Tài liệu Gải tích

Đại học Quốc gia TP.HCM Trường Đại học Bách Khoa Bộ môn Toán Ứng dụng . Bài Giảng Giải Tích 1 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp E-mail: [email protected] Website: www.tanbachkhoa.edu.vn/dangvanvinh Ngày 8 tháng 9 năm 2013 Mục tiêu môn học • Môn học cung cấp các kiến thức cơ bản về vi tích phân hàm một biến và phương trình vi phân. • Giúp học viên hiễu lý thuyết, nắm vững các kỹ năng tính toán, biết vận dụng giải các bài toán cụ thể. • Biết vận dụng các phương pháp và tư duy sáng tạo vào khoa học kỹ thuật. Tài liệu tham khảo 1) Nguyễn Đình Huy, Nguyễn Quốc Lân,. . . Phép tính vi phân hàm một biến. NXBGD, 2005 2) Ngô Thu Lương, Nguyễn Minh Hằng. Bài tập toán cao cấp 1. 3) Đỗ Công Khanh. Giải tích một biến. NXB Đại học quốc gia Mục lục 1 Giới hạn và liên tục 1.1 Giới hạn dãy số . . . . . . . . . . 1.2 Hàm số . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Hàm lũy thừa y = xα . . 1.2.2 Hàm lượng giác . . . . . . 1.2.3 Hàm mũ - Hàm logarit . . 1.2.4 Hàm y = ln x . . . . . . . 1.2.5 Hàm Hyperbolic . . . . . 1.2.6 Các hàm lượng giác ngược 1.2.7 Hàm Hợp . . . . . . . . . 1.2.8 Hàm ngược . . . . . . . . 1.2.9 Hàm tham số hóa . . . . 1.3 Giới hạn hàm số . . . . . . . . . 1.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . 1.3.2 Các giới hạn cơ bản . . . 1.3.3 Vô cùng bé . . . . . . . . 1.3.4 Vô cùng lớn . . . . . . . . 1.4 Hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 8 8 9 10 11 12 12 13 13 14 15 15 16 17 20 23 2 Đạo hàm và vi phân 2.1 Đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . 2.1.2 Đạo hàm hàm ngược và hàm tham số hóa 2.1.3 Đạo hàm cấp cao . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Định lý giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . 2.4 Công thức H’Lopital . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Công thức taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Khảo sát và vẽ đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2 Chiều biến thiên và cực trị . . . . . . . . 2.6.3 Lồi, lõm và điểm uốn . . . . . . . . . . . . 2.6.4 Khảo sát hàm số . . . . . . . . . . . . . . 2.6.5 Tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 25 25 28 29 31 33 33 37 43 43 44 46 47 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . Chương 1 Giới hạn và liên tục 1.1 Giới hạn dãy số Định nghĩa 1.1 (Dãy số đơn điệu) . Dãy số (xn ) gọi là tăng nếu xn ≤ xn+1 , ∀n ∈ N Dãy số (xn ) gọi là giảm nếu xn ≥ xn+1 , ∀n ∈ N Bỏ dấu "=" trong đẳng thức, ta có dãy số tăng ngặt (giảm ngặt). Dãy số tăng hoặc giảm gọi chung là đơn điệu. Ví dụ 1.1 Xét tính đơn điệu của dãy số (xn ) : xn = n+1 . n+2 (n + 1) + 1 n + 1 (n + 2)2 − (n + 1)(n + 3) 1 − = = > 0, ∀n ∈ N. (n + 1) + 2 n + 2 (n + 3)(n + 2) (n + 3)(n + 2) > xn