Tài liệu Giá trị riêng – vector riêng – dạng chuẩn tắc jordan

  • Số trang: 86 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 695 |
  • Lượt tải: 9
tranvantruong

Đã đăng 3224 tài liệu

Mô tả:

GIÁ TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG – DẠNG CHUẨN TẮC JORDAN
CHƢƠNG 1: GIÁ TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG – DẠNG CHUẨN TẮC JORDAN _______________________________________________________ I. Giá trị riêng và vector riêng của ma trận – Chéo hóa ma trận: 1. Tìm giá trị riêng và vector riêng của một ma trận: Ví dụ: é 7 Cho ma trận A = êê - 4 ëê 2ù ú. 1ú ú û a) Xác định đa thức đặc trưng của A . b) Xác định các giá trị riêng l i của A . c) Xác định chiều và một cơ sở không gian vectơ riêng E A (l i ) . d) Xác định một cơ sở S của ¡ 2 gồm các vectơ riêng của A . Giải a) Đa thức đặc trưng PA (t ) của A là PA (t )  t 2  tr( A)t  det A  t 2  8t  15. b) Các giá trị riêng  i của A là các nghiệm của phương trình đặc trưng f A (t )  0 . Phương trình đặc trưng f A (t )  0 có các nghiệm 3, 5. Vậy 1  3 và  2  5 là các giá trị riêng của ma trận A . c) Với 1  3 . Các véc tơ riêng của ma trận A ứng với giá trị riêng 1  3 là các nghiệm không tầm thường của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất  4 x1  2 x2  0  x a  1  4 x1  2 x2  0  x2  2a Vậy không gian véc tơ riêng EA (3) của A ứng với giá trị riêng 1  3 là E A (3)  {(a, 2a) | a   }  {a(1, 2) | a   }  (1, 2) Vậy dim EA(3) 1 và {(1, 2)} là một cơ sở của EA (3) . * Với  2  5 . Các véc tơ riêng của ma trận A ứng với giá trị riêng  2  5 là các nghiệm không tầm thường của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất  2 x1  2 x2  0  x a  1  4 x1  4 x2  0  x2  a Vậy không gian véc tơ riêng EA (5) của A ứng với giá trị riêng  2  5 là E A (5)  {(a, a) | a   }  {a(1, 1) | a   }  (1, 1) Vậy dim EA(5) 1 và {(1, 1)} là một cơ sở của EA (5) . d) Đặt S  {(1, 2),(1, 1)} gồm các véc tơ riêng của A độc lập tuyến tính trong  2 . Do đó S là một cơ sở của  2 . Bài tập: é- 1 ê 1) Cho ma trận A = êê- 3 ê êë- 3 4 - 2ù ú 4 0ú ú. ú 1 3ú û a) Xác định đa thức đặc trưng của A . b) Xác định các giá trị riêng l i của A . c) Xác định chiều và một cơ sở không gian vectơ riêng E A (l i ) . d) Xác định một cơ sở S của ¡ 3 gồm các vectơ riêng của A . Hƣớng dẫn: Sinh viên làm tương tự như ví dụ. é1 ê ê0 2) Cho ma trận A = êê ê1 ê1 êë 0 1 1ùú 1 1 1úú 1 1 0úú 1 0 1úú û a) Xác định đa thức đặc trưng fA (t ) của A . b) Xác định các giá trị riêng l i của A . c) Xác định chiều và một cơ sở không gian vectơ riêng E A (l i ) . d) Xác định một cơ sở S của ¡ 4 gồm các vectơ riêng của A . Hƣớng dẫn: Sinh viên làm tương tự ví dụ Đa thức đặc trưng PA (t ) của A là 1 t 0 1 1 0 1 t 1 1 PA (t )  det( A  tI )   (t  1) 2 (t  1)(t  3). 1 1 1 t 0 1 1 0 1 t 2. Chứng minh các tính chất đối với giá trị riêng và vector riêng: 1) Cho  là giá trị riêng của A  M n ( K ) ,   K và k   . Chứng minh rằng a)  là giá trị riêng của ma trận  A . b)  k là giá trị riêng của ma trận Ak . c)    là giá trị riêng của ma trận A   I . d) f ( ) là giá trị riêng của ma trận đa thức f ( A) . Hƣớng dẫn: a) Do  là giá trị riêng của A  M n ( K ) nên tồn tại v  K n sao cho Av  v .  A v   ( Av)  v    v . Vậy  là giá trị riêng của ma trận  A . b) Ta có Ak v  Ak 1  Av   Ak 1  v    Ak 1 (v)  ...   