A. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
I. Cơ sở nghiên cứu.
1. Cơ sở lý luận:
Toán học ra đời gắn liền với con người, với lịch sử phát triển và cuộc sống xã
hội loài người nói chung, con người nói riêng. Nó có lí luận thực tiễn lớn lao và
quan trọng, như đồng chí Phạm Văn Đồng đã nói: “Toán học là môn thể thao của
trí tuệ, nó giúp chúng ta rèn luyện tính thông minh và sáng tạo”.
Đại số là một môn đặc biệt của toán học. Nếu đi sâu vào nghiên cứu về môn
đại số chúng ta sẽ thấy được cái không gian ba chiều lí thú mà không bao giờ vơi
cạn của nó. Chính vì vậy mà dạy toán không ngừng được bổ xung và đổi mới để
đáp ứng với sự ra đời của nó và nhu cầu của xã hội .Vì vậy mỗi người giáo viên nói
chung phải luôn luôn tìm tòi, sáng tạo, đổi mới phương pháp dạy học để đáp ứng
với chủ trương đổi mới của Đảng và Nhà nước đặt ra.
Trong chương trình môn toán ở các lớp THCS kiến thức về phương trình vô
tỉ không nhiều song lại rất quan trọng đó là những tiền đề cơ bản để học sinh tiếp
tục học lên ở THPT.
Khi giải toán về phương trình vô tỉ đòi hỏi học sinh nắm vững các kiến thức
cơ bản về căn thức, phương trình, hệ phương trình, các phép biến đổi đại số...Học
sinh biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức, kỹ năng từ đơn giản đến phức
tạp. “Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ” giúp học sinh phát triển tư duy,
phát huy tính tích cực chủ động, sáng tạo trong giải toán. Đồng thời giáo dục tư
tưởng, ý thức, thái độ, lòng say mê học toán cho học sinh.
22
2. Cơ sở thực tiễn:
Phương trình vô tỉ là loại toán khó đối với học sinh THCS, nhiều học sinh
không biết giải phương trình vô tỉ như thế nào, chưa nắm vững có những phương
pháp nào. Các bài toán về phương trình vô tỉ là một dạng toán hay và khó, có nhiều
trong các đề thi học sinh giỏi các cấp, thi vào lớp 10 THPT. Tuy nhiên, các tài liệu,
các sách tham khảo, sách giáo viên cũng chưa có sách nào đề cập chi tiết cụ thể các
phương pháp giải loại toán này. Có chăng chỉ là gợi ý chung, sơ lược và đưa ra lời
giải các bài toán một cách rời rạc. Đặc biệt trong sách giáo khoa lớp 9 dạng bài
toán này cũng chưa được đưa vào phân phối chương trình mà chỉ lồng ghép ở phần
bài tập trong chương I căn bậc hai, căn bậc ba. Đây là một vấn đề quan trọng và
bức thiết. Lâu nay chúng ta đang tìm kiếm một phương pháp dạy học sinh giải
dạng toán này sao cho đạt hiệu quả cao nhất.
Vì vậy việc nghiên cứu các phương pháp giải phương trình vô tỉ là rất thiết
thực, giúp giáo viên nắm vững nội dung và xác định được phương pháp giảng dạy
phần này đạt hiệu quả, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học, dặc biệt là chất
lượng học sinh giỏi và giáo viên giỏi ở các trường THCS.
- Bài kiểm tra khảo sát trước khi áp dụng sáng kiến:
Lớp
Sĩ số
9A
9B
31
30
Giỏi
SL
%
1
3,2%
2 6,7%
Khá
Trung bình
SL
%
SL
%
3
9,7%
8 25,8%
4 13,3% 6
20%
Yếu
Kém
SL
%
SL
%
14 45,2% 5 16,1%
12 40% 6
20%
II. Mục đích nghiên cứu:
+ Nghiên cứu về “phương pháp giải phương trình vô tỉ trong chương trình
toán THCS”. Giúp giáo viên nâng cao năng lực tự nghiên cứu, đồng thời vận dụng
tổng hợp các tri thức đã học, mở rộng, đào sâu và hoàn thiện hiểu biết. Từ đó có
phương pháp giảng dạy phần này có hiệu quả.