suy ra (xn ) là dãy tăng. Xét xn+1 − xn = =⇒ xn+1 Định nghĩa 1.2 (Dãy số bị chặn) . Dãy (xn ) gọi là bị chặn trên nếu ∃M : xn ≤ M, ∀n. Dãy (xn ) gọi là bị chặn dưới nếu ∃m : xn ≥ m, ∀n. Dãy (xn ) bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới. Dãy (xn ) bị chặn khi và chỉ khi (|xn |) bị chặn trên. Ví dụ 1.2 Xét tính bị chặn của dãy số (xn ) : xn = Ta có 0 < n . n+1 n < 1, ∀n ∈ N . Suy ra (xn ) vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới do đó bị chặn. n+1 Định nghĩa 1.3 (Dãy con) . Cho dãy (xn ). Dãy con của (xn ) là một dãy (xnk )k mà các phần tử của nó được lấy tùy ý từ (xn ) theo thứ tự tăng dần của chỉ số. Ví dụ 1.3 Cho Dãy Dãy Dãy   n 3 2 5 3 dãy (xn ) : xn = 2 = −1, 1, , , , , . . . . n −2  7 7 23 17  3 5 3 vn = −1, , , , . . . là một dãy con của xn . 7 23 17  2n 2 3 x2n = = 1, , . . . là dãy con các chỉ số chẵn của xn . (2n)2 − 2 7 17  2n + 1 3 5 x2n+1 = = −1, , , . . . là dãy con các chỉ số lẻ của xn . (2n + 1)2 − 2 7 23 n→+∞ Định nghĩa 1.4 (Giới hạn dãy số) Ký hiệu lim un = a hay un −−−−−→ a được định nghĩa n→+∞ ∀ε > 0, ∃n0 : n ≥ n0 =⇒ |un − a| < ε Ta nói dãy (un ) hội tụ về a. Nếu (un ) không hội tụ thì ta nói (un ) phần kỳ. 3 1.1. GIỚI HẠN DÃY SỐ CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Định nghĩa 1.5 ( dãy số dần ra vô cùng) Ký hiệu n→+∞ lim un = +∞ hay un −−−−−→ +∞ được định n→+∞ nghĩa ∀A > 0, ∃n0 : n ≥ n0 =⇒ un > A. Ta nói dãy (un ) hội tụ về a. Nếu (un ) không hội tụ thì ta nói (un ) phần kỳ. Tượng tự cho giới hạn dần ra −∞. Tính chất Cho xn −→ a, yn −→ b; a, b ∈ R ta có i) ii) lim (xn ± yn ) = a ± b. iii) lim (xn .yn ) = ab. iv) n→+∞ n→+∞ xn a = , b 6= 0. n→+∞ yn b lim lim |xn | = |a|. n→+∞ Định lý 1. Giới hạn dãy nếu tồn tại là duy nhất. 2. Dạy hội tụ thì bị chặn. 3. Cho xn ≤ yn ≤ zn , ∀n ≥ n0 . ( xn −→ a =⇒ yn −→ a. zn −→ a 4. Mọi dãy tăng và bị chặn trên thì hội tụ. Mọi dãy giảm và bị chặn dưới thì hội tụ. 5. ( x2n → a xn → a ⇐⇒ x2n+1 → a.  Số e. Người ta chứng minh được dãy số xn = 1 1+ n n là dãy tăng và bị chặn trên do đó hội tụ. Ký hiệu   1 n lim 1 + =e n→∞ n Số e là số vô tỷ có giá trị gần đúng là e = 2.718281828... Các giới hạn cơ bản 1 = 0, α > 0. n→∞ nα 1 ii) lim α = 0, α > 0. n→∞ ln n i) lim iv) lim n→∞ v) lim n→∞ √ n nα = 1, ∀α.  1+ a n = ea , ∀a. n iii) lim q n = 0, |q| < 0. n→∞ Đại học Bách khoa TPHCM Trang 4 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp 1.1. GIỚI HẠN DÃY SỐ CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Các dạng vô định 0 ∞ , , 0.∞, ∞ − ∞, 1∞ , +∞0 , 00+ 0 ∞ Khi tính giới hạn dạng vô định, ta dùng công thức hoặc biến đổi đại số để khử dạng vô định. Nếu giới hạn không phải dạng vô định, ta tính bình thường. Quy tắc 1 1 = ∞, = 0. 