NHOÙM TOAÙN
02
CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ: HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1.
Biên tập: Nguyễn Phú Khánh
x 2 . 1 3 x 2 x y
y
Giải hệ phương trình:
3x
y 2 1
2x 2 y 2 4 x
y
Lần 1 – THPT QUỐC OAI
Lời giải
Điều kiện: y 0;1
3x
0.
y
x 2
3x 2 x
x 2 . 1 3x 2 x y (1)
1
. 1
y
y
y
y
y
Hệ phương trình
2
x
3x
3x
4x
2
2
2
y 1
2x y 4 x
1
2 1 2
y
y
y
y
a x
a 2b 1 3a 2a 1
y
Đặt:
. Khi đó ta có được hệ:
1 3a 2a 2 4 ab 1
1
b
y
Cộng theo vế hai phương trình cho nhau, ta được: a 2b 1 1 3a 2a 2 2a 4 ab
a 2b 1 1 3a 2a 0 a 1 2b hoặc
1 3a 2a
x
2
1 x y 2 .
y
y
Thế vào (1) ta được:
Với a 1 2b
y 1
3 2 y
y
2 2 y y 1
3 2 y
y
2 2 y
y
2 y
0
y 2 x 0
2
2 y
y
2 y
7
4
0
8
14
2 y 7
y x
y
y
11
11
y
4
8
14
;x
vào hệ, không thỏa mãn.
11
11
a 0
1 3a 2 a 2
a 1 x y
4 a 3a 1 0
Thay y
Với
Khi đó: 1 2 x 2 x x 4; y 4
Vậy, hệ phương trình có hai nghiệm: x ; y 0;2;4; 4 .
Bài tập tương tự:
Giải hệ phương trình:
- 1- Email:
[email protected]
1
NHOÙM TOAÙN
02
CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016
x 2 xy 2 y 1 2 y 3 2 y 2 x
1.
6 x 1 y 7 4 x y 1
2 x 3 9 y 3 x y 2 xy 3
2.
x 2 y 2 3 xy.
x 3 x 2 y x 1 12
3. 2
x 4 x 2 y 8 0
2 4 x 4 y 1 5 x y 1 3x 7 y 1
4.
(3 x 2) 9 y 1 4 x 14 x 3 y
x 3 y 1 2 xy y y 3 x 4 y
5.
x 3 2 y 2 x 3 x 2 x 2 y 4 4
x 3 7 y 3 3xy ( x y ) 24 y 2 3 x 27 y 14
6.
3 x y 4 x 3 y 2 5
y 3 y 2 4( x y 1) xy 2
7. 2
( x 1) y 2 x 2 (2 y 1) x 2 3x 2
2 x 2 2 x x y y x y
8.
x 1 xy y 2 21
( x 2 x 2) y x 0
9. 4
( x 4 x 2 1) y 2 (2 x 3 x ) y x 2 0.
y 6 3 y 4 4 y 2 x 3 6 x 2 13 x 12
10.
x 2 3 y 2 3 4
Lần 1 – THPT SỐ 1 BẢO YÊN
Lần 2 – THPT THẠCH THÀNH 1
Lần 2 – THPT NGHỀ NHA TRANG
Lần 1 – THPT NGUYỄN TRÃI – KONTUM
Lần 1 – THPT PHẠM VĂN ĐỒNG
Lần 1 – THPT SỞ BẮC GIANG
Lần 3 – THPT BÌNH LONG
Lần 1 – THPT LỘC NINH
Lần 1 – THPT NGUYỄN DU
Lần 1– THPT TRẦN BÌNH TRỌNG
Hướng dẫn:
1. x 1
Phương trình đầu tương đương 2 y 2 x 1 x y 0 y x 1 vì 2 y 2 x 0, x 1
Thay vào phương trình thứ hai ta được:
6 x 1 x 8 4 x 2
2
x 1 3 2 x 2 x x 1 3
2
4 x 2 13 x 10 0
2 x 3 x 1
x 2 y3
x 3
2
3
3
3
3
2x 9y = (x y )(2xy + 3) 2 x 9 y ( x y )(2 xy x 2 y 2 xy )
2
2.
x y 2 xy 3
x 2 + y 2 = 3 + xy
2 x 3 9 y 3 x 3 y 3
x 2 y
x 3 8y3
2
2
2
2
2
x y xy 3
x y xy 3 x y 2 xy 3
x 2 y
x 2
x 2
2
hoặc
3 y 3 y 1
y 1
- 2- Email:
[email protected]
NHOÙM TOAÙN
02
CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016
x 3 x 2 y x 1 12 3 x 2 y x 2 x 12
3. Hệ 2
(1)
x 4 x 2 y 8 0
3 x 2 y x 2 x 8
u 3 x 2 y
u.v 12
u 6 u 2
Đặt
thì hệ (1)
2
v x x
u v 8 v 2 v 6
x 1
y 3
u 6 3x 2 y 6
2
2 ;
v 2
x x 2
x 2
y 6
x 3
y 11
u 2 3x 2 y 2
2
2
v 6
x x 6
x 2
y 2
4. x 0, y 0 . Đặt a 5 x y 1, b 3 x 7 y 1, a, b 0
Phương trình đầu suy ra
2 a 2 2 b 2 a b (a b ) 2 0 a b 5x y 1 3 x 7 y 1
x 3 y . Thay vào phương trình thứ hai, ta được : (3 x 2) 3 x 1 4 x 14 x x ( a )
2
1 4
1
1
Với x 0 thì (a ) trở thành 3 3 14 . Đặt u 3 u 2 3,
x
x x
x
x
Khi đó, có phương trình: 2u 3 4u 2 3u 26 0 u 2 3
u 3
1
2 x 1 y 3.
x
x 1
5.
y 1
. Đặt a 2 x 1; b y ;a, b 0 thay vào phương trình đầu ta được:
2
x x 2 y 4 0
a 2b a 2 ab 4b 2 0 a 2b 2 y x 1 , thay vào phương trình thứ hai, ta được:
x 3 x 1 x 3 x 2 2 x 3 4 x 3 x 2 2 x 3 x 3 x 1 (*)
Đặt t x 3 x 1; t 0 , khi đó (*) trở thành: t 2 2t 8 0 t 4 thỏa điều kiện.
x 3
6.
y 4
Phương trình đầu tương đương ( x y ) 3 3( x y ) 2 y 2 3 2 y 2
3
2
x y 2 ( x y ) 2 ( x y ) 2 y 2 2 y 2 3 0 y x 2 .
