Tài liệu Giải biện luận phương trình bậc hai cực hay

Chuyên đề : Giải và biện luận phương trình bậc hai : ax 2  bx  c  0(2) Tóm tắt lý thuyết A/ Giải và biện luận: Phương trình ax2  bx  c  0(2) - a  0 : phương trình trở về phương trình bậc nhất bx + c = 0. - a �0 : Đặt   b2  4ac +   0 : pt(2) vô nghiệm. +   0 : pt(2) có nghiệm kép x   b . 2a b   b   +   0 : pt(2) có 2 nghiệm phân biệt x  ; x 2a 2a Kết luận: liệt kê từng trường hợp của tham số ứng với nghiệm của phương trình. B/ Hệ thức Vi-et  Hai số x1; x2 là hai nghiệm của phương trình ax2  bx  c  0(2) khi và chỉ khi chúng thỏa các hệ thức: x1  x2   b c va` x1.x2  . a a  Một số ứng dụng của hệ thức Vi-ét: - Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai. - Tìm hai số biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình: X2  SX  P  0 ( Điều kiện tồn tại hai số trên là S2  4P �0 ) - Phân tích một tam thức bậc hai thành nhân tử: Nếu đa thức f(x)  ax 2  bx  c có hai nghiệm x1; x 2 thì nó có thể phân tích thành nhân tử f(x)  a(x  x1 )(x  x 2 ) - Tính giá trị các biểu thức đối xứng của hai nghiệm của phương trình bậc hai: b a c a + S  x1  x2   ; P  x1.x 2  . + x12  x22  S2  2P + x13  x32  S3  3SP C/ Các trường hợp về số nghiệm và dấu các của phương trình: b a Cho phương trình ax2  bx  c  0(2) . Đặt S  x1  x2   ; P  x1.x2  c trong đó x1; x 2 là 2 nghiệm a của phương trình (2) � �a  0 � � �b  0 � �c �0 1/ Pt(2) vô nghiệm � � � � � �a �0 � � 0 � � � �a  0 � � �b �0 � 2/ Pt(2) có đúng 1 nghiệm � � �a �0 � � 0 � � � � �a �0 3/ Pt(2) có 2 nghiệm phân biệt � � 2   b  4ac  0 � �a  0 � 4/Pt(2) có VSN � �b  0 �c  0 � 5/ Pt(2) có 2 nghiệm trái dấu � x1.x2  0 � P  0 �  �0 � 6/ Pt(2) có 2 nghiệm dương � 0  x1 �x2 � �P  0 �S  0 � �x1 x2 0 7/ Pt(2) có 2 nghiệm âm ۣۣ �  �0 � �P 0 �S  0 � � �a �0 � a  0; x>0 � � � � a0 �  0 � � � � x1  0  x2 � c � � � �� x    0 � �S  0 8/ Pt(2) có đúng 1 nghiệm dương � � � � � x  x2  0 b � � 1 � �P  0 � x1  0 �x 2  0 � P0 � � � � �S  0 � �a �0 � a  0; x<0 � � � � a0 0 � � � � � x  0  x � c � 1 2 �� x    0 �� 9/ Pt(2) có đúng 1 nghiệm âm � � �S  0 � � x1  x2  0 � � b � � � �P  0 � x1  0 �x 2  0 � � P0 � � �S  0 � � � a0 �a �0 � � � a  0; x>0 � c � � x 0 �  �0 � � � � ۣ� � x1 0 x 2 b � 10/ Pt(2) có ít nhất 1 nghiệm dương ۣ � � �S  0 � P �0 x1 �x2  0 � � � � �P  0 � � � �S  0 �a �0 b �x   2a 0 � 11/Pt(2) có nghiệm kép � � � a  0; x>0 � ۣ �� � x1 0 x2 12/ Pt(2) có ít nhất 1 nghiệm âm ۣ � x1 �x2  0 � � � a0 � � � c � x 0 � � b � � P �0 � � � � �S  0 � �a �0 �  �0 � � �S  0 � �P  0 Các dạng bài tập áp dụng: I/ Dạng : Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu quy về phương trình bậc 2: Phương pháp: - Đặt điều kiện: (Tìm tập xác định của phương trình). - Quy đồng khử mẫu, quy về phương trình bậc hai. - Giải phương trình, so với điều kiện để nhận nghiệm. Ví dụ 1: Giải