+ Nghiên cứu vấn đề này để nắm được những thuận lợi, khó khăn khi dạy học
phần phương trình vô tỉ trong bồi dưỡng học sinh khá giỏi, từ đó định hướng nâng
cao chất lượngdạy và học môn toán.
+ Nghiên cứu vấn đề này còn giúp giáo viên có tư liệu tham khảo và dạy
thành công về phương trình vô tỉ.
III. Nhiệm vụ nghiên cứu:
1. Nghiên cứu về tình hình dạy học và học vấn đề này ở nhà trường.
22
2. Tìm hiểu mức độ và kết quả đạt được khi triển khai đề tài.
3. Phân tích rut ra bài học kinh nghiệm.
4. Hệ thông hoá một số phương pháp giải phương trình vô tỉ.
IV. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu:
1. Đối tượng nghiên cứu:
a) Các tài liệu.
b) Giáo viên, học sinh khá giỏi ở trường THCS Thụy Lương.
2. Phạm vi nghiên cứu:
Các phương pháp để giải phương trình vô tỉ thường gặp ở THCS
V. Phương pháp nghiên cứu:
1. Phương pháp nghiên cứu tài liệu.
2. Phương pháp điều tra, khảo sát.
3. Phương pháp thử nghiệm
4. Phương pháp ttổng kết kinh nghiệm
VI. Giả thuyết khoa học:
Nâng cao chất lượng dạy và học trong và sau khi nghiên cứu áp dụng sáng
kiến kinh nghiệm, giúp cho giáo viên dạy có hiệu quả cao hơn, học sinh ham thích
học dạng toán này hơn
B. NỘI DUNG
Khái niệm về phương trình vô tỉ:
- Khái niệm: Phương trình vô tỉ là phương trình đại số chứa ẩn trong dấu căn thức
(ở đây tôi chỉ đề cập đến những phương trình mà ẩn nằm dưới dấu căn
bậc hai và
căn bậc ba)
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ:
* Phương trình vô tỉ rất phong phú và đa dạng, hướng chung để giải quyết phương
trình vô tỉ là làm cho phương trình được chuyển về dạng hữu tỉ. Sau đây là một số
phương pháp giải phương trình vô tỉ.
I. Phương pháp nâng lên luỹ thừa:
1. Kiến thức vận dụng:
+ (A B)2 = A2 2AB + B2
22
+ (A B)3 = A3 3A2B + 3AB2 B3
+
g(x) 0
f(x) g(x) 2
f(x) g(x)
+ 3 A m A m 3
2. Ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 2 2 x 1 x (1)
Giải:
Điều kiện căn có nghĩa: 2 x 1 0
x
(2)
1
2
(1) 2 x 1 x 2
Với điều kiện x 2 0
(3)
(4)
(3) 2x - 1 = (x-2)2
(5)
2x 1 x 2 4x 4
x 2 6 x 5 0
Giải ra ta được x1=1 không thoả mãn (4)
x2 = 5 thoả mãn (2) và (4) nghiệm duy nhất của phương trình: x = 5
Ví dụ 2: Giải phương trình: x 1 5 x 1 3x 2 (1)
Giải:
x 1 0
Phương trình (1) có nghĩa: 5 x 1 0 x 0 (2)
3x 2 0
(1) x 1 3x 2 5 x 1
Hai vế đều dương, bình phương hai vế ta được
x 1 3 x 2 5 x 1 2 (3x 2)(5 x 1)
2 7 x 2 15 x 2 13x 2
2 7 x 0
2
2
4(15 x 13x 2) (2 7 x) (3)
2
7
Giải (3) ta được: x không thoả mãn (1).
