Tài liệu Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ hóa

  • Số trang: 16 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 374 |
  • Lượt tải: 0
hoanggiang80

Tham gia: 27/02/2015

Mô tả:

1. Hình chóp tam giác Bài 1. (Trích đề thi tuyển sinh ĐH Khối A năm 2002). Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có độ dài cạnh AB = a . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC. Tính theo a diện tích của tam giác AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC). Gợi ý: Gọi O là trung điểm BC, G là trọng tâm tam giác ABC, ta có z S a 3 a a 3 OA = , OB = OC = , OG = . 2 2 6 Đặt SG = z > 0. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho tia Ox chứa A, tia Oy chứa B và tia Oz nằm trên đường thẳng qua O và song song với SG (xem hình vẽ). Khi đó x A a 3   a   C  −a   a 3 A ;0;0  , B  0; ;0  , C  0; ;0  , S  ;0; z  .  2   6  2   2   G O a 3 a z a 3 a z M ; ; , N  ; − ; . B 4 2 y  12 4 2   12 2 a 15 a 10 Tính được z = . Suy ra S AMN = . 6 16 Bài 2. (Trích đề dự bị 1 – ĐH Khối B năm 2007). Trong nửa mặt phẳng (P) cho đường tròn đường kính AB và điểm C trên nửa đường tròn đó sao cho AC = R . Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng 60o . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Chứng minh rằng tam giác AHK vuông và tính thể tích khối chóp S . ABC . Gợi ý: Ta có AC = R, BC = R 3. Đặt SA = z > 0. z S Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O ≡ C , tia Ox chứa A, tia Oy chứa B và tia Oz nằm trên đường thẳng qua O và H song song với SA (xem hình vẽ). Khi đó: K C ( 0;0;0 ) , A ( R;0;0 ) , B 0; R 3;0 , S ( R;0; z ) . Khi đó tính x B 2R y  8R R 3 4 R 2   2R 2R 2  A được H  ; ; ;0;  và K  . 9 9 9 3 3     3 R 6 C Thể tích khối chóp S . ABC là: VS . ABC = . 12 Bài 3. (Trích đề tuyển sinh ĐH Khối D năm 2003). Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, có giao tuyến là đường thẳng ∆ . Trên ∆ lấy hai điểm A,B với AB = a . Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C, trong mặt phẳng (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với ∆ và AC = BD = AB = a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a. Gợi ý: ( ) + Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, lúc đó A ( a;0;0 ) , B (0;0;0), C (a; a;0), D(0;0; a). + Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tâm I ( a / 2; a / 2; a / 2 ) và bán kính R = a 3 / 2. + Mặt phẳng (BCD) có phương trình x − y = 0. + Khoảng cách từ A đến (BCD) là a 2 d ( A,( BCD) ) = . 2 1 Q D z a B P a A x y a C Bài 4. (Trích đề tuyển sinh ĐH Khối D năm 2006). Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC. Tính thể tích khối chóp A.BCNM. Gợi ý: + Gọi O là trung điểm BC. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như S z hình vẽ, lúc đó a 3   a    a  a 3 A ;0;0  , B  0; ;0  , C  0; − ;0  , S  ;0; 2a  . 2   2  2   2    2a  a 3 2a 2a  + Tìm được tọa độ các điểm M, N là M  ; ;  và N 10 5 5    a 3 2a 2a  x N ; − ; . C A 10 5 5   M a O 3a 3 3 + Thể tích khối chóp A.BCNM là VA. BCNM = . 50 B y Bài 5. (Trích đề tuyển sinh ĐH Khối A năm 2011). Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a , hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60o . Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a. Gợi ý: +Đặt SA = z > 0. Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ, lúc đó: z S A ( 2a;0;0 ) , B ( 0;0;0 ) , C ( 0;2a;0 ) , M ( a;0;0 ) , S (2a;0; z ). + Tìm được điểm N ( a; a;0 ) .  + Vectơ pháp tuyến của (SBC) là n SBC = ( − z;0; 2a ) .  +Vectơ pháp tuyến của (ABC) là n ABC = ( 0;0;1) . + Từ giả thiết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60 tìm được z = 2a 3 ⇒ S 2a;0; 2a 3 . ( o ) x y N A C M 2a 39 + Suy ra VSBCNM = a 3 và d ( AB, SN ) = . B 13 Bài 6. (Trích đề tuyển sinh ĐH Khối D năm 2011). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại  = 30o. B, BA = 3a, BC = 4a , mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB = 2a 3 và SBC Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a. Gợi ý: khi đó + Kẻ SO ⊥ BC , SO ⊥ ( ABC ) . Tính được z 3 SO = a 3, OB = 3a, OC = a. + Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình A ( 3a;3a;0 ) , B ( 3a;0;0 ) , C ( −a;0;0 ) , S 0;0; a 3 . ( vẽ, lúc S đó: ) + Tính thể tích khối chóp S.ABC là VS . ABC = 2a 3 3. y + Phương trình mặt phẳng (SAC) là: −3x + 4 y + 3z − 3a = 0. + Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) là 6a 7 d ( B,( SAC ) ) = . 7 C A O 4a 3a B 2 x Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa: Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC), AD = 3a,  = 60o . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của B trên AC và CD. Đường AB = 2a, AC = 4a, BAC thẳng HK cắt đường thẳng AD tại E. Chứng minh rằng BE vuông góc với CD và tính thể tích khối tứ diện BCDE theo a. Giải: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ với A trùng với gốc tọa z độ O. ( D a a 3  AH = AB.cos60o = a . Suy ra tọa độ của H  ; ;0  2 2    DC = 2a;2 a 3; −3a suy ra u = 2;2 3; −3 là một vecto chỉ y 3a ( K H A 4a C 60o E ) A(0;0;0), B(2a;0;0), C 2a;2a 3;0 , D(0;0;3a) 2a ) ) phương của DC nên phương trình đường thẳng DC là:  x = 2t   y = 2 3t . Vì K thuộc DC nên K 2t;2 3t;3a − 3t .  z = 3a − 3t   Ta có BK = 2t − 2a;2 3t;3a − 3t ( ( B ( ) )    26 a 26 a 3 36 a  13a BK . DC = 0 ⇔ t = . Vậy K  ; ;  25 25 25 25     a a 3    27a 27a 3 36 a  Vì E thuộc trục Az nên E(0;0;z). EH =  ; ; ; ; − z  ; HK =   50 25  2 2   50   4a 4a Vì E, H, K thẳng hàng nên EH; HK cùng phương, do đó suy ra z = − . Vậy E(0;0; − ). 3 3       4a 4a  EB =  2 a;0;  và DC = 2a;2 a 3; −3a nên EB . DC = 2a.2a + 0.2 a 3 + ( −3a ) = 0 3 3   Vậy BE vuông góc với CD. A12: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60o. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a. Giải: Gọi O là trung điểm của AB. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz z như hình vẽ. S a 3  a   a   Ta có: A  0; ;0  , B  0; − ;0  , C  ;0;0   2  2   2     a a 7 OH = ⇒ CH = CO2 + OH 2 = 6 3 x o 60 a 21 B C ⇒ SH = CH.tan 60o = 3 H O  a a 21  ⇒ S 0; − ;   A y  6 3   a3 7 1 • VS . ABC = SH.S ABC = 3 12 x ( ) 3    2 a a 21    a 3 a  • AB = ( 0; − a;0 ) ; SA =  0; ; − ; ;0  ;  ; BC =   3 3    2 2            SA; BC  =  21 a 2 ; 7 a2 ; − 3 a 2  ⇒  SA; BC  = 24 a 2 và  SA; BC  . AB = − 7 a3 .    6      2 3 3 2       SA; BC  . AB a3 7 a 42 3   Suy ra: d ( SA; BC ) = .☺ = . =   2 2 8  SA; BC  24a   B12: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA = 2a, AB = a. Gọi H là hình chóp vuông góc của A trên cạnh SC. Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH). Tính thể tích khối chóp S.ABH theo a. Giải: Gọi K là hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) thì K là tâm z S của tam giác ABC. Gọi O là trung điểm của AB. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ.  a 3  a   a   Ta có: A  0; − ;0  , B  0; ;0  , C  0; ;0  .  2   2  2    H  a 3 a 33  a 33 a 3 CK = ⇒ SK = SC 2 − CK 2 = ⇒ S  0; ;  3 3 6 3   y C A   a 3 a 33   SC =  0; ;−  ; AB = ( 0; a;0 ) 3 3 K   O   AB.SC = 0 ⇒ AB ⊥ SC B AB ⊥ SC  x SK.OC a 11 = .  ⇒ AB ⊥ ( ABH ) ⇒ OH = SC 4 AB ⊥ OH  Giải: 1 a2 5 2a a 5 VABCD = S ACD .d ( B,( ACD) ) ⇒ S ACD = . Từ đây tính được CD = ; hA = . 3 3 3 3 Gọi O là trung điểm của CD. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. z  a 5  a   a   a   B Ta có: A  0; , C D B x y ;0;0 , ;0;0 , ; ; ;0       vớ i y > 0   3 3 3 3         a Từ giả thiết BC = BD = a ta giải ra được x = 0; y = . 3 2 2     y A D Vậy B  0; a ; a  .  BC; BD  =  0; 2 a ; − 2 a  .     3 3  3 3      O n = ; n 0;0;1 ( ACD ) ( BCD ) = ( 0;1; −1) . ( ) C x Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD).   Ta có: cos α = cos n( ACD) ; n( BCD) = ( ) 0.0 + 0.1 + 1.(−1) 02 + 02 + 12 . 02 + 12 + 12 4 = 1 ⇒ α = 45o . 2  = 30o . Toán học & Tuổi trẻ: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, BC = a và ABC Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng tạo với đáy một góc 60o. Biết rằng hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) thuộc cạnh BC. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a. Giải: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ với gốc tọa độ O z trùng điểm A. S a 3   a  A(0;0;0), B  ;0;0  , C  0; ;0  , S ( x; y; z ) với  2   2  x > 0; y > 0; z > 0 ; H ( x; y;0 ) với H là hình chiếu vuông góc của của S trên (ABC). y  x n 1 = ( 0;0;1) là vectơ pháp tuyến của (ABC) và H C B     a 3 a 3  n2 =  AB; AS  =  0; − z; y  là vectơ pháp tuyến 2 2   của (SAB). A     a a  n3 =  AC; AS  =  z;0; − x  là vectơ pháp tuyến của (SAC). 2  2   n1.n2 1 y • cos ( ( SAB ),( ABC ) ) =   ⇔ = ⇔ z 2 = 3 y2 (1) 2 2 2 n1 n2 z +y   n1.n3 1 x • cos ( ( SAC),( ABC) ) =   ⇔ = ⇔ z 2 = 3 x 2 (2) 2 n1 n3 z2 + x 2   a 3 a    a  Từ (1), (2) ta có x = y . Nên H ( x; x;0 ) . Vì H thuộc BC nên BC =  − ; ;0  , CH =  x; x − ;0  cùng 2    2 2  a x− x 3a 2 ⇔x= a 3 phương, suy ra thay vào (1), ta được z = . = a a 3 2 1+ 3 2 1+ 3 − 2 2 ( • VS . ABC ) ( ( ) ) 3 − 3 a3 1 1 3a a2 3 = SH.S∆ABC = . . = .☺ 3 3 2 1+ 3 8 32 ( ) Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ với gốc tọa độ O trùng với điểm A. Ta có A(0;0;0), B(8a;0;0), C(0;6a;0), S(x;y;z) với z>0 SA=7a ⇔ x 2 + y 2 + z 2 = 49a2 (1) z S 2 SB=9a ⇔ ( x − 8a ) + y 2 + z 2 = 81a2 2 C A B x y (2) SC=11a ⇔ x 2 + ( y − 6 a ) + z 2 = 121a 2 (3) Giải hệ (1), (2) và (3), ta được S(2a;-3a;6a). Suy ra đường cao của hình chóp S.ABC là h = zS = 6 a . 1 S ABC = AB. AC = 24a2 . VS . ABC = 48a3 2 5 2. Hình chóp tứ giác Bài 1. (Trích đề dự bị 1 – ĐH Khối B năm 2006). Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh  = 60o , SA vuông góc với mặt phẳng ( ABCD) và SA = a. Gọi C’ là trung điểm của SC. Mặt a, góc BAD phẳng (P) đi qua AC ' và song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại B ', D ' . Tính thể tích khối chóp S . AB ' C ' D ' . Gợi ý: Gọi O là giao điểm của AC và DB. S a a 3 z Vì tam giác ABD đều nên OB = OD = , OA = . 2 2 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho tia Ox chứa A, tia Oy chứa B và tia Oz nằm trên đường thẳng qua O và song song với SA (xem hình vẽ). Khi đó: C D a 3   a   a 3   a  A ;0;0  , B  0; ;0  , C  − ;0;0  , D  0; − ;0  , 2 2  O  2   2     A B  x a a 3  y C '  0;0;  , S  ;0; a  . 2  2   a 3 a a a 3 a a Tìm được B '  ; ;  và D '  ; − ; . 6 3 3 6 3 3    Thể tích khối chóp S . AB ' C ' D ' là: 1      1      1 a 3 3 1 a 3 3 a 3 3 VS . AB ' C ' D ' = VS . AB ' C ' + VS . AC ' D ' =  SA, SC ' .SB ' +  SA, SC ' .SD ' = . + . = . 6 6 6 6 6 6 18 Bài 2. (Trích đề ĐH Khối B năm 2006). Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = a 2, SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng ( ABCD) . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB). Tính thể tích khối tứ diện ANIB. Gợi ý: +Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O ≡ A, tia Ox chứa B, tia z Oy chứa D và tia Oz chứa S (xem hình vẽ). Khi đó: S ( ) ( ) A ( 0;0;0 ) , B ( a;0;0 ) , C a; a 2;0 , D 0; a 2;0 , S ( 0;0; a ) ;  a 2  a a 2 a M  0; ;0  , N  ; ; . 