k v . Vậy  k là giá trị riêng của ma trận Ak . c) Ta có ( A   I )v  Av   Iv  v   v  (   )v Vậy    là giá trị riêng của ma trận A   I . n n n d) Giả sử f (t )   ai t  K [t ]. Khi đó, f ( )   ai  , f ( A)  ai Ai i i i 1  i 1  n n  i 1 i 1 i 1   Và f ( A)v    ai Ai  v   ai  Ai v    ai   i v     ai  i  v  f ( )v n  i 1 n  i 1  Vậy f ( ) là giá trị riêng của f (A). Sinh viên cho ví dụ minh họa cho những kết quả trên. 2) Cho  là giá trị riêng của A  M n ( K ) . Chứng minh rằng a) Nếu A khả nghịch thì  1 là giá trị riêng của ma trận A1 . b) Nếu A khả nghịch thì    1 là giá trị riêng của ma trận A  A1 . Hƣớng dẫn : a) Vì A khả nghịch nên   0 . Ta có, A1v   1 A1   v    1 A1 Av   1v Vậy Nếu A khả nghịch thì  1 là giá trị riêng của ma trận A1 . b) Vì A khả nghịch nên A1v   1v . Khi đó, ta có ( A  A1 )v  Av  A1v  v   1v  (   1 )v Nếu A khả nghịch thì    1 là giá trị riêng của ma trận A  A1 . Sinh viên tìm các ví dụ minh họa cho những kết quả trên. 3) Cho A là ma trận vuông cấp n trên K và 1 , 2 ,, n là các giá trị riêng của nó. Chứng minh rằng det A  12 n . Hƣớng dẫn: Do 1 , 2 ,, n là các giá trị riêng của A nên 1 , 2 ,, n là các nghiệm của đa thức đặc trưng f A (t ) . Do đó, f A (t )  det( A   I )  (1)n (t  1 )(t  2 )...(t  n ) . Lấy t = 0, ta có: det A  f A (0)  (1)n (0  1 )(0  2 )...(0  n )  12 ...n Sinh viên tìm các ví dụ minh họa cho những kết quả trên. 4) Cho A là ma trận vuông cấp n trên K và 1 , 2 ,, n là các giá trị riêng của nó. Chứng minh rằng a) det( A)   n12  n . b) det Ak  1k 2k  nk . c) det( A   I )  (1   )(2   )(n   ) . d) det f ( A)  f (1 ) f (2 ) f (n ) . Hƣớng dẫn: a) Do 1 ,  2 ,,  n là các giá trị riêng A nên 1 ,  2 ,,  n là các giá trị riêng của ma trận A . Do đó det(A)  (1 )( 2 )( n )   n1 2  n . Sinh viên cho ví dụ minh họa. b) Do 1 ,  2 ,,  n là các giá trị riêng A nên 1k ,  k2 ,,  kn là các giá trị riêng của ma trận Ak . Do đó det Ak  1k  2k   kn . c) Do 1 ,  2 ,,  n là các giá trị riêng A nên 1  ,  2  , n   là các giá trị riêng của ma trận A  I . Do đó det( A  I )  (1  )( 2  )( n  ) . d) Do 1 ,  2 ,,  n là các giá trị riêng A nên f (1 ), f ( 2 ),, f ( n ) là các giá trị riêng của ma trận f ( A) . Do đó det f ( A)  f (1 ) f ( 2 ) f ( n ) . Sinh viên cho các ví dụ minh họa. 5) Cho A là ma trận vuông cấp n trên K và 1 , 2 ,, n là các giá trị riêng của nó. Chứng minh rằng a) Nếu A khả nghịch thì det A1  1121 n1 . b) Nếu A khả nghịch thì det( A  A1 )  (1  11 )(2  21 )(n  n1 ) . c) Nếu   K không là giá trị riêng của A thì ma trận A   I khả nghịch và n 1 1 det( A   I )   . i 1 i   Hƣớng dẫn: a) Do 1 ,  2 ,,  n là các giá trị riêng A nên 11 ,  21 ,,  n1 là các giá trị riêng của ma trận A1 . Do đó det A1  11 21  n1 . b) Do 1 ,  2 ,,  n là các giá trị riêng A nên 1  11 ,  2   21 ,,  n   n1 là các giá trị riêng của ma trận A  A1 . Do đó det( A  A1 )  (1  11 )( 2   21 )( n   n1 ) c) Do  không là giá trị riêng của A nên định thức của ma trận A  I khác 0. Vậy A  I khả nghịch. Theo giả thiết 1 ,  2 ,,  n là các giá trị riêng của A nên 1  ,  2  ,,  n   là các giá trị riêng của ma trận A  I và do đó (1  )1 ,( 2  ) 1 ,,( n  ) 1 là các giá trị riêng của ( A  I )1 . n n i 1 i 1 Vậy det( A  I ) 1   ( i  ) 1   1 . i   Sinh viên cho ví dụ minh họa. 3. Chéo hóa ma trận: Cách chéo hóa một ma trận: Cho A là một ma trận vuông cấp n. Để chéo hóa ma trận A ta làm như sau: Tìm các giá trị riêng và các vector riêng độc lập tuyến tính của A, bằng cách tìm đa thức đặc trưng, giải phương trình đặc trưng tìm các giá trị riêng sau đó ứng với từng giá trị riêng tìm các vector riêng. Khi đó xảy ra một trong hai khả năng sau: TH1: Nếu tổng số vector riêng độc lập tuyến tính của A bé hơn n thì kết luận A không chéo hóa được. TH2: Nếu tổng số vector riêng độc lập tuyến tính của A bằng n thì kết luận A chéo hóa được. Khi đó ma trận P cần tìm là ma trận mà các cột của nó là các vector riêng độc lập tuyến tính của A viết theo cột và khi đó 1 0 ... 