- Vậy phương trình vô nghiệm.
22
Ví dụ 3: Giải phương trình x 1 x 2 1 (1)
Giải:
Điều kiện: x 2
(2)
Viết PT (1) dưới dạng
x 1 x 2 1
(3)
Hai vế của (3) không âm, bình phương hai vế ta được
x 1 x 2 1 2 x 2
2 2 x 2
x 2 1 x 2 1 x 3 thoả mãn điều kiện (2)
- Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x= 3
3. Lưu ý:
+ Nếu để (1) bình phương ta phải đặt ĐK
x+1 x 2 (Đk này luôn đúng)
+ Nếu biến đổi (1) thành x 2 x 1 1 rồi bình phương hai vế ta phải đặt ĐK:
x 1 1 x 0
Ví dụ 4: Giải phương trình: 3 x 1 2 3 7 x
(1)
Giải:
(1)
3
x 1 3 7 2 x 2
(3 x 1 3 7 x ) 3 2 3
3
( x 1)(7 x) 0
Giải (1) ( x 1)(7 x) 0
x1 1; x 2 7
Vậy x1 = -1; x2 = 7 là nghiệm của phương trình
Chú ý:
- Khi bình phương hai vế của phương trình cần chú ý điều kiện hai vế cùng dương.
- Trước khi lên luỹ thừa cần biến đổi phương trình về dạng thuận lợi nhất để hạn
chế các trường hợp hoặc có lời giải ngắn gọn.
Ví dụ 5: Giải pt: x 2 4 x 4 x 8 (1)
Giải:
( x 2) 2 x 8
x 2 + x 8
22
+ Nếu x 2 thì x 2 x 8 x 5
+ Nếu x < 2 thì 2 x x 8 vô nghiệm
- Vậy x = 5 là nghiệm của pt
4. Bài tập tương tự:
Giải các pt sử dụng phép bình phương.
1) x2-4x =8 x 1
2) 2 x 2 8 x 6 + x 2 1 = 2x+2
(x = 4 + 2 2 )
7
7
+ x 2 = x
2
x
x
x 1 - x 2 = x 5 - x 10
3)
(x = 2)
x2
4)
(x = -1)
* HD: Sử dụng phép lập phương:
1)
3
x 1 + 3 x 2 = 3 2x 3
(x = 4; 2)
2)
3
x 1 + 3 x 1 = 3 5x
(x = 0;
3)
3
x 1 + 3 3x 1 = 3 x 1
(x = - 1)
4) 3 1 x + 3 1 x =1
(x =
5
)
2
28
)
27
II. Phương trình đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.
1.Kiến thức vận dụng :
+)
f(x) nêu f(x) 0
f(x) f(x)
f(x) nêu f(x) 0
2
+) Phương pháp giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
2. Ví dụ:
Ví dụ 6: Giải phương trình : x 2 4 x x 2 +
x 7 6 x 2 1 (1)
Giải:
Điều kiện : x-2 0 hay x 2
(2)
( x 2 2) 2 ( x 2 3) 2 1
x 2 2
x 2 3 1
- Cách 1: Chia các trường hợp để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
- Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức a b a b , dấu “=” xảy ra khi a,b > 0.
Khi đó
x 2 2 3
Dấu “=”xảy ra khi:
x 2 x 2 23
x 2 2 3
x 2 1
(3)
x 2 0 (4)
22
Giải (4) ta được: 6 x 11 Thoả mãn (2)
- Vậy nghiệm của phương trình (1)là : 6 x 11
3. Chú ý :
+ Phương pháp này thường được áp dụng khi các biểu thức trong dấu căn bậc hai
viết được thành bình phương của một biểu thức.
+ Có những phương trình cần phải biến đổi mới có dạng trên.
4. Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau:
1)
x 2 2 x 1 x 2 2 x 1 2
x 1
2)
x x2 1
x 2
3)
x 2 3 2x 5 x 2
x
x2 1 2
2 x 5 2 2
5
x 3
2
III. Phương pháp đặt ẩn phụ:
1. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình ẩn mới:
Ví dụ 7: Giải phương trình x 2 5 x 13 4 x 2 5 x 9
(1)
Giải:
5 11
2
Ta có : x 5 x 9 x > 0
2
Đặt:
4
x 2 5 x 9 y 0 x 2 5 x 9 y 2
Khi đó (1) y2 + 4 = 4y
y 2
x 2 5 x 5 4
x 2 5 x 5 0
5 5
x
2
5 5
x
2
Ví dụ 8: Giải phương trình: x x 1 x 1 2
2
4
(1)
Giải:
Điều kiện: x 4
Đặt:
x
(2)
1
y 0
4
x y2
1
4
22
Khi đó (1) trở thành y 2
1
1
( y ) 2 2
4
2
2 21
0
y
2
2
4 y 4 y 7 0
2 21
y
2
Trường hợp y
2 21
< 0 (loại)
2
x 2
2 , thoả mãn điều kiện (2)
- Vậy nghiệm của phương trình là : x 2 2
Ví dụ 9: Giải phương trình:
3
x 1 3 x 3 3 x 3 0
(1)
Giải:
Đặt:
x 2 y
(1)
3
y 3 1 3 y 3 1 y
Lập phương hai vế ta có : y 3 y 3 y 6 1
y 0
2
6
y 3 y 1
(+) Nếu: y 0 3 x 2 0 x 2
(+) Nếu y 2 3 y 6 1 y 6 y 6 1 , vô nghiệm
Vậy nghiệm của phương trình là : x = -2
2. Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình:
a. Dạng: ax b r (ux v) dx e
(1)
Với a, u, r 0
Đặt u. y v ax b
Khi đó phương trình (1) đưa được về dạng :
u ( x y )(ruy rux 2ur 1) 0
Ví dụ 10: Giải phương trình: 2 x 15 32 x 2 32 x 20 (1)
Giải:
Điều kiện: 2 x 15 0 x
15
2
Khi đó: (1) 2 x 15 2(4 x 2) 2 28 (2)
22
Đặt: 4 y 2 2 x 15
(3)
Điều kiện: 4 y 2 0 y
1
2
Khi đó (2) trở thành
(4x + 2)2 = 2y + 15 (4)
Từ (3) ta có :
(4y + 2)2 = 2x + 15 (5)
4x 2 2 2y 15 (4)
Từ (4) và (5) có hệ:
2
(4y 2) 2 x 15 (5)
Trừ vế với vế của (4) cho (5) ta được (x- y)(8x + 8y + 9) = 0
+) Nếu: x-y = 0 x y thay vào (5) ta được : 16x2 + 14x-11 =0
1
x 2
x 11
8
với x
11
, loại
8
+) Nếu 8x + 8y + 9 = 0
2
8 y 8 x 9 , Thay vào 9 (4) ta được: 64x + 72x-35 = 0
9 221
(loai)
x
16
9 221
x
16
- Vậy nghiệm của phương trình là: x1
1
9 221
; x2
2
16
b) Dạng:
3
(1)
ax b r (ux v ) 3 dx e
Đặt uy v 3 ax b
(1) đưa được về dạng: u ( y v)(rP 2 rPQ rQ 2 1) 0
Trong đó:
P uy v ; Q ux v
Ví dụ 11: Giải phương trình: 3 3x 5 8 x 3 36 x 2 53x 25
(1)
Giải:
(1) 3 3x 5 =(2x-3)3-x+2
(2)
Đặt :2y-3= 3 3x 5
22
3 x 5 (2 y 3) 3
(3)
khi đó (2) 2 y x 5 (2 x 3) 3
(4)
3 x 5 (2 y 3) 3
Từ (3),(4) có hệ :
2 y x 5 (2 x 3) 3
Trừ vế với vế ta được :
( x y )( P 2 Q 2 PQ 1) 0
(5)
Trong đó : P 2 y 3
Q 2 x 3
Vì: P 2 Q 2 P.Q 1 0
Do đó :(5) x y
x, y
Thay vào (3) ta được:
(x-2).(8x 2 -20+11) = 0
x1 = 2 ; x2 = 5 3 ; x3= 5 3