0 ∞ lnα n  nβ (β > 0)  an (a > 1)  n!  nn Dấu  chỉ mang tính hình thức theo nghĩa: hàm nhỏ chia hàm lớn dần về 0 và hàm lớn chia hàm nhỏ dần về vô cùng. Ví dụ 1.4 ln5 n a) lim √ = 0. n→∞ n 3n = 0. n→∞ n! b) lim 2n = +∞. n→∞ n100 c) lim log52 n = 0. n→∞ 3n d) lim Ví dụ 1.5 Tính các giới hạn sau 2n3 − 3n . a) I = lim n→∞ 4n + 3n2 ∞ Dạng . Đại lượng x3 lớn nhất nên chia cả tử và mẫu cho x3 . ∞ 3 2− 2 n = +∞ (vì tử dần về 2, mẫu dần về 0). I = lim 3 n→∞ 4 + 2 n n 2n3 − 4n+1 b) I = lim n . n→∞ 3 − 22n−1 + 5n7 ∞ Dạng . Đại lượng 4n = 22n lớn nhất nên chia cả tử và mẫu cho 4n . ∞ n3 2 n −4 0−4 4 = I = lim = 8. 7 1 n→∞ 3 1 n n 0− +0 ( ) − +5 n 2 4 2 4 √ c) I = lim n2 + 4n − n + 1. n→∞ Dạng ∞ −√∞. Nhân lượng√liên hợp. ( n2 + 4n − n)( n2 + 4n + n) 6n2 +4n− 6n2 ∞ √ I = lim + 1 lim √ + 1. Dạng . 2 2 n→∞ n→∞ ∞ n + 4n + n n + 4n + n Chia cả tử và mẫu cho n. 4 4 +1= √ + 1 = 3. I = lim q n→∞ 1+0+1 1 + n4 + 1 √ d) I = lim n 3n4 − 4n3 = lim r √ 4 1 1 1 n4 (3 − 4 ) = lim n n (3 − 4 ) n = 1.30 = 1. n→∞ n→∞ n→∞ n n √ Tương tự, ta có thể chứng minh n Pm → 1 với mọi đa thức Pm . r e) I = lim n→∞ n n  1 v v n u u 4n 4n 4n u 2− u 2− 2 − n+1   u u 2 − 4n 2n 2n = 2 . Vì lim u 2n = lim  2n  = 20 = 1. n = lim u n→∞ 3 t n→∞ t n→∞  3n + 5n3 3 5n3 5n3 5n3  1+ n 1+ n 1+ n 3 3 3 Đại học Bách khoa TPHCM Trang 5 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp 1.1. GIỚI HẠN DÃY SỐ CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC  2 ln2 (2n) ln 2 (ln 2 + ln n)2 f) I = lim = lim = lim + 1 = (0 + 1)2 = 1. n→∞ ln2 n n→∞ n→∞ ln n ln2 n √ n sin n! . g) I = lim n→∞ n + 1  √ √  n sin n!  n ≤ . Ta có 0 ≤   n + 1 n+1 √  √ √  n sin n!  n  = 0 =⇒ lim n sin n! = 0. Vì lim 0 = lim = 0 nên lim  n→∞ n + 1 n→∞ n→∞ n + 1 n→+∞ n+1      n − 1 n+1 −2 n+1 1 h) I = lim = lim 1 + = e−2 = 2 . n→∞ n + 1 n→∞ n+1 e  i) I = lim n→∞ n2 + 2 n2 + 5 3n2 +1  = lim 1 + n→∞ −3 2 n +5 (n2 +5) 3n22 +1 n +5 2 " = lim n→∞ −3 1+ 2 n +5 +1 (n2 +5) # 3n n2 +5 = e−3
3 = e−9 = 1 . e9  n3 +1 2n + 3 n+2 . j) I = lim n→∞ 3n + 2 2n + 3 2 n3 + 1 Vì lim = , lim = +∞ nên I = 0. n→∞ 3n + 2 3 n→∞ n + 2 Chú ý bài này không phải dạng vô định. Có dạng (2/3)+∞ = 0.   2n2  √ n n2 +2 + 3n . 4n2 − 2n √ 2n2 + 3n 1 n Vì lim = , lim = 0 nên I = (1/4)0 = 1. n→∞ 4n2 − 2n 4 n→∞ n2 + 2 Chú ý bài này cũng không phải dạng vô định.  n  3 2n + 3n n2 +2 . l) I = lim n→∞ 4n2 − 2n Bài này dạng vô định +∞0 . Ta làm như sau: ! 2n2 √  3  n  1 . n2  3 n 2n + 3n n2 +2 2n3 + 3n n +2 n→∞ 2n + 3n n n2 +2 = = √ −−−→ (1/1)1 = 1. n 4n2 − 2n 4n2 − 2n 4n2 − 2n k) I = lim n→∞ Ví dụ 1.6 Tính các giới hạn sau a) I = lim (−1)n . Đặt xn = (−1)n n→∞ Ta có x2n = (−1)2n = 1 −→ 1, x2n+1 = (−1)2n+1 = −1 −→ −1. Vậy không tồn tại giới hạn.         1−n n n−1 n −2 n 1−n n n n b) I = lim . Đặt xn = = (−1) = (−1) 1 + . n→∞ 1 + n 1+n 1+n 1+n  2n −2 1 x2n = (−1)2n 1 + −→ 1.e−2 = 2 . 