sao cho a (t )  b(t )  c (t ) , vµ bÊt ®¼ng thøc sau ®îc thùc hiÖn 1 d1 + 1 d2 + 1 d3  1, th× a, b, c ®Òu lµ h»ng sè. 1.1.7. T¬ng tù sè häc cña gi¶ thuyÕt Erdos - Mollon - Walsh. 8 Ta nãi sè nguyªn n lµ sè lòy thõa nÕu nã tháa m·n ®iÒu kiÖn: NÕu p lµ íc nguyªn tè cña n th× p2 còng lµ íc cña n . 1.1.7.1. Gi¶ thuyÕt 1 (Erdos - Mollon - Walsh). Kh«ng tån t¹i mét bé ba sè lòy thõa liªn tiÕp. Cho ®Õn nay, gi¶ thuyÕt nµy ®· ®îc kiÓm tra víi mäi bé ba sè nguyªn liªn tiÕp nhá h¬n 260 . §èi víi c¸c ®a thøc, mét gi¶ thuyÕt t¬ng tù nh vËy ®îc kh¼ng ®Þnh bëi ®Þnh lý 1.1.7.2. §Þnh lý (t¬ng tù gi¶ thuyÕt1). NÕu mçi nghiÖm cña c¸c ®a thøc hÖ sè phøc f(x) vµ f(x) +1 cã béi nhá nhÊt lµ 2, th× f(x) lµ h»ng sè . Chøng minh. ¸p dông nhËn xÐt 1.1.6 víi a= f +1), c = 1 vµ d1 = 2 , d2 = 2 , d3 =  , ta cã f ,b = - ( f lµ h»ng sè. Tæng qu¸t, mét sè nguyªn n ®îc gäi lµ sè k- lòy thõa nÕu p lµ íc nguyªn tè cña n th× pk còng lµ íc cña n. 1.1.7.3. Gi¶ thuyÕt 2 x y  z (Erdos). Ph¬ng tr×nh Siegel chØ cã h÷u h¹n nghiÖm trong c¸c sè nguyªn d¬ng 4- l÷y thõa nguyªn tè cïng nhau. §èi víi c¸c ®a thøc hÖ sè phøc gi¶ thuyÕt t¬ng tù ®îc kh¼ng ®Þnh bëi ®Þnh lý sau 1.1.7.4. §Þnh lý (t¬ng tù gi¶ thuyÕt 2). Ph¬ng tr×nh x y  z chØ cã nghiÖm tÇm thêng trong tËp hîp c¸c ®a thøc hÖ sè phøc, nguyªn tè cïng nhau vµ mäi nghiÖm cña nã cã béi Ýt nhÊt lµ 3. Chøng minh. ¸p dông nhËn xÐt 1.1.6 víi d1 = d2 = d3 a  x, b  y , c  z vµ = 3 ta cã x, y, z lµ h»ng sè. 1.1.8. T¬ng tù sè häc cña gi¶ thuyÕt Fermat suy réng. 9 1.1.8.1. nguyªn d¬ng Gi¶ thuyÕt Fermat suy réng. Víi c¸c sè  , m, n 1  tháa m·n 1 m + th× ph¬ng tr×nh + 1 n  1 víi Ax   By m  Cz n A, B, C lµ c¸c sè nguyªn d- ¬ng cè ®Þnh kh«ng cã nghiÖm trong tËp c¸c sè nguyªn d¬ng x, y , z nguyªn tè cïng nhau. Nh lµ mét kÕt qu¶ t¬ng tù , ta cã 1.1.8.2. §Þnh lý. Ph¬ng tr×nh Ax   By m  Cz n kh«ng cã nghiÖm trong tËp hîp c¸c ®a thøc hÖ sè phøc, kh¸c h»ng sè, nguyªn tè cïng nhau, nÕu 1  1 m + + 1 n  1. Chøng minh. Gi¶ sö tån t¹i c¸c ®a thøc tháa m·n c¸c gi¶ thiÕt ®Þnh lý. ¸p dông bæ ®Ò 1.1.5 víi d1 = , d2 = m , 1  Suy ra d3 vµ = n 1 m + a  Ax , b  By m , c  Cz n + 1 n >1. §iÒu nµy m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt ®Þnh lý. 1. 2. 1.2.1. BËc cña mét ph©n thøc vµ tÝnh chÊt. 1.2.1.1.  ( x)  §Þnh lý mason suy réng §Þnh f ( x)  0, g ( x) víi nghÜa. f cña mét ph©n thøc (x), g(x) lµ c¸c ®a thøc hÖ sè phøc nguyªn tè cïng nhau, ký hiÖu deg   deg f  deg g BËc deg  ®îc ®Þnh nghÜa lµ . Tõ ®Þnh nghÜa 1.2.1.1 vµ c¸c tÝnh chÊt cña ®a thøc ta suy ra 1.2.1.2. MÖnh ®Ò. NÕu 1 ,  2 lµ c¸c ph©n thøc th× 10 (i) deg (1 2 ) (ii) deg ( 1 1 = deg 1 + deg  2 . = - deg 1 . ) (iii) deg ( 1   2 )  max  deg  1 , deg  2  . Gi¶ sö  ( x)  ( x) lµ mét ph©n thøc ,víi mçi a  ℂ, viÕt díi d¹ng  ( x) trong ®ã = ( x  a)k f1 ( x ) g1 ( x ) vµ g 1 ( x ) lµ c¸c ®a thøc nguyªn tè cïng f1 ( x ) nhau vµ kh«ng nhËn a lµm nghiÖm 1.2.1.3. §Þnh nghÜa. Sè k x¸c ®Þnh nh trªn gäi lµ bËc cña  t¹i a , ký hiÖu lµ rd a . Tõ ®Þnh nghÜa 1.2.1.3, ta cã 1.2.1.4. MÖnh ®Ò. NÕu 1 ,  2 lµ c¸c ph©n thøc, a  ℂ . Khi ®ã (i) rd a (1 2 ) = rd a  1 (ii) (iii) rd a ( + rd a 2 .  1 rd a    1     =- rd a 1 . 1 rd a  1 - rd a  2 . 2 ) = 1.2.1.5. §Þnh nghÜa. Gi¶ sö f  f ( x)  a0  a1 x    an x n lµ mét ®a thøc trªn trêng sè phøc ℂ . Ta gäi ®¹o hµm cña f , ký hiÖu lµ f' , lµ ®a thøc sau f   a1  2a2 x    nan x n 1. Ta dÔ thÊy phÐp lÊy ®¹o hµm c¸c ®a thøc cã c¸c tÝnh chÊt sau, trong ®ã f vµ g lµ c¸c ®a thøc cña x trªn ℂ : (i ) (ii ) (iii ) ( f  g )  f   g  , ( fg )  fg   gf  , (f n )  n f n 1 f. 11 Ta nãi f   f ( k 1) (k ) f (k ) lµ ®¹o hµm cÊp k cña ®a thøc f, víi  . 1.2. 1.6 MÖnh ®Ò. Gi¶ sö  lµ ®a thøc hÖ sè phøc, a  ℂ. Khi ®ã nÕu  (k ) rd a ( ≢o th×  (k ) ) k  . Chøng minh. Gi¶ sö  ( x ) = g ( x) f ( x) g ( x) ( x  a) m víi f ( x) , kh«ng cã nghiÖm chung vµ kh«ng nhËn a lµm nghiÖm . Ta cã  ' ( x )  ( x  a ) m 1  (mf ( x)   x  a  f ' ( x)  g  x    x  a  f ( x) g ' ( x)   g ( x)  2 Do rd a ( g ( x ))  0  ( mf nªn vµ . rd a ( x)  ( x  a ) f ' ( x) ) g ( x)  ( x  a) f ( x) g ' ( x)   0 rd a   ' ( x )   m  1 . , Do ®ã '  rd a      rd a (  ' )   - rd a (  )  m  1  m   1. V× vËy   (K ) rd a     =  k     ' ''  (k )      '  ( k 1)  = rd a '  rd a      rd a    ''    '      rd a       =   (k )    ( k 1)      . 1.2.1.7. MÖnh ®Ò. Gi¶ sö f ,g lµ c¸c ph©n thøc , a  ℂ .Khi ®ã rd a ( f  g )  min (rd a f , rd a g ) . Chøng minh . Gi¶ sö f ( x )  ( x  a ) k1 f 1 ( x) f 2 ( x) , 12 g ( x) trong ®ã = ( x  a) k 2 g1 ( x) g 2 ( x) kh«ng nhËn a lµm nghiÖm . §Æt f1 , f 2 , g1 , g 2 k  min ( k 1 , k 2 ) . Ta cã f ( x)  g ( x)   ( x  a ) k ( x  a ) k1  k f1 ( x ) g 2 ( x)  ( x  a ) k 2  k f 2 ( x) g1 f 2 ( x ) g 2 ( x) . Do f 2 g 2 kh«ng nhËn a lµm nghiÖm nªn rd a ( f  g )  k  min(rd a f , rd a g ) 1.2.1.8. §Þnh nghÜa. Gi¶ sö f1 , f 2 , ..., f n lµ c¸c hµm ph©n thøc a) Ta gäi Wronskian cña chóng lµ f1 f 2 . . f n f '1 f '2 . . f 'n W ( f )  W f1,. ., f n  . . . . . . . . . . . . . . f1(n1) f 2(n1) . . f n(n1) b) Gi¶ sö r»ng fi ≢ 0 víi mäi i, vµ f1  f 2    f n  1 LÊy ®¹o hµm tuyÕn tÝnh: ( n  1) . lÇn, thu ®îc mét hÖ ph¬ng tr×nh 13 f1  f 2    f n  1  f   f     f n  f  0  f  1  f  n  1 n  . . . . . . . . . . . . .  f ( n1)   ( n1)   1  f1     f n f  0.   f1  fn  n     c) Gi¶ sö L( f1,..., fn )  1........1 f1 . . . . . fn f1 fn ........ f1(n1) .... f1 fn(n1) fn vµ Li ( f1,..., f n )  1....1...1 f1 . . . 0 . . . f n f1 fn ............ f1(n1) Khi ®ã f1 ..0... f n(n1) fn 14 L( f )  ¦ W ( f ) vµ t¬ng tù ®èi víi NÕu Li ( f ) f1 , f 2 , ..., f n f1... f n . ®éc lËp tuyÕn tÝnh th× ¦W( f ) ≢ 0 vµ do ®ã L( f ) L(f) ≢ 0 . Ta cã f i  i L( f ) . 1.2.2 §Þnh lý Mason suy réng. Gi¶ sö f1 , f 2 , ..., f n lµ c¸c ®a thøc hÖ sè phøc, nguyªn tè cïng nhau sao cho f 1 , f 2 , ..., f n 1 ®éc lËp tuyÕn tÝnh, vµ tháa m·n hÖ thøc f1  f 2    f n  0 . Khi ®ã  n  ( n  2)(n  1) max (deg f i )  ( n  2)  n0 ( f i )      1i  n 2  i 1  . Chøng minh . Gi¶ sö  1 ,...,  n 1  lµ n  1 chØ sè ph©n biÖt cña tËp c¸c chØ sè 1 , 2 , ... , n . Do (   1) trong ®ã f 1  f 2    f n  0 nªn f1 ,..., f n 1   f1,..., f n 1 (1.2.2.1) f 1 , ... , f n 1 f n 1 f1 f2 . . fn1 W ( f )  f1,. ., fn1  f '1 f '2 . . f 'n1 ....... f1(n2) f2(n2). . fn(n12) lµ Wronskian cña c¸c hµm f1 , ... , 15 Do f 1 , f 2 , ..., f n 1 ®éc lËp tuyÕn tÝnh nªn f1 ,  , f n 1 ≢ 0 vµ do ®ã ≢0. f1 , f  2 ,..., f  n 1 §Æt , f 1 f 2 ... f n 1 f 1 f 2 ... f n = Q (t ) Suy ra f 1 , f 2 , ... , f n 1 = P (t ) f 1 , f 2 , ... , f n 1 f n (t )  (t ) . Q (t ) .Do ®ã . deg f n  deg P  deg Q ,  n  deg Q  ( n  2 )   n 0 ( f i )  . ThËt Tríc hÕt, ta chøng minh  i 1  vËy, gi¶ sö a lµ mét nghiÖm bÊt kú cña n fi mét nghiÖm cña  i 1 Do f 1 , f 2 , ..., Q (t ) . fn nguyªn tè cïng nhau nªn tån t¹i sao cho f i ( a )  0 . Gi¶ sö  1 ,  2 i0 ,1  i0  n , suy ra a lµ 0 , ... ,  n 1 chØ sè cßn l¹i , tõ (1.2.2.1) suy ra Q (t ) §Æt f 1 f  2 ... f  n 1 =  R (t ) f 1 , f  2 ,..., f  n 1 f1 , f 2 , ... , f n1 = f1 f 2 ... f n1 1 1 ... 