2 2 2 2        a 2   AS ( 0;0; a ) , AC a; a 2;0 , SM =  0; ; −a  , SB = ( a;0; −a ) . 2 B x     Vectơ pháp tuyến của (SAC) là  AS , AC  = −a 2 2; a 2 ;0 .    a 2 2  Vectơ pháp tuyến của (SBM) là  SM , SB  =  − ; −a 2 ;0  . 2       4 4 Vì  AS , AC  .  SM , SB  = a − a = 0 nên ( SAC ) ⊥ ( SBM ).   a a 2  IC BC Ta có = = 2 ⇒ IC = −2 IA. Từ đây tìm được I  ; ;0  . 3 3 IA AM   3     1 1 a 2 a3 2 Thể tích khối tứ diện ANIB là VANIB =  AN , AI  . AB = . = . 6 6 6 36 ( ) ( ) 6 N M A D y I C Bài 3. (Trích đề ĐH Khối A năm 2007). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD. Chứng minh rằng AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP. Gợi ý: Gọi O là trung điểm AD, khi đó SO ⊥ ( ABCD). Chọn z hệ trục tọa độ Oxyz sao cho tia Ox chứa A, tia Oy S chứa N và tia Oz chứa S (xem hình vẽ). Khi đó:  a 3 a  a  A  ;0;0  , B  ; a;0  , N ( 0; a;0 ) , S  0;0; , 2  2  2   M a a a 3  a a  P  − ; ;0  , M  ; ; .  2 2  4 2 4  C P D   a a a 3    a  Ta có: AM =  − ; ;  , BP =  −a; − ;0  . 4 2 2 2     N y O A 3 a 3 B Thể tích của khối tứ diện CMNP là VCMNP = . x 96 Bài 4. (Trích đề ĐH Khối B năm 2007). Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC. Gợi ý: Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chọn hệ trục tọa độ z Oxyz sao cho tia Ox chứa A, tia Oy chứa B và tia Oz S chứa S (xem hình vẽ). Đặt SO=z, Khi đó: a 2   a 2   a 2  A ;0;0  , B  0; ;0  , D  0; − ;0  , S ( 0;0; z ) , E 2 2 2       I  a 2   a 2 a 2  a 2 z Ta C− ;0;0  , N  − ; ;0  , I  ;0;  , C 2 4 4 2 M D      4 a 2 a 2  a 2 a 2 z E ; ; z ; M  ; ; . N O 2 2 2 4 2    a B   3a 2 x A y z    a 2  có MN =  ;0;  , BD =  0; − ;0  . 4 4  4     + MN .BD = 0 ⇒ MN ⊥ BD. a 2 + Khoảng cách giữa MN và AC là d ( MN , AC ) = . 4 Bài 5. (Trích đề ĐH Khối D năm 2007). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang,   = 90o , AB = BC = a, AD = 2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy là SA = a 2. Gọi H là hình ABC = BAD chiếu của A trên SB. Chứng minh rằng tam giác SCD vuông và tính (theo a) khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD). Gợi ý: 7 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O ≡ A, tia Ox chứa B, tia Oy chứa D và tia Oz chứa S (xem hình vẽ). ( z S ) A ( 0;0;0 ) , B ( a;0;0 ) , C ( a; a;0 ) , D ( 0; 2a;0 ) , S 0;0; a 2 . Tìm  2a a 2  được H  ;0; . 3   3 Phương trình mặt phẳng (SCD) là: x + y + 2 z − 2a = 0. a Khoảng cách từ H đến (SCD) là d ( H ,( SCD) ) = . 3 H A 2a D a B x a y C Bài 6. (Trích đề ĐH Khối B năm 2008). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a 3 và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN. Gợi ý: Gọi O là hình chiếu của S trên AB. Ta có: z a 3 a 3a S SO = , OA = , OB = . 2 2 2 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho tia Ox chứa A, tia Oy vuông góc với AB và tia Oz chứa S (xem hình vẽ). Khi a N B đó: C M a   3a   3a  a  A  ;0;0  , B  − ;0;0  , C  − ;2a;0  , D  ;2a;0  , 2   2   2  2  y O A 2a D  x a 3  a   3a  S  0;0;  , M  − ;0;0  , N  − ; a;0  . 2   2   2   + Thể tích của khối chóp S.BMDN là VS . BMDN = a3 3 . 3 5 . 5 Bài 7. (Trích đề ĐH Khối A năm 2009). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a, CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60o . Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Gợi ý: Từ giả thiết suy ra SI ⊥ ( ABCD ). Đặt SI = z > 0. z Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O ≡ I , tia Ox chứa D, S tia Oy vuông góc với AB và tia Oz chứa S (xem hình vẽ). Khi đó: A ( −a;0;0 ) , B ( −a; 2a;0 ) , C ( a; a;0 ) , D ( a;0;0 ) , S ( 0;0; z ) . + Từ giả thiết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) 2a A B 3a 15 bằng 60o ta tìm được z = . I 5 2a 3 y 3a 15 + Thể tích khối chóp S.ABCD là VS . ABCD = . a D 5 C  + cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN là cos( SM , DN ) = x 8 Bài 8. (Trích đề ĐH Khối A năm 2010). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a 3. Tính thể tích khối chóp S.CDNM và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a. Gợi ý: Trước hết chứng minh được DM ⊥ CN . z a 5 1 1 1 4 1 5 S + = + = + = ⇒ DH = . HD 2 DN 2 DC 2 a 2 a 2 a 2 5 a 5 3a 5 + DM = ⇒ HM = DM − DH = . 2 10 a 5 2a 5 + HN = ;.HC = . B 10 5 C + Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O ≡ H , tia M a Ox chứa N, tia Oy chứa D và tia Oz chứa S (xem hình H vẽ). Khi đó: A N D a 5   a 5   2a 5  y N ;0;0  , D  0; ;0  , C  − ;0;0  , x 10 5 5        3a 5  M  0; − ;0  , S 0;0; a 3 . 10   ( ) + Thể tích khối chóp S.CDNM là VS .CDNM = 5a 3 3 . 24 2a 57 . 19 Bài 9. (Trích đề ĐH Khối D năm 2010). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. cạnh bên SA = a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC, AC AH = . Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh M là trung điểm SA và tính thể tích khối 4 tứ diện SMBC theo a. Gợi ý: + Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O ≡ H , tia z Ox song song với tia AB, tia Oy song song với tia S AD và tia Oz chứa S (xem hình vẽ). Khi đó: + Khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC là: d ( DM , SC ) = 2 a 2 a 14 SH = SA − AH = a −  do đó  = 4 4    a a   3a a   3a 3a  A  − ; − ;0  , B  ; − ;0  , C  ; ;0  , 4   4 4   4 4   4 2 2 2 M a A a a 14   a 3a   D  − ; ;0  , S  0;0; . 4   4 4   B x D y H C Ta có SC = SH 2 + CH 2 = a 2 = AC nên tam giác SAC cân tại C do đó M là trung điểm SA. Suy ra  a a a 14  a 3 14 . M − ;− ;  . Thể tích khối chóp S.BMC là VS . BMC = 48  8 8 8  9 Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là bình hành, AD = 4a, các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng a 6 . Tìm côsin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) khi thể tích của khối chóp S.ABCD lớn nhất. Gợi ý: + Gọi O là giao điểm của AC và BD; M,N lần lượt là z AB và AD. Từ giả thiết suy ra S SO ⊥ AC   ⇒ SO ⊥ ( ABCD) SO ⊥ BD  và OA = OB = OC = OD = 6a 2 − SO 2 nên ABCD là hình chữ nhật. B Đặt ON = x > 0. Khi đó OA = x 2 + 4a 2 . SO = SA2 − OA2 = 2a 2 − x 2 . + Thể tích khối chóp S.ABCD 1 8 VS . ABCD = AB. AD.SO = ax 2a 2 − x 2 . 3 3 x C O M là A y N 4a D 8 + Bằng cách xét hàm số f ( x) = ax 2a 2 − x 2 với x ∈ 0; a 2 hoặc áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta suy 3 ra VS . ABCD lớn nhất khi và chỉ khi x = a. Suy ra SO = a. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Khi ( a   a   a   đó: B  2a; − ;0  , C  −2a; − ;0  , D  −2a; ;0  , S ( 0;0; a ) . 2   2   2   2 Gọi ϕ góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) thì cos ϕ = . 5 ***** 10 ) 3. Hình lăng trụ tam giác Bài 1. (Trích đề Dự bị 1- ĐH Khối A năm 2007). Cho hình lăng trụ đứng ABC. A1B1C1 có  = 120o. Gọi M là trung điểm của cạnh CC . Chứng minh MB ⊥ MA AB = a, AC = 2a, AA1 = 2a 5 và BAC 1 1 và tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( A1 BM ). Giải: a) Kẻ AO ⊥ BC. Ta có z BC = a 2 + 4a 2 − 2.a.2a cos120o = a 7. AB. AC.sin120o a 21 AO.BC = AB. AC.sin120o ⇒ AO = = . BC 7 C1 B1 A1 21a 2 2a 7 OB = AB − AO = a − = ; 49 7 2 2 2 5a 7 . 7 Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ. Khi đó  a 21   2a 7  A ;0;0  , B  0; ;0  , 7  7       a 21  5a 7 M  0; − ; a 5  , A1  ;0; 2a 5  . 