Thay vào phương trình thứ hai, ta được:
1
1
3
2
x 2 3 x x x 4 x 1 x 2 ( x 4) 3 x (x 5) ( x 2 x 2)( x 2)
3
3
x 2
1
1
0 x 2 x 1 0
x 2 x 23 x 2
x 1
3 x 2 x 4 3 3 x 5 x
7. Phương trình đầu tiên viết lại
2
y 2 8 x 3x 6 0
( y 2)( y 2)( y 1 x ) 0 y 2 3 x 6 0 x 2
1
1
5
y x 1 x 4 x 3 0 ( x 2 ) 2 ( x ) 2 0 (vn )
2
2
2
- 3- Email:
[email protected]
NHOÙM TOAÙN
02
CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016
8. x 1, x y 0
2 x 2 2 x x y y x y 2 x 2 xy y 2 2 x x y 0
1
0 x y 2 x y
0
2x x y
2 x x y
Do x 1, x y 0 2 x y 0 , từ đó suy ra x y . Thay vào phương trình thứ hai, ta được:
x y 2 x y
xy
x 1 x 2 x 2 21 x 1 1 x 2 4 x 2 21 5
1
x 2
0 x 2
x 2
x 2
x 1 1
x 2 21 5
vì x 2
1
x 21
0
10 x 2 91
x 21 5
x 2
2
9. ( x ; y ) (0;0) là nghiệm hệ, mọi cặp nghiệm ( x ;0),(0; y ) với x 0, y 0 đều không là nghiệm
x 2 y xy 2 y x 0
x ( xy 1) 2 y xy
Với x 0, y 0 thì 4 2
x 2 ( xy 1) 2 xy ( xy 1) y 2 5 x 2 y 2
x y 4 x 2 y 2 y 2 2 x 3 y xy x 2 0
1
2
1
x ; y 1;
( x ) 1
y
x
4
a 2b 1
a x 1 , b 1
,
2
a 2 ab b 2 5
1
y
x
4
1
1 1 1
x x 2 5
x ; y ;
4 29
y
y x x
x 2
x 2 y 3
x 5
10. x 2 y 1 0, t x 2 y 1 (t 0) 2
1
2
x 4 y 3xy 6 y
y 1
2
Bài 2.
3 x 2 2 xy 2 y 2 3 x 2 y 0
Giải hệ phương trình: 2
5 x 2 xy 5 y 2 3 x 3 y 2 0
Lần 1 – THPT CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU
Lời giải
3 x 2 2 xy 2 y 2 3x 2 y 0
(1)
. Lấy (1).3 (2) theo vế, ta được:
5 x 2 2 xy 5 y 2 3x 3 y 2 0 (2)
4 x 2 4 xy y 2 6 x 3 y 2 0 (2 x y ) 2 3(2 x y ) 2 0 2 x y 1 hoặc 2 x y 2
x 0 y 1
Với 2 x y 1 thì y 1 2 x , thay vào (1) ta được: 7 x 2 5 x 0
5
3
x y
7
7
x 1 y 0
2
Với 2 x y 2 thì y 2 2 x , thay vào (1) ta được: 7 x 11x 4 0
4
6
x y
7
7
5 3 4 6
Vậy, hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm là 0;1;1;0; ; ; ; .
7 7 7 7
Bài tập tương tự:
Giải hệ phương trình:
- 4- Email:
[email protected]
NHOÙM TOAÙN
02
CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016
x ( x y ) y 2 4 x 1
1.
x ( x y ) 2 2 y 2 7 x 2
2
504 y 2 y 1008
2016 x x
2.
x 6 x 4 xy 1 8 xy 6 x 1
3.
4.
5.
6.
7.
x x 2 y y x 4 x 3 x
x y x 1 y ( y 1) 9
2
6 x 3 3 x 2 y y 2 xy 3 x 2
4 x 2 y 2 x 1 y 1
x 3 y 2 xy y 2 x y 0
3 8 x 4 y 1 x 2 14 y 12
y x y 1 x 3 3 y ( x 2 xy y 1) 1
2
y y 5 x 5
5 x 3 26 x 2 44 x 20 51 y y 1 4 y 0
x 2 x 6 3 x 1 6 x 3 y 4 0
2 x y 1 3 y 1 x x 2 y
8.
x 2 x 3 y 17 6 x 7 2 x 3 y 1 0
2 y 2 3 y 1 y 1 x 2 x xy
9.
2 x y 2 y 3x 4 3 x 2 14 x 8 0
x x 2 y y x 4 x 3 x
10.
x y x 1 y ( x 1) 9
2
Lần 2 – THPT GDTX NHA TRANG
Lần 2 – THPT HỒNG QUANG
Lần 1– THPT HÀ HUY TẬP
Lần 1 – THPT HỒNG QUANG
Lần 1 – SỞ QUẢNG NAM
Lần 2 – THPT BÌNH LONG
Lần 1 – THPT THỪA LƯU
Lần 2 – THPT THUẬN THÀNH 1
Lần 1 – THPT THANH HOA
Lần 2 – THPT THANH HOA
Hướng dẫn:
1. Nhận thấy x 0 không là nghiệm của hệ
2
x y y 1 4
x
Với x 0 , hệ cho tương đương
(*) .
y2 1
( x y ) 2 2
7
x
x y a
a b 4
Đặt y 2 1
, hệ (*) trở thành hệ phương trình 2
, hệ này có nghiệm
a 2b 7
b
x
x 2 x 5
Từ đó ta tìm được
.
y 1 y 2
2. Phương trình đầu tương đương:
a 3 a 5
b 1 b 9
2016 x 2 x 2016 2 y 2 y y
2
( x 2 a x x x 2 a x 0 a 0 để đảm bảo khác 0 khi liên hợp).