1 + 2n e 2n+1  −2 1 x2n = (−1)2n+1 1 + −→ −1.e−2 = − 2 . 2 + 2n e Vậy không tồn tại giới hạn. ( √ q p √ x1 = 2 c) lim xn , với xn = Viết cách khác: xn = 2 + 2 + 2 + . . . (n dấu căn). √ n→∞ xn+1 = 2 + xn , n ≥ 1. Dùng quy nạp chứng minh được dãy xn tăng và bị chặn trên bởi 2 do đó hội tụ. Giả sử xn → a. Từ giả thiết ta có √ √ lim xn+1 = lim 2 + xn ⇐⇒ a = 2 + a ⇐⇒ a = 2. n→∞ Đại học Bách khoa TPHCM n→∞ Trang 6 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp 1.1. GIỚI HẠN DÃY SỐ CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Vậy lim xn = 2. n→∞ 1 1 1 d) lim xn , với xn = + + ··· + . n→∞ 1.2 2.3 n(n     + 1)     1 1 1 1 1 1 1 1 + + + ··· + =1− Ta có xn = 1 − − − − −→ 1. 2 2 3 3 4 n n+1 n+1 Bài tập Tính giới hạn 1. lim 4n − 5−n 3n − 22n − 5n6 n2 + 1 2n − 3 n + 1 6. lim( ) 2n + 5 2. lim ln(3n2 − 2n) n9 + 3n2 7. lim log 2 10n 3. lim log 2 n 1+n 1 + n 2 − n2 4. lim( ) n+2 r 5. lim n n2 + 4 n n + 5n 1+n n − 2 2 − √n 11. lim( ) n+2 12. lim( p n n + (−1)n n sin n! √ 8. lim (1 + n) n − 2 r 9. lim n 13. lim n2 + 2n arctan n! 3n3 + arcsin n 14. lim( 5n + 1 n10 + 2n 2n − 1 n ) 5n + 2 n − 1 1−n ) n2 + 1 1 15. lim √ n n! n 16. lim √ n n! 1 2n + 1 n − 2 10. lim( 2 ) n −1 Tìm lim un biết: 17. un = 1 1 1 + + ··· + 1.3 3.5 (2n − 1).(2n + 1) 18. un = (1 + (−1)n n ) n Đại học Bách khoa TPHCM 19. u1 = √ 3, un+1 = √ 3 + un 20. un = sin n Trang 7 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp 1.2. HÀM SỐ 1.2 1.2.1 CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Hàm số Hàm lũy thừa y = xα y y = x2 n = 2 : y = x2 * T XD : D = R. * T GT : T = [0, ∞). * Hàm số tăng trên khoảng (0, ∞) khoảng (−∞, 0). và giảm trên 0 x * Hàm chẵn, đồ thị đối xứng qua Oy. y n = −1 : y = 1 x y= 1 x * T XD : D = R \ {0}. * T GT : T = (−∞, 0) ∪ (0, ∞). 0 * Hàm số giảm trên khoảng (−∞, 0) và (0, +∞) x * Hàm lẻ, đồ thị đối xứng qua O(0, 0). y n = −1 : y = √ y= √ x x * T XD : D = [0, ∞). * T GT : T = [0, ∞). 0 * Hàm số tăng trên khoảng (−∞, 0) và (0, +∞) x * Không có tính chẵn lẻ. √ y=− x Đại học Bách khoa TPHCM Trang 8 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp 1.2. HÀM SỐ 1.2.2 CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Hàm lượng giác Công thức Hàm số y = sin x * T XD : D = R. i) sin2 x + cos2 x = 1 * Hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π : sin(x) = sin(x + 2π) ii) sin 2x = sin x cos x * T GT : T = [−1, 1]. iii) sin 3x = 3 sin x − 4 sin3 x π π * Hàm số tăng trên khoảng (− , ). 2 2 iv) sin2 x = * Hàm số lẻ, đồ thị đối xứng qua O(0, 0). v) sin π2 = 0; sin(kπ) = 0, k ∈ Z. y 1 − cos 2x 2 2 y = sin x 1 −6.28 −4.71 −3.14 −1.57 0 1.57 3.14 4.71 6.28 7.85 x −1 −2 Công thức Hàm số y = cos x i) cos 2x = cos2 x − sin2 x * T XD : D = R. 2 2 * Hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π : cos(x) = cos(x + 2π) ii) cos 2x = 2 cos x − 1 = 1 − sin x 1 + cos 2x iii) cos2 x = * T GT : T = [−1, 1]. 