7    7    a 21 5a 7   Ta có MA1 =  ; ; a 5  , MB = 0; a 7; − a 5 . 7  7      2 2 MA1.MB = 5a − 5a = 0 ⇒ MA1 ⊥ MB ⇒ MA1 ⊥ MB. OC = BC − OB = ( y B a 2a A x )  2a 7  b) Phương trình mặt phẳng ( A1BM ) là: 12 5 x − 15  y −  − 21z = 0. 7   a 5 Khoảng cách từ A đến ( A1BM ) là: d ( A,( A1BM ) ) = . 3 Bài 2. (Trích đề dự bị 2 – ĐH Khối D năm 2007). Cho lăng trụ đứng ABC. A1B1C1 có tất cả các cạnh đều bằng a, M là trung điểm của đoạn AA1 . Chứng minh BM ⊥ B1C và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và B1C. Gợi ý: Gọi O là trung điểm BC và chon hệ trục tọa độ Oxyz có tia Ox chứa z C1 A, tia Oy chứa C và tia Oz chứa trung điểm của B1C1 (xem hình vẽ). B1 Khi đó: A1 a 3 a a  a    a   B  0; − ;0  , C  0; ;0  , M  ;0;  vµ B1  0; − ; a  . a 2  2 2    2    2    a 3 a a   Ta có BC = ( 0; a;0 ) , BM =  ; ;  , B1C = ( 0; −a;0 ) . 2 2 2    a2 a2 + BM .B1C = − + = 0 ⇒ BM ⊥ B1C. 2 2    a 3 a 3 +  BM , B1C  =  a 2 ; − ;− . 2 2   2 2 O C B x y a a A    a3 3  BM , B1C  .BC a 30   d ( BM , B1C ) = = 22 = .   10 a 10  BM , B1C    2 11 Bài 3. (Trích đề thi tuyển sinh ĐH Khối D năm 2009). Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA ' = 2a, A ' C = 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A ' C ' , I là giao điểm của AM và A ' C . Tính theo a thể tích của khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC). Giải: Ta có z AC = A ' C 2 − AA '2 = a 5; BC = AC 2 − AB 2 = 2a. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O ≡ B, tia Ox chứa A, tia Oy chứa C và tia Oz chứa B’ (xem hình vẽ). Khi đó: a  B (0;0;0), A(a;0;0), C (0;2a;0), M  ; a;2a  . 2     2a 2a 4a  Gọi I ( x; y; z ) , vì IA = −2 IM ⇒ I  ; ;  .  3 3 3  Thể tích khối tứ diện IABC là: 1      1 8a 3 4a3 VIABC =  BA, BC  . BI = . = . 6 6 3 9 C' B' M A' I 3a 2a B C a y A x      8a 2 4a 2    + Gọi n là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (IBC). Khi đó n =  BI , BC  =  − ;0;  cùng phương với 3   3   n ' = ( −2;0;1) . Mặt phẳng (IBC) đi qua B và có vectơ pháp tuyến n ' = ( −2;0;1) nên có phương trình: −2 x + z = 0. Vậy khoảng cách từ A đến (IBC) là d ( A,( IBC ) ) = | −2a | = 2a 5 . 5 (−2)2 + 1 Bài 4. (Trích đề thi tuyển sinh ĐH Khối A năm 2008). Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp A '. ABC và cosin của góc giữa hai đường thẳng AA ' và B ' C '. Giải: + Gọi O là trung điểm BC, H là trung điểm AB, K là trung z C' B' điểm AC thì OHAK là hình chữ nhật. Ta có: BC BC = AB 2 + AC 2 = 2a, OA = = a, 2 OA ' = A' AA '2 − OA2 = 4a 2 − a 2 = a 3. a2 a 3 OH = OA − AH = a − = ; 4 2 2 2 2 B 2 O 3a a H K OK = OA − AK = a − = . 4 2 x A y + Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho tia Ox chứa H, tia Oy chứa K và tia Oz chứa A’ (xem hình vẽ). Khi đó: a 3 a  a 3 a   a 3 a  A ' 0;0; a 3 , A  ; ;0  , B  ; − ;0  , C  − ; ;0  . 2  2 2   2 2   2  1    1 3a 3 3a 3 a 3 + Thể tích khối chóp A '. ABC là VA '. ABC =  A ' A, A ' B  . A ' C = − − = .  6 6 2 2 2 2 ( 2 C 2 )   AA '.BC 1    + BC = −a 3; a;0 . Gọi ϕ là góc giữa AA ' và B ' C '. Khi đó: cos ϕ = cos( AA ', BC ) = = . AA '.BC 4 ( ) 12 Bài 5. Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, góc  ACB = 60o , biết rằng AA ' = BA ' = a 7, mặt bên ( ABB ' A ') vuông góc với mặt phẳng (ABC). Mặt phẳng ( ACC ' A ') tạo với (ABC) một góc 60o. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho. Gợi ý: + Gọi O là trung điểm AB, M là trung điểm AC. Khi đó A ' O ⊥ AB, A ' O ⊥ OM , OM ⊥ AB. x Đặt OA = x > 0, khi đó OA ' = 7 a 2 − x 2 ; OM = . 