- 5- Email:
[email protected]
x
2
NHOÙM TOAÙN
02
CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016
x
vào phương trình thứ hai, ta được: x 2 x 2 6 x 1 4 x 2 6 x 1 0
2
1
x 1 y
2
2
2
2 x 6 x 1 3x
25 x
x
2
2 x 2 6 x 1 0
2
4
2
3 11
3 11
2 x 6 x 1 2 x
x
y
2
4
Thay y
3. x 1; y 0
Phương trình đầu tương đương: x x 2 y y x x 2 x x x
x
y x
1 0 x y vì
x 2 y x 2 x
x2 y x2 x x y
x
x y x2 x
2
1 0 với x 1; y 0
Thay x y vào phương trình thứ hai, ta được: x x x 1 x ( x 1)
2
x x 1 2
x x 1 8 0 x
9
2
25
25
y
6
6
4. Phương trình đầu tương đương: y 3 x 2 y 2 x 1 0 y 3 x 2 hoặc y 2 x 1 .
Phương trình thứ hai ta có: y 1 nên y 3 x 2 không thỏa mãn.
Thay y 2 x 1 vào phương trình thứ hai ta được
4 x 2 2 x 3 x 1 2 x , phương trình này có
nghiệm x 2 y 5 .
x y ( x y )( y 1) 2( y 1) 0 (1)
5.
3 8 x 4 y 1 x 2 14 y 12 (2)
(1)
xy
xy
2 0
y 1
y 1
xy
xy
1
1 x 2 y 1 . Thay vào (2) ta được:
y 1
y 1
3 7 2 y 4 y 1 (2 y 1) 2 14 y 12 4 y 1 3 7 2 y 4 y 2 10 y 11 0
4( y 1 2) 3( 7 2 y 1) 4 y 2 10 y 6 0
7
2
3
( y 3)
2 y 1 0 (3) y 3 0 y 3 , vì : 1 y nên
y 1 2
2
7 2 y 1
2
y 1 2
2 2
32 2
,
3
3
, 2 y 1 0
7 2 y 1 4
2
y 1 2
3
7 2 y 1
2 y 1 0
y 0
6.
vì y 0 không thỏa hệ
x y 1
Phương trình thứ nhất tương đương
( x 1)
y x y 1
( x 1)( x 2 x 1) 3 y ( x 1)( x y 1)
( x 1)[ x 2 x 3 xy 3 y 2 3 y 1
( x 1)[ x 2 (3 y 1) x 3 y 2 3 y 1
1
y x y 1
]
1
y x y 1
] (*)
A x 2 (3 y 1) x 3 y 2 3 y 1 0, 3( y 1) 2 0, x
- 6- Email:
[email protected]
NHOÙM TOAÙN
02
CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016
Với x 1 thay vào phương trình thứ hai, ta được y 2 y 5 5 y
7. Phương trình đầu tương đương 5 x 2 4 x 2 5
3
Thay vào phương trình thứ hai, ta được
ta tìm được x
2
3
y 1 4
1 17
2
y 1
2
y x2 4x 5
x 2 x 6 3 x 1 3 x 2 6 x 19 0 , đặt ẩn phụ, từ đó
23 341
353 19 341
23 341
353 19 341
y
hoặc x
y
.
2
2
2
2
x 0
y 1
8.
. Phương trình đầu viết lại
3
2 x y 1 0
x 2 y 0
2 x y 1 x 3 y 1 x 2 y 0
2 x y 1 x 0; 3 y 1 x 2 y 0
2 x y 1 x 3 y 1 x 2 y 0
x y 1
2 x y 1 x
x y 1
3 y 1 x 2 y
0
x y 1 0
2 x y 1 x 3 y 1 x 2 y
TH1: x y 1 0 y x 1 . Thế vào phương trình thứ hai, ta được:
x 2 4 x 14 6 x 7 2 x 3 x 2 0 (a ) , điều kiện: x
2
3
(a ) 2 6 x 7 x 16 x 4 3 x 2 3 x 2 x 2 4 x 4 0
2
9x
x 2 4 x 4
1 0
6 x 7 x 16 4 3 x 2 3 x 2
2
6 x 2 4 3 x 2
2
x 2
0
6 x 7 x 16 4 3x 2 3 x 2
2
2 3x 2 1
2
0 x 2 y 1
x 2
6 x 7 x 16 4 3x 2 3 x 2
2
TH2:
2 x y 1 x 3 y 1 x 2 y
2 x y 1 3 y 1 x x 2 y
Ta có:
2 x y 1 x 3 y 1 x 2 y
Trừ hai vế tương ứng của hai phương trình ta được: x 3 y 1 3 y x 1 . Thay vào phương
trình thứ hai, ta được: x 2 2 x 16 6 x 7 2 x x 0 (b ) , điều kiện x 0
x 7 3 0 x 2
2
2
(b ) x 7 3 x x 0
(vô lý) phương trình vô nghiệm
x x 0
x 0
x 0
9. y 1
vì ( x ; y ) (0;1) không là nghiệm hệ.
2 y 3 x 4 0
- 7- Email:
[email protected]
NHOÙM TOAÙN
02
CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016
y 1 x
Phương trình đầu viết lại: 2 y 2 3 y 1 y 1 x 2 x xy
( y x 1)(
1
y 1 x
x 2 y 1) 0 y x 1;
y 1 x
x 2 xy 2 y 2 3 y 1
x 0
x 2 y 1 0,
y 1
y 1 x
1
2 x y 2 y 3 x 4 3x 2 14 x 8 0
Thay vào phương trình thứ hai, ta được:
3 x 1 6 x 3 x 2 14 x 8 0 ( 3 x 1 4) (1 6 x ) ( x 5)(3 x 1) 0
( x 5)(
3
3x 1 4
1
1 6 x
3 x 1) 0 x 5
x 1
10.