2
2
c. Một số dạng khác:
Ví dụ 12: Giải phương trình: 3 x 2 x 1 3
(1)
Giải :
Điều kiện: x 1 (2)
Đặt:
3
x 2 y x 2 y3
x 1 z 0 x 1 z 2
z 2 y 2 3
Với điều kiện (2) thì (1) đưa về hệ:
y z 3
2
2
z y 3
z 0
y 1
z 2
Giải hệ này ta được:
Từ đó suy ra:
x = 3 là nghiệm của phương trình (1)
1
1
2
Ví dụ 13: Giải phương trình: x
2 x2
(1)
Giải:
x 0
Điều kiện:
2x 2
22
Đặt: 2 x 2 y 0 x 2 y 2 2
x 2 y 2 2
Ta có hệ: (1) 1 1
x y 2
Đặt: x + y = S ; xy = P
P 1, S 2
S 2 2 P 2
(1)
P 1 , S 1
S
2
P
2
+ Trường hợp 1: Ta được x=y=1; Trường hợp 2:
1 3
x
2
y 1 3
2
- Vậy x = 1; x =
hoặc
1 3
x
2
y 1 3
2
1 3
là nghiệm của phương trình.
2
3. Chú ý:
* Giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ giúp ta giải được nhiều bài
toán khó, tuy nhiên để đặt cái gì làm ẩn phụ và có mấy ẩn phụ thì phải biết nhận
xét và tìm mối liên quan giữa các biểu thức trong phương trình, liên quan giữa các
ẩn
* Cần phải có kỹ năng giải phương trình và hệ phương trình.
4. Bài tập áp dụng:
1) x 2 2 x 9 6 4 x 2 x 2
2) x 2 x 1 x 2 x 1 4
3) x 1 2 x x 4 4 x 1
(Đặt
4) 3 x 3 8 2 x 2 6 x 4
(Đặt: x 2 a, x 2 2 x 4 b )
5) 5 x 3 1 2( x 2 2)
(Đặt:
6)
7)
8)
x
3
1
1
1 x
x
x
(Đặt x y;1 x 4 )
a x 1; b x 2 x 1 ; x
5 37
)
2
(Đặt: x 1 a; 1 1 b; x 1 5 )
x
x
2
2 x x 1 1
(Đặt 3 2 x a; x 1;2;10 )
3 x 1 4 x 2 13x 5
(Đặt 2 y 3 3x 1, x 1; 11 ; 11 37 )
9) x 2 4 x 3 x 5
10)
x 1 y 0; x 5 )
x 3 2 33 3 2
4
8
(Đặt x 5 y 2, x 1; 5 29 )
2
(Đặt 3x 2 y, x 1; 2)
22
IV. Phương pháp bất đẳng thức:
1. Chứng tỏ tập giá trị ở hai vế rời nhau khi đó phương trình vô
nghiệm:
* Phương trình: f(x) = g(x)
Nếu tập giá trị của f(x), g(x) lần lượt là: S1, S2 mà S1 giao với S2 bằng rỗng thì
phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 14: Giải phương trình:
x 3
7 x 3 5 x 2 (1)
Giải:
Điều kiện: x 3
Với điều kiện này thì: x 3 7 x 3
Khi đó vế trái của (1) âm, còn vế phải dương do đó phương trình (1) vô nghiệm
2. Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế:
* Phương trình F(x) = G(x) (1)
Nếu: F(x) K, dấu đẳng thức sảy ra khi x = a
G(x) K, dấu đẳng thức sảy ra khi x=b
(k,a,b là các hằng số)
+) a = b (1) có nghiệm là: x = a
+) a b (1) vô nghiệm
Ví dụ 15: Giải phương trình: 3x 2 6 x 7 5 x 2 10 x 14 4 2 x x 2 (1)
Giải:
Vế trái: 3( x 1) 2 4 5( x 1) 2 9 4 9 5
Vế phải: 4-2x –x2 = 5- (x+1)2 5
Do đó cả hai vế đều bằng 5 khi x = -1, với giá trị này cả hai bất đẳng thức trên đều
là đẳng thức.