1 f '1 f ' 2 f1 Suy ra R(t )  f i0 (t ) f 2  f ' n 1 f n 1 . . . . . . . f(n2) f(n2) f(n2) 1 2  n 1 f1 f 2 f n  2 §Þnh thøc trªn b»ng tæng c¸c sè h¹ng cã d¹ng lµ n  1 16 ɣ víi 1  i1 , i 2 ,..., in  n f 'i1  f i (nn22) f i1  f in  2 , (ɣ  1 ) ( n 2) Gi¶ sö r»ng sè h¹ng mµ f i (a)  0 f ' i1  f i n  2 ɣ chøa tÊt c¶ c¸c f i1  f in  2 fi theo mÖnh ®Ò 1.2.1.4 th×  f 'i1  f i n(n2 2 ) rd a   fi  fi 1 n 2    f'   rd a  i1  fi   1   f ( n  2)      rd a  i n2   fi  n2    .   ¸p dông mÖnh ®Ò 1.2.1.6 suy ra  f i (kk ) rd a   fi  k     k   (n  2) , víi mäi ik mµ    f 'i  f i (nn22 ) rd a  1  fi  fi 1 n2       ( n  2) f ik ( a )  0 1 1 k  n fk (a)  0 . V× vËy . ¸p dông mÖnh ®Ò 1.2.1.7 suy ra rd a R (t )   (n  2) 1 1 k  n . fk ( a )  0 Do ®ã, 1 rd a Q (t )   rd a R (t )  ( n  2) 1 k  n . fk ( a )  0 BÊt ®¼ng thøc trªn ®óng víi mäi a lµ nghiÖm cña Q (t ) , theo ®Þnh nghÜa bËc cña ph©n thøc, ta cã: deg Q (t )  ( n  2) n  n0 ( f i ) i 1 B©y giê ta chøng minh deg P   (1.2.2.2) (n  2)(n  1) 2 . ThËt vËy 17 1 1 ... 1 f '1 f1 f ' 2 f ' n1  f 2 f n1 P (t )  ...................... (n 2) f1(n2) f 2( n2) f n1  f1 f 2 f n1 §Þnh thøc trªn b»ng tæng c¸c sè h¹ng cã d¹ng ɣ f ' 1 f 1  f ' ' 2 f 2  f ( n  2) n2 f n2 , (ɣ  1 ) . §èi víi mçi sè h¹ng nµy th×  f '2 f (nn2 2 ) f ' ' 2  deg    f f 2 f  n 2  1   =    f ' 1 deg  f  1  f  n2      deg   f   n2   f ' '2   deg  f   2  ( 1)  ( 2)    (  n  2)       ( n  2)( n  1) 2 . ¸p dông mÖnh ®Ò 1.2.1.2 , suy ra deg P (t )   ( n  2)(n  1) 2 . (1.2.2.3) Tõ (1.2.2.2) vµ (1.2.2.3) ta cã: deg f n  ( n  2) n n i 1 Hoµn toµn t¬ng tù ®èi víi 0 ( fi )  ( n  2)(n  1) . 2 f 1 , f 2 ,  , f n 1 , ta cã  n  ( n  2)(n  1) max (deg f i )  ( n  2)  n0 ( f i )      1i  n 2  i 1  1.2.3. HÖ qu¶. Gi¶ sö nguyªn tè cïng nhau sao cho tÝnh vµ f1  f 2    f n  0 . Khi ®ã . f1 , f 2 , , f n lµ c¸c ®a thøc f 1 , f 2 ,  , f n 1 ®éc lËp tuyÕn 18 1 1 1 1     d1 d 2 dn n2 trong ®ã cña d1 , d 2 , , d n , lÇn lît lµ béi nhá nhÊt cña c¸c nghiÖm f1 , f 2 , , f n . Chøng minh. Tõ gi¶ thiÕt cña ®Þnh lý, ta cã: , d i n 0 ( f i )  deg f i i  1, n n (f ) 1  0 i di deg( f i ) hay . n  n0 ( f i ) 1 .  i 1 di max (deg f i ) n Do ®ã  i 1 1i  n Tõ ®Þnh lý Mason suy réng, ta suy ra max (deg f i )  ( n  2) 1i  n n  V× vËy i 1 n  n0 ( f i ) . i 1 1 1   di n2 1.2.4. HÖ qu¶ . Gi¶ sö nguyªn tè cïng nhau vµ f 1 , f 2 ,  , f n 1 f1 , f 2 , , f n lµ c¸c ®a thøc f1  f 2    f n = 0. Khi ®ã phô thuéc tuyÕn tÝnh nÕu bÊt ®¼ng thøc sau ®©y ®îc tháa m·n 1 1 1 1     d1 d 2 dn n2 , víi d1 , d 2 , , d n lµ béi nhá nhÊt cña c¸c nghiÖm cña Chøng minh . Gi¶ sö ngîc l¹i tÝnh, ¸p dông hÖ qu¶ 1.2.3 ta cã : f1 , f 2 , , f n f1 , f 2 , , f n ®éc lËp tuyÕn 1 1 1 1     d1 d 2 dn n2 §iÒu nµy m©u thuÈn víi gi¶ thiÕt ®Þnh lý Ch¬ng 2 §Þnh lý kiÓu Hu - Yang vµ siªu mÆt . 