Tài liệu Giá của các biểu diễn trong lớp cohen (lv02131)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN THỊ HÀ GIÁ CỦA CÁC BIỂU DIỄN TRONG LỚP COHEN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Bùi Kiên Cường HÀ NỘI, 2016 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến TS. Bùi Kiên Cường, người thầy đã tận tình hướng dẫn động viên tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu khoa học để hoàn thành luận văn này. Tôi xin cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ bộ môn Toán Giải tích, khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy, giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi hoàn thành tốt luận văn. Đồng thời, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các anh chị và các bạn lớp cao học đã giúp đỡ tôi trong quá trình nghiên cứu của mình. Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè và các đồng nghiệp luôn động viên và chia sẻ khó khăn cùng tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Hà Nội, tháng 12 năm 2016 Học viên Nguyễn Thị Hà Lời cam đoan Luận văn tốt nghiệp "Giá của các biểu diễn trong lớp Cohen" được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình, nghiêm khắc của thầy giáo - TS. Bùi Kiên Cường. Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã thừa kế những thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 12 năm 2016 Học viên Nguyễn Thị Hà Mục lục Bảng ký hiệu và viết tắt 2 Mở đầu 3 Lý do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Mục đích nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Nhiệm vụ nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Đóng góp của đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số không gian hàm 1.1.1 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Không gian Lp , các bất đẳng thức trong không gian Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Không gian hàm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.3 Không gian hàm suy rộng D (Ω) . . . . . . . . . . 8 1.1.4 Không gian các hàm giảm nhanh S(Rn ) . . . . . 10 1.1.5 Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S (Rn ) . 11 1.1.6 Không gian E (Rn ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.1.7 Tích chập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.1.8 1.2 6 Các toán tử cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 iii 1 1.2.1 1.2.2 Biến đổi Fourier của hàm suy rộng . . . . . . . . 19 Biểu diễn thời gian - tần số . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3.1 Nguyên lý không chắc chắn . . . . . . . . . . . . 20 1.3.2 Biến đổi Fourier thời gian ngắn STFT . . . . . . 24 1.3.3 1.3 Biến đổi Fourier của các hàm thuộc L1 (Rn ) và S(Rn ) 15 Một số phân bố thời gian - tần số quan trọng . . 30 2 Giá của các biểu diễn trong lớp Cohen 36 2.1 Lớp phân bố Cohen trong giải tích thời gian - tần số . . 36 2.2 Nhân Cohen có giá compact . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 BẢNG KÝ HIỆU VÀ VIẾT TẮT N Tập số tự nhiên N∗ Tập số tự nhiên khác không R Tập số thực R∗ + Tập số thực dương C Tập số phức K Tập số thực hoặc phức S1 Đường tròn đơn vị với tâm là gốc tọa độ Rn Không gian Euclide n - chiều Lp (Rn ) Không gian các hàm có lũy thừa bậc p khả tích trên Rn C ∞ (Ω) Không gian các hàm khả vi vô hạn trong Ω ∞ C0 (Ω) Không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact trong Ω α Là đa chỉ số, α = (α1 , · · · , αn ) ∈ N |α| Cấp của α, |α| = n αj j=1 Kết thúc chứng minh W igψ (f ) Biểu diễn Wigner với hàm cửa sổ ψ (τ ) W ig( f, g) τ − biểu diễn Wigner Spφ1 ,φ2 (f, g)Ảnh phổ tổng quát đối với hai cửa sổ φ1 , φ2 S(Rn ) Không gian Schwartz S (Rn ) Không gian các hàm suy rộng tăng chậm I. Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Lớp Cohen các biểu diễn thời gian tần số gồm các biểu diễn có dạng Q(f ) = σ ∗ W (f ), trong đó σ ∈ S (R2n ) là một hàm suy rộng được gọi là nhân Cohen còn W (f ) là phân bố Wigner của các hàm f ∈ S(Rn ) có dạng W (f )(x, w) = f x+ Rn t f 2 x− t −2πiwt e dt. 2 Lớp Cohen bao trùm hầu hết các lớp biểu diễn thời gian - tần số có ứng dụng tốt trong khoa học và công nghệ xử lý tín hiệu hiện nay bởi tính chất tạo ra cửa sổ quan sát tín hiệu cả theo thời gian và tần số. Một trong những mong muốn của khoa học công nghệ là cửa sổ quan sát của một tín hiệu của một biểu diễn thuộc lớp Cohen là có kích thước thuận tiện cho thực hành, tuy nhiên, điều này gặp trở ngại do nguyên lý không chắc chắn xảy ra đối với mỗi biểu diễn loại này. Việc nghiên cứu về giá của các biểu diễn thời gian - tần số trong lớp Cohen nhằm giúp trả lời câu hỏi với điều kiện nào thì giá của một biểu diễn thuộc lớp Cohen không tầm thường không thể là compact có liên quan mật thiết tới nguyên lý không chắc chắn, và do đó ảnh hưởng tới các giải pháp công nghệ trong xử lý tín hiệu mà sử dụng các biểu diễn này. 3 4 Với mong muốn được tìm hiểu sâu về lĩnh vực này và được sự quan tâm giúp đỡ của TS Bùi Kiên Cường, tôi lựa chọn đề tài: "Giá của các biểu diễn trong lớp Cohen" để nghiên cứu và thực hiện luận văn tốt nghiệp. 2. Mục đích nghiên cứu + Hệ thống hóa được những kiến thức cơ bản của giải tích thời gian - tần số. + Trình bày các kết quả nghiên cứu gần đây về giá của các biểu diễn thuộc lớp Cohen. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Làm một báo cáo tổng quan thể hiện đầy đủ mục đích nghiên cứu, nội dung và phương pháp nghiên cứu. Báo cáo có thể là một tài liệu tham khảo tốt cho những người quan tâm về lý thuyết biểu diễn thời gian - tần số, về giá của các biểu diễn thuộc lớp Cohen. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu + Đối tượng nghiên cứu: Biểu diễn thời gian - tần số, lớp Cohen, nguyên lý không chắc chắn. + Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo và các tài liệu trong và ngoài nước liên quan đến các đối tượng nghiên cứu. 5. Phương pháp nghiên cứu + Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm, phương pháp nghiên cứu lý thuyết để tiếp cận vấn đề. 5 + Thu thập và nghiên cứu các tài liệu có liên quan, đặc biệt là các bài báo mới trong và ngoài nước về vấn đề mà luận văn đề cập tới. 6. Đóng góp của đề tài Luận văn là một công trình nghiên cứu tổng quan về tính chất giá của các biểu diễn thời gian - tần số thuộc lớp Cohen. Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Một số không gian hàm Không gian Lp , các bất đẳng thức trong không gian Lp Định nghĩa 1.1. Cho không gian E và một độ đo µ trên một σ− đại số F các tập con của E. Họ tất cả các hàm f có lũy thừa bậc p (1≤ p < ∞) của modun khả tích trên E, có nghĩa là: |f |p dµ < ∞, E được gọi là không gian Lp (E, µ). Khi p = ∞, kí hiệu L∞ (E, µ) là không gian các hàm bị chặn cốt yếu trên E, tức là f ∈ L∞ (E, µ) ⇔ ∃M > 0 sao cho |f (x)| ≤ M với hầu khắp x ∈ E. Số f L∞ = esssup |f (x)| là số dương nhỏ nhất trong các số M x∈E thỏa mãn |f (x)| ≤ M hầu khắp x ∈ E. được gọi là chuẩn của f trong L∞ (E, µ). 6 7 Định lý 1.1. Với p ∈ [1, ∞], Lp (E, µ) là không gian Banach với chuẩn f Lp 1 p p (1 ≤ p < ∞). |f (x)| dx = E và f ∞ L = esssup |f (x)| , (p = ∞). E Hệ quả 1.1. Nếu một dãy {fn } hội tụ trong Lp (E, µ) thì nó chứa một dãy con {fnk } hội tụ hầu khắp nơi. Định lý 1.2. Nếu µ (E) < ∞ và 1 ≤ p ≤ q < ∞ thì f p ≤ f 1 1 p − q và Lq (E, µ) ⊂ Lp (E, µ) ⊂ L1 (E, µ) . q (µ (E)) Hệ quả 1.2. Không gian Lp (E, µ) tách được. Định lý 1.3 (Bất đẳng thức H¨lder). Giả sử (E, F, µ) là một không o gian độ đo. Nếu f, g là những hàm đo được xác định trên E và p, q là hai số thực sao cho 1 < p < ∞ và + 1 q p |f g| dµ ≤ E 1 p = 1 thì: 1 p 1 q q |g| dµ |f | dµ E . (1.1) E Định lý 1.4 (Bất đẳng thức Minkowski). Nếu f, g là những hàm đo được xác định trên E và p là số thực sao cho 1≤ p <∞ thì: p |f + g| dµ 1 p p ≤ E |f | dµ 1 p p |g| dµ + E 1 p . (1.2) E Định lý 1.5 (Bất đẳng thức Young). Giả sử f ∈ L1 (Rn ) và g ∈ Lp (Rn ) thì tích phân Rn f (x − y) g (y) dy là tồn tại hầu khắp nơi theo x ∈ Rn . Nếu giá trị của tích phân này được ký hiệu bởi (f ∗ g)(x) thì (f ∗ g) ∈ Lp (Rn ) và f ∗g p ≤ f 1. g p. (1.3) 8 1.1.2 Không gian hàm cơ bản Với Ω là một tập con mở của Rn , chúng ta có: Định nghĩa 1.2. Không gian các hàm cơ bản được kí hiệu là D(Ω), là ∞ không gian gồm tất cả các hàm ϕ ∈ C0 (Ω). Các hàm thuộc D(Ω) được gọi là hàm thử (hay hàm cơ bản). Định nghĩa 1.3. Dãy {ϕj }∞ các hàm trong D(Ω) được gọi là hội tụ j=1 đến hàm ϕ ∈ D(Ω) nếu thỏa mãn hai điều kiện sau: 1. Có một tập compact K ⊂ Ω mà suppϕj ⊂ K, j = 0, 1, 2, ... 2. lim sup |Dα ϕj (x) − Dα ϕ(x)| = 0, với mọi α ∈ Nn . j→∞ Khi đó ta viết là ϕj → ϕ khi j → ∞ trong D(Ω). Ở đây với mọi đa chỉ số α = (α1 , α2 , ...αn ) ∈ Nn ký hiệu α α ∂α ∂α ∂α α Dα ϕ = D1 1 D2 2 ...Dn n ϕ = (−1)|α| ∂xα11 ∂xα22 ... ∂xαn ϕ. n n 1 2 Định lý 1.6. Không gian D(Ω) là đầy đủ. 1.1.3 Không gian hàm suy rộng D (Ω) Định nghĩa 1.4. Mỗi phiếm hàm tuyến tính liên tục trên D(Ω) được gọi là một hàm suy rộng trong Ω. Không gian tất cả các hàm suy rộng trong Ω được kí hiệu là D (Ω). Hàm suy rộng còn được gọi là phân bố. Hàm suy rộng f ∈ D (Ω) tác động lên mỗi ϕ ∈ D(Ω) được viết là f, ϕ . Nhận xét 1.1. Tính liên tục và tuyến tính của hàm suy rộng f ∈ D (Ω) được hiểu như sau: 1. Tính tuyến tính: Với mọi ϕ, ψ ∈ D(Ω), với mọi λ, µ ∈ C ta có: f, λϕ + µψ = λ f, ϕ + µ f, ψ . 9 2. f liên tục khi và chỉ khi với mỗi tập compact K ∈ Ω, tồn tại Cj > 0 và N ∈ Z+ sao cho: |f (ϕ)| ≤ C sup |Dα ϕ(x)| , |α| ≤ N . K Ví dụ 1.1. Hàm Dirac δ : ϕ → δ, ϕ = ϕ(0), ϕ ∈ D(Ω) là hàm suy rộng thuộc D(Ω). Định nghĩa 1.5. (Đạo hàm của hàm suy rộng). Cho f ∈ D (Ω), α = (α1 , α2 , ..., αn ) ∈ Nn . Đạo hàm cấp α của hàm suy rộng f trong Ω kí hiệu bởi Dα f , là ánh xạ từ D(Ω) vào C được xác định như sau: Dα f : ϕ → (−1)|α| f, Dα ϕ , ϕ ∈ D(Ω), |α| = α1 + α2 + ... + αn . Định lý 1.7 (Công thức Leibniz). Cho u ∈ D (Ω), f ∈ C ∞ (Ω) và α ∈ Zn + thì: α Dα (f u) = β≤α β Dβ f Dα−β u, trong đó α β α1 β1 = α2 αn ... β2 βn = n! , khi β ≤ α. β!(α − β)! Định nghĩa 1.6. Cho fk , f ∈ D (Ω), k = 1, 2, .... Ta nói rằng, dãy {fk }∞ hội tụ đến f trong D (Ω) khi k tiến ra vô cùng nếu: k=1 lim fk , ϕ = f, ϕ , với mọi ϕ ∈ D(Ω). k→∞ Kí hiệu: D _ lim fk = f . k→∞ Định lý 1.8. Không gian các hàm suy rộng D (Ω) là đầy đủ. 10 1.1.4 Không gian các hàm giảm nhanh S(Rn ) Định nghĩa 1.7. Không gian các hàm giảm nhanh, kí hiệu S(Rn ) là tập hợp được xác định bởi: S(Rn ) = ϕ ∈ C ∞ (Rn ) | xα Dβ ϕ(x) ≤ cα,β , ∀x ∈ Rn , ∀α, β ∈ Zn + cùng với khái niệm hội tụ được định nghĩa như sau: Dãy {ϕk }∞ trong S(Rn ) được gọi là hội tụ đến ϕ ∈ S(Rn ) nếu: k=1 lim sup xα Dβ ϕk (x) − xα Dβ ϕ(x) = 0, ∀α, β ∈ Zn + k→∞ x∈Rn Kí hiệu: S_ lim ϕk = ϕ. k→∞ Chú ý 1.1. 1. Hàm ϕ ∈ C ∞ (Rn ) là giảm nhanh, nghĩa là với mọi α, β ∈ Zn tồn tại cα,β sao cho xα Dβ ϕ(x) ≤ cα,β , với mọi x ∈ Rn khi và chỉ khi + một trong hai điều kiện sau thỏa mãn: a) Với mỗi m ∈ Z+ , β ∈ Zn có: + 1 + |x|2 m Dβ ϕ(x) ≤ cm,β , ∀x ∈ Rn hay b) Với mỗi m ∈ Z+ có: 1 + |x|2 m Dβ ϕ(x) ≤ cm , ∀x ∈ Rn . |β|≤m 2. Với mỗi α ∈ Zn , phép toán đạo hàm Dα là ánh xạ tuyến tính liên tục + từ S(Rn ) vào S(Rn ). 3. Với mỗi λ, µ ∈ C, ϕk , ψk , ϕ, ψ ∈ S(Rn ), k = 1, 2... nếu S_ lim ϕk = ϕ, S_ lim ψk = ψ k→∞ k→∞ thì S_ lim (λϕk + µψk ) = λϕ + µψ. k→∞ 4. Tập ∞ C0 (Rn ) trù mật trong không gian S(Rn ). Định lý 1.9. Không gian S(Rn ) là đầy đủ. 11 1.1.5 Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S (Rn ) Định nghĩa 1.8. Cho hàm suy rộng f ∈ D (Rn ). Hàm suy rộng f được gọi là hàm suy rộng tăng chậm nếu tồn tại một số tự nhiên m và một số dương C sao cho: 2 | f, ϕ | ≤ C sup { 1 + |x| m x∈Rn |Dα ϕ(x)|}, với mọi ϕ ∈ D(Rn ). |α|≤m Không gian các hàm suy rộng tăng chậm là không gian véctơ gồm tất cả các hàm suy rộng tăng chậm, được kí hiệu là S (Rn ). Nhận xét 1.2. Không gian hàm suy rộng tăng chậm S (Rn ) là không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên S(Rn ). Định nghĩa 1.9. Cho fk , f ∈ S (Rn ), k = 1,2,... Dãy {fk }∞ được gọi k=1 là hội tụ trong S (Rn ) đến hàm f ∈ S (Rn ), kí hiệu: S _ lim fk = f , k→∞ nếu thỏa mãn hai điều kiện sau: 1. Có một số tự nhiên m và một số dương C sao cho: | fk , ϕ | ≤ C sup { 1 + |x|2 x∈Rn m |Dα ϕ(x)|}, với mọi ϕ ∈ S(Rn ) |α|≤m 2. Dãy {fk }∞ là hội tụ trong D (Rn ) đến f . k=1 Ví dụ 1.2. Cho v ∈ L1,loc (Rn ) và |v(x)| ≤ C x N với N ∈ N∗ nào đó. 1 Khi đó v ∈ S (Rn ). Ở đây x = (1 + x2 ) 2 . Chứng minh. Thật vậy: vϕdx ≤ | v, ϕ | = N |v(x)| |ϕ(x)| dx Rn ≤ Csup x N +n+1 |ϕ(x)| |x ∈ Rn x −n−1 dx Rn ≤ C pN +n+1 (ϕ), ∀ϕ ∈ S. (1.4) 12 2 Trong đó pN (ϕ) = sup 1 + |x| N 2 Rn |Dα ϕ(x)| . |α|≤N Từ tính tuyến tính của v và bất đẳng thức nêu trên, ta suy ra v liên tục. Do đó v ∈ S (Rn ). Định nghĩa 1.10. Cho u là một hàm suy rộng tăng chậm, với mọi đa chỉ số α, đạo hàm của u kí hiệu ∂ α u được xác định bởi: (∂ α u) (ϕ) = (−1)|α| u(∂ α ϕ), ϕ ∈ S(Rn ). Nhận xét 1.3. Đạo hàm ∂ α u cũng là một hàm suy rộng tăng chậm. Nếu ϕk ⊂ S(Rn ) sao cho ϕk → 0 trong S(Rn ) thì ∂ α ϕk → 0 trong S(Rn ) khi k → ∞. Do đó (∂ α u) (ϕk ) → 0 khi k → ∞. Vậy (∂ α u) : S (Rn ) → S (Rn ) là ánh xạ tuyến tính liên tục. Định lý 1.10. Không gian S (Rn ) là đầy đủ. Nhận xét 1.4. Chúng ta có S(Rn ) ⊂ Lp (Rn ) ⊂ S (Rn ), với 1 ≤ p ≤ ∞. 1.1.6 Không gian E (Rn ) Ký hiệu C ∞ (Rn ) là không gian tất cả các hàm khả vi vô hạn trên Rn . Với topo xác định bởi khái niệm hội tụ của dãy được định nghĩa là sự hội tụ đều trên mỗi compact của Rn , C ∞ (Rn ) làm thành không gian Fréchet. Định nghĩa 1.11. Giá của hàm suy rộng u ∈ D (Rn ) được định nghĩa là tập hợp supp u = Rn \ ω | u = 0 trong ω . Hàm suy rộng u được gọi là hàm suy rộng có giá compact, nếu supp u là tập compact trong Rn . Tập hợp tất cả các hàm suy rộng u ∈ D (Rn ) 13 có giá compact trong Rn được ký hiệu là E (Rn ). Như vậy E (Rn ) = u ∈ D (Rn ) | supp u compact trong Rn . Định lý 1.11. Không gian E (Rn ) là đối ngẫu của không gian C ∞ (Rn ). Không khó khăn để chỉ ra ∞ C0 (Rn ) ⊂ S(Rn ) ⊂ C ∞ (Rn ) và E (Rn ) ⊂ S (Rn ) ⊂ D (Rn ). 1.1.7 Tích chập Định nghĩa 1.12. Cho các hàm ϕ, ψ ∈ S(Rn ). Tích chập của chúng, ký hiệu là ϕ ∗ ψ, là một hàm xác định bởi ϕ ∗ ψ(x) = ψ(x − y)ϕ(y)dy, x ∈ Rn . ϕ(x − y)ψ(y)dy = Rn (1.5) Rn Với mỗi ϕ ∈ S(Rn ) cố định, toán tử ϕ ∗ · là tuyến tính liên tục trên S(Rn ). Từ đó, ta có thể mở rộng định nghĩa tích chập của một hàm khả vi vô hạn giảm nhanh với một hàm suy rộng tăng chậm bởi Định nghĩa 1.13. Giả sử ϕ ∈ S(Rn ) và u ∈ S (Rn ). Khi đó, tích chập của chúng, cũng ký hiệu là ϕ ∗ u, là một hàm suy rộng tăng chậm được định nghĩa bởi ϕ ∗ u, ψ = u, ϕ ∗ ψ , ψ ∈ S(Rn ), ˜ (1.6) trong đó ϕ(x) = ϕ(−x). ˜ Định lý 1.12. Giả sử ϕ ∈ D(Rn ) và u ∈ D (Rn ). Khi đó, tích chập ϕ ∗ u là một hàm khả vi vô hạn của biến x ∈ Rn xác định bởi ϕ ∗ u, ψ = u, ϕ(x − ·) = u, Tx ϕ . ˜ Tích chập của hàm suy rộng µ ∈ E (Rn ) giá compact và hàm suy rộng u ∈ D (Rn ) là một hàm suy rộng thuộc D (Rn ), ký hiệu µ ∗ u, xác định bởi µ ∗ u, ϕ = µ, ϕ ∗ u . ˜ 14 Định nghĩa 1.14. Toán tử tích chập Tµ : D (Rn ) → D (Rn ), Tµ (u) = µ ∗ u được gọi là Hypoelliptic, nếu điều kiện Tµ (u) ∈ C ∞ (Rn ) kéo theo u ∈ C ∞ (Rn ). Trong trường hợp u = |α|≤m aα ∂ α δ là tổ hợp tuyến tính của hữu hạn các đạo hàm của hàm suy rộng Dirac thì Tµ trùng với toán tử đạo hàm riêng u = |α|≤m aα ∂ ∞ các hệ số aα là các C 1.1.8 α . Toán tử này là Hypoelliptic nếu và chỉ nếu hàm. Các toán tử cơ bản Định nghĩa 1.15. Với x, ω, y, t ∈ Rn và f ∈ S(Rn ) ta định nghĩa các toán tử sau đây: 1. Phép tịnh tiến theo x của f , kí hiệu Tx f là một "sự dịch chuyển thời gian" được xác định bởi: Tx f (t) = f (t − x). 