0   0  ... 0  2 1  là ma trận chéo trong đó các  là các giá trị riêng của A ứng với P AP   i  ...  0 ... ... ...   0 ... n  vector riêng là vector cột thứ i của ma trận P. 1. Ví dụ: Chéo hóa ma trận sau: 0 1 1  A  1 0 1  1 1 0  Hƣớng dẫn:  1 Đa thức đặc trưng của ma trận A là: PA ( )  1  1 1 PA ( )  0   3  3  2  0    1,   2 Vậy ma trận A có hai giá trị riêng là   1,   2 . Ứng với   1 , giải hệ pt: 1 1 1 0  1 1 1 0      1 1 1 0   0 0 0 0  1 1 1 0  0 0 0 0  1 1   3  3  2   x1  t2  t3  Hệ có vô số nghiệm phụ thuộc hai tham số ]  x2  t2   x  t    3 3 Không gian con riêng ứng với giá trị riêng   1 là E (1)  {(t2  t3 , t2 , t3 ) | t2 , t3   } Cơ sở của E(-1) gồm hai vector 1  (1,1, 0); 2  (1, 0,1) . Ứng với giá trị riêng   2 , để tìm vector riêng ta giải hệ pt: 2 1 1 0   1 1 2 0  1 1 2 0  1 1 2 0           1 2 1 0    1 2 1 0   0 3 3 0   0 3 3 0   1 1 2 0   2 1 1 0  0 3 3 0  0 0 0 0  Hệ có vô số nghiệm phụ thuộc 1 tham số  x1  t   x2  t x  t    3 Do đó, không gian con riêng của A ứng với giá trị riêng   2 là E (2)  (t , t , t ) | t   } Cơ sở của E (2) gồm 1 vector 3  (1,1,1) . Nhận xét: Các vector 1 ,  2 ,  3 độc lập tuyến tính nên ma trận A chéo hóa được. Khi đó, tồn tại ma trận khả nghịch P sao cho P 1 AP  D với D là ma trận chéo.  1 1 1  1 0 0  P   1 0 1 và D   0 1 0   0 1 1  0 0 2  2. Bài tập:  1 2 3 1. Cho ma trận A  0 2 3 . Hỏi ma trận A có chéo hóa được không? Tìm ma trận C 0 0 3 làm chéo hóa A (nếu có). Hướng dẫn: SV. Làm tương tự như ví dụ. 2. Cho A, B và P là các ma trận sao cho A  PBP 1 . Chứng minh rằng Ak  PB k P 1 với mọi k  . Hƣớng dẫn: Sử dụng tính chất Ak  PBP1.PBP 1...PBP 1 (k lần) và P.P 1  I . Sinh viên cho ví dụ minh họa.  4 3 3. Cho ma trận A     2 1 a) Xác định đa thức đặc trưng và các giá trị riêng của A. b) Xác định một cơ sở của không gian vector riêng tương ứng c) Chứng tỏ rằng A chéo hóa được. Tìm một ma trận khả nghịch P và ma trận đường chéo D sao cho A  PDP 1 d) Tính Ak với mọi số nguyên dương k. Hƣớng dẫn: Các câu a); b); c) làm tương tự như các ví dụ trong tài liệu. Câu d) áp dụng tính chất của bài 2.(Tức là khi A  PDP 1 thì Ak  PD k P 1 ). 2 2 1 4. Cho ma trận A  1 3 1   1 2 2  a) Xác định đa thức đặc trưng và các giá trị riêng của A. b) Xác định một cơ sở của không gian vector riêng tương ứng c) Chứng tỏ rằng A chéo hóa được. Tìm một ma trận khả nghịch P và ma trận đường chéo D sao cho A  PDP 1 d) Tính Ak với mọi số nguyên dương k. Hƣớng dẫn: Làm tương tự như bài 3.  3 12  3  2 5. Cho ma trận A    , u1  1 , u2  1  . Chứng minh rằng u1 , u2 là các vector riêng  2 7      của A. Hãy tìm một ma trận khả nghịch P và ma trận đường chéo D để A  PDP 1 . Hƣớng dẫn: Để chứng minh u1 , u2 là các vector riêng của A thì cần tìm các giá trị 1 ; 2 sao cho Au1  1u; Au2  2u . Khi đó, ma trận đường chéo D có dạng diag (1 , 2 ) . 6. Cho ma trận vuông cấp 4 A có các giá trị riêng là 5, 3, -2. Giả sử không gian vector riêng ứng với giá trị riêng   3 có chiều là 2. Hỏi ma trận A có chéo hóa được không? Hƣớng dẫn: Dựa vào điều kiện chéo hóa được của ma trận. 7. Hãy xác định đa thức đặc trưng và một cơ sở không gian vector riêng của các ma trận sau. Trong số các ma trận sau đây ma trận nào chéo hóa được, khi đó hãy tìm ma trận khả nghịch P và ma trận đường chéo D sao cho A  PDP 1 . 