phương trình 2x  5 3x  2  5 x3 x Giải Điều kiện: x ‫ٹ‬3� x 0 Pt � (2x  5)x  (3x  2)(x  3)  4x(x  3) �x  6(nhan) � x2  6 � � � x   6(nhan) � Nghiệm phương trình x  � 6 Bài tập: Giải các phương trình 2x  1 x  1 3x  7   2 x  2 x  3 x  5x  6 2x  1 x  1 5x  1   2/ x  4 x  1 x2  5x  4 1/ II/ Dạng: Giải và biện luận phương trình: Ví dụ: Giải và biện luận phương trình (m  2)x2  2(m  1)x  m  5  0 Giải * m  2  0 � m  2 : Pt � 6x  3  0 � x   1 2 * m �۹ 2  0 m 2 : ' (m 1)2 (m 2)(m 5) 9m 9 9(m 1) +  '  0 � 9(m  1)  0 � m  1 : Phương trình vô nghiệm. m 1  2 . +  '  0 � 9(m  1)  0 � m  1 : Phương trình có nghiệm kép x  m2 +  '  0 � 9(m  1)  0 � m  1 : Phương trình có 2 nghiệm phân biệt � m 1 3 m 1 x � m2 � � � m 1 3 m 1 x � � m2 Kết luận: + m < 1: Phương trình vô nghiệm + m = 1: phương trình có nghiệm x = -2 + m = 2: phương trình có nghiệm x   1 2 � m  1 3 m 1 x � m 2 � + 1  m �2 : phương trình có 2 nghiệm phân biệt � m 1 3 m 1 x � � m 2 Bài tập áp dụng: 1/ (m  1)x2  (2m  3)x  m  2  0 2/ (m  1)x2  2(m  2)x  m  4  0 3/ (m  1)x2  2(m  1)x  3m  1  0 4/ (m  1)x 2  (2  m)x  1  0 III/ Dạng : Tìm giá trị của m để phương trình a.x 2  bx  c  0 có hai nghiệm phân biệt, chứng minh phương trình luôn có nghiệm: Phương pháp: tính   b2  4ac nếu  �0 thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt Ví dụ 1: Tìm m để phương trình x2 + 5x + ( m - 4 ) = 0 có hai nghiệm phân biệt Giải Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì   25  4  m  4   0 � 41  4m  0 41 �m 4 Ví dụ 2: cho phương trình x2 -2( m + 1 )x +4m = 0 a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m x1 x2 5   b) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 và x2 thoả mãn điều kiện x2 x1 2 Giải a) Ta có 2    m  1  4m  m 2  2m  1   m  1 �0 b) Theo vi ét ta có x1.x 2  2( m  1); x1  x 2  4m 2 x1 x2 5  x  x   2 x1x2  5   � 1 2 x2 x1 2 x1 x2 2 2 � 4m 2  2.2(m  1) 5  2(m  1) 2 � 4m 2  2.2(m  1)  5( m  1); m �1 � 4m 2  9m  9  0;   81  144  225,   15 9  15 3 9  15 24 � m1    3; m2   8 8 8 4 Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Cho phương trình x2 + ( 2m – 1 )x – m = 0 a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m b) Tìm m để A  x12  x22  6 x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất Bài tập 2:Cho phöông trình baäc hai x2 – 2(m + 1)x + m2 + 3 = 0 a)Tìm m ñeå phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät b) Tìm m ñeå phöông trình coù nghieäm laø 2, tìm nghieäm coøn laïi 2 2 c) Tìm m ñeå phöông trình coù hai nghieäm x1 vaø x2 thoaû maõn x1 +x 2  8 Bài tập 3: Tìm caùc giaù trò cuûa m ñeå caùc nghieäm cuûa phöông trình 2 2 2 a) x   m  2  x  m  5  0 Thoaû maõn x1  x2  10 2 b) x  mx  (m  1)  0 Thoaû maõn x1 x2  2  x1  x2   19  0 2 Bài tập 4: Cho phöông trình x   m  3 x  2(m  2)  0 a) Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät b) Tìm m ñeå phöông