. Phương trình đầu tương đương x ( x 2 y x 2 x ) ( x y ) 0
y 0
yx
x
x y 0 ( x y )( x 2 y x 2 x x ) 0
2
2
x y x x
x 1
9
Vì
suy ra x y . Thay vào phương trình thứ hai : x x x 1 x ( x 1)
y 0
2
Đặt t x x 1(t 0) t 2 2 x 1 2 x ( x 1) , tìm được t 2 x 1 x 2
5
x
25 25
25
2 x ( x 1) 5 2 x
x
( x ; y ) ; .
2
2
16 16
16
2
4 x 4 x 25 20 x 4 x
Bài 3.
x 2 xy 2 y 1 2 y 3 2 y 2 x
Giải hệ phương trình:
6 x 1 y 7 4 x y 1
Lần 3 – THPT PHƯỚC BÌNH
Lời giải
Điều kiện: x 1
Phương trình đầu tương đương: 2 y 2 x 1 x y 0 y x 1 vì 2 y 2 x 0, x 1
Thay y x 1 vào phương trình sau ta được:
6 x 1 x 8 4 x 2
2
x 1 3 2 x 2 x x 1 3 với x 1
2
4 x 2 13 x 10 0
x 2 thì y 3
Với x 1 2 x 3
x 3
2
Vậy, nghiệm của phương trình là ( x ; y ) (2;3) .
Bài tập tương tự:
Giải hệ phương trình:
2
2 xy
x y 2
1
xy
1.
x y x 2 y
x 2 x y 4 x 3 x 2 y 3
2. 2
x x x y 3 2 x 2 x y 1
- 8- Email:
[email protected]
Lần 2 – THPT ĐỒNG XOÀI
Lần 1 – THPT HÙNG VƯƠNG – BÌNH PHƯỚC
NHOÙM TOAÙN
02
CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016
( x y )( x 2 xy y 2 3) 3( x 2 y 2 ) 2
3.
4 x 2 16 3 y x 2 8
y 1 2 y 2 1 x x 2 xy 3 y
4.
x 2 y 3 y 2 3 x 7
(1 y )( x 3 y 3) x 2 ( y 1)3 . x
5.
x 2 y 2 3 x 3 4 2( y 2)
Lần 2 – THPT NGUYỄN HỮU CẢNH
Lần 1 – THPT ĐỒNG XOÀI
Lần 1– THPT TÔN ĐỨC THẮNG
2 x 2 2 x x y y x y
6.
x 1 xy y 2 21
x 2 xy 2 y 1 2 y 3 2 y 2 x
7.
6 x 1 y 7 4 x y 1
xy y 2 2 y x 1 y 1 x
8.
3. 6 y 3. 2x 3 y 7 2x 7
y
x 1 3 2 y 1
9. x
2x
4
2
x y 3 y 1
4 x 2 y x 9 1 3 x y x 2 5 x 8
10.
x 4 x 3 11x 2 y x 2 y 12 x 12 y
Hướng dẫn:
1. x y 0
Lần 1– THPT TRẦN PHÚ
Lần 2 – THPT TRẦN PHÚ
Lần 3 – THPT TRẦN QUANG KHẢI
Lần 1 – THPT VĂN GIANG
Lần 2 – THPT VIỆT TRÌ
1
2
2
Phương trình đầu tương đương: ( x y ) 2 1 2xy 1
0 ( x y 1)( x y x y ) 0
x y
x y 1 0 vì x y 0 nên x 2 y 2 x y 0
x 1 y 0
Thay x 1 y vào phương trình sau ta được: 1 x 2 (1 x ) x 2 x 2 0
x 2 y 3
x y 4 0
2.
x y 4 0
Phương trình (2) y x 1 , thế vào phương trình (1) ta được: x 2 2 x 3 x 3 x 2 x 2
Từ đó có: x 1
2
3. x 2, y
2 x 3 x 1 4 2 x 3 2 x 8 0 x 1 hoặc x 2 .
16
3
Phương trình đầu tương đương ( x 1)3 ( y 1)3 y x 2
Thay y x 2 vào phương trình thứ hai, ta được:
- 9- Email:
[email protected]
NHOÙM TOAÙN
02
CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016
4 x 2 22 3 x x 2 8
x 2 hoặc
4
x 2 2
4( x 2)
x 2 2
( x 2)
( x 2)( x 2)
3
22 3x 4
3( x 2)
22 3 x 4
0
22
Nhận thấy VT là hàm số đồng biến trên đoạn 2; , suy ra x 1 là nghiệm duy nhất của
3
4
3
phương trình, với VT
( x 2)
x 2 2
22 3x 4
2
4. y 1, x 0, y 3 x
1
Phương trình thứ hai biến đổi về dạng: y x 1
2 y 1 x 0 , thay y x 1 vào
y 1 x
phương trình đầu, ta được:
x 2 x 1 x 2 x 1 7 3
Hàm số f ( x ) x 2 x 1 x 2 x 1 đồng biến và f (2) 7 3
x 2 y 0
x 2 y
5.
.Nhận xét x 1, y 1 không là nghiệm của hệ. Xét y 1 phương trình
x 0, y 1
x 1, y 1
2
x
x
x
đầu viết lại x 2 x ( y 1) 3( y 1) 2 ( y 1) x ( y 1) 0
3
0
y 1
y 1
y 1
t
x
, t 0 . Khi đó, ta có t 4 t 2 t 3 0 t 1t 3 t 2 2t 3 0 t 1.
y 1
Với t 1 , thì
x
1 y x 1 , thế vào phương trình thứ hai, ta được
y 1
x 2 x 1 2 3 x 3 4 2 x 1 x 2 x 1 2 3 x 3 4 x 1 0
x 2 x 1
0
x 2 x 1 6
2
2
3
3
3
3 x 4 x 1 x 4 x 1
6 x 2 x 1
2
0
x x 1 1
2
2
3
3
3
3
x
4
x
1
x
4
x
1
x 2 x 1 0 x
1 5
3 5
.
x 1 y
2
2
6. x 1, x y 0
2 x 2 2 x x y y x y 2 x 2 xy y 2 2 x x y 0
x y 2 x y
1
0 .