2 7 a)   7 2  5 3  4 3    1 0 1 b)  2 3 1  0 6 0   3 4  4 8     6 2 0   2 9 0     5 8 3 0 3 1  3 0 2    1 2 0  2 4  12 1 4 9  6 5 2 4   3 4 5 10  8. Xác định đa thức đặc trưng của ma trận sau trên  1 0 c)  1  1 0 1 1 1 1 1  1 1 0  1 0 1 0 1  1  1 1 1 1 0 1 1  1 0 1  1 1 0 a a b 1 b   A    a 1 c  và B   c  b c 1   d       b c a d d a c b 2 d  c  b   a 9. Chéo hóa các ma trận sau (nếu được). 1 3 1 1 5    5 1 0 5   4 16  7 2 5 8    2 2 5 4 2 2 2 4 2    2 2 4   2 3  4 1   0 1  1  1  5 3 0 3  0 0  0 0 1 1 1 0 1 1  1 0 1  1 1 0  1 4 2   3 4 0     3 1 3  9 1 2  2 0  0 2 0 10. Cho ma trận A trên trường số thực  như sau 7 9 1 5 8 3 2 4  A 0 0 3 6   0 1 8  0 a) Tính det A b) Tính det( A   I 4 ) với    . c) Tính det f ( A) biết rằng f ( x)  x n  x 2  1 . Hƣớng dẫn: a) Đa thức đặc trưng của A là : (t  5)2 (t  6)(t  7) . Giá trị riêng là 5, 6, 7 detA= 5.5.6.7 = 1050. b) Đa thức det( A   I 4 )  (5   )(5   )(6   )(7   )  (5   )2 (6   )(7   ) c) det f ( A)  f (5) f (5) f (6) f (7)  (5n  24)2 (6n  35)(7n  48) 1 1 11. Chéo hoá ma trận A    trên  và  .  2 1 1 1 5 2  1 2  4 13) Chéo hoá ma trận A   2  1 1 0 14) Chéo hóa ma trận A   1  1 0 1 1 1  1 7 15) Cho ma trận A   2 8   4 16 a) Chéo hoá ma trận A . 1 1 1 0 5 6  12  1 1  0  1 b) Hãy tính luỹ thừa ma trận An .  1 7 16) Cho ma trận A   2 8   4 16 5 6  12  a) Hãy tính đa thức ma trận f ( A) , trong đó f (t )  t n  t 2  1 [t ] . b) Hãy tìm một ma trận B trên trường số thực  sao cho B2  A . é2 0 0ù ê ú ê 17) Cho ma trận A = ê0 3 0úú ê ú êë0 1 2ú û a) Chéo hóa A . n é2 0 0ù éa (n ) a (n ) a (n ) ù 12 13 ê ú ê 11 ú ê ú ê b) Đặt ê0 3 0ú = êa 21(n ) a 22 (n ) a 23 (n )úú . ê ú ê ú êë0 1 2ú êëa 31(n ) a 32 (n ) a 33 (n )ú û û Tính lim n® ¥ a 22 (n ) a 32 (n ) 3 và S = 3 å å a ij (n ) . i= 1 i= 1 Hƣớng dẫn: 2 0 0 Đặt A   0 3 0  . Tính An bằng cách chéo hoá ma trận A .  0 1 2  * Đa thức đặc trưng f A (t ) của ma trận A là f A (t )  (t  2)(3  t ) . Giải phương trình đặc trưng f A (t )  0 , ta nhận được các nghiệm phân biệt 2,3. Do đó các giá trị riêng phân biệt của ma trận A là t  2,3 . * Với t  2 , ta có E A (2)  (1,0,0),(0,0,1) và cơ sở S1  {v1  (1,0,0), v2  (0,0,1)}. Với t  3 , ta có E A (1)  (0,1,1) và cơ sở S2  {v3  (0,1,1)} . * Do S  S1  S2  S3  {v1 , v2 , v3} nên ma trận A chéo hoá được và D  P 1 AP , trong đó ma trận khả nghịch P với các cột là các véc tơ riêng v1 , v2 , v3 và ma trận đường chéo D với các phần tử trên đường chéo chính 2,2,3 tương ứng với các véc tơ riêng v1 , v2 , v3 . 1 0 0   2 0 0   P  [v1 v2 v3 ]  0 0 1  và D  diag(2, 2,3)  0 2 0  0 1 1   0 0 3 A  PD P n n 1 1 0 0   2  0 0 1   0 0 1 1   0  2n 0  0 3n  0 3n  2n  0 0  1 0   2 0  0 1 0 3  0 1 0  0 2n  0 1  0  a22 (n) 3n  lim n  1. n  a ( n) n  3  2 n 32 a) Ta có a22 (n)  3n , a32 (n)  3n  2n và do đó lim 3 3 b) Ta có S   aij (n)  2n  3n  3n  2n  2n  2n  2·3n . i 1 i 1 II. Tìm giá trị riêng – vector riêng -Tìm cơ sở của không gian vector V để ma trận của một phép biến đổi tuyến tính f trong cơ sở đó là ma trận chéo. Ví dụ: Cho T là toán tử tuyến tính trên  3 xác định bởi T ( x1 , x2 , x3 )  (2 x1  4 x2  3x 3 , 4 x1  6 x2  3x3 ,3x1  3x2  x3 ) Hãy xác định các giá trị riêng và vector riêng của T. Giải Ma trận của toán tử tuyến tính trên  3 đối với cơ sở chính tắc của  3 là: 2 4 3 A   4 6 3  3 3 1  Đa thức đặc trưng của ma trận A là f A (t )  t 3  3t 2  4  (t 1)(t  2)2 . Giải phương trình đặc trưng f A (t )  0 ta được các nghiệm là t = 1 và t = 2. Vậy ma trận A có hai giá trị riêng là   1;   2 . Khi tìm cơ sở của các không gian riêng E A (1) và E A (1) ta được: 1  1   Cơ sở của E A (1) là u1   1 và cơ sở của EA (2) là u2   1  .  