3 + Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho tia Ox chứa A, tia Oy z C' A' chứa M và tia Oz chứa A’ (xem hình vẽ). Khi đó:  x  A( x;0;0), M  0, ;0  , A ' 0;0; 7 a 2 − x 2 . B' 3   1 Theo giả thiết thì cos ϕ = ⇒ x = 2a. y 2 x M A 4a Suy ra AB = 4a, BC = ; OA ' = a 3. Thể tích khối lăng trụ C 3 O đã cho là B 1 1 4a V = S ABC .OA ' = AB.BC.OA ' = .4a. .a 3 = 8a 3 . 2 2 3 Bài 6. (Trích đề dự bị 1 – ĐH Khối D năm 2007). Cho lăng trụ đứng ABC . A1B1C1 đáy ABC là tam giác ) ( vuông, AB = AC = a, AA1 = a 2. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn AA1 và BC1 . Chứng minh MN là đường vuông góc chung của AA1 và BC1 . Tính thể tích khối chóp MA1 BC1. Gợi ý: + Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O ≡ A , tia Ox chứa B, z tia Oy chứa C và tia Oz chứa A’ (xem hình vẽ). Khi đó: C1 A1 B ( a;0;0 ) , C ( 0; a;0 ) , A1 0;0; a 2 , B1 a;0; a 2 , ( ) ( )  a 2 a a a 2 C1 0; a; a 2 , M  0;0; , N  ; ; . 2 2 2 2       a a    + MN =  ; ;0  , AA1 = 0;0; a 2 , BC1 = − a; a; a 2 . 2 2    MN . AA1 = 0     ⇒ MN ⊥ AA1 và MN ⊥ BC1 do đó MN là MN .BC1 = 0  đường vuông góc chung của AA1 và BC1 . ( ) ( ) ( B1 M N ) a B A a C y x a3 2 . 12 Bài 7. (Trích đề thi tuyển sinh ĐH Khối D năm 2008). Cho lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, AA ' = a 2. Gọi M trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM , B ' C. Gợi ý: + Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O ≡ B , tia Ox chứa A, tia Oy chứa C và tia Oz chứa B’ (xem hình vẽ). Khi đó:  a  A ( a;0;0 ) , B ( 0;0;0 ) , C ( 0; a;0 ) , A ' a;0; a 2 , B ' 0;0; a 2 , C ' 0; a; a 2 , M  0; ;0  .  2  + Thể tích của khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' là V = a3 2. Tính thể tích khối chóp MA1BC1 là VMA1BC1 = ( ) ( ) ( 13 ) + Ta có:    a   AM =  −a; ;0  , B ' C = 0; a; − a 2 , AB ' = −a;0; a 2 . 2      a 2 2  2 2  AM , B ' C  =  − ; − a 2; − a .    2   + Khoảng cách giữa hai đường thẳng AM , B ' C là     AM , B ' C  . AB ' a 7   d ( AM , B ' C ) = = .   7  AM , B ' C    ( ) ( z C' B' ) A' B a M C y a A x Bài 8. (Trích đề thi tuyển sinh ĐH Khối B năm 2009). Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có BB ' = a ; góc giữa  = 60o . Hình chiếu đường thẳng BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 60o ; tam giác ABC vuông tại C và BAC vuông góc của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A ' ABC theo a. Gợi ý: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Đặt AC = x , suy A' B' z ra BC = x 3, AC = 2 x. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Ta có x x 3  C' A ( x;0;0 ) , B 0; x 3;0 , C ( 0;0;0 ) , G  ; ;0  . 3 3  ( )   x −2 x 3  x 13 BG =  ; ;0  ⇒ BG = 3 3 3  y a x A B G 2 ⇒ GB ' = a 2 − 13x . 9 C 3a 13  Sử dụng giả thiết góc giữa BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng B . ' BO = 60o suy ra x = 26 a 3 3a 13 3a 39 9a 3 Vậy AC = ; BC = ; OB ' = . Thể tích khối tứ diện A ' ABC là VA ' ABC = . 208 26 26 2 Bài 9. (Trích đề thi tuyển sinh ĐH Khối B năm 2010). Cho lăng trụ tam giác đều ABC. A ' B ' C ' có AB = a , góc giữa (A’BC) và (ABC) bằng 60o . Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a. Gợi ý: Gọi O là trung điểm BC. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho, tia z C' A' Ox chứa A, tia Oy chứa B và tia Oz song song với tia AA’ (xem a 3   a  a   hình vẽ). Khi đó: A  ;0;0  , B  0; ;0  , C  0; − ;0  2   B'  2   2   a 3 3a   a 3 a  A ' ;0;  , G  ;0;  . 2   6 2  2 G x a3 3 Thể tích khối lăng trụ đã cho là: VABC . A ' B ' C ' = . 8 7a Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC là R = . 