0 x y 2 x y
2x x y
2 x x y
xy
Do x 1, x y 0 2 x y 0 , từ đó suy ra x y
.Thay vào phương trình thứ hai, ta được
x 1 x 2 x 2 21 x 1 1 x 2 4 x 2 21 5
- 10- Email:
[email protected]
NHOÙM TOAÙN
02
CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016
1
x 2
0 x 2
x 2
x 2
x 1 1
x 2 21 5
x 2
1
0
Vì x 2
x 21
10 x 2 91
x 2 21 5
7. x 1 . Phương trình đầu tương đương 2 y 2 x 1 x y 0 y x 1 vì 2 y 2 x 0, x 1
Thay vào phương trình thứ hai, ta được 6 x 1 x 8 4 x 2
2
x 1 3 2 x
2
4 x 2 13 x 10 0
x 2 y3
2 x x 1 3 2 x 3 x 1
x 3
2
x 0
8. x 0, 1 y 6, 2x 3 y 7 0 (*) .
không là nghiệm của hệ phương trình y 1 x 0
y 1
Phương trình đầu viết lại x ( y 1) ( y 1) 2
1
0
( x y 1) y 1
y 1 x
y 1 x
y 1 x
x y 1 0 y x 1 do (*). Thay vào phương trình thứ hai, ta được:
3 5 x 3 5 x 4 2 x 7 , điều kiện
4
x 5
5
1
3
0
(7 x ) 3 5 x 3( x 5x 4 ) 0 (4 5x x 2 )
3 5 x (7 x )
5x 4 x
x 1 y 2
4 5x x 2 0
x 4 y 5
1
y
1
2 y 1
9. x 0; y . Phương trình đầu viết lại x
3
2 y 2 x 2 1 3 x 2 y 1
2
x
2x
4
2 y 1
x 2 y 1
1
x
2 y 1
2 y 1
2
2 y 1 3 x 2 y 1 2 x 0
3
2 0
2
x 1 2 y 1
x
x
2 y 1 2
2
x
Với x 2 y 1 thay vào phương trình thứ hai, ta được:
y 1
5 17
y
3 y 1 y 1
, suy ra x 4 17 ( thoả mãn)
2
y 5 y 2 0
2
1
y 1
1
y 1
Với x
2 y 1 thay vào phương trình thứ hai, ta được 3 y 1 . Do y 0 .
2
2 4
2
2 4
Vậy phương trình vô nghiệm
10. Phương trình thứ hai tương đương x 2 x 1 y 12 x 2 0 y 12 x 2
Thay vào phương trình đầu, ta được: 3 x 2 x 3 3 x 1 5 x 4
3x 2 x x 1 3x 1 x 2 5x 4 0
1
1
0
x 2 x 3
x 1 3 x 1 x 2 5 x 4
- 11- Email:
[email protected]
NHOÙM TOAÙN
02
CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016
x 2 x 0 x 0 hoặc x 1 .
Bài 4.
2x 2 y 2 x 3( xy 1) 2 y
Giải hệ phương trình:
2
2
9
2x y 9
3 2 x y 3 4 5 x
Lần 1– THPT BẢO THẮNG SỐ 3
Lời giải
4
Điều kiện: x ;2 x y 0
5
Phương trình đầu tương đương:
2 x 2 y 2 x 3( xy 1) 2 y x y 12x y 3 0 y x 1
Thay y x 1 vào phương trình thứ hai ta được:
2
3 x 1
2
3 4 5x
9
, quy đồng rồi rút gọn ta được:
x 10
2 x 10 6 x 1 4 5 x 9 9 3 x 1 3 4 5 x x 1 4 5x
x 1 4 5 x 3 9 x 1 9 4 5 x 4 x 41 0 (*)
4
Vì x 1; nên 9 x 1 9 4 5 x 4 x 41 0
5
Khi đó (*) x 1 4 5 x 3 0
x 1 4 5 x 3 2 x 1. 4 5x 4 4 x
x 1 0
x 1 y 2
x 1. 4 5 x 2 x 1 0
x 0 y 1
4 5x 2 x 1
Đối chiếu với điều kiện và thay lại hệ phương trình ban đầu ta thấy hệ đã cho có nghiệm :
( x ; y ) (0;1),(1;2)
Bài tập tương tự:
Giải hệ phương trình:
2 x 3 xy 2 x 2 y 3 4 x 2 y 2 y 1
1.
4 x 2 x 6 5 1 2 y 1 4 y 2
y 3 5 y 2 y 5 8 xy 2 8 x 2 xy 3 x
2. 2
4 x 5 x 3 x 1 y 0
x 2 x y 3 x y y
3.
2 x 2 y 2 3 2 x 1 11
2 x 2 5 2 2 y x 2
4.
x 3 xy x y 2 y 5 y 4
x 3 xy x y 2 y 5 y 4
5.
4 y 2 x 2 y 1 x 1
- 12- Email:
[email protected]
Lần 1 – THPT ĐỨC THỌ
Lần 2 – THPT NGUYỄN SIÊU
Lần 1 – THPT CHUYÊN LONG AN
Lần 2 – THPT PHAN BỘI CHÂU
Lần 1– THPT THANH CHƯƠNG 3
NHOÙM TOAÙN
02
CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016
9 y 2 2 y 3 y x 4 xy 7 x
6.
2 y 1 1 x 2 y 1 1 x 2 y
x y x 1 x y y
1
7.
x 3 6 x 2 20 171 y 40 y 1 5 y 1 2
2 x 1 x 2 2 xy 4 y 1 3 y 2 2 y 1
8.
x x 2 xy 1 2 x 2 3 y 2 xy x 9
Lần 1 – THPT THANH CHƯƠNG 1
Lần 3 – THPT YÊN THẾ
Lần 1 – THPT HÙNG VƯƠNG
Hướng dẫn:
1. 1 ( x 2 y )(2 x 2 y 2 1) 0 x 2 y .