1   0  Vậy f không chéo hóa được. Chú ý: Để nghiên cứu một phép biến đổi tuyến tính f : V  V , ta quy về việc nghiên cứu ma trận của f. Từ đó dẫn đến việc cần tìm cơ sở để ma trận của f trong cơ sở đó là ma trận chéo. Để tìm cơ sở này ta thực hiện như sau: - Đầu tiên ta tìm các vector riêng độc lập tuyến tính của f. - Nếu f có ít hơn n vector riêng độc lập tuyến tính (chú ý dim V = n) thì không có cơ sở nào của f để ma trận của f trong cơ sở đó là ma trận chéo. - Nếu f có đúng n vector riêng độc lập tuyến tính thì n vector riêng đó làm thành cơ sở B của V mà ma trận A của f trong cơ sở B đó là ma trận chéo. Cụ thể: 1 0 0  2 A/ B    ... ...  0 0 0 ... 0  với 1 , 2 ,..., n là các giá trị riêng ứng với các vector riêng  i . ... ...   ... n  ... (Các i có thể trùng nhau). Ví dụ: Trong  3 cho cơ sở u1  (1,1,1); u2  (1,1, 0); u3  (1, 0, 0) và một phép biến đổi tuyến tính f :  3   3 sao cho: f (u1 )  (4,3, 2); f (u2 )  (4,3,1); f (u3 )  (1, 0, 0) a) Hãy tìm công thức của f, tức là tìm f ( x1 , x2 , x3 ) b) Tìm một cơ sở của  3 để ma trận của f trong cơ sở này là ma trận chéo. Hƣớng dẫn: a) Gọi x  ( x1 , x2 , x3 )  3 , giả sử x  a1u1  a2u2  a3u3 Xét hệ 1 1 1 x1  1 1 1 x1  1 1 1 x1  1 1 0 x2  1 0 0 x3            1 1 0 x2   0 0 1 x1  x2   0 1 1 x1  x3    0 1 0 x2  x3    0 1 0 x2  x3  1 0 0 x3  0 1 1 x1  x3  0 0 1 x1  x2   0 0 1 x1  x2   0 0 1 x1  x2   a1  x3  Suy ra, a2  x2  x3 a  x  x 1 2  3 Ta có: 4  4 1      f ( x)  a1 f (u1 )  a2 f (u2 )  a3 f (u3 )  x3  3    x2  x3   3    x1  x2  0   ( x1  3x2 ,3x2 , x2  x3 )  2  1  0  b) Ma trận của f đối với cơ sở chính tắc là: 1 3 0  A  0 3 0  0 1 1  1  Xét PA ( )  0 0 3 0 3 0 1 1   (1   ) 2 (3   ) Suy ra PA ( )  0    1    3 Do đó, f có hai giá trị riêng là   1,   3 . Ứng với giá trị riêng   1 , xét hệ pt: 0 3 0 0  0 1 0 0      A  0 2 0 0   0 0 0 0  0 1 0 0  0 0 0 0  Hệ có vô số nghiệm phụ thuộc 2 tham số:  x1  a     x2  0 x  b    3 Khi đó, f có hai vector riêng độc lập tuyến tính là 1  (1, 0, 0); 2  (0, 0,1) . Ứng với giá trị riêng   3 , xét hệ pt: 2 3 0 0  2 3 0 0       0 0 0 0    0 1 2 0   0 1 2 0   0 0 0 0  Hệ pt có vô số nghiệm phụ thuộc 1 tham số:  x1  3t   x2  2t x  t    3 Vector riêng ứng với giá trị riêng   3 là  3  (3, 2,1) Do f có 3 vector riêng độc lập tuyến tính nên f chéo hóa được và cơ sở B  (1 ,  2 ,  3 ) là cơ sở mà ma trận của f đối với cơ sở này có dạng chéo là: 1 0 0  0 1 0    0 0 3  1. Bài tập: 1. Cho toán tử f :  3   3 xác định bởi: f ( x1 , x2 , x3 )  (3x1  2 x2 , 2 x1  3x2 ,5 x3 ) Toán tử f có chéo hóa được không? Tìm cơ sở của  3 mà trong cơ sở ấy f có dạng chéo (nếu có). Hƣớng dẫn: Tìm ma trận A của f đối với một cơ sở nào đó, có thể chọn cơ sở chính tắc để đơn giản. Sau đó, tìm các giá trị riêng và vector riêng của ma trận A. Kiểm tra xem A có chéo hóa được không? Kết luận. 2. Trong  3 cho cơ sở gồm các vector u1  (1,1,1); u2  (1, 2,1); u3  (1,3, 2) . Gọi f :  3   3 là ánh xạ tuyến tính xác định bởi f (u1 )  (0,5,3); f (u2 )  (2, 4,3); f (u3 )  (0,3, 2). a) Hãy tìm công thức của f. b) Hãy tìm một cơ sở trong đó ma trận của f đối với cơ sở