2 * Hàm số chẵn, đồ thị đối xứng qua Oy. iv) cos 0 = 1; cos π = −1, cos(± π ) = 0. 2 y 2 y = cos x 1 −6.28 −4.71 −3.14 −1.57 0 1.57 3.14 4.71 6.28 7.85 x −1 −2 Đại học Bách khoa TPHCM Trang 9 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp 1.2. HÀM SỐ CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Hàm số y = tan x Công thức * T XD : D = R \ { π2 + kπ, k ∈ Z}. * Hàm số tuần hoàn với chu kỳ π : tan(x) = tan(x+π) i) tan x = sin x cos x ii) tan(π − x) = tan(−x) = − tan x * T GT : T = R. π π * Hàm số tăng trên khoảng (− , ). 2 2 iii) tan(π + x) = tan(x) iv) tan 0 = 0, tan( π2 ) không xác định. * Hàm số lẻ, đồ thị đối xứng qua O(0, 0). y y = tan x x −4.71 1.2.3 −3.14 −1.57 0 1.57 3.14 4.71 Hàm mũ - Hàm logarit Công thức Hàm số y = ax , (a > 1) i) ax .ay = ax+y * T XD : D = R. ii) (ax )y = axy * T GT : T = (0, ∞). iii) ax .bx = (ab)x * Hàm số tăng trên (−∞, ∞) iv) a−x = 1 ax y y = ax (a > 1) (0; 1) 0 Đại học Bách khoa TPHCM Trang 10 x ThS.Nguyễn Hữu Hiệp 1.2. HÀM SỐ CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Công thức Hàm số y = ax , (0 < a < 1) ax = ax−y ay ax  a x ii) x = b b i) * T XD : D = R. * T GT : T = (0, ∞). * Hàm số giảm trên (−∞, ∞) iii) ax.y = (ax )y . y y = ax (0 < a < 1) (0; 1) 0 1.2.4 x Hàm y = ln x y = ln x ⇐⇒ x = ey 0 −1. b) f (x + 1) = e2x + 1. Đại học Bách khoa TPHCM Trang 14 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp 1.3. GIỚI HẠN HÀM SỐ 1.3 CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Giới hạn hàm số 1.3.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.8 (Giới hạn hàm số) cho hàm số y = f (x) xác định trên D. i) lim = a ⇐⇒ (∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ D : 0 < |x − x0 | < δ −→ |f (x) − a| < ε) x→x0 ii) lim f (x) = a ⇐⇒ (∀ε > 0, ∃N, ∀x ∈ D : x > N −→ |f (x) − a| < ε) x→+∞ iii) Tương tự cho giới hạn bằng vô cực. Định lý lim = a ⇐⇒ ∀(xn ) ⊂ D&xn 6= x0 : xn → x0 =⇒ f (xn ) → a. x→x0 Định lý tương đương với định nghĩa giới hạn hàm số theo giới hạn dãy số. Do đó, những tính chất giới hạn hàm số tương tự như giới hạn dãy số. Ví dụ 1.10 Chứng minh giới hạn lim sin x không tồn tại. x→+∞ Bài làm Xét dãy (xn ) : xn = nπ −→ +∞ và lim sin xn = lim sin nπ = 0. n→+∞ n→+∞  π π = 1. Xét dãy (yn ) : yn = 2nπ + −→ +∞ và lim sin yn = lim sin 2nπ + n→+∞ n→+∞ 2 2 Vì tồn tại 2 dãy làm giới hạn dần về 2 giá trị khác nhau do đó không tồn tại lim sin x. x→+∞ Định nghĩa 1.9 (Giới hạn một bên) Giới hạn trái lim = a ⇐⇒ (∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ D : 0 < x0 − x < δ −→ |f (x) − a| < ε) x→x− 0 Giới hạn trái lim = a ⇐⇒ (∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ D : 0 < x − x0 < δ −→ |f (x) − a| < ε) x→x+ 0 Giới hạn trái: x < x0 và giới hạn phải:x > x0 Định lý lim f (x) = a ⇐⇒ x→x0    lim− f (x) = a x→x0   lim+ f (x) = a. x→x0 |x| . x→0 x Ví dụ 1.11 Tính giới hạn lim Bài làm: biểu thức chứa trị tuyệt đối nên không tính trực tiếp được giới hạn. −x |x| x>0 x |x| x<0 lim ===== lim = −1. lim ===== lim = −1. x→0− x x→0− x x→0+ x x→0+ x |x| Vậy không tồn tại giới hạn lim . x→0 x Đại học Bách khoa TPHCM Trang 15 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp 1.3. GIỚI HẠN HÀM SỐ 1.3.2 CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Các giới hạn cơ bản Giới hạn khi x → 0 1) Các hàm x, sin x, arcsin x, sinh x, tan x, arctan x, ln(x + 1), ex − 1 khi chia cho nhau sẽ hội tụ về 1 khi x → 0 tan x =1 x→0 ex − 1 sinh x =1 (d) lim x→0 ln(x + 1) sin x =1 x→0 x arcsin x (b) lim =1 x→0 x ln(x + 1) =1 x→0 sinh x x =1 (f) lim x x→0 e − 1 (c) lim (a) lim (e) lim 2) Bốn hàm khác 1 1 − cos x = 2 x→0 x 2 cosh x − 1 1 (b) lim = 2 x→0 x 2 1 (c) lim (1 + αx) x = eα (a) lim x→0 (1 + x)α − 1 =α x→0 x (d) lim Các giới hạn khi x → +∞ tương tự như giới hạn dãy số 1. 2. 1 = 0, |q| < 1 x→±∞ ln |x|  a x = ea . 4. lim 1 + x→±∞ x lim q x = 0, |q| < 1 3. x→+∞ lim x→+∞ 1 = 0, α > 0 xα lim α Ví dụ 1.12 Tính giới hạn sin2 2x a) I = lim = lim x→0 1 − cos x x→0  sin 2x 2x 2 . x2 .4 = 1.2.4 = 8. 1 − cos x √ √ 1 3 3 (1 + t) 3 − 1 x − 1 t=x−1→0 1+t−1 = lim = lim b) lim √ ===== lim √ 1 t→0 (1 + t) 5 − 1 t→0 x→1 5 x − 1 t→0 5 1 + t − 1 ln xx c) I = lim xx = lim e x→0+ x→0+  d) I = lim x→∞ x2 − 1 x2 + 1 x t= x1 →+∞ = lim ex ln x ===== x→0+  = lim 1 + x→∞ −2 x2 + 1 x2 . 1 x 1 (1+t) 3 −1 t 1 (1+t) 5 −1 t 1 1 x→0 x→0 t→+∞ t→+∞ = (e−2 )0 = 1. (tương tự giới hạn dãy số). sin 2x x = 2 x −1 2 = −1. −2 = (e2 )2 = e4 . 1 2 5 = . 3 ln 1t ln t − lim e t = lim e t = e−0 = 1. √ x2 + 2x − x2 e) I = lim ( x2 + 2x + x) = lim √ x→−∞ x→−∞ x2 + 2x − x 2x 2x 2 q q q = lim = lim = lim x→−∞ x→−∞ x→−∞ |x| 1 + x2 − x −x 1 + x2 − x − 1+ f) I = lim (1 + sin 2x) x = lim (1 + 2 sin 2x) sin 2x . 1 3 1 5 = 1 g) lim (cosh x)cot x = lim (1 + (cosh x − 1)) tan x2 = lim (1 + (cosh x − 1)) cosh x−1 x→0 x→0 x→0 cosh x−1 x2 x2 tan x2 1 = e1. 2 .1 = √ e. x sin x h) I = lim √ . x→+∞  x3 + 1 arctan x    x sin x x ≤ √ Ta có 0 ≤  √ 3 , ∀x > 0.  x + 1 arctan x x3 + 1 arctan x x π lim 0 = lim √ = 0. = 0. Vậy I = 0. 3 x→+∞ x→+∞ 2 x + 1 arctan x Đại học Bách khoa TPHCM Trang 16 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp 1.3. GIỚI HẠN HÀM SỐ CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Bài tập  1. I = lim x→+∞ x2 + 4 x2 − 4 2. I = lim 1 + 2x4
x2 x2 2x2 + 3 6. I = lim x→∞ 2x2 − 1   1 1 x 7. I = lim e x + x→∞ x 1 sin2 x x→0 3. I = lim (ln(e + x))cot x 12. I = lim 1 + sin(2x2 )
2 x2 x→0 1 13. I = lim 1 + 2x4 cos x) x→0