12 14 C A O y B K2pi.net - 2013: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có BC = 2AB, AB ⊥ BC . Gọi M, N lần lượt là 2a trung điểm của A'B' và BC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B'C bằng . Góc giữa hai mặt 7 phẳng (AB'C) và (BCC'B') bằng 60o. Tính thể tích khối chóp MABC và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp B'ANC theo a. Giải: z C' A' M B' y x A C N B Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ với gốc tọa độ O trùng điểm B. Đặt AB = x (x>0) thì BC = 2x. Ta có B(0; 0; 0), C(2x; 0; 0), A(0; x; 0), N(x; 0; 0) x A'(0; x; y) (y>0), B'(0; 0; y), C'(2x; 0; y), M(0; ; y). 2     x  AM =  0; − ; y  , B ' C = ( 2 x;0; − y ) 2      xy  ⇒  AM; B ' C  =  ;2 xy; x 2   2   AC = ( 2 x; − x;0 )     AM; B ' C  . AC −x2y 2a xy a   d ( AM, B ' C ) = ⇔ = ⇔ = (1)   2 2 2 2  AM; B ' C  7 7 x y 4 x + 17 y 2 2 4   + 4x y + x 4     AB ' = ( 0; − x; y ) và AC = ( 2 x; − x;0 ) nên  AB ', AC  = xy;2 xy;2 x 2 nên (AB'C) có vectơ pháp tuyến là      n = ( y;2 y;2 x ) (vì n cùng phương với  AB ', AC  ) và (BCC'B') có vectơ pháp tuyến là j = ( 0;1;0 ) .  n. j 1 2y 11 (2) cos ( ( AB ' C),( BCC ' A ') ) =   ⇔ = ⇔ 5 y 2 + 4 x 2 = 16 y 2 ⇔ x = y 2 2 2 2 n j 5y + 4 x ( Thế (2) vào (1), giải phương trình ta được kết quả y = ) 4a và x = 2 a . 11 3 1 1  4 a 16 11a Vậy VMABC = S ABC .AA'=  .2 a.4 a  . ☺ = 3 2 33  11 • Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp B'ANC theo a Phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp khối chóp B'ANC có dạng: ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 + 2a1 x + 2by + 2cz + d = 0 với tâm T ( −a1 ; −b; −c ) , R = a12 + b 2 + c 2 − d Vì B', A, N, C thuộc mặt cầu (S) nên tọa độ của chúng thỏa phương trình mặt cầu, ta có hệ: 16 2 8 11 a1 = −3a a.c + d = 0  a +  11 b = −3a  11 31 4 a2 + 4a.b + d = 0  ⇔ . ☺ 13a ⇒ R = 3a  11 4 a2 + 4a.a + d = 0 c = − 11 1   2 16a + 8a.a1 + d = 0 d = 8a 2 15 4. Lăng trụ tứ giác Bài 1. (Trích đề thi tuyển sinh ĐH Khối B năm 2011). Cho lăng trụ ABCD. A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a 3 . Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng ( ADD1 A1 ) và ( ABCD) bằng 60o . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng ( A1BD ) theo a. Gợi ý: Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chọn hệ trục tọa C1 B1 z độ Oxyz như hình vẽ. Khi đó: a 3 a  a 3 a   a 3 a  A ; ;0  , B  ; − ;0  , C  − ; − ;0  , 2  2 2   2 2   2   a 3 a  D − ; ;0  . 2 2   A1 Từ giả thiết góc giữa hai mặt phẳng ( ADD1 A1 ) và B   ( ABCD ) bằng 60o tìm được A1  0;0; a 3  .  D1 C O a 2  x   Suy ra B1  0; −a; a 3  . 2   A D y Thể tích khối lăng trụ đã cho là VABCD. A1B1C1D1 = 3a 3 . 2 a 3 . 2 D12: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam giác A’AC vuông cân, A’C = a. Tính thể tích của khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) theo a. Giải: z a a Từ giả thiết ta tính được AC = AA ' = và AB = . 2 2 B' A' Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ với gốc tọa độ O trùng với D' C' điểm A.  a  a a  a  Ta có: A(0;0;0), B  0; ;0  , C  ; ;0  , D  ;0;0   2  2 2  2  y A a  a    a a  a a a  a A '  0;0; B  , B '  0; 2 ;  , C ' 2 ; 2 ;  , D '  2 ;0;  2 2 2 2     D   a    a a    a a a  C x AB =  0; ;0  ; AB ' =  0; ;  ; AC ' =  2 ; 2 ; . 2  2   2 2  3 3    2         AB; AB ' =  a ;0;0  ⇒  AB; AB ' . AC ' = a ⇒ VABB ' C ' = 1  AB; AB ' . AC ' = 2 a .      6 48 4 2 2 2    a    a 2 a 2   a a       • CB =  − ;0;0  , CD ' =  0; − ; ⇒ CD  ; CD '  =  0; 2 2 ; 4  ⇒ n = 0; 2;1 là VTPT của mặt 2 2   2     Khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng ( A1BD ) là d ( B1 ,( A1BD) ) = ( 2.0 + 0 − phẳng (BCD’) nên (BCD’): 2 y + z − a 2 = 0 ⇒ d ( A,( BCD ') ) = 2 HẾT 16 ) a 2 2 ( 2)2 + 12 = a 6 .☺ 6
- Xem thêm -