Thay vào (2) ta có phương trình
4 x 2 x 6 2 x 1 5 x 1 (3)
4 x 2 x 6 (1 2 x ) 5 x 1
x 1 0 x 1 hoặc
x 1
4 x x 6 1 2 x
2
x 1
4 x 2 x 6 1 2 x x 1 (4)
1
x
2 7
x
Kết hợp (3) và (4) ta được 2 x 1 2 x 1
2
2
2
4 x 8 x 3 0
2. x
1
3
Phương trình đầu tương đương: y 2 x 1 y 8 x 5 0 y 2 x 1 0 (vn) hoặc y 8 x 5
y 8 x 5 thay vào phương trình thứ hai, ta được:
4 x 2 3 x 1 13 x 5 0 2 x 3 3 x 1 x 4 *
2
Đặt
3x 1 2t 3, t
Với t x thì
3
, kết hợp * ta được hệ:
2
2 x 32 2t x 1
t x
x t 2 x 2t 5 0
2
2 t 3 3x 1
2t 5 2 x
3
x
15 97
3x 1 3 2 x
x
y 10 97
2
2
8
4 x 15 x 8 0
Với 2t 5 2 x thì
x 1
11 73
3x 1 2 x 2 2
x
y 6 73
4 x 11x 3 0
8
x 2 x y 3 x y y 1
3.
2 x 2 y 2 3 2 x 1 112
Từ (1) suy ra y 0 , vì nếu y 0 thì x y 0 khi đó VT (1) VP (1)
1 x 2 x y 3 x y 1 x 2 x y y 0
- 13- Email:
[email protected]
NHOÙM TOAÙN
02
CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016
x y 1
x 2 x y
3
x y 3 x y 1
2
x 2 x y y2
x2 x y y
0
x 2 x y
xy
x y 1
0 x y 1 0
2
2
3 x y 3 x y 1
x x y y
Thay y x 1 vào (2) ta được: 4 x 2 4 x 2 3 2 x 1 11 2 x 1 3 2 x 1 10 0
2
Đặt t 2 x 1, t 0 , từ đó có phương trình t 4 3t 10 0, t 0 t 2t 3 2t 2 4 t 5 0
t 2 . Khi đó
2 x 1 2 x
5 3
5
3
y . Vậy hệ phương trình có nghiệm x ; y ; .
2 2
2
2
4. xy x y 2 y 0 , y 0
Phương trình thứ hai viết lại: x 2 y 1 3
xy x y 2 y y 1 0
3 y 1
3 y 1
0 vì 1
x 2 y 1 1
0 ( xem thêm ý 5 )
2
xy x y y y 1
xy x y 2 y y 1
Thay 2 y x 1 vào phương trình đầu, ta được :
2 x 2 5 2 x 1 x 2 2
Vì x 1 nên
x2 5 3 2
x 1 1 x 2 4
x 2
2
1
x 2
x 2 0 x 2 y
2
2
x 1 1
x 5 3
x 2
2
1
2
x 2 x 2
1
0
2
2
x
1
1
x
1 1
x 5 3
x 5 3
xy x y 2 y 0
5. 4 y 2 x 2 0
. Phương trình đầu tương đương x y 3 x y y 1 4( y 1) 0
y 1 0
Đặt u x y , v y 1 ( u 0, v 0 ), từ đó có u 2 3uv 4v 2 0 u v
Với u v ta có x 2 y 1 , thay vào phương trình thứ hai ta được :
4 y 2 2 y 3 2 y 1
2 y 2
4 y 2 2 y 3 2 y 1
y 2 ( vì
4 y 2 2 y 3 y 1 2 y
y 1 1 0
2
1
0
0 y 2
4 y 2 2 y 3 2 y 1
y 1 1
y
1
1
y 2
2
4 y 2 y 3 2 y 1
2
6. 9 y 2 2 y 3 y x 0; xy 0;1 x 1.
Từ phương trình thứ nhất, ta có được: x 0 y 0
x 0
Xét
, thỏa mãn hệ phương trình.
y 0
- 14- Email:
[email protected]
1
y 1 1
0 y 1
NHOÙM TOAÙN
02
CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016
Xét x , y không đồng thời bằng 0, phương trình thứ nhất tương đương với:
9 y 2 2 y 3 y x 3 x 4 xy 4 x 0
9 y 2 2 y 3 y x 9 x 2
9 y 2 2 y 3 y x 3 x
4 xy x 2
xy x
0
9 x y 2 y 3
4x
y x
0
9 y 2 2 y 3 y x 3 x
xy x
yx
Thay y x vào phương trình thứ hai, ta được:
2 x 1 1 x 2 x 1 1 x 2 x
2x
1 x 1 x 1
1 x 1 x 0
a 1 x ; a 0
Đặt
2x a2 b2 .
b 1 x ; b 0
Phương trình trở thành: a 2 b 2 a b 1 a b 0 .
a b
a b
a b a b a b 1 1 0
2
a b 1 5
a b a b 1 0
2
Với a b 1 x 1 x x 0 ( không thỏa)
Với a b
1 5
1 5
5 5
5 5
1 x 1 x
x
y
.
2
2
8
8
7. Phương trình 1 x y x 1 y x y 0
1 y
1
x y
0 x y
x y x 1 y
x y
3
2
Thay vào phương trình (2) ta được: x 6 x 20 171x 40 x 1 5 x 1
x 1 2 5 x 1 2 x 8 5 x 1 x 2 27 x 12 0
x 1 2 5 x 1 0 x 11 2 29 y 11 2 9
x 1
2
2 x 1 0
1
8. 2 y 1 0
y
2
2
x xy 1 0 2
x xy 1 0
Phương trình đầu tương đương
2 x 1 2 y 1 x 2 2 xy 4 y 3 y 2 1 0
2
x y 1 x 3 y 1 0 x y 1
x 3 y 1 0
2 x 1 2 y 1
2 x 1 2 y 1
2 x y 1
- 15- Email:
[email protected]
NHOÙM TOAÙN
02
CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016
x y 1 0
1
1
2
, Vì x , y x 3 y 1 0 nên (*) vô nghiệm.
x 3 y 1 0 (*)
2
2
2 x 1 2 y 1
Với x y 1 0 y x 1 thay vào phương trình thứ hai, ta được: x 2 x 2 x 1 4 x 2 4 x 6
x 2x 2 x 1 2x 4 x 2 2x 6 x
2 x 2 x 1 2 2 2 x 2 2 x 3
2 x 2 x 3 0
2 2 x 2 x 3 0
x
2
2 x 2 x 1 2
2
2 x x 1 2
x 1
x 1
Với 2 x 2 x 3 0
3 Hệ có nghiệm
x (l )
y 2
2
x 4
x 4
x
2
2 2 2 x x 1 x 4 2
Với
7 x 12 x 12 0 x 6 2 30 ( l )
2x 2 x 1 2
7
Bài 5.
x 3 xy x y 2 y 5 y 4
Giải hệ phương trình:
Lần 1 – THPT PHƯỚC BÌNH
4 y 2 x 2 y 1 x 1
x 2 x 2 x 3
Lời giải
xy x y 2 y 0
Điều kiện: 4 y 2 x 2 0
y 1 0
Phương trình đầu tương đương: x y 3 x y y 1 4( y 1) 0 (1)
Để đơn giản lời giải, ta đặt u x y , v y 1 ( u 0, v 0 )
Khi đó (1) trở thành: u 2 3uv 4v 2 0 , phương trình này có u v thỏa mãn hoặc u 4v không
thỏa mãn u 0, v 0
Với u v thì x 2 y 1 , thay vào phương trình thứ hai ta được :
4 y 2 2 y 3 2 y 1
2 y 2
y 1 1 0
y 2
0
y 1 1
4 y 2 y 3 2 y 1
2
1
0
y 2
4 y 2 2 y 3 2 y 1
y
1
1
2
y 2 x 5 vì
Vậy, nghiệm của phương trình là ( x ; y ) 5;2 .
Bài tập tương tự:
Giải hệ phương trình:
- 16- Email:
[email protected]
4 y 2 2 y 3 y 1 2 y
2
4 y 2 y 3 2 y 1
2
1
y 1 1
0, y 1
NHOÙM TOAÙN
02
CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016
x y x y 2
1.
x 2 y 2 1 3 x 2 y 2
2 x 2 1 5 xy y 2
2.
y y ( x 2 y ) y (4 y x ) 1
Lần 1 – THPT NGUYỄN HỮU CẢNH
Lần 2 – THPT QUẢNG HÀ
Hướng dẫn:
1. x y 0; x y 0
u v 2 (u v )
u v 2 uv 4
2
2
2
2
u v 2 uv 3 u v 2 uv 3
2
2
u v 2 uv 4
(1)
(u v ) 2 2uv 2
.
uv
3
(2)
2
u x y
Đặt:
ta có hệ:
v x y
Thế (1) vào (2) ta được: uv 8 uv 9 uv 3 uv 8 uv 9 (3 uv ) 2 uv 0 .
uv 0
Kết hợp (1) suy ra :
u 4, v 0 do u v
u v 4
2. 4 y x 2 y 0
Trừ vế với vế ta được : 2 x 2 5 xy y 2 y ( xy 2 y 2 4 y 2 xy ) 0
Nhận thấy y 0 không thỏa mãn hệ.
Do y 0 ta chia hai vế của phương trình cho y 2 ta được :
x
x
x
x
2
5 1
2 4 0
y
y
y
y
Đặt
x
t t 2; 4 . Khi đó ta được:
y
2t 2 5t 1 t 2 4 t 0
2t 2 6t t 2 ( t 2 1) (1 4 t ) 0
2 t(t 3)
(t 3) t 2
t 3
0
1 4 t
t 2
1
(t 3) 2t
0
t 2 1 1 4 t
t 3 vì 2t
Bài 6.
t 2 1
t 2
t 2 1
3 x y 1 x 3 2 y 2 9 x 5
Giải hệ phương trình:
x 3 y 3 12 x 3 y 3 y 2 6 x 2 7
Lời giải
x 3
Điều kiện :
y 1
- 17- Email:
[email protected]
1
1 4 t
0, t 2; 4
Lần 2 – THPT ANH SƠN 2
NHOÙM TOAÙN
02
CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016
Phương trình thứ 2 tương đương với ( x 2)3 ( y 1)3 y x 1 (3)
Thay (3) vào phương trình thứ nhất ta được:
3 x x 2 x 3 2 x 2 5 x 3 điều kiện 2 x 3
3 x x 2 x 3 2 x 2 5x 3 3 x x 2 3 x 3 2 x 2 5x 6
2( (3 x )( x 2) 2)
3 x x 2 3
x 3 2 x 2 5x 6
2(x 2 x 2)
( 3 x x 2 3)( (3 x )( x 2) 2)
2(x 2 x 2)
( 3 x x 2 3)( (3 x )( x 2) 2)
( x 2 x 2)(
( x 1)( x 2)( x 3)
( x 2 x 2)( x 3)
2
( 3 x x 2 3)( (3 x )( x 2) 2)
Do điều kiện 2 x 3 nên
( x 3)) 0
2
( 3 x x 2 3)( (3 x )( x 2) 2)
( x 3) 0
Suy ra x 2 x 2 0 x 1; x 2 thoả mãn điều kiện.
Khi x 1 y 0 thỏa điều kiện.
Khi x 2 y 3 thỏa điều kiện.
Vậy, nghiệm của phương trình là ( x ; y ) (1;0),(2;3) .