1 4. I = lim 1 − tan2 x sin2 2x
1 x4 x→0 1 9. I = lim xex+ x x→0 x→−∞ 1 x2 1 e2x + x2 ln x→+∞ x x2 1 14. I = lim 10. I = lim (cos 2x + sin x) sin x x→0 1.3.3 x→0 8. I = lim (cosh x) 1−cos x x→0 5. I = lim (cos x) 11. I = lim (cos x + 5 sin x)cot x  x→0 Vô cùng bé Định nghĩa 1.10 (Vô cùng bé) . Hàm số f (x) được gọi là một vô cùng bé (VCB) khi x → x0 nếu lim f (x) = 0 x→x0 Ví dụ 1.13 a) f (x) = 2x2 − 3 sin x là VCB khi x → 0. Vì lim f (x) = lim 2x2 − 3 sin x = 0. x→0 x→0 1 1 không phải VCB khi x → 0. Vì lim = −1 6= 0. x→0 x − 1 x−1 1 Nhưng là VCB khi x → ∞. Vì lim = 0. x→∞ x − 1 b) f (x) = Tính chất i) Tổng hữu hạn các VCB là một VCB. ii) Tích 2 VCB là một VCB. iii) Tích của một VCB và một hàm bị chặn là một VCB. iv) Thương 2 VCB chưa chắc là VCB. Định nghĩa 1.11 (cấp vô cùng bé) Cho f (x), g(x) là 2 VCB khi x → x0 và lim x→x0 f (x) =k g(x) i) Nếu k = 0 thì ta nói f (x) có bậc VCB cao hơn g(x), ta viết f (x) = o(g(x)). ii) Nếu k hữu hạn khác 0 thì ta nói f (x) và g(x) là 2VCB cùng cấp. iii) Nếu k = 1 thì ta nói f (x) và g(x) là 2 VCB tương đương: f (x) ∼ g(x). iv) Nếu f (x) (x − x0 )k thì ta nói f (x) là VCB bậc k. Ví dụ 1.14 so sánh các VCB sau khi x → 0 √ a) 1 − x2 − 1 và tan x. c) e3x − 1 và b) ln(1 − 2x2 ) và x4 + 3x2 . d) x sin Bài làm √ a) lim x→0 1 − x2 − 1 = lim x→0 tan x √ Đại học Bách khoa TPHCM √ 1 + 6x − 1. 1 và x x √ 1 − x2 − 1 x . .(−x) = 0. Suy ra 1 − x2 − 1 là VCB cấp cao hơn tan x. −x2 tan x Trang 17 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp 1.3. GIỚI HẠN HÀM SỐ CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC ln(1 − 2x2 ) ln(1 − 2x2 ) −2x2 ln(1 − 2x2 ) −2 = lim = lim = −2. x→0 x4 + 3x2 x→0 −2x2 x2 (x2 + 3) x→0 −2x2 x2 + 3 Suy ra ln(1 − 2x2 ) và x4 + 3x2 là 2 VCB cùng cấp. b) lim e3x − 1 1 e3x − 1 6x e3x − 1 1 1 11 = lim . = lim .√ .√ . = 1. 1 = 1 1+6x−1 2 x→0 2 1 + 6x − 1 x→0 3x 1 + 6x − 1 2 x→0 3x 2 6x √ Suy ra e3x − 1 và 1 + 6x − 1 tương đương. c) lim √ 1 x = lim sin 1 không tồn tại nên 2 VCB này không so sánh được. x→0 x x x sin d) lim x→0 Các VCB thường gặp khi x → 0 ? x ∼ sin x ∼ arcsin x ∼ sinh x ∼ tan x ∼ arctan x ∼ ln(1 + x) ∼ ex − 1. ? x2 ∼ 1 − cos x ∼ cosh x − 1. 2 ? (1 + x)α − 1 ∼ αx. Tính chất cho các VCB tương đương khi x → x0 f (x) ∼ f1 (x), g(x) ∼ g1 (x) i) f (x)g(x) ∼ f1 (x)g1 (x) ii) Tổng f1 (x) + g1 (x) gọi là dạng triệt tiêu nếu f (x) có bậc VCB thấp hơn f (x) + g(x). Nếu không phải dạng triệt tiêu thì f (x) + g(x) ∼ tổng bậc thấp nhất. iii) lim x→x0 f (x) f1 (x) = lim x→x g(x) 0 g1 (x) Chú ý: • Sau khi thay tương đương cộng lại mà mất đi bậc thấp nhất thì là dạng triệt tiêu. • Thay VCB tương đương dạng tổng thì cần kiểm tra tổng không phải dạng triệt tiêu. • Không thay tương đương cho hàm hợp. Ví dụ 1.15 Rút gọn các VCB sau khi x → 0. a) f (x) = 3x5 − 5x6 − 4x3 ∼ −4x3 : bậc thấp nhất là 3 b) f (x) = (e3x − 1)(sin2 2x + 3x3 ) ∼ 3x.