này có dạng chéo. Hướng dẫn: Làm tương tự như ví dụ. 3. Hãy chéo hóa (nếu có thể) các toán tử tuyến tính f :  3   3 cho sau đây: a) f (x, y, z) = (x + y, 2y + z, 2y + 3z) b) f (x, y, z) = (x + y, y + z, -2y – z) c) f (x, y, z) = (x – y + z, x + y – z, -x + y + z) d) f (x, y, z) = (x – y, y – z, x + z) III. Dạng chính tắc Jordan: 1. Tìm dạng chính tắc của 1   ma trận: Hãy tìm dạng chính tắc của các   ma trận sau:  1  a)   0   2  1  1      1   2  1 b)  2 0     0   5 c)   1 0 0  0  1 0  d)  0 0  1   0 0 0  Hƣớng dẫn: Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa về dạng chính tắc. a) Ta có: 0    1  c  c  1   d  d   d  1   c c   c  1      0   0   0  2   0  2            1 2 2 2 1 2 2 1 0  1 d 2  d 2    2 0     Các câu còn lại sinh viên làm tương tự. 2. Tìm dạng Jordan của một ma trận: Hãy tìm dạng Jordan của các ma trận sau (bằng cách đưa A   I về dạng chính tắc và suy ra ma trận J đồng dạng với A).  0 1 0 a) A   4 4 0   2 1 2   2 6 15 b) 1 1 5  1 2 6   9 6 2  c) 18 12 3 18 9 6  1  2 d)  0   1 3 0 3 6 0 13 3 1 3   4 0 8   3 4 0 2   4 5 2 4   e)   0 0 3 2     0 0 2 1 Hƣớng dẫn: a) Xét ma trận A   I 1 0   1  0  1  0         A   4 4   0    4   4 0   0 4   (4   ) 0   2 1 2     1 2 2    0 2   2     0  1  0  1  0 1        2  0   4  4 0   0 2   2     0 2   2  0 2   2    0  2  4  4 0  0 0 (2   )(  2)  0 0 0 0 1  1       0 2   2 0    0 2    0 0 (2   )(  2)  0 0 (2   )(  2)  Dạng Jordan của ma trận A là: 2 0 0  0 2 0     0 0 2  b) Các câu còn lại sinh viên làm tương tự. Bài tập về ma trận đồng dạng: 1) Cho A và B là các ma trận đồng dạng trên K . Chứng minh rằng a) det A  det B . b) rankA  rankB . c) tr( A)  tr( B) . Hƣớng dẫn: Do A đồng dạng với B nên tồn tại ma trận P khả nghịch để A  PBP1 . a) det A  det( PBP1 )  det P·det B·P1  det P·det P1 det B  det B . b) rankA  rank( PBP1 )  rank( P( BP1 ))  rank( BP1 )  rankB . c) tr( A)  tr( PBP1 )  tr(( PB) P1 )  tr( P1 ( PB))  tr( P1PB)  tr( B) . Sinh viên tìm ví dụ minh họa. 2) Cho A và B là các ma trận đồng dạng trên K . Chứng minh rằng a) Ak và Bk đồng dạng. b) f ( A) và f ( B ) đồng dạng với mọi f (t )  K [t ] . c) A khả nghịch khi và chỉ khi B khả nghich. d) Nếu A khả nghịch thì AB và BA đồng dạng. Hƣớng dẫn: a) Do A đồng dạng với B nên tồn tại ma trận P khả nghịch để A  PBP1 . Ta có Ak  ( PBP1 )k  ( PBP1 )( PBP1 )( PBP1 )  PBk P1 . Vậy Ak và Bk đồng dạng. 0,5đ b) Do A đồng dạng với B nên tồn tại ma trận P khả nghịch để A  PBP1 . k k k i 1 i 1 i 1 Giả sử f (t )   ait i  K [t ] . Khi đó f ( A)   ai Ai , f ( B)   ai B i và k f ( A)   ai Ai i 1 k k i 1 i 1   ai ( PBP 1 )i   ai ( PB i P 1 ) k  k    P(ai B i ) P 1  P   ai B i  P 1 i 1  i 1  1  Pf ( B) P Vậy f ( A) và f ( B ) đồng dạng. c) Do A và B đồng dạng nên det A  det B . Khi đó det A khác 0 khi và chỉ khi det B khác 0. Do đó A khả nghịch khi và chỉ khi B khả nghich. d) Do A đồng dạng với B nên tồn tại ma trận P khả nghịch để A  PBP1 . Nếu A khả nghịch thì AB  ( AB)( AA1 )  A( BA) A1 . Do đó AB và BA đồng dạng. Sinh viên cho ví dụ minh họa. 3) Chứng minh rằng nếu một trong hai ma trận vuông cùng cấp A và B là không suy biến thì AB và BA đồng dạng. 4) Hãy tìm tất cả các ma trận vuông cấp n trên trường số thực mà chỉ đồng dạng với chính nó. 5) Chứng minh các cặp ma trận sau đồng dạng bằng cách chứng minh rằng A   I đồng dạng với B   I :  3 2 5   6 20 34    a) A   2 6 10  và B   6 32 51 1 2 3   4 20 32   6 6 15  37 20 4    b) A  1 5 5  và B   34 17 4  1 2 2  119 70 11 6) Chứng minh rằng: a) Mọi ma trận vuông phức A đều đồng dạng với một ma trận Jordan J (sự đồng dạng này là duy nhất nếu không kể đến thứ tự của các ô Jordan. b) Mọi toán tử tuyến tính f trên không gian phức n chiều V đều có cơ sở Jordan, tức là cơ sở của V mà trong đó ma trận của f đối với cơ sở này là ma trận Jordan. 