2. Sự điều biến theo ω của f , kí hiệu Mω f được xác định bởi: Mω f (t) = e2πitω f (t). 3. Phép đối hợp của f , kí hiệu f ∗ được định nghĩa bởi: f ∗ (x) = f (−x) 4. Toán tử đối xứng của f , kí hiệu f được xác định bởi: f (x) = f (−x) Tính chất 1.1. Với x, ω ∈ Rn và f ∈ S(Rn ) ta có các tính chất sau: 1. Tx Mω = e−2πixω Mω Tx . 2. Tx Mω f Lp = f Lp . 3. (f ∗ g)(x) = f, Tx g ∗ . 15 1.2 1.2.1 Biến đổi Fourier Biến đổi Fourier của các hàm thuộc L1 (Rn ) và S(Rn ) ˆ Định nghĩa 1.16. Biến đổi Fourier của hàm f ∈ L1 (Rn ), kí hiệu là f hoặc Ff , là một hàm được xác định bởi ˆ f (ω) = f (x)e−2πixω dx, ω ∈ Rn . (1.7) Rn ˆ Nhận xét 1.5. 1. Từ (1.7) ta suy ra f ∞ ≤ f 1. 2. Ta dùng kí hiệu F(f ) để nhấn mạnh rằng phép biến đổi Fourier là một toán tử tuyến tính tác động trên một không gian hàm f ∈ L1 (Rn ). 3. Ngoài định nghĩa biến đổi Fourier như trên ta còn có thể định nghĩa biến đổi Fourier theo một cách khác như sau: n ˆ Ff (x) = f (ω) = (2π)− 2 f (x)e−ixω dx. (1.8) Rn ˆ 4. Nếu f là một tín hiệu, thì ω là một tần số và f (ω) được hiểu là biên độ của tần số ω của tín hiệu f . Định nghĩa 1.17. Cho f ∈ L1 (Rn ). Biến đổi Fourier ngược của hàm f , ˇ kí hiệu F −1 f hoặc f được xác định bởi ˇ f (x) = f (ω)e2πixω dω, x ∈ Rn , (1.9) Rn và theo (1.8) ta có: n F −1 f (x) = (2π)− 2 f (ω)eixω dω, x ∈ Rn . (1.10) Rn ˆ Định lý 1.13. Nếu f ∈ L1 (Rn ) và f ∈ L1 (Rn ) thì theo (1.7) ta có ˆ f (ω)e2πixω dω, x ∈ Rn , f (x) = Rn và theo (1.8) ta có n f (x) = (2π)− 2 Ff (ω)eixω dω, x ∈ Rn . Rn Nghĩa là F −1 và F là các toán tử ngược của nhau. 16 ˆ Bổ đề 1.1 (Bổ đề Riemann-Lebesgue). Nếu f ∈ L1 (Rn ) thì f liên tục đều và ˆ lim f (ω) = 0. |ω|→∞ Nhận xét 1.6. Với C0 (Rn ) là không gian Banach của các hàm liên tục triệt tiêu tại vô cực, khi đó từ Bổ đề 1.1 chúng ta có phép biến đổi Fourier: F : L1 (Rn ) → C0 (Rn ), là một ánh xạ liên tục. Với ϕ ∈ S(Rn ) ta cũng kí hiệu biến đổi Fourier của ϕ là ϕ hoặc Fϕ ˆ và được xác định bởi e−2πixξ ϕ(x)dx. ϕ(ξ) = ˆ Rn Biến đổi Fourier liên hợp của ϕ kí hiệu là Fϕ là hàm xác định bởi: e2πixξ ϕ(x)dx. Fϕ(ξ) = ϕ(−ξ) = ˆ Rn Khi đó F và F là các tự đẳng cấu trên S(Rn ) và F(Fϕ) = F(Fϕ) = ϕ. Định lý 1.14. Biến đổi Fourier là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ S(Rn ) → S(Rn ) và với mỗi f ∈ S(Rn ), với mọi đa chỉ số α, β ∈ Nn , ta có β F xα Dx f (x) (ξ) = (−Dξ )α (ξ β Ff (ξ)). (1.11) Cho một đa chỉ số α = (α1 , α2 , ..., αn ) ∈ Nn . Ta kí hiệu: X α f (x) = xα f (x) là toán tử nhân. Khi đó, ta có thể viết cụ thể hơn đẳng thức (1.11) trên bởi: ˆ (Dα f )∧ (ω) = (2πω)α f (ω), (1.12)