19 hyperbolic brody p-dic 2.1. Mét sè kiÕn thøc chuÈn bÞ. 2.1.1. Trêng c¸c sè p- adic . Gi¶ sö p lµ sè nguyªn tè cè ®Þnh. §Þnh lý Ostrowski kh¼ng ®Þnh r»ng chØ cã hai c¸ch trang bÞ chuÈn kh«ng tÇm thêng cho trêng c¸c sè h÷u tØ ≢. Më réng theo chuÈn gi¸ trÞ tuyÖt ®èi ta ®îc trêng sè thùc ≢ . Më réng theo chuÈn p- adic ta ®îc trêng ≢P. Ký hiÖu ℂp = ≢P lµ bæ sung ®Çy ®ñ cña bao ®ãng ®¹i sè cña ≢P . Ta gäi ℂp lµ trêng c¸c sè p-adic. ChuÈn trªn ℂp lµ më réng cña chuÈn p-adic trªn ≢P vµ ®îc ký hiÖu lµ . víi z ℂ p ®Æt nÕu z  0   nÕu z  0 , trong ®ã ký hiÖu log lµ log P . v ( z) Víi mçi = r ≢ Dr (a ) = D r (a )  - , log z r  0 ,a  ℂp ta ®Æt z ℂ : z ℂ : p p Dr  Dr (0) , Dr  D r ( 0) . z a  r z a  r ,, , , 2.1.2. §Þnh nghÜa. Chuçi lòy thõa p- adic lµ mét chuçi hµm cã d¹ng   an z n n 0  a 0  a1 z    a n z n   trong ®ã a i (i  0,1,...) lµ c¸c h»ng sè p-adic. Mét chuçi lòy thõa p-adic héi tô trªn ℂp ®îc gäi lµ mét hµm chØnh h×nh hay hµm nguyªn p-adic trªn ℂp .  f ( z)   an z n n o (a n  ℂp). 20 Gi¶ sö  ( x ) lµ hµm ph©n h×nh, ®îc ®Þnh nghÜa bëi  ( x) = f ( x) g ( x) , trong ®ã lµ c¸c hµm chØnh h×nh kh«ng cã kh«ng ®iÓm chung, víi mçi f ( x ), g ( x ) a ℂ p , viÕt  ( x ) díi d¹ng  ( x) f ( x) (k  ≢). k 1 = ( x  a) g ( x) 1 trong ®ã f 1 ( x ) vµ g 1 ( x ) lµ c¸c hµm chØnh h×nh kh«ng nhËn a lµm kh«ng ®iÓm. 2.1.3. §Þnh nghÜa. Ta gäi sè k ®· x¸c ®Þnh nh trªn lµ bËc cña  t¹i a, ký hiÖu rd a  . T¬ng t nh ®a thøc hÖ sè phøc, ta cã c¸c mÖnh ®Ò sau 2.1.4. MÖnh ®Ò. Gi¶ sö  1 ,  2 lµ c¸c hµm ph©n h×nh trªn ℂp , a ℂ (i) p . Khi ®ã rd a (1 2 )  1 rd a    1 (ii) (iii) rd a (     = =- rd a  1 + rd a 2 , rd a 1 , 1 rd a  1 - rd a 2 . 2 ) = 2.1.5. MÖnh ®Ò. Gi¶ sö  lµ hµm ph©n h×nh padic , a ℂ p . Khi ®ã nÕu  (k ) 2.1.6. MÖnh ®Ò. Gi¶ sö p-adic , a ℂ P ≢ 0 th× f ,g   (k ) rd a         k  lµ c¸c hµm ph©n h×nh . Khi ®ã rd a ( f  g )  min(rd a f , rd a g ) . Chøng minh c¸c mÖnh ®Ò 2.1.4, 2.1.5 , 2.1.6 t¬ng tù chøng minh c¸c mÖnh ®Ò 1.2.1.4 , 1.2.1.6 , 1.2.1.7 . 2.1.7. §é cao cña hµm chØnh h×nh p-adic . Gi¶ sö f ( z ) lµ hµm chØnh h×nh p-adic ®îc cho bëi chuçi thõa héi tô. f ( z)   a n o n zn ( an  ℂp ) .