7) Chứng minh rằng: a) Nếu V là không gian vector trên trường số phức  thì mọi phép biến đổi tuyến tính của V đều có ít nhất một không gian con bất biến 1 chiều. b) Nếu V là không gian vector trên trường số thực  thì mọi phép biến đổi tuyến tính của V đều có ít nhất một không gian con bất biến hoặc 1 chiều hoặc 2 chiều. 9.1 Chứng minh rằng: Định thức sẽ bằng không nếu: a/ Trong định thức có hai dòng (hay hai cột) giống nhau. b/ Trong định thức có hai dòng (hay hai cột) tỷ lệ với nhau. c/ Trong định thức có một dòng (hay một cột) là tổ hợp tuyến tính của các dòng (hay các cột) còn lại của định thức. 9.2 Chứng minh rằng: Trong một định thức, tổng các tích của các phần tử của một dòng (hoặc một cột) với phần bù đại số của các phần tử tương ứng của một dòng (hoặc cột) khác đều bằng 0. 9.3 Giả sử A  (a ij ) nn , A1 , A 2 ,, A n là các cột của A. Chứng minh rằng: det A  0  hệ véc tơ A1 , A 2 ,, A n  là hệ véc tơ độc lập tuyến tính. 9.4 Chứng minh rằng: các phép biến đổi sơ cấp thực hiện trên một ma trận không là thay đổi hạng của ma trận đó.   9.5 Cho A  aij mn , B là ma trận vuông không suy biến cấp m. Chứng minh rằng rankB . A  rankA .   Còn nếu A  aij mn , B là ma trận vuông không suy biến cấp n thì rankA.B  rankA . Còn   nếu A  aij nn , B là ma trận vuông không suy biến cấp n thì rankA.B  rankB.A  rankA . 9.6 Nếu A và B là các ma trận vuông cấp n có A.B  B.A thì: a/ (A  B ) 2  A 2  2A.B  B 2 ; b/ (A  B )(A  B )  A 2  B 2 ; c/ (A  B )3  A 3  3A 2 .B  3A.B 2  B 3 9.7 Chứng minh rằng: Nếu ma trận vuông A có A 2   thì các ma trận A  E vµ A  E là những ma trận không suy biến. 9.8 Định thức cấp n sẽ thay đổi thế nào nếu: a/ Đổi dấu tất cả các phần tử của nó. b/ Viết các cột (hay các dòng của nó) theo thứ tự ngược lại. 9.9 Cho A là ma trận vuông cấp n và nếu det A  det(kA) . Hãy tính k. 9.12 Chứng minh rằng: Nếu det A  2 thì các phần tử của ma trận nghịch đảo không thể gồm toàn các số nguyên.  1 2  4 5  7 0      9.16 Cho các ma trận A  3  1 ; B  0 2 ; C   4 9   2 3  1  4  2  8       Hãy tính a/ 3A  2B ; b/ 5A  4B  2C  5 2  9.17 Cho A   7  4 ; B   3 1  Tìm A  A C và B  B C . 1 3  2  5   1 3   4 3 2   9.18 Cho A  5  1 ; B    2 1  . Tìm X biết a/ 2A  3X  B; b/ 3A  X   ; 3 1   1 2 3     9.19 Tính: a/ A4 với A   0 1  ; 0 0 b/ B3 với B   cos a  sin a   sin a cos a  9.20 Chứng minh rằng: ma trận X   a b  thoả mãn phương trình: c d X 2  (a  d)X  (ad  bc)E   , trong đó E   1 0  ;    0 0  0 1 0 0 9.21 Chứng minh rằng: không tồn tại các ma trận vuông cùng cấp A và B sao cho AB  BA  E , trong đó E là ma trận đơn vị cùng cấp với A và B. 9.22 Cho X   1 0 . TÝnh f (X )  X 2  4 X  3E , trong đó E   1 0  . 2 3 0 1 9.23 Cho A   1 2  ; B   2 1  vµ f (X )  X 3  3X 2  5X  E . Tính f(AB).   2 3 3 4 1 0 0  0 1 0  là nghiệm của đa thức X  9.24 Chứng minh rằng: ma trận 0 0 3   f (X)  X 3  X 2  9X  9E .  1 2 0  9.25 Tìm (f(A)) nếu A   0 1  2  và f ( X )  X  E . 1 0 3    2 Giải các phương trình sau: 9.26 det 2 3  x   0 ; 4  x 3  2 3 1 9.27 det x 1 2   det 2 / 3 1  . 1 3 x  31 / 3  2     12 x  2   6  9.28 det 8 4  x 0   0 . x  3 0 0   9.29 Cho a1, a2, …, an–1 là các hằng số tuz { cho trước, khác nhau và khác 0. Giải phương trình:  x   a1 det a 2 . . .   a n 1 x2 a 12 a 22 ... a 2n 1 x3 a 13 a 32 ... a 3n 1 . . . . . . . . . . . . . . . xn   a 1n  a 2n   0 . . .  an  1 1 9.30 Tính các định thức sau: a/ D  1 1 1      (  1) 2 (  1) 2 (  1) 2 (   1) 2 (  1) 2 (  2) 2 (  2) 2 (  2 ) 2 (   2) 2 (  2 ) 2 (  3) 2 (  3) 2 (  3) 2 (   3) 2 (  3) 2 ax x x b/ D  x b  x x x x cx 1 1 1 1 1 x 1 9.31 Giải phương trình: 1 1 2  x . . . . . . . 1 1 1 . . . . . . . . . . . 1 . 1 0 . 1 . . . . . . . (n  1)  x Sử dụng tính các chất của định thức, tính các định thức từ bài 32 đến bài 36: 9.32 D  1273 2273 1272 2272 461 373 654 2 ; 9.33 a/ D  2 2 363 275 556 3 1 9.34 a/ D  4 2 7 9 4 1 6 2 8 4 2 1 ; 3 5 0 1 1 b/ D n  . 1 1 b/ D n 1 a0 a1 a  2 ... a n 1 an 1 0 x . x x 1 x 0 . . 0 0 1 x 0 . x x . . . . . . 0 1 x . . 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 x x . 0 x . . . . . . 0 0 0 . x 0 1 x x . x 0 0 0 0 . . 1 x 2 9.35 D  3 4 2 3 4 6 3 1 2 3 9.36 a/ D n  4 . n 1 2 2 c/ D n  2 . 2 2 2 2 2 . 2 2 2 3 2 . 2 4 5 8 7 5 6 ; 10 8 2 2 3 4 . n 3 3 3 4 . n 4 4 4 4 . n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 . 2 . n 2 2 2 4 . 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . n 1 2 n 2 2 n ; b/ D5  2 2 n 2 2 . 2 2 n 2 2 3 2 2  0  0 0 9.37 Cho ma trận A cấp 10 10 có dạng: A    0  10 10  2 2 2 4 2 2 2 2 ; 2 5 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  , các phần tử 0 1 0 0  dạng a 10 ,1  10 10 ; a k , k 1  1  k  1,9 ; E là ma trận đơn vị cấp 10. Chứng minh rằng: det(A  E)  10  10 10 . 9.38 a/ Dùng công thức khai triển định thức, tính các định thức sau: 3 0 a/ D  0 1 0 1 0 2 5 2 2 3 1 3 3 1 2 0 0 0 1 2 0 ; b/ D  0 0 1 3 0 0 0 0 2 4 0 0 0 0 0 0 2 6 0 0 0 5 1 1 0 0 0 0 5 6 9 1 2 3 1 8 10 2  5 1 3 9.39 Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A    1 2 1   1 3 2   9.40 Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận:  1  a/ A   2 1  1  2 5 4 3 1 1 2 3 1 0 0 2  ; b/ B   0  1 0  4 0  1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1  3 1 2   1 ; c/ C    2 4  1  ;  1 2 2  1    1 9.41 Giải phương trình ma trận: a/ AX  B 2  1 3  3 6  Với A   1 2 1  ; B   2  2  1 3 2  1 0       3 1 2    9 4  15  2 6 3 b/ AX  B  C với A   1 1  1 ; B   3 3  4  ; C   3 1 1  .  2 0 1   0 3 9  1 1 2       1 0  c/ AX  B với A   0  . 0 1 1 0 . 0 1 1 1 . 0 . . . . . . . . . . . . . . . 1 1  0 1   1 ; B   0 .  .  1 0 2 1 0 . 0 3 2 1 . 0 . . . . . . . . . . . n  . n  1  . n  2 . . . . . 1  9.42 Với giá trị nào của  thì các ma trận sau có ma trận nghịch đảo:  1 2 2   2 0  2 1  1  5  4 a/ A    3 0  ; b/ A   2  1  ; c/ A   3  1   ; d/ A   2 1   .  3   2 1  3  2 1 1 0 1          9.43 Dùng phương pháp định thức bao quanh, tìm hạng của ma trận: 1  1 a/ A   2 1 0  2 3 4 7 10 3 0 1 6 1 4 1 8; 9 10  1 0 B  0 0 1 1  1 2 0 0 3 3 2 1 3 0 6 3 3 2 3 4 12 5 1  2 3  0 2  1  9.44 Dùng các phép biến đổi sơ cấp, tìm hạng của ma trận: 1 A 2  1  3 2 1 3 3 1 1 2 2 1 2 1 3 1 4; 1 1   1  1 B  3 0 2  4 2 1 3 1 5 1 2 3 1 3 1 2 3 3 1 0 1  3  2  9.45 Chứng minh rằng một ma trận có hạng bằng r bao giờ cũng viết được thành tổng của r ma trận có hạng bằng 1. 9.46 Cho hai ma trận cùng cấp A và B, chứng minh rằng rank(A  B)  rankA  rankB . 9.47 Xét sự phụ thuộc tuyến tính của hệ véc tơ a/ A1  (1,0,  3,1); A2  (1,  2,1,3); A3  (2,1,1,  1); A4  (4,  3,3,5) b/ B1  (1,0,  3,2); B 2  (1,  2,1,0); B 3  (2,0,1,  1); B 4  (2,  3,3,1)
- Xem thêm -