- Vậy x = -1 là nghiệm của phương trình.
Ví dụ 16: Giải phương trình: 6 x x 2 x 2 6 x 13
(1)
Giải:
Sử dụng bất đẳng thức: a1b1 a 2 b2 a1 2 a 2 2 . b1 2 b2 2
a
a
1
2
(Với dấu “=” xảy ra khi b b )
1
2
Vế trái: 6 x x 2 12 12 . 6 x x 2 4
22
Dấu “=” xảy ra khi x=3
- Vậy phương trình vô nghiệm.
3. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số:
* Ta chỉ ra nghiệm cụ thể và chứng minh được các trường hợp khác của ẩn không
là nghiệm của phương trình .
Ví dụ 17: Giải phương trình: 3 x 2 x 1 3
(1)
Giải:
Ta thấy x = 3 nghiệm đúng phương trình.
+ Với x > 3 thì 3 x 2 1, x 1 2 vế trái của (1) lớn hơn 3
+ Với -1 x 3 thì
3
x 2 1, x 1 2 vế trái của (1) nhỏ hơn 3
- Vậy x = 3 là nghiệm duy nhất của phương trình.
4. Sử dụng điều kiện xảy ra dấu “=” ở bất đẳng thức không chặt .
Ví dụ 18: Giải phương trình:
x
4x 1
4x 1
2
x
(1)
Giải:
Điều kiện: x >
1
4
(2)
Sử dụng bất đẳng thức:
a b
2
b a
Với a,b > 0 thì dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b
Do đó:
x
4x 1
4x 1
2
x
Dấu “=” xảy ra x 4 x 1
x 2 4 x 1 0
x 2 3
Thoả mãn (2)
- Vậy nghiệm của phương trình là: x = 2 3
5. Bài tập áp dụng:
1) x 4 6 x x 2 10 x 27
(x = 5)
2) 3x 2 12 x 6 y 2 4 y 13 5
(x = y = 2)
3) x 2 6 x 2 x 2 1
(Vô nghiệm)
22
4) x 1 x 3 2. ( x 1)( x 2 3x 5) 4 2 x
16
5)
x 3
4
y 1
1225
z 665
V. Phương pháp đưa phương trình về hệ phương trình:
1. Ví dụ:
Ví dụ 19: Giải phương trình:
x2
x 6 2
Giải:
Điều kiện x ≥ 6.
Đặt a =
x2,
Ta có hệ:
b=
ab2 ab2 a3 x23 x29
2 x7
a b8 ab4 1 x61 x61
x 6;
a, b không âm.
(TM)
Vậy x = 7 là nghiệm của phương trình.
Ví dụ 20: Giải phương trình:
3
x 1
3
x 3 3 2
Giải:
Đặt a = 3
x 1 ; b3 x 3 ,
2ba 2ba 2ba
3 3 2 2 3 2 3
2ba a b ba 4 (a b) 3ab 4
3 3
từ đó ta có hệ phương trình.