Bài tập tương tự:
Giải hệ phương trình:
2(4 x 3 y 3 ) 12 x 2 y 2 2 x ( y 2 3) 1 0
1.
y 2. 3 x 5 x 2 x 6
2 x 2 y 2 xy 5x y 2 y 2 x 1 3 3 x
2.
x 2 y 1 4 x y 5 x 2 y 2
x 2 y 1 5 x 2 x 2 8 x 2 y 6 0
3. 3
x 2 xy y 1 5 x 10 y 4 y 2 ( y 1)
x 2 xy 2 y 2 3 y 1 y 1 x
4.
3 6 y 2 x 3 y 7 2 x 7
Lần 2 – THPT HOÀNG HOA THÁM
Lần 2 – THPT LÊ LỢI
Lần 3 – THPT ĐỒNG XOÀI
Lần 1 – THPT ĐỒNG ĐẬU
Hướng dẫn:
1. y 2
Phương trình đầu tương đương: phương trình : (8 x 3 12 x 2 6 x 1) y 2 (2 x 1) 2 y 3 0
2 x 1 y 3 (2 x 1) y 2 y 3 0
3
2 x 1 y (2 x 1) 2 y (2 x 1) 2 y 2 0
y
7 y 2
(2 x 1 y ) (2 x 1 ) 2
0
2
4
- 18- Email:
[email protected]
NHOÙM TOAÙN
02
CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016
y
7 y2
y 2 x 1 hoặc (2 x 1 ) 2
0
2
4
Với y 2 x 1 thay vào phương trình thứ hai, ta được 2 x 1 3 x 5 x 2 x 6
2 x 3 0
Điều kiện : 2
x 2
x x 6 0
Phương trình viết lai: x 2 x 6 2 x 3 3 x 5 0
x 2x 3
3
x 5 x x 1 3 x 5 2 x 6 0
( x 2 x 3) x 5
2
x ( x 3 x 2 2 x 6)
3
3
2x 6 0
x 2x 3
( x 1) 2 ( x 1) 3 x 5 ( 3 x 5) 2
2
( x 1) 3 x 5
x
(
x
2)
0
x 3
2
2
2
x 2 x 3 3 x 5 x 1 3( x 1)
2
4
x 3 Vì x 2
x 1 2 x 3
x 2x 3
3
x ( x 2 2)
4 0 .
2
x 1
3( x 1) 2
x 5
2
4
y
2 x 1 0
1
x
y
7y
2
Với 2 x 1
0
2
2
7 y
2
4
0
y 0
4
2
Thay vào phương trình thứ hai:
2
y 2 3 x 5 x 2 x 6 2. 3
9 1 1
6 vô lý.
2 4 2
2. y 2 x 1 0,4 x y 5 0, x 2 y 2 0, x 1
y 2 x 1 0 x 1 0 0
* Xét trường hợp:
(không thỏa mãn hệ)
3 3 x 0
y 1 1 10 1
* Xét trường hợp: x 1, y 1 . Đưa phương trình đầu về dạng tích ta được
( x y 2)(2 x y 1)
x y 2
y 2 x 1 3 3x
1
( x y 2)
y 2 x 1 0 .
y 2 x 1 3 3 x
1
Vì y 2 x 1 0 nên
y 2x 1 0 x y 2 0
y 2 x 1 3 3x
Thay y 2 x vào phương trình thứ hai ta được x 2 x 3 3 x 7 2 x
x 2 x 2 3 x 7 1 2 2 x ( x 2)( x 1)
3
1
( x 2)
1 x 0 x 2 0
3x 7 1 2 2 x
- 19- Email:
[email protected]
3x 6
3x 7 1
2 x
2 2x
NHOÙM TOAÙN
02
CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016
3
(vì x 1 nên
3x 7 1
x 2 y 1 0
3.
5 x 0
1
2 2 x
1 x 0 )
Hệ cho viết lại:
x 2 y 1 5 x 2 x 2 8 x 2 y 6 0
x 2 y 1 5 x 2 x 2 8 x 2 y 6 0
(*)
x 2y 0
x 2 y x 2 2 xy 2 y 2 2 y 5 0
2
2
x 2 xy 2 y 2 y 5 0
x 2 2 xy 2 y 2 2 y 5 0 x 2 2 xy y 2 y 2 2 y 1 4 0
x y y 1 4 0 : vô nghiệm với x , y .
2
2
x 2 y 1 5 x 2 x 2 8 x 2 y 6 0
2 x 1 5 x 2 x 2 7 x 6 0
Do đó có hệ (*)
x 2 y
x 2 y
1
Giải phương trình: 2 x 1 5 x 2 x 2 7 x 7 0, với x 5
2
2x 8
x 4
2 x 1 3 1 5 x 2 x 2 7 x 4 0
( x 4)(2 x 1) 0
2x 1 3 1 5 x
x 4 0 x 4 y 2
2
1
2
1
(2 x 1) 0,
(2 x 1) 0
2x 1 3 1 5 x
2
x
1
3
1
5 x
x 0
4. 1 y 6
2 x 3 y 7 0
y 1 x
Phương trình đầu tương đương:
y 1 x
( y 1 x )( y 1 x ) y ( y 1 x ) 0
1
( y 1 x )
y 1 x y 0 y x 1 hoặc
y 1 x
1
y 1 x
y 1 x y 0 (*)
x 0
Với
, suy ra phương trình (*) vô nghiệm.
1 y 6
Với y x 1 thay vào (2) ta được 3 5 x 3 5 x 4 2 x 7 (3)
Điều kiện
4
x 5 thì (3) 7 x 3 5 x 3( x 5 x 4 ) 0
5
2
2
7 x 9 5 x 3 x 5 x 4
1
3
0 x 2 5 x 4
0
7 x 3 5 x x 5x 4
7 x 3 5 x
x 5x 4
x 1
1
3
0 ( vô nghiệm ) hoặc x 2 5 x 4 0
x 4
7 x 3 5 x x 5x 4
- 20- Email:
[email protected]
.PDF 
40 
234 
145 