trình coù nghieäm thoaû maõn x1  2 x2 c) Chöùng toû raèng A = 2  x1  x2   x1 x2 ñoäc laäp vôùi m Bài tập 5: Cho phương trình bậc hai (m – 4)x2 – 2( m – 2)x + m – 1 = 0 a ) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 1 b) Tìm m để   5 x1 x2 c) Tìm hệ thức giữa x1 và x2 độc lập với m giải 2m  4 2m  4 4 �S2 2 (1) m4 m4 m4 m 1 m 1 3 (2) P � P 1  1  m4 m4 m4 S 2 4  � 3  S  2   4  P  1 Lấy (1) chia cho (2) ta có: P 1 3 � 3S  4 P  2  0 � 3( x1  x2 )  4 x1x2  2  0 HD: c) S  II/ Dạng 2: Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm kép Phương pháp tính  rồi xét  = 0 thì phương trình có nghiệm kép Ví dụ 1:Tìm m để phương trình x 2  3mx  (2m 2  m  1)  0 có nghiệm kép tìm n kép đó Giải 2 2 2 2   9m  4  2m  m  1  9m  8m  4m  4  (m  2) 2 Phương trình có nghiệm kép khi   (m  2)2  0 � m  2 3m 6   3 Nghiệm kép đó là x1  x2  2 2 Bài tập: Tìm các giá trị của m để mỗi phương trình sau có nghiệm kép tìm nghiệm kép đó a) mx 2  2( m  2)  9  0 b)(m  4) x 2  2mx  m  2  0 c)(m  1) x 2  m3 x  m 2 (m  1)  0 d )(m  3) x 2  mx  m  0 IV/ Dạng : Tìm điều kiện để hai phương trình có nghiệm chung Ví dụ 1: Tìm m để hai phương trình sau x 2  mx  1  0 và x 2  x  m  0 có nghiệm chung tìm nghiệm chung đó Giải Giả sử x0 là nghiệm chung của hai phương trình ta có x02  mx0  1  0 và x02  x0  m  0 Trừ vế với vế của mỗi phương trình ta được ( m – 1)(x0 – 1) = 0 a) Nếu m = 1 thì hai phương trình đã cho trở thành x2 + x +1 = 0 Phương trình này vô nghiệm do   3  0 Vậy m �1 do đó x0 = 1 Thay x0 = 1 vào phương trình (1)ta được m = -2 -Với m = -2 thì phương trình x2 – 2x + 1 = 0 có nghiệm kép x1= x2 = 1 Phương trình x2 +x – 2 = 0 có nghiệm x3 = 1; x4 = -2 Vậy nghiệm chung x0 = 1 Bài tập 1: với giá trị nào của m thì hai phương trình sau 2 x 2  (3m  1) x  9  0 và 6 x 2  (7m  1) x  19  0 có ít nhất một nghiệm chung tìm nhiệm chung đó. Bài tập 2: Tìm m để hai phương trình sau có nghiệm chung x 2  x  ( m  2)  0 và x 2  (m  2) x  8  0 V/ Dạng : Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm thỏa điều kiện. Ví dụ: Định m để phương trình x2  2(m  1)x  2m  1  0 có 2 nghiệm bằng nhau và tìm nghiệm đó. Giải: phương trình đã cho có nghiệm kép �  '  (m  1)2  (2m  1)  0 � m0 � m 2  4m  0 � � m4 � Với m  0 � x  m  1  1 Với m  4 � x  4  1  3 Vậy m = 0 thì nghiệm x = -1 m = 4 thì nghiệm x = 3 Bài tập 1: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm kép và tìm nghiệm kép đó. 1/ mx2  2(m  3)x  m  1  0 2/ (1  4m)x2  4mx  m  3  0 3/ (m  2)x2  mx  2m  3  0 Bài tập 2: Chứng tỏ phương trình sau có nghiệm với mọi m thuộc R 1/ x2  2(m  1)x  4m  3  0 2/ 2x2  2(m  1)x  m2  m  0 3/ (2m 2  1)x 2  2(m 2  4)x  1  0 4/ x2  (2m  7)x  2m  0 Bài tập 3: Chứng tỏ phương trình sau vô nghiệm với mọi m thuộc R 1/ 2x2  2(m  3)x  m 2  3m  5  0 2/ 3x2  2(3m  2)x  3m 2  4m  3  0 3/ (m 2  1)x2  (m 4  2m 2  1)x  1  0