3
a b 3 2
ab 0
22
b 3 2
a 3 2
hoặc
b 0
a 0
- Nếu
b 3 2
suy ra x = 1
a 0
a 3 2
- Nếu
suy ra x = 3
b 0
Vậy nghiệm của phương trình là S = {1 ; 3}
Ví dụ 21: Giải phương trình:
3
x
1
1
x 1
2
2
Giải:
Điều kiện x ≤
1
2
1
2
Đặt a 3 x ; b
1
x
2
; (b ≥ 0), từ đó ta có hệ.
ab1 ab1 ab1
3 2 3 2 3 2
1ba a (1 ) 1a aa a 02
a 0
a 1
hoặc hoặc
b 1
b 0
a 2
b 3
Từ đó ta tính được giá trị của x là
1
2
;-
1
2
;-
17
2
Vì b và x đều thỏa mãn điều kiện nên tập nghiệm phương trình là:
1
S={2 ;-
1
2
;-
17
2
}
Ví dụ 22: Giải phương trình: -x2 + 2 =
2 x
22
Giải:
Điều kiện x ≤ 2.
Đặt y =
2 x
≥ 0, từ đó ta có hệ:
2 2 2
x 2y x y2 x y2
2 2 2
y 2x yx x y xy0
x 2 y 2
hoặc
x y 1
x2 y 2 x y 1
Nếu
x y 0 x y 2
Nếu
1 5
x
x2 y 2 2
x y 1 1 5
y 2
Đối chiếu với ĐK ta suy ra tập nghiệm của phương trình là: S = {1 ;
1
5
2
}
Ví dụ 23: Giải phương trình: x3 + 1 = 2 3 2x 1
Giải:
3
Đặt y = 3 2x 1 , từ đó ta có hệ:
3
x 12y x 12y (1)
3 3 3
y 12x x y 2(x y) (2)
(2) (x y)(x 2 xy y 2 ) 0
x y 0 x y
22
Thay vào (1) ta được:
x 1
x3 - 2x + 1 = 0 1 5
x
2
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {1 ;
Ví dụ 24: Giải phương trình:
1 5
2
}
x.3 35 x 3 .(x 3 35 x 3 ) 30
Giải:
Đặt y = 3 35 x 3 , từ đó ta có hệ:
xy( y) 30 xy( y) 30 xy( y) 30 y6x
3 3 3 3
x y35 (x y) 3xy( y) 35 (x y) 125 xy5
x 3
x 2
hoặc
y 3
y 2
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {2 ; 3}
2. Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau :
1)
x2
2)
3
x 1 3 x 3 3 2
3)
3
x 2 3 x 3 3 2x 1
4)
3
x 1 x 2 1
5)
x 2 3 (16 x 3 ) 2 8
6)
(x 3) 4 (x 5) 4 2
x 5 5
VI. Phương pháp tìm nghiệm hữu tỉ của phương trình vô tỉ:
1. Phương pháp :
22
Xét đẳng thức A
c B ,
với A, BQ, c N nhưng không là số chính
phương.
Khi đó , nếu AB
0 thì c
A
B
c
, vô lí vì
I còn
Do đó AB = 0 suy ra A = B = 0.
2. Một số ví dụ :
Ví dụ 25: Tìm các số hữu tỉ m, n thỏa mãn:
m n
A
Q .
B
2
Giải:
Điều kiện m, n ≥ 0. Bình phương hai vế ta được.
( m n ) 2 2 m n 2 m.n 2
2 m.n 2 m n (2 m.n ) 2 ( 2 m n) 2
4mn 2 (m n) 2 2 2 (m n)
Vì (m-n)2 > 0 nên không tồn tại m,n thỏa mãn.
Ví dụ 26: Tìm nghiệm hữu tỉ của phương trình:
2 3 3 x 3
y 3
Giải:
Điều kiện x ≥ y ≥ 0. Bình phương hai vế ta được.
2 3 3 3 x 2 3 xy
3y
2 xy x y
4 xy ( x y 2) 2 3 2 3 ( x y 3 2)
3 2
Từ đó x + y = 2 ; xy =
3
4
x=
3
2
;y=
1
2
(vì x ≥ y)
Ví dụ 27: Chứng minh phương trình sau không có nghiệm hữu tỉ.
x y 3 1
3
Giải:
Bình phương hai vế ta được.
(x y 3 ) 2 1 3
x 2 3y 2 2 3xy 1 3
x 2 3y 2 1 3 (1 2xy)
1
xy ; x 2 3y 2 1 0
2
xy 0
và y
1 2
3
; x 2 1 0
2x
4x
22
Vậy phương trình không có nghiệm hữu tỉ.
Ví dụ 28: Chứng minh rằng không tồn tại x, y Q, nN thỏa mãn đẳng thức :
x y 3
n
1 3
Giải:
Với n = 1 ta đã giải trong ví dụ 3
Xét với n > 1 khi triển khai đa thức ta được:
A B 3 1
3
, với A, B
Q. cũng không có nghiệm hữu tỉ.
Ví dụ 29: Tìm các số hữu tỉ a và b biết
2
là nghiệm của phương trình:
x3 + ax2 + bx – 4 = 0
Giải: Thay x =
2
2
2
ta được:
+ 2a + b - 4 = 0
2 (b 2) 4 2a
b + 2 = 0 ; 4 – 2a = 0 a = 2 ; b = -2
3. Bài tập áp dụng:
x y 2 3
Bài 1: Tìm nghiệm hữu tỉ của phương trình:
Bài 2 : Chứng minh số : 99999 + 11111 3 không thể viết dưới dạng
A B 3 , trong đó A, B N.
2
Bài 3 : Cho đẳng thức : a b 2 c3 2 0 , với a, b,c Q.
Chứng minh rằng a = b = c =0
VII. Những sai lầm thường gặp khi giải phương trình vô tỉ:
1. Sai lầm thường gặp:
* Khi giải phương trình vô tỉ cần tránh những sai lầm sau:
+ Không chú ý đến điều kiện có nghĩa của căn thức.
+ Không đặt điều kiện có nghĩa của căn thức.
* Để giải phương trình vô tỉ thành thạo thì các kiến thức sau cần nắm vững.
+ Các phép biến đổi căn thức.
+ Các phép biến đổi biêủ thức đại số.
+ Các kiến thức và phương pháp giải các phương trình và hệ phương trình.
+ Các kiến thức về bất đẳng thức...
2.Ví dụ:
Ví dụ 30: Giải phương trình: (x+3) = 0 (1)
22
- Lời giải sai: Ta có (1)
* Nhận xét: Rõ ràng x = -3 không là nghiệm của phương trình trên.
- Ghi nhớ rằng: A = 0
Ví dụ 31: Giải phương trình: = x+2.
- Lời giải sai:
= x+2
* Nhận xét: Rõ ràng x = -3 không là nghiệm của phương trình trên.
- Ghi nhớ rằng: = B
Ví dụ 32: Giải phương trình: = 1
- Lời giải sai:
= 1 =1
=
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
* Nhận xét: Em nghĩ như sao nếu x = -7 là nghiệm của phương trình trên.
- Ghi nhớ rằng:
A
B
A
khi A 0; B 0
B
A
khi A 0; B 0
B
Như vậy lời giải trên đã bỏ sót trường hợp A ≤ 0; B< 0 nên mất nghiệm x = -7.
Ví dụ 33: Giải phương trình: 2. + = +
- Lời giải sai: Ta có
2. + = +
2. + = +
=
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 2.
* Nhận xét: Ta thấy ngay x = 2 không là nghiệm của phương trình trên.
- Ghi nhớ rằng: + = +
Ví dụ 34: Giải phương trình: + = 2
- Lời giải sai:
+ =2
. + .=2.
22
- Xem thêm -
.DOC 
27 
644 
71 