((2x)2 + 3x3 ) ∼ 3x.x2 = 3x3 . c) f (x) = x cos 2x − x + 3x3 = −x(1 − cos 2x) + 3x3 ∼ −x d) f (x) = √ 3 (2x)2 + 3x3 = x3 . 2 1 1 4 1 1 + 2x − cos 2x = [(1 + 2x) 3 − 1] + [1 − cos 2x] ∼ .2x − (2x)2 = − x2 . 3 2 3 Đại học Bách khoa TPHCM Trang 18 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp 1.3. GIỚI HẠN HÀM SỐ CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC e) f (x) = (1 + 2x2 − 3x3 )3 − cos(2x + x2 ) = [(1 + 2x2 − 3x3 )3 − 1] + [1 − cos(2x + x2 )] 1 1 ∼ 3.(2x2 − 3x3 ) + (2x + x2 )2 ∼ 3.2x2 + (2x)2 = 8x2 . 2 2 f) f (x) = tan x − sin x ∼ x − x = 0−→ Sai. Vì tan x và sin x đều bậc nhất. Khi thay tương đương mất đi bậc nhất do đó là dạng triệt tiêu. Không bao giờ tương đương ra không. Ta làm lại như sau: x2 x3 f (x) = tan x − sin x = tan x(1 − cos x) ∼ x. = . 2 2 √ g) f (x) = 1 + 2x + 2x2 − 1 − x √ √ 1 1 1 + 2x + 2x2 − 1 − x ∼ 1 + 2x − 1 − x = ((1 + 2x) 2 − 1) − x ∼ 2x − x = 0−→ Sai. 2 2 chỗ: thay tương đương hàm hợp và thay tương đương dạng triệt tiêu √ 1 Cách 2: f (x) = 1 + 2x + 2x2 − 1 − x ∼ (2x + 2x2 ) − x = x2 −→ Sai. 2 Dạng triệt tiêu: mất đi bậc nhất. √ √ 1 + 2x − 1 −x Cách 3: f (x) = 1 + 2x + 2x2 − 1 − x ∼ 1 + 2x − 1 − x = √ 1 + 2x + 1 √ x.(− 12 .2x) x(1 − 1 + 2x) x2 √ √ = ∼ = − −→ Sai. 2 1 + 1 + 2x 1+ 1 ∼ đầu tiên sai vì thay tương đương hàm hợp, các ∼ sau thì đúng. √ 1 + 2x + 2x2 − 1 −x Cách 4: f (x) = 1 + 2x + 2x2 − 1 − x = √ 1 + 2x + 2x2 + 1 √ x.(2x − 12 .(2x + 2x2 )) x2 x(1 + 2x − 1 + 2x + 2x2 ) √ √ = = ∼ .−→ Đúng. 2 1+ 1 1 + 1 + 2x + 2x2 Không thay tương đương hàm hợp. Biến đổi cho đến khi hết dạng tổng triệt tiêu rồi mới dùng tương đương. Cách 1: f (x) = Ví dụ 1.16 Tìm α, β sao cho f (x) ∼ α(x − x0 )β khi x → x0 . a) f (x) = ex − e1 , x0 = 1. f (x) = e[ex−1 − 1] ∼ e(x − 1) =⇒ α = e, β = 1. Chú ý: x → 1 =⇒ x − 1 là VCB nên ta áp dụng công thức cho x − 1. √ b) f (x) = 3 x − x, x0 = 1 1 1 2 2 f (x) = [(1 + x − 1) 3 − 1] + 1 − x ∼ (x − 1) − (x − 1) = − (x − 1) =⇒ α = − , β = 1. 3 3 3 √ c) f (x) = 2 x − 1, x0 = 0. √ f (x) = eln 2 x −1=e √ x ln 2 −1∼ √ 1 x ln 2 =⇒ α = ln 2, β = . 2 Ví dụ 1.17 Tính các giới hạn sau bằng cách thay VCB tương đương. ln(1 + x tan x) . x2 + sin3 2x Ta có ln(1 + x tan x) ∼ x tan x ∼ x2 , a) I = lim x→0 x2 + sin3 2x ∼ x2 + (2x)3 ∼ x2 . ln(1 + x tan x) x2 = lim =1 x→0 x2 x→0 x2 + sin3 2x =⇒ I = lim 1 − .(2x)2 ln cos 2x ln(1 + cos 2x − 1) cos 2x − 1 b) I = lim = lim = lim = lim 2 2 = 2. x→0 ln(1 − x2 ) x→0 x→0 x→0 ln(1 − x2 ) −x2 −x 2 −x − x cos x − 1 + 1 − ex −x cos x − ex = lim = lim 2 1 = lim = −1. c) lim √ x→0 x→0 x→0 x 2x 2x. 2 1 + 2x − 1 x→0 Đại